精品解析：河北邯郸市第二中学等校2026届高三下学期第二次模拟检测数学试题

2026届高三第二次模拟检测 数学 班级________ 姓名________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集定义和集合元素的互异性求解即可. 【详解】已知，则是的公共元素，且中元素不能重复. 因为，，因此或，解得或. 验证：若，，集合出现重复元素，舍去； 若，，，此时，符合条件. 2. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到，进而得到，利用复数的模公式求解. 【详解】因为复数z在复平面内对应的点的坐标是， 所以，则， 所以， 故选：C 3. 已知直线，，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，，则直线斜率为，截距为， 直线斜率为，截距为，因为两条直线斜率，且在 轴上的截距， 所以，此“”是的充分条件； 若，当时，，，显然两条直线有交点， 当 时，若，则需满足两条直线斜率相等且在 轴上的截距不相等， 即：，解得：，因此“”是的必要条件， 所以“”是的充要条件. 4. 已知函数图象的相邻两个对称中心的距离为，且函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知性质得，再由区间单调性有，即可得. 【详解】由题设，则，即， 当，则， 由，则，且， 又函数在上单调递增， 所以，可得，故的最大值为. 5. 已知一组数据：，1，2，3，4，5，17，若该组数据的第80百分位数为5，平均数不小于5，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由百分位数计算公式确定，再结合平均数计算公式即可求解. 【详解】这组数据共个，因为， 则第个数据为第80百分位数， 由题意第80百分位数为 ，说明从小到大排序后，第个数是 ， 若，则第80百分位数为或17，不符合题意，因此， 又平均数不小于 ，则，即， 综上可得，. 6. 已知，则被10除的余数为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理化简原式，将问题转化为求除以10所得的余数，即可得. 【详解】， 由 ， 由于最后一项为 ，所以被10除的余数为9. 7. 已知函数，若对任意，且 ，不等式恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的单调性与对称性，结合函数性质得到的最小值，进而求解小于的最小值，再解一元二次不等式得到 的取值范围. 【详解】已知，由于在R上单调递减，故是上的增函数. 对任意，有 . 已知 ，即，由是增函数得：， 因此：，即恒大于. 不等式恒成立，等价于： 整理得，即， 解得：，即 的取值范围是. 8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线 过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线定义与垂直平分线性质，确定核心线段关系，联立方程求点横坐标，利用直线与双曲线右支交于两点，建立离心率不等式，确定最终范围. 【详解】设，不妨设，, 设，则， 得，解得, 的垂直平分线与右支交于点且直线 过点，等价于直线与双曲线右支交于另一点， 则，即， 进一步推导：，得， 代入，解得，又，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇函数定义求出判断A；由指数函数单调性确定单调性判断B；求出值域判断C；利用性质求出解集判断D. 【详解】A选项，因为为奇函数，且定义域为 ，所以，代入解得：， 验证：当时，，，即，所以A选项正确； B选项，由A选项解析得：，即， 因为在 上单调递增，所以在 上单调递增， 则在 上单调递增，所以B选项错误； C选项，令，则 ，，因为 ，所以，， ，则：，的值域为，所以C选项正确； D选项，因为，所以，又因为是奇函数，所以， 原不等式变形为：，由B选项解析得：在上单调递增， 所以需满足，解得： ，所以D选项正确. 10. 在 中，角，， 的对边分别为，，，若 ， 为 的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当，时， 仅有一解 C. 当时， 为等边三角形 D. 当时，的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A利用辅助角公式化简，求出三角函数值域；B根据判断；C利用余弦定理得出，根据取等条件即可求出；D设外接圆圆心为 ，求出 的外接圆半径，利用求最值. 【详解】因为 ， 所以， 因为，所以，则， 故，故A错误； 因为，所以为锐角，则 三角唯一确定，故 仅有一解，故B正确； 由余弦定理得，等号成立时 ， 因为，故 为等边三角形，故C正确； 当时，由正弦定理可知， 的外接圆半径， 设外接圆圆心为 ，则， 则， 等号成立时 三点共线且 在直线 同侧， 故的最大值为，故D正确. 11. 已知在中，，，，若，，且直线 过中点 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意结合余弦定理即可判断A，根据平面向量的数量积以及三角形三边的关系即可判断B，根据平面向量基本定理以及基本不等式即可判断C，通过将原问题转化为圆与直线的交点的几何问题即可判断D. 【详解】设，，，则根据题意有， 对于A，由余弦定理：， 所以，故A正确； 对于B，如图所示： 由以及平面向量基本定理可知， 又因为 是线段 的中点，因此， 则，， 因此，代入以及，化简得， 由三角形的三边关系：，即，又， 取，则，故B错误； 对于C，由三点共线，则存在实数 使得，代入以及， 可得，则有，消去 可得 则，当，即时取最小值，此时，，满足的条件，故C正确； 对于D，由三角形的三边关系：，即，又， 因此原问题转化为已知点在圆的第一象限的圆弧上运动，满足且，求的取值范围， 如图所示，当直线与圆相切时，切点为，取最大值， 此时原点到直线的距离为，即， 因此的最大值为，此时，由于，满足三角形三边的条件，因此的最大值可以取到， 当直线与圆相交于点时，取最小值 ，此时，由于，不满足三角形三边的条件， 因此的最小值取不到，即的取值范围是，故D正确. 【点睛】这是一道关于平面向量的综合题目，考察了平面向量的基本定理、数量积、线性运算、三点共线以及基本不等式等知识点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】函数的导数为， 所以切线的斜率，切点为，则切线方程为 ． 故答案为： ． 【点睛】易错点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点，考查学生的运算能力，属于基础题. 13. 某人计划阅读A、B、C、D、E、F六本不同的书，并且要求A在B之前读完，C与D不相邻，则不同的读书顺序有________种． 【答案】240 【解析】 【详解】先将除 外的四本书排序，因为要求A在B之前读完，所以共有种不同的排法； 再将 排到四本书共产生的5个空位中，共有种不同的排法. 因此，由分步乘法计数原理得，不同的读书顺序有种. 14. 用一个平面去截圆锥，则截面交线为圆锥曲线．2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果．当平面倾斜到“与且仅与”圆锥的一条母线平行时，可以得到抛物线．已知圆锥的轴截面为正三角形（），其底面圆上存在两点，满足，点P，Q分别在，上，且，则过点P，Q的平面截圆锥得到的抛物线的焦点和准线之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定信息，作出相关图形并推理计算，再以抛物线方程为标准形式建立平面直角坐标系，确定抛物线所过的一个点的坐标即可计算得解. 【详解】如图1，设截面平行于母线 ，连接并延长交圆于 ，交抛物线于点， 则点为抛物线的顶点，设截面与交于点，过点分别作平行于圆锥底面的截面得圆，圆， 作圆锥的轴截面 （如图2），连接交于点 ，圆与抛物线交于点 ， 圆与交于点，由 ，得，由平面平面， 平面平面，平面平面，得， 同理，而，于是，由对称性可得 是 中点， 则，， ，以点为原点，向量的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则且，令抛物线方程为，由点 在抛物线上，得， 所以抛物线的焦点和准线之间的距离为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2026年马年春晚是 大模型与节目结合最多的一场春晚，其中大模型“豆包”贯穿整场晚会．为了了解人们对大模型“豆包”应用的关注程度，现随机抽取不同年龄段的1000人进行调查统计，得到如下列联表： 年龄 “豆包”应用 合计 不关注 关注 不超过50岁 400 600 超过50岁 300 合计 1000 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断人们对大模型“豆包”应用的关注程度是否与年龄有关联； （2）从不超过50岁的调查者中按比例分配的分层随机抽样抽取6人，从这6人中随机抽取2人做进一步的访谈，记抽到的2人中关注“豆包”应用的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 年龄 “豆包”应用 合计 不关注 关注 不超过50岁 200 400 600 超过50岁 300 100 400 合计 500 500 1000 依据小概率值 的独立性检验，可判断人们对大模型“豆包”应用的关注程度与年龄有关联． （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）补全列联表，进行零假设，求出，根据附表进行判断； (2)根据超几何分布的特征，写出变量的分布列，根据分布列求出变量的数学期望. 【小问1详解】 （1）补全的列联表如下： 年龄 “豆包”应用 合计 不关注 关注 不超过50岁 200 400 600 超过50岁 300 100 400 合计 500 500 1000 零假设为：人们对大模型“豆包”应用的关注程度与年龄无关. 根据表中数据，计算得到 ． 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断成立， 即认为人们对大模型“豆包”应用的关注程度与年龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.001． 【小问2详解】 从不超过50岁的调查者中按比例分配的分层随机抽样抽取6人， 则关注“豆包”应用的有 人，不关注“豆包”应用的有 人， 则的所有可能取值为0，1，2， 的分布列为 0 1 2 的数学期望. 16. 如图，在四棱锥 中，平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中， ， ，E为PA的中点，F为PC上一点． （1）求证：平面平面PAB； （2）若，，且． （ⅰ）当平面BFD时，求 的值； （ⅱ）当时，求平面BEF与平面PAB夹角的大小． 【答案】（1）证明详见解析 （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）先证平面 ，再利用线面垂直的性质定理得 ，最后通过面面垂直判定定理得证； （2）先建立空间直角坐标系 （i）利用法向量及空间向量的坐标运算，结合已知向量的条件构建关于 的方程求解； （ii）通过联立方程组求出法向量，利用向量的夹角余弦值求解。 【小问1详解】 因为平面 ，平面 ，所以， 又 ， ， 平面 ， 平面 ， 故平面 ，又平面 ，所以 ， 在 中， ，为 中点，所以 ， 又 ，平面 ，平面 ， 所以平面 ，又平面 ， 所以平面平面 . 【小问2详解】 以 为原点，分别以， ，所在直线为， ，轴，则各点坐标分别为，，，，。 （i）因为，，得， ，，设平面的法向量为，则 ， 令，得，，故， 因为，∥平面， 所以，故，解得， （ii）当时，，为中点，故，，，设平面的法向量为，则 ， 令，得，，故， 由（1）知平面 ，是平面 的一个法向量， 设两法向量的夹角余弦为，故平面与平面 夹角为. 17. 已知数列满足，且． （1）证明：数列为等比数列； （2）令，若保持中各项先后顺序不变，在与之间插入k个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项积为，求（化为最简形式）． 【答案】（1）由递推关系 ，且 ，可知所有 ， 对等式两边取以2为底的对数： ， 等式两边同时加 ，整理得： ， 即， 当时，首项为 ， 因此是首项为1、公比为2的等比数列，得证； （2） 【解析】 【分析】（1）由递推公式同时取以2为底的对数，再结合等比数列定义即可求证； （2）由题意确定插入多少项，再结合通项公式，错位相减法求和即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得 ，结合 ​， 得： ， 根据新数列  ： 到原数列第  项 结束时， 总项数为：原   项加插入的 项，共计项， 计算得：，， 即前190项恰好是1个 ，2个，，19个 ​，剩余  项均为插入的 ， 因此：  即 ， 令， 则， 两式相减可得， 即， 所以， 则. 18. 已知椭圆的下、上焦点分别为，，点，，四边形的面积为4，椭圆E的长轴长是短轴长的倍，椭圆E上有一动点M，连接MP并延长与椭圆E交于点R，连接MQ并延长与椭圆E交于点S（与R不重合），记，． （1）求椭圆E的方程； （2）求面积的最大值； （3）试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值， 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设，根据得出，，再将，作差得，即可求出，求出的最大值即可； （3）同（2）得出即可求出. 【小问1详解】 因为四边形的面积为4，所以，则， 因为椭圆E的长轴长是短轴长的倍，所以， 由得 ， 故椭圆E的方程为； 【小问2详解】 设，则，， 因为，，则， 则，，则， 因为，，所以， 故， 则， 若，则，则重合，显然不成立； 若，则 重合，显然不成立，故且， 则， 联立，解得， 则， 则 ， 因为，所以， 因为在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以， 令，则， 则当时有最大值， 故面积的最大值为； 【小问3详解】 设，则，， 因为，，则， 则，，则， 因为，，所以， 故， 则， 同（2）可知且，则， 联立，解得，则， 故，是定值. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）已知对于任意，恒成立． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）函数的极小值为，无极大值 （2） （ⅰ） （ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数分析当时，函数的单调性，即可得到其极值； （2）函数的定义域为，.构造函数，分三种情况，利用导数分析函数的取值，进而得到的单调性，通过对最值的判断得到实数a的取值范围； （ⅱ）结合（ⅰ）的结论利用放缩法及对数的运算性质可得. 【小问1详解】 当时，函数，定义域为． .令，得； 令，得；令，得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，极小值为. 所以函数的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 （ⅰ）函数的定义域为. . 令，则，是单调递减函数. 若，则恒成立，所以单调递增，，即， 所以在 上单调递增，所以，不合题意； 若，则由，得在上有解，为， 则当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，即， 所以在上单调递增，所以，不合题意； 若 ，则由，得恒成立， 所以是单调递减函数，所以，即， 所以在 上单调递减，所以 恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是 ； （ⅱ）由（ⅰ）得，时， 对恒成立，且在 上单调递减. 即对恒成立， 所以，即对恒成立. 令，则. 所以， 即， 所以， 所以. 即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第二次模拟检测 数学 班级________ 姓名________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 2. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 3. 已知直线，，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数图象的相邻两个对称中心的距离为，且函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据： ，1，2，3，4，5，17，若该组数据的第80百分位数为5，平均数不小于5，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则被10除的余数为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 7. 已知函数，若对任意，且 ，不等式恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，，其右支上有一点 ，满足的垂直平分线与右支交于点 ，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 的解集为 10. 在中，角 ， ， 的对边分别为，，，若 ，为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当，时，仅有一解 C. 当时，为等边三角形 D. 当时，的最大值为 11. 已知在中，，，，若，，且直线过中点 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 13. 某人计划阅读A、B、C、D、E、F六本不同的书，并且要求A在B之前读完，C与D不相邻，则不同的读书顺序有________种． 14. 用一个平面去截圆锥，则截面交线为圆锥曲线．2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果．当平面倾斜到“与且仅与”圆锥的一条母线平行时，可以得到抛物线．已知圆锥的轴截面为正三角形（），其底面圆上存在两点，满足，点P，Q分别在，上，且，则过点P，Q的平面截圆锥得到的抛物线的焦点和准线之间的距离为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2026年马年春晚是 大模型与节目结合最多的一场春晚，其中大模型“豆包”贯穿整场晚会．为了了解人们对大模型“豆包”应用的关注程度，现随机抽取不同年龄段的1000人进行调查统计，得到如下列联表： 年龄 “豆包”应用 合计 不关注 关注 不超过50岁 400 600 超过50岁 300 合计 1000 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断人们对大模型“豆包”应用的关注程度是否与年龄有关联； （2）从不超过50岁的调查者中按比例分配的分层随机抽样抽取6人，从这6人中随机抽取2人做进一步的访谈，记抽到的2人中关注“豆包”应用的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，在四棱锥 中，平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中，， ，E为PA的中点，F为PC上一点． （1）求证：平面平面PAB； （2）若，，且． （ⅰ）当平面BFD时，求 的值； （ⅱ）当时，求平面BEF与平面PAB夹角的大小． 17. 已知数列满足，且． （1）证明：数列为等比数列； （2）令，若保持中各项先后顺序不变，在与之间插入k个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项积为，求（化为最简形式）． 18. 已知椭圆的下、上焦点分别为，，点，，四边形的面积为4，椭圆E的长轴长是短轴长的倍，椭圆E上有一动点M，连接MP并延长与椭圆E交于点R，连接MQ并延长与椭圆E交于点S（与R不重合），记，． （1）求椭圆E的方程； （2）求面积的最大值； （3）试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）已知对于任意，恒成立． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $