第28章 微专题12 圆与锐角三角函数的综合-【金牌导学案】2025-2026学年九年级全一册数学同步课件（人教版）

该初中数学课件聚焦“圆与锐角三角函数的综合”，通过例题导入，衔接圆的切线判定、相似三角形等几何性质与锐角三角函数定义，搭建从几何推理到代数计算的学习支架。 其亮点在于分层设计（课堂学练与分层检测）和详细例题解析，结合几何直观、推理能力与运算能力，如通过相似三角形证明求三角函数值。学生能发展数学思维，教师可针对性教学，提升教学效率。

 第二十八章　 金牌导学案 锐角三角函数 1 课堂学练 2 分层检测 金牌导学案 金牌导学案 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 1.【例】如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB. （1）求证：DC为⊙O的切线． 证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC ， ∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠OAC , ∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AD，又AD⊥CD ， ∴∠OCE＝∠ADE＝90°，∴DC为⊙O的切线； 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 课堂学练 （2）若AD＝3，AB＝4，求cos ∠DAC的值． 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 课堂学练 2.如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD是⊙O的直径， AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD. （1）求证：DB平分∠ADC. 证明：∵AB＝BC， ∴ ＝ ， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴DB平分∠ADC； ⌒ AB ⌒ BC 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 课堂学练 （2）若BE＝2，ED＝4，求tan ∠ADB的值． ⌒ AB ⌒ BC 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 课堂学练 3.【例】如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使 DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E. （1）求证：AB＝AC. 证明：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， 又DC＝BD， ∴AB＝AC； 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 课堂学练 （2）求证：DE为⊙O的切线． 证明：连接OD， ∵AO＝BO，CD＝DB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， 又DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE为⊙O的切线； 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 课堂学练 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 课堂学练 4.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC. （1）求证：BD是⊙O的切线． 证明：∵OD⊥BC，∴∠D＋∠FBD＝90°， ∵∠D＝∠AEC＝∠ABC， ∴∠ABC＋∠FBD＝90°，∴OB⊥BD， ∴BD是⊙O的切线； 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 课堂学练 （2）求证：CE2＝EH·EA. ⌒ BE ⌒ CE 证明：连接AC， ∵OE⊥BC，∴ ＝ ， ∴∠ECH＝∠EAC， 又∠CEH＝∠AEC， ∴△CEH∽△AEC， ∴CE2＝EH·EA； 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 课堂学练 ⌒ BE ⌒ CE 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 课堂学练 5.如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙分别交AC，BC于点D， E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H. （1）求证：直线HG是⊙O的切线． 证明：∵D是AC的中点，O是AB的中点， ∴OD∥BC， 又DG⊥BC， ∴∠BGH＝∠ODH＝90°， ∴直线HG是⊙O的切线； 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 分层检测 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 分层检测 6.如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E. （1）求证：△DEC∽△DCA. 证明：∵AD是圆O的切线，∴∠DAB＝90°. ∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠DAC＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠ABC＝90°，∴∠DAC＝∠B. ∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB. ∵∠DCE＝∠OCB，∴∠DAC＝∠DCE， 又∠D＝∠D，∴△DEC∽△DCA； 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 分层检测 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 分层检测 7.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，P是AB的延长线一点，AD⊥PC，并交PC的延长线于点D, 且AC平分∠DAP，点E是 的中点，连接CE交AB于点F，连接BE. （1）求证：PD是⊙O的切线． ⌒ AB 证明：∵OA＝OC ，∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC平分∠PAD，∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD ， 又AD⊥PD，∴∠OCP＝∠D＝90°， ∴OC⊥PD，∴PD是⊙O的切线； 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 分层检测 （2）求证：△PCF是等腰三角形． 证明：连接OE， ∵点E是 的中点，∴ ＝ ， ∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∴∠OEF＋∠OFE＝90°， 由(1)得OC⊥PD，∴∠OCF＋∠PCF＝90°， ∵OE＝OC ，∴∠OEF＝∠OCF， ∴∠PCF＝∠OFE＝∠PFC，∴PC＝PF， ∴△PCF是等腰三角形； ⌒ AB ⌒ AE ⌒ BE 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 分层检测 ⌒ AE ⌒ BE 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 分层检测 8. 如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于点E.过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接BC, PB. （1）求证：PO∥BC. 证明：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵AB⊥PO， ∴∠ADO＝∠ABC＝90°， ∴PO∥BC； 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 分层检测 （2）求证：PB是⊙O的切线． 证明：连接OB， ∵OP⊥AB，∴AD＝BD， ∴OP是AB的垂直平分线，∴PB＝PA， 又OB＝OA，OP＝OP， ∴△OPB≌△OPA(SSS)，∴∠OBP＝∠OAP， ∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴OB⊥PB，∴PB是⊙O的切线； 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 分层检测 微专题12　圆与锐角三角函数的综合 分层检测 感谢聆听 $