数学终极押题猜想（江苏盐城专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 三角板中角度计算 1 押题猜想二 圆内接三角形、四边形 5 押题猜想三 二元一次方程组古代问题 10 押题猜想四 锐角三角函数的应用 13 押题猜想五 几何图形的证明 20 押题猜想六 数据分析 23 押题猜想七 圆的性质 29 押题猜想八 二元一次方程组的应用 37 押题猜想九 函数的新题型 41 押题猜想十 数学探究类压轴题 53 . 押题猜想一 三角板中角度计算 试题前瞻·能力先查 限时：4min 【原创题】将一副三角板按如图所示的方式摆放，点B在上，且，则∠BGF的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，，， ∵， ∴， ∴． ∴∠BGF=900-∠GBF=900-150=750 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，三角板角度计算多以选择题、填空题形式出现，属于基础高频考点，命题常以三角板与平行线、对顶角、余补角结合为载体，考查角度的转化与运算。这类题型难度低、得分率高，命题趋势稳定，侧重考查学生的图形观察与基础角度运算能力，备考时需熟练掌握三角板固定角度，熟悉常见叠放模型的解题思路。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏宿迁·一模）将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：一副直角三角尺的固定角度为：等腰直角三角尺的锐角，另一个三角尺的锐角， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 2．（2026·福建三明·一模）将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·四川德阳·模拟预测）将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据两直线平行，同位角相等，可得， ∵三角板的顶角是直角， ∴， ∴，故与不一定相等； 根据两直线平行，同旁内角互补，可得，， ∵与不一定相等 ∴与不一定相等； ∵， ∴不一定等于； 观察四个选项，选项D符合题意． 4．（2026·四川达州·一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵，如下图： ∴， ∵， ∴． 5．（2026·山西长治·一模）将一副三角板和按照如图所示的方式放置，与交于点G．已知，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长交于点，设与交于点， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 在中，， ， 与是对顶角， ． 6．（2026·河南周口·一模）如图，一副三角板按如图方式摆放，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图得 ， ． 押题猜想二 圆内接三角形、四边形 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】如图，四边形内接于．若，则______． 【答案】65 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，圆内接三角形、四边形多以填空题或解答题小问形式出现，核心考查圆内接多边形的对角互补、同弧所对圆周角相等等性质。这类题型难度中等，常与圆心角、弧弦关系、等腰三角形结合命题，侧重考查学生对圆的基本性质的理解与简单应用，备考时需牢记核心定理，熟练掌握圆内接图形的角度、线段计算方法。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，点在上，若，则的度数为______． 【答案】/85度 【详解】解：连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． 2．（2026·安徽·模拟预测）如图，A，B，C，D四点均在上，若，，则的度数为______． 【答案】/75度 【详解】解：连接， ，， ， ，， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 3．（2026·山西大同·一模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径．点是上一点，若，则的度数为___________． 【答案】120 【详解】解：连接，则， ∵是的直径， ∴ ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴. 4．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，若，则______°． 【答案】30 【详解】解：连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵是直径， ∴， ∴． 5．（2026·吉林长春·一模）如图，点，，，均在上，的半径为，，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【详解】解：如图，连接和， 点，，，均在上， ， ， 的长为． 6．（2026·陕西·一模）如图，四边形内接于是的直径，连接．若的半径为2，，则的长为_____． 【答案】 【详解】解：连接， ∵是的直径，的半径为2， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 7．（2026·陕西榆林·一模）如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数为___________． 【答案】 【详解】解：∵ 是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 8．（2026·全国·模拟预测）如图，是钝角的外接圆，连接，．若，则的度数是_______． 【答案】 【详解】解：延长交于点，连接， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 押题猜想三 二元一次方程组古代问题 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．良田________亩． 【答案】12.5 【详解】设良田有亩，劣田亩， ，解得， 故良田12.5亩． 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，二元一次方程组古代问题多以填空题或应用题形式出现，是数学文化情境类基础题型，常以《九章算术》等经典著作中的问题为载体，考查学生从文言情境中提取等量关系、列方程组求解的能力。这类题型难度较低，命题趋势偏向简化情境、突出等量关系分析，备考时需熟悉常见古代问题模型，掌握设元列方程的基本步骤。 终极猜想·精练通关 1．（2026·贵州遵义·一模）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，则木长为______尺． 【答案】 【详解】解：设绳子长尺，长木长尺， ∵绳子比长木长尺，对折绳子比长木短尺， ∴ 可列方程组为：， 解得：， ∴绳子长为尺，长木长为尺． 2．（25-26九年级上·湖北·期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文问题：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，则1头牛、1只羊分别值___________两银子． 【答案】3，2 【详解】解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子 根据题意，得方程组 为消去，将第一个方程乘以2，第二个方程乘以5，得 两式相减，得 解得 将代入第一个方程，得 所以每头牛值3两银子，每只羊值2两银子， 故答案为3，2． 3．（2026九年级·吉林·专题练习）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒斗，清酒斗，则可列方程组为____________． 【答案】 【详解】解：设醑酒斗，清酒斗， ∵总酒量为5斗， ∴， ∵清酒每斗值10斗谷子，醑酒每斗值3斗谷子，总谷子消耗为30斗， ∴， ∴可列出方程组为． 故答案为：． 4．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，则可列方程组________．（结果可以不化简） 【答案】 【详解】解：已知大和尚人，小和尚人，总共有个和尚，因此可得第一个方程：. 大和尚每人吃个馒头，个大和尚共吃个馒头；个小和尚吃个馒头，个小和尚共吃个馒头，总共有个馒头，因此可得第二个方程：. 联立两个方程可得方程组. 5．（2026九年级·吉林·专题练习）我国民间流传着一道《周瑜寿属》的诗歌形式的数学题，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十比个位正小三，个位六倍与寿符，哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？设个位数字为，十位数字为，根据诗歌内容，则可列方程组为____________． 【答案】 【详解】解：由“十比个位正小三”得； 由“个位六倍与寿符”得； 故方程组为． 故答案为：． 押题猜想四 锐角三角函数的应用 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为9米，则该校的旗杆高约为______米．（，结果精确到） 【答案】 【详解】解：由题意得：在中， ， (米)． 在中， ． (米)． （米）． 则该校的旗杆高约为米． 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，锐角三角函数的应用多以中档解答题形式出现，常以仰角俯角、坡度坡比、方位角等实际情境为载体，考查解直角三角形的实际应用。这类题型难度中等，命题常结合勾股定理、特殊角三角函数值，侧重考查学生构建直角三角形模型、利用三角函数求解实际问题的能力，备考时需熟练掌握辅助线构造方法，熟悉常见应用场景的解题流程。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏扬州·一模）如图，地面上两幢建筑物与相距，在A处测得D处俯角为，测得C处的仰角为，则的高度为________．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：如图所示，过点A作于E， 根据题意，，， 四边形是矩形， ， 在中，， 在中，， ， 的高度为． 2．（2026·浙江温州·一模）如图,两幢楼间距为40米,某时太阳光线与水平线的夹角为,光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上（窗台高1米）,则一号楼的高度为__________米．（参考数据：,,） 【答案】31 【详解】解：如图，过点C作于点，则，，， ∴, ∴（米）． 3．（2026·四川德阳·模拟预测）数学兴趣小组的同学，利用所学的“视角与坡度”的知识，设计了求斜坡上树AB高度的方案，用测量工具得到了相关数据：斜坡的坡度，坡长，在C处测得树顶端A的仰角为，D处测得树顶端A的仰角为，则树的高度是________． 【答案】 【详解】解：作于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 解得， ∴树的高度是． 4．（2026·江苏无锡·一模）如图，一根长的木棍靠在垂直的墙面上，量得木棍与地面的夹角为，则木棍顶端离地面的高度约为________．（数据：，，） 【答案】77 【详解】解：∵一根长的木棍靠在垂直的墙面上，量得木棍与地面的夹角为， ∴木棍顶端离地面的高度． 5．（2026·广东深圳·二模）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在处操控无人机巡查，无人机从点处飞行到点处悬停，探测到它的正下方公路上点处有汽车发生故障，测得无人机高度，从点处观测点处的仰角为．已知，，，则可求得点处到点处的距离约为_____． 【答案】300 【详解】解：在中，，，， ∴， 答：A处到B处的距离为． 6．（2026·湖南娄底·一模）游乐场的摩天轮匀速旋转，其半径米，摩天轮的最底部A到水平地面的距离是2米，则最高点到水平地面的距离是______米．已知摩天轮旋转一周需要30分钟，小明乘坐的轿厢从最底部A出发，顺时针旋转10分钟到达点C，此时点C到水平地面的距离是______米． 【答案】 78 59 【详解】解：∵摩天轮的半径米， ∴摩天轮的直径为76米， 又∵摩天轮的最底部A到水平地面的距离是2米， ∴摩天轮的最高点到水平地面的距离是（米）， ∵摩天轮旋转一周即旋转，需要30分钟， ∴摩天轮旋转一分钟可旋转，摩天轮顺时针旋转10分钟到达点C， ∴， 如图，过点C作，交于点E，过点O作，交于点D， ， ∴四边形是矩形， 米，， 米， 米， （米）， 即点C到水平地面的距离是59米． 7．（2026·湖北武汉·二模）如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为，A到地面的距离为，乙楼的高是______．（参考数据：） 【答案】 【详解】解：如图， 由题可知，四边形是矩形，，，， 在直角三角形中，， ∴， ∴， 则乙楼的高是． 8．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若，，则的长度为___．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点 在中，，. 在中，， 是等腰直角三角形 ． ． 押题猜想五 几何图形的证明 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】如图，点、分别在的边、上，连接、，，；连接、，写出四边形是矩形的证明过程． 【详解】解：证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，几何图形的证明是中档核心题型，多以解答题形式出现，命题围绕三角形、平行四边形、矩形、菱形等图形的性质与判定展开，考查全等/相似三角形证明、特殊四边形判定等内容。这类题型难度中等，常采用梯度设问，从基础证明过渡到简单计算，侧重考查学生的逻辑推理与几何语言规范表达能力，备考时需熟练掌握各类图形的判定定理，理清证明的逻辑链条。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，点是上一点，于，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴∠B=900，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∵，， ∴． 2．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：在上作一点P，使得∠APC=2∠B；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由（1）可得， 设，则， 在中，由勾股定理得，且， ∴， 解得， ∴． 3．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，若__________，则． 请从①；②；③这个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并加以证明． 【答案】或；证明见解析 【详解】解：方法一：选择作为条件； 证明：， ． ， ，即． 在和中， ， ， ． 方法二：选择作为条件； 证明：， ， 在和中， ， ， ． 4．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 菱形为正方形． （2）解：连接、，如图所示：   于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ， 四边形为正方形， ∴， 正方形的面积． 押题猜想六 数据分析 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【改编题】某校为加强书法教学，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答以下问题：    (1)本次抽取的学生共有 ，并把条形统计图补充完整； (2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是 分，中位数是 分． (3)若该校共有学生4000人，书写能力等级达到优秀的学生大约有多少？ 【答案】(1)40，见解析 (2)70，70 (3)400 【详解】（1）解：依题意，（人）， 则（人）， 补全条形图如下： （2）解：∵本次调查的总人数为，C等级的人数最多， 故众数为70，中位数为排在第名的平均数， ∵， ∴第名的书写能力等级在C等级， 即这部分学生书写成绩的中位数是70分； （3）解：依题意，4000 =400（人）． 答：书写能力等级达到优秀的学生大约有400人； 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，数据分析多以选择题、填空题或解答题小问形式出现，属于基础统计题型，考查平均数、中位数、众数、方差的计算，以及条形、扇形、折线统计图的解读。这类题型难度低、得分率高，命题趋势偏向结合生活实际情境，侧重考查学生从统计图表中提取信息、分析数据特征的能力，备考时需熟练掌握各类统计量的计算方法，能快速解读常见统计图表。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南京·模拟预测）为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试．为了了解活动效果，从两个年级中各抽取10名学生的成绩进行整理分析，分成A、B、C、D四组（用表示成绩分数），A组：，B组：，C组：，D组：，下面是部分信息： 七年级10人的得分：，，，，，，，，，； 八年级10人的得分在B组中的分数为：，，，； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 七 八 (1)填空：______，______； (2)如果该校七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，请估计七、八两个年级得分在A组的共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由． 【答案】(1)， (2)人 (3)八年级在此次人工智能科普测试中表现更好，理由见解析． 【详解】（1）解：∵八年级组人数：， 八年级组人数：， 八年级组人数：， ∴八年级组人数：， ∴， ∴． ∵八年级成绩排在第和第位的是和， ∴． ∴，； （2）∵七年级人的得分组：的有，，， ∴组得分在七年级人数中占：， ∴七年级有人参加得分在组的有：（人）； ∵八年级组得分在八年级人数中占：， ∴八年级有人参加得分在组的有：（人）， ∴（人）， 即：七、八两个年级得分在组的共有人． （3）八年级在此次人工智能科普测试中表现更好， 理由如下：虽然两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，说明八年级学生掌握的较好． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）为更好地开展大课间活动，某校针对本校七年级学生对大课间活动实施情况的满意程度进行调查．从七年级学生中随机抽取20名学生进行问卷调查（满分100分，得分用表示，本次调查所有学生的得分均不低于60分，成绩按分数段划分为A，B，C，D四个等次），统计结果如下（其中两个原始数据因某种原因模糊，用■和★表示）： 60，72，62，，66，68，74，76，76，78，79，87，89，87，87，83，89，，94，96 数据统计表 分数段 等次 人数 m 6 6 扇形统计图 (1)统计表中__________，__________； (2)扇形统计图中等次B所占圆心角的度数为__________， (3)这20个数据的众数为__________，中位数为__________， (4)若该校七年级学生共有1000人，请估计评价结果为“D”等次的七年级学生有多少人？ 【答案】(1)3；5 (2) (3)87； (4)250人 【详解】（1）解：由扇形图得A等次占比15%， 则，； （2）解： 因此，扇形统计图中等次B所占圆心角的度数为； （3）解：87在数据中出现3次，是出现次数最多的数，因此众数为87； 20个数据的中位数是从小到大排列后第10、11个数的平均数， 由于分数段有5人，有6人， 则中位数位于分数段， 将分数段的数据从小到大排序为： 72，74，76，76，78，79， 因此中位数为； （4）解：（人） 因此，评价结果为“D”等次的七年级学生有250人． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下：    分析数据，得到下列表格： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 91.5 a b 人工 89 90 100 108.8 （计算方差的公式：） 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)若成绩90分及以上为优秀，请你估计机器人操作800次，优秀次数为多少？ (3)根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点（写一条即可）． 【答案】(1)； (2)估计机器人操作次，优秀次数约为次 (3)答案不唯一，见解析 【详解】（1）解：在机器人数据中，出现的次数最多，故众数； 机器人的方差 ， 故答案为：；； （2）解：次． 答：估计机器人操作次，优秀次数约为次； （3）解：机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定． 4．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）数学文化是打开数学世界的钥匙，它不仅是严谨的逻辑与计算，更承载着人类探索未知的智慧与文明．从《九章算术》的智慧到欧拉公式的简洁之关，数学文化中蕴含的创新精神与人文价值，正等待着同学们去发现与传承．某校为营造“爱数学、懂文化”的校园氛围，开展“数学文化进校园”知识竞赛．以下是从八年级和九年级抽取的部分学生的成绩，对数据进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【数据收集与整理】 八年级学生竞赛成绩：85，86，88，89，90，90，90，90，92，93，95，98 九年级学生竞赛成绩： 组别/分数 九年级 1 3 8 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 90.5 12.08 九年级 94 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：____________，__________，所在组别是____________（填“”或“”或“”）； (2)若，则抽查的两个年级人数中成绩更稳定的____________年级； (3)八年级共有600人，九年级共有900人，若规定成绩不低于90分为优秀，请估算此次竞赛中两个年级一共有多少人获得优秀等级． 【答案】(1)90，90，C (2)八 (3)此次竞赛中获得优秀等级的人数大约为1000人 【详解】（1）解：八年级12名学生成绩中，按照从低到高排列，处在第6名和第7名的成绩分别为分，分， 八年级学生成绩的中位数， 得分为分的人数最多， 八年级学生成绩的众数， 九年级学生竞赛成绩落在A组的有1人，B组的有3人，C组的有8人， 九年级学生成绩的中位数在C组； 故答案为：90，90，C； （2）， 八年级的方差小于九年级的方差， 则抽查的两个年级人数中成绩更稳定的是八年级； 故答案为：八； （3）抽查的12名学生中，八年级的竞赛成绩达到优秀的有8人， 九年级的竞赛成绩达到优秀的有8人， 则估算此次竞赛中两个年级竞赛成绩达到优秀一共有（人）． 押题猜想七 圆的性质 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)BC=4． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 如图，连接， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， ∴直线与相切； （2）解：设，则， ∵在中，， ， 即2， 解得：， ∴BC=4． 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，圆的性质多以中档偏上解答题形式出现，核心考查垂径定理、圆周角定理、切线的性质与判定等内容，常与三角形、四边形、勾股定理、相似三角形结合命题。这类题型难度中等偏上，侧重考查学生对圆的核心性质的综合应用与几何推理能力，备考时需熟练掌握切线证明、垂径定理的应用场景，能灵活结合其他几何知识解决问题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏盐城·一模）如图，是的直径，弦于点F，连接，以为边在的左侧作，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接、， ∵，是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，是直径， ∴， ∴， ∴ 即的半径为． 2．（2026·江苏徐州·一模）如图，点在上，为直径，为延长线上一点，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，作于点， 由（）知：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ． 3．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：为的切线： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ 点为的中点， ∵ 点为的中点， ∴为的中位线， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴，   ∴， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，∵ ，，， ∴由勾股定理，得， 由(1)知， ∴， ∴， ∵， ，， ∴ ，解得，， ∴， 在中，， ∵为的直径， ∴， ∴． 4．（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线． (2)过点作的垂线，交于点，交于点，连接．若，，求和直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【详解】（1）证明：如图，连接， 为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 为半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂线，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，直径． 押题猜想八 二元一次方程组的应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】某校积极开展体育教育，两次购买两种型号的体育用品，购买记录如下表： A型体育用品（件） B型体育用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号体育用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的体育用品共40件，其中A型体育用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件体育用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号体育用品的单价保持不变） 【答案】(1)A种型号体育用品单价为20元，B种型号体育用品单价为30元 (2)该校购买这40件体育用品至少需要950元 【详解】（1）解：设A种型号体育用品单价为x元，B种型号体育用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号体育用品单价为20元，B种型号体育用品单价为30元． （2）解：设够买A种型号体育用品a件，则够买B种型号体育用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件体育用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件体育用品至少需要950元． 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，二元一次方程组的应用多以中档应用题形式出现，命题常以工程问题、行程问题、购物方案选择问题为载体，考查学生从实际问题中提取等量关系、列方程组求解并检验的能力。这类题型难度中等，侧重考查数学建模能力，命题趋势偏向结合生活化情境，备考时需熟练掌握常见应用题型的等量关系构建方法，规范解题步骤。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A，B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元 【详解】（1）解：设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元， 根据题意得， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时， ， 答：购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元． 2．（2026·广西南宁·一模）学校组织体育活动，某班级计划统一购买新的排球和跳绳．班长统计后去商店采购，和售货员有如下对话： (1)根据上述对话信息，求排球和跳绳的单价； (2)由于排球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进排球个（）和跳绳根，且恰好花费3600元，已知排球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？ 【答案】(1)排球的单价为元，跳绳的单价为20元 (2)该商店老板有两种购进方案：方案一：购进排球39个，跳绳32根；方案二：购进排球42个，跳绳16根 【详解】（1）解：设排球的单价为元，跳绳的单价为元，根据题意得： ， 解得， 答：排球的单价为元，跳绳的单价为元； （2）解：根据题意得：， 即， 由于、为正整数， 则， 解得， 由于，且是3的倍数， 则的值可以为39、42， 当时，， 当时，， 答：该商店老板有两种购进方案：方案一：购进排球39个，跳绳32根；方案二：购进排球42个，跳绳16根． 3．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)两款帆布袋的单价分别为8元和5元 (2)当购买款帆布袋4个，款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元 【详解】（1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ，两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元， ， ， 随的增大而增大． 购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的， ， 且为正整数， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． 4．（25-26九年级上·重庆·期中）尊老爱幼是中华民族的传统美德，“重阳节”来临之际，某班组织“情暖夕阳”慰问活动，计划给社区养老服务中心的老人们送上暖心慰问品．同学们准备购买两种糕点：软糯香甜的重阳糕和温润营养的山药糕．购买3盒重阳糕和2盒山药糕共需112元，1盒重阳糕的价格比1盒山药糕贵4元． (1)重阳糕和山药糕的单价分别为多少元？ (2)班委购买糕点时，商店支持同学们的爱心活动，决定降价销售两种糕点．将重阳糕的单价降低了元，山药糕单价降低了元，同学们分别用400元、360元购买了相同数量的重阳糕和山药糕，求的值． 【答案】(1)重阳糕的单价为24元，山药糕的单价为20元． (2)m的值为2． 【详解】（1）解：设1盒重阳糕x元，1盒山药糕y元， 根据题意得：， 解得：． 答：1盒重阳糕24元，1盒山药糕20元； （2）解：根据题意，重阳糕的价格为元，山药糕的价格为元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的根． 答：m的值为2． 押题猜想九 函数的新题型 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【新情景】杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 【答案】(1) (2)x每增加相同的数值，y的增加量相同 (3) 【详解】（1）解：令，得， ， ∴， ∴， 即； （2）解：， ， ， 设（为常数）， 则， ∴是常数． ∴x每增加相同的数值，y的增加量相同． （3）解：， 整理得， ∵， ∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令， 得， ∴． 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，函数的新题型多以中档偏上解答题形式出现，属于创新类题型，常围绕一次函数、二次函数的新定义、新情境问题展开，考查函数的图像性质、含参问题与创新应用。这类题型难度中等偏上，侧重考查学生的阅读理解与知识迁移能力，命题常结合跨学科情境或开放性设问，备考时需熟练掌握函数的核心性质，能快速理解新定义并转化为已学知识解决问题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·贵州·一模）【活动主题】 如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究． 【建立模型】 如图2，钢缆主拱呈抛物线，以点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线经过，，顶点的横坐标为30． (1)求抛物线的解析式； (2)【设计应用】在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，抛物线最低点到轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？ (3)在灯带点处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线于点，设射线的解析式为（）．彩灯射线以点为旋转中心，从抛物线最低点处顺时针方向旋转，与抛物线，都有交点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)能 (3) 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线过且顶点的横坐标为30， ∴，即，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线最低点到轴的水平距离为30， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． 当时，， ， ∴另一端能挂到距原点50处高14的灯杆上； （3）解：∵：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵：， ∴抛物线经过点， ∴将和代入中得：，解得：； 将和代入中得：，解得：， ∵射线与抛物线和抛物线都有交点， ∴的取值范围为：． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）【问题情境】 某公园要在广场建造一个喷泉景观．在广场中央处安装一个垂直于地面且高为米的花形柱子，在柱子顶端处安置一个喷头向外喷水（喷头大小忽略不计），水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计者设计水流在距的水平距离为3米时达到最大高度，此时离地面米． 【模型建构】 (1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到的水平距离为x米，水流喷出的高度为米，请求出在第一象限内的抛物线对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 (2)某次李师傅正在喷泉景观内维护设备，喷头意外喷水，但是身高米的李师傅刚好笔直的站在地面上却没有被水淋到，此时他离花形柱子的水平距离为米，求的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子10米处的地面，处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点G在花形柱子的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小距离． 【答案】(1) (2) (3)米 【详解】（1）解：根据题意得：第一象限内的抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得：， 则第一象限内的抛物线对应的函数表达式为：； （2）解：根据题意，令， 解得：或 ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：如图所示，作的平行线，使它与抛物线相切，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为， 将点和代入得： ， 解得： 直线的函数表达式为， ， 设直线的函数表达式为， 联立直线与抛物线的函数表达式， 整理得：， 直线与抛物线相切，只有一个交点， ， 解得：， 直线的表达式为：， 令，则， ， ， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小距离为米． 3．（2026·江苏南京·模拟预测）研究函数图象与坐标轴的交点，是分析函数性质、解决函数问题的重要抓手． (1)如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）． (2)已知二次函数（m为常数，且）． ①求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； ②该函数图象所过的象限随m的值变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围． (3)下图是用数学软件绘制的函数（a、c为常数，且）的图象．下方的演示图显示当、时对应的函数形态． 已知，利用函数图象，直接写出关于x的不等式的解集（用含a，c的式子表示）． 【答案】(1)作图见解析 (2)①证明见解析；②当时，此时图像经过一、二、四象限；当时，此时图像经过三、四象限；当或时，此时图像经过一、三、四象限；当时，开口向下，此时图像经过一、二、三、四象限． (3)解集为：当，时，或；当，时，或． 【详解】（1）解：如题①，直线即为所求；如题②，直线即为所求 （2）①证明：当时，， 解得，     当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程有两个不相等的实数根， ∴不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点； ②当时，， ∴抛物线与轴交点为 若抛物线与轴正半轴相交， 设，即z是m的二次函数， 当，则或时， ∵抛物线开口向上， ∴当或时，． ∴当或时，抛物线与轴正半轴相交； 当时，经过原点； 当时，抛物线与轴负半轴相交； 情况一：当时，开口向上，与x轴交点的横坐标：，如图： 此时图像经过一、二、四象限； 情况二：若抛物线与轴只有一个交点时，则，解得，那么时，开口向下，与x轴交点的横坐标为1，此时图像经过三、四象限，如图： 情况三：当或时，开口向下，与x轴交点的横坐标：， 此时图像经过一、三、四象限，如图： 情况四：当时，开口向下，与x轴交点的横坐标为：， 此时图像经过一、二、三、四象限，如图： 综上：当时，此时图像经过一、二、四象限；当时，此时图像经过三、四象限；当或时，此时图像经过一、三、四象限；当时，开口向下，此时图像经过一、二、三、四象限． （3）解：设函数， ∵， ∴， 则方程有两个不相等的实数根， ∵当时，， ∴函数与x轴有三个交点， 根据求根公式可得： 方程的两个根分别为：，， ∴函数与x轴的三个交点分别为：，，， ①当，时，如图： ∴或时，； ②当，时，如图： ∴或，． 综上，解集为：当，时，或；当，时，或． 4．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）提出概念 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：如图，平面内有一点P，点Q在的延长线上，且满足则称点Q是点P的“k变换点” 【概念理解】 (1)若，则点的“变换点”的坐标是_______ ； 【灵活运用】 (2)若的“变换点”在反比例函数上，求的值； 【拓展提升】 (3)已知点在直线上，设其横坐标为，点是点的“变换点”，且点落在抛物线上． 当点恰好是抛物线的顶点时，求的值； 当，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【详解】（1）解：如图，过点作轴，过点作轴， 则， ∴， ∴ ∵，点是点的“变换点”， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，的“k变换点”Q为， ∵点Q在反比例函数的图像上， ∴，即， 解得，， ∵， ∴； （3）解：①由题意知， ∴抛物线顶点坐标为， ，且点Q是点P的k变换点， ∴点Q坐标为 ∵点Q恰好是抛物线的顶点 ，， ； ②由题意知，则， 将点Q坐标代入抛物线表达式，得 整理得，， ∴， 设，则， ， ， ∴当时，； 当时，； ． 押题猜想十 数学探究类压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：12min 【新题型】综合与实践：钢管堆砌与图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在参观钢结构加工厂时，发现钢管常按一定规律堆砌存放．为了优化仓库空间使用，提高效率，他们决定对钢管的堆砌规律展开数学研究． 【项目准备】1．观察现象 钢管的横截面堆砌成如下形状（图示，2，3，4的情形），其中上方的数字表示该位置钢管的总数量； 2．规律猜想 小组初步猜想：第n个图的钢管总数S可以按“行”来观察，并尝试用算式表达． 【项目分析】1．统一符号：设第n个图的钢管总数为 2．任务分解： 任务一：按“行”的方式写出和的算式，归纳的表达式． 任务二：换一种分割方式（如按“列”或“斜线”），重新表达． 任务三：建立第n个图钢管总数的通用公式，并用于计算较大n时的数量． 【项目实施】问题一：按行分割的规律归纳 1．请补全下表： 图形 算式 ① ② 2．根据规律，写出第n个图的算式（不化简）： ③． 问题二：换一种眼光看图形 请你对的图形进行另一种方式的分割（如按“列”或“斜线”），并在下表中写出你发现的算式表达： 图形 算式 ④ ⑤ 问题三：建立通用公式【提示：】 将你在问题一中得到的第n个图的算式化简，写出关于n的代数表达式： ⑥； 根据以上信息，完成下面内容： (1)将上方空白内容补充完整： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________；⑥__________； (2)若某堆钢管的，求n的值． 【答案】(1)①；②；③；④；⑤；⑥ (2)8 【详解】（1）解：问题一： 图形 算式 第n个图的算式（不化简）：； 问题二： 图形 算式 问题三∶ 关于n的代数表达式： ； （2）解：根据题意得：， 解得（舍），， 即n的值为8． 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，数学探究类压轴题主要以生活情境或科学探究为载体，考查从实际问题中抽象数学模型、归纳规律、逻辑推理与综合应用的能力，同时也会涉及到代数式表示、比较分析、分类讨论等知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·安徽合肥·一模）综合与实践 【项目主题】 如果一个多边形的所有顶点都位于正方形网格的交点上，那么这样的多边形被称为格点多边形．教师展示一系列基础的格点多边形（图1），学生尝试计算它们的面积，随后教师提出问题：格点多边形的面积与哪些因素有关？ 【项目分析】学生交流讨论，教师收集意见，形成个子问题，具体如表． 表1 子问题 格点多边形的面积与它的边数（或顶点个数）有关 子问题 格点多边形的面积与它的周长有关 子问题 格点多边形的面积与它内部的格点数有关 子问题 格点多边形的面积与它的边上格点数有关 【项目探究】 当存在多个变量时，如何确定某一变量对结果有无影响，学生提出用控制变量法，即保证其它量不变，看该量变化是否使结果改变．结合图，用控制变量法进一步探究． 任务一：问题筛选 （1）图中第一组，其顶点个数、内部格点数、边上格点数相同，周长不同但面积相同，说明子问题 ① 不成立． （2）图中第二组，其内部格点数、边上格点数相同，顶点个数不同但面积相同，说明子问题 ② 不成立． 任务二：探究论证 （3）控制内部格点数为，改变边上格点数，学生通过操作、计算、思考，并制得表2．可发现规律：内部格点数为时，边上格点数每增加，格点多边形面积增加． 表 边上格点数 … 多边形面积 … 表 内部格点数 … 多边形面积 ③ ④ … （4）控制边上格点数为，改变内部格点数，学生通过操作、计算、思考，并制得表．完成表格填空，可发现规律： ⑤ ． 任务三：公式归纳 不妨设格点多边形的面积为，边上格点数为，内部格点数为，尝试建立三者之间的数量关系．有了之前活动的经验，在教师的引导下，学生可想到采用控制变量的方法，以“分步归纳”的方式进行推理． （ⅰ）当时，根据表的实验数据，可归纳出； （ⅱ）当时，动手实验，记录新的数据，整理如表，由表可归纳出； 表  时，与的关系 … 4 … 表  时，与的关系 … … （ⅲ）当时，动手实验，记录新的数据，整理如表，由表可归纳出； 以此类推，可以发现、、之间的数量关系式为 ⑥ ，这就是著名的皮克公式． 【项目应用】 将地图上公园（部分）轮廓抽象为格点多边形，通过几何画板调整网格使其顶点落于格点（个别不在格点上的顶点，用附近格点代替），利用皮克公式计算面积，结合比例尺换算出公园实际面积． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①____________    ②____________    ③____________    ④____________ ⑤_________________________________    ⑥__________________ 【答案】①；②；③；④；⑤边上格点数为时，内部格点数每增加，格点多边形面积增加；⑥ 【详解】任务一：（1）①图中第一组，这两个三角形的顶点个数、内部格点数、边上格点数相同，两个三角形的周长不同但面积相同，说明格点多边形的周长的变化不会使格点多边形的面积改变，即子问题不成立． （2）②图中第二组，这两个格点多边形的内部格点数、边上格点数相同，两个格点多边形的顶点个数不同但面积相同，说明格点多边形的顶点个数的变化不会使格点多边形的面积改变，即子问题不成立． 任务二：（3）③控制边上格点数为，内部格点数为时，如图： 格点多边形的面积为． ④控制边上格点数为，内部格点数为时，如图： 格点多边形的面积为． （4）⑤根据表格可得，边上格点数为时，内部格点数每增加，格点多边形面积增加． 任务三：⑥根据题意可得，当时，； 当时，； 当时，； 以此类推，、、之间的数量关系式为． 2．（2026·安徽滁州·一模）某数学兴趣小组为探究剪切多边形纸片所得三角形纸片张数问题，先从三角形纸片开始探究．如图，先在三角形纸片内依次添加1个点、2个点、3个点……，包含三角形顶点在内的所有点中每三个点均不共线，然后用剪刀沿两点的连线（图中虚线，不交叉）剪开，得到若干张三角形小纸片，列出小纸片的张数与点的个数（含三角形三个顶点）的关系如下表： 点的个数 4 5 6 7 8 … 小纸片的张数 3 5 7 9 … 类比剪切三角形纸片的方法，依次探究四边形和五边形纸片的剪切问题． 在四边形纸片上剪切，列出三角形小纸片的张数与点的个数的关系如下表： 点的个数 5 6 7 8 … 小纸片的张数 4 6 8 10 … 在五边形纸片上剪切，列出三角形小纸片的张数与点的个数的关系如下表： 点的个数 6 7 8 9 … 小纸片的张数 5 7 9 11 … 依据以上信息，完成下列问题： (1)的值是_________； (2)直接写出与的关系式，并求当四边形纸片上共有100个点（含顶点，每三个点不共线）时，可以剪切成多少张三角形小纸片； (3)若四边形纸片上点的个数比五边形纸片上点的个数少1（含顶点，每三个点不共线），且两张纸片共剪切成2025张三角形小纸片，求四边形纸片上点的个数． 【答案】(1)11 (2)194张 (3)509 【详解】（1）解：点的个数为8时，小纸片的张数为11，即的值是11； （2）解：与的关系式为， 时，， 可以剪194张小纸片． （3）解：p与q的关系式为， 设四边形纸片上点的个数为个，则五边形纸片上点的个数为个． 根据题意得，解得 答：四边形纸片上点的个数为509． 3．（2026·安徽合肥·一模）【项目主题】 某校数学社团开展“幻方与生活”实践活动，探究幻方的数式规律，并尝试将幻方思想应用于校园艺术节的灯箱阵列布置中． 【项目准备】 （1）幻方定义：在一个由若干个连续自然数排成的正方形方格中，如果每行、每列及两条对角线上的数的和都相等，那么这个方格表就叫做幻方，相等的和叫做幻和． （2）如图1是由1－9这9个数构造的一个三阶幻方． 【规律探究】 (1)观察图1，中心数是5，该三阶幻方的幻和（即幻和等于中心数的3倍）．若将图1中每个数都加上同一个正整数k，得到一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示） (2)若用m，，， …，这9个连续正整数构造一个三阶幻方，则幻和 （用含m的代数式表示）． (3)如图2是一个由1－16这16个数构造的经典四阶幻方，幻和.若将每个数都加上同一个整数k，得到一个新的四阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示）． 【项目分析】 校园艺术节期间，数学社团负责在广场上布置一个“幻方灯箱阵列”．具体要求如下： 灯箱阵列为的方形阵列，共16个灯箱．每个灯箱上贴一个数，要求整个阵列构成一个四阶幻方．灯箱中的数必须是从某一起始数开始的连续自然数． (4)现有两种备选方案： 方案一：用1－16这16个连续自然数构造幻方（如图2所示）． 方案二：用5－20这16个连续自然数构造幻方．则方案二的幻和： ． 每个灯箱的制作成本为20元，数字贴纸费用为每个数字1元（即每个数按数字的个数收费，如贴纸8收费1元，贴纸37收费2元）．计算方案一总成本： 元． 【项目实施】 (5)根据以上分析，若社团要求灯箱上幻和为62，且数为连续自然数，此时总成本为 元． 【答案】(1) (2) (3) (4)50；343 (5)350 【详解】（1）解：； （2）解：由题意可知，该三阶幻方的中心数为， ∴幻和； （3）解：； （4）解：， 方案一中个位数有9个，两位数有（个）， ∴成本为（元）； （5）解：当时，解得， ∴16个连续自然数为8－23， ∴个位数有2个，两位数有（个）， ∴成本为（元）． 4．（2026·福建·一模）圆周率是指圆的周长与其直径的比值，是无限不循环小数，其常用近似值可表示为3.141592653……．古往今来，历代中外数学家均围绕圆周率的精确估算展开了深入的探索，产生了很多方法，如我国魏晋时期数学家刘徽首创的“割圆术”，此外还有如下方法： 1．利用“布丰投针试验”估算 1777年，法国数学家布丰设计了著名的投针试验：如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上．针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟该试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值________附近（结果精确到0.001）；根据上述数据请你估计的近似值为________（精确到0.01）． 2．利用“莱布尼茨无穷级数”逼近 17世纪，德国数学家莱布尼茨创立微积分，推导出计算的另一种表达式 （n为非负整数） 记，则； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ……随着n增大，逐渐逼近，的值越接近的值． 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，求n的最小值． 【答案】问题1：0.318；；问题2： 【详解】解：问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值0.318附近，即， ∵，， ∴， 解得， ∴估计的近似值为， 故答案为：0.318；； 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，即， 解得， ∵当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，满足； ∴n的最小值． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 三角板中角度计算 1 押题猜想二 圆内接三角形、四边形 3 押题猜想三 二元一次方程组古代问题 5 押题猜想四 锐角三角函数的应用 6 押题猜想五 几何图形的证明 9 押题猜想六 数据分析 10 押题猜想七 圆的性质 14 押题猜想八 二元一次方程组的应用 16 押题猜想九 函数的新题型 18 押题猜想十 数学探究类压轴题 21 . 押题猜想一 三角板中角度计算 试题前瞻·能力先查 限时：4min 【原创题】将一副三角板按如图所示的方式摆放，点B在上，且，则∠BGF的度数为（   ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，三角板角度计算多以选择题、填空题形式出现，属于基础高频考点，命题常以三角板与平行线、对顶角、余补角结合为载体，考查角度的转化与运算。这类题型难度低、得分率高，命题趋势稳定，侧重考查学生的图形观察与基础角度运算能力，备考时需熟练掌握三角板固定角度，熟悉常见叠放模型的解题思路。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏宿迁·一模）将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建三明·一模）将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川德阳·模拟预测）将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川达州·一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·山西长治·一模）将一副三角板和按照如图所示的方式放置，与交于点G．已知，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南周口·一模）如图，一副三角板按如图方式摆放，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 押题猜想二 圆内接三角形、四边形 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】如图，四边形内接于．若，则______． 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，圆内接三角形、四边形多以填空题或解答题小问形式出现，核心考查圆内接多边形的对角互补、同弧所对圆周角相等等性质。这类题型难度中等，常与圆心角、弧弦关系、等腰三角形结合命题，侧重考查学生对圆的基本性质的理解与简单应用，备考时需牢记核心定理，熟练掌握圆内接图形的角度、线段计算方法。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，点在上，若，则的度数为______． 2．（2026·安徽·模拟预测）如图，A，B，C，D四点均在上，若，，则的度数为______． 3．（2026·山西大同·一模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径．点是上一点，若，则的度数为___________． 4．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，若，则______°． 5．（2026·吉林长春·一模）如图，点，，，均在上，的半径为，，则的长为______（结果保留）． 6．（2026·陕西·一模）如图，四边形内接于是的直径，连接．若的半径为2，，则的长为_____． 7．（2026·陕西榆林·一模）如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数为___________． 8．（2026·全国·模拟预测）如图，是钝角的外接圆，连接，．若，则的度数是_______． 押题猜想三 二元一次方程组古代问题 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．良田________亩． 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，二元一次方程组古代问题多以填空题或应用题形式出现，是数学文化情境类基础题型，常以《九章算术》等经典著作中的问题为载体，考查学生从文言情境中提取等量关系、列方程组求解的能力。这类题型难度较低，命题趋势偏向简化情境、突出等量关系分析，备考时需熟悉常见古代问题模型，掌握设元列方程的基本步骤。 终极猜想·精练通关 1．（2026·贵州遵义·一模）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，则木长为______尺． 2．（25-26九年级上·湖北·期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文问题：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，则1头牛、1只羊分别值___________两银子． 3．（2026九年级·吉林·专题练习）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒斗，清酒斗，则可列方程组为____________． 4．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，则可列方程组________．（结果可以不化简） 5．（2026九年级·吉林·专题练习）我国民间流传着一道《周瑜寿属》的诗歌形式的数学题，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十比个位正小三，个位六倍与寿符，哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？设个位数字为，十位数字为，根据诗歌内容，则可列方程组为____________． 押题猜想四 锐角三角函数的应用 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为9米，则该校的旗杆高约为______米．（，结果精确到） 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，锐角三角函数的应用多以中档解答题形式出现，常以仰角俯角、坡度坡比、方位角等实际情境为载体，考查解直角三角形的实际应用。这类题型难度中等，命题常结合勾股定理、特殊角三角函数值，侧重考查学生构建直角三角形模型、利用三角函数求解实际问题的能力，备考时需熟练掌握辅助线构造方法，熟悉常见应用场景的解题流程。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏扬州·一模）如图，地面上两幢建筑物与相距，在A处测得D处俯角为，测得C处的仰角为，则的高度为________．（结果保留根号） 2．（2026·浙江温州·一模）如图,两幢楼间距为40米,某时太阳光线与水平线的夹角为,光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上（窗台高1米）,则一号楼的高度为__________米．（参考数据：,,） 3．（2026·四川德阳·模拟预测）数学兴趣小组的同学，利用所学的“视角与坡度”的知识，设计了求斜坡上树AB高度的方案，用测量工具得到了相关数据：斜坡的坡度，坡长，在C处测得树顶端A的仰角为，D处测得树顶端A的仰角为，则树的高度是________． 4．（2026·江苏无锡·一模）如图，一根长的木棍靠在垂直的墙面上，量得木棍与地面的夹角为，则木棍顶端离地面的高度约为________．（数据：，，） 5．（2026·广东深圳·二模）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在处操控无人机巡查，无人机从点处飞行到点处悬停，探测到它的正下方公路上点处有汽车发生故障，测得无人机高度，从点处观测点处的仰角为．已知，，，则可求得点处到点处的距离约为_____． 6．（2026·湖南娄底·一模）游乐场的摩天轮匀速旋转，其半径米，摩天轮的最底部A到水平地面的距离是2米，则最高点到水平地面的距离是______米．已知摩天轮旋转一周需要30分钟，小明乘坐的轿厢从最底部A出发，顺时针旋转10分钟到达点C，此时点C到水平地面的距离是______米． 7．（2026·湖北武汉·二模）如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为，A到地面的距离为，乙楼的高是______．（参考数据：） 8．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若，，则的长度为___．（结果保留整数，参考数据：） 押题猜想五 几何图形的证明 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】如图，点、分别在的边、上，连接、，，；连接、，写出四边形是矩形的证明过程． 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，几何图形的证明是中档核心题型，多以解答题形式出现，命题围绕三角形、平行四边形、矩形、菱形等图形的性质与判定展开，考查全等/相似三角形证明、特殊四边形判定等内容。这类题型难度中等，常采用梯度设问，从基础证明过渡到简单计算，侧重考查学生的逻辑推理与几何语言规范表达能力，备考时需熟练掌握各类图形的判定定理，理清证明的逻辑链条。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，点是上一点，于，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 2．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：在上作一点P，使得∠APC=2∠B；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 3．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，若__________，则． 请从①；②；③这个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并加以证明． 4．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 押题猜想六 数据分析 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【改编题】某校为加强书法教学，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答以下问题：    (1)本次抽取的学生共有 ，并把条形统计图补充完整； (2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是 分，中位数是 分． (3)若该校共有学生4000人，书写能力等级达到优秀的学生大约有多少？ 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，数据分析多以选择题、填空题或解答题小问形式出现，属于基础统计题型，考查平均数、中位数、众数、方差的计算，以及条形、扇形、折线统计图的解读。这类题型难度低、得分率高，命题趋势偏向结合生活实际情境，侧重考查学生从统计图表中提取信息、分析数据特征的能力，备考时需熟练掌握各类统计量的计算方法，能快速解读常见统计图表。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南京·模拟预测）为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试．为了了解活动效果，从两个年级中各抽取10名学生的成绩进行整理分析，分成A、B、C、D四组（用表示成绩分数），A组：，B组：，C组：，D组：，下面是部分信息： 七年级10人的得分：，，，，，，，，，； 八年级10人的得分在B组中的分数为：，，，； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 七 八 (1)填空：______，______； (2)如果该校七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，请估计七、八两个年级得分在A组的共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）为更好地开展大课间活动，某校针对本校七年级学生对大课间活动实施情况的满意程度进行调查．从七年级学生中随机抽取20名学生进行问卷调查（满分100分，得分用表示，本次调查所有学生的得分均不低于60分，成绩按分数段划分为A，B，C，D四个等次），统计结果如下（其中两个原始数据因某种原因模糊，用■和★表示）： 60，72，62，，66，68，74，76，76，78，79，87，89，87，87，83，89，，94，96 数据统计表 分数段 等次 人数 m 6 6 扇形统计图 (1)统计表中__________，__________； (2)扇形统计图中等次B所占圆心角的度数为__________， (3)这20个数据的众数为__________，中位数为__________， (4)若该校七年级学生共有1000人，请估计评价结果为“D”等次的七年级学生有多少人？ 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下：    分析数据，得到下列表格： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 91.5 a b 人工 89 90 100 108.8 （计算方差的公式：） 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)若成绩90分及以上为优秀，请你估计机器人操作800次，优秀次数为多少？ (3)根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点（写一条即可）． 4．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）数学文化是打开数学世界的钥匙，它不仅是严谨的逻辑与计算，更承载着人类探索未知的智慧与文明．从《九章算术》的智慧到欧拉公式的简洁之关，数学文化中蕴含的创新精神与人文价值，正等待着同学们去发现与传承．某校为营造“爱数学、懂文化”的校园氛围，开展“数学文化进校园”知识竞赛．以下是从八年级和九年级抽取的部分学生的成绩，对数据进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【数据收集与整理】 八年级学生竞赛成绩：85，86，88，89，90，90，90，90，92，93，95，98 九年级学生竞赛成绩： 组别/分数 九年级 1 3 8 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 90.5 12.08 九年级 94 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：____________，__________，所在组别是____________（填“”或“”或“”）； (2)若，则抽查的两个年级人数中成绩更稳定的____________年级； (3)八年级共有600人，九年级共有900人，若规定成绩不低于90分为优秀，请估算此次竞赛中两个年级一共有多少人获得优秀等级． 押题猜想七 圆的性质 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，圆的性质多以中档偏上解答题形式出现，核心考查垂径定理、圆周角定理、切线的性质与判定等内容，常与三角形、四边形、勾股定理、相似三角形结合命题。这类题型难度中等偏上，侧重考查学生对圆的核心性质的综合应用与几何推理能力，备考时需熟练掌握切线证明、垂径定理的应用场景，能灵活结合其他几何知识解决问题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏盐城·一模）如图，是的直径，弦于点F，连接，以为边在的左侧作，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 2．（2026·江苏徐州·一模）如图，点在上，为直径，为延长线上一点，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积．（结果保留） ∵， 3．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：为的切线： (2)若，，求的长． 4．（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线． (2)过点作的垂线，交于点，交于点，连接．若，，求和直径的长． 押题猜想八 二元一次方程组的应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】某校积极开展体育教育，两次购买两种型号的体育用品，购买记录如下表： A型体育用品（件） B型体育用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号体育用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的体育用品共40件，其中A型体育用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件体育用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号体育用品的单价保持不变） 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，二元一次方程组的应用多以中档应用题形式出现，命题常以工程问题、行程问题、购物方案选择问题为载体，考查学生从实际问题中提取等量关系、列方程组求解并检验的能力。这类题型难度中等，侧重考查数学建模能力，命题趋势偏向结合生活化情境，备考时需熟练掌握常见应用题型的等量关系构建方法，规范解题步骤。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 2．（2026·广西南宁·一模）学校组织体育活动，某班级计划统一购买新的排球和跳绳．班长统计后去商店采购，和售货员有如下对话： (1)根据上述对话信息，求排球和跳绳的单价； (2)由于排球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进排球个（）和跳绳根，且恰好花费3600元，已知排球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？ 3．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 4．（25-26九年级上·重庆·期中）尊老爱幼是中华民族的传统美德，“重阳节”来临之际，某班组织“情暖夕阳”慰问活动，计划给社区养老服务中心的老人们送上暖心慰问品．同学们准备购买两种糕点：软糯香甜的重阳糕和温润营养的山药糕．购买3盒重阳糕和2盒山药糕共需112元，1盒重阳糕的价格比1盒山药糕贵4元． (1)重阳糕和山药糕的单价分别为多少元？ (2)班委购买糕点时，商店支持同学们的爱心活动，决定降价销售两种糕点．将重阳糕的单价降低了元，山药糕单价降低了元，同学们分别用400元、360元购买了相同数量的重阳糕和山药糕，求的值． 押题猜想九 函数的新题型 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【新情景】杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，函数的新题型多以中档偏上解答题形式出现，属于创新类题型，常围绕一次函数、二次函数的新定义、新情境问题展开，考查函数的图像性质、含参问题与创新应用。这类题型难度中等偏上，侧重考查学生的阅读理解与知识迁移能力，命题常结合跨学科情境或开放性设问，备考时需熟练掌握函数的核心性质，能快速理解新定义并转化为已学知识解决问题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·贵州·一模）【活动主题】 如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究． 【建立模型】 如图2，钢缆主拱呈抛物线，以点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线经过，，顶点的横坐标为30． (1)求抛物线的解析式； (2)【设计应用】在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，抛物线最低点到轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？ (3)在灯带点处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线于点，设射线的解析式为（）．彩灯射线以点为旋转中心，从抛物线最低点处顺时针方向旋转，与抛物线，都有交点时，求的取值范围． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）【问题情境】 某公园要在广场建造一个喷泉景观．在广场中央处安装一个垂直于地面且高为米的花形柱子，在柱子顶端处安置一个喷头向外喷水（喷头大小忽略不计），水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计者设计水流在距的水平距离为3米时达到最大高度，此时离地面米． 【模型建构】 (1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到的水平距离为x米，水流喷出的高度为米，请求出在第一象限内的抛物线对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 (2)某次李师傅正在喷泉景观内维护设备，喷头意外喷水，但是身高米的李师傅刚好笔直的站在地面上却没有被水淋到，此时他离花形柱子的水平距离为米，求的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子10米处的地面，处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点G在花形柱子的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小距离． 3．（2026·江苏南京·模拟预测）研究函数图象与坐标轴的交点，是分析函数性质、解决函数问题的重要抓手． (1)如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）． (2)已知二次函数（m为常数，且）． ①求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； ②该函数图象所过的象限随m的值变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围． (3)下图是用数学软件绘制的函数（a、c为常数，且）的图象．下方的演示图显示当、时对应的函数形态． 已知，利用函数图象，直接写出关于x的不等式的解集（用含a，c的式子表示）． 4．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）提出概念 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：如图，平面内有一点P，点Q在的延长线上，且满足则称点Q是点P的“k变换点” 【概念理解】 (1)若，则点的“变换点”的坐标是_______ ； 【灵活运用】 (2)若的“变换点”在反比例函数上，求的值； 【拓展提升】 (3)已知点在直线上，设其横坐标为，点是点的“变换点”，且点落在抛物线上． 当点恰好是抛物线的顶点时，求的值； 当，求的取值范围． 押题猜想十 数学探究类压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：12min 【新题型】综合与实践：钢管堆砌与图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在参观钢结构加工厂时，发现钢管常按一定规律堆砌存放．为了优化仓库空间使用，提高效率，他们决定对钢管的堆砌规律展开数学研究． 【项目准备】1．观察现象 钢管的横截面堆砌成如下形状（图示，2，3，4的情形），其中上方的数字表示该位置钢管的总数量； 2．规律猜想 小组初步猜想：第n个图的钢管总数S可以按“行”来观察，并尝试用算式表达． 【项目分析】1．统一符号：设第n个图的钢管总数为 2．任务分解： 任务一：按“行”的方式写出和的算式，归纳的表达式． 任务二：换一种分割方式（如按“列”或“斜线”），重新表达． 任务三：建立第n个图钢管总数的通用公式，并用于计算较大n时的数量． 【项目实施】问题一：按行分割的规律归纳 1．请补全下表： 图形 算式 ① ② 2．根据规律，写出第n个图的算式（不化简）： ③． 问题二：换一种眼光看图形 请你对的图形进行另一种方式的分割（如按“列”或“斜线”），并在下表中写出你发现的算式表达： 图形 算式 ④ ⑤ 问题三：建立通用公式【提示：】 将你在问题一中得到的第n个图的算式化简，写出关于n的代数表达式： ⑥； 根据以上信息，完成下面内容： (1)将上方空白内容补充完整： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________；⑥__________； (2)若某堆钢管的，求n的值． 分析有理·押题有据 从近五年盐城中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，数学探究类压轴题主要以生活情境或科学探究为载体，考查从实际问题中抽象数学模型、归纳规律、逻辑推理与综合应用的能力，同时也会涉及到代数式表示、比较分析、分类讨论等知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·安徽合肥·一模）综合与实践 【项目主题】 如果一个多边形的所有顶点都位于正方形网格的交点上，那么这样的多边形被称为格点多边形．教师展示一系列基础的格点多边形（图1），学生尝试计算它们的面积，随后教师提出问题：格点多边形的面积与哪些因素有关？ 【项目分析】学生交流讨论，教师收集意见，形成个子问题，具体如表． 表1 子问题 格点多边形的面积与它的边数（或顶点个数）有关 子问题 格点多边形的面积与它的周长有关 子问题 格点多边形的面积与它内部的格点数有关 子问题 格点多边形的面积与它的边上格点数有关 【项目探究】 当存在多个变量时，如何确定某一变量对结果有无影响，学生提出用控制变量法，即保证其它量不变，看该量变化是否使结果改变．结合图，用控制变量法进一步探究． 任务一：问题筛选 （1）图中第一组，其顶点个数、内部格点数、边上格点数相同，周长不同但面积相同，说明子问题 ① 不成立． （2）图中第二组，其内部格点数、边上格点数相同，顶点个数不同但面积相同，说明子问题 ② 不成立． 任务二：探究论证 （3）控制内部格点数为，改变边上格点数，学生通过操作、计算、思考，并制得表2．可发现规律：内部格点数为时，边上格点数每增加，格点多边形面积增加． 表 边上格点数 … 多边形面积 … 表 内部格点数 … 多边形面积 ③ ④ … （4）控制边上格点数为，改变内部格点数，学生通过操作、计算、思考，并制得表．完成表格填空，可发现规律： ⑤ ． 任务三：公式归纳 不妨设格点多边形的面积为，边上格点数为，内部格点数为，尝试建立三者之间的数量关系．有了之前活动的经验，在教师的引导下，学生可想到采用控制变量的方法，以“分步归纳”的方式进行推理． （ⅰ）当时，根据表的实验数据，可归纳出； （ⅱ）当时，动手实验，记录新的数据，整理如表，由表可归纳出； 表  时，与的关系 … 4 … 表  时，与的关系 … … （ⅲ）当时，动手实验，记录新的数据，整理如表，由表可归纳出； 以此类推，可以发现、、之间的数量关系式为 ⑥ ，这就是著名的皮克公式． 【项目应用】 将地图上公园（部分）轮廓抽象为格点多边形，通过几何画板调整网格使其顶点落于格点（个别不在格点上的顶点，用附近格点代替），利用皮克公式计算面积，结合比例尺换算出公园实际面积． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①____________    ②____________    ③____________    ④____________ ⑤_________________________________    ⑥__________________ 2．（2026·安徽滁州·一模）某数学兴趣小组为探究剪切多边形纸片所得三角形纸片张数问题，先从三角形纸片开始探究．如图，先在三角形纸片内依次添加1个点、2个点、3个点……，包含三角形顶点在内的所有点中每三个点均不共线，然后用剪刀沿两点的连线（图中虚线，不交叉）剪开，得到若干张三角形小纸片，列出小纸片的张数与点的个数（含三角形三个顶点）的关系如下表： 点的个数 4 5 6 7 8 … 小纸片的张数 3 5 7 9 … 类比剪切三角形纸片的方法，依次探究四边形和五边形纸片的剪切问题． 在四边形纸片上剪切，列出三角形小纸片的张数与点的个数的关系如下表： 点的个数 5 6 7 8 … 小纸片的张数 4 6 8 10 … 在五边形纸片上剪切，列出三角形小纸片的张数与点的个数的关系如下表： 点的个数 6 7 8 9 … 小纸片的张数 5 7 9 11 … 依据以上信息，完成下列问题： (1)的值是_________； (2)直接写出与的关系式，并求当四边形纸片上共有100个点（含顶点，每三个点不共线）时，可以剪切成多少张三角形小纸片； (3)若四边形纸片上点的个数比五边形纸片上点的个数少1（含顶点，每三个点不共线），且两张纸片共剪切成2025张三角形小纸片，求四边形纸片上点的个数． 3．（2026·安徽合肥·一模）【项目主题】 某校数学社团开展“幻方与生活”实践活动，探究幻方的数式规律，并尝试将幻方思想应用于校园艺术节的灯箱阵列布置中． 【项目准备】 （1）幻方定义：在一个由若干个连续自然数排成的正方形方格中，如果每行、每列及两条对角线上的数的和都相等，那么这个方格表就叫做幻方，相等的和叫做幻和． （2）如图1是由1－9这9个数构造的一个三阶幻方． 【规律探究】 (1)观察图1，中心数是5，该三阶幻方的幻和（即幻和等于中心数的3倍）．若将图1中每个数都加上同一个正整数k，得到一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示） (2)若用m，，， …，这9个连续正整数构造一个三阶幻方，则幻和 （用含m的代数式表示）． (3)如图2是一个由1－16这16个数构造的经典四阶幻方，幻和.若将每个数都加上同一个整数k，得到一个新的四阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示）． 【项目分析】 校园艺术节期间，数学社团负责在广场上布置一个“幻方灯箱阵列”．具体要求如下： 灯箱阵列为的方形阵列，共16个灯箱．每个灯箱上贴一个数，要求整个阵列构成一个四阶幻方．灯箱中的数必须是从某一起始数开始的连续自然数． (4)现有两种备选方案： 方案一：用1－16这16个连续自然数构造幻方（如图2所示）． 方案二：用5－20这16个连续自然数构造幻方．则方案二的幻和： ． 每个灯箱的制作成本为20元，数字贴纸费用为每个数字1元（即每个数按数字的个数收费，如贴纸8收费1元，贴纸37收费2元）．计算方案一总成本： 元． 【项目实施】 (5)根据以上分析，若社团要求灯箱上幻和为62，且数为连续自然数，此时总成本为 元． 4．（2026·福建·一模）圆周率是指圆的周长与其直径的比值，是无限不循环小数，其常用近似值可表示为3.141592653……．古往今来，历代中外数学家均围绕圆周率的精确估算展开了深入的探索，产生了很多方法，如我国魏晋时期数学家刘徽首创的“割圆术”，此外还有如下方法： 1．利用“布丰投针试验”估算 1777年，法国数学家布丰设计了著名的投针试验：如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上．针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟该试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值________附近（结果精确到0.001）；根据上述数据请你估计的近似值为________（精确到0.01）． 2．利用“莱布尼茨无穷级数”逼近 17世纪，德国数学家莱布尼茨创立微积分，推导出计算的另一种表达式 （n为非负整数） 记，则； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ……随着n增大，逐渐逼近，的值越接近的值． 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，求n的最小值． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $