第11章 因式分解 质量反馈卷 2025—2026学年青岛版数学七年级下册

第11章 因式分解 质量反馈卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列由左边到右边的变形，是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、，不是整式乘积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、，是因式分解，故本选项符合题意； D、不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意． 2. 多项式中各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 3.若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴； 4.已知，，则的值为（   ） A．12 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， 5.已知，，则的值为（   ） A．10 B． C．7 D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， 6. 如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：图中剩余部分的面积等于两个正方形的面积之差，即， 剩余部分通过割补拼成的长方形的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 7.若8×10×12，则k＝（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【解答】解：方程两边都乘以k，得 （92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12k， ∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12k， ∴80×120＝8×10×12k， ∴k＝10． 经检验k＝10是原方程的解． 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 ， 9.如图，一个大正方形被分割成四部分的面积分别为、、、，则大正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：， 大正方形的边长为， 10.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此，，都是“神秘数”，则下面哪个数也是“神秘数”( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】∵“神秘数”能表示为两个连续偶数的平方差， ∴“神秘数”满足：(为整数)的规律， ， A、令，解得：，不是整数， ∴不是“神秘数”，不符合题意； B、令，解得：，不是整数， ∴不是“神秘数”， 不符合题意； C、令，解得：，不是整数， ∴不是“神秘数”，不符合题意； D、令，解得：，是整数， ∴“神秘数”，符合题意； 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.因式分解： ． 【答案】 【详解】解：， 12. 若是一个完全平方式，则的值为_______________． 【答案】 【详解】解：是一个完全平方式， ， 解得：． 13.如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，求得的值是 ． 【答案】220 【详解】解：∵，，，， ∴ ． 14. 因式分解： ____________． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 15.规定一种运算：，那么_______________． 【答案】-189 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴. 16.我国北宋数学家贾宪在1050年左右首先发现了一个奇妙的“三角形”（如下图），这个“三角形”被称为贾宪三角形．通过观察“三角形”，发现第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应各项的系数．根据反映的规律计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式中的系数分布为， 由贾宪三角形可发现，原式中的系数为展开式中各项的系数， ， 三、解答题：本题共8小题，其中17-21题每题8分，22-23每题10分，24题12分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.因式分解： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 18若，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）8 （2）44 【小问1详解】 解：由得， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 解： ， ，在（1）中， ． 19.如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，求的值。 【答案】-192 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴，， 则 ． 20.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为的值为20 根据材料解法二提示当时，解出的值代入二次三项式求出的值，再进行因式分解即可． 【详解】解：解法一：设另一个因式为， 由题意得：， 则， 解得：， 另一个因式为的值为20． 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，， 把代入， 得， 而． 另一个因式是的值为20． 21如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：） (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． 【答案】(1) (2)49 【详解】（1）解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：，， ∴， ∴． 22.如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形． (1)通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________ (2)根据中的等量关系，解决下列问题： 若，，则的值为________； 将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和． 【答案】(1)； (2) ； ． 【详解】（1）解：由图可知：阴影正方形的边长为， 阴影的面积为：， 阴影的面积也可以看作是大正方形的面积减去长为、宽为的长方形的面积， 阴影的面积也可以表示为：， 可得到关于，的等量关系为， 故答案为：； （2）解：由可知， 当，时， ， 故答案为：； 解：如下图所示， 四边形和四边形为正方形，且边长分别为和， ，， ， ， 由可知， 或(舍去)， ． 23..综合与实践 【阅读材料】 将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 解：因为，所以． 又因为，，所以． 【探究实践】 （1）若，，求的值； 【拓展应用】 （2）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了劳动教育基地．如图，校园内有两块相邻的正方形场地（，B、C、E三点在一条直线上，边与边在一条直线上），它们的面积和为，边长和（）为，学校计划在阴影部分（和）处摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地，请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】（1）（2）40 【详解】（1）因为， 所以， 因，， 所以， ． （2）设正方形、正方形的边长分别为a，b． 由题意得：，， 所以， 即， 得， 因为，又因为， 所以， 24.配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）当时，有最小值，最小值为1． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 因式分解 质量反馈卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列由左边到右边的变形，是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 2. 多项式中各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 3.若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 4.已知，，则的值为（   ） A．12 B．7 C．4 D．3 5.已知，，则的值为（   ） A．10 B． C．7 D． 6. 如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 7.若8×10×12，则k＝（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 9.如图，一个大正方形被分割成四部分的面积分别为、、、，则大正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 10.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此，，都是“神秘数”，则下面哪个数也是“神秘数”( ) A. B. C. D. 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.因式分解： ． 12. 若是一个完全平方式，则的值为_______________． 13.如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，求得的值是 ． 14. 因式分解： ____________． 15.规定一种运算：，那么_______________． 16.我国北宋数学家贾宪在1050年左右首先发现了一个奇妙的“三角形”（如下图），这个“三角形”被称为贾宪三角形．通过观察“三角形”，发现第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应各项的系数．根据反映的规律计算：______． 三、解答题：本题共8小题，其中17-21题每题8分，22-23每题10分，24题12分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.因式分解： （1） （2）． 18若，且． （1）求的值； （2）求的值． 19.如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，求的值。 20.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 21如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：） (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． 22.如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形． (1)通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________ (2)根据中的等量关系，解决下列问题： 若，，则的值为________； 将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和． 23.综合与实践 【阅读材料】 将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 解：因为，所以． 又因为，，所以． 【探究实践】 （1）若，，求的值； 【拓展应用】 （2）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了劳动教育基地．如图，校园内有两块相邻的正方形场地（，B、C、E三点在一条直线上，边与边在一条直线上），它们的面积和为，边长和（）为，学校计划在阴影部分（和）处摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地，请求出摆放花卉场地的面积． 24.配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $