河北唐山实验学校2025-2026学年高二下学期第二次月考试卷数学试卷

唐山实验学校高二年级第二次月考试卷 数学试卷 一、单选题 1.已知函数f(x)=e1,则1i f1+A)-f但-() △x-0 △x A.1 B.e C.2e D.-e 的展开式中常数项为() A.62 B.60 C.40W2 D.30 3.函数/()+-3x+1,则下列结论错误的是() A.f(x)在区间(0,2)上不单调 B.f(x)有两个极值点 C.f(x)有两个零点 D.f(x)在(-o,0)上有最大值 4.某空间站由A,B,C三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中 开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去 A舱，则不同的安排方法的种数为() A.35 B.36 C.42 D.50 5.已知a(1+x)3+1-x)=4,+4x+.+a,x,且41+4+a=0,则a等于() A.8 B.0 C.4 D.-8 6.将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为第一次出现偶数点，事件B为两 次出现的点数和为9”，则P(AB)=（) .} c.I D.点 7.已知函数f(式-alnx+x在[L+)上单调递销，则实数a的取值范围是 () A.(-∞，] B.(-0,1) C.(-0,2) D.(-0,2] 试卷第1页，共4页 8.当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术.在医药健康领域，AI已应用 于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率.假设某实验室 AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”,事件B是AI模 型筛选出候选分子N.已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(B1A)=0.2,则P(A|B)= () A.贵 c. D. 33 二、多选题 9.若C=C9-”,则n的值可以是() A.12 B.14 C.16 D.18 10.下列说法正确的是（) A.对随机事件A,B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(AB) B.若随机事件A,B相互独立，则P(AB)+P(A)=1 C.若随机事件A,B相互独立，P(A)=0.7,P(B)=0.2,则P(AUB)=0.9 D.若随机事件4，：满足利-宁P心町-宁八-=子则PA- 11.已知函数f(x)=e-ax(a∈R),则下列说法正确的是() A.当a=2时，f(x)在(-o,n2)上单调递增 B.当a=e时，f(x)≥0在R上恒成立 C.存在a<0,使得f(x)在(-0,0)上不存在零点 D.对任意的a>0,f(x)有唯一的极小值 三、填空题 12.一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两 个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为 试卷第2页，共4页 13.若函数f(x)=x-anx的图象在点(1，f(1)处的切线恰好经过点(2,3)，则 a= 1 8 14 的展开式中所有有理项的系数之和为 四、解答题 15.已知函数f(x)=2x-ax2-36x+b在x=-1处取得极值1. (1)求a、b: (2)求f(x)在[-2,11]上的单调区间. 的展开式中. ()求二项式系数最大的项： (2)有无x的负整数次幂？有，请求出这些项，没有，则说明理由； (3)判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项. 17.一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中 随机摸出1个球，摸出的球不再放回. (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为P,第1次摸到红球的概率为，在第1 次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P,,在第1,2次都摸到红球的 条件下，第3次摸到红球的概率为P,求P,P,P,P: 试卷第3页，共4页 18.有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球其中甲袋中有3个红球7 个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋 中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束」 (1)求首次摸球后试验就结束的概率； (2)在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率； (3)在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如 下两个方案：方案一：从原袋中摸球： 方案二：从另外一个袋子中摸球 请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大 19.己知f(x)=xnx,g(x)=x3+ax2-x+2. (I)求曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积： (2)讨论函数y=f(x)在(0，m(m>0)上的单调性； (3)对一切实数x∈(0，+o),不等式2f(x)≤g(x)+2恒成立，求实数a的取值范围 试卷第4页，共4页 《2026年4月14日高中数学作业》参考答案 题号 y 2 4 6 6 8 9 10 答案 A B D B D AB BD 题号 11 答案 BD 1.A 【分析】根据导数的定义计算即可. 【详解】由题意得f'(x)=e, 故lim f(1+△x)-f() △x→0 △x =f()=1. 2.D 【分析】写出二项展开式通项，令x的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解 【详解】x+2 =Cg2x$k=0,1,2,;6) 令12-3k=0,可得k=4, 故展开式中的常数项为C。.2=15×4=60 3.C 【分析】对f)了式+-3x+1求导，讨论单调性，得出极值和最位，画出草图即可。 【详解】定义域为(-n,+0),求导即f'(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1), 令∫'(x)=0,解得x1=-3,x2=1. 显然在(-∞，-3)和(1，+o)上f'(x)>0,故f(x)在(-o,-3)和(1，+∞)上单调递增： 在(-3,1)上"(x)<0,故f(x)在(-3,1)上单调递减. 所以x=-3为f()的极大值点，x=1为f()的极小值点，且f()展大值=10>0， )子0，草图如下 答案第1页，共11页 10 所以ABD正确，C错误， 故选：C. 4.D 【分析】以A舱的人数为分类依据，将5人分配到A、B、C三个舱中，分别计算各类分 组与排列的方法数，最后求和得到总安排数 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在A舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在B,C舱， 有CCA?=4×1×2=8种不同的安排方法： ②甲单独在A舱，其余四人平均分成两组每组2人，安排在B,C舱， 有CCA=61×2=6种不同的安排方法： 2 ③A舱安排2人，其余三人分成两组，一组1人，一组2人，安排在B,C舱， 有CCC2A?=4×3×1×2=24种不同的安排方法： ④A舱安排3人，其余二人分成两组，安排在B,C舱， 有CA=6×2=12种不同的安排方法： 综上，不同的安排方法共有8+6+24+12=50种. 【点睛】本题是分类加法计数原理+分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类， 结合均匀或不均匀分组与排列计算 5.A 【分析】令x=1和x=-1后作差可得。 【详解】令x=1,则a1+1)3+(1-1)=8a=a+a+…+a6, 令x=-1,则a1-1)3+(1+1)=64=a。-4+a2-a3+a4-a+a6, 答案第2页，共11页 作差可得8a-64=2(a+4+a)=0→a=8. 故选：A 6.D 【详解】事件B两次投掷点数和为9的所有情况为：(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，共4种： 总样本空间为6x6=36种，则P(8)=4-{ 3699 事件AB要求第一次为偶数且两次和为9，满足的情况为：(4,5)，(6,3)，共2种： :.P(AB)=3618 21 1 由条件概率公式得：P(AB)= P(AB=18-1 P(B)121 9 7.D 【分析】依题意，可知在[1，+∞)上，∫'(x)≥0恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【详解】依题意，f'(x)=x-a+1≥0在[L,+∞)上恒成立， 即a≤x2+x在[1，+o)上恒成立. 设y=2+x,xe[L,+),因y=x2+x=(k+2-1在[L,+)上单调递增， 故y=x2+x在[，+o)上的最小值为y=1+1=2,故a≤2. 故选：D 8.A 【分析】根据对立事件的概率关系求出P(A),由条件概率公式求得P(AB),根据全概率公 式求得P(AB),再由条件概率公式求得P(AB): 【详解】因为P(A)=0.3,所以P(A=1-0.3=0.7 所以P(AB)=P(AP(B1A)=0.7×0.2=0.14 由P(B)=P(AB)+PAB),得P(AB)=P(B)-P(AB)=0.4-0.14=0.26 所以P(A|B)= P(AB)0.262613 P(B）0.44020 答案第3页，共11页 9.AB 【分析】根据题意结合组合数性质列式求解即可. 【详解】因为C=C9-, 由组合数性质可得5=19-n或5+19-n=n,解得n=14或n=12, 检验可知n=14或n=12均符合题意. 故选：AB 10.BD 【分]由条什陵车公式)调可判脂A。站合数立事件的法公式可导B: 运用和事件的概率公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)可判断C:利用全概率公式 P(B)=P(A)P(BA)+P(AP(BA)可求P(BA 【详解】因为P(AB)=P(A)P(BA),故A错误： 随机事件A,B相互独立，则P4BPC4).PHP@)Pa), P(B)PB) 即P(AB)+P(A)=1,故B正确： 随机事件A,B相互独立，P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.2-0.7×0.2=0.76,故 C错误： 根据全概率公式助=P(a)PB4D+P(团Pe团-}×子+号P团=分 343 解得PB可名故D正确； 故选：BD. 11.BD 【分析】根据给定条件，利用导数判断单调性，结合零点存在性定理逐项判断即得. 【详解】对于A,当a=2时，f(x)=e*-2x,求导得f"(x)=e-2,由f"(x)<0, 得x<n2,则f(x)在(-o,ln2)上单调递减，A错误； 对于B,当a=e时，fx)=e-ex,求导得f'(x)=e*-e,由f'(x)<0,得x<l, 由'(x)>0,得x>1,则f(x)在(-o,1)上递减，在(1，+0)上递增，f(x)mm=∫I)=0,B 正确： 答案第4页，共11页 对于C,当a<0时，f(x)=e-ax,f(x)=e-a>0,f(x)在R上为单调递增， 又f0=1,f白=e-1<0,则f在(-m,0上一定存在零点，C错误： 对于D,当a>0时，f(x)=e-m,由f(x)=ex-a>0,得x>lna,f"(x)<0,得x<lna, 则f(x)在(-n,n上递减，在(na+o)上递增，f(x)有唯一的极小值，D正确. 故选：BD 12.分 【分析】根据给定条件，利用缩小样本空间的方法，结合古典概率求出条件概率！ 【详解】第一次取出1个白球后，袋子里还有2个白球和2个红球， 所以第二次取出红球的概率为2={ 42 故答案为： 13.-1 【分析】先求导，然后分别求出∫'()，f(),表示出切线方程，最后将点(2,3)代入切线 方程即可求出答案 【详解】由题可知f(y)=1-a,则f)=1-a. 又f(1)=1,所以f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y-1=(1-a)(x-1),即 y=(1-a)x+a.因为点(2,3)在切线上，所以3=2-2a+a,解得a=-1. 故答案为：-1. 14.29 【分析】写出二项式的展开式通项，进而确定对应有理项，即可求」 【详解】由二项式知，其展开式通项为T4=C( 16-57 =C%x6,=0,1,&, 所以，当r=2,8时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为C+C=29. 15.(1)a=15,b=-18 (2)单调递增区间为[-2，-1)，(6,11]，单调递减区间为(-1,6) 【分析】(1)根据题意得出f"(-1)=0,f(-1)=1,可得出关于a、b的方程组，即可解出a、 答案第5页，共11页 b的值： (2)利用函数的单调性与导数的关系可求得函数f(x)在[-2,11]上的单调减区间和增区间. 【详解】(1)因为f(x)=2x3-ax2-36x+b,所以f'(x)=6x2-2a-36. 因为f'(-1)=2a-30=0,f(-1)=34-a+b=1,所以a=15,b=-18. 且当a=15,b=-18时，f(x)=2x3-15.x2-36.x-18, 则f"(x)=6x2-30x-36=6(x2-5x-6)=6(x+1)(x-6), 令f'(x)=0可得x=-1或x=6,列表如下： (-0,-1) -1 (-1,6) 6 (6,+∞) f"(x) 0 0 f(x) 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数(x)在x=-1处取得极大值，合乎题意，因此，a=15,b=-18 (2)由(1)知，函数f(x)在[-2,11]上的单调递增区间为[-2，-1)、(6,11]， 单调递减区间为(-1,6) 16.(1)第5项，T,=1120x6 (2)有，分别是T=112x,I,=1120x6,T,=1792x1,T,=256x16 (3)系数的绝对值最大的项是第6项和第7项；系数最大的项是T,=1792x山 【分析】(1)根据二项式系数的性质，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大，由此可 确定二项式系数最大的项 (2)先写出展开式的通项公式，再根据通项公式判断是否存在x的负整数次幂 (3)设出系数的绝对值最大的项，根据系数绝对值最大的条件列出不等式组，求解不等式 组得到？的值，进而确定系数绝对值最大的项，再根据系数的正负性确定系数最大的项 【详解】(1) 的展开式的通项为： 答案第6页，共11页 =c()=c(2片，rs8.reN 二项式系数最大的项为中间项，即第5项，T=C(-2)x6=1120x6, (2)T=(-2)x,rs8,reN, -3r<0且4rez,7=2468 令43， 当r=2时，T=C6(-2)2x1=112x1: 当r=4时，T=Cg(←2)4x6=1120x6; 当r=6时，T,=C(-2)°x1=1792x1: 当r=8时，T,=C8(-2)8x16=256x16 的展开式的通项为 Iu=CW（j=C(-2y,r≤8，reN, 2'Cg≥2HCg 设第r+1项系数的绝对值最大，显然0<r<8,则 2Cg≥21Cg1 81 81 ≥2. r(8-r）！ (r+)(7-! 「r+1≥16-2 整理得 即 81 81 18-2r≥r’ r(8-r)！(r-1)(9-月 解得5≤r≤6，而reN,则r=5或r=6, 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项； 由以上知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负， 第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项T,=(-2)‘Cx1=1792x1 o哈 40； (3)P(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB),证明见解析 【分析】(1)根据全概率公式求解即可； 答案第7页，共11页 (2)根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解： （3)根据(2)猜想，由条件概率公式证明即可. 【详解】(1)记事件“第i次摸到红球”为A(位=1,2,3，，10)，则第2次摸到红球的事件为A, P4)品4)-g子P国)-高4)-g 由伞率公式.得4)-PPA)P网P同-品号高号司 on知=244小定子县=4) g=P44)-子PA4)-话 A。15 g=P(444)P444)-2x155 P(AA)24781 (3)由(2)可得R=PP,即P(AA,A)=P(A)P(AA)P(AAA), 可猜想：P(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB) 证明如下：由条件概率及P(A)>0,P(AB)>0, 得P(BA)= P(aB)P(ClAB)-(ane) P(A)' P(AB)' 所以P(A)P(BAP(CAB)=P(A) PABP(ABC）=P(ABC). P(A)P(AB) 18务 (3)方案二 【分析】(1)利用全概率公式计算可得： (2)利用条件概率概率公式计算可得： (3)分别求出两种方案中摸到白球的概率，再比较即可. 【详解】(1)设摸球一次，“取到甲袋为事件A,“取到乙袋”为事件A,“摸出白球”为事件 B,“摸出红球”为事件B2 答案第8页，共11页 则24a)-402ea)42a4)-片品片8号 所以首次摸球后试验就结束的概率为0 13 (2)由题意，B,和B为对立事件则P(B)=1-P(B)20: 7 14 则P(4A,)=P4B）-210=4 P(B2) 7 20 所以选到的袋子是乙袋的概率是号 (3)方案一：从原袋中摸球 若首次在甲袋中摸出红球，则P(AB,)=1-P(4B,)=1-7 43 原袋（甲袋）中摸出白球的概率乙， 所以第二次摸球后试验结束的概率为 373 101 7×10-10 若首次在乙袋中摸出红球， 则P(4B,)- 原袋（乙袋）中摸出白球的概率品}。所以第二次摸球后试验结束的概率为号号 4.312 综上，方案一使第二次摸球后试验结束的概率为 3,129 03514 方案二：从另外一个袋子中摸球 若首次在甲袋中摸出红球，则P(4B)=亏， 3 另一个袋子（乙袋）中摸出白球的概率合号，所以第二次摸球后试验结束的概率为 3、39 7*535: 若首次在乙袋中技出红球，则P(4,)一号 丹个袋子（甲袋）中摸出白球的率所以第二次损球后试验结克的概率为号一号 4.72 10 9.223 综上，方案二使第二次摸球后试验结束的概率为35亏35 因为923 所以方案二使第二次摸球后试验结束的概率更大 1435 19.) 49 (2)答案见解析 (3)a2-2. 答案第9页，共11页 【分析】(1)求出曲线y=f(x)在点(e,f(e》处的切线方程，进而求出切线与两坐标轴的交 点，利用直角三角形面积公式即可求解： (2)利用导数的正负研究原函数的单调性，分0<m≤士与m>】两种情况讨论即可； e e 数得到2a≥2hx-3x,构造函数hW=2血x-3x-,利用导 可 【详解】(l)因为f(x)=xlnx,故f'(x)=lnx+1,所以f'(e)=ne+l=2,f(e)=e, 所以曲线y=∫(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y-f(e)=f'(e(x-e), 即y-e=2(x-e),y=2x-e, 与两坐标轴的交点分别为0，-.（兮0）， 故围成的三角形的面积为×ex= 224 (2)因为f(x)=xnx,故f'(x)=hx+1, 令f"m)=nx+1=0,x=1 当0<m≤1，则f(x)<0,故y=f(x)在(0，m叫)上单调递减： 当m>1,则0<x<时，f"()<0,所以y=f(y)在(0，月单调递减： 上<x<m时，了)>0，所以y=f(x)在合网单调递增： 综上：当0<ms时，y=fx)在(0，m上单调递减 当m>】时，y=f(x)在(0，单调递减，（三m单调递增。 e (3)2f(x)≤g'(x)+2即2xnx≤3x2+2am-1+2, 即2a≥2nx-3x-1对一切实数re(0,+o)恒成立， 令0)=2nx-3x-Ln0)=23+1-3+2x+1-6x+1x-) 2 x2 当0<x<1时，h(x)>0,h(x)单调增； 当x>l时，h(x)<0,h(x)单调减；故h(x)最大值为h(I)=4, 则2a≥-4，a2-2, 故实数a的取值范围是a≥-2. 答案第10页，共11页 迎II并‘迎II患嵩易