精品解析：2026年湖南省初中学业水平考试模拟试卷·数学(三)

2026年湖南省初中学业水平考试模拟试卷・数学（三） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答客观题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我国自主研发的AI模型DeepSeek以免费开源优势风靡全球，其下载量数据常用正负数表示相关变化．若下载量增加10万人次，记作＋10万人次，则因服务器维护导致下载量减少13万人次，记作（ ） A. 万人次 B. 万人次 C. 万人次 D. 万人次 【答案】B 【解析】 【详解】题目规定下载量增加记为正数，增加10万人次记作＋10万人次， 与增加意义相反的减少记为负数， 下载量减少13万人次，记作－13万人次． 2. 如图所示的圆柱，它的俯视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱的俯视图，解题的关键是熟练掌握，俯视图是从上面看到的图形，根据从上面看圆柱得出的平面图形为圆，即可得出答案． 【详解】解：竖直放置的圆柱体，从上面看到的平面图形为圆，即俯视图是圆． 故选：A． 3. 无人机技术在农业植保、地形测绘等领域广泛应用，其核心部件的参数计算涉及幂的运算．下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算规则与同类项的概念，利用初中幂的运算法则对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意． 4. 下列方程组的解为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】把代入选项A第2个方程不成立，故错误； 把代入选项B第2个方程不成立，故错误； 把代入选项C第1个方程不成立，故错误； 把代入选项D两个方程均成立，故正确； 故选D. 5. 如图，直线，以直线上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线、于点B、C，连接AC、若，则　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 根据题意得： ， ， 直线， ， ， ． 故选B. 6. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，基础题，难度不大．根据分母不等于0及被开方数大于等于0处理即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 选：B． 7. 如图，射线 与 相切于点B，经过圆心O的射线 与 相交于点D，C，连接 ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．连接，如图，利用切线的性质得，再利用互余得到，然后根据三角形外角性质和等腰三角形的性质计算的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵边 与 相切，切点为B， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 为落实乡村振兴战略，某农机厂加大农业机械生产投入，一月份生产农业零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】第一季度包含1、2、3三个月，需分别表示出每月产量，再根据第一季度总产量列方程． 【详解】解：∵一月份生产零件 万个，平均每月增长率为， ∴二月份生产零件数量为 万个， ∴三月份生产零件数量为 万个， ∵第一季度共生产零件万个，第一季度总产量为三个月产量的和， ∴可列方程． 9. 如图， 是 的中位线，的平分线交 于点 ，连接 并延长交 于 ，若，则 的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出 的长，再证明 ，最后可得答案． 【详解】解：是 的中位线，， ，， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 10. 2026年火星探测计划中，长沙某中学数学兴趣小组借助绘图软件探究探测器着陆轨迹，得到函数的图象．现输入一组的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的的值满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据当时，可得 ，进而可得；根据两条曲线在y轴右侧分开得到当为一个正数时，，据此可得． 【详解】解：在中，， 由函数图象可知，当时，，则 ， ∴； 由函数图象可知，当为一个正数时，（因为两条曲线在y轴右侧分开），此时， ∴，即． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 11. 已知方程的一个根是 ，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根，可将该根代入原方程，得到关于参数的一元一次方程，求解即可得到的值； 【详解】解：是方程的根， 将代入原方程得：， 化简得：， 移项得：． 12. 国家统计局发布数据显示，2025年我国国内生产总值（GDP）首次跃上140万亿元新台阶．140万亿用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，确定和的值即可． 【详解】解：140万亿用科学记数法表示为． 13. 为响应“健康中国”近视防控行动，某校开展“科学护眼”主题教育活动，某校某班共有 名学生，其中人近视，人不近视，班主任随机抽取一名学生分享护眼经验，抽到不近视学生的概率是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，所有等可能的结果共 种，抽到不近视学生的结果有种，因此抽到不近视学生的概率是. 故答案为：． 14. 如图，在 中，，，，以为圆心，适当长为半径画弧分别交 ， 于点， ，再分别以， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点 ，连接 并延长交 于点 ，则点 到 的距离为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、角平分线的性质及解直角三角形，解题关键是由作图得出 平分，再利用角平分线的性质将点 到 的距离转化为 的长度求解． 【详解】解：如图，过点 作于点 ， ∵在 中， ， ， ∴， 由作图可知， 平分， ∴， ∵， ∴， 根据角平分线的性质可得：． 故答案为： ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点 在反比例函数的图象上，轴于点．将 沿 翻折，若点 的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、折叠问题等知识点，作轴，垂足为 ,利用对称性质和解直角三角形解答即可得到结果，熟练掌握图象上点的坐标特征是解决此题的关键． 【详解】解:设点 坐标为,则, , , 由对称可知：, , 如图，作轴，垂足为 ,则， , 由勾股定理得，， ,, 点在反比例函数图象上， , 在中， , 由勾股定理得,即, 由解得， 故答案为：． 16. 任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”．则最小的的“双倍快乐数”为________；若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，则所有满足条件的有________个． 【答案】 ①. 111 ②. 3 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．第一空根据“双倍快乐数”的定义解答即可；第二空根据一元二次方程根的判别式得出，， 之间的关系，再结合“双倍快乐数”的定义以及能被6整除这一条件来确定满足条件的的个数即可． 【详解】解：∵三位数，满足各个数位上的数字都不为零， ∴十位上数最小只能为1， ∵百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，且是最小的的“双倍快乐数”， ∴根据定义可得最小的“双倍快乐数”为111； ∵是一个“双倍快乐数”， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴,即， ∴， ∵,若能被6整除， ∴设， ， 能被6整除，即能被6整除， 能被 整除， 既能被2整除又能被3整除， 是1到9的整数， 、6、9， 当 时，，当 时，，当 时，， ∴满足条件的有3个， 故答案为：111；3． 三、解答题：本大题共8个小题，共72分．其中第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 已知平行四边形 中，对角线相交于点． （1）如图1，若，求 的长： （2）如图2，过点 作 于点 ，连接，过点作交 于点 ，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：， ∴， ∴， ． 又， ∴， 又∵， ∴ ， 又∵， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）先证明，，再证明，即可证明． 【小问1详解】 解：∵四边形 是平行四边形， ∴， ，即， ． ， ∴ ， 或（舍去）． 【小问2详解】 略 20. 阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻， 块种植普通水稻，块试验田比 块试验田少4亩． （1）块试验田收获水稻9600千克、 块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ （2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的 块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩 块试验田改种杂交水稻？ 【答案】（1）普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． （2）至少把B块试验田改亩种植杂交水稻． 【解析】 【分析】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数=总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量； （2）设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，利用总产量=亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设普通水稻亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克， 依题意得：， 解得：； 经检验，x=600是原方程的解，且符合题意， ∴2x=2×600=1200． 答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． 【小问2详解】 解：设把B块试验田改y亩种植杂交水稻， 依题意得：9600+600（）+1200y≥17700， 解得：． 答：至少把B块试验田改亩种植杂交水稻． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21. 为了解长沙市九年级学生每周校外锻炼身体的时长 （单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分九年级学生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次抽样调查的总人数是_____，扇形统计图中 _____，A组所在扇形的圆心角的大小是_____； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若长沙市共约有7万名九年级学生，请你估计全市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的九年级学生人数． 【答案】（1）500，32， （2） 补全图形如下： （3）2.66万 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图与扇形统计图，样本估计总体． （1）由 组人数及其所占百分比可得样本容量，用 组人数除以样本容量即可得出m，用乘以组人数所占比例即可得到A组所在扇形的圆心角的大小； （2）根据各组人数之和等于样本容量求出组人数，从而补全图形； （3）用总人数乘以样本中、 组人数和所占比例即可． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的样本容量是， ∴ 组的占比为：，即 ， ∴组所在扇形的圆心角的大小是， 故答案为：500，32，； 【小问2详解】 解：组人数为（人）， 略 【小问3详解】 解：（万）． 答：估计全市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的九年级学生人数为万． 22. 为推进“数字乡村”建设，某村计划在山坡上修建灌溉水库，需测算山坡高度以确定水库容量．在技术人员指导下，利用无人机、测角仪等设备开展测量活动． 活动主题 测算山坡的高度（助力灌溉水库建设） 测量工具 无人机、秒表、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 是山脚的水平线，山的高 垂直于水平线 于点，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在山脚A处测出山顶B的仰角 ，山坡 的坡角；②用无人机测得从点沿着山坡 前进到达 处；③在 处测出山顶 的仰角．注：图中所有点均在同一平面内．（参考数据：， ） 请根据上面提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求坡面 的水平距离和垂直距离； （2）求山的高 ． 【答案】（1）坡面 的水平距离约为 ，垂直距离约为 （2）山的高 为 【解析】 【分析】（1）如图，在中，先根据余弦的定义可求出，然后根据正弦的定义可求出； （2） 交 于 点，如图，先由四边形 为矩形得到，，再根据正切的定义，在中表示出，则；在 中表示出 ，所以，然后求出，从而得到 的长． 【小问1详解】 解：在中，， ， ， ， 答：坡面 的水平距离约为 ，垂直距离约为； 【小问2详解】 解：如图， 交 于 点， 可得四边形 为矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， 即， ， 解得， ． 答：山的高 为． 23. 在矩形 中， ，点 是对角线 上一动点，连接 ，作 交 于点 ，以 ，为边作矩形 ，连接线段 ，线段与对角线 交于点． （1）求证 ； （2）求 ； （3）当 时，求 的长度． 【答案】（1） 证明：连接和 ，交点为 ， ∵四边形 和四边形 都是矩形， ∴ ， ， ∴点 在矩形 的外接圆 上，且是直径， ∴ ，即 ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明点 在矩形 的外接圆 上，利用圆周角定理即可证明 ； （2）利用等角的余角相等求得 ，再利用正切函数的定义求解即可； （3）证明点 为 的中点，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 解：∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点 为 的中点， ∴ ． 24. 如图，已知抛物线 ，过点，与 轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式． （2）点是直线 上方抛物线上一动点． a．当，求点的坐标． b．连接线段，设直线 交线段 于点的面积为 的面积为，求最大值． 【答案】（1） （2）a．；b． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、几何图形的旋转变换、相似三角形的判定与性质，以及利用二次函数求最值，解题关键是熟练掌握待定系数法、坐标旋转规律、相似三角形的比例关系，并结合二次函数的性质求解． （1）利用待定系数法，将已知点，代入抛物线解析式，解方程组求出系数，即可得到抛物线解析式； （2）a．利用“构造旋转全等”的方法，将线段 绕点 顺时针旋转得到，通过求直线的解析式，与抛物线联立求解，得到点的坐标； b．通过作平行线构造相似三角形，将面积比转化为线段比，再结合点的坐标表示出比例式，转化为二次函数，利用二次函数的性质求出最大值． 【小问1详解】 解：把点，代入 中， ， 解得 抛物线的解析式为 ． 【小问2详解】 a．把 绕 点顺时针旋转90度得， 连接，交抛物线于点，作，交轴于点 ， ， ， 又， ， 在 和中： ， ， 令代入 ，得，即， ，， ， 由待定系数法求出的表达式为． 由， 解得（舍去）， ∴． b．作轴，轴，分别交直线 于点． ， ，， ． ． 设． ，, ∴． ∴ ． 当 时，有最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省初中学业水平考试模拟试卷・数学（三） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答客观题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我国自主研发的AI模型DeepSeek以免费开源优势风靡全球，其下载量数据常用正负数表示相关变化．若下载量增加10万人次，记作＋10万人次，则因服务器维护导致下载量减少13万人次，记作（ ） A. 万人次 B. 万人次 C. 万人次 D. 万人次 2. 如图所示的圆柱，它的俯视图为（　　） A. B. C. D. 3. 无人机技术在农业植保、地形测绘等领域广泛应用，其核心部件的参数计算涉及幂的运算．下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程组的解为的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，以直线上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线、于点B、C，连接AC、若，则　　 A. B. C. D. 6. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，射线 与 相切于点B，经过圆心O的射线 与 相交于点D，C，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 为落实乡村振兴战略，某农机厂加大农业机械生产投入，一月份生产农业零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 是 的中位线，的平分线交 于点，连接 并延长交于 ，若，则 的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 10. 2026年火星探测计划中，长沙某中学数学兴趣小组借助 绘图软件探究探测器着陆轨迹，得到函数的图象．现输入一组的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的的值满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 11. 已知方程的一个根是 ，则_____． 12. 国家统计局发布数据显示，2025年我国国内生产总值（GDP）首次跃上140万亿元新台阶．140万亿用科学记数法表示为_____． 13. 为响应“健康中国”近视防控行动，某校开展“科学护眼”主题教育活动，某校某班共有 名学生，其中人近视，人不近视，班主任随机抽取一名学生分享护眼经验，抽到不近视学生的概率是_____． 14. 如图，在 中，，，，以为圆心，适当长为半径画弧分别交 ， 于点 ， ，再分别以 ， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接 并延长交于点，则点到 的距离为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点 在反比例函数的图象上，轴于点．将 沿 翻折，若点的对应点 落在该反比例函数的图象上，则的值为______． 16. 任意一个三位数 ，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”．则最小的的“双倍快乐数”为________；若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，则所有满足条件的有________个． 三、解答题：本大题共8个小题，共72分．其中第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：．其中． 19. 已知平行四边形中，对角线相交于点． （1）如图1，若，求 的长： （2）如图2，过点作 于点 ，连接，过点作交 于点，求证：． 20. 阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻， 块种植普通水稻，块试验田比 块试验田少4亩． （1）块试验田收获水稻9600千克、 块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ （2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的 块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩 块试验田改种杂交水稻？ 21. 为了解长沙市九年级学生每周校外锻炼身体的时长 （单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分九年级学生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次抽样调查的总人数是_____，扇形统计图中 _____，A组所在扇形的圆心角的大小是_____； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若长沙市共约有7万名九年级学生，请你估计全市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的九年级学生人数． 22. 为推进“数字乡村”建设，某村计划在山坡上修建灌溉水库，需测算山坡高度以确定水库容量．在技术人员指导下，利用无人机、测角仪等设备开展测量活动． 活动主题 测算山坡的高度（助力灌溉水库建设） 测量工具 无人机、秒表、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 是山脚的水平线，山的高 垂直于水平线 于点 ，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在山脚A处测出山顶B的仰角 ，山坡 的坡角；②用无人机测得从点沿着山坡 前进到达处；③在处测出山顶 的仰角．注：图中所有点均在同一平面内．（参考数据：， ） 请根据上面提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求坡面 的水平距离和垂直距离； （2）求山的高 ． 23. 在矩形中， ，点是对角线 上一动点，连接，作 交 于点 ，以，为边作矩形 ，连接线段 ，线段与对角线 交于点． （1）求证 ； （2）求 ； （3）当 时，求 的长度． 24. 如图，已知抛物线 ，过点，与 轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）点 是直线上方抛物线上一动点． a．当，求点 的坐标． b．连接线段，设直线交线段于点的面积为 的面积为，求最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $