浙江杭州北斗联盟2025-2026学年第二学期高二期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2025学年第二学期杭州北斗联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4.考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.设集合A={y=x-可，B={x-1<x<2,则AnB=() A.[0,2) B.(1,2) C.（-1,+o) D.[1,2） 2.设x,y∈R,则“x>y”是“lnx>lny”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.己知sin 则sin2a=() 7 1 A.- D. 8 B、7 16 C. 16 4.已知i为虚数单位，若复数(2-ai)(3+i)是纯虚数，则实数a等于() A.-2 B.2 C.-6 D.6 5,已知点P在圆(x-1)2+(y-1)2=1上，点Q在直线3x+4y+3=0上，则PQ的最小值为( A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知各项均为正数的等比数列{an},442=3,a4=27,则a4a=() A.7 B.8 C.9 D.10 高二数学学科试题第1页（共4页） (a>0)展开式中的常数项为15，则a的值() B. 9 C.3 D.9 8.已知函数f)=(nx+lna-)x+a,)x2-e有两个不同的极值点，则a的取值范围（） A.(0,) B.(0,e) C.(1,+o) D.（e,+oo) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选 错的得0分. 9.若实数a,b满足b<a<0,则() A.L<1 B.Ina2>Inb2 C.ab<a? D.a+b>0 10.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线交C于A、B两点，过F且垂直于AB的直线交 准线于E,则() A.准线方程为x=-1 B.AE>4B C.AB≥4 D.SAABE≥8 11.如图所示，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，E,F分别为AA,AB的中点，点M是正方 形ABBA内的动点，下列说法正确的是() A.DB,⊥平面CD,EF B.若CM∥平面CD,EF,则点M的轨迹长度为√2 C.四棱锥B,-CDEF的体积为3 D.四棱锥B,-CDEF的外接球的表面积为11π 高二数学学科试题第2页（共4页） 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知已知向量ā=(0,1)，b=(1,),若b1(6-2a,则x= 13.3名男生、3名女生站成一排，至少有两个女生相邻的站法种数为 (用数字作答). 14.已知e、e2分别是椭圆C和双曲线C2的离心率，F、F,是它们的公共焦点，M是它们的一 1.2 个公共点.且FM⊥F,M,则一+二的最大值为 ee2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2b-a)cosC=ccosA. (1)求C; (2)已知c=N万，△ABC的面积为3V5,求△ABC的周长。 4 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，G为PA中点，CDI∥AB,AD=DC=CB=2,AB=4,DP=√3. (1)证明：DG∥平面PCB: (2)若PD⊥底面ABCD,求直线PC与平面PAB的夹角正弦值. P G D 高二数学学科试题第3页（共4页） 17.已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn,且a2=2a+7,S4=16,数列{bn}满足 3b1+5b2+7b3+…(2n+1)bn=n.3m+ (1)求{an},{bn}的通项公式： (2)求数列{an·bn}的前n项和Bn 18.已知椭圆C:+ 京=1离心率为3,2,0)是椭圆C其中的一个顶点，直线：x=m少+1与 椭圆C交于A(x,y)、B(x2,y2)两点，P(t,O)(1≠0且1≠I)是x轴上的一点，直线AP、BP分别与直 线y=x交于C、D两点.(a>b) (1)求椭圆C的标准方程： (2)当t=-1,求SAMB即的的取值范围： (3)是否存在实数m,使得OCOD为定值，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 19.已知函数f(x)=xlnx-2ax2. (1)当a=0时，求函数(x)的单调区间： (2)若函数f(x)有两个零点x,x2(x1<x2); (①求a的取值范围： ()已知m>0,且xx2">e+m恒成立，求m的取值范围. 高二数学学科试题第4页（共4页）2025学年第二学期杭州北斗联盟期中联考 高二年级数学学科参考答案 命题学校：新安江中学 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 D B C B D 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选 对得6分，部分选对得部分分数，有错选得0分) 题号 9 10 11 选项 AD AC BCD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 13.576 14. 0答3也给分 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2b-a)cosC=ccosA. (1)求C: (2)已知c=万，△ABC的面积为3V5,求△ABC的周长 4 解：(1)由正弦定理得：(2sinB-sin 4)cosC=sin Ccos A................2分 ..2sin BcosC sin(A+C)=sin B, 由sinB≠0得cosC= ..4分 又因为C∈(0，)，解得C= 3 6分 2)sinC= 2 由余弦定理得：c2=a2+b2-2abc0sC三7=a2+b2-ab① .8分 高二数学学科答案第1页（共7页） 因为S-absinC-xa5及538ab3®a0分 1 24 联立①②得：Q+b=4.… ….12分 △ABC的周长=4+√7.13分 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，G为PA中点，CD∥AB,AD=DC=CB=2,AB=4,DP=√5 (1)证明：DG∥平面PCB: (2)若PD⊥底面ABCD,求直线PC与平面PAB的夹角正弦值. 解：证明：取PB中点H,连接GH,CH 在△PAB中，G、H分别为PA、PB的中点，GH为△PAB的中位线..1分 .∴GHI∥AB,CDI AB,.∴.GHICD .GH=CD=2,.四边形DGHC为平行四边形.。 3分 ∴.DG∥CH DG￠平面PCB CHS平面PCB DG∥平面PCB.6分 (2)在四边形ABCD中作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F,如图 .CD//AB,CD=AD=CB=2,AB=4, ∴.四边形ABCD为等腰梯形，.AE=BF=1 故DE=V5,BD=2V5,.AD2+BD2=AB2,AD⊥BD 如图，以D为原点建立空间直角坐标系 则A(2,0,0),B0,25,0）,P0,0,5),C(-1,5,0) …….9分 ∴直线PC的方向向量为PC=(-L,√5，-5)… ,…..10分 则AP=（-2,0,5),BP=(0,-25,5), 设平面PAB的法向量元=(x,y,z), D 高二数学学科答案第2页（共7页） i·AP=-2x+V5z=0 则有 BP=-2V3y+3=0 令2=2，则x=V5,y=1,即万=(51,2），..13分 直线PC与平面PAB的夹角为O ∴.sin0= PC.n2342 PC7⑧14' 即直线PC与平面PAB的夹角正弦值为便15分 17.己知等差数列{an}中，其前n项和为Sn,且a2=2a,+7,S4=16,数列{bn}满足 3h,+5b2+7b3+…(2n+10b,=n-3m+1. (1)求{an},{b,}的通项公式： (2)求数列{an·bn}的前n项和Bn· 解：(1){an}为等差数列， (a,+2d)2=2(a,+4d)+7 4a+6d=16 解得：41=1，d=2,0n=2n-1......4分 3h+5b,+7b,+…(2n+10b,=3+ 当n≥2时，有 3b+5b2+7b+…(2n-1)bn=(n-1)3” 两式相减得：bn=3”(n≥2).7分 当n=1时，3b=9,b=3bn=3"(n≥1).....8分 (2)由(1)知anbn=(2n-1)×3”, Bn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3", 3Bn=1×32+3×33+5×3+…+(2n-3)×3”+(2n-1)×3m1,.....9分 高二数学学科答案第3页（共7页） 两式相减得： -2Bn=3+2(32+32+3+…+3"）-(2n-1)×3m4 =3+2x9-3 1-3 -(2n-10×3=-6-(2n-2)×31...14分 B=3+(n-0×3.15分 18.已知椭圆C:+y ),(2,0)是椭圆C其中的一个顶点，直线：x=m+1与 2 B(x2,y2)两点，P(亿，0)(t≠0且t≠1)是x轴上的一点，直线AP、BP分别与直线y=x交于C、D两点. (1)求椭圆C的标准方程坐标； (2)当1=-1，求SABP的的取值范围； (3)是否存在实数m,使得OCOD为定值，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解g-5,4=25c=5,b=1 椭圆C的标准方程坐标十y=…… 4 x =my+1 (2)设A(x,片)，B(x2,y2)联立直线1与椭圆C的方程 4 +y2=1 (m2+4)y2+2my-3=0, -21m -3 .乃+2= m2+4’当h= m2+4.. ...6分 易得，△=16m2+48>0 -2m 12 Sm=5×2×y-y2= 4×-3=4Vm2+3 m2+4 m2+4m2+4 设Vm2+3=u(u>V5) 高二数学学科答案第4页（共7页） 4w4 则Sa48即+i +1.8分 u+- “u>5,u+4W5 u 3 .SABr∈(0V5)..… 10分 (3)直线4P方程为：y=上x-),联立y=x X-1 得：= yt 以 x=y+1,.C 片-x+1'以-x+1 (1-m)y+1-1'(1-m)y+t-1 同理可得：点D .2=y2+1, y2-x2+ty-x2+1 .D yt yat (1-m)y2+t-1'(1-m)y2+t-1 …………12分 -2m -3 由(2)知：月+= m2+4’当5= m2+4 .loc-lop=x-2 20-m)%+1-11-m)%+1-司 V2xe*2xp=2 5, =2 -+0-m-90+1-可0-m4+0--04- m2+4 62 0-m).-3 40-m-4- m2+4)r-(2m+8)1+2m2+2m+ .15分 612 要使 为常数 (m2+4)r2-(2m+8)t+2m2+2m+ 2m+8=0 需要 2m2+2m+1=0’m无解 不存在实数m,使得OCOD为定值.. .17分 19.己知函数f(x)=xnx-2ax2 (I)当a=0时，求函数f(x)的单调区间： (2)若函数f(x)有两个零点x,x(x,<x2): 高二数学学科答案第5页（共7页） ()求a的取值范围： ()已知m>0,且x2">e+m恒成立，求m的取值范围. 解：(1)当a=0时，f(x)=xlnx,f'(x)=lhx+l 1 令lnx+1=0,x= e .f(x)的单调减区间为 0,- 的单调增区间为[+…4分 (2)①)f(x)=0,即xlnx-2a2=0 Inx .∴.2a= ,,.,。5分 令g)=hx,g)=1-n ∴.g(x)在(0，e)单调递增，在(e,+o)单调递减 y x=e时，&(x)取极大值ge)= =+X e x→0，g(x)→-0.… x→+o0,g(x)-→0.… …8分 由图可知，要使g(x)有两个零点，0<2a< e 1 ∴.a的取值范围为0<a< 2e …9分 (i)由（①）知：0<x<e<x2 :2a=n五-1h,:lnx=2m,nx,=2am两式相减 得：2a= 3-nx(*)……….1 x2-X 己知xx2">e+m，两边取对数，即In(xx")>lne+m 化简得：lnx+mlnx2>1+m 即：2ax,+2max2>1+m,(*)代入 高二数学学科答案第6页（共7页） 即：n-h五x+血-n>1+m x2-x x2-x1 ln五n立 “五+山，m五>1+m 即：4-1立-1 点=>，上式等价为：ht+nm>I+m 令 X t-1t-1 即：(1+mt)lnt>(1+m)(t-1) 即：h+m000………14分 (1+mt) 令h0)=lnt-+m-Da>D (1+mt） ho=1+m=+mP-10+m2--Xm1-) Γ10+m02t1+m)2 t(1+mt)2 令h0=亿-m:=0,1= 1 t(1+mt) m @当m<1时，之>1,1L之，H0<0,M0单调递减 m m 注意到=0，：7大0=0，矛盾 ②当m≥1时，m2t-1>0,∴.t∈(1，+o),h()>0,h)单调递增 h(t)>h()=0恒成立 综上所述：m的取值范围：m≥1.17分 高二数学学科答案第7页（共7页）