第01讲 二次函数与等腰三角形问题（学霸秘籍，压轴题专项训练）2026年中考数学（江苏专用）

第一讲 二次函数与等腰三角形问题『压轴题大揭秘』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【解析版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。 在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类. 模块二 技巧点拨 方法揭秘 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类． 如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？ 如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法． ①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么． 图1 图2 图3 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来． ， 然后根据分类：AB=AC，BA=BC，CA=CB列方程进行计算. 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标； (3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长． 【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或 【思路点拨】（1）根据待定系数法解答即可； （2）求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断∠ACB=90°，继而可得∠ACO=∠CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，易得△OCE是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，进一步可推出∠ACE=∠CAQ，可得CE∥PQ，然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可； （3）设直线AP交y轴于点G，如图，由题意可得若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形，设G（0，m），求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F的坐标，然后分三种情况求出m的值，再求出直线AP的解析式，进而可求出点P的坐标，于是问题可求解． 【规范解答】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得 ，解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）令x=0，则y=2，即C（0，2）， ∵，，AB2=25， ∴， ∴∠ACB=90°， ∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°， ∴∠ACO=∠CBA， 在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图， 则CE=OE=2， ∴∠OCE=45°， ∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ， ∴CE∥PQ， ∵C（0，2），E（2，0）， ∴直线CE的解析式为y=-x+2， 设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1， ∴直线PQ的解析式为y=-x-1， 解方程组，得或， ∴点P的坐标是（6，-7）； （3）设直线AP交y轴于点G，如图， ∵PH∥y轴， ∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF， ∴若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形， ∵C（0，2），B（4，0）， ∴直线BC的解析式为， 设G（0，m），∵A（-1，0）， ∴直线AF的解析式为y=mx+m， 解方程组，得， ∴点F的坐标是， ∴， 当CG=CF时，，解得：（舍去负值）， 此时直线AF的解析式为y=x+， 解方程组，得或， ∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，）， ∴PH=； 当FG=FC时，，解得m=或m=（舍）或m=2（舍）， 此时直线AF的解析式为y=x+， 解方程组，得或， ∴点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，）， ∴PH=2-=1.5； 当GF=GC时，，解得或m=2（舍去）， 此时直线AF的解析式为y=x+， 解方程组，得或， ∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，）， ∴PH=； 综上，PH=或1.5或． 【考点剖析】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 【典例精讲二】（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)点的横坐标为 (2)证明见解析 (3)或 【思路点拨】（1）把代入可得，再进一步求解即可. （2）先求解，，结合，，再进一步计算即可. （3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可. 【规范解答】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴， ∴点的横坐标为. （2）解：∵点和在函数图象上， ∴，， ∵， ， ∴. （3）解：在函数中， 当时，， ∴， ∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点 ∴，， ∴，，， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，∴，，则和重合，舍去， 当时，则， 解得：（舍去），，， 综上：或. 【考点剖析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形定义，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 模块四 考题预测 满分训练 1．（2025·江苏扬州·三模）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)___________，___________． (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【思路点拨】（1）把点，代入抛物线，即可求解； （2）对于抛物线为，令，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴于点Q，交于点E，设（），则，，由，得到，根据二次函数的性质即可求解； （3）设，连接，分两种情况分别求解：①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰；②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴，解得． 故答案为：， （2）解：∵，， ∴抛物线为， 令，则， ∴， ∴． 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴于点Q，交于点E， 设（），则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． ∴当时，有最大值，为． （3）解：∵点N在抛物线上， ∴设． 连接， ①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的垂线，垂足为点F，过点M作于点G， ∵，， ∴，， ∵轴，， ∴， ∴， ∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴ 解得， ∴． ②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的平行线，分别过点A，点M作该平行线的垂线，垂足分别为点Q，点H， ∵，， ∴，， 同①同理可得， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴， 解得， ∴或． 综上所述，点N的坐标为或或． 【考点剖析】本题考查待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 2．（2025·江苏连云港·一模）如图，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D是二次函数图像的顶点，连接、． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求的正切值； (3)若点P在二次函数图像上，且横坐标为，过点P的直线平行于y轴，与、、x轴分别交于点E、F、G，试证明线段、、总能组成等腰三角形； 【答案】(1) (2) (3)见解析 【思路点拨】（1）设交点式，再代入C点坐标即可求解； （2）先由得，利用两点间的距离公式得，，，利用勾股定理逆运用得，进而可得答案； （3）先求出直线的表达式为，直线的表达式为，设，则，，再分别表示，，，可得，再用三边关系验证通过，即可证明． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点， ∴设二次函数的表达式为，代入， 解得， 故这个二次函数的表达式为； （2）解：连接 ， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； （3）证明：设直线的表达式为，将、代入， 得， 解得， 故直线的表达式为， 设直线的表达式为，将、代入， 得， 解得， 故直线的表达式为， 设，则，， 故，，， ∴， ∵，故， ∴，即， ∴线段、、总能组成等腰三角形． 【考点剖析】本题考查了利用交点式求二次函数的表达式，勾股定理，两点间距离公式，解直角三角形，三角形三边关系． 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是等腰直角三角形，，，，抛物线交x轴于点C，D两点，且经过点B． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点F，使得的面积等于5，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由； (3)点在抛物线上，连接，求出在坐标轴的点P，使得是以为顶角以为腰的等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 (3)的坐标为：，，，． 【思路点拨】（1）由等腰三角形的性质先求解，再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设，利用，可得，再建立方程求解即可； （3）如图，过作轴于，求解，，可得，以为圆心，为半径画圆，与坐标轴交于，，，，则是以为顶角以为腰的等腰三角形，再进一步求解即可． 【规范解答】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴或， 当时， 整理得：， 解得：，， ∴或， 当时， 整理得：， 解得：，， ∴或， 综上：的坐标为：或或或． （3）解：如图，过作轴于， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 以为圆心，为半径画圆，与坐标轴交于，，，， 则是以为顶角以为腰的等腰三角形， ∴，，，． 综上：的坐标为：，，，． 【考点剖析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，圆的基本性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； (3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的周长的最小值，点M的坐标为 (3)存在，或或 【思路点拨】（1）用待定系数法即可求解； （2）连接交于点M，此时最小，进而求解； （3）分、两种情况，然后分别求解即可． 【规范解答】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，连接交于点M，此时最小， 又因为是定值，所以此时的周长最小． 令时，则有，即， ∴， ，同理， ∴此时的周长； 是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交点和， ，对称轴为， 由，得， ， 又∵点M在第四象限，且在抛物线的对称轴上， ； （3）解：存在这样的点P，使是以为腰的等腰三角形． 设直线的解析式为，把点B、C坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m， ∴点，点， 则，，， 当时，则，解得（舍去）或4； 当时，则，解得（舍去）或； 综上，或或． 【考点剖析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 5．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．P为抛物线上的一个动点，过点P作轴于点D，交直线于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在第三象限内，且，求的面积． (3)在（2）的条件下，若M为直线上一点，是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【思路点拨】（1）待定系数法即可求抛物线的函数表达式； （2）由可得，设直线为，将代入得直线为，设 ，则，即得 ，根据，可得，解得(舍去)或，故，即可得的面积； （3）由（2）知：，直线为，设，则 ，(1)当时， ，解得；(2)当时，，解得或；(3)当时，，解得． 【规范解答】（1）解：∵，， 根据题意得：， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由可得， 设直线为，将代入得：， ∴， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得(舍去)或， ， ∴的面积为； （3）解：存在， 由（2）知：，直线为， 设， 则， ①当时，， 解得， ∴； ②当时，， 解得或， ∴或； ③当时，， 解得或(与重合，舍去)， ∴， 综上所述，或)或)或． 【考点剖析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、两点间的距离公式、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 6．（2024·江苏无锡·二模）二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，顶点为点D． (1)求该二次函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段上的一个动点（不与点E重合），连接，作交x轴于点，求k的取值范围； (3)连接、，点M、N分别在线段、上（均含端点），且，若是等腰三角形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或 【思路点拨】（）由待定系数法即可求解； （）由,得 在 中,根据( 列方程即可得到根据a的取值范围即可求出的取值范围; （3）证明，并求出的取值范围，分①若；②若 ；③若 ；三种情况讨论，结合等腰三角形的性质即可求出点的坐标. 【规范解答】（1）由题意得: 解得：， 则抛物线的表达式为：， （2）由抛物线的表达式知，点的坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， 由点在线段上，设点的坐标为，则， ， ， ， ， 在中, ， ， 整理得 ， ∴当时, 取得最大值； 当 时，取得最小值； ； （3）由抛物线对称性可得, , ∵, ∴, 把代入； 解得 ∴点的坐标为, 设点的坐标为, ∵点在线段上 (含端点) , ∴, ①若, 则, ∵, ∴, 得点与点重合，则点与点重合， ∴点的坐标为； ②若, 则, ∵, ∴, ∴, 即 解得：， ∴点的坐标为； ③若, 则, ∵是的外角, ∴, ∵, ∴, ∵ ∴, ∴, ， 解得： ∴点的坐标为 ； 综上所述，若是等腰三角形，则点的坐标为或或 【考点剖析】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的额性质与判定，二次函数与等腰三角形的存在性问题，本题的关键是把握题目等腰三角形的条件，利用分类讨论思想解决问题. 7．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知二次函数()的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求值； (2)作出点关于对称轴的对称点，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【思路点拨】（1）对于，当时，，令，则或，即可求解； （2）先求点关于对称轴的对称点为，则罗列三边，，，然后分类讨论建立方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：对于，当时，， 令，则或， 则点、、的坐标分别为：、、， 在中，， ∴； （2）解：∵点，对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点为， 则， ∴ ∴点关于对称轴的对称点为， 由点、、的坐标得：，，， 当时， 则， 解得：（舍去）； 当时， 同理可得：， 解得：； 当时， 同理可得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 综上，或． 【考点剖析】本题考查的是二次函数综合运用，勾股定理求两点之间距离，涉及到等腰三角形的性质、解直角三角形，二次函数的对称性，分类求解是解题的关键． 8．（2024·山东枣庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点B的坐标为．抛物线 经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使 ①求点 P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为等腰三角形?若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点 M的坐标为：或或或或 【思路点拨】（1）根据条件求出,，根据待定系数法求解即可； （2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解；分情况讨论，分别求出 ，根据等腰三角形的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴，即 ∴， ∴， 把 代入． 得： 解得：   ∴抛物线的解析式为： （2）①设的解析式为：， ∵,，所以解得， 所以的解析式为：， 设， 则， ∵ ∴ 解得：（舍） 或， ∴； ②∵M在直线上， 且， 设， ∴ 分三种情况： i） 当时， ∴ 解得： ∴ ii） 当时， ∴ 解得：或 ∴， iii） 当时， ∴ 解得：或 ∴或 综上，点 M的坐标为： 或或或或 【考点剖析】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的运用，等腰三角形的性质等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用． 9．如图，二次函数的图像经过点，与轴正半轴交于点，连接，．的顶点，在轴上，，，点．将沿轴向右平移，平移距离为． (1)求二次函数的表达式； (2)向右移动过程中，是否存在点使得是等腰三角形，若存在，请求出的值．若不存在请说明理由； (3)①当点首次落在抛物线上，求的值．②当抛物线落在内的部分，满足随的增大而减小时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，3或或 (3)①；② 【思路点拨】（1）根据正切的值得出，然后待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，分当为底边时，当为底边时，当为底边时三种情况分别讨论即可求解； （3）①根据题意令，求得的值，进而即可求解； ②根据题意抛物线的对称轴左侧部分与移动后的相交，可得点在点的左侧时符合题意，结合①的结论即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， 则， ∵ ∴，则, ∵， 设抛物线解析式为 将,代入，得， 解得： ∴抛物线解析式为 即 （2）存在， ， 当为底边时，设 ∵ ∴ 解得： ∵，点． ∴ ∴（不合题意，舍去） 当为底边时，则， ∴ 解得：， 当为底边时，， 可得或 ∴或 解得：或， 综上所述，的值为：3或或 （3）①∵， 故当时， 解得： 当时，点在抛物线的右侧，舍去， ∴ ②∵满足随的增大而减小时， 即抛物线的对称轴左侧部分与移动后的相交， 当移动到点时，， ∴． 【考点剖析】本题考查了二次函数综合运用，已知正切求边长，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键． 10．（2023·江苏苏州·一模）已知抛物线过点，且与直线只有一个交点． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在满足题意的点．或或或或 【思路点拨】（1）把点代入得，联立，得，由抛物线与直线只有一个交点求得b的值，即可得到抛物线的解析式； （2）先求出点A和点B的坐标，设点Q的坐标是，求出，，，分三种情况进行求解即可． 【规范解答】（1）解：把点代入中，得，解得， 联立， 得， ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴， 解得或2， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）存在满足题意的点． 联立， 解得或， ∴，， 由抛物线，可知抛物线对称轴为， 设点Q的坐标是， 则，， 由勾股定理，得， 当点为顶角时，，即， 解得或， ∴或； 当为腰，为顶角时，，即， 解得或， ∴或； 当为底时，，即， 解得， ∴． 故满足题意的点坐标为：或或或或． 【考点剖析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象和性质、勾股定理求两点间的距离、解一元二次方程、等腰三角形的定义等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 11．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点． (1)求，两点的坐标． (2)求该二次函数的解析式． (3)若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，，，使是以为腰的等腰三角形 【思路点拨】（1）令直线的x=0，y=0，求出对应的y和x的值，得到点C、B的坐标； （2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A、B、C的坐标求出解析式； （3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P的坐标． 【规范解答】（1）解：对直线，当时，，时，， ，． （2）解：设二次函数为， 二次函数图象经过，， ， 把点代入得： ， 解得：， ． （3）解：二次函数图象经过，， 对称轴为， ， ， ， 如图，当时， ， ，， 如图，当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， 综上所述：存在，，，使是以为腰的等腰三角形． 【考点剖析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是用一般式或者两点式结合待定系数法求解，求点P的坐标的时候要学会用“两圆一中垂”找到P点，注意这里只要用“两圆”即可． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标； （3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1；（2）P(1，1)或(1，2)；（3）M(，)或(，)   【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可． （2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．求出PT的长，构建方程求出m即可． （3）分两种情形：当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解． 【规范解答】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c，得到， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝﹣＝1． （2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）． ∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3）， ∴D（2，3）， ∵B（3，0）， ∴T（，），BD＝， ∵∠BPD＝90°，DT＝TB， ∴PT＝BD＝， ∴（1﹣）2＋（m﹣）2＝（）2， 解得m＝1或2， ∴P（1，1），或（1，2）． （3）当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），作TJ⊥x轴于点J，设抛物线的对称轴交x轴于E． ∵△BMN是等边三角形， ∴∠NMB＝∠NBM＝60°， ∵∠NBT＝90°， ∴∠MBT＝30°，BT＝BN， ∵∠NMB＝∠MBT＋∠BTM＝60°， ∴∠MBT＝∠BTM＝30°， ∴MB＝MT＝MN， ∵∠NBE＋∠TBJ＝90°，∠TBJ＋∠BTJ＝90°， ∴∠NBE＝∠BTJ， ∵∠BEN＝∠TJB＝90°， ∴△BEN∽△TJB， ∴＝， ∴BJ＝t，TJ＝2， ∴T（3＋t，2）， ∵NM＝MT， ∴M（，）， ∵点M在y＝﹣x2＋2x＋3上， ∴＝﹣（）2＋2×＋3， 整理得，3t2＋（4＋2）t﹣12＋4＝0， 解得t＝﹣2（舍弃）或， ∴M（，）． 如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T． 同法可得T（3﹣n，﹣2），M（，）， 则有＝﹣（）2＋2×＋3， 整理得，3n2＋（2﹣4）n﹣12﹣4＝0， 解得n＝或（舍去）， ∴M（， ）， 综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，）． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程求解计算是解题的关键． 13．（2024·江苏徐州·三模）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A, B两点，交y轴于点C,抛物线的对称 轴交x轴于点D，直线BC经过B，C两点，已知A (-1， 0)，B (4，0) (1)求抛物线和直线BC的函数解析式； (2)点F是线段BC，上方抛物线上一个动点，过点F作x轴的垂线与直线BC相交于点E，交x轴于点M． ①当点F运动到什么位置时，线段FE有最大值，请求出线段FE的最大值及F点坐标; ②当点F运动到什么位置时，四边形CDBF有最大面积?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标； (3) 动点P为抛物线对称轴.上一个动点，当OPCD是以CD为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）y=-x2+x+2，y=-x+2；（2）① a=2，EF的最大值为2，F（2，3）；②a=2，S四边形CDBF最大值为，E（2，1）；（3）点P的坐标为（，）或（，4）或（，）． 【思路点拨】（1）将A、B点坐标代入二次函数表达式即可求得二次函数解析式；设直线BC的表达式为y=kx+m，将B、C坐标代入，可解得直线BC的表达式； （2）①根据EF=（-a2+a+2）-（a，-a+2）=-（a-2）2+2，即可求解； ②由S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF，即可求解； （3）△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，点P的位置如图所示P1、P2、P3，分别求解即可． 【规范解答】（1）将A、B点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：y=-x2+x+2， ∴C（0，2）； 设直线BC的表达式为：y=kx+m， 将B、C坐标代入上式得：， 解得：， ∴直线BC的表达式为：y=-x+2； （2）①设E（a，-a+2），则点F（a，-a2+a+2）， ∴EF=（-a2+a+2）-（-a+2）=-（a-2）2+2， ∴当a=2时，EF取得最大值为2，此时点F（2，3）； ②S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=××2+（-a2+2a）（a+4-a）=-（a-2）2+， ∵0≤a≤4， ∴当a=2时，S四边形CDBF最大值为， 此时点E（2，1）； （3）当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，点P的位置如图所示P1、P2、P3， 当CD=DP，即P点处于点P2的位置， ，即点P2坐标为（，）， 同理可得点P1、P3的坐标为（，4）、（，）． 点P的坐标为（，）或（，4）、（，）． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．解题时要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 14．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，已知二次函数的图像与坐标轴交于点和点． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图像的对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标； （3）在（2）的条件下，在轴上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）或或或． 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求解抛物线与轴的另一个交点的坐标，由两点关于关于对称轴对称，连接交对称轴与点，则的周长最短，再求解的解析式即可得到答案； （3）先求解的长度，分别以为圆心，为半径画弧，得到与轴的交点符合题意，作的垂直平分线与轴的交点也符合题意，从而可得答案． 【规范解答】解：（1）根据题意，把点和点代入函数解析式．得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）令，得二次函数的图象与轴的另一个交点坐标； 由于是对称轴上一点， 连接，由于， 要使的周长最小，只要最小； 由于点与点关于对称轴对称，连接交对称轴于点， 则，根据两点之间，线段最短，可得的最小值为； 因而与对称轴的交点就是所求的点； 设直线的解析式为， 根据题意可得解得 所以直线的解析式为； 因此直线与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得， 所求的点的坐标为； （3） 以为圆心，为半径画弧，交轴于 以为圆心，为半径，交轴于 由等腰三角形的三线合一得到： 作的垂直平分线交轴于 设 由 综上：或或或. 【考点剖析】此题主要考查了二次函数解析式的确定以及轴对称性质的应用，等腰三角形的判定，两点间的距离公式的应用，能够正确的确定P点的位置时解答此题的关键． 15．如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B． （1）求此二次函数关系式和点B的坐标； （2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=﹣x2+x+3，点B的坐标为（0，3）．（2）点P的坐标为：（，0）． 【思路点拨】把点A的坐标代入二次函数，求出b的值，确定二次函数关系式，把x=0代入二次函数求出点B的坐标． 分情况讨论，①当BP=AP时，②当AB=AP时，分别求出即可得出答案． 【规范解答】解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有： 0=﹣16+4b+3 得：b= 所以二次函数的关系式为：y=﹣x2+x+3． 当x=0时，y=3 ∴点B的坐标为（0，3）． （2）如图 作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，则：BP=AP 设BP=AP=x，则OP=4﹣x， 在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2 即：x2=32+（4﹣x）2 解得：x= ∴OP=4﹣= 所以点P的坐标为：（，0）． 16．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC． ①求线段PM的最大值； ②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（2，﹣3）或（3－，2﹣4）． 【思路点拨】（1）根据待定系数法，可得答案； （2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【规范解答】（1）将A，B，C代入函数解析式， 得，解得， 这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3； （2）①设BC的解析式为y=kx+b， 将B，C的坐标代入函数解析式，得 ，解得， BC的解析式为y=x﹣3， 设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3）， PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+， 当n=时，PM最大=； ②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2， 解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2， n2﹣2n﹣3=－3， P（2，－3）； 当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2， 解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+（不符合题意，舍），n3=3－， n2﹣2n﹣3=2－4， P（3－，2－4）； 综上所述：P（2，﹣3）或（3－，2﹣4）． 【考点剖析】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法． 17．如图，抛物线 与直线 相交于，两点，且与x轴交于A 、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E． ① 当时，求P点坐标； ② 是否存在点P使为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．      【答案】(1)； (2)①或；②或或或． 【思路点拨】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出和的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标； ②由E、B、C三点坐标可表示出，和的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标． 【规范解答】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴点B的坐标为， 把点，代入抛物线解析式，可得， 解得， ∴ 抛物线解析式为． （2）解：①设点P的坐标为 则，， 则 ， ， ∵， ∴ 当时，解得或， 但当时，P与A重合不合题意，舍去， ∴； 当时，解得或， 但当时，P与A重合不合题意，舍去， ∴； 综上可知P点坐标为或． ②设，则，且，， ∴ 当等腰三角形时，则有、或三种情况， 当时，则，解得， 此时P点坐标为； 当时,则，解得或， 此时P点坐标为或； 当时,则，解得或， 当时，E点与B点重合，不合题意，舍去， 此时P点坐标为； 综上可知存在满足条件的点P的坐标为或或或． 【考点剖析】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，两点之间的距离公式，等腰三角形的判定等，注意分类讨论思想在数学中的应用． 18．已知抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线：y=x﹣1 （1）求证：点P在直线上； （2）当m=﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ（如图），求点M的坐标； （3）若以抛物线和直线的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）（﹣4，﹣3）；（3）m的值为0，，，，． 【规范解答】分析：（1）利用配方法得到y=(x-m)²+m-1，点P（m，m-1），然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点P在直线l上；（2）当m= -3时，抛物线解析式为y=x²+6x+5，根据抛物线与x轴的交点问题求出A（-5，0），易得C（0，5），通过解方程组 得P（-3，-4），Q（-2，-3），作ME⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，证明Rt△CME∽Rt△PAF，利用相似得，设M（x，x²+6x+5），则，解得=0（舍去），= -4，于是得到点M的坐标为（-4，-3）；（3）通过解方程组 得P（m，m-1），Q（m+1，m），利用两点间的距离公式得到PQ²=2，OQ²=2m²+2m+1，OP²=2m²-2m+1，然后分类讨论：当PQ=OQ时，2m²+2m+1=2；当PQ=OP时，2m²-2m+1=2；当OP=OQ时，2m²+2m+1=2m²-2m+1，再分别解关于m的方程求出m即可． 本题解析： （1）证明：∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=（x﹣m）2+m﹣1， ∴点P的坐标为（m，m﹣1）， ∵当x=m时，y=x﹣1=m﹣1， ∴点P在直线l上； （2）解：当m=﹣3时，抛物线解析式为y=x2+6x+5， 当y=0时，x2+6x+5=0，解得x1=﹣1，x2=﹣5，则A（﹣5，0）， 当x=0时，y=x2+6x+5=5，则C（0，5）， 可得解方程组，解得或， 则P（﹣3，﹣4），Q（﹣2，﹣3）， 作ME⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图， ∵OA=OC=5， ∴△OAC为等腰直角三角形， ∴∠ACO=45°， ∴∠MCE=45°﹣∠ACM， ∵QG=3，OG=2， ∴AG=OA﹣OG=3=QG， ∴△AQG为等腰直角三角形， ∴∠QAG=45°， ∵∠APF=90°﹣∠PAF=90°﹣（∠PAQ+45°）=45°﹣∠PAQ， ∵∠ACM=∠PAQ， ∴∠APF=∠MCE， ∴Rt△CME∽Rt△PAF， ∴， 设M（x，x2+6x+5）， ∴ME=﹣x，CE=5﹣（x2+6x+5）=﹣x2﹣6x， ∴， 整理得x2+4x=0，解得x1=0（舍去），x2=﹣4， ∴点M的坐标为（﹣4，﹣3）； （3）解：解方程组得或，则P（m，m﹣1），Q（m+1，m）， ∴PQ2=（m+1﹣m）2+（m﹣m+1）2=2，OQ2=（m+1）2+m2=2m2+2m+1，OP2=m2+（m﹣1）2=2m2﹣2m+1， 当PQ=OQ时，2m2+2m+1=2，解得m1=，m2=； 当PQ=OP时，2m2﹣2m+1=2，解得m1=，m2=； 当OP=OQ时，2m2+2m+1=2m2﹣2m+1，解得m=0， 综上所述，m的值为0，，，，． 点睛：本题是考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象和一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，会求抛物线与直线的交点坐标；理解坐标与图形性质，利用两点间的距离公式计算线段的长；会运用相似比计算线段的长；能运用分类讨论的思想解决数学问题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲 二次函数与等腰三角形问题『压轴题大揭秘』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【原卷版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题专项提升，贴合江苏各地中考命题规律，精选近两年省内各市中考真题、名校模拟题，按考点分类精讲精练，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。 在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类. 模块二 技巧点拨 方法揭秘 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类． 如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？ 如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法． ①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么． 图1 图2 图3 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来． ， 然后根据分类：AB=AC，BA=BC，CA=CB列方程进行计算. 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标； (3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长． 【典例精讲二】（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 模块四 考题预测 满分训练 1．（2025·江苏扬州·三模）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)___________，___________． (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 2．（2025·江苏连云港·一模）如图，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D是二次函数图像的顶点，连接、． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求的正切值； (3)若点P在二次函数图像上，且横坐标为，过点P的直线平行于y轴，与、、x轴分别交于点E、F、G，试证明线段、、总能组成等腰三角形； 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是等腰直角三角形，，，，抛物线交x轴于点C，D两点，且经过点B． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点F，使得的面积等于5，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由； (3)点在抛物线上，连接，求出在坐标轴的点P，使得是以为顶角以为腰的等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 4．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； (3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 5．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．P为抛物线上的一个动点，过点P作轴于点D，交直线于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在第三象限内，且，求的面积． (3)在（2）的条件下，若M为直线上一点，是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024·江苏无锡·二模）二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，顶点为点D． (1)求该二次函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段上的一个动点（不与点E重合），连接，作交x轴于点，求k的取值范围； (3)连接、，点M、N分别在线段、上（均含端点），且，若是等腰三角形，求点M的坐标． 7．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知二次函数()的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求值； (2)作出点关于对称轴的对称点，若是等腰三角形，求的值． 8．（2024·山东枣庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点B的坐标为．抛物线 经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使 ①求点 P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为等腰三角形?若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，二次函数的图像经过点，与轴正半轴交于点，连接，．的顶点，在轴上，，，点．将沿轴向右平移，平移距离为． (1)求二次函数的表达式； (2)向右移动过程中，是否存在点使得是等腰三角形，若存在，请求出的值．若不存在请说明理由； (3)①当点首次落在抛物线上，求的值．②当抛物线落在内的部分，满足随的增大而减小时，请直接写出的取值范围． 10．（2023·江苏苏州·一模）已知抛物线过点，且与直线只有一个交点． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 11．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点． (1)求，两点的坐标． (2)求该二次函数的解析式． (3)若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标； （3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标． 13．（2024·江苏徐州·三模）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A, B两点，交y轴于点C,抛物线的对称 轴交x轴于点D，直线BC经过B，C两点，已知A (-1， 0)，B (4，0) (1)求抛物线和直线BC的函数解析式； (2)点F是线段BC，上方抛物线上一个动点，过点F作x轴的垂线与直线BC相交于点E，交x轴于点M． ①当点F运动到什么位置时，线段FE有最大值，请求出线段FE的最大值及F点坐标; ②当点F运动到什么位置时，四边形CDBF有最大面积?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标； (3) 动点P为抛物线对称轴.上一个动点，当OPCD是以CD为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 14．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，已知二次函数的图像与坐标轴交于点和点． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图像的对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标； （3）在（2）的条件下，在轴上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 15．如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B． （1）求此二次函数关系式和点B的坐标； （2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC． ①求线段PM的最大值； ②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 17．如图，抛物线 与直线 相交于，两点，且与x轴交于A 、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E． ① 当时，求P点坐标； ② 是否存在点P使为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．      18．已知抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线：y=x﹣1 （1）求证：点P在直线上； （2）当m=﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ（如图），求点M的坐标； （3）若以抛物线和直线的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $