清单02-1 高考数学考前重点题型归纳（集合与常用逻辑用语、复数、平面向量、不等式、三角函数与解三角形，抢分清单）2026年高考数学终极冲刺讲练测

清单02-1 高考数学考前重点题型归纳 第一部分 （含10个专题，221个核心题型） 题型01 集合5个重点题型 题型02 常用逻辑用语13个重点题型 题型03 复数15个重点题型 题型04 平面向量26个重点题型 题型05 等式与不等式的性质及基本不等式16个重点题型 题型06 三角函数与诱导公式11个重点题型 题型07 三角恒等变换24个重点题型 题型08 三角函数的图象及性质40个重点题型 题型09 解三角形小题35个重点题型 题型10 解三角形大题36个重点题型 题型01 集合5个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 求交集 先确定各集合表示的数集范围（定义域/值域）。 2 求补集 涉及交、补混合运算，需按顺序求解。 3 求并集 直接解不等式后取并集。 4 根据并集结果求参数 结合并集概念和集合元素的互异性。 5 根据集合相等求参数 利用集合相等的定义和元素互异性，通常需要分类讨论。 1．（2026·河北衡水·一模）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东汕头·模拟预测）已知集合，若，则为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（2026·江西抚州·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏·一模）设集合，，若含有4个元素，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 题型02 常用逻辑用语13个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 存在量词命题的否定 存在量词改全称量词，否定结论 2 全称量词命题的否定 全称量词改存在量词，否定结论 3 存在量词命题的否定 存在量词改全称量词，否定结论 4 命题真假判断 + 复合命题 先判断单个命题真假，再用逻辑联结词规则判断 5 简单命题的否定 直接否定判断，注意存在量词的使用 6 充分必要条件（数列） 结合等差数列定义，判断推出关系 7 充分必要条件（函数对称中心） 牢记对称中心性质，判断条件能否互推 8 充分必要条件（对立事件） 对立事件定义 + 概率公式，判断条件充分性与必要性 9 充分必要条件（直线与圆位置） 用圆心到直线距离判断相交，推导条件关系 10 充分必要条件（平面向量） 向量垂直与数量积关系，判断充分必要性 11 充分必要条件（线面位置） 空间线面平行 / 垂直判定定理，判断推出关系 12 充分必要条件（三角函数象限） 三角函数符号与象限关系，判断条件 13 充分必要条件（函数单调性） 三角函数单调性关系，结合定义域判断条件 1．（2026·云南·模拟预测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·山东德州·一模）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 5．（2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（    ） A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形 C．存在菱形不是矩形 D．存在是菱形的矩形 6．（2026·四川绵阳·模拟预测）若且，则“”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）“点M的坐标为”是“点M为函数图象的对称中心”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·广东汕头·模拟预测）“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 9．（2026·山西运城·一模）已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2026·内蒙古包头·一模）若，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 11．（2026·河北张家口·一模）已知l是一条直线，，为两个不同平面，若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2026·湖南·模拟预测）“”是“为第二象限角”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2026·北京密云·一模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型03 复数15个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 求共轭复数的虚部 利用复数除法化简，结合共轭复数定义，虚部为原复数虚部的相反数。 2 利用周期性求共轭复数的虚部 利用虚数单位i的周期性化简复数，再求共轭复数的虚部。 3 求复数的模 将复数化为代数形式，利用模长公式计算。 4 求复数的模 直接利用模长公式求解。 5 复数对应点的象限判断 设复数代数形式，代入条件，根据实部、虚部符号判断所在象限。 6 复数模的最值问题（几何法） 利用复数模的几何意义，转化为圆上的点到原点的距离最值问题。 7 根据实部与虚部相等求参数 复数除法化简，令实部等于虚部，解方程求参数。 8 根据纯虚数求参数 复数除法化简，令实部为0且虚部不为0，解方程求参数。 9 根据复数对应象限求参数范围 复数乘法化简，令实部、虚部对应象限符号，解不等式组求范围。 10 复数模的最值问题（三角形式） 将复数化为三角形式，利用正弦函数的有界性求模的最值。 11 复数模的取值范围（几何法） 利用模的几何意义，转化为单位圆上的点到定点的距离范围问题。 12 根据复数相等求参数（多选题） 利用复数加减运算，根据复数相等列方程组求解。 13 复数模的几何意义与性质（多选题） 利用复数模的几何意义（双曲线）及不等式性质判断各选项。 14 复数运算与模的性质（多选题） 利用复数模的运算性质及举反例的方法判断各选项。 15 共轭复数与模的性质（多选题） 利用共轭复数定义、模的运算性质及特殊值法判断各选项。 1．（2026·江西赣州·一模）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C．1 D． 2．（2026·吉林白山·二模）若复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 3．（2026·福建莆田·二模）已知复数，则（   ） A． B．3 C． D．5 4．（2026·福建龙岩·一模）已知复数，则的模为（    ） A．1 B． C． D．2 5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．5 D．6 7．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（   ） A． B．3 C． D．1 8．（2026·宁夏银川·一模）若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 9．（2026·广东梅州·一模）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·四川成都·二模）若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河南·模拟预测）若复数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 多选题 12．（2026·山西运城·一模）已知复数，且（），则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·山东青岛·期末）设复数z满足，则（    ） A． B． C．关于z的方程有解 D．若复数w满足，则 14．（2026·浙江·模拟预测）设为复数，其中，则下列正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 15．（25-26高三上·江西·月考）已知复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则为纯虚数 题型04 平面向量26个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 向量共线求参数 利用共线向量定理，设比例系数，根据向量不共线列方程组求解。 2 向量平行（共线）求参数 利用向量平行的坐标关系（交叉相乘相等），列方程求解。 3 向量垂直求参数 先求向量坐标，再根据数量积为0列方程求解。 4 向量基底表示（网格图） 建立坐标系，用待定系数法将向量表示为基底的线性组合。 5 几何图形中的向量线性表示 利用三角形法则和平行四边形法则，结合线段比例关系进行向量分解。 6 向量数量积的几何应用 将目标向量用基底表示，利用数量积的定义和运算律求解。 7 三点共线求参数 将向量分解为基底形式，利用三点共线时系数和为1的性质求解。 8 向量数量积求模 根据向量数量积的定义和模长公式，结合已知条件列方程求解。 9 向量数量积的最值（几何法） 利用圆的性质求弦中点轨迹，将目标向量转化为中点相关形式，结合点到直线距离求最值。 10 向量垂直求夹角余弦值 由垂直得数量积为0，求出参数，再代入夹角公式求解。 11 向量合成与速度分解 根据实际航行方向，将速度分解为静水速度和水流速度，利用余弦定理求解。 12 投影向量 利用投影向量公式（数量积除以模的平方乘以原向量）求解。 13 向量数量积的最值（二次函数） 建立坐标系，将目标向量数量积表示为参数的二次函数，利用二次函数性质求最值。 14 投影向量求夹角 由投影向量公式和数量积定义，建立方程求解夹角。 15 两两夹角相等求模 分夹角为0°和120°两种情况讨论，结合数量积的运算律求解。 16 投影向量（解三角形） 通过平方变形判断三角形形状，再代入投影向量公式求解。 17 向量线性运算与几何作图 作平行线构造平行四边形，利用向量加法法则和已知条件进行转化。 18 斜坐标系下的向量运算 根据新定义，将向量坐标转化为基底表示，利用数量积的运算律求解。 19 向量垂直与模长计算 由垂直得数量积为0，结合已知向量模长关系，利用模长公式求解。 20 向量模的取值范围（几何法） 将向量条件转化为坐标方程，利用点到直线距离求模的最小值，最大值无上界。 21 重心性质与向量分解 利用重心性质（中线交点）将向量分解，根据平面向量基本定理列方程求解。 22 重心性质与向量运算 利用重心与中点的关系，将向量用基底表示，根据向量相等求参数。 23 向量数量积的最值（轨迹与三角函数） 建立坐标系，根据条件求动点轨迹，将目标数量积表示为三角函数，利用辅助角公式求最值。 24 向量数量积的最值（函数法） 根据图形几何关系，将目标数量积表示为参数的函数，利用二次函数或单调性求最值。 25 向量线性运算与数量积 利用共线向量定理和平面向量基本定理，将目标向量用基底表示，结合数量积运算律求解。 26 向量数量积的最值（坐标与圆） 建立坐标系，根据条件确定动点轨迹为圆，将目标数量积表示为参数形式，利用三角函数或几何意义求最值。 1．（2026·河南许昌·模拟预测）已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．9 B．6 C． D． 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·模拟预测）若向量，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2022·北京朝阳·模拟预测）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北保定·一模）在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 7．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南衡阳·模拟预测）平面向量，满足，，且向量，的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．2 9．（2026·福建龙岩·一模）已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．14 D．35 10．（2026·吉林白城·一模）已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽，水流速度为向东，河南岸的A码头与河北岸的B码头的连线恰好与河的方向垂直，C码头在B码头的正东方向，且，D码头在A码头的正东方向，且，某小船从A码头顺流而下，到达D码头接了客人后前往C码头，当所用时间最少时，小船实际航行的速度为，则小船在静水中航行的速度大小为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·重庆·一模）已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·云南·模拟预测）已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·山东德州·一模）若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 16．（2026·广东广州·二模）在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·山东·模拟预测）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 18．（2026·福建龙岩·一模）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则（    ） A． B． C． D．0 19．（2026·山西朔州·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026·广东广州·一模）已知向量，，向量满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．（2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 22．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点是的重心，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 23．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形内有一个动点，，，当，，三点共线时，的延长线与交于点，正方形边长为2，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 24．（2026·湖北·二模）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 25．（2026·湖南·模拟预测）如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 26．（2026·山东烟台·一模）已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 题型05 等式与不等式的性质及基本不等式16个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 基本不等式求最值（条件变形） 将条件等式变形得到两个倒数的和为1，再将目标式用这个“1”代换，利用基本不等式求最大值。 2 不等式性质判断正误 利用不等式的性质、幂函数和指数函数的单调性，以及举反例的方法逐项判断。 3 基本不等式求最值（直接应用） 将目标式变形为“和”为定值的形式，直接利用基本不等式求最小值。 4 基本不等式求最值（构造一元二次不等式） 由条件等式变形，利用基本不等式得到关于目标式的一元二次不等式，解不等式求最小值。 5 基本不等式求最值 基本不等式求最值的直接应用 6 不等式性质与充分必要条件 对分式不等式进行移项通分，转化为整式不等式，再结合充分、必要条件的定义进行判断。 7 基本不等式求最值（构造函数） 观察等式结构构造函数，利用函数的单调性得出变量关系，再结合基本不等式求最值。 8 基本不等式求最值（转化为一元二次不等式） 由条件等式变形得到两个倒数的和为1，利用基本不等式构造关于目标式的不等式，解不等式求最小值。 9 基本不等式与充分必要条件 利用基本不等式判断条件的充分性，通过举反例否定必要性。 10 基本不等式求最值（等差中项） 由等差中项得到变量关系，将目标式进行变形，两次应用基本不等式求最小值。 11 基本不等式求最值（正态分布结合“1”的代换） 利用正态分布的对称性求出参数值，再将目标式乘以“和为定值”的式子，用基本不等式求最小值。 12 不等式性质判断（作差法、函数单调性） 利用指数函数单调性、作差法以及基本不等式，逐项分析判断。 13 不等式性质判断（构造函数） 根据条件构造函数，利用函数的单调性判断不等式是否恒成立，其他选项通过举反例排除。 14 不等式性质判断（多选题） 利用不等式的性质、基本不等式和作差法，逐项分析判断。 15 基本不等式求最值（多选题） 对多个选项分别应用基本不等式或换元法，注意等号成立的条件是否一致。 16 不等式性质与构造函数（多选题） 利用基本不等式判断部分选项，构造函数并利用导数判断单调性，从而分析其他选项。 1．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京密云·一模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）若，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（2026·河北张家口·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 6．（2026·北京平谷·一模）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·湖南永州·一模）若实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 8．（2026·湖南·模拟预测）若，且，则的最小值为（   ） A．12 B．16 C． D． 9．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D．4 11．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·山东日照·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（2026·北京延庆·一模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ）． A． B． C．对任意， D． 多选题 14．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 16．（2026·山东烟台·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 题型06 三角函数与诱导公式11个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 弧长公式与圆锥几何 利用圆锥侧面展开图是半圆，得到母线长等于底面半径的两倍，再代入圆锥表面积公式，求解底面半径。 2 弧长与圆心角关系（地理问题） 由平行线内错角相等得两地所对地心角等于日影角，根据弧长与圆心角的比例关系，用两地距离估算地球周长。 3 三角函数符号与充分必要条件 根据正弦函数在各象限的符号，判断正弦大于零时角所在的象限，结合充分必要条件的定义进行推理。 4 同角关系与两角差公式求角 先由已知的正弦值求出余弦值，再由两角差的正弦求出对应的余弦值，注意根据角范围确定符号，最后用两角差的余弦公式求出目标角的余弦值。 5 同角关系求值（弦化切） 将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正切与余切的和与正弦余弦乘积的关系，代入求解。 6 同角关系求值（平方关系） 将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正弦的四次方与余弦的四次方之和与平方和、乘积的关系，代入求解。 7 诱导公式与二倍角公式 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 8 二倍角公式与弦化切 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 9 诱导公式与二倍角公式 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 10 三角函数求值与充分必要条件 根据正弦值求角时，一个正弦值对应多个角，判断由条件能否推出结论，由结论能否推出条件，从而确定充分必要性。 11 诱导公式与弦化切 先用诱导公式求出角的正切值，再将所求的三角函数式分子分母同除以余弦，化为只含正切的形式，代入求解。 1．（2026·广东汕头·一模）圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D．1 2．（2026·黑龙江·一模）古希腊地理学家埃拉托色尼用下面的方法估算地球周长（即赤道周长）.他从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的赛伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影，同样在夏至那天，他所在的城市——古埃及北部的亚历山大城，立杆测得日影角大约为7°，（如图），埃拉托色尼猜想因为地球是圆的，太阳距离地球很遥远，因此相当于太阳光平行照射在地球上.根据平面几何知识，平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，已知埃拉托色尼估算两地距离大约800km，那么以下数据与他估算得出的地球周长最接近的为（   ） A．40000km B．41000km C．42000km D．43000km 3．（2026·湖南·模拟预测）“”是“为第二象限角”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·河南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川德阳·二模）若，则＝（   ） A． B． C． D． 6．（2026·甘肃·一模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或 7．（2026·陕西商洛·二模）已知，则（     ） A． B． C． D． 8．（2026·广东汕头·一模）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·湖北黄冈·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·山东滨州·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2025·山东烟台·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型07 三角恒等变换24个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 两角和差公式与弦化切 将已知的两个等式用两角和与差的正弦公式展开，分别相加、相减得到正弦与余弦的乘积，再将两式相除得到正切之比。 2 两角差公式与同角关系 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求解。 3 两角和差公式与弦化切 将已知的两个等式用两角和与差的余弦公式展开，分别相加、相减得到余弦与正弦的乘积，再将两式相除得到正切之积。 4 和差化积公式 将已知的两个等式平方后相加，利用平方关系消去平方项，得到两角差的余弦值。 5 两角和公式与角范围确定 先求出两角和的正弦或余弦值，再根据已知角的范围确定两角和的范围，从而确定角的具体值。 6 两角差公式与同角关系 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求解。 7 平方关系求二倍角 将已知等式两边平方，利用平方关系和二倍角公式，求出二倍角的正弦值。 8 同角关系与符号判断 将已知等式两边平方求出二倍角的正弦值，结合已知角范围判断角所在的象限，再通过构造齐次方程求解正切值。 9 同角关系求值（平方关系） 将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正弦的四次方与余弦的四次方之和与平方和、乘积的关系，代入求解。 10 诱导公式与二倍角公式 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 11 三角恒等变换求周期 利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为单个正弦型函数的形式，再根据周期公式求出最小正周期。 12 诱导公式与二倍角公式 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 13 同角关系与两角和正切公式 先由已知角的正弦结合范围求出余弦，进而求出正切，再代入两角和的正切公式求解。 14 同角关系与象限符号 由正切值设出正弦与余弦的比例，利用平方关系求出比例系数，再根据角所在的象限确定符号。 15 三角方程与零点个数 先将函数化为正弦型函数，再令函数值为零，解三角方程，在给定区间内求出所有解，统计解的个数。 16 和差化积与半角公式 将已知等式用和差化积公式变形，得到两角和与两角差的正余弦关系，再转化为半角正切形式求解。 17 同角关系与符号判断 将已知等式两边平方求出二倍角的正弦值，结合已知角范围判断角所在的象限，再通过构造齐次方程求解正切值。 18 诱导公式与弦化切 先用诱导公式将所求式中的角化为同一形式，再将分子分母同除以余弦，化为只含正切的形式，代入求解。 19 两角差公式求角 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求出余弦值，进而确定角。 20 基本不等式求最值 将正切之积用正弦余弦表示，利用已知条件和基本不等式，构造关于正切之积的不等式，求解最大值。 21 和差化积与两角和差公式（多选题） 将已知两个等式平方后相加，求出两角差的余弦；平方后相减，求出两角和的正弦，再结合角范围判断各选项。 22 两角差公式与同角关系（多选题） 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的余弦公式求出目标角的余弦值，进而判断各选项。 23 两角差公式与同角关系（多选题） 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的余弦公式求出目标角的余弦值，进而判断各选项。 24 三角函数单调性与不等式（多选题） 利用正弦函数的单调性、和差化积公式、辅助角公式等，结合角范围及已知条件，逐项分析判断不等式是否成立。 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（   ） A． B．3 C． D．2 2．（2026·山西大同·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江西·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东深圳·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川内江·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·宁夏银川·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·甘肃·一模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或 10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·广东广州·一模）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·新疆·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026·云南大理·二模）已知是第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 16．（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 17．（2026·四川成都·二模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 18．（2026·广西南宁·一模）已知，则＝（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·山西·开学考试）若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 20．（2026·山东临沂·一模）已知锐角，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 多选题 21．（25-26高三上·山西晋城·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 22．（2025·山东聊城·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 23．（2025·江苏南京·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 24．（2026·广东广州·一模）已知，则下列命题正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型08 三角函数的图象及性质40个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 求最小正周期与对称中心 由周期公式求出 ，再令整体角等于 解出对称中心坐标。 2 由奇偶性求参数 利用函数奇偶性定义，将函数拆分为奇函数与偶函数的组合，结合余弦型函数的奇偶性求出参数。 3 由奇函数性质求函数值 利用奇函数在 处函数值为零，解出参数，再代入求值。 4 正弦型函数的性质判断 利用周期公式、奇偶性定义、对称轴与最值的关系、整体代换法判断单调性，逐项分析。 5 正切型函数的对称中心与参数求值 由对称中心坐标公式列出方程，结合已知条件求出参数，再代入求值。 6 判断正弦型函数的单调区间 画出函数图象或利用整体代换法，确定函数在给定区间上的单调性。 7 函数零点个数判断 将方程转化为两个函数图象交点问题，利用周期性及图象分析交点个数。 8 函数对称中心与充分必要条件 先求出正切型函数的对称中心，再判断点坐标与对称中心集合的包含关系。 9 三角函数图象平移与对称中心 由平移后函数的对称中心反推原函数的对称中心，代入坐标求出参数，再求最小值。 10 三角函数图象变换求解析式（逆向） 从目标函数出发，逆向进行平移和伸缩变换，得到原函数解析式。 11 图象平移与对称性结合求参数 分别写出平移后的解析式，利用关于 轴对称的条件及都过原点，列方程组求解。 12 由零点求参数与图象平移 将零点代入求出参数，再将目标函数化为同一形式，比较相位差确定平移方向与单位。 13 图象伸缩与平移求解析式（逆向） 从变换后的函数逆向进行平移和伸缩，还原出原函数。 14 由奇偶性与平移求参数 化简函数，利用平移后为奇函数，结合相位关系求出参数。 15 由对称轴与单调性求参数 利用对称轴处取最值得关系式，结合单调区间长度与半周期的关系，确定参数值。 16 图象平移后求对称中心 写出平移后的解析式，利用正弦函数对称中心公式，整体代换求解。 17 正切型函数的周期与对称中心求参数 由相邻两交点距离得周期，再由对称中心坐标公式列出方程，求最小正参数。 18 零点与平移后偶函数求参数范围 利用零点与最值点的距离确定周期，再根据平移后为偶函数得相位，最后根据零点个数列不等式求范围。 19 图象平移与伸缩后求对称中心 按步骤写出变换后的解析式，利用正弦函数对称中心公式求解。 20 由最值点列方程组求参数 根据最小值点和最大值点列出方程，作差消元求周期，再代入求参数的可能值。 21 由零点个数与最值点求单调区间 根据零点个数确定周期范围，再由特殊点关系确定解析式，最后整体代换求单调增区间。 22 正切型函数性质综合（多选题） 利用诱导公式化简，求周期、对称中心，解不等式求定义域，逐项判断。 23 正弦型函数的对称中心与性质（多选题） 由对称中心求出解析式，再求周期、对称轴、平移后解析式及单调性，逐项判断。 24 三角函数乘积型函数性质（多选题） 利用诱导公式与二倍角公式化简，判断奇偶性、最值、周期、零点。 25 正弦型与余弦型函数对称性比较（多选题） 分别求出两函数的对称中心、对称轴，验证是否存在相同；通过平移变换判断曲线间的关系。 26 图象平移与偶函数综合（多选题） 由平移后为偶函数求参数，再化简目标函数，判断对称中心、单调区间及零点之和的取值范围。 27 由图象求参数与函数性质（多选题） 根据图象的最高点、最低点及周期确定解析式，再判断零点个数及平移后的奇偶性。 28 函数奇偶性、对称性、值域与方程根（多选题） 利用诱导公式判断奇偶性与对称性，分段讨论值域，结合图象分析方程根的分布。 29 由图象求参数与性质（多选题） 由图象得周期、最值，代入点求相位，再判断对称性、单调区间及参数范围。 30 化简后正切型函数性质（多选题） 利用二倍角公式化简，再判断奇偶性、周期、单调性，代入特殊值验证值域。 31 含绝对值函数的性质（多选题） 利用奇偶性定义判断奇偶性，验证对称轴，分析周期性，利用导数求值域。 32 正弦型函数零点与单调性参数范围（多选题） 由零点表达式列出不等式求参数范围，利用对称性求和，由单调区间确定参数范围。 33 三角函数在区间上的值域求参数范围（填空题） 化简函数，整体代换，结合正弦函数图象，由值域端点确定参数范围。 34 周期函数性质与值域（填空题） 利用最大值条件求出周期，进而确定 的最小值，再代回求给定区间上的值域。 35 由存在两个最值点求参数最小值（填空题） 分析函数的最大值点，由区间内存在两个最大值点列不等式，求出最小正整数。 36 由单调区间确定参数最小值（填空题） 由单调区间端点对应最值点，列出方程，结合周期范围确定参数的最小值。 37 由对称轴与函数值求值（填空题） 利用和差化积化简，由对称轴得相位，再代入已知函数值求参数，最后计算目标值。 38 复合方程根的个数求参数范围（填空题） 换元后转化为二次方程根的分布，结合正弦函数图象，根据根的个数列不等式求解。 39 方程在区间上解的个数求参数范围（填空题） 分析函数周期，将区间分为完整周期和剩余部分，根据解的个数确定剩余区间内解的分布，列不等式组求解。 40 图象中的三点共线求参数（填空题） 由三点共线及对称性设出点坐标，利用正弦函数值关系列方程，结合周期与对称轴求解。 1．（2026·广东深圳·一模）函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·一模）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江·一模）若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 4．（2026·四川泸州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，且，则（   ） A．1 B． C． D． 6．（2026·河北保定·一模）下列区间中，函数单调递增的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·福建福州·模拟预测）当时，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）“点M的坐标为”是“点M为函数图象的对称中心”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2026·山东济宁·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 10．（2026·湖北襄阳·一模）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·广东佛山·二模）函数的图象向右平移得到曲线，的图象向左平移得到曲线，若曲线与正好关于轴对称，且都经过原点，则（   ） A． B． C． D．1 12．（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 13．（2026·山东青岛·一模）把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026·陕西铜川·一模）设为奇函数，将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 15．（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（    ） A． B．1 C． D．4 16．（2026·贵州黔东南·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 17．（2026·湖北黄冈·一模）函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·河北张家口·一模）已知函数，若是的解，且满足，将函数的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·河北保定·一模）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·四川内江·二模）已知函数在处取得最小值，在处取得最大值，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 21．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）记函数，其中，若在恰有两个零点，且，则函数在上的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 多选题 22．（2026·内蒙古包头·一模）已知函数，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 23．（2026·贵州贵阳·一模）已知函数的图象关于点中心对称．则（   ） A．的最小正周期为 B．直线是曲线的对称轴 C．将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 D．在区间上单调递增 24．（2026·广东梅州·一模）关于函数，以下结论正确的有（    ） A．的图象是轴对称图形 B．的最大值为1 C．是以为一个周期的周期函数 D．在上有4个零点 25．（2026·江苏·一模）已知函数，，则下列结论正确的有（   ） A．曲线与曲线存在相同的对称中心 B．曲线与曲线存在相同的对称轴 C．曲线向左平移个单位得到曲线 D．曲线与曲线关于轴对称 26．（2026·河南许昌·模拟预测）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若是偶函数，则（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数在上的所有零点之和为，则的取值范围是 27．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在区间恰有一个零点 D．将图象向左移个单位后关于轴对称 28．（2026·山西朔州·一模）已知，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．当在有2个不同实根时，的取值范围是 29．（2026·山东德州·一模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 30．（2026·河北邯郸·一模）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的值域为 31．（2026·黑龙江吉林·一模）下列关于函数.的说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．是图象的一条对称轴 C．为周期函数，且最小正周期为 D．的值域为 32．（2026·重庆·一模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若在上恰有三个零点，则 B．若在上恰有三个零点，则 C．若在单调递增，则 D．若向左平移后的图象与图象关于对称，则 33．（25-26高三上·广东·期末）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 34．（2026·四川·模拟预测）设函数，若存在常数，使得对任意，有，则当取最小值时，在上的值域为_________. 35．（2026·江苏镇江·一模）已知，若在区间上存在两个不相等的实数，，满足，则的最小正整数为________. 36．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最小值为__________． 37．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数，若的图象关于直线对称，，则的值为______. 38．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为_______________. 39．（2026·江西·一模）已知函数.若方程在上恰有85个解，则的取值范围为__________. 40．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 题型09 解三角形小题35个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 已知三边求角 直接利用余弦定理求出角的余弦值，再根据角范围确定角的大小。 2 正弦定理化边为角求比值 由正弦定理将边转化为角的正弦，利用和角公式化简，得到正切关系，进而求出比值。 3 解三角形的实际应用（测量高度） 在直角三角形中利用仰角的正切求高，在一般三角形中利用正弦定理求边长，最终得到高度。 4 同角关系与正弦定理求正弦比 先由同角关系求出正弦值，再根据正弦定理将边的比转化为对应角的正弦比。 5 余弦定理求面积 由余弦定理求出夹角余弦值，再求正弦值，代入三角形面积公式。 6 余弦定理与基本不等式求面积最大值 由余弦定理表示出两边乘积与夹角余弦的关系，利用基本不等式求两边乘积的最大值，进而求面积最大值。 7 正弦定理角化边与余弦定理求角 利用正弦定理将角的正弦转化为边，代入已知等式得到边的比例关系，再由余弦定理求角。 8 三角恒等变换求角与边 先化简已知等式求出角，再利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合余弦定理求边。 9 面积公式与余弦定理结合求面积 由已知条件通过面积公式和余弦定理列出方程，解出边长或角度，再求面积。 10 正弦定理、余弦定理与面积公式求角 利用正弦定理将边转化为角的正弦，代入面积公式和余弦定理，化简得到角的余弦值。 11 角平分线性质与余弦定理求线段长 由角平分线性质得到线段比例，利用余弦定理分别求出相关边长，再求目标线段。 12 二倍角公式与正弦定理判断三角形形状 利用二倍角公式化简已知等式，结合正弦定理化角为边，得到边的关系，从而判断三角形形状。 13 锐角三角形中边角范围 由已知等式变形得到角的范围，再利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合锐角条件确定取值范围。 14 正四面体中的解三角形 在正四面体中，利用棱长关系确定三角形边长，再用余弦定理求角。 15 实际航行问题（正弦定理） 根据方位角作出示意图，确定三角形内角，利用正弦定理求边长。 16 内切圆面积最值 利用面积公式和周长关系表示内切圆半径，结合余弦定理和基本不等式求半径的最大值，进而求面积最大值。 17 中点向量与余弦定理求最小值 利用中线向量公式将中线长表示为边长和夹角的函数，结合余弦定理和基本不等式求最小值。 18 已知两角及一边解三角形 利用两角和公式求出第三角，再由正弦定理求出未知边。 19 正弦定理与辅助角公式求角 由正弦定理化边为角，利用和角公式与辅助角公式得到方程，根据三角函数有界性确定角，再求面积。 20 余弦定理与基本不等式判断角 将已知等式用余弦定理表示，结合基本不等式得到角余弦的范围，从而判断角的性质。 21 面积公式与正弦值求角（两解） 由面积公式求出夹角的正弦值，再根据角范围确定角有两个可能值。 22 余弦定理与面积公式判断选项 利用余弦定理求边长，再求面积、正弦值，通过计算验证各选项。 23 降幂公式与和差化积求角 利用降幂公式和和差化积化简已知等式，得到角的关系，再结合面积公式求边。 24 几何图形中的解三角形 根据图形中的垂直、中点等关系，利用直角三角形和等腰三角形性质求解边长和角度。 25 三角恒等变换与余弦定理求边角关系 将已知等式通过二倍角公式、正弦定理等变形，得到边角关系，再结合余弦定理判断选项。 26 正弦定理与三角恒等变换求角及最值 利用正弦定理和和角公式化简求角，再结合余弦定理、基本不等式求周长范围、向量数量积最值及中线最小值。 27 正弦定理与和差化积求角及中线长 由已知等式通过正弦定理、和差化积求出角，再利用面积公式、余弦定理求边长和中线长。 28 诱导公式与两角和差公式求角及外接圆半径 利用三角形内角和及诱导公式化简已知等式，求出各角，再通过正弦定理求外接圆半径和边长。 29 边角互化与向量数量积求角及边长范围 利用正弦定理边化角，结合和角公式求角，再代入向量数量积求边，利用余弦定理和基本不等式判断边长范围。 30 正弦定理与余弦定理求角 将已知等式用正弦定理化为边的关系，再用余弦定理求出角的余弦值。 31 正弦定理与两角和公式求边比 由正弦定理将边转化为角的正弦，利用两角和公式化简，得到边的比例关系。 32 外心向量与余弦定理求面积最大值 利用外心性质将向量条件转化为边长关系，再由余弦定理和基本不等式求面积的最大值。 33 三角形面积分割与正弦定理求最值 将大三角形面积表示为两个小三角形面积之和，利用正弦定理表示边长，通过三角函数化简求最值。 34 三角形等分面积与基本不等式求最短分割线 分三种情况讨论分割线位置，利用面积公式表示分割线长度，结合基本不等式求最小值。 35 正弦定理与换元法求分式最小值 利用正弦定理将边转化为角的正弦，通过和角公式化简，再换元用判别式法求最小值。 一、单选题 1．（2026·福建莆田·二模）记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026·陕西商洛·二模）某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（     ） A．45米 B．46米 C．69米 D．70米 4．（2026·山西运城·一模）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·安徽·月考）在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 7．（2026·北京延庆·一模）在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 8．（2026·河南南阳·模拟预测）已知的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 9．（2026·江苏·一模）记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 10．（2026·四川成都·二模）记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河南·模拟预测）在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 13．（2026·广东广州·二模）在锐角中，角所对的边分别为且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 14．（2026·河北衡水·一模）在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 15．（2026·贵州黔东南·模拟预测）一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西30°方向行驶千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是（   ） A．30千米 B．千米 C．千米 D．千米 16．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·河南许昌·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 18．（2026·山东聊城·一模）已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高三下·河南·开学考试）记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·陕西西安·模拟预测）内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 二、多选题 21．（25-26高一下·全国·单元测试）已知的面积为且，，则等于（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高三上·广西·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 23．（2026·江西·一模）在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（   ） A． B． C． D． 24．（2026·江西·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 25．（2026·江西九江·一模）在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 26．（2026·山东青岛·一模）记的内角所对边分别为，点为的中点，，，延长到点，使点为线段的中点，则（    ） A． B．周长的取值范围为 C．的最大值为 D．的最小值为 27．（2026·四川内江·二模）已知的面积为，角的对边分别是，，，则（   ） A． B． C． D．边的中线长为 28．（2026·浙江·模拟预测）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．的外接圆半径为1 D． 29．（2026·甘肃兰州·一模）在中，内角所对的边分别为，满足，且，设外接圆半径为，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为 B．当时， C．当时， D．的取值可能是2 三、填空题 30．（2026·陕西·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则______. 31．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． 32．（2026·山东聊城·一模）已知的外心O满足，若，且，则面积的最大值为____________． 33．（2026·重庆·一模）在中，为边上一点，．当面积最小时，__________． 34．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 35．（2026·山东青岛·一模）记内角，，的对边分别为，，，，则的最小值为______ 题型10 解三角形大题36个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 等差中项与正余弦定理求面积 由等差中项得到边的关系，结合正弦定理角化边，利用余弦定理求角，再根据外接圆半径求边长，最后用面积公式求解。 2 向量平行与垂直解三角形 由向量平行、垂直条件转化为边角关系，利用正弦定理、余弦定理求角，再结合已知边长求面积。 3 角平分线性质与基本不等式求最值 利用角平分线性质将面积表示为两边乘积形式，结合余弦定理和基本不等式求面积最小值，再求中线长。 4 由三角函数图象求解析式并解三角形 根据图象确定解析式，代入三角形内角关系求角，再结合正弦定理求边长和周长。 5 由三角函数图象求解析式及函数值 由图象求解析式，再根据函数值求角，利用二倍角公式和同角关系求值。 6 选择条件求三角函数参数与最值 根据所选条件（奇偶性、平移后奇偶性、单调性）确定参数，再化简目标函数，利用正弦函数性质求最值。 7 由周期与对称性求解析式并比较函数值 利用周期求ω，由对称性求φ，写出解析式，代入角度并利用单调性比较大小。 8 由周期求参数并讨论函数单调性 由周期公式求ω，写出函数解析式，再通过导数或复合函数单调性判断给定区间上的单调性。 9 三角恒等变换与向量模长求面积最值 利用二倍角公式、正弦定理求角，由向量模长关系结合余弦定理得到边的关系，利用判别式法求面积最大值。 10 由最值求参数并求变换后的值域 利用辅助角公式化为一角一函数，由最值求参数，再通过伸缩变换得到新函数，求单调区间和值域。 11 由图象过点求解析式并证明恒等式 代入点坐标求φ，写出解析式，利用和差角公式化简已知等式，通过两式相比证明结论。 12 由图象求解析式并求三角函数值 根据图象确定解析式，再代入已知条件，利用同角关系和两角和差公式求值。 13 正弦定理边化角求角与边比最值 利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角形内角和与两角和公式求角，再通过边角互化求边比的最值。 14 余弦定理求角并选择条件求面积 由余弦定理求角，再选择条件（边或角），通过正弦定理、面积公式求解，注意判断条件是否使三角形存在。 15 几何图形中的解三角形与面积最值 利用直角三角形的边角关系、余弦定理和正弦定理表示边长，再通过面积公式和基本不等式求最值。 16 由图象过点求解析式并解三角形 代入点坐标求解析式，再由函数值求角，利用正弦定理和两角和公式求边或角。 17 余弦定理求边并证明恒等式 由已知边角关系利用余弦定理求边，再通过正弦定理和三角恒等变换证明恒等式。 18 正弦定理与三角恒等变换求周长 利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求角，再由外接圆面积求半径，利用正弦定理和余弦定理求边长和周长。 19 正余弦定理证边角关系并求范围 由已知等式利用正余弦定理转化，证明边的不等关系，再通过正弦定理将边比转化为角的正弦比，结合锐角三角形条件求范围。 20 面积公式与余弦定理求角及面积最值 由面积公式和余弦定理消去边，得到角的余弦值，再结合基本不等式求面积最大值。 21 二倍角公式与辅助角公式求角及周长 利用二倍角公式、辅助角公式化简求角，再结合余弦定理和已知边长列方程组求周长。 22 由恒成立求解析式并解三角形 利用正弦函数最值条件求参数，写出解析式，再代入三角形条件，通过面积公式、余弦定理和正弦定理求值。 23 余弦定理与面积公式求角及边长 由已知等式利用余弦定理和面积公式化简，求出角，再结合锐角三角形条件求边长。 24 辅助角公式求单调区间并解三角形 利用辅助角公式化简函数，求单调递增区间，再代入三角形条件，通过正弦定理、面积公式和余弦定理求边长。 25 正弦定理与同角关系求角及边 由正弦定理边化角，结合同角关系求角，再通过面积公式和余弦定理求边长。 26 等差中项与正弦定理求角及边范围 由等差中项得边的关系，结合正弦定理边化角，利用余弦定理求角，再根据外接圆半径和正弦定理求边长范围。 27 正弦定理证边相等并求面积范围 利用正弦定理将边转化为角的正弦，证明两边相等，再通过面积公式和导数求面积取值范围。 28 正弦定理与角平分线性质求周长 由正弦定理边化角求角，利用角平分线性质将面积分割，结合余弦定理求边长和周长。 29 正弦定理与两角和公式求角及面积 利用正弦定理边化角，结合两角和公式求角，再通过内切圆半径与面积、周长的关系及余弦定理求面积。 30 正弦定理与余弦定理求角及边 由正弦定理边化角求角，再在三角形中利用余弦定理和已知条件求边长。 31 选择条件求三角函数参数范围 根据所选条件（最值、零点、单调性）列出不等式组，求ω的取值范围。 32 正弦定理与辅助角公式求角及外接圆半径 利用正弦定理边化角，结合辅助角公式求角，再通过余弦定理、正弦定理及几何性质求外接圆半径。 33 正弦定理与向量关系求角及范围 由正弦定理边化角求角，根据向量关系确定点位置，再利用三角恒等变换求目标式的取值范围。 34 正弦定理与面积公式求角及三角函数值 利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求角，再通过正弦定理、面积公式和余弦定理求边和三角函数值。 35 三角恒等变换与等差、等比数列求最值及范围 利用三角恒等变换化简已知等式，结合等差中项求角及最值，结合等比中项及正弦定理求边比范围。 36 新定义（布洛卡点）与正余弦定理求角及面积 根据布洛卡角定义，利用正弦定理、余弦定理推导边角关系，再通过代数运算求角、边长和面积。 1．（2026·浙江·模拟预测）在中，角对应边分别是.已知成等差数列，且. (1)求的值； (2)若的外接圆半径为，求的面积. 2．（2026·山东东营·一模）已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 (1)若 求A； (2)若 求的面积. 3．（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 4．（2026·江西萍乡·一模）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的周长． 5．（2026·湖南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式，并写出的单调递减区间； (2)若，且，求的值． 6．（2026·北京延庆·一模）已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． (1)求的值； (2)设，求在区间上的最大值和最小值． 条件①：是偶函数； 条件②：的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数是奇函数； 条件③：在区间上单调递增． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 7．（2026·广东广州·二模）已知函数的周期为，且. (1)求函数的解析式； (2)比较与的大小. 8．（2026·重庆·模拟预测）已知函数的最小正周期为. (1)求以及曲线的对称中心； (2)讨论函数在区间上的单调性. 9．（2026·广东汕头·模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．且． (1)若D为AB边上靠近点A的三等分点，，求面积的最大值； (2)求的取值范围． 10．（25-26高三下·安徽·月考）已知函数的最大值为1. (1)求的值； (2)将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，求的单调递减区间以及在区间上的值域. 11．（2026·福建莆田·二模）已知函数（）的图象过点. (1)求的单调递增区间； (2)当，且时，证明：. 12．（2026·山东青岛·一模）函数（，，）的部分图像如图所示. (1)当时，求的单调递增区间； (2)已知，且，求的值. 13．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）在锐角中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)求的最大值. 14．（2026·北京密云·一模）在中，. (1)求； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 15．（2026·浙江·模拟预测）如图，已知直线，A是，之间的定点，过A分别作，的垂线，垂足分别为B，C，点D，E为，上的动点，满足．设，，． (1)当时，求的长度； (2)求面积的最小值． 16．（2026·广东佛山·二模）已知函数的图象经过． (1)求函数的表达式； (2)在中，角所对的边为．已知，求． 17．（2026·山西朔州·一模）已知的内角所对的边分别为. (1)若，求； (2)证明：. 18．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)若，且的外接圆的面积为，求的周长． 19．（2026·四川成都·二模）已知分别是锐角的角的对边，． (1)求证：； (2)求的取值范围． 20．（2026·四川德阳·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． (1)求角B的大小； (2)若b＝4时，求△ABC面积的最大值． 21．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若是边上一点，，，求的周长. 22．（2026·广东佛山·一模）已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 23．（2026·山东烟台·一模）已知的内角的对边分别为，，且的面积为． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的值． 24．（2026·福建龙岩·一模）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)在中，，，的面积为，求边的长. 25．（2026·江西南昌·一模）已知的角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求； (2)若的面积为2，求和. 26．（2026·河北邯郸·一模）的内角的对边分别为，已知成等差数列，且． (1)求； (2)记外接圆的面积为，若，求的取值范围． 27．（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面四边形中，，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为，求面积的取值范围． 28．（2026·贵州遵义·模拟预测）在中，内角、、所对的边分别为、、，，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，，求的周长． 29．（2026·江西赣州·一模）在中，角的对边分别为，且. (1)若，求的值. (2)若的内切圆的面积为，求的面积. 30．（2026·陕西咸阳·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求角； (2)若点在上，，，求． 31．（2026·江苏南通·一模）已知函数，且． (1)若，，求的值； (2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 32．（2026·四川广安·一模）在中，角的对边分别为，且．    (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，求外接圆半径的长． 33．（2026·甘肃·一模）如图，中，角的对边分别为. (1)求； (2)若，求的取值范围. 34．（2026·天津滨海新区·一模）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求： ①边长的值；②的值． 35．（2026·广东·一模）设的内角所对的边分别为，且，记. (1)若成等差数列，求的最小值； (2)若成等比数列，求的取值范围. 36．（2026·陕西西安·模拟预测）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： (1)若，求的大小及的值； (2)已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 清单02-1 高考数学考前重点题型归纳 第一部分 （含10个专题，221个核心题型） 题型01 集合5个重点题型 题型02 常用逻辑用语13个重点题型 题型03 复数15个重点题型 题型04 平面向量26个重点题型 题型05 等式与不等式的性质及基本不等式16个重点题型 题型06 三角函数与诱导公式11个重点题型 题型07 三角恒等变换24个重点题型 题型08 三角函数的图象及性质40个重点题型 题型09 解三角形小题35个重点题型 题型10 解三角形大题36个重点题型 题型01 集合5个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 求交集 先确定各集合表示的数集范围（定义域/值域）。 2 求补集 涉及交、补混合运算，需按顺序求解。 3 求并集 直接解不等式后取并集。 4 根据并集结果求参数 结合并集概念和集合元素的互异性。 5 根据集合相等求参数 利用集合相等的定义和元素互异性，通常需要分类讨论。 1．（2026·河北衡水·一模）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 故， 又因为，故. 2．（2026·广东汕头·模拟预测）已知集合，若，则为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】解不等式化简集合，再利用交集、补集的定义求解. 【详解】解不等式，得或，则或， 解不等式，即，得或，则或， 因此或，所以. 故选：A 3．（2026·江西抚州·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，解得， 则， 由，解得，则， ． 4．（2026·江苏·一模）设集合，，若含有4个元素，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合元素的互异性及并集的概念求解即可. 【详解】根据集合元素的互异性可知，，. 因为含有4个元素，所以仅含有1个元素， 若，则或，所以或. 若，则. 结合集合元素的互异性可知或. 当时，，，，符合题意. 当时，，，，不符合题意. 综上，. 5．（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 【答案】 【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解. 【详解】，，且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 故答案为：. 题型02 常用逻辑用语13个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 存在量词命题的否定 存在量词改全称量词，否定结论 2 全称量词命题的否定 全称量词改存在量词，否定结论 3 存在量词命题的否定 存在量词改全称量词，否定结论 4 命题真假判断 + 复合命题 先判断单个命题真假，再用逻辑联结词规则判断 5 简单命题的否定 直接否定判断，注意存在量词的使用 6 充分必要条件（数列） 结合等差数列定义，判断推出关系 7 充分必要条件（函数对称中心） 牢记对称中心性质，判断条件能否互推 8 充分必要条件（对立事件） 对立事件定义 + 概率公式，判断条件充分性与必要性 9 充分必要条件（直线与圆位置） 用圆心到直线距离判断相交，推导条件关系 10 充分必要条件（平面向量） 向量垂直与数量积关系，判断充分必要性 11 充分必要条件（线面位置） 空间线面平行 / 垂直判定定理，判断推出关系 12 充分必要条件（三角函数象限） 三角函数符号与象限关系，判断条件 13 充分必要条件（函数单调性） 三角函数单调性关系，结合定义域判断条件 1．（2026·云南·模拟预测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由命题的否定的概念选择即可. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题的否定为“，”. 故选：A． 2．（2026·山东德州·一模）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知命题“”的否定为. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】含有量词的命题的否定，只需要改量词，否定结论即可. 【详解】命题，的否定为，， 故选：D． 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】当时，不成立，所以命题是假命题，是真命题； 根据指数函数和对数函数的图象可知，函数与在上有一个交点， 则，，即命题是真命题，是假命题. 5．（2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（    ） A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形 C．存在菱形不是矩形 D．存在是菱形的矩形 【答案】B 【分析】由全称命题的否定，即否定条件，否定结论即可求解. 【详解】原命题可以写作：全部的菱形，都不是矩形，是全称命题， 所以该命题的否定是存在量词命题，即：存在一个菱形，它是矩形. 6．（2026·四川绵阳·模拟预测）若且，则“”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由及等差数列的性质知， 若为等差数列，则，必要性成立； 数列：1，5，3，7满足，但不是等差数列，充分性不成立. 则“”是“为等差数列”的必要不充分条件. 7．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）“点M的坐标为”是“点M为函数图象的对称中心”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出的对称中心，再进行判断. 【详解】由解得，所以的对称中心为，. 而⫋， 所以“点M的坐标为”是“点M为函数图象的对称中心”的充分不必要条件. 8．（2026·广东汕头·模拟预测）“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案. 【详解】投掷一枚硬币3次，满足,但不一定是对立事件， 如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”， 则，，满足，但不是对立事件. 若事件A与事件B是对立事件，则为必然事件，再由概率的加法公式得； 所以“”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件； 故选：D 9．（2026·山西运城·一模）已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得， 因为方程表示圆，所以，解得. 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 若直线与圆相交可得，则可得，解得. 所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件. 10．（2026·内蒙古包头·一模）若，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】由向量共线用表示出，应用向量数量积的运算律得，结合充分、必要性的定义判断推出关系，即可得. 【详解】由，为非零向量且知，存在实数，使， 则，， 当时，，故充分性不成立， 由，则， 故，所以， 即，故， 所以同向共线，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 11．（2026·河北张家口·一模）已知l是一条直线，，为两个不同平面，若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因l是一条直线，，为两个不同平面，， 当时，可过直线作平面与平面交于直线，根据线面平行的性质定理可得， 又，所以，又，所以，故充分性成立； 当时，当且时符合，但推不出，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件． 12．（2026·湖南·模拟预测）“”是“为第二象限角”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由正弦函数在各个象限的符号结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】若，则为第一象限、第二象限角或终边在轴正半轴上； 若为第二象限角，则， 所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件． 13．（2026·北京密云·一模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，， 令，当时，可得， 由正弦函数的性质，可得在为单调递增函数， 所以当时，函数在区间上单调递增，即充分性成立； 反之：当时，可得， 又由正弦函数的单调递增区间为， 要使得函数在区间上单调递增，则满足， 即，且，解得，所以必要性不成立， 综上可得：“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 题型03 复数15个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 求共轭复数的虚部 利用复数除法化简，结合共轭复数定义，虚部为原复数虚部的相反数。 2 利用周期性求共轭复数的虚部 利用虚数单位i的周期性化简复数，再求共轭复数的虚部。 3 求复数的模 将复数化为代数形式，利用模长公式计算。 4 求复数的模 直接利用模长公式求解。 5 复数对应点的象限判断 设复数代数形式，代入条件，根据实部、虚部符号判断所在象限。 6 复数模的最值问题（几何法） 利用复数模的几何意义，转化为圆上的点到原点的距离最值问题。 7 根据实部与虚部相等求参数 复数除法化简，令实部等于虚部，解方程求参数。 8 根据纯虚数求参数 复数除法化简，令实部为0且虚部不为0，解方程求参数。 9 根据复数对应象限求参数范围 复数乘法化简，令实部、虚部对应象限符号，解不等式组求范围。 10 复数模的最值问题（三角形式） 将复数化为三角形式，利用正弦函数的有界性求模的最值。 11 复数模的取值范围（几何法） 利用模的几何意义，转化为单位圆上的点到定点的距离范围问题。 12 根据复数相等求参数（多选题） 利用复数加减运算，根据复数相等列方程组求解。 13 复数模的几何意义与性质（多选题） 利用复数模的几何意义（双曲线）及不等式性质判断各选项。 14 复数运算与模的性质（多选题） 利用复数模的运算性质及举反例的方法判断各选项。 15 共轭复数与模的性质（多选题） 利用共轭复数定义、模的运算性质及特殊值法判断各选项。 1．（2026·江西赣州·一模）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1. 2．（2026·吉林白山·二模）若复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定满足关系，，，，再证明，由此求结论. 【详解】因为，所以， 所以，，，， 所以， 所以复数，， 所以 即， 所以的共轭复数为，其虚部为. 3．（2026·福建莆田·二模）已知复数，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】根据复数模的计算公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 4．（2026·福建龙岩·一模）已知复数，则的模为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由复数模计算公式可得答案. 【详解】由题意，则. 故选：D 5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】设，由，得， 即，得， 所以在复平面内对应的点为位于第四象限. 6．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】C 【分析】复数对应的点的轨迹为为圆心，半径的圆，设为坐标原点，求得，可求的最大值. 【详解】设，由，可得， 所以复数对应的点的轨迹为为圆心，半径的圆， 设为坐标原点，可得，所以的最大值为. 故选：C. 7．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【详解】， 因为复数的实部与虚部相等，所以，得. 8．（2026·宁夏银川·一模）若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】， 因为为纯虚数， 所以，且， 所以. 9．（2026·广东梅州·一模）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数的乘法可得， 而复数对应的点在第三象限，故， 所以即实数的取值范围是. 10．（2026·四川成都·二模）若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 其中，当时，最大值为. 11．（2026·河南·模拟预测）若复数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模的几何意义，数形结合计算求解. 【详解】复数满足， 表示复数在复平面内的轨迹是以原点为圆心、半径为的单位圆， 表示复数到点的距离， 即求解单位圆上的点到的距离取值范围， 因为到点的距离为， 所以的最大值为，的最小值为， 故的取值范围是. 多选题 12．（2026·山西运城·一模）已知复数，且（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的加减法运算将已知等式化简，根据复数相等则虚部、实部分别相等列方程组求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，即， 所以，解得. 13．（25-26高三上·山东青岛·期末）设复数z满足，则（    ） A． B． C．关于z的方程有解 D．若复数w满足，则 【答案】ABD 【分析】设，根据可得，故在双曲线上，由双曲线的性质可判断ABC的正误，根据三角形不等式可判断D的正误. 【详解】设，则， 整理得， 故即， 故在双曲线上，焦点坐标为实半轴长为， 故表示到两个焦点的距离差的绝对值， 故，故A正确； 即为到原点的距离，故大于等于实半轴长，故，故B成立， 对于C，由可得，而， 故，而，故矛盾，故C错误； 对于D，因为即为到原点的距离，由B的分析可得， 而，故D正确； 故选：ABD. 14．（2026·浙江·模拟预测）设为复数，其中，则下列正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据复数运算和模长运算判断A错误，C正确；根据复数性质判断B正确；通过举反例判断D错误. 【详解】选项A，计算得：，， 因为，所以的虚部，不可能等于实数，故A错误； 选项B，是复数模的基本性质，对任意复数都成立，故B正确； 选项C，设，则， 若，则虚部，得，故，故C正确； 选项D，，故，由两边约去得，不一定有， 例如满足条件，但，故D错误. 15．（25-26高三上·江西·月考）已知复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则为纯虚数 【答案】ACD 【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；举反例即可判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘方运算即可判断选项D. 【详解】设， 对于A，由，则， 而，则，故A正确； 对于B，举例，满足，但，无法比较大小，故B错误； 对于C，由复数模的运算性质可知，，故C正确； 对于D，由，则，而， 可得，则，则为纯虚数，故D正确． 故选：ACD 题型04 平面向量26个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 向量共线求参数 利用共线向量定理，设比例系数，根据向量不共线列方程组求解。 2 向量平行（共线）求参数 利用向量平行的坐标关系（交叉相乘相等），列方程求解。 3 向量垂直求参数 先求向量坐标，再根据数量积为0列方程求解。 4 向量基底表示（网格图） 建立坐标系，用待定系数法将向量表示为基底的线性组合。 5 几何图形中的向量线性表示 利用三角形法则和平行四边形法则，结合线段比例关系进行向量分解。 6 向量数量积的几何应用 将目标向量用基底表示，利用数量积的定义和运算律求解。 7 三点共线求参数 将向量分解为基底形式，利用三点共线时系数和为1的性质求解。 8 向量数量积求模 根据向量数量积的定义和模长公式，结合已知条件列方程求解。 9 向量数量积的最值（几何法） 利用圆的性质求弦中点轨迹，将目标向量转化为中点相关形式，结合点到直线距离求最值。 10 向量垂直求夹角余弦值 由垂直得数量积为0，求出参数，再代入夹角公式求解。 11 向量合成与速度分解 根据实际航行方向，将速度分解为静水速度和水流速度，利用余弦定理求解。 12 投影向量 利用投影向量公式（数量积除以模的平方乘以原向量）求解。 13 向量数量积的最值（二次函数） 建立坐标系，将目标向量数量积表示为参数的二次函数，利用二次函数性质求最值。 14 投影向量求夹角 由投影向量公式和数量积定义，建立方程求解夹角。 15 两两夹角相等求模 分夹角为0°和120°两种情况讨论，结合数量积的运算律求解。 16 投影向量（解三角形） 通过平方变形判断三角形形状，再代入投影向量公式求解。 17 向量线性运算与几何作图 作平行线构造平行四边形，利用向量加法法则和已知条件进行转化。 18 斜坐标系下的向量运算 根据新定义，将向量坐标转化为基底表示，利用数量积的运算律求解。 19 向量垂直与模长计算 由垂直得数量积为0，结合已知向量模长关系，利用模长公式求解。 20 向量模的取值范围（几何法） 将向量条件转化为坐标方程，利用点到直线距离求模的最小值，最大值无上界。 21 重心性质与向量分解 利用重心性质（中线交点）将向量分解，根据平面向量基本定理列方程求解。 22 重心性质与向量运算 利用重心与中点的关系，将向量用基底表示，根据向量相等求参数。 23 向量数量积的最值（轨迹与三角函数） 建立坐标系，根据条件求动点轨迹，将目标数量积表示为三角函数，利用辅助角公式求最值。 24 向量数量积的最值（函数法） 根据图形几何关系，将目标数量积表示为参数的函数，利用二次函数或单调性求最值。 25 向量线性运算与数量积 利用共线向量定理和平面向量基本定理，将目标向量用基底表示，结合数量积运算律求解。 26 向量数量积的最值（坐标与圆） 建立坐标系，根据条件确定动点轨迹为圆，将目标数量积表示为参数形式，利用三角函数或几何意义求最值。 1．（2026·河南许昌·模拟预测）已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．9 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】若向量与共线， 则存在实数使得，即， 又、是两个不共线的向量，所以，解得. 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于，由得，解得． 3．（2026·重庆·模拟预测）若向量，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，可得坐标，根据数量积的坐标公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，， 因为，所以， 则，解得. 4．（2022·北京朝阳·模拟预测）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用坐标法，首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再表示为基底形式，利用待定系数法，即可求解. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则，，，， 所以，，， 设向量 则 则，解得 所以. 5．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 6．（2026·河北保定·一模）在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将表示为，利用向量的数量积求解. 【详解】由已知条件可得，， 则. 7．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 8．（2026·湖南衡阳·模拟预测）平面向量，满足，，且向量，的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，且向量，的夹角为，所以， 由，得， 则，解得（负值舍）. 9．（2026·福建龙岩·一模）已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．14 D．35 【答案】A 【分析】利用圆的性质求出弦中点的轨迹，再根据向量运算将转化为与点相关的形式，最后结合点到直线的距离公式求出最小值. 【详解】设弦中点为，根据圆的性质，， ， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 其方程为. 因为， 所以， 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2. ， . 故选：A. 10．（2026·吉林白城·一模）已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，则，解得， 则，， 则与的夹角的余弦值为. 11．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽，水流速度为向东，河南岸的A码头与河北岸的B码头的连线恰好与河的方向垂直，C码头在B码头的正东方向，且，D码头在A码头的正东方向，且，某小船从A码头顺流而下，到达D码头接了客人后前往C码头，当所用时间最少时，小船实际航行的速度为，则小船在静水中航行的速度大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意小船实际航行的方向应与保持一致，将实际航行速度进行分解，求出实际航行速度与水流速度的夹角，利用余弦定理求解即得. 【详解】如图，要使所用时间最少，小船实际航行的方向应与保持一致， 设小船的船头方向为，水流方向为，为河宽， 在中，，， 则，，则， 设小船在静水中航行的速度大小为， 在中，由余弦定理，， 解得，即小船在静水中航行的速度大小为. 12．（2026·重庆·一模）已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因，. 则向量在方向上的投影向量为. 13．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在边长为2的正方形中，， 设，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 14．（2026·云南·模拟预测）已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果. 【详解】由题意得，所以，即， 于是，又，. 故选：C 15．（2026·山东德州·一模）若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 【答案】C 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，， 则 ； 综上所述：或. 16．（2026·广东广州·二模）在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式. 【详解】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 17．（2026·山东·模拟预测）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，以为邻边作平行四边形，利用可得答案. 【详解】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 18．（2026·福建龙岩·一模）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】由平面向量数量积的定义可得， 由题意可知，， 所以. 19．（2026·山西朔州·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由可得，最后应用模长公式即可求解. 【详解】因为，所以，展开整理得， 由得，即， 所以，即 所以. 20．（2026·广东广州·一模）已知向量，，向量满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设. 已知，，所以. 则，即. 因表示点到原点的距离，而点是直线上的点， 故的最小值即为原点到直线的距离， 因为点在直线上，所以可无限大， 所以的取值范围是. 21．（2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用重心的性质及平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为点是的重心，所以，即， ， 又不共线，所以，故. 故选：C 22．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点是的重心，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】 设是的中点，则. 所以. 因为，所以， 因此. 23．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形内有一个动点，，，当，，三点共线时，的延长线与交于点，正方形边长为2，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】以为坐标原点，所在直线建立平面直角坐标系，根据可得到点的轨迹方程，求出，，三点共线时点坐标，进而得到点坐标，设，表示出，利用辅助角公式即可求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线建立如图所示平面直角坐标系， 则，，， 设，则，， 因为，所以， 所以点的轨迹方程为， 直线方程为， 联立，解得或（舍去）， 所以当，，三点共线时，， 此时直线方程为， 令，解得，所以， 设，其中， 则，， 所以 ， 其中，， 所以当，即，时，取得最小值，最小值为. 24．（2026·湖北·二模）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【详解】根据题意可得，所以， 又因为，，所以，， 设，则，所以，， 所以 令，在上单调递增，在上单调递减， 故最大值为40， 故选：D． 25．（2026·湖南·模拟预测）如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】利用共线向量定理及平面向量基本定理用表示，再利用数量积运算律求解. 【详解】由为边靠近的三等分点，得， 不妨设，由三点共线得， 设，则， 又不共线，则有， 即，解得，即， 由，得，因，， 因此 ， 因， 所以. 26．（2026·山东烟台·一模）已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】以点为原点建立如图所示直角坐标系， 因为，，， 所以， 因为，所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 设点， 因为，所以， 所以，解得， 所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值为. 题型05 等式与不等式的性质及基本不等式16个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 基本不等式求最值（条件变形） 将条件等式变形得到两个倒数的和为1，再将目标式用这个“1”代换，利用基本不等式求最大值。 2 不等式性质判断正误 利用不等式的性质、幂函数和指数函数的单调性，以及举反例的方法逐项判断。 3 基本不等式求最值（直接应用） 将目标式变形为“和”为定值的形式，直接利用基本不等式求最小值。 4 基本不等式求最值（构造一元二次不等式） 由条件等式变形，利用基本不等式得到关于目标式的一元二次不等式，解不等式求最小值。 5 基本不等式求最值 基本不等式求最值的直接应用 6 不等式性质与充分必要条件 对分式不等式进行移项通分，转化为整式不等式，再结合充分、必要条件的定义进行判断。 7 基本不等式求最值（构造函数） 观察等式结构构造函数，利用函数的单调性得出变量关系，再结合基本不等式求最值。 8 基本不等式求最值（转化为一元二次不等式） 由条件等式变形得到两个倒数的和为1，利用基本不等式构造关于目标式的不等式，解不等式求最小值。 9 基本不等式与充分必要条件 利用基本不等式判断条件的充分性，通过举反例否定必要性。 10 基本不等式求最值（等差中项） 由等差中项得到变量关系，将目标式进行变形，两次应用基本不等式求最小值。 11 基本不等式求最值（正态分布结合“1”的代换） 利用正态分布的对称性求出参数值，再将目标式乘以“和为定值”的式子，用基本不等式求最小值。 12 不等式性质判断（作差法、函数单调性） 利用指数函数单调性、作差法以及基本不等式，逐项分析判断。 13 不等式性质判断（构造函数） 根据条件构造函数，利用函数的单调性判断不等式是否恒成立，其他选项通过举反例排除。 14 不等式性质判断（多选题） 利用不等式的性质、基本不等式和作差法，逐项分析判断。 15 基本不等式求最值（多选题） 对多个选项分别应用基本不等式或换元法，注意等号成立的条件是否一致。 16 不等式性质与构造函数（多选题） 利用基本不等式判断部分选项，构造函数并利用导数判断单调性，从而分析其他选项。 1．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 2．（2026·北京密云·一模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）若，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 目标式最小值为4. 4．（2026·河北张家口·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用基本不等式将等式变形化简，解不等式即可得出结果. 【详解】由可得， 因为实数，，所以， 因此可得，即， 解得或（舍）， 当且仅当时，即时，等号成立, 所以的最小值为6. 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 【答案】D 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为25． 6．（2026·北京平谷·一模）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对移项通分：， 若，则，因此，即一定成立，充分性成立； 若，不一定能推出， 举例：取，满足，但不满足，因此必要性不成立； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 7．（2026·湖南永州·一模）若实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】构造函数利用其单调性结合条件等式得出结合基本不等式计算即可. 【详解】由题意实数，满足， ， 而函数在R上单调递增， 所以， 当且仅当时等号成立． 故选：B 8．（2026·湖南·模拟预测）若，且，则的最小值为（   ） A．12 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合一元二次不等式求解即可解题. 【详解】因为，，所以， 令，所以，解得（舍去）或， 即，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 9．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可判断选项. 【详解】若，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以由可得成立， 若，取，满足，但不满足，所以由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 10．（2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D．4 【答案】A 【详解】由题意可知，即，则， 由基本不等式可知，当且仅当时，即时取等号， 则，所以，当且仅当，即时取等号， 综上所述，当时，取得最小值. 11．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】根据题意，随机变量，且，则有，解得.由，即， 所以，当且仅当，即时取等号. 12．（2026·山东日照·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性判断A，利用基本不等式判断B，利用作差法即可求解BD. 【详解】由可得 对于A，由于，函数为单调递增函数，故 ，故A错误， 对于B， ，由于，故， 故，则，故B错误， 对于C，由于故 ，故C错误， 对于D， ，由于得，故. 13．（2026·北京延庆·一模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ）． A． B． C．对任意， D． 【答案】D 【详解】对A：当，时，不等式不能成立； 对B：当，时，不等式不能成立； 对C：当时，不等式不能成立； 对D：因为，所以函数在上单调递增，又，所以恒成立.故D正确. 多选题 14．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于选项A，因为，，所以，故A正确； 对于选项B，由可得（又，等号不成立），所以，故B正确； 对于选项C，由，由，可得，所以，故C错误； 对于选项D，因为，所以，故D错误. 15．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 【答案】AC 【分析】选项A，由，，，直接利用基本不等式求出的范围，从而得到的最大值；选项B，将所求的的分子转化为，利用基本不等式求解即可；选项C，设，则，由得到从而得到的范围，即可得到的最大值；选项D，将所求的转化为，利用基本不等式求解即可. 【详解】选项A，，，，， ，当且仅当，即时，等号成立； 故ab的最大值为，故选项A正确； 选项B，，， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项B错误； 选项C，设，则， ，， ，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为，故选项C正确； 选项D，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项D错误. 故选：AC. 16．（2026·山东烟台·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用给定条件结合基本不等式判断A，C；利用构造函数，求导，利用单调性进行判断B，D. 【详解】对于A项，因，，且，则有， 当且仅当时取“=”，A正确； 对于B项，因，，且，则, 得，则B错误； 对于C项，因，，且，则， 得，， 设，， 得，得函数在上单调递增， 得，得， 即，得，故C正确； 对于D项，， 令， 得，得函数在上单调递增， 得，得，即，故D项错误. 题型06 三角函数与诱导公式11个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 弧长公式与圆锥几何 利用圆锥侧面展开图是半圆，得到母线长等于底面半径的两倍，再代入圆锥表面积公式，求解底面半径。 2 弧长与圆心角关系（地理问题） 由平行线内错角相等得两地所对地心角等于日影角，根据弧长与圆心角的比例关系，用两地距离估算地球周长。 3 三角函数符号与充分必要条件 根据正弦函数在各象限的符号，判断正弦大于零时角所在的象限，结合充分必要条件的定义进行推理。 4 同角关系与两角差公式求角 先由已知的正弦值求出余弦值，再由两角差的正弦求出对应的余弦值，注意根据角范围确定符号，最后用两角差的余弦公式求出目标角的余弦值。 5 同角关系求值（弦化切） 将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正切与余切的和与正弦余弦乘积的关系，代入求解。 6 同角关系求值（平方关系） 将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正弦的四次方与余弦的四次方之和与平方和、乘积的关系，代入求解。 7 诱导公式与二倍角公式 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 8 二倍角公式与弦化切 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 9 诱导公式与二倍角公式 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 10 三角函数求值与充分必要条件 根据正弦值求角时，一个正弦值对应多个角，判断由条件能否推出结论，由结论能否推出条件，从而确定充分必要性。 11 诱导公式与弦化切 先用诱导公式求出角的正切值，再将所求的三角函数式分子分母同除以余弦，化为只含正切的形式，代入求解。 1．（2026·广东汕头·一模）圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设底面半径为r，母线长为l，根据侧面展开图是一个半圆，可得，代入表面积公式，结合条件，即可得答案. 【详解】设底面半径为r，母线长为l， 由侧面展开图是一个半圆，得，解得， 则侧面展开图的面积， 所以圆锥的表面积，解得. 2．（2026·黑龙江·一模）古希腊地理学家埃拉托色尼用下面的方法估算地球周长（即赤道周长）.他从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的赛伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影，同样在夏至那天，他所在的城市——古埃及北部的亚历山大城，立杆测得日影角大约为7°，（如图），埃拉托色尼猜想因为地球是圆的，太阳距离地球很遥远，因此相当于太阳光平行照射在地球上.根据平面几何知识，平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，已知埃拉托色尼估算两地距离大约800km，那么以下数据与他估算得出的地球周长最接近的为（   ） A．40000km B．41000km C．42000km D．43000km 【答案】B 【分析】根据整个圆周为，利用两地的弧长占地球周长的比例求解即可. 【详解】由平行线内错角相等，得， 由题意可知，两地距离大约800km则弧长， 所以圆周长， 所以估算得出的地球周长最接近的为41000km． 3．（2026·湖南·模拟预测）“”是“为第二象限角”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由正弦函数在各个象限的符号结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】若，则为第一象限、第二象限角或终边在轴正半轴上； 若为第二象限角，则， 所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件． 4．（2026·河南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，因为， 所以，解得. 又，所以，. 所以. 5．（2026·四川德阳·二模）若，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件关系求出，根据平方差公式，平方关系结合齐次化方法可得，由此可求结论. 【详解】因为， 所以 故 ， 因为， 又， 所以. 6．（2026·甘肃·一模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】应用三角恒等变换及平方关系得，再应用齐次式及化弦为切求. 【详解】由， 所以，可得， 所以，则， 所以或，经验证，均满足题设. 7．（2026·陕西商洛·二模）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，可得．又， 所以，所以． 所以． 8．（2026·广东汕头·一模）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换将原式化简为只含的形式，再代入已知条件计算. 【详解】， 9．（2026·湖北黄冈·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】利用诱导公式 ，得： ， 故利用二倍角公式，得： . 10．（2026·山东滨州·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，又，所以或，则， 所以当时，“”推不出“”； 若，，则，可得，则， 所以当时，“”可以推出. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 11．（2025·山东烟台·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故选：C. 题型07 三角恒等变换24个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 两角和差公式与弦化切 将已知的两个等式用两角和与差的正弦公式展开，分别相加、相减得到正弦与余弦的乘积，再将两式相除得到正切之比。 2 两角差公式与同角关系 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求解。 3 两角和差公式与弦化切 将已知的两个等式用两角和与差的余弦公式展开，分别相加、相减得到余弦与正弦的乘积，再将两式相除得到正切之积。 4 和差化积公式 将已知的两个等式平方后相加，利用平方关系消去平方项，得到两角差的余弦值。 5 两角和公式与角范围确定 先求出两角和的正弦或余弦值，再根据已知角的范围确定两角和的范围，从而确定角的具体值。 6 两角差公式与同角关系 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求解。 7 平方关系求二倍角 将已知等式两边平方，利用平方关系和二倍角公式，求出二倍角的正弦值。 8 同角关系与符号判断 将已知等式两边平方求出二倍角的正弦值，结合已知角范围判断角所在的象限，再通过构造齐次方程求解正切值。 9 同角关系求值（平方关系） 将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正弦的四次方与余弦的四次方之和与平方和、乘积的关系，代入求解。 10 诱导公式与二倍角公式 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 11 三角恒等变换求周期 利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为单个正弦型函数的形式，再根据周期公式求出最小正周期。 12 诱导公式与二倍角公式 利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。 13 同角关系与两角和正切公式 先由已知角的正弦结合范围求出余弦，进而求出正切，再代入两角和的正切公式求解。 14 同角关系与象限符号 由正切值设出正弦与余弦的比例，利用平方关系求出比例系数，再根据角所在的象限确定符号。 15 三角方程与零点个数 先将函数化为正弦型函数，再令函数值为零，解三角方程，在给定区间内求出所有解，统计解的个数。 16 和差化积与半角公式 将已知等式用和差化积公式变形，得到两角和与两角差的正余弦关系，再转化为半角正切形式求解。 17 同角关系与符号判断 将已知等式两边平方求出二倍角的正弦值，结合已知角范围判断角所在的象限，再通过构造齐次方程求解正切值。 18 诱导公式与弦化切 先用诱导公式将所求式中的角化为同一形式，再将分子分母同除以余弦，化为只含正切的形式，代入求解。 19 两角差公式求角 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求出余弦值，进而确定角。 20 基本不等式求最值 将正切之积用正弦余弦表示，利用已知条件和基本不等式，构造关于正切之积的不等式，求解最大值。 21 和差化积与两角和差公式（多选题） 将已知两个等式平方后相加，求出两角差的余弦；平方后相减，求出两角和的正弦，再结合角范围判断各选项。 22 两角差公式与同角关系（多选题） 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的余弦公式求出目标角的余弦值，进而判断各选项。 23 两角差公式与同角关系（多选题） 先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差的余弦公式求出目标角的余弦值，进而判断各选项。 24 三角函数单调性与不等式（多选题） 利用正弦函数的单调性、和差化积公式、辅助角公式等，结合角范围及已知条件，逐项分析判断不等式是否成立。 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【详解】，， ①， ②， ①+②化简得：， ①-②化简得：， 两式相除得． 2．（2026·山西大同·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系求出，再根据三角恒等变换即可求出答案. 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 所以. 3．（2026·江西·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得 ，所以， 所以． 4．（2026·广东深圳·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于，则， 于是. 5．（2026·四川内江·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又，所以. 6．（2026·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由 ， 所以. 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角和差及辅助角公式化简可得，再结合二倍角公式求值即可． 【详解】 ， 则 ． 故选：C． 8．（2026·宁夏银川·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式、两角和差的正弦公式、辅助角公式、二倍角公式化简求值即可. 【详解】因为 ， 所以. 则 . 9．（2026·甘肃·一模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】应用三角恒等变换及平方关系得，再应用齐次式及化弦为切求. 【详解】由， 所以，可得， 所以，则， 所以或，经验证，均满足题设. 10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由. 11．（2026·广东广州·一模）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ，所以最小正周期为. 12．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由诱导公式可得，再结合条件利用二倍角公式求结论. 【详解】因为， . 13．（2026·新疆·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. ， 因为，所以， 因为，所以，所以. 14．（2026·云南大理·二模）已知是第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式和将转化为只含的表达式，代入求解即可． 【详解】因为，所以． 故选：B． 15．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由，，令，求解的值，判断选项. 【详解】由，， 令，则，或， 故或，即或， 由，则或， 即或， 故或， 综上所述，存在个零点,即为. 故选：C. 16．（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公式化简得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为，所以， 即 ， ， 所以，， 因为、的终边不重合，则，则， 所以，则，所以， 因此，. 故选：D. 17．（2026·四川成都·二模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用两角和的正弦公式化简已知条件，求出，然后结合角的范围求出余弦值，最后根据二倍角公式求解. 【详解】因为， 化简得， 即，又，， 所以. 18．（2026·广西南宁·一模）已知，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式可得，由诱导公式可得，结合条件可求结论. 【详解】， 且， 故， 故. 故选：A 19．（25-26高二上·山西·开学考试）若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“平方关系”可得，，注意符号看象限，再根据变形结合两角和差公式即可得出． 【详解】因为，则，且， 可得，且； 又因为，则， 且，可得； 所以 ． 故选：D. 20．（2026·山东临沂·一模）已知锐角，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和差角公式，结合同角三角关系式，得含的表示，即可根据基本不等式求解最值. 【详解】由得，即， 由于，为锐角，故， 设，则 ， 令，当且仅当时取到等号.故的最大值为. 多选题 21．（25-26高三上·山西晋城·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用两角和的正弦公式可求出的值，可判断A选项；利用两角差的正弦公式可判断B选项；利用切化弦可判断C选项；利用二倍角的正弦公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，， 所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 22．（2025·山东聊城·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据两角和差公式计算求解判断A，B，结合同角三角函数关系判断C，应用二倍角正弦公式计算判断D. 【详解】A选项，已知，， 则，A错误； B选项，，B正确； C选项，，所以，C正确； D选项， ，D错误； 故选：BC. 23．（2025·江苏南京·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据余弦函数的和差公式，同角三角函数的商式公式，以及二倍角公式，可得答案. 【详解】由，且，则，故A错误； 由，故B正确； 由，故C正确； 由，故D错误. 故选：BC. 24．（2026·广东广州·一模）已知，则下列命题正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】利用和差化积公式与三角函数在区间内的单调性、取值范围，通过公式变形可逐一验证选项. 【详解】对于A：已知，则，根据和角公式：，故A错误； 对于B：利用和差化积公式：，因为且，所以，则对任意的成立，故B正确； 对于C：已知，，不妨设，则， 因为，， 且，所以， 又因为余弦函数在上单调递减，所以， 两边同乘正数得：， 即，故C正确； 对于D：因为，所以原不等式等价于，两边同时除以2，得： 当时：，两边除以正数，得，因为，所以，，此时不等式成立； 当时：，两边除以负数，不等号方向改变，得，但的最大值为1，不可能大于1，此时不等式不成立，故D错误. 题型08 三角函数的图象及性质40个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 求最小正周期与对称中心 由周期公式求出 ，再令整体角等于 解出对称中心坐标。 2 由奇偶性求参数 利用函数奇偶性定义，将函数拆分为奇函数与偶函数的组合，结合余弦型函数的奇偶性求出参数。 3 由奇函数性质求函数值 利用奇函数在 处函数值为零，解出参数，再代入求值。 4 正弦型函数的性质判断 利用周期公式、奇偶性定义、对称轴与最值的关系、整体代换法判断单调性，逐项分析。 5 正切型函数的对称中心与参数求值 由对称中心坐标公式列出方程，结合已知条件求出参数，再代入求值。 6 判断正弦型函数的单调区间 画出函数图象或利用整体代换法，确定函数在给定区间上的单调性。 7 函数零点个数判断 将方程转化为两个函数图象交点问题，利用周期性及图象分析交点个数。 8 函数对称中心与充分必要条件 先求出正切型函数的对称中心，再判断点坐标与对称中心集合的包含关系。 9 三角函数图象平移与对称中心 由平移后函数的对称中心反推原函数的对称中心，代入坐标求出参数，再求最小值。 10 三角函数图象变换求解析式（逆向） 从目标函数出发，逆向进行平移和伸缩变换，得到原函数解析式。 11 图象平移与对称性结合求参数 分别写出平移后的解析式，利用关于 轴对称的条件及都过原点，列方程组求解。 12 由零点求参数与图象平移 将零点代入求出参数，再将目标函数化为同一形式，比较相位差确定平移方向与单位。 13 图象伸缩与平移求解析式（逆向） 从变换后的函数逆向进行平移和伸缩，还原出原函数。 14 由奇偶性与平移求参数 化简函数，利用平移后为奇函数，结合相位关系求出参数。 15 由对称轴与单调性求参数 利用对称轴处取最值得关系式，结合单调区间长度与半周期的关系，确定参数值。 16 图象平移后求对称中心 写出平移后的解析式，利用正弦函数对称中心公式，整体代换求解。 17 正切型函数的周期与对称中心求参数 由相邻两交点距离得周期，再由对称中心坐标公式列出方程，求最小正参数。 18 零点与平移后偶函数求参数范围 利用零点与最值点的距离确定周期，再根据平移后为偶函数得相位，最后根据零点个数列不等式求范围。 19 图象平移与伸缩后求对称中心 按步骤写出变换后的解析式，利用正弦函数对称中心公式求解。 20 由最值点列方程组求参数 根据最小值点和最大值点列出方程，作差消元求周期，再代入求参数的可能值。 21 由零点个数与最值点求单调区间 根据零点个数确定周期范围，再由特殊点关系确定解析式，最后整体代换求单调增区间。 22 正切型函数性质综合（多选题） 利用诱导公式化简，求周期、对称中心，解不等式求定义域，逐项判断。 23 正弦型函数的对称中心与性质（多选题） 由对称中心求出解析式，再求周期、对称轴、平移后解析式及单调性，逐项判断。 24 三角函数乘积型函数性质（多选题） 利用诱导公式与二倍角公式化简，判断奇偶性、最值、周期、零点。 25 正弦型与余弦型函数对称性比较（多选题） 分别求出两函数的对称中心、对称轴，验证是否存在相同；通过平移变换判断曲线间的关系。 26 图象平移与偶函数综合（多选题） 由平移后为偶函数求参数，再化简目标函数，判断对称中心、单调区间及零点之和的取值范围。 27 由图象求参数与函数性质（多选题） 根据图象的最高点、最低点及周期确定解析式，再判断零点个数及平移后的奇偶性。 28 函数奇偶性、对称性、值域与方程根（多选题） 利用诱导公式判断奇偶性与对称性，分段讨论值域，结合图象分析方程根的分布。 29 由图象求参数与性质（多选题） 由图象得周期、最值，代入点求相位，再判断对称性、单调区间及参数范围。 30 化简后正切型函数性质（多选题） 利用二倍角公式化简，再判断奇偶性、周期、单调性，代入特殊值验证值域。 31 含绝对值函数的性质（多选题） 利用奇偶性定义判断奇偶性，验证对称轴，分析周期性，利用导数求值域。 32 正弦型函数零点与单调性参数范围（多选题） 由零点表达式列出不等式求参数范围，利用对称性求和，由单调区间确定参数范围。 33 三角函数在区间上的值域求参数范围（填空题） 化简函数，整体代换，结合正弦函数图象，由值域端点确定参数范围。 34 周期函数性质与值域（填空题） 利用最大值条件求出周期，进而确定 的最小值，再代回求给定区间上的值域。 35 由存在两个最值点求参数最小值（填空题） 分析函数的最大值点，由区间内存在两个最大值点列不等式，求出最小正整数。 36 由单调区间确定参数最小值（填空题） 由单调区间端点对应最值点，列出方程，结合周期范围确定参数的最小值。 37 由对称轴与函数值求值（填空题） 利用和差化积化简，由对称轴得相位，再代入已知函数值求参数，最后计算目标值。 38 复合方程根的个数求参数范围（填空题） 换元后转化为二次方程根的分布，结合正弦函数图象，根据根的个数列不等式求解。 39 方程在区间上解的个数求参数范围（填空题） 分析函数周期，将区间分为完整周期和剩余部分，根据解的个数确定剩余区间内解的分布，列不等式组求解。 40 图象中的三点共线求参数（填空题） 由三点共线及对称性设出点坐标，利用正弦函数值关系列方程，结合周期与对称轴求解。 1．（2026·广东深圳·一模）函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，，所以，故. 令，，则，， 所以该函数的对称中心为，，显然只有A符合. 2．（2026·安徽合肥·一模）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性定义确定函数的奇偶性，进而得到函数的奇偶性，再借助余弦型函数的奇偶性求出参数值. 【详解】函数的定义域为，令函数， ，即函数是奇函数， 而函数是偶函数，则函数是奇函数， 因此，解得，又， 所以当时，取得最小值. 故选：C 3．（2026·黑龙江·一模）若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数中得出，再代入结合特殊角三角函数值求解. 【详解】由，即，得， 所以，则． 故选：D. 4．（2026·四川泸州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】对于A：根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解即可；对于B：利用诱导公式整理可得，进而判断奇偶性；对于C：根据对称轴与函数最值之间的关系分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断. 【详解】因为函数， 对于选项A：的最小正周期为，故A错误； 对于选项B：为奇函数，故B错误； 对于选项C：因为，不为最值， 所以的图象不关于直线对称，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且正弦函数在内单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，且，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切型函数的对称中心及条件，可得，代入所求，计算求解，即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 因为，所以令，解得， 则. 6．（2026·河北保定·一模）下列区间中，函数单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作的图象，结合函数图象判断选项． 【详解】的部分图象如图所示， 结合图象可知，选项中的区间，只有在中单调递增. 7．（2026·福建福州·模拟预测）当时，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】令，然后通过分析方程在给定区间内的解的个数来确定函数的零点个数. 【详解】令，即，移项可得， 对于，其周期；对于，其周期； 当时，画出两个函数图象为： 由图象可以看出，方程在给定区间内的解的个数为6， 所以函数的零点个数为6. 8．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）“点M的坐标为”是“点M为函数图象的对称中心”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出的对称中心，再进行判断. 【详解】由解得，所以的对称中心为，. 而⫋， 所以“点M的坐标为”是“点M为函数图象的对称中心”的充分不必要条件. 9．（2026·山东济宁·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】求出图象的对称中心后利用代入法可得，故可求的最小值. 【详解】因为图象的一个对称中心为，故图象的对称中心为， 故，故，而，故. 10．（2026·湖北襄阳·一模）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像平移和伸缩的性质即可求解. 【详解】把函数图象向右平移个单位长度，得到，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到. 11．（2026·广东佛山·二模）函数的图象向右平移得到曲线，的图象向左平移得到曲线，若曲线与正好关于轴对称，且都经过原点，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题意，， ， 因为曲线与都经过原点， 所以，， 则，且， 又因为曲线与正好关于轴对称， 所以， 则，即， 联立，则，即， 则. 12．（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】由求得，利用辅助角公式整理，再将整理成与相同结构，比较得到结果. 【详解】已知是的零点，因此， 代入得： ，即 ，解得， 所以 又 所以将向左平移个单位长度得到函数的图象， 13．（2026·山东青岛·一模）把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像的平移及逆向变换思路求解即可. 【详解】函数的图像向左平移个单位长度，得到. 所有点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变，得到. 又，所以. 14．（2026·陕西铜川·一模）设为奇函数，将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简得，进而可得，利用为奇函数，可求得. 【详解】 ， 因为将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像， 所以向右平移个单位长度后，得到函数的图像， 所以， 又因为为奇函数，所以，所以， 又，所以. 故选：B. 15．（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】由函数的图象关于直线对称，可得；由函数在区间上单调递减，可得，从而得，即可得答案. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以， 解得， 又因为函数在区间上单调递减， 所以函数在处取得最大值， 所以, 所以, 解得， 解得. 又因为. 故选：B. 16．（2026·贵州黔东南·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 令，得，此时， 所以图象的对称中心是. 17．（2026·湖北黄冈·一模）函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线与函数图象的相邻两交点间距离为，求得最小正周期；根据正切函数的对称性求得，从而求得其最小值. 【详解】因为直线与函数图象的相邻两交点间距离为， 所以函数的最小正周期为，所以，所以. 由函数的图象关于点对称， 得，所以. 所以正实数的最小值为. 18．（2026·河北张家口·一模）已知函数，若是的解，且满足，将函数的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最小距离可得，再利用平移规则和函数奇偶性可求得，根据函数在内恰有2个零点可限定出范围，即可解得实数的取值范围. 【详解】由，即， 可得或， 根据正弦函数图象性质可知，解得， 则； 将函数的图象向左平移个单位可得， 又为偶函数， 则，又，可得， 因此； 当时，可知， 若函数在内恰有个零点，可知， 解得， 所以实数的取值范围为. 19．（2026·河北保定·一模）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助平移及伸缩变换性质可得，再利用正弦函数性质结合整体思想计算即可得解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得， 将其横坐标缩短到原来的，可得，即， 令，解得， 即图象的对称中心的坐标为. 20．（2026·四川内江·二模）已知函数在处取得最小值，在处取得最大值，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在处取得最小值，在处取得最大值， 则， 将上述两个等式作差得， 所以 将代入可得， 令，则，则，故的可能取值为， BCD选项均不符合题意. 21．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）记函数，其中，若在恰有两个零点，且，则函数在上的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点个数得，再根据，结合三角函数的图象与性质，求得，或，，从而得到，再根据三角函数在指定区间上的单调性得到答案. 【详解】因为函数，其中，若在恰有两个零点， 所以， 所以， 所以， 又因为，即， 所以或， 解得，或，， 结合，所以符合题意， 所以， 又因为当，，，即 所以的单调增区间为 函数在上的单调增区间为， 故选：D. 多选题 22．（2026·内蒙古包头·一模）已知函数，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，最小正周期，故B错误； 对于C，由得，，则的对称中心为，故C错误； 对于D，由得，则， 解得，，故D正确. 23．（2026·贵州贵阳·一模）已知函数的图象关于点中心对称．则（   ） A．的最小正周期为 B．直线是曲线的对称轴 C．将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 D．在区间上单调递增 【答案】AC 【分析】先求出的解析式，结合正弦型函数的图象及性质逐项判断即可. 【详解】由题意知，，所以，，即， 又，所以，所以. 选项A：最小正周期，A正确. 选项B：对称轴应满足，，解得，. 故不存在，使得，B错误. 选项C：的图象向右平移个单位得到，C正确. 选项D：当时，. 又在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不是单调递增，D错误. 故选：AC. 24．（2026·广东梅州·一模）关于函数，以下结论正确的有（    ） A．的图象是轴对称图形 B．的最大值为1 C．是以为一个周期的周期函数 D．在上有4个零点 【答案】ACD 【分析】对于A，判断函数为偶函数，即可判断正误；对于B，因为要分析三角函数乘积形式的函数性质，所以可先利用三角恒等变换公式将化简为更易分析的形式.求函数最大值，可利用三角函数的有界性，结合化简后的函数形式，通过换元法转化为二次函数求最值；对于C，判断周期，可利用周期函数的定义，验证是否成立来确定；对于D，求零点，令，结合三角函数的零点性质求解，再统计上的零点个数. 【详解】对于A，函数的定义域为R，且， 即为偶函数，的图象是轴对称图形，A正确； 对于B， ， 令，则， 当时，取最大值，即的最大值为，B错误； 对于C，， 即是以为一个周期的周期函数，C正确； 对于D，令，即，故或， 当时，在上有满足题意； 当时，在上有满足题意； 故在上有共4个零点，D正确. 25．（2026·江苏·一模）已知函数，，则下列结论正确的有（   ） A．曲线与曲线存在相同的对称中心 B．曲线与曲线存在相同的对称轴 C．曲线向左平移个单位得到曲线 D．曲线与曲线关于轴对称 【答案】AC 【详解】选项A，因为， 令，得，所以的对称中心为. 因为，令，得，所以的对称中心为. 假设存在相同对称中心，则， 化简得，当时，，所以存在相同对称中心，A正确. 选项B，：令，得，对称轴为. ：令，得，对称轴为. 假设存在相同对称轴，则，化简得， 左边为偶数，右边为奇数，无整数解，所以曲线无相同对称轴，B错误. 选项C，，平移个单位，得： ，C正确. 选项D，若与关于轴对称，则需满足. 因为，而， 显然与不能恒相等，所以两曲线不关于轴对称，D错误. 26．（2026·河南许昌·模拟预测）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若是偶函数，则（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数在上的所有零点之和为，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】先由平移变换得，再是偶函数，得，进而可得及，再结合三角恒等变换得，根据正弦函数的性质可判断BC选项，对D，将函数的零点转化为函数与图象在上的交点的横坐标，进而转化为函数在与交点的横坐标，从而可判断结果. 【详解】因为函数的图象向左平移后得到函数的图象， 所以，又因为是偶函数， 所以，得，即， 再由，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 所以函数的图象关于点对称，B正确； 对于C，因为， 所以 ， 因为，所以，函数在单调递增，C正确； 对于D，因为， 所以函数在上的零点，转化为函数与图象在上的交点的横坐标， 令，所以函数在有两条对称轴和，如图： 当时，函数与有两个交点，且关于对称， 即，所以，得. 当时，函数与有3个交点，， ，所以，得. 所以函数在上的所有零点之和为，则，D错误. 27．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在区间恰有一个零点 D．将图象向左移个单位后关于轴对称 【答案】ACD 【分析】根据，结合的取值范围可求的值，判断B的真假；在此基础上，再根据可求的值，判断A的真假；求函数在区间上的零点，判断C的真假；将函数进行平移变换，求平移后函数的解析式，判断其奇偶性，判断D的真假. 【详解】因为，又，所以，故B错误； 因为， 由图可知，，所以，故A正确； 所以，当时，，所以方程在上只有即一个解，即函数在区间恰有一个零点，故C正确； 将图象向左移个单位后可得，为偶函数，其图象关于轴对称，故D正确. 28．（2026·山西朔州·一模）已知，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．当在有2个不同实根时，的取值范围是 【答案】AD 【分析】A选项，根据奇偶性的定义和诱导公式判断；B选项，根据对称性的性质判断；C选项，分和两种情况讨论；D选项，结合图象得到的范围和，然后判断即可. 【详解】的定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，A正确； ，所以关于对称，B错； 当，时，， ，，则， 当，时，， ，，则， 综上可得的值域为，C错； 时，，图象如下所示： 所以，，则，D正确. 29．（2026·山东德州·一模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】根据周期以及最值可得，即可判断A，代入验证即可判断B，根据整体法求解函数的单调性即可判断C，由整体法，结合三角函数的性质即可判断D. 【详解】由图可得，函数的最小正周期，又，所以， 则，由，得，， 解得，，又，所以，故A正确； 由上分析，得故，因为， 故函数的图象关于点对称，故B正确； 令，，解得，， 故函数的单调递增区间为， 令，，解得，， 故函数的单调递减区间为， ， 则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故C错误； 当时，则， 要使在区间上恰有一个最大值2和一个最小值， 需使，解得，故D正确. 故选：ABD. 30．（2026·河北邯郸·一模）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的值域为 【答案】AC 【分析】利用奇偶性的定义判断A，由三角恒等变换化简函数式为，结合正切函数的性质判断B、C，特殊值法说明D即可. 【详解】由，得，则的定义域关于原点对称， 且，所以是奇函数，A正确． 由， 其最小正周期，且在上单调递增，B不正确，C正确． 由，可得，则，D不正确． 31．（2026·黑龙江吉林·一模）下列关于函数.的说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．是图象的一条对称轴 C．为周期函数，且最小正周期为 D．的值域为 【答案】AD 【分析】利用奇偶性定义判断A，利用函数对称性与周期性的定义判断BC；利用导数判断D. 【详解】对于A，，为奇函数，故A正确. 对于B，， ， ，不是图象的一条对称轴，故B错误； 对于C， ，，不是的周期，故C错误， 对于D，， 令，即，解得或， 当时，，， 当时，，，故函数极值为. 的值域为，故D正确. 32．（2026·重庆·一模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若在上恰有三个零点，则 B．若在上恰有三个零点，则 C．若在单调递增，则 D．若向左平移后的图象与图象关于对称，则 【答案】ABD 【分析】对于A，根据正弦函数零点表达式分析即可；对于B，由选项A可知，代入即可求值；对于C，根据正弦函数的单调区间，确定区间端点满足的不等式求解即可；对于D，根据三角函数图象平移的解析式，结合对称性判断即可. 【详解】A，令，即，解得或， 当时，可得，要使在上恰有三个零点， 则需，解之可得，故A正确； B，由A可知， 所以， 所以，故B正确； C，由正弦函数的单调递增区间可知， 取，则，若在单调递增，则需， 因，则只需，则，则，故C错误； D，根据平移规则可知平移后函数为， 图象与图象关于对称，则， 代入得， 化简可知，继续化简可得，故D正确. 33．（25-26高三上·广东·期末）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得. 【详解】由题可得 ， 当时，，又，， 函数在上单调递增，在上单调递减，而的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 34．（2026·四川·模拟预测）设函数，若存在常数，使得对任意，有，则当取最小值时，在上的值域为_________. 【答案】 【分析】利用余弦函数的最大值求出，利用周期函数的性质求出函数的周期，并求出的最小值，再利用余弦函数性质求出值域. 【详解】函数，则，其最大值为2， 的最大值为，由，得， 因此对任意，有，，即函数的周期为4， 又函数的最小正周期为，于是，解得， 又，因此为正奇数， 则，，当时，， 当时，；当时，， 所以，在上的值域为. 35．（2026·江苏镇江·一模）已知，若在区间上存在两个不相等的实数，，满足，则的最小正整数为________. 【答案】5 【详解】因为，所以， 又函数在区间上存在两个不相等的实数，使得， 且， 所以函数在区间上至少存在两个最大值点， 所以，解得， 所以的最小正整数为：5. 36．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题根据正弦函数的单调性，结合已知条件求出的取值，再根据特定区间，考虑处的函数值得到关于的不等关系求出k的范围即可分析求解. 【详解】显然，可得，所以. 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以 ， 于是，所以， 因为且，所以， 所以，解得， 所以由可知当时，有最小为． 37．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数，若的图象关于直线对称，，则的值为______. 【答案】/ 【分析】先利用和差化积公式化简，再根据对称性求出，利用求出，再计算即可 【详解】函数，因为函数图象关于直线对称， 所以，即，因为，所以， 所以， 又，所以， 所以 . 38．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为_______________. 【答案】 【分析】问题化为上有4个不同实根，且有2个不同实根，结合正弦函数的图象得，即可得. 【详解】共有6个不同的实根， 由，则有4个不同实根，且有2个不同实根， 根据正弦函数的图象知，可得. 故答案为： 39．（2026·江西·一模）已知函数.若方程在上恰有85个解，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先求得的周期为，则区间内包含42（余）个完整周期，在完整周期内有84个解，则在余下区间内有1个解，设，结合题意与任意角，可得在区间内有1个解，解得或，，分情况讨论仅有的1个解是或是即可求得的取值范围. 【详解】函数的周期，每个周期内有2个解， 在区间内包含（余）个完整周期， 在完整周期内有个解，故余下区间内有1个解， 设，则， 即在区间内有1个解， 由任意角可得在区间内有1个解， 解得或，， 因为，易得，则有： ①区间包含但不包含， 即，且，解得， ②区间包含但不包含， 即，且，解得， 综上，的取值范围为. 40．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 【答案】 【分析】设，，，且，，结合已知条件，进而得到、、，即可求解. 【详解】因为， 点是图象上的同一直线上的三点，直线与轴交于点， 两点关于点对称.，两点关于点对称.， 设，，，，且，， 所以①，则， 所以，故或， 若，即是的一个零点，不符合题意， 所以，则，而， 所以，结合①有，所以， 而，所以，， 所以，， 所以. 题型09 解三角形小题35个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 已知三边求角 直接利用余弦定理求出角的余弦值，再根据角范围确定角的大小。 2 正弦定理化边为角求比值 由正弦定理将边转化为角的正弦，利用和角公式化简，得到正切关系，进而求出比值。 3 解三角形的实际应用（测量高度） 在直角三角形中利用仰角的正切求高，在一般三角形中利用正弦定理求边长，最终得到高度。 4 同角关系与正弦定理求正弦比 先由同角关系求出正弦值，再根据正弦定理将边的比转化为对应角的正弦比。 5 余弦定理求面积 由余弦定理求出夹角余弦值，再求正弦值，代入三角形面积公式。 6 余弦定理与基本不等式求面积最大值 由余弦定理表示出两边乘积与夹角余弦的关系，利用基本不等式求两边乘积的最大值，进而求面积最大值。 7 正弦定理角化边与余弦定理求角 利用正弦定理将角的正弦转化为边，代入已知等式得到边的比例关系，再由余弦定理求角。 8 三角恒等变换求角与边 先化简已知等式求出角，再利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合余弦定理求边。 9 面积公式与余弦定理结合求面积 由已知条件通过面积公式和余弦定理列出方程，解出边长或角度，再求面积。 10 正弦定理、余弦定理与面积公式求角 利用正弦定理将边转化为角的正弦，代入面积公式和余弦定理，化简得到角的余弦值。 11 角平分线性质与余弦定理求线段长 由角平分线性质得到线段比例，利用余弦定理分别求出相关边长，再求目标线段。 12 二倍角公式与正弦定理判断三角形形状 利用二倍角公式化简已知等式，结合正弦定理化角为边，得到边的关系，从而判断三角形形状。 13 锐角三角形中边角范围 由已知等式变形得到角的范围，再利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合锐角条件确定取值范围。 14 正四面体中的解三角形 在正四面体中，利用棱长关系确定三角形边长，再用余弦定理求角。 15 实际航行问题（正弦定理） 根据方位角作出示意图，确定三角形内角，利用正弦定理求边长。 16 内切圆面积最值 利用面积公式和周长关系表示内切圆半径，结合余弦定理和基本不等式求半径的最大值，进而求面积最大值。 17 中点向量与余弦定理求最小值 利用中线向量公式将中线长表示为边长和夹角的函数，结合余弦定理和基本不等式求最小值。 18 已知两角及一边解三角形 利用两角和公式求出第三角，再由正弦定理求出未知边。 19 正弦定理与辅助角公式求角 由正弦定理化边为角，利用和角公式与辅助角公式得到方程，根据三角函数有界性确定角，再求面积。 20 余弦定理与基本不等式判断角 将已知等式用余弦定理表示，结合基本不等式得到角余弦的范围，从而判断角的性质。 21 面积公式与正弦值求角（两解） 由面积公式求出夹角的正弦值，再根据角范围确定角有两个可能值。 22 余弦定理与面积公式判断选项 利用余弦定理求边长，再求面积、正弦值，通过计算验证各选项。 23 降幂公式与和差化积求角 利用降幂公式和和差化积化简已知等式，得到角的关系，再结合面积公式求边。 24 几何图形中的解三角形 根据图形中的垂直、中点等关系，利用直角三角形和等腰三角形性质求解边长和角度。 25 三角恒等变换与余弦定理求边角关系 将已知等式通过二倍角公式、正弦定理等变形，得到边角关系，再结合余弦定理判断选项。 26 正弦定理与三角恒等变换求角及最值 利用正弦定理和和角公式化简求角，再结合余弦定理、基本不等式求周长范围、向量数量积最值及中线最小值。 27 正弦定理与和差化积求角及中线长 由已知等式通过正弦定理、和差化积求出角，再利用面积公式、余弦定理求边长和中线长。 28 诱导公式与两角和差公式求角及外接圆半径 利用三角形内角和及诱导公式化简已知等式，求出各角，再通过正弦定理求外接圆半径和边长。 29 边角互化与向量数量积求角及边长范围 利用正弦定理边化角，结合和角公式求角，再代入向量数量积求边，利用余弦定理和基本不等式判断边长范围。 30 正弦定理与余弦定理求角 将已知等式用正弦定理化为边的关系，再用余弦定理求出角的余弦值。 31 正弦定理与两角和公式求边比 由正弦定理将边转化为角的正弦，利用两角和公式化简，得到边的比例关系。 32 外心向量与余弦定理求面积最大值 利用外心性质将向量条件转化为边长关系，再由余弦定理和基本不等式求面积的最大值。 33 三角形面积分割与正弦定理求最值 将大三角形面积表示为两个小三角形面积之和，利用正弦定理表示边长，通过三角函数化简求最值。 34 三角形等分面积与基本不等式求最短分割线 分三种情况讨论分割线位置，利用面积公式表示分割线长度，结合基本不等式求最小值。 35 正弦定理与换元法求分式最小值 利用正弦定理将边转化为角的正弦，通过和角公式化简，再换元用判别式法求最小值。 一、单选题 1．（2026·福建莆田·二模）记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理求出的值，再结合角的取值范围确定角的大小. 【详解】 因为，所以. 故选：B. 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得. 【详解】由和正弦定理，得（*）， 因， 将其代入（*）整理得， 即得，故. 3．（2026·陕西商洛·二模）某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点，两点与天汉楼底部中心在同一水平面上（O为楼顶在底面的投影）．测得以下数据：米，，且从点测得的仰角满足．则天汉楼主体高度约为（     ） A．45米 B．46米 C．69米 D．70米 【答案】C 【详解】在中，由正弦定理得， 所以米， 由，得米. 所以天汉楼主体高度约为69米. 4．（2026·山西运城·一模）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数关系式及正弦定理可得. 【详解】因为，且，所以. 又因为中，，由正弦定理得， 所以. 5．（25-26高三下·安徽·月考）在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得，则， 故的面积为. 6．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值，利用三角形面积公式求结论. 【详解】由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又， 所以，， 所以的面积， 所以当时，的面积取最大值，最大值为. 7．（2026·北京延庆·一模）在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理角化边，求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】 根据正弦定理，结合条件，可得： ，即. 又已知，代入得：，因此. 由余弦定理， 代入， ， 因此. 8．（2026·河南南阳·模拟预测）已知的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先对 进行化简，求出角 ，再利用正弦定理将 转化为边的关系，最后结合余弦定理求出 的值. 【详解】由 ，得 ，即 ， 因为， ， 所以 ，即 ，化简得， 因为 ，所以 ， 则 ， ； 由正弦定理可得 （ 为 外接圆半径）， 所以 ，即 ，所以 ； 因为 ，根据余弦定理得 ， ，可得 ， 又因为 ，所以 ，则 ， 将 和 代入 中，可得 ， 移项可得 ，即 ，所以 . 故选：C. 9．（2026·江苏·一模）记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以 10．（2026·四川成都·二模）记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理（R为的外接圆半径），且的外接圆半径为1，得 ， 代入得. 由余弦定理得， 又，所以，化简得， 因为，所以. 11．（2026·河南·模拟预测）在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形角平分线的性质确定的长度，再利用余弦定理求和的长. 【详解】如图： 因为平分，所以，又，所以. 在中，根据余弦定理，可得， 在中，根据余弦定理，， 所以. 12．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 13．（2026·广东广州·二模）在锐角中，角所对的边分别为且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式可得，根据一元二次方程有解，可由判别式，结合三角函数的性质可得，，即可根据正弦定理求解. 【详解】由可得， 因此， 由于， 故，即，又，故， 结合为锐角，则，故,且，此时， 因此且，故， 又，则， 故， 由于，则，， 故. 14．（2026·河北衡水·一模）在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，设正四面体的棱长为4，则，， ，则为正三角形，所以， 由余弦定理得， ， 故. 15．（2026·贵州黔东南·模拟预测）一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西30°方向行驶千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是（   ） A．30千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【详解】如图，由题意可知千米，，， 则由正弦定理知千米. 16．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的内切圆半径为，利用，把表示成关于的函数，利用基本不等式求出的最大值可得答案. 【详解】由，， 得， 由余弦定理得， 整理得. 设的内切圆半径为，则， 所以， 由余弦定理得：， 得，所以， 由基本不等式得：，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 故，所以的内切圆面积的最大值为. 17．（2026·河南许昌·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而得，再由余弦定理即可求解. 【详解】由 ， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 又，， 所以，所以， 又是的中点，所以， 由余弦定理有：， 又， 所以， 当时，，即. 18．（2026·山东聊城·一模）已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求出，由的值和求出，利用诱导公式求出和，由，利用两角差的正弦公式求出的值，利用正弦定理求出的值，由得到，计算出的值，由是边上一点得到，代入数值得解. 【详解】，， ，， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，，，， 在中，， ，， ，， ，， ，，， 是边上一点，. 19．（25-26高三下·河南·开学考试）记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理以及余弦的和差角公式可得，进而根据诱导公式以及辅助角公式得，根据三角函数的有界性得，即可求解角的大小，即可得解. 【详解】由题意及正弦定理，得， 又，所以，则， 因为， 所以， 所以， 又，所以， 所以，又， 所以当且仅当时，， 又，且，所以，， 所以，则， 故的面积． 故选:C 20．（2026·陕西西安·模拟预测）内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件结合余弦定理得，由，得，从而确定的范围，由，得，计算即可. 【详解】， 又， ，整理得： ， ， ， ， 当且仅当时等号成立， 又，， ，为钝角， ，， ，， ，即， ，，解得：， ， ， ． 二、多选题 21．（25-26高一下·全国·单元测试）已知的面积为且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】运用三角形面积公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可. 【详解】，， 因为， 所以或． 故选：CD 22．（25-26高三上·广西·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 【答案】AB 【分析】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式， 可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，， 可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 故选：AB. 23．（2026·江西·一模）在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由及结合降幂公式、和差化积公式得到，即可判断C；进而得到即可判断B；再结合及三角形的面积公式可求解判断A；结合求出，再结合正弦定理求解判断即可. 【详解】由知，， 化简可得， 根据和差化积公式可得：， 则，即， 由知，， 所以，即，故C正确； 由，得：，所以，故B不正确； 在中，由，知，故A正确； 由知，， 又，则，又， 由正弦定理得，，故D不正确. 24．（2026·江西·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】BCD 【分析】根据所给条件长度判断A，由余弦定理判断B，过点作，解三角判断C，利用求三角形面积判断D. 【详解】如图所示，过点作， 则，又因为， 并且在中， 所以，所以是等腰三角形，所以， 由，可知为中点， 所以是的中位线，所以为线段的中点，所以，则A项错误. ，在中：，则B项正确. 过点作，， ，所以，的面积为，则C､D项正确. 故选：BCD 25．（2026·江西九江·一模）在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由变形可得的值，再由结合二倍角公式和平方关系变形可得，进而得到，再结合余弦定理可得两边的关系，由B可得，结合正弦定理可求得的值，进而比较大小，对利用完全平方公式进行放缩可得到的大小. 【详解】对于A选项 ，由，所以， 得，A选项正确； 对于B选项 ，由 ， 则， 得，由正弦定理，即 ， 代入 ，得 ， 解得 或，B选项错误； 对于C， ， 由,， ，C选项错误； 对 D选项，， ，D选项正确. 故选:AD 26．（2026·山东青岛·一模）记的内角所对边分别为，点为的中点，，，延长到点，使点为线段的中点，则（    ） A． B．周长的取值范围为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】已知等式由正弦定理和三角恒等变换化简，求角判断选项A；由余弦定理和基本不等式得，进而得出判断选项B；由，利用向量的数量积和三角恒等变换化简得，为锐角三角形，有，结合正弦函数的性质求取值范围判断选项C；设，由余弦定理，利用辅助角公式和正弦函数的性质求最小值判断选项D. 【详解】对于A，已知，由正弦定理得， 即，得， 则有，得， 又由于，所以，故， 而，所以，选项A正确； 对于B，在中，由余弦定理，得， 所以，，所以，即，当且仅当时取等号， 由于， 所以的周长的取值范围为，故选项B正确； 对于C，在中，由正弦定理得， ，， 由AC的中点为M，有， ， △ABC为锐角三角形，则，得， 当，有，所以， 有，故的最大值为，选项C错误； 对于D，设，所以，在中由余弦定理， ， ，， 故当，即时， 取最小值，所以的最小值为，故D选项正确. 故选：ABD. 27．（2026·四川内江·二模）已知的面积为，角的对边分别是，，，则（   ） A． B． C． D．边的中线长为 【答案】ABD 【分析】利用条件化简判断A，根据正弦定理及三角恒等变换判断B，根据正弦定理求判断C，根据余弦定理求出中线长判断D. 【详解】因为， 所以，即， 所以，由可知，即为钝角， 又，所以， 又为锐角，所以，故A正确； 因为，由正弦定理可得， 所以， 由和差化积公式可得， 即，即， 由可得，所以或（舍去）， 即，故B正确； 由AB可知，，所以，故， 因为，所以， 由正弦定理，，即， 解得，所以，故C错误； 由可知，， 设边的中线长为，则， 所以，故D正确. 28．（2026·浙江·模拟预测）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．的外接圆半径为1 D． 【答案】ACD 【分析】根据两角和差公式与诱导公式对题干等式化简得结合得到，再利用诱导公式算出的每个角度，由此可以判断A，B选项；通过正弦定理结合三角形面积公式算出C选项；通过前三个选项结合正弦定理即可求出三角形的三条边，进而求出D选项. 【详解】在中，，故， 代入原式得： ， 又，，将其代入 式得 ， 因为三角形中，又由， 而在三角形中，故， 即为钝角，故，因此只能，即，得，， 所以 ，， 将上述等式代入得， 解得，得，，，因此，故选项A正确，B错误； 设外接圆半径为，由正弦定理得，，， 面积，得，选项C正确； ，选项D正确. 29．（2026·甘肃兰州·一模）在中，内角所对的边分别为，满足，且，设外接圆半径为，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为 B．当时， C．当时， D．的取值可能是2 【答案】BCD 【分析】首先根据题意条件，结合边角互换求出角B的大小，再代入到向量内积等式中求出的值，最后逐个分析选项。对于A，利用正弦定理面积公式即可求解；对于B，利用余弦定理求出a、c的大小，判断可构成三角形，再利用正弦定理求出R的大小即可；对于C，用余弦定理，并结合等边对等角判断即可；对于D，根据余弦定理求出的范围并据此判断即可． 【详解】由题意可得，又， 所以， 代入前式可得， 展开化简得，在中，，且，解得， 又，所以， 解得， 对于A，的面积为，故A错误； 对于B，当时，由余弦定理可得， 化简可得，所以， 即，同理可得，所以或， 易知可构成三角形，又由正弦定理可知，解得，故B正确； 对于C，当时，进一步可得， 由余弦定理可知，则，此时， 由等边对等角可知，故C正确； 对于D，由余弦定理，则可得， 所以，当且仅当即时取等号， 又时，，故D正确． 三、填空题 30．（2026·陕西·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则______. 【答案】/ 【分析】先根据正弦定理化简题干条件可得，进而结合余弦定理即可求解. 【详解】在中，对于， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得， 又，所以. ，故. 31．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． 【答案】2 【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理，可得， 所以，又因为，所以， 所以，又由正弦定理，可得，即， 因为，所以． 32．（2026·山东聊城·一模）已知的外心O满足，若，且，则面积的最大值为____________． 【答案】3 【分析】设为边中点，化简已知得，由余弦定理得，再利用二次函数的最大值的解法求解. 【详解】由. 所以. 如图： 取中点为，连接，则. 所以. 因为为的外心，所以. 由. 又根据余弦定理，. 因为， 所以 . 当时，取得最大值，为，所以的最大值为. 33．（2026·重庆·一模）在中，为边上一点，．当面积最小时，__________． 【答案】 【分析】先将的面积拆分为和的面积之和，分别表示出两个小三角形的面积，利用正弦定理表示出两个三角形的面积，对面积的表达式利用三角函数的相关公式化简，再借助三角函数的性质求最值，进而得到此时的. 【详解】的面积，由内角和得：， 对和分别用正弦定理，结合得： ， 又，因此：， 展开化简得： ， 代入整理得： 最小等价于二次函数（）最大， 开口向下的二次函数顶点在，即， 因此. 34．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 【答案】20 【分析】分别讨论在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管的最短长度. 【详解】由，可得是直角三角形，其面积， 不妨设， ①若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ②若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ③若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； 因为，所以的最小值为20，即水管的最短长度为20米. 35．（2026·山东青岛·一模）记内角，，的对边分别为，，，，则的最小值为______ 【答案】/ 【分析】先应用正弦定理及两角和正弦公式计算得出，再换元应用判别式法结合一元二次不等式计算求解最小值即可. 【详解】因为，而， 由正弦定理得， 所以. 又因为， 设，，所以. 又，所以， 所以，即， 设，所以，即有解， 所以，解得. 若，则与中至少有一个为负数，这与三角形中最多只有一个钝角矛盾，故. 即有，所以，故的最小值为. 题型10 解三角形大题36个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 等差中项与正余弦定理求面积 由等差中项得到边的关系，结合正弦定理角化边，利用余弦定理求角，再根据外接圆半径求边长，最后用面积公式求解。 2 向量平行与垂直解三角形 由向量平行、垂直条件转化为边角关系，利用正弦定理、余弦定理求角，再结合已知边长求面积。 3 角平分线性质与基本不等式求最值 利用角平分线性质将面积表示为两边乘积形式，结合余弦定理和基本不等式求面积最小值，再求中线长。 4 由三角函数图象求解析式并解三角形 根据图象确定解析式，代入三角形内角关系求角，再结合正弦定理求边长和周长。 5 由三角函数图象求解析式及函数值 由图象求解析式，再根据函数值求角，利用二倍角公式和同角关系求值。 6 选择条件求三角函数参数与最值 根据所选条件（奇偶性、平移后奇偶性、单调性）确定参数，再化简目标函数，利用正弦函数性质求最值。 7 由周期与对称性求解析式并比较函数值 利用周期求ω，由对称性求φ，写出解析式，代入角度并利用单调性比较大小。 8 由周期求参数并讨论函数单调性 由周期公式求ω，写出函数解析式，再通过导数或复合函数单调性判断给定区间上的单调性。 9 三角恒等变换与向量模长求面积最值 利用二倍角公式、正弦定理求角，由向量模长关系结合余弦定理得到边的关系，利用判别式法求面积最大值。 10 由最值求参数并求变换后的值域 利用辅助角公式化为一角一函数，由最值求参数，再通过伸缩变换得到新函数，求单调区间和值域。 11 由图象过点求解析式并证明恒等式 代入点坐标求φ，写出解析式，利用和差角公式化简已知等式，通过两式相比证明结论。 12 由图象求解析式并求三角函数值 根据图象确定解析式，再代入已知条件，利用同角关系和两角和差公式求值。 13 正弦定理边化角求角与边比最值 利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角形内角和与两角和公式求角，再通过边角互化求边比的最值。 14 余弦定理求角并选择条件求面积 由余弦定理求角，再选择条件（边或角），通过正弦定理、面积公式求解，注意判断条件是否使三角形存在。 15 几何图形中的解三角形与面积最值 利用直角三角形的边角关系、余弦定理和正弦定理表示边长，再通过面积公式和基本不等式求最值。 16 由图象过点求解析式并解三角形 代入点坐标求解析式，再由函数值求角，利用正弦定理和两角和公式求边或角。 17 余弦定理求边并证明恒等式 由已知边角关系利用余弦定理求边，再通过正弦定理和三角恒等变换证明恒等式。 18 正弦定理与三角恒等变换求周长 利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求角，再由外接圆面积求半径，利用正弦定理和余弦定理求边长和周长。 19 正余弦定理证边角关系并求范围 由已知等式利用正余弦定理转化，证明边的不等关系，再通过正弦定理将边比转化为角的正弦比，结合锐角三角形条件求范围。 20 面积公式与余弦定理求角及面积最值 由面积公式和余弦定理消去边，得到角的余弦值，再结合基本不等式求面积最大值。 21 二倍角公式与辅助角公式求角及周长 利用二倍角公式、辅助角公式化简求角，再结合余弦定理和已知边长列方程组求周长。 22 由恒成立求解析式并解三角形 利用正弦函数最值条件求参数，写出解析式，再代入三角形条件，通过面积公式、余弦定理和正弦定理求值。 23 余弦定理与面积公式求角及边长 由已知等式利用余弦定理和面积公式化简，求出角，再结合锐角三角形条件求边长。 24 辅助角公式求单调区间并解三角形 利用辅助角公式化简函数，求单调递增区间，再代入三角形条件，通过正弦定理、面积公式和余弦定理求边长。 25 正弦定理与同角关系求角及边 由正弦定理边化角，结合同角关系求角，再通过面积公式和余弦定理求边长。 26 等差中项与正弦定理求角及边范围 由等差中项得边的关系，结合正弦定理边化角，利用余弦定理求角，再根据外接圆半径和正弦定理求边长范围。 27 正弦定理证边相等并求面积范围 利用正弦定理将边转化为角的正弦，证明两边相等，再通过面积公式和导数求面积取值范围。 28 正弦定理与角平分线性质求周长 由正弦定理边化角求角，利用角平分线性质将面积分割，结合余弦定理求边长和周长。 29 正弦定理与两角和公式求角及面积 利用正弦定理边化角，结合两角和公式求角，再通过内切圆半径与面积、周长的关系及余弦定理求面积。 30 正弦定理与余弦定理求角及边 由正弦定理边化角求角，再在三角形中利用余弦定理和已知条件求边长。 31 选择条件求三角函数参数范围 根据所选条件（最值、零点、单调性）列出不等式组，求ω的取值范围。 32 正弦定理与辅助角公式求角及外接圆半径 利用正弦定理边化角，结合辅助角公式求角，再通过余弦定理、正弦定理及几何性质求外接圆半径。 33 正弦定理与向量关系求角及范围 由正弦定理边化角求角，根据向量关系确定点位置，再利用三角恒等变换求目标式的取值范围。 34 正弦定理与面积公式求角及三角函数值 利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求角，再通过正弦定理、面积公式和余弦定理求边和三角函数值。 35 三角恒等变换与等差、等比数列求最值及范围 利用三角恒等变换化简已知等式，结合等差中项求角及最值，结合等比中项及正弦定理求边比范围。 36 新定义（布洛卡点）与正余弦定理求角及面积 根据布洛卡角定义，利用正弦定理、余弦定理推导边角关系，再通过代数运算求角、边长和面积。 1．（2026·浙江·模拟预测）在中，角对应边分别是.已知成等差数列，且. (1)求的值； (2)若的外接圆半径为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等差数列的性质得到的关系，再根据正弦定理将角化边，最后利用余弦定理求值； （2）先根据正弦定理求出，再结合（1）中的的关系求出，最后根据三角形的面积公式求解. 【详解】（1）由成等差数列知，又得， 于是，设，则， 所以； （2）由（1）知， 由得，所以， 所以的面积. 2．（2026·山东东营·一模）已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 (1)若 求A； (2)若 求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【详解】（1）因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. （2）因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 3．（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）由正弦定理得到，根据，结合三角形面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解； （2）同（1）建立关于的方程，再结合基本不等式求解最值，进而根据等腰三角形性质求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得. 因为的角平分线交于点，所以， 由，得， 则， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 即； （2）由，得， 得， 化简得，即， 所以，即， 当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值， 此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线. 即重合，故. 4．（2026·江西萍乡·一模）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的周长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由图象可得，求出，求出周期进而求出，由，求出，得解； （2）由求出，由求得，再根据由正弦定理求出，得解. 【详解】（1）由图知：，解得：，； 又，即，则，； 由，得，又，则； 故的解析式为：. （2）因为，即，又，解得； 所以，则或（舍去）； 在中，由正弦定理知：，故； ； 则， 故的周长为. 5．（2026·湖南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式，并写出的单调递减区间； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据函数图象确定最小正周期，即可得的值，再代入求得的值，从而可得函数的解析式，根据正弦函数的单调性求得减区间即可； （2）结合（1）中函数求出，进而得到，根据二倍角公式和角的范围求解. 【详解】（1）由图象可知，∴， 又∵，∴， 代入可知，即， 又因为，所以， 可知当时，单调递减， 所以的单调递减区间为． （2），又∵， 所以由二倍角公式可得：，解得， 又∵，∴， 所以． 6．（2026·北京延庆·一模）已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． (1)求的值； (2)设，求在区间上的最大值和最小值． 条件①：是偶函数； 条件②：的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数是奇函数； 条件③：在区间上单调递增． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)选择①，不符合条件，选择②或选择③，； (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）选择条件①，得即可求解； 选择条件②，得即可求解； 选择条件③，由正弦函数单调性得即可求解； （2）将(1)中求得的值代入，化简的表达式后，结合的取值范围与正弦函数的性质求解最值. 【详解】（1）选择条件①： 由函数 ，是偶函数， 则，因为， 则此时不存在，即函数不存在； 选择条件②：右移个单位后为奇函数。 平移后函数为， 因为为奇函数， 所以，解得：， 因为，所以，此时 选择条件③：在 上单调递增， 正弦函数的单调递增区间为，， 因为在 上单调递增， 所以，，解得： 因为，所以，此时， 后续最值与条件②一致， （2）当时，即 ， 当时，， 当，即时，， 当，即时， 7．（2026·广东广州·二模）已知函数的周期为，且. (1)求函数的解析式； (2)比较与的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据周期求，再根据对称性求，求函数的解析式； （2）代入函数解析式，结合诱导公式化简，再根据单调性比较大小. 【详解】（1）由条件可知，，得， 可知，函数关于直线对称， 所以，得, 因为，所以时，， 所以； （2）， ， 在区间单调递增，所以，则， 所以. 8．（2026·重庆·模拟预测）已知函数的最小正周期为. (1)求以及曲线的对称中心； (2)讨论函数在区间上的单调性. 【答案】(1)，对称中心为； (2)在上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦函数的周期性及对称性求解. （2）求出函数及导数，进而求出其单调区间. 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，则， 令，得， 所以的对称中心为. （2）由（1）得，求导有， 由，得，由，得， 由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 9．（2026·广东汕头·模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．且． (1)若D为AB边上靠近点A的三等分点，，求面积的最大值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理可把题中第一个条件转化为，根据余弦定理可将题中第二个条件化简为，根据向量的线性表示以及模长公式，即可余弦定理得，进而根据二次方程的判别式求解，即可根据面积公式求解， （2）利用基本不等式，以及三角形的三边关系即可求解. 【详解】（1）由可得，即, 故，则, 由正弦定理可得， 由可得, 由于D为AB边上靠近点A的三等分点，，故, 平方可得, 故， 由余弦定理可得，故， 则， 将代入上式可得， 由于该关于的一元二次方程有解，故，故， 由于,当且仅当取到等号. 故三角形面积的最大值为， （2），当且仅当时取到等号， ， 又，故，故， 因此， 综上可得 10．（25-26高三下·安徽·月考）已知函数的最大值为1. (1)求的值； (2)将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，求的单调递减区间以及在区间上的值域. 【答案】(1) (2)，值域为 【分析】（1）先结合余弦的两角和差公式及辅助角公式对进行化简，然后结合余弦函数的性质即可求解； （2）对进行伸缩变换，得到，再结合余弦函数的图像性质即可求解. 【详解】（1）由题意， ， 当时，取得最大值，即， 又函数的最大值为1，即，解得； （2）由（1）得， 将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到， 令，解不等式得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，则，所以， 所以，即在区间上的值域为. 11．（2026·福建莆田·二模）已知函数（）的图象过点. (1)求的单调递增区间； (2)当，且时，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）代入点坐标，结合的范围，求出，再由正弦函数的单调性即可求得； （2）由条件化简得，再由和差公式求得，两式相比即可证明. 【详解】（1）将点代入函数解析式，得，即， 则有，解得，， 因为，令，则，所以， 由，，解得，， 故的单调递增区间为，. （2）由（1）知， 则， ， 依题意，有，即， 因为，即， 代入得， 所以，即， 则有，得证. 12．（2026·山东青岛·一模）函数（，，）的部分图像如图所示. (1)当时，求的单调递增区间； (2)已知，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象，结合正弦函数的性质，可求函数的解析式，再求函数的单调区间即可. （2）根据同角三角函数的基本关系与两角和与差的余弦公式求值即可. 【详解】（1）由图可得，， 所以，且，得，， 又因为，所以，所以. 又因为，， 解得，， 所以在上的单调递增区间为. （2）因为，所以. 因为，所以， 即，所以. 所以. 13．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）在锐角中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，结合三角形内角和公式和两角和的三角函数公式可求角. （2）利用余弦定理，结合（1）的结论，可求的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 在中，， 代入整理可得， 又，则，可得，即， 又，则，则，可得. （2）由余弦定理可得. 因为为锐角三角形，且，所以，， 所以. 由，所以，所以，即. 所以当，即时，即为等边三角形时，取得最大值. 14．（2026·北京密云·一模）在中，. (1)求； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)条件①：不存在这样的三角形；条件②：存在这样的三角形，的面积；条件③：存在这样的三角形，的面积. 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）条件①，由的值得到的范围，结合的值得到这样的三角形不存在；条件②，由的值得到的范围，利用同角关系式求出，利用结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用三角形的面积公式求出；条件③，由利用正弦定理进行边化角，结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用同角关系式求出，由结合两角和的正弦公式求出，利用三角形的面积公式求出. 【详解】（1），， ，，. （2）条件①，，， ，，不符合题意，不存在这样的三角形； 条件②，，， ，， ， ，，，， ； 条件③， ，其中为的外接圆的半径， ， ，，， ，，，，， ， ， . 15．（2026·浙江·模拟预测）如图，已知直线，A是，之间的定点，过A分别作，的垂线，垂足分别为B，C，点D，E为，上的动点，满足．设，，． (1)当时，求的长度； (2)求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用余弦定理计算求解； （2）先应用正弦定理计算，结合两角和余弦公式化简应用面积公式计算求解最值. 【详解】（1）因为，且，所以 易知，且，故， 所以 （2）因为，所以． 又因为，所以． 故， 因此 而． 此时．故面积的最小值为 16．（2026·广东佛山·二模）已知函数的图象经过． (1)求函数的表达式； (2)在中，角所对的边为．已知，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点计算求解参数，得出解析式即可； （2）应用三角函数值得出，再结合两角和正弦公式及正弦定理得出，最后应用特殊角三角函数值计算求解. 【详解】（1）函数的图象经过，所以， 所以，且， 所以，所以， 即得； （2）在中，，所以， 且，且，所以，即， 所以，即得， 由正弦定理，所以， 所以，即得， 所以， 即得，， 所以， 所以. 17．（2026·山西朔州·一模）已知的内角所对的边分别为. (1)若，求； (2)证明：. 【答案】(1)5 (2)证明见解析 【分析】（1）由条件及余弦定理直接可得； （2）由条件及正弦定理，及三角形的恒等变换可得. 【详解】（1）因为，再由余弦定理得， 化简整理得. （2）因为，再由正弦定理得，， 又因为在三角形中，所以， ，所以， 所以 18．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)若，且的外接圆的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换运算即可求解； （2）由已知可求得的外接圆的半径，结合正弦定理可求得，进而利用余弦定理可求得，可求得其周长． 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 所以， 又因为，所以，所以； （2）由（1）得，又，所以， 设的外接圆的半径为， 因为的外接圆的面积为，所以，解得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 又，所以，解得， 所以的周长为． 19．（2026·四川成都·二模）已知分别是锐角的角的对边，． (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用正余弦定理，把混合等式转化为可化简的统一形式，利用锐角三角形的范围约束，结合余弦函数在上单调递减的性质，证明； （2）利用正弦定理将转化为角的正弦比值，再结合（1）中的结论，将表达式统一用角表示，根据锐角三角形的三个内角都为锐角的条件，列出关于角的不等式组，确定角的取值范围，进而求出的取值范围. 【详解】（1）对已知等式， 由正弦定理角化边得：， 整理得：， 再由余弦定理：， 对比得， 因为是锐角三角形，，则， 因为余弦函数在单调递减，所以，得证； （2）由，内角和得， 因为是锐角三角形， 所以：， 由正弦定理： ， 令，则， 因为函数在时单调递增， 而，，所以， 故的取值范围为. 20．（2026·四川德阳·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． (1)求角B的大小； (2)若b＝4时，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得. （2）由（1）中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解. 【详解】（1）在中，，而，即， ，由余弦定理得， 所以. （2）由（1）知，，，而，于是， 即，当且仅当时取等号， 因此的面积， 所以当时，面积取得最大值. 21．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若是边上一点，，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合分式有意义得到，根据二倍角公式、辅助角公式得到，进而求出角及. （2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可. 【详解】（1）由题意知，，即，即. 因为，所以， 即， 所以， 又，， 所以或，所以（舍）或， 因为，所以，则. （2） 方法一：设，则，， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 由，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 联立解得，， 所以的周长为. 方法二：设，则，，即， 故，故， 所以，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 联立解得，，所以的周长为. 22．（2026·广东佛山·一模）已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数的图象、性质求出解析式. （2）由（1）求出，再利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理求解. 【详解】（1）由，得，而，则， 由恒成立，得，即，， 因此，解得，而，则， 所以的解析式为. （2）由（1）得，，而，解得， 由，解得， 由余弦定理得， 由正弦定理，得． 23．（2026·山东烟台·一模）已知的内角的对边分别为，，且的面积为． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理及三角形的面积公式求解． （2）由（1）知，，而， ，得为等边三角形，即可求解． 【详解】（1）由余弦定理得， 因为，所以. 由三角形面积公式得， 又因为，所以， 所以， 因为，所以. （2）由（1）知，，得， 而，得，又， 得为等边三角形，得， 故. 24．（2026·福建龙岩·一模）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)在中，，，的面积为，求边的长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性即可求解； （2）利用正弦定理角化边，结合面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】（1）， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. （2）因为， 又为的内角，则 故， 所以，所以. 设角所对边分别为， 因为，由正弦定理得.① 因为三角形的面积为，所以.② 由①②解得：， 由余弦定理得， 所以. 25．（2026·江西南昌·一模）已知的角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求； (2)若的面积为2，求和. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据正弦定理及同角三角函数关系求解即可. （2）根据同角三角函数关系求出，，结合三角形面积公式及余弦定理求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可得，因为，所以， 所以. （2）因为，所以， 又所以，. 所以，即，所以， 所以，解得， 所以. 因此，. 26．（2026·河北邯郸·一模）的内角的对边分别为，已知成等差数列，且． (1)求； (2)记外接圆的面积为，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用等差中项的性质及正弦边角关系有、，再应用余弦定理求； （2）由（1）及正弦定理求出外接圆的半径，结合求边长的范围. 【详解】（1）因为成等差数列，所以，又，所以． 设，则，则． （2）由（1）得， 则外接圆的半径， 则，则，， 则的取值范围为． 27．（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面四边形中，，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为，求面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理可证明结论. （2）设，利用正弦定理，结合三角形的面积公式，用表示出的面积，再利用导数求面积的取值范围. 【详解】（1）在中，， 在中，， 因为，所以，且， 所以. （2）在中，设 ，. 所以或，， 所有由三角形内角和可得. 所以 设，， 设，则， 所以在上单调递增, 所以. 所以面积的取值范围为. 28．（2026·贵州遵义·模拟预测）在中，内角、、所对的边分别为、、，，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由结合三角形的面积公式得出，结合余弦定理可求得的值，即可得出的周长. 【详解】（1）因为及正弦定理可得， 即， 即， 因为、，则，所以，可得，故. （2）因为，即， 可得①， 由余弦定理可得②， 联立①②可得，即， 因为，解得，故的周长为. 29．（2026·江西赣州·一模）在中，角的对边分别为，且. (1)若，求的值. (2)若的内切圆的面积为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及两角和正弦公式得，求得，再根据两角和的正切公式进行求解； （2）根据三角形面积公式及内切圆半径公式，结合余弦定理，求得，进而求得的值，从而求出的面积. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以 在中，因为，所以有，即得，即， 因为，所以，即得，， 所以. （2）内切圆的面积为，所以内切圆半径， 又，则有， 由余弦定理得 ， 所以，解得或（舍）， 所以， 则. 30．（2026·陕西咸阳·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求角； (2)若点在上，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得角的大小； (2)先在中求得，再利用三角恒等变换求得，最后利用正弦定理求得. 【详解】（1）由正弦定理得得， 所以，所以由余弦定理得， 因为，所以． （2）在中，，所以，， 又， 在中，由正弦定理得． 31．（2026·江苏南通·一模）已知函数，且． (1)若，，求的值； (2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由求出，令，则，利用诱导公式及二倍角公式求解； （2）设的周期为，分别由①②③判断相应范围，判断选①和③；由①③分别求范围，取其交集. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以． 当时，， 因为，所以． 令，则， 所以， 所以． （2）对于①：因为，所以，则，解得； 对于②：因为，所以，则，解得； 对于③：因为，所以，则，解得； 因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③． 由，得， 即的取值范围是． 32．（2026·四川广安·一模）在中，角的对边分别为，且．    (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，求外接圆半径的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边的等式转化为角的等式，结合三角形内角和的正弦展开式化简，再通过辅助角公式求解； （2）利用正弦定理，余弦定理，二倍角公式及三角形几何性质，结合已知条件求出对应角的度数，再利用正弦定理求出外接圆半径． 【详解】（1）由正弦定理得，， ，， ， 由三角形内角和知，，则，代入后化简： ， ， ，即， ， ， ，． （2）在中，由正弦定理得， ，， ，，， 在中，， ， 是等腰三角形，， ， 由余弦定理得， 即， ， 和均为锐角，正弦为正， ，即，解得， ， 由正弦定理得，解得， 的外接圆半径为． 33．（2026·甘肃·一模）如图，中，角的对边分别为. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知，，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和定理，展开后求解； （2）先根据向量关系得到角之间的关系，再利用三角函数的两角和公式化简，最后根据角的范围求出其取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以， 化简得，即，解得； （2）因为， 所以在的延长线上， 如图，故， 所以 . 因为，所以， 解得， 所以的取值范围为. 34．（2026·天津滨海新区·一模）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求： ①边长的值；②的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，得到，即可求解； （2）①由正弦定理得，利用三角形的面积公式，列出方程，求得的值，结合余弦定理，即可求解；②利用正弦定理，求得的值，结合三角函数的基本关系式和倍角公式，分别求得的值，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 又因为， 可得， 所以，即 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. （2）解：①因为，由正弦定理得， 所以的面积为 又因为的面积为，可得，解得，则， 由余弦定理得，所以； ②由正弦定理，可得， 因为，可得为锐角，所以， 则， ， 又因为，所以. 35．（2026·广东·一模）设的内角所对的边分别为，且，记. (1)若成等差数列，求的最小值； (2)若成等比数列，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）将所给等式利用三角恒等变换进行化简，再利用等差数列的性质及正切函数的性质求解； （2）由（1）得，结合正弦定理，等比数列性质，三角形边长关系求解. 【详解】（1）， 因为成等差数列，所以， 又，所以，又，所以， 所以， ， 当取得最大值时，取得最小值， 因为，所以， 所以当时，取得最小值1. （2）因为成等比数列，所以， 由（1）知， 因为，所以， 将代入，化简得， 两边同除以，得，即， 所以，解得， 因为，所以，即，得， 所以的取值范围为. 36．（2026·陕西西安·模拟预测）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： (1)若，求的大小及的值； (2)已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 【答案】(1) (2)①12；② 【分析】（1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得，，由商数关系求的值； （2）由，可得，对于①在、、中由余弦定理结合代数运算可得，再根据面积可求的值；②由面积公式结合余弦定理可得，结合①可得，平方展开运算得解. 【详解】（1） 在中，， 所以，而为锐角，故，所以， 所以，而，故. 又，故， 在中，由正弦定理有，所以， 在中，由正弦定理有，所以， 所以，故. （2） 因为，所以，即， ①，所以 在中，， 在中，， 在中，， 三式相加得 ， 整理得：. ②又 又由①知， 所以， 故， 整理得：， 即， 所以，即， 所以. 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $