第21章 微专题3 一元二次方程的综合应用-【金牌导学案】2025-2026学年九年级全一册数学同步课件（人教版）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的综合应用，涵盖互赠握手、传播增长、营销、面积、动点五大问题类型，通过生活实例导入，衔接方程解法与实际应用，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于以真实情境为载体，如病毒传播、水果销售等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，用数学思维推理运算，用数学语言建立模型。例如营销问题引导学生列方程解决盈利问题，提升应用意识，助力学生掌握解题方法，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

 第二十一章　 金牌导学案 一元二次方程 1．【例】同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会有（　　）　　　　　　　　　　　　　　　 A．7人 B．8人 C.9人 D．10人 互赠、握手问题 2.在一个商业酒会上，商户之间互送名片，共送出名片240张，则参加这个酒会的商户有（　　）　　　　　　　　　　　　　　　 A．12人 B．16人 C.15人 D．10人 B　 B　 微专题3　一元二次方程的综合应用 3．【例】某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后共有81个人被感染． （1）每轮感染中平均一个人会感染几个人？ 传播、增长率问题 解：(1)设每轮感染中平均一个人会感染x个人．依题意得 1＋x＋x(1＋x)＝81， 解得x1＝8，x2＝－10(不合题意，舍去). 答：每轮感染中平均一个人会感染8个人． 微专题3　一元二次方程的综合应用 （2）若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后，共有多少个人被感染？ (2)81×(1＋8)＝729(人). 答：若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后，共有729个人被感染． 微专题3　一元二次方程的综合应用 4.某品牌汽车第一季度的销售量为62.5万辆，第二季度的销售量下降了20%，经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第四季度的销售量达到了72万辆．求： （1）第二季度的销售量． 解：(1)62.5×(1－20%)＝62.5×80%＝50(万辆). 答：第二季度的销售量为50万辆． 微专题3　一元二次方程的综合应用 （2）第三、第四季度销售量的平均增长率． (2)设第三、第四季度销售量的平均增长率为x. 依题意得50×(1＋x)2＝72， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去). 答：第三、第四季度销售量的平均增长率为20%. 微专题3　一元二次方程的综合应用 5．【例】某水果批发商场经销一种高档水果，进价为20元/千克，如果以30元/千克为售价销售，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销售量相应减少10千克． （1）若以35元/千克的售价销售，求每天的利润为多少元． 营销问题 解：(1)根据题意得 (35－20)×[500－(35－30)×10]＝6 750(元)． 答：每天的利润为6 750元． 微专题3　一元二次方程的综合应用 （2）现该商场要保证每天盈利8 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ (2)设每千克涨价x元． 由题意得(30－20＋x)(500－10x)＝8 000. 整理得x2－40x＋300＝0， 解得x1＝30，x2＝10， ∵要使顾客得到实惠，∴x＝10. 答：每千克应涨价10元． 微专题3　一元二次方程的综合应用 6.由于季节性流感的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元． （1）求这两次价格上调的平均增长率． 解：(1)设这两次价格上调的平均增长率为x. 由题意得10(1＋x)2＝16.9， 解得x1＝0.3＝30%，x2＝－2.3(舍去). 答：这两次价格上调的平均增长率为30%. 微专题3　一元二次方程的综合应用 （2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，定价每降1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，每包应该降价多少元？ (2)设每包应该降价m元． 由题意得(10－m)(30＋5m)＝315， 解得m1＝1，m2＝3. ∵要让顾客获得更大的优惠，∴m＝3. 答：每包应该降价3元． 微专题3　一元二次方程的综合应用 7．【例】如图，某小区规划在一个长10 m，宽8 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若每块种草面积达到6 m2，则道路的宽为多少？ 面积问题 解：设道路的宽为x m， 由题意得(10－2x)(8－x)＝6×6， 解得x1＝11(舍去)，x2＝2. 答：道路的宽为2 m. 微专题3　一元二次方程的综合应用 8.如图，用长为43 m的篱笆，一面靠墙（墙的最大可用长度为20 m）围成一个中间隔有一道篱笆的矩形鸡舍ABCD，且在DC边上留两个1 m宽的小门． （1）若矩形鸡舍ABCD的面积为150 m2，求AD的长． 解：(1)设AD长为x米． 由题意得x(43＋1＋1－3x)＝150. 整理得x2－15x＋50＝0，解得x1＝5，x2＝10. 当x＝5时，AB＝45－3x＝30＞20，舍去； 当x＝10时，AB＝45－3x＝15，符合题意． 答：AD的长为10米． 微专题3　一元二次方程的综合应用 （2）矩形鸡舍ABCD的面积是否可能达到210 m2？请说明理由． (2)不可能，理由： 由题意得(43＋1＋1－3x)x＝210. 整理得x2－15x＋70＝0. ∵Δ＝(－15)2－4×1×70＝－55＜0， ∴方程没有实数根． ∴矩形鸡舍ABCD面积不可能达到210 m2. 微专题3　一元二次方程的综合应用 9．【例】如图，在长方形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A沿边AB向终点B以1 cm/s的速度运动，点Q从点B沿边BC向终点C以2 cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t s． （1）BQ＝　　　　　，PB＝　　　　　（用含t的代 数式表示）. 动点问题 2t cm (5－t) cm 微专题3　一元二次方程的综合应用 （2）当t为何值时，PQ的长度等于5 cm? (2)解：由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52， 解得t1＝0，t2＝2. ∴当t＝0 s或2 s时，PQ的长度等于5 cm. 微专题3　一元二次方程的综合应用 10.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝12 cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度运动，与此同时点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度运动．当点P运动到点B时，两点停止运动．设运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ的面积等于 6 cm2? 解：(1)由题意得BP＝5－t，BQ＝2t. ∴S△PBQ＝ (5－t)·2t＝6，即t2－5t＋6＝0， 解得t1＝2，t2＝3. ∴当t＝2 s或3 s，△PBQ的面积等于6 cm2； 微专题3　一元二次方程的综合应用 （2）是否存在这样的时刻t，使得S△PBQ＝ S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (2)不存在，理由： 当S△PBQ＝ S△ABC时， ·(5－t)·2t＝ × ×5×12， 即t2－5t＋15＝0. ∵Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×15＝－35＜0， ∴此方程没有实数根． ∴△PBQ的面积不可能是△ABC面积的一半． 微专题3　一元二次方程的综合应用 感谢聆听 $