专题08 函数实际应用4大题型（题型专练）（四川成都专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题08 函数实际应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01   一次函数：行程、工程、计费问题 题型02 反比例函数：实际情境应用 题型03 二次函数：销售利润、几何图形最值 题型04 函数图像信息提取应用题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一次函数：行程、工程、计费问题 典例引领 【典例01】（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【典例02】（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 方法透视 考向解读 四川中考高频应用题题型，多为解答题，常作为代数综合题出现： 1.行程问题：结合一次函数图像，分析两车/两人的运动过程，求速度、相遇时间、距离等。 2.工程问题：以工作量、工作效率为背景，列一次函数表示剩余工作量或工作进度。 3.计费问题：如电话套餐、打车费、阶梯水价/电价，列分段一次函数表示费用与用量的关系。 4.综合考查：常结合不等式求最值、方案选择，是四川中考的经典考法。 方法技能 1.解题通用步骤： · 审题：梳理题目中的变量关系，确定自变量和因变量； · 建模：根据等量关系列一次函数解析式（分段问题需注明各段自变量范围）； · 求解：利用函数性质或图像信息解决问题； · 作答：检验结果是否符合实际情境。 2.行程问题技巧： · 图像的斜率代表速度，水平段代表静止； · 相遇问题：两函数图像交点的横坐标为相遇时间，纵坐标为相遇时的距离。 3.计费问题技巧：找到分段的临界点，分别写出每一段的函数解析式，注意单位统一。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·一模）爱媛号柑橘（又名“阿蜜达”）是近年引进的新品种，由“红美人”与“春见”杂交育成．某农户种植了亩“阿蜜达”，去年处于盛果期，年产量平均/亩．为提高收益和风险可控，采用电商零售和地头统货两种销售方式，且电商零售销量不超过地头统货销量的．除去采果、运输等成本，电商零售净收入平均元/，地头统货净收入元/． (1)求销售总收入y（元）与地头统货销量（）之间的函数关系式； (2)若人工、化肥等种植成本为元/亩，求该农户去年种植“阿蜜达”的最大利润． 【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）龙年春节期间，全国各地形式多样的龙年文创产品火热上新．某文创店准备购进甲、乙两种“龙形”印章，每个印章的 进价和利润如表（单位：元） 甲种印章 乙种印章 单个进价 单个利润 2 3 (1)已知花费400元购进甲种印章的数量和花费800元购进乙种印章的数量相等，求的值； (2)该店准备拿出2000元全部用来购进这两种“龙形”印章，且购进甲种印章的数量不超过乙种印章数量的4倍，若印章能全部售完，问该店如何进货能使利润最大？最大利润是多少元？ 【变式03】（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 题型02 反比例函数：实际情境应用 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【典例02】（2025·四川南充·一模）随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度，当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是_______． 方法透视 考向解读 四川中考基础应用考点，多为选择、填空题，难度较低： 1.反比例关系建模：解决路程一定时速度与时间、面积一定时长与宽、压力一定时压强与受力面积等反比例关系问题。 2.实际情境计算：根据反比例函数解析式，求变量的值或取值范围。 3.综合应用：与几何图形结合，利用反比例函数解决面积问题。 方法技能 1.建模关键：找到题目中两个变量的乘积为定值的关系，即可设反比例函数解析式为y=xk​（k为定值）。 2.解题步骤： · 设：设反比例函数解析式； · 代：将已知数据代入求k的值； · 用：利用解析式解决实际问题，注意自变量的实际意义（如长度、时间为正数）。 3.常见模型： · 路程一定：s=vt，则v=s/t； · 面积一定：S=ab，则a=S/b； · 工程问题：工作量一定，工作效率与工作时间成反比。 变式演练 【变式01】（2026·山西大同·二模）如图，小明和爸爸在玩跷跷板．已知小明的体重为，距离跷跷板支点的距离为，设爸爸的体重为，距离跷跷板支点的距离为．若要使跷跷板保持平衡，则与应满足的关系式为（    ）． A． B． C． D． 【变式02】（2026·陕西西安·一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．如图所示，已知小雪的镜片焦距为米时，眼镜度数为500度，若小雪的镜片焦距为米，则此时眼镜的度数为________度． 【变式03】（2025·四川达州·二模）知识背景 当且时，因为，所以，从而（当时取等号）． 设函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． 应用举例 已知函数与函数，则当时，有最小值为． 解决问题 (1)已知函数与函数，当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 题型03 二次函数：销售利润、几何图形最值 典例引领 【典例01】（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【典例03】（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 方法透视 考向解读 四川中考压轴必考考点，多为解答题压轴题，是区分度最高的题型之一： 1.销售利润问题：以商品销售为背景，列二次函数表示利润与售价/销量的关系，求最大利润或最优售价。 2.几何图形最值问题：在直角坐标系或几何图形中，求线段长度、三角形/四边形面积的最大值或最小值。 3.综合应用：常与一次函数、相似三角形结合，考查建模、转化和计算能力。 方法技能 1.销售利润问题解题模板： · 设：设售价为x元（或涨价/降价x元）； · 列：利润=单件利润×销售量，据此列出二次函数解析式； · 求：利用二次函数的顶点坐标或对称轴求最值，注意自变量的取值范围（如销量不能为负）。 2.几何最值问题技巧： · 设：设关键变量（如某点的横坐标为x）； · 表：用含x的代数式表示出相关线段的长度； · 列：根据几何图形的面积公式或勾股定理，列出关于x的二次函数； · 求：利用二次函数的性质求最值，结合自变量的取值范围作答。 3.关键提醒：求最值时，若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，则需根据二次函数的增减性，在端点处取最值。 变式演练 【变式01】 （2026·四川成都·一模）如图，某校准备用62米的围栏修建一边靠墙的矩形花园，已知墙体的最大可用长度为30米，设的长为x米，矩形花园的面积为y平方米． (1)请用含有x的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围； (2)如果该矩形花园的面积为440平方米，求的长． 【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）某商店销售一批水果，已知成本为10元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍，在销售过程中发现，每天的销售量与销售单价（元）之间满足的一次函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当这批水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润为多少？ 【变式03】（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 题型04 函数图像信息提取应用题 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 【典例02】（2026·四川广安·二模）学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．甲、乙同学的速度和为10米/秒 B．甲、乙同学在8秒时相遇 C．甲同学的速度为5米/秒 D． 方法透视 考向解读 四川中考高频题型，多为选择、填空题，或作为解答题的背景，侧重考查读图和分析能力： 1.图像信息读取：从一次函数、分段函数图像中提取关键信息（如起点、转折点、终点坐标），解决实际问题。 2.情境分析：结合行程、工程、计费等情境，分析图像各段的含义，判断运动状态或变化过程。 3.计算应用：利用图像信息求速度、时间、费用、面积等，或列函数解析式。 方法技能 1.读图三步骤： · 看坐标轴：明确横轴和纵轴分别表示的实际意义； · 看关键点：起点、终点、转折点、交点的坐标及其实际含义； · 看趋势：图像的上升、下降、水平分别代表的变化状态。 2.解题技巧： · 行程问题中，图像的斜率表示速度，交点表示相遇； · 分段计费问题中，转折点代表收费标准变化的临界点； · 所有计算都要回归到图像的坐标和实际意义上，避免脱离情境计算。 3.避坑要点：注意单位换算，尤其是时间、速度、费用的单位；同时要注意自变量的取值范围，避免结果超出实际意义。 变式演练 【变式01】（2025·四川凉山·模拟预测）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校如图所示图像描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（    ） A．修车时间为 B．自行车发生故障时离家距离为 C．学校离家的距离为 D．到达学校时共用时间 【变式02】（2025·四川眉山·一模）已知动点H以每秒的速度，沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的面积关于时间的变化关系如图2，且， 下列说法：①动点H的速度为；②；③b的值为13；④在运动过程中，当的面积为时，点H的运动时间分别是和．其中正确的为________． 【变式03】（2025·四川德阳·一模）某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率）随充电时间x（分钟）变化的函数图象，下列说法正确的有________ ． ①本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量； ②本次充电40分钟，汽车电池含电率达到； ③本次充电持续时间是120分钟； ④若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时． 题●型●训●练 1．（2025·四川广元·模拟预测）“双十一”期间，某网店开展了促销活动，购买原价超过300元的商品，超过300元的部分可享受打折优惠．如果购买的商品实际付款（元）与原价（元）之间的函数关系如图所示，则超过300元的部分可享受的打折优惠是（   ） A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折 2．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·四川雅安·中考真题）我们规定，例如，，如果，那么的最大值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 4．（2025·四川眉山·二模）在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图像与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，随的增大而增大； ③若点在此函数图像上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图像向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②④ C．②③④ D．③④ 5．（2025·四川南充·三模）某蓄电池的电压为定值，电流与电阻成反比例关系，已知电阻时，电流，若电阻增加到时，则电流减少________． 6．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 7．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 8．（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 9．（2026·四川广安·二模）第九届亚洲冬季运动会以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，于2025年2月7日在哈尔滨隆重开幕．吉祥物滨滨和妮妮在市场热销，某特许商店准备购进吉祥物滨滨和妮妮，已知每件滨滨的进价比每件妮妮的进价贵10元．用360元购买滨滨的件数恰好与用300元购买妮妮的件数相同． (1)求滨滨、妮妮每件的进价分别是多少元? (2)计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过2650元，若滨滨的售价为每件80元，妮妮的售价为每件65元，则这50件商品全部售出后获得的最大利润是多少? 10．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 函数实际应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01   一次函数：行程、工程、计费问题 题型02 反比例函数：实际情境应用 题型03 二次函数：销售利润、几何图形最值 题型04 函数图像信息提取应用题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一次函数：行程、工程、计费问题 典例引领 【典例01】（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是． (2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得， ∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 【典例02】（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)合作社每天芒果的销售利润为元 (2)芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出不等式，是解题的关键： （1）求出时的函数值，根据总利润等于单件利润乘以销量，列式计算； （2）根据每天的销售量不少于300箱，列出不等式求出的范围，结合芒果的售价不低于86元/箱，求出范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； ∴合作社每天芒果的销售利润为（元）； 答：合作社每天芒果的销售利润为元； （2）由题意，得：， 解得：， 又∵， ∴． 故芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间． 方法透视 考向解读 四川中考高频应用题题型，多为解答题，常作为代数综合题出现： 1.行程问题：结合一次函数图像，分析两车/两人的运动过程，求速度、相遇时间、距离等。 2.工程问题：以工作量、工作效率为背景，列一次函数表示剩余工作量或工作进度。 3.计费问题：如电话套餐、打车费、阶梯水价/电价，列分段一次函数表示费用与用量的关系。 4.综合考查：常结合不等式求最值、方案选择，是四川中考的经典考法。 方法技能 1.解题通用步骤： · 审题：梳理题目中的变量关系，确定自变量和因变量； · 建模：根据等量关系列一次函数解析式（分段问题需注明各段自变量范围）； · 求解：利用函数性质或图像信息解决问题； · 作答：检验结果是否符合实际情境。 2.行程问题技巧： · 图像的斜率代表速度，水平段代表静止； · 相遇问题：两函数图像交点的横坐标为相遇时间，纵坐标为相遇时的距离。 · 计费问题技巧：找到分段的临界点，分别写出每一段的函数解析式，注意单位统一。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·一模）爱媛号柑橘（又名“阿蜜达”）是近年引进的新品种，由“红美人”与“春见”杂交育成．某农户种植了亩“阿蜜达”，去年处于盛果期，年产量平均/亩．为提高收益和风险可控，采用电商零售和地头统货两种销售方式，且电商零售销量不超过地头统货销量的．除去采果、运输等成本，电商零售净收入平均元/，地头统货净收入元/． (1)求销售总收入y（元）与地头统货销量（）之间的函数关系式； (2)若人工、化肥等种植成本为元/亩，求该农户去年种植“阿蜜达”的最大利润． 【答案】(1) (2)元 【分析】（）先根据亩柑橘的总产量、地头统货销量求出电商零售销量，再结合电商销量不超过地头销量的条件确定的取值范围，最后根据两种销售方式的净收入列出销售总收入与的函数关系式； （）先计算出亩柑橘的总种植成本，再用销售总收入减去总种植成本得到利润关于的一次函数，结合一次函数的单调性，在的取值范围内取最小值求出最大利润． 【详解】（1）解：∵总产量为，地头统货销量为， ∴电商零售销量为， ∵电商零售销量不超过地头统货销量的， ∴ 解得： ∵， ∴的取值范围是， 地头统货收入元，电商零售收入元， 因此，销售总收入： ； （2）解：设利润为， 总种植成本为：元 则， 代入得： ∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时， 取得最大值： 因此该农户去年种植的最大利润为元． 【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）龙年春节期间，全国各地形式多样的龙年文创产品火热上新．某文创店准备购进甲、乙两种“龙形”印章，每个印章的 进价和利润如表（单位：元） 甲种印章 乙种印章 单个进价 单个利润 2 3 (1)已知花费400元购进甲种印章的数量和花费800元购进乙种印章的数量相等，求的值； (2)该店准备拿出2000元全部用来购进这两种“龙形”印章，且购进甲种印章的数量不超过乙种印章数量的4倍，若印章能全部售完，问该店如何进货能使利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)该文创店购进甲种印章266个，乙种印章67个时，能使利润最大，最大利润是733元 【分析】（1）根据花费400元购进甲种印章的数量和花费800元购进乙种印章的数量相等，列出相应的分式方程，求解即可得到答案； （2）由（1）知，甲种印章单个进价为元，乙种印章单个进价为元，设利润为元，甲种印章购进个，则乙种印章购进个，根据题意，可以得到利润的函数关系，然后根据购进甲种印章的数量不超过乙种印章数量的4倍，列不等式求出，再由一次函数的图象与性质，可得该文创店最大利润情况． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 则的值为； （2）解：由（1）知，甲种印章单个进价为元，乙种印章单个进价为元， 设利润为元，甲种印章购进个，则乙种印章购进个， ， ∵， ∴随的增大而增大， ∵购进甲种印章的数量不超过乙种印章数量的4倍， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴当时，取得最大值，最大值， 此时，乙种印章有个， 答：该文创店购进甲种印章266个，乙种印章67个时，能使利润最大，最大利润是733元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，涉及解分式方程、求一次函数表达式、解一元一次不等式等知识，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 【变式03】（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元 (2)，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设篮球的单价为x元，则足球的单价为元，根据用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同建立方程求解即可； （2）设购买篮球x个，则购买足球个，根据总费用等于购买篮球的费用加上购买足球的费用求出y与x的函数关系式，根据足球的数量不能多于篮球数量的列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质确定y最小时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； （2）解：由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且x为整数 ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y有最小值，此时， 答：，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 题型02 反比例函数：实际情境应用 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴电流与电阻成反比， ∴电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而减小； 故答案为：减小 【典例02】（2025·四川南充·一模）随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度，当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是_______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数的应用，设，求出，当时，代入计算，即可求解；理解实际意义，并能用待定系数法求出解析式是解题的关键． 【详解】解：设， ， 解得：， 当时 （）， 故答案为：． 方法透视 考向解读 四川中考基础应用考点，多为选择、填空题，难度较低： 1.反比例关系建模：解决路程一定时速度与时间、面积一定时长与宽、压力一定时压强与受力面积等反比例关系问题。 2.实际情境计算：根据反比例函数解析式，求变量的值或取值范围。 3.综合应用：与几何图形结合，利用反比例函数解决面积问题。 方法技能 1.建模关键：找到题目中两个变量的乘积为定值的关系，即可设反比例函数解析式为y=xk​（k为定值）。 2.解题步骤： · 设：设反比例函数解析式； · 代：将已知数据代入求k的值； · 用：利用解析式解决实际问题，注意自变量的实际意义（如长度、时间为正数）。 3.常见模型： · 路程一定：s=vt，则v=s/t； · 面积一定：S=ab，则a=S/b； · 工程问题：工作量一定，工作效率与工作时间成反比。 变式演练 【变式01】（2026·山西大同·二模）如图，小明和爸爸在玩跷跷板．已知小明的体重为，距离跷跷板支点的距离为，设爸爸的体重为，距离跷跷板支点的距离为．若要使跷跷板保持平衡，则与应满足的关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据小明的体重与小明到跷跷板支点的距离之积等于爸爸的体重与小明爸爸到跷跷板支点的距离之积求解即可． 【详解】解：由题意，得 ∴ 故选C． 【变式02】（2026·陕西西安·一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．如图所示，已知小雪的镜片焦距为米时，眼镜度数为500度，若小雪的镜片焦距为米，则此时眼镜的度数为________度． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式，设，将代入计算即可求解． 【详解】解：设， 将代入中，得， 解得：， ， 当，则， 则此时眼镜的度数为度， 故答案为：． 【变式03】（2025·四川达州·二模）知识背景 当且时，因为，所以，从而（当时取等号）． 设函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． 应用举例 已知函数与函数，则当时，有最小值为． 解决问题 (1)已知函数与函数，当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 【答案】(1)当时，有最小值，最小值为6； (2)当时，w有最低成本，最低成本为元．． 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，，当时，有最小值，即可求解； （2）设设备平均每天的租赁使用成本为元，依题意得，根据，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴当时，有最小值， ∴时，有最小值，最小值为； （2）解：设设备平均每天的租赁使用成本为元，依题意得： ， ∵ ， ∴， ∴当时，w有最小值， ∴或（舍去）时，w有最低成本，最低成本为元． 题型03 二次函数：销售利润、几何图形最值 典例引领 【典例01】（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】(1)三边长分别为 (2)三边长分别为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 【典例03】（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； (2)至少需要购进B款纪念品200个 (3)，W的最大值为4500 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 方法透视 考向解读 四川中考压轴必考考点，多为解答题压轴题，是区分度最高的题型之一： 1.销售利润问题：以商品销售为背景，列二次函数表示利润与售价/销量的关系，求最大利润或最优售价。 2.几何图形最值问题：在直角坐标系或几何图形中，求线段长度、三角形/四边形面积的最大值或最小值。 3.综合应用：常与一次函数、相似三角形结合，考查建模、转化和计算能力。 方法技能 1.销售利润问题解题模板： · 设：设售价为x元（或涨价/降价x元）； · 列：利润=单件利润×销售量，据此列出二次函数解析式； · 求：利用二次函数的顶点坐标或对称轴求最值，注意自变量的取值范围（如销量不能为负）。 2.几何最值问题技巧： · 设：设关键变量（如某点的横坐标为x）； · 表：用含x的代数式表示出相关线段的长度； · 列：根据几何图形的面积公式或勾股定理，列出关于x的二次函数； · 求：利用二次函数的性质求最值，结合自变量的取值范围作答。 3.关键提醒：求最值时，若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，则需根据二次函数的增减性，在端点处取最值。 变式演练 【变式01】 （2026·四川成都·一模）如图，某校准备用62米的围栏修建一边靠墙的矩形花园，已知墙体的最大可用长度为30米，设的长为x米，矩形花园的面积为y平方米． (1)请用含有x的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围； (2)如果该矩形花园的面积为440平方米，求的长． 【答案】(1) (2)的长为20米． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，一元一次不等式组的应用． （1）根据围栏为62米，宽为x米，表示出矩形长为米，根据矩形面积列出关系式，根据，围墙长30米，列出关于x的不等式，求出自变量x的取值范围即可； （2）根据矩形花园的面积为440平方米，即，代入二次函数解析式，列出方程，解方程，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵围栏为62米，宽为x米， ∴长为米， ∴，即， ∵围墙长30米， ∴ ∴， 解得：， ∴矩形的面积； （2）解：由题意得：， 解得：，， 由（1）结论可知：， ∴， ∴的长为20米． 【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）某商店销售一批水果，已知成本为10元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍，在销售过程中发现，每天的销售量与销售单价（元）之间满足的一次函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当这批水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当这批水果的销售单价为20元时，该商家获得的利润最大，最大利润为360元 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的应用，正确利用总利润 销量每件的利润得出函数关系式是解题关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）设利润为z，列出z与x之间的关系式，利用二次函数增减性，结合x的范围即可求出z的最值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， ∵图象过，， ∴， 解得． 与x之间的函数关系式为． （2）解：设利润为z，由题意得， ． ， 故当时，z随x的增大而增大， 由题意得， ∴当时，z有最大值， 此时， 故销售单价定为20元时，该商家获得的利润最大，最大利润为360元． 【变式03】（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)3元 (3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； （2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. （3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 题型04 函数图像信息提取应用题 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 【答案】C 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误； 小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误； 小明家到书店的距离为；故选项C正确； 小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误； 故选C． 【典例02】（2026·四川广安·二模）学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．甲、乙同学的速度和为10米/秒 B．甲、乙同学在8秒时相遇 C．甲同学的速度为5米/秒 D． 【答案】C 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲、乙同学在8秒时相遇，甲秒跑完米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑秒钟的路程之和为米，从而可以求得乙的速度，然后用除以乙的速度，即可得到的值． 【详解】解：由图象可得，甲、乙同学在8秒时相遇，故B正确， 甲的速度为(米秒)， 故C错误， 乙的速度为(米秒)， ∴甲、乙同学的速度和为10米/秒，故A正确， ∴，故D正确． 方法透视 考向解读 四川中考高频题型，多为选择、填空题，或作为解答题的背景，侧重考查读图和分析能力： 1.图像信息读取：从一次函数、分段函数图像中提取关键信息（如起点、转折点、终点坐标），解决实际问题。 2.情境分析：结合行程、工程、计费等情境，分析图像各段的含义，判断运动状态或变化过程。 3.计算应用：利用图像信息求速度、时间、费用、面积等，或列函数解析式。 方法技能 1.读图三步骤： · 看坐标轴：明确横轴和纵轴分别表示的实际意义； · 看关键点：起点、终点、转折点、交点的坐标及其实际含义； · 看趋势：图像的上升、下降、水平分别代表的变化状态。 2.解题技巧： · 行程问题中，图像的斜率表示速度，交点表示相遇； · 分段计费问题中，转折点代表收费标准变化的临界点； · 所有计算都要回归到图像的坐标和实际意义上，避免脱离情境计算。 3.避坑要点：注意单位换算，尤其是时间、速度、费用的单位；同时要注意自变量的取值范围，避免结果超出实际意义。 变式演练 【变式01】（2025·四川凉山·模拟预测）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校如图所示图像描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（    ） A．修车时间为 B．自行车发生故障时离家距离为 C．学校离家的距离为 D．到达学校时共用时间 【答案】A 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 根据横轴表示时间，纵轴表示离家的路程来判断所用的时间及相应的路程即可． 【详解】解：A．第分钟开始修车，第分钟修车完毕，修车时间为分钟，错误，符合题意； B．第分钟时发生故障，此时距家米，正确，不符合题意； C．第分钟到达离家米的地方，故学校离家的距离为米，正确，不符合题意； D．由横轴的时间可得到达学校时共用时间分钟，正确，不符合题意． 故选：A． 【变式02】（2025·四川眉山·一模）已知动点H以每秒的速度，沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的面积关于时间的变化关系如图2，且， 下列说法：①动点H的速度为；②；③b的值为13；④在运动过程中，当的面积为时，点H的运动时间分别是和．其中正确的为________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查动点函数的图象，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义是解决本题的关键． 先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法即可． 【详解】解：当点H在上时，如图所示，   ， ， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，    ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线，   ，点H从点C点D运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，   ，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示，   ，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是， 故①正确， 时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴， 故②错误， ，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴， 故③正确． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时， 故④正确． 故答案为：①③④． 【变式03】（2025·四川德阳·一模）某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率）随充电时间x（分钟）变化的函数图象，下列说法正确的有________ ． ①本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量； ②本次充电40分钟，汽车电池含电率达到； ③本次充电持续时间是120分钟； ④若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了由函数图象读取信息，仔细观察函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答即可 【详解】解：①由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，符合题意； ②由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，符合题意； ③由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，符合题意； ④若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时， 到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，不符合题 故答案为：①②③． 题●型●训●练 1．（2025·四川广元·模拟预测）“双十一”期间，某网店开展了促销活动，购买原价超过300元的商品，超过300元的部分可享受打折优惠．如果购买的商品实际付款（元）与原价（元）之间的函数关系如图所示，则超过300元的部分可享受的打折优惠是（   ） A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键． 设超过300元的部分可享受的打折优惠打折，那么，然后代入，即可得出答案． 【详解】解：设超过300元的部分可享受的打折优惠打折，那么 代入，得 解得，即打八折， 故选：A． 2．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，化成顶点式的方法是解题的关键． ①当时，求出的值即可判断；②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断；③根据函数的性质即可判断． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有 2 个， 故选：C． 3．（2025·四川雅安·中考真题）我们规定，例如，，如果，那么的最大值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一次函数和二次函数的增减性问题，读懂题意，并按照题意分类讨论求出最值是解题的关键． 通过比较函数和的大小关系，确定的取值，并求其最大值． 【详解】解：设，． 令，得，即，解得或． 当或时，， ∴； 时，随着的增大而增大，当时，， ∴； ，随着的增大而减小，当时，， ∴． ∴当或时，的最大值为． 当时，， ∴； 上，随着的增大而增大， ∴当时，， ∴， 综上所述，的最大值为． 故选：C． 4．（2025·四川眉山·二模）在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图像与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，随的增大而增大； ③若点在此函数图像上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图像向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②④ C．②③④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图像与性质，一次函数图像和数形结合思想，掌握以上知识是解答本题的关键． 结合函数图像逐个分析，进行作答，即可求解． 【详解】解：由图像可得， 当时，或，故①错误； 当时，随的增大而增大；故②正确； ∵， ∴点在一次函数的图像上， 如图： 由图像可得，有3个交点， ∴点在此函数图像上，则符合要求的点有3个，故③错误； ∵函数经过点， ∴将函数图像向右平移2个或4个单位长度，经过原点，故④正确． 综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②④． 故选：B． 5．（2025·四川南充·三模）某蓄电池的电压为定值，电流与电阻成反比例关系，已知电阻时，电流，若电阻增加到时，则电流减少________． 【答案】/0.6 【分析】本题考查反比例函数的应用，由，结合，求出的值，进而得到函数表达式，把代入解析式求出，再计算即可． 【详解】解：由题意，， 即蓄电池的电压是， 与的函数关系式为， 当时，（A）， （A）， 电流减少， 故答案为：0.6． 6．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 7．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 【答案】(1)A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元 (2)共有6种购买方案，最低费用为900元 【分析】本题考查了运用二元一次方程组解应用题，以及综合运用一次函数和一元一次不等式设计方案问题．根据题意列出方程组，不等式组以及一次函数的关系式是解题的关键． （1）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．先根据题意列不等式组求出a的范围为，再根据题意列出w与a的函数关系式为，根据一次函数的增减性可得时，w有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元． 则， 得． 答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元． （2）解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为袋，总费用为w元． 则， 解得， 又a为正整数， ，11，12，13，14，15． 由题意得． ， w随a的增大而增大， 时，w有最小值，最小值为（元）． 答：共有6种购买方案，最低费用为900元． 8．（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】(1)A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元 (2)当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元，根据用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元，根据购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． （2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买， ． ， ， 随m的增大而减小 当时，W取最小值，， 此时， 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元． 9．（2026·四川广安·二模）第九届亚洲冬季运动会以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，于2025年2月7日在哈尔滨隆重开幕．吉祥物滨滨和妮妮在市场热销，某特许商店准备购进吉祥物滨滨和妮妮，已知每件滨滨的进价比每件妮妮的进价贵10元．用360元购买滨滨的件数恰好与用300元购买妮妮的件数相同． (1)求滨滨、妮妮每件的进价分别是多少元? (2)计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过2650元，若滨滨的售价为每件80元，妮妮的售价为每件65元，则这50件商品全部售出后获得的最大利润是多少? 【答案】(1)滨滨每件的进价是60元，妮妮每件的进价是50元 (2)这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元 【分析】（1）设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元，则可得：，解方程并检验可得答案； （2）设购买m件滨滨，则购买件妮妮，根据投入的经费不超过2650元，有，即可求得的取值范围，设全部售出后获得的利润是w元，，由一次函数性质可得这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元． 【详解】（1）解：设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ∴， ∴滨滨每件的进价是60元，妮妮每件的进价是50元； （2）解：设购买m件滨滨，则购买件妮妮， ∵投入的经费不超过2650元， ∴， 解得， 设全部售出后获得的利润是w元， ∴， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴时，w取最大值，最大值为（元）， 答：这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元． 10．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【答案】【猜想】：图见解析，一次，二次；【检验】：，，验证见解析；【应用】：最大为 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键： 猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可； 检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可； 应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可． 【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下： 猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示； 故答案为：一次，二次； 【检验】：设，把代入，得， 解得：， ∴， 验证：当时，，符合题意； 设，把点，代入，得， 解得， ∴， 验证：当时，，符合题意； 【应用】：∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，最大为； 故最大为． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $