第1周小卷 三角形的证明及其应用考点通关卷-【全能练考卷】2025-2026学年八年级下册数学周末小卷（北师大版·新教材）

周未小卷心周小卷、单元卷、期中卷、期末卷 第1周小卷考点通关卷 第一章（教材卫，一P9)》 时间：100分钟满分：120分 重点知识 三角形内角和、外角：三角形三个内角的和等于180°.三角形 的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和： T 等腰三角形：有两个角相等的三角形是等腰三角形，等腰三角 形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合 等边三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等 于60° 直角三角形：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的一半.有两个角互余的三角形是直角 三角形.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 一、选择题（本题共计10小题，每小题3分，共30分） 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2,则AB的长是 A.1 B.2 C.4 D.8 2.下列结论正确的是 A.两个等边三角形全等 除 B.有一个锐角相等的两个直角三角形全等 C.有两边及一个角对应相等的两个三角形全等 D.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 3.已知等腰三角形有一个角为50°，则这个等腰三角形底角的度 数为 （) A.65° B.65°或80°C.50或80°D.50或65 4.用反证法证明“若a<b<0,则a2>b2”时，第一步应假设 ) A.a≤b B.a≥b C.a2≤b2 D.a2≥b2 5.如图，AC=AD,BC=BD,则 A.CD垂直平分AB B.AB垂直平分CD C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对 第5题图 第7题图 6.在三角形中，到三边距离相等的点是它的 A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高线的交点 D.三边垂直平分线的交点 7.如图，在等边三角形ABC中，D是边AC上一点，AE是BC边 上的中线，AE,BD相交于点F,若∠ADB=95°，则∠AFB的度 数为 ( A.105° B.115° C.125o D.135° 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为 半径画弧，分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆 心，以大于)MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP 交BC于点D,若CD=5,AB=18,则△ABD的面积是(（ A.15 B.30 C.45 D.60 第8题图 第9题图 9.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AE⊥BD,垂足为E, 且AB=5,AE=3,BC=11,则∠BAE与∠C的关系为（ A.∠BAE=3∠C B.∠BAE+2∠C=90° C.∠BAE=2∠C D.2∠BME+∠C=0° 10.如图，在△ABC中，M,N分别是边AB,BC上的点，将△BMN 沿MN折叠，使点B落在点B'处.若∠B=35°，∠BNM=28°， 则∠AMB'的度数为 A.30° B B.37° C.54° D.63° 二、填空题（本题共计5小题，每小题3分，共15分） 11.在△ABC中，∠C=50°，∠A与∠B的度数比是1：3，则∠A 的度数是 12.命题“如果a2=b2,那么a=b”的逆命题是 该命题的逆命题是 命题（填“真”或“假”） 13.如图，已知点O为∠CAB与∠ACD 的平分线的交点，OE⊥AC于点E, 若OE=2,则，点O到AB的距离与点 O到CD的距离之和是 14.[选材新风向·三等分角]“三等分角”大约是在公元前5 世纪由古希腊人提出来的，借助如图①所示的“三等分角 仪”能三等分任一角.这个三等分角仪（其示意图如图②）由 两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转 动，C点固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若 ∠BDE=75°，则∠CDE的度数是 ② OC B 第14题图 第15题图 15.(重点班重难题)如图，∠A0B=70°，点C是边OB上的一个 定点，点P在角的另一边OA上运动，若△COP是等腰三角 形，则∠OCP= 三、解答题（本题共计9小题，共75分） 16.(7分)如图，△ABC是等边三角形，点D,E在边AB,AC的延 长线上，连接DE,且DE∥BC.证明：△ADE是等边三角形. D 八年级·数学(BS)·下册1 17.(7分)用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同 旁内角不互补，那么这两条直线不平行. 已知：如图，直线1,2被直线L3所截，∠1+∠2≠180. 求证：直线1与2不平行 证明：假设直线l1 12, 则∠1+∠2 180°（两直线平行，同旁内角互补）， 这与 矛盾，故 】 不成立， 所以 人2 18.(重点班重点题)(8分)如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且BE=CF.求证： AB=AC. 19.(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC交 AC于点D.求证：点D在BC的垂直平分线上， 2八年级·数学(BS)·下册 20.(8分)如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CF与∠ABC的 平分线BG相交于点O.求证：点O在∠CAE的平分线上. ，E 21.(8分)如图，在△ABC中，线段AE是BC边上的高，AD是 ∠BAC的平分线，∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的大小. 22.[中考新角度·尺规作图](9分)如图，在△ABC中，∠B= 30°，∠C=40°. (1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D; ②连接AD,作∠CAD的平分线交BC于点E.（保留作图 痕迹，不写作法) (2)根据(1)所作的图，求∠DAE的度数. 23.（10分)我们已经学习过角平分线的性质定理，即角平分线 上的点到角两边的距离相等 如图，已知△ABC的角平分线BD交边AC于点D. 求正 (2)求江6-0 (3)如果BC=4,AB=6,AC=5,那么CD= 24.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC,作AB边的垂直平分线 交直线BC于点M,交AB于点N. 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A=40°，则∠NMB= (2)如图2，若∠A=70°，则∠NMB= (3)如图3，若∠A=120°，则∠NMB= (4)由(1)(2)(3)问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系 吗？写出猜想，并证明.参考答案 第1周小卷考点通关卷 1.C【解析】如图，在Rt△ABC 6 中，∠A=30°，BC=2,∴.AB= 2BC=2×2=4.故选C. ct 2.D【解析】判断两个三角形全等，必须满足一 组边相等，所以A,B选项错误；两边及其夹角 对应相等的两个三角形全等，所以C选项错 误；斜边和一条直角边分别相等的两个直角三 角形全等，所以D选项正确.故选D. 3.D【解析】分两种情况：①当50°的角为等腰三 角形的顶角时，底角的度数为(180°-50)÷2= 65°：②当50°的角为等腰三角形的底角时，其 底角为50°.故这个等腰三角形底角的度数为 50°或65°.故选D. 4.C【解析】用反证法证明“若a<b<0,则a2> b2”的第一步应假设a2≤b2.故选C. 5.B【解析】在△ABC和△ABD中， AC=AD BC=BD,∴.△ABC△ABD(SSS), AB =AB, ∴.∠BAC=∠BAD,即AB是∠CAD的平分线. 又.AC=AD,.AB垂直平分CD.故选B, 6.B【解析】三角形三个内角的平分线的交点 到三角形三边的距离相等.故选B. 7.C【解析】，△ABC是等边三角形，∴.∠BAC= 60°.，AE是BC边上的中线，∴.∠CAE= 号∠BAC=30°，∴∠AFB=∠CAE+∠ADB由 30°+95°=125°.故选C 8.C【解析】如图，作 DE⊥AB于点E.由尺 规作图可知，AD是 ∠BAC的平分线. .∠C=90°，DE⊥AB,.DE=CD=5,∴.S△ABD= 24B·DE=2×18×5=45.故选C 9.C【解析】如图，延 长AE交BC于点F. ,BD为∠ABC的平 分线，AE⊥BD, ∴.∠ABE=∠FBE,∠AEB=∠FEB=90°.在 r∠ABE=∠FBE, △ABE和△FBE中，BE=BE, L∠AEB=∠FEB, ∴.△ABE≌△FBE(ASA),∴.FB=AB=5,FE= AE=3,∠BAE=∠BFE,.AF=6.BC=11, ∴.CF=BC-FB=6,∴.AF=CF,∴.∠CAF= ∠C,∴.∠AFB=∠CAF+∠C=2∠C,∴.∠BAE= ∠AFB=2∠C.故选C. 1O.C【解析】.△BMN沿MN折叠，使点B落 在点B'处，∴.△BMW≌△B'MN,.∠BMN= ∠BMN..·∠B=35°，∠BNM=28°，.∠BMN= 180°-35°-28°=117°，∠AMN=35°+28°= 63°，.∠AMB'=∠B'MN-∠AMW=117°- 63°=54°.故选C. 11.32.5°【解析】设∠A的度数为x,则∠B的 度数为3x,x+3x+50°=180°，解得x=32.5°. 故答案为32.5. 12.如果a=b,那么a2=b2;真【解析】命题“如 果a2=b2,那么a=b”的条件是a2=b2,结论 是a=b,故逆命题是如果a=b,那么a2=b2, 为真命题.故答案为：如果a=b,那么a2= b2;真. 13.4【解析】如图，作0G1 AB于点G,OH⊥CD于点 H..:点O为∠CAB与 ∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC,∴.OG= 0E=2,0H=0E=2,∴.0G+0H=4,即点0 到AB的距离与点O到CD的距离之和是4. .∠B=∠C, 故答案为4. ..AB=AC. 14.80°【解析】.0C=CD=DE,∴.∠0= 19.证明：.BD平分∠ABC, ∠CDO,∠DCE=∠DEC..'∠DCE=∠O+ .∠ABC=2∠DBC. ∠CD0=2∠O,.∠DEC=2∠O,∴.∠BDE= .∠ABC=2∠C, ∠0+∠DEC=3∠0=75°，∴.∠0=25°， ∴.∠C=∠DBC, ∴.∠DCE=∠DEC=50°，.∠CDE=180°- .DB=DC, 2∠DCE=180°-2×50°=80.故答案 .点D在BC的垂直平分线上 为80° 20.证明：如图，连接A0, 15.55°或40°或70°【解析】如 过点O作OH⊥AC于 G D 图，可分以下3种情况： 点H,OP⊥AE于点P, ①当OC=OP1时，，∠A0B= 0Q⊥CD于点Q. B D 70,.∠0CP,=180°-70°= 由角平分线的性质可知，OP=0Q,OQ=OH, 2 .∴.OP=0H. 55;②当C0=CP2时，∠A0B=70°， 在Rt△AHO和Rt△APO中， .∠0CP2=180°-70°×2=40°；③当P30= rOA=0A, P3C时，，∠A0B=70°，∴.∠0CP3=70°.综上 LOH=OP, 所述，∠0CP=55°或40°或70°.故答案为55° ∴.Rt△AHO≌Rt△APO(HL), 或40°或70°， ∴.∠OAH=∠OAP, 16.证明：.△ABC是等边三角形， ∴.点O在∠CAE的平分线上. .∠A=∠ABC=∠ACB=60. 21.解：：在△ABC中，线段AE是BC边上的高， .BC∥DE .∴.AE⊥BC,.∴.∠AEC=90°. ∴.∠D=∠ABC=60°，∠E=∠ACB=60°， :∠B=40°，∠C=60°， .∠A=∠D=∠E=60°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，∠CAE= ∴.△ADE是等边三角形 90°-∠C=30° 17.证明：假设直线1∥12， AD是∠BAC的平分线， 则∠1+∠2=180（两直线平行，同旁内角互补）， 这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设不成立， LCHD=∠BMD=7BMC=40, 所以直线1与2不平行. .∠DAE=∠CAD-∠CAE=10°， 18.证明：D是BC的中点，∴.BD=CD ∴.∠DAE的度数为10°. DE⊥AB,DF⊥AC 22.解：(1)如图即为所求. ∴.△BED和△CFD都是直角三角形 [BD=CD, 在Rt△BED和Rt△CFD中， BE=CF, .Rt△BED≌Rt△CFD(HL), 八年级·数学(BS)·下册33 (2).DF垂直平分线段AB, .DB=DA, .∠DAB=∠B=30°. .:∠C=40°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°- 40°=110°， ∴.∠CAD=∠BAC-∠DAB=110°-30°=80°. .·AE平分∠CAD, ∠DAE=2∠CM0=2×80°=40 23.（1)证明：如图，作DF⊥BC于点F,作DH⊥ AB于点H. BD是△ABC的角平分线，∴.DF=DH, BC·DF SABCD- 2 BC SABAD ZAB DH AB B ED (2)证明：如图，作BE⊥AC于点E. CD·BE 2 CD SABAD 40.B AD' SABCD_BC 由(1)知SA8oAB BC CD ·AB=AD （3)解：胎-品8C=4,48=6, C0=42 AD6=3 CD 2 EAD+CD3+2,即C0-2 AC=5, 5×5=2. 故答案为2. 34八年级·数学(BS)·下册 24.解：(1)AB=AC, ∠B=LACB=2(180-LA)=7×(180°- 40)=70. MN⊥AB, ∴.∠MWB=90°， ∴.∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°. 故答案为20 (2),AB=AC, ∠B=∠ACB=2(180-∠0=2×(180°- 70)=55 .MN⊥AB, .∠MNB=90°， ∴.∠NMB=90°-∠B=90°-55°=35° 故答案为35. (3).AB=AC, ∠B=LACB=2(180-∠A)=2×(1I80- 120)=30°. .MN⊥AB, .∠MWB=90°， .∠NMB=90°-∠B=90°-30°=60° 故答案为60. (4)LNMB=2LA证明如下： AB=AC, ∠B=∠ACB=7(180-∠A)=90- 34a ,MN⊥AB, .∴.∠MNB=90° 六LMWB=900-∠B=90°-(90-3∠）= 分41 第2周小卷综合测评卷 BC=DC, 1.A【解析】如图，作CD⊥ △DEC中，CE=CE,∴.△BEC≌△DEC(SSS),故 OA于点D.在Rt△COD BE DE, C 中，∠A0B=30°，0C=6, C选项正确；AB不一定等于BD,故D选项错 0 A 误.故选D. CD=20C=3.故选A 7.A【解析】如图，连接AM.由 题意得MG=MH,MG⊥AB, 2.A【解析】反证法证明命题“在直角三角形 MH⊥AC,∴.AM平分∠BAC,则 中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直 M 点M在∠BAC的平分线上.故 角三角形中两锐角都大于45°.故选A. 选A. 3.B【解析】在Rt△CAE和Rt△DAE中， 8.C【解析】如图，连接AE. IAE=AE,、Rt△CAE≌Rt△DAE(HL), .∠ACB=90°，AC=3,AB= LAC =AD. 5,..BC=AB2 AC2 =4. LCAE=LDAE=7LCAB.BCAB= 由作图可知，MN是线段AB 的垂直平分线，∴.AE=BE,则AC2+CE2=AE2, 90°，∠B=28°，∴.∠CAB=90°-28°=62° ∠CM5=2∠CB=2×62=319,∠ABC= 即3+(4-BE)=BF,解得E-空故运C 9.C【解析】如图，①线段 90°-∠CAE=90°-31°=59°.故选B AB的垂直平分线交AC于 4.C【解析】猎狗到△ABC三个顶点的距离相 一点P,交直线BC于点 等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边的垂直平 P2（此时PA=PB);②以 分线的交点.故选C. 点A为圆心，AB的长为半 5.B【解析】把原命题的题设与结论交换得到 径画弧，交AC于点P3, 它的逆命题，所以①正确；真命题的逆命题不 P4,交BC于点P2(此时AB=AP);③以点B为 一定是真命题，如若a=b,则1al=Ibl,其逆命 圆心，AB的长为半径画弧，交BC于点P,P2, 题为若Ial=Ibl,则a=b,它是假命题，所以② 交AC于点P。（此时BP=BA).故符合条件的 错误；定理的逆命题不一定是真命题，所以每 点有6个.故选C. 个定理不一定都有逆定理，所以③错误；每个 10.B【解析】AB=BC,∠A=10°，.∠ACB= 定理一定有逆命题，所以④正确；命题“若a= ∠A=10°，∴.∠CBD=∠A+∠ACB=20°.… b,那么a3=b3”的逆命题为“若a3=b,则a= 从图中我们会发现第一个等腰三角形的底角 b”,它是真命题，所以⑤错误.综上所述，正确 是10°，第二个是20°，第三个是30°，第四个是 的有2个.故选B. 40°，第五个是50°，第六个是60°，第七个是 6.D【解析】AC垂直平分BD,∴.AB=AD, 70°，第八个是80°，第九个是90就不存在了， BC=CD,故A选项正确；'BC=CD,AC⊥BD, 所以这样的等腰三角形最多能找到8个.故 ∴.AC平分∠BCD,故B选项正确；在△BEC和 选B.