清单02-4 高考数学考前重点题型归纳（圆锥曲线、计数原理、概率统计，抢分清单）2026年高考数学终极冲刺讲练测

清单02-4 高考数学考前重点题型归纳 第四部分 （含7个专题，258个重点题型） 题型22 直线与圆32个重点题型 题型23 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55个重点题型 题型24 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40个重点题型 题型25 排列组合27个重点题型 题型26 二项式定理17个重点题型 题型27 概率统计小题52个重点题型 题型28 概率统计大题35个重点题型 题型22 直线与圆32个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 两直线垂直求参数 利用两直线垂直的充要条件（斜率乘积为－1或一般式系数关系）列方程求解。 2 动直线过定点与点到直线距离最值 将含参直线方程整理为关于参数的形式，令参数系数为零得定点；当直线与定点连线垂直时，点到直线距离最大，最大值即为两点间距离。 3 直线与圆相交的弦长最值 直线过圆内定点，弦长最小时，圆心到直线的距离最大（即直线与定点、圆心连线垂直），利用弦长公式求解。 4 两圆相交的公切线交点 判断两圆位置关系，利用几何性质：两圆相交时，外公切线交点位于圆心连线上，且到两圆心距离之比等于半径之比，结合定比分点公式求交点坐标。 5 已知弦长求参数 由弦长公式得圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式列方程求解参数。 6 点与圆、直线与圆位置关系的充要条件 点与圆位置关系由点到圆心距离与半径比较判断；直线与圆位置关系由圆心到直线距离与半径比较判断；结合充要条件定义判断。 7 直线与圆相交求斜率范围 设直线点斜式，由圆心到直线距离小于半径列不等式，解出斜率范围，注意斜率不存在的情况。 8 平行直线与圆相交构成矩形 平行直线与圆相交，若四个交点构成矩形，则圆心到两直线的距离相等，由距离公式列方程求参数和。 9 圆关于直线对称与圆上点到直线距离最值 利用对称性设出圆的标准方程，代入已知点求圆心半径；圆上点到直线距离的最大值和最小值分别为圆心到直线距离加减半径，求和即得。 10 两圆相切求参数 分别求出两圆圆心和半径，根据外切或内切列出圆心距等于半径和或差，解方程求参数，注意分类讨论。 11 圆外一点与圆上点所成角最大问题 过圆外一点作圆的两条切线，当点与切点连线与圆相切时，该点与圆上点连线的夹角最大，利用直角三角形边角关系求解。 12 圆与直线相切及弦长求半径 由切点与圆心连线垂直于切线求圆心坐标满足的方程，再由弦长公式和点到直线距离公式列方程组求半径。 13 动点最值问题（对称转化） 求两圆上动点与直线上动点距离之和的最小值，可作一圆关于直线的对称圆，将问题转化为圆心距减去半径之和。 14 直线与圆相交的弦长最值 直线过圆内定点，当圆心到直线距离最大时弦长最小，此时直线与过定点和圆心的直线垂直，利用几何关系求弦长及余弦值。 15 切点弦所在直线过定点及点到直线距离最值 设切点，利用切点弦方程，通过恒等式求出直线过定点，则点到直线距离的最大值为该点与定点之间的距离。 16 轨迹方程与切线夹角最值 由垂足定义得轨迹为圆，过圆外一点作圆的两条切线，切线夹角的正弦最大值对应圆心角最值，通过几何关系求解。 17 弦中点轨迹与两圆有公共点求参数 由弦长和半径得弦心距，从而得弦中点轨迹为圆；两圆有公共点等价于圆心距介于半径差与和之间，列不等式求参数范围。 18 向量数量积的最值 取弦中点，将向量数量积转化为圆心到弦中点的距离与半径的关系，结合几何意义求最大值。 19 直线与圆相交的圆心角范围求参数 由圆心角范围得到圆心到直线的距离范围，利用点到直线距离公式列不等式，结合直线过圆上定点，解出参数范围。 20 直线过定点、弦长、相交与相切的条件（多选题） 将直线方程变形得定点；利用弦长公式和点到直线距离公式判断；根据圆心到直线距离与半径关系判断位置关系。 21 点到直线距离、两圆相交弦长、公切线、曲线交点面积（多选题） 判断直线与圆相离，求最小距离；两圆方程相减得公共弦方程，再求弦长；由圆心距与半径关系判断公切线条数；联立曲线方程求交点，再求三角形面积。 22 圆上点到直线距离最值、四边形面积最值、数量积最值、切点弦方程（多选题） 利用圆心到直线距离求圆上点到直线距离最值；将四边形面积表示为切线长与半径乘积，利用勾股定理求最值；利用数量积定义结合函数单调性求最值；以切点弦所在直线为两圆公共弦，联立方程求解。 23 两圆位置关系、公共弦方程、公切线（多选题） 由圆心距与半径和差判断位置关系；两圆相交时，公共弦所在直线方程为两圆方程相减；圆心到直线距离等于半径时直线为切线。 24 两圆公共弦长 两圆方程相减得公共弦所在直线，求圆心到直线距离，再利用弦长公式求解。 25 直线与圆相交的等腰直角三角形条件求参数 由向量数量积为零得两半径垂直，从而圆心到直线的距离等于半径的倍，利用点到直线距离公式求参数。 26 等边三角形与直线与圆相交求参数 等边三角形边长为圆半径，故圆心到直线的距离为半径的倍，代入距离公式求解。 27 与两平行直线相切的圆方程 设圆心坐标，利用圆心到两直线距离相等且等于半径，列方程组求解圆心和半径。 28 矩形对角线中点轨迹与距离范围 由矩形性质得对角线中点相同且相等，转化为求中点轨迹圆上点到定点距离的范围，再转化为弦长范围。 29 圆过两点且圆心在直线上，求与圆相交的直线参数范围 先求圆心和半径，再由圆心到直线距离小于半径列不等式解参数范围。 30 直线与圆相切且圆过定点，求半径最小值 由直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径，由圆过定点得圆心到定点距离等于半径，转化为圆心到两直线距离相等，利用几何意义求半径最小值。 31 动直线交点轨迹与分式最值 两动直线垂直且过定点，交点轨迹为圆；将分式变形为斜率形式，转化为圆上点到定点斜率的最值，利用切线求最值。 32 动点轨迹与线段长度最小值 由圆的切线性质得动点满足的等式，化简得轨迹为直线，则线段长度的最小值即为原点到该直线的距离。 一、单选题 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）若直线与直线垂直，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 3．（2026·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 4．（2026·广东佛山·一模）圆和圆的两条公切线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江西南昌·一模）已知圆，：点在圆外，：直线与圆有两个公共点，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 7．（2026·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的直线与圆有两个交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·四川德阳·二模）若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则m＋n＝（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 9．（2026·福建泉州·一模）已知直线，圆关于轴对称，且过点，则圆上的点到的距离的最大值与最小值之和等于（    ） A． B． C． D． 10．（2026·湖南怀化·一模）已知圆与圆相切，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 11．（2026·广东广州·二模）已知点在圆上，点，当最大时，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·湖南·模拟预测）已知圆与直线相切于点，与直线相交于两点，且，则圆的半径为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·广东茂名·一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（25-26高三上·广东·期末）设动直线（）交圆于，两点（点为圆心），当最小时其余弦值为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．（2026·广东汕头·模拟预测）为平面直角坐标系中一点，直线的方程为，过点M作l的垂线，垂足为Q，记Q点的轨迹为曲线E，过直线上任意一点P作E的两条切线，切点分别为A、B，则正弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·江西赣州·开学考试）点A，B是圆上两点，，若在圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·辽宁大连·一模）已知点是圆上一点，直线与圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 20．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知直线l：与圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l被圆C所截的弦长为 C．当直线l与圆C相交时， D．当直线l与圆C相切时， 21．（2026·河南·模拟预测）已知⊙O：，则下列说法正确的是（   ） A．⊙O上一点到直线l：距离的最小值是 B．⊙O和圆：的相交弦长是4 C．⊙O和圆：有且只有两条公切线 D．⊙O和曲线C：交于A，B两点，则△OAB的面积为 22．（2026·江西赣州·一模）已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A．圆上的点到直线的最大距离为 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为8 D．当点坐标为时，直线的方程为 23．（2026·吉林通化·模拟预测）已知圆与圆，则下列说法正确的有（   ） A．若，则两圆外离 B．若两圆相交，则 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则直线为两圆的公切线 三、填空题 24．（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为________. 25．（2026·四川广安·一模）直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则___________． 26．（25-26高二上·天津武清·月考）已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则______． 27．（2026·天津河东·一模）已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的方程为__________. 28．（2026·江苏·一模）已知圆是上的两个动点，点．若四边形是矩形，则的取值范围为______． 29．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，若直线：与圆相交，则实数的取值范围为______． 30．（2026·北京平谷·一模）已知直线与圆相切，并且圆过点，则的最小值是______． 31．（2026·安徽安庆·一模）动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 32．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是______. 题型23 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 抛物线定义求点到焦点距离 利用抛物线定义，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，代入纵坐标求解。 2 椭圆焦点坐标求参数 根据焦点位置确定a、b关系，利用椭圆中a、b、c的关系列方程求解参数。 3 抛物线定义求点坐标 由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，列方程求横坐标，再代入求纵坐标。 4 椭圆焦点弦长 写出过焦点的直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式或焦半径公式求弦长。 5 双曲线方程判定 根据双曲线标准方程中分母异号，列不等式组求解参数范围。 6 椭圆与抛物线综合求参数 由椭圆长轴与短轴关系得a、b关系，由抛物线焦点坐标得c，再结合a2=b2+c2求参数。 7 双曲线渐近线斜率与离心率 由渐近线斜率得b/a，代入离心率公式e=√(1+(b/a)2)求解。 8 椭圆与双曲线离心率关系求参数 分别求出两曲线的离心率，代入关系式解方程求参数。 9 椭圆中向量条件求离心率 利用向量关系将点坐标用椭圆参数表示，代入椭圆方程，结合a、b、c关系求离心率。 10 椭圆焦点三角形求离心率 利用椭圆定义及特殊角关系，通过解三角形或几何性质建立a、c方程求离心率。 11 折痕问题与抛物线定义 由折痕性质得动点到定点与定直线距离相等，根据抛物线定义判断轨迹形状。 12 抛物线定义与向量共线求参数 利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，结合向量共线条件列方程求解。 13 双曲线弦长与距离之和求离心率 求出弦端点坐标，利用点到直线距离公式列方程，结合双曲线中a、b、c关系求离心率。 14 角平分线性质与双曲线定义求离心率 利用角平分线定理得线段比，结合双曲线定义和余弦定理列方程求离心率。 15 椭圆焦点三角形面积与数量积 由焦点三角形面积求点纵坐标，代入椭圆方程求横坐标，再计算向量数量积。 16 双曲线中点弦存在性求离心率范围 利用点差法求中点弦斜率条件，结合点与双曲线位置关系列不等式，求离心率范围。 17 双曲线焦点到渐近线距离与三角形面积求离心率 利用点到直线距离求垂线段长，由三角形面积列方程，结合a、b、c关系求离心率。 18 双曲线与抛物线综合求方程 由公共焦点得c关系，利用等边三角形条件求交点坐标，再联立渐近线与抛物线求参数。 19 双曲线顶点与斜率积求渐近线 设点坐标，利用斜率积公式及点在双曲线上消元，结合离心率条件求渐近线方程。 20 双曲线焦点到渐近线距离与三角形面积求渐近线斜率 利用点到直线距离公式求垂线段长，由三角形面积列方程求a、b关系，得渐近线斜率。 21 双曲线焦点弦与定义求离心率 利用双曲线定义求各段长度，在三角形中利用余弦定理或勾股定理建立a、c方程。 22 椭圆中等腰三角形条件求离心率 由向量条件得等边三角形，利用椭圆定义和余弦定理列方程求离心率。 23 双曲线渐近线与平行线交点求直线方程 求出渐近线方程，过已知点作平行线，联立求交点，再用两点式求直线方程。 24 椭圆通径与垂直关系求离心率 由通径长度与焦点弦关系，利用几何性质列方程，结合a、b、c关系求离心率。 25 椭圆中位线与圆条件求直线斜率 利用焦半径公式和中位线性质，结合圆半径条件求点坐标，再求直线斜率。 26 椭圆焦点三角形与余弦定理求离心率 利用椭圆对称性和定义求边长，在三角形中用余弦定理列方程求离心率。 27 双曲线焦点弦与向量垂直求离心率 利用双曲线定义和向量垂直条件，在三角形中用勾股定理或余弦定理建立a、c方程。 28 双曲线焦点弦与比例关系求离心率 设参数表示各段长，利用双曲线定义和余弦定理列方程，解出离心率。 29 双曲线焦点弦与向量共线求离心率 利用向量条件求点坐标关系，结合双曲线定义和勾股定理建立a、c方程。 30 双曲线渐近线与中点坐标求离心率 利用中点坐标公式和点在渐近线上，结合斜率关系列方程，求a、b关系得离心率。 31 双曲线中点弦与圆条件求渐近线 利用中点坐标公式和点在双曲线上，结合圆半径条件列方程，求渐近线方程。 32 椭圆焦点三角形面积比与等腰条件求离心率 由面积比得线段比，利用椭圆定义和等腰三角形性质，结合余弦定理求离心率。 33 双曲线离心率、直线斜率、数量积最值（多选题） 求离心率；直线与双曲线联立判别式求斜率范围；设点坐标用参数表示数量积求最值；直线与圆相切求斜率。 34 双曲线焦距、离心率、渐近线、焦点三角形周长（多选题） 由焦距求a，再求离心率和渐近线；由焦点三角形条件分类讨论，结合双曲线定义求周长。 35 椭圆焦点三角形周长、面积、向量数量积最值、切线面积最值（多选题） 利用椭圆定义求周长；焦点三角形面积公式求面积；向量数量积用基本不等式求最值；切线方程与坐标轴围成三角形面积用基本不等式求最值。 36 抛物线定义、点坐标、向量数量积、点到直线距离（多选题） 利用抛物线定义求点坐标；由点坐标求向量数量积；由点坐标和斜率公式求角正切；由点到直线距离公式求距离。 37 双曲线焦点弦与勾股定理求离心率及斜率（多选题） 设参数表示各段长，利用双曲线定义和勾股定理求离心率和斜率。 38 抛物线定义、圆与直线相切、最值、垂直条件（多选题） 利用抛物线定义判断圆与直线相切；由半径最小值求圆面积最小值；用基本不等式求最值；用坐标表示垂直条件解方程判断存在性。 39 抛物线定义、距离最值（多选题） 利用抛物线定义将距离转化，结合三点共线求最值。 40 抛物线焦点弦、中点弦、弦长和面积最值（多选题） 设直线方程联立抛物线，利用焦半径公式和韦达定理求弦长、中点坐标，再结合基本不等式求最值。 41 抛物线旋转与四叶草曲线性质（多选题） 由对称性求各抛物线方程；求曲线交点及距离最值；判断点是否在曲线内部；设直线联立求斜率。 42 椭圆焦点三角形性质（多选题） 利用椭圆上点到焦点距离范围求离心率；焦点三角形面积公式求面积；内切圆半径公式求半径；正弦定理结合比例性质求离心率。 43 双曲线旋转与性质（多选题） 由旋转前后渐近线关系判断；求双曲线方程及离心率；联立直线与双曲线求交点个数；判断两圆位置关系。 44 曲线对称性、直线与曲线交点、区域面积（多选题） 利用对称性验证；联立直线与曲线方程判断解的存在性；联立曲线与圆方程求公共点；利用不等式确定面积范围。 45 椭圆方程、弦长、点差法、垂直弦长和定值（多选题） 由短轴长和向量数量积最值求椭圆方程；求通径长；点差法求中点弦方程；利用弦长公式求垂直弦长和为定值。 46 直线与抛物线相交、向量数量积、斜率关系（多选题） 联立方程用韦达定理求数量积；求垂线方程得交点坐标，验证垂直；由焦半径关系求点坐标得斜率；利用弦长关系求斜率。 47 双曲线焦点三角形、渐近线、正切值、内心性质（多选题） 利用焦点三角形面积和余弦定理求离心率；由a、b关系写渐近线；设点坐标用正切值相等求参数关系；由内心性质证等式。 48 抛物线定义、切线、向量数量积、角平分线（多选题） 由焦半径最小值求p；设直线联立求弦长范围；由切线性质求角范围；利用向量夹角或角平分线性质证等角。 49 双曲线光学性质、切线、几何性质（多选题） 利用光学性质得切线方程；判断点是否在切线上；利用几何关系证点在圆上；切线定义得公共点个数。 50 椭圆离心率求参数 根据离心率公式列方程，注意焦点位置，解出参数。 51 椭圆焦点三角形周长 利用椭圆定义，将焦点三角形周长转化为2a+2c，代入数值求解。 52 抛物线焦半径与直角条件求距离 利用焦半径公式和直角条件列方程求点坐标，再求距离。 53 抛物线焦半径与正弦定理求线段长 利用抛物线定义和正弦定理，结合锐角条件求点坐标，再求焦半径。 54 平行直线与两抛物线交点围成四边形面积 设直线方程，求出交点坐标，判断四边形形状为矩形，计算面积。 55 两抛物线焦点与直线交点求参数 由抛物线定义求焦点坐标，设直线方程，利用向量共线或距离关系列方程求参数。 一、单选题 1．（2026·福建·模拟预测）已知抛物线上的一点的纵坐标为，则点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川成都·二模）已知椭圆的一个焦点是,则（   ） A． B．3 C．5 D． 3．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 4．（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州贵阳·一模）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏·一模）若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线的焦点，则（   ） A． B． C．2 D． 7．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 8．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知曲线：，曲线：的离心率分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·安徽淮南·一模）已知椭圆:的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·四川广安·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·山东青岛·一模）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直于交直线于点，点的轨迹为曲线的一部分，则为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 12．（2026·河北保定·一模）已知抛物线：的焦点为F，点D 为C 的准线上一点，线段DF与C 交于点E，若，，则（    ） A． B． C． D．1 13．（2026·河南许昌·模拟预测）已知双曲线，是过右焦点且垂直于轴的弦，若点，到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，则其离心率为（   ） A． B． C． D．2 14．（2026·黑龙江·一模）已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 15．（2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·山东济宁·月考）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线：（，）的右焦点为，半焦距为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（    ） A．2 B．2或 C．2或 D．2或 18．（2026·天津河东·一模）已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线与双曲线交于，两点，三角形为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点与另一点，三角形的面积为，则双曲线的方程为（     ） A． B． C． D． 19．（2026·河南南阳·模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，点是上异于的一点，若直线，的斜率之积为的离心率的倍，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·山东聊城·一模）过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）若双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于A，B两点，且，则的离心率为（    ）． A．2 B．3 C． D． 22．（2026·山东济南·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A． B． C． D． 23．（2026·江西·模拟预测）已知双曲线上一点，若过P分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为M，N，则直线MN的方程为（   ） A． B． C． D． 24．（2026·山东威海·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交于A，B两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 25．（2026·贵州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆的上半部分有一点，若以原点为圆心，半焦距为半径的圆过线段的中点，则直线的斜率为（   ） A．1 B． C． D．2 26．（25-26高二上·四川达州·期末）已知A，B是椭圆C：上关于原点对称的两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 27．（2026·河北张家口·一模）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，过的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点，且满足，（为坐标原点），，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 28．（2026·山东临沂·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（   ） A． B． C． D． 29．（2026·山西朔州·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于点，，则（    ） A． B． C． D． 30．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高三上·天津西青·期末）已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 32．（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 33．（2026·山东济宁·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的最小值为-9 D．若以实轴为直径的圆与相切，则 34．（25-26高二上·广东江门·期末）已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（   ） A． B．双曲线的离心率为2 C．双曲线的渐近线方程为 D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 35．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（   ） A．的周长是 B．时，的面积是 C．的最大值是2 D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为 36．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D．点F到直线OM的距离为 37．（2026·山东青岛·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于两点，，，则（    ） A． B． C．的离心率为 D．直线的斜率为 38．（2026·山西运城·一模）已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（   ） A．圆与直线相切 B．圆的面积的最小值是 C．的最大值是 D．存在点，使得 39．（2026·河北张家口·一模）已知抛物线C：的焦点为F，点，P为C上的动点，则（   ） A．满足的点P恰有两个 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最大值为3 40．（2026·湖北黄冈·一模）如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，与交于A，B两点，与交于C，D两点（点A，C在轴上方），M，N分别是弦和的中点，则（   ） A．设点，则的周长最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．和的面积之和的最小值为32 41．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为，过点作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且，则（   ） A．开口向下的抛物线的焦点坐标为 B．曲线E上两点间距离的最大值为 C．点不在曲线E的内部 D．直线l的斜率为 42．（2026·河北张家口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．若，，则的面积为2 C．若，，，则内切圆的半径为 D．若，，则椭圆的离心率为 43．（2026·辽宁辽阳·一模）双曲线可由以坐标原点为中心的曲线绕其中心旋转一定角度得到．现将曲线绕原点旋转一定角度可得到双曲线，其左右焦点分别为和，点P为曲线C上一点，则下列说法正确的是（   ） A．直线是曲线E的一条渐近线 B．双曲线C的离心率为2 C．若与双曲线C有四个交点，则 D．以为直径的圆与圆相切 44．（2026·浙江·模拟预测）已知曲线E：，为曲线E上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线E关于直线对称 B．点P不可能在直线上 C．曲线E与圆有4个公共点 D．记曲线E所围成的区域的面积为S，则 45．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆：（）的短轴长为，左、右焦点分别为，，为上一动点，且的最大值为4，则下列说法正确的有（   ） A．的方程为 B．若过点且垂直于轴的直线交于，两点，则 C．若，是上两点，且的中点为，则直线的方程为 D．若过点且互相垂直的两条直线与分别交于点，和点，，则 46．（2026·湖北宜昌·二模）已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，过点作的垂线交直线于点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 47．（2026·山东淄博·一模）已知双曲线：的上、下焦点分别为和，下顶点为，为第一象限内上的动点，当时，的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．的内心满足 48．（2026·江西·一模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于两点，过作的垂线，垂足分别为，若点是抛物线上的一动点，且满足的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 49．（2026·广东佛山·二模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，点在上，直线为的内角平分线，过作于点，则（   ） A．当轴时，点在直线上 B．当轴时，点在轴上 C．点在圆上 D．直线与双曲线的公共点只有1个 三、填空题 50．（2026·广东广州·一模）已知椭圆（）的离心率为，则______． 51．（2026·湖北荆门·模拟预测）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为______． 52．（2026·河北邯郸·一模）已知是抛物线的焦点，是的准线与轴的交点，是上的点，且，则______． 53．（2026·河南许昌·模拟预测）抛物线的焦点为，准线与轴交于点，为抛物线上一点，若为锐角，，则________. 54．（2026·湖北武汉·模拟预测）平行于x轴的直线交抛物线：于点，交抛物线：于点，记抛物线和的焦点分别为和，若，则四边形的面积为__________. 55．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，若直线分别与，交于两点，且，则________． 题型24 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 抛物线焦点弦与三角形面积 联立直线与抛物线方程，利用弦长公式和点到直线距离公式表示三角形面积，列方程求直线斜率，注意斜率不存在的情况。 2 双曲线中点弦存在性 利用点差法求中点弦斜率，联立直线与双曲线方程，通过判别式判断直线与双曲线是否有两个交点，从而判断中点是否存在。 3 抛物线中的垂直与角平分线 设直线方程联立抛物线，利用向量数量积证垂直；由角平分线性质得斜率关系，利用韦达定理求定点，再用弦长公式和距离公式求面积最值。 4 椭圆焦点弦与向量夹角 联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，将角的条件转化为向量数量积的不等式，结合判别式求斜率范围。 5 抛物线定义与三角形外接圆 利用抛物线定义求点坐标和方程；联立直线与抛物线，由中点条件求参数，判断三角形形状，再求外接圆半径。 6 双曲线焦点到渐近线距离与向量共线 由焦点到渐近线距离和点坐标求双曲线方程；联立直线与双曲线，利用韦达定理和向量共线条件求参数，再用弦长公式求弦长。 7 椭圆离心率与几何证明 由离心率和焦点坐标关系求椭圆方程；设点坐标，表示直线方程，求与坐标轴交点，利用中点坐标性质证明线段相等。 8 抛物线准线与焦点弦 由抛物线定义和几何关系求参数；设直线方程联立抛物线，利用韦达定理和弦长公式，结合已知条件列方程求斜率。 9 椭圆中直线与坐标轴交点 由顶点坐标和离心率求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆求交点坐标，表示与坐标轴交点，利用向量垂直或共线列方程求斜率。 10 椭圆通径与点到直线距离 由通径长和点到直线距离求椭圆方程；设直线方程联立椭圆，利用韦达定理，将向量数量积条件转化为坐标关系，求范围，再证直线过定点。 11 双曲线定义与重心坐标 由双曲线定义求轨迹方程；利用重心坐标公式和三角形面积求点坐标；设直线方程，联立双曲线，用韦达定理和参数表示点坐标，证点在定直线上。 12 椭圆中等腰三角形与面积最值 设直线方程联立椭圆，利用韦达定理，由等腰三角形条件得斜率关系，求出定值；再用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用基本不等式求最值。 13 双曲线焦点弦与圆过定点 由离心率和焦点到渐近线距离求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理求弦中点坐标和半径，写出圆的方程，令y=0解出定点坐标。 14 椭圆中圆过焦点与定点 由椭圆的定义和焦点坐标求方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，证明以弦为直径的圆恒过焦点，通过向量数量积为零验证。 15 椭圆中光线反射与对称性 由焦距和过定点求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，求点关于x轴的对称点，验证反射光线经过另一点。 16 椭圆中平行四边形面积最值 设点坐标，利用平行四边形向量关系表示点坐标，代入椭圆方程得关系式；用三角函数表示面积，结合基本不等式求最值。 17 抛物线与双曲线渐近线交点及圆过定点 联立抛物线方程与双曲线渐近线求交点坐标，由弦长求抛物线方程；设直线方程，利用圆直径所对圆周角为直角得垂直条件，转化为向量数量积为零，用韦达定理求定点。 18 双曲线离心率与渐近线 选择条件求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理和点到直线距离公式，结合三角形面积求直线方程。 19 抛物线中的等差数列与三角形面积 由点在抛物线上求抛物线方程；利用斜率公式求数列通项，证等差数列；利用弦长公式和点到直线距离公式求三角形面积。 20 直线与抛物线相切及三角形面积比 联立直线与抛物线，利用判别式为零证相切；求直线与坐标轴交点，用坐标表示三角形面积，通过比例关系证明面积相等。 21 椭圆中向量共线与面积最值 由点在椭圆上求椭圆方程；利用向量共线表示点坐标，代入椭圆方程得参数关系，用三角形面积公式和基本不等式求最值。 22 椭圆中通径与点差法 由长轴长和通径条件求椭圆方程；利用点差法求斜率关系，得定值；用两角差的正切公式和基本不等式求角的最值。 23 椭圆中等腰梯形存在性 由离心率和三角形面积求椭圆方程；设直线方程，利用韦达定理求弦中点，由等腰梯形性质得对角线垂直，列方程判断解的存在性。 24 椭圆中斜率关系与三角形面积 由顶点坐标和离心率求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，将斜率条件转化为坐标关系，求斜率；再用弦长公式求三角形面积。 25 椭圆中点弦与直线过定点及面积最值 由焦点三角形面积和边角关系求椭圆方程；设直线方程，利用韦达定理和点关于x轴对称，求直线方程，证过定点；用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用基本不等式求最值。 26 椭圆中斜率积为定值与三角形面积 由斜率积为定值求轨迹方程；联立直线与椭圆，用弦长公式求弦长；设直线方程，利用韦达定理，由x轴平分角得斜率关系，求定点，再用面积公式和基本不等式求范围。 27 双曲线定义与点差法及角范围 由圆的垂直平分线性质得双曲线定义，求方程；利用点差法求中点弦斜率，由对称性得参数关系，求值；联立直线与双曲线，由点横坐标为正求斜率范围，再用向量夹角公式求角范围。 28 椭圆中斜率积为定值与面积最值 由顶点坐标和斜率积求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，由斜率关系求参数，用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用换元法和函数单调性求最值。 29 双曲线渐近线与斜率积为定值及最值 由渐近线斜率求离心率；设点坐标，利用斜率公式和点在双曲线上，证明斜率积为定值；设直线方程，联立双曲线，用韦达定理和基本不等式求最值。 30 椭圆中垂直关系与面积最值 由焦距和短轴长求椭圆方程；联立直线与椭圆求交点坐标，用斜率公式证垂直；用面积公式表示三角形面积，利用换元法和基本不等式求最值。 31 抛物线中四点共圆与面积比范围 由点坐标和斜率求抛物线方程；联立直线与抛物线，利用韦达定理，由四点共圆得对角互补，转化为向量数量积为零，求直线方程；用坐标表示三角形面积，求比值范围。 32 椭圆中三角形外接圆面积最值 由上顶点和直线与椭圆交点求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，求交点坐标，设外接圆方程，代入三点坐标，用半径公式表示半径，利用函数单调性求最值。 33 椭圆中直线与坐标轴交点成等差数列及面积比定值 由长轴长和直线与圆相切求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，求直线与y轴交点坐标，证等差中项；利用中点坐标性质证面积比为定值。 34 椭圆离心率与中点弦及最值 由离心率和长轴长求椭圆方程；设直线方程，利用点差法求斜率关系，证直线垂直；设点坐标，代入椭圆和曲线方程，用换元法求最值。 35 双曲线焦点到渐近线距离与点差法及正弦定理 由焦点到渐近线距离和点在双曲线上求双曲线方程；设点坐标，利用中点坐标公式和点在渐近线上求轨迹，用椭圆定义求最值；利用正弦定理和坐标关系求比值范围。 36 双曲线通径与内切圆性质 由离心率和通径长求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理和参数范围求最值；利用内切圆切线长性质证切点为焦点，由对称性证点在圆上。 37 椭圆焦点弦与中点轨迹及面积比范围 由椭圆定义和余弦定理求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理求中点坐标，消参得轨迹方程；求中垂线与坐标轴交点，用坐标表示面积，利用换元法求范围。 38 抛物线切线方程与直线过定点及向量共线 由点到直线距离求抛物线方程；利用导数或判别式求切线方程，由切线过同一点得切点弦方程，证直线过定点；联立直线与抛物线，利用韦达定理和向量共线条件求参数。 39 椭圆中中点弦与斜率之和为定值及面积最值 由顶点坐标求椭圆方程和直线方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理求点坐标，由中点坐标得点坐标，用斜率公式证和为定值；用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用换元法和导数求最值。 40 双曲线焦点到渐近线距离与直线斜率之和及外接圆 由焦点到渐近线距离和点在双曲线上求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理求斜率之和；设外接圆方程，利用同解方程求圆心坐标，由几何关系求定点。 1．（2026·山东青岛·一模）已知抛物线，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时，. (1)求的方程； (2)若直线过点且的面积为，求的方程. 2．（2026·四川内江·二模）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 3．（2026·江西赣州·一模）已知抛物线，过点作直线与抛物线相交于两点，为坐标原点. (1)证明：； (2)若存在异于点的定点，使得恒成立，请求出点的坐标，并求出面积的最小值. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆：左焦点，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围. 5．（25-26高三下·安徽·月考）已知抛物线的焦点为，过上一动点作的准线的垂线，垂足为.当时，的面积为8. (1)求的方程； (2)直线与交于两点，点均在第一象限，为坐标原点，当为的中点时，求外接圆的半径. 6．（2026·山东威海·一模）已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 7．（2026·北京平谷·一模）已知椭圆的离心率为，右顶点为，左焦点为，且． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且点在第一象限内，直线，过点且平行于的直线交轴于点，直线交轴于点，点为线段的中点，求证：． 8．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且. (1)求； (2)若过点的直线交于，两点，且，求的值. 9．（2026·天津河东·一模）已知椭圆的方程为，上顶点为，右顶点为，，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于点（在第一或第四象限），过原点且与直线平行的直线与椭圆在第二象限交于点. (1)求椭圆方程； (2)轴上有一点，，求直线的斜率； (3)若直线与轴交于点，求直线的斜率. 10．（2026·河南南阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，轴，且点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点. （i）求的取值范围； （ii）若于点，证明：直线过定点. 11．（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 12．（2026·湖南·模拟预测）已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为． (1)求椭圆的方程． (2)已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形． （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求面积的最大值． 13．（2026·山东青岛·模拟预测）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率等于2，右焦点到其渐近线的距离等于． (1)求双曲线的方程； (2)经过点的直线与双曲线C交于、两点，以为直径的圆记作．求证：恒过某个定点，并求出此定点的坐标； 14．（2026·陕西商洛·二模）在天问二号探测器伴飞任务中，地面观测站，用于追踪探测器，探测器沿椭圆轨道运行，到两站距离和为4．设过点的波束中心直线（斜率不为0）与椭圆轨道交于两点，以为直径形成通信圆．研究发现，若通信圆恒过近地点时，视为通信状态最佳． (1)求椭圆轨道的方程； (2)请判断通信圆是否能达到通信状态最佳？并说明理由． 15．（2026·北京密云·一模）已知椭圆，过点，焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（，异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由. 16．（2026·山东菏泽·一模）已知椭圆，O为坐标原点，点A，B分别在直线与上，P是C上一点，O、A、P、B四点顺时针构成平行四边形. (1)求的值； (2)求平行四边形面积的最大值. 17．（2026·山东淄博·一模）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. (1)求抛物线的方程； (2)，为上异于，的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过，证明：直线过定点. 18．（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线：的右顶点为A.请从条件①、②、③中选择两个条件作为已知，使得C存在且唯一. 条件①：的离心率为2； 条件②：的渐近线方程为； 条件③：的右焦点与点A的距离为1. (1)求的方程； (2)若过点的直线交C的右支于点M，且的面积为3，求的方程. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分. 19．（2026·江西·一模）已知为抛物线上一点. (1)求的准线方程； (2)若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设. （i）求数列的前项和； （ii）求的面积. 20．（2026·四川绵阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知曲线，点在曲线上，直线. (1)判断曲线与直线的位置关系，并证明； (2)当时，直线与直线，分别交于，两点.设与的面积分别为，，比较与的大小. 21．（2026·四川成都·二模）如图，已知椭圆，点在椭圆上且，，分别经过的左、右焦点，，且，． (1)若，求点的坐标； (2)证明：是定值，并求出的值； (3)求四边形面积最大值． 22．（2026·湖北黄冈·一模）已知椭圆的长轴长为4，直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点． (1)求的标准方程； (2)若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的最小值． 23．（2026·河北唐山·一模）已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N. (1)求C的方程； (2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 24．（2026·河北保定·一模）已知椭圆的右顶点为，离心率为，过的左焦点的直线与交于异于点的，两点. (1)求椭圆的方程. (2)记直线的斜率为，直线与直线的斜率分别为， （i）若，求； （ii）若，求的面积. 25．（2026·山东临沂·一模）已知椭圆的两个焦点分别为，，点P是C上的一个动点，当面积取得最大值时，． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为（与B不重合）． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 26．（2026·陕西榆林·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，直线AP与BP相交于点P，且两直线的斜率之积为． (1)求动点P的轨迹方程； (2)直线与动点P的轨迹交于C，D两点，求弦长； (3)若动点P的轨迹为闭合曲线，点，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M，N，使得恰好被x轴平分，求面积的取值范围． 27．（2026·安徽合肥·一模）已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为． ①求的值； ②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围． 28．（2026·四川德阳·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求面积的最大值； (3)若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 29．（2026·江苏·一模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为分别为左、右焦点，为右顶点，为左支上的两个动点（不包括顶点）． (1)求的离心率； (2)是否存在常数，使得总成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (3)若为定值，直线经过，求的最小值． 30．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知椭圆C：（）的焦距与短轴长均为. (1)求椭圆C的标准方程. (2)已知直线：（）与椭圆C交于A，B两点，点A在x轴上方，过点B作斜率为的直线，交椭圆C于另一个点P. ①证明：. ②求面积的最大值. 31．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为． ①当四点共圆时，求直线的方程； ②求的取值范围． 32．（2026·山西朔州·一模）已知椭圆上顶点为，直线与椭圆交于两点.当时，. (1)求椭圆的方程； (2)当的外接圆面积最大时，求其外接圆的方程. 33．（2026·福建龙岩·一模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，长轴长为4，且以短轴为直径的圆与直线相切. (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线分别交轴于两点，证明： （ⅰ）的横坐标成等差数列； （ⅱ）与的面积之比为定值. 34．（2026·山东青岛·一模）已知为坐标原点，椭圆：（）的离心率为，长轴长为4. (1)求的方程； (2)若过的直线交于，两点，点在上，点为直线与轴的交点，点的横坐标为点横坐标的3倍. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若点，都在曲线：（）上，求的最大值. 35．（2026·广东广州·一模）已知双曲线：（，）的焦点到其渐近线的距离为，点在上． (1)求的方程； (2)点，分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （ⅰ）设，，求的最大值； （ⅱ）设，（），点不在轴上，若，求的取值范围． 36．（2026·广东·一模）设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最小值； (3)记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． 37．（2026·辽宁抚顺·一模）椭圆的焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，当时有． (1)求的值及椭圆的标准方程； (2)已知线段的中点为． （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）若线段的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，为坐标原点，记的面积为的面积为，求的取值范围． 38．（2026·河北张家口·一模）已知抛物线的焦点F到直线的距离为． (1)求抛物线的方程． (2)点为直线上的一点，过点作的切线，切点分别为． ①问：直线是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． ②若点在抛物线的准线上，切点在第一象限内，存在过点的直线与相交于两点，过点作平行于的直线，分别与直线和直线交于点，若，求的值． 39．（2026·广东佛山·二模）已知椭圆的左顶点，上顶点． (1)求椭圆的方程和直线的方程； (2)过椭圆上异于的点作轴的垂线交直线于点，延长至点，使，直线交椭圆于点． （i）求证：直线的斜率之和为定值； （ii）求面积的最大值． 40．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 题型25 排列组合27个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 分组分配问题 先按人数分组，再分配到两个社区，注意平均分组需除以组数的阶乘。 2 分组分配问题 先将4人分成3组（2,1,1），再分配到3个地点，注意平均分组的处理。 3 数字排列与相邻问题 先排奇偶相间，再插入相邻数字，注意捆绑后插入位置的特殊性。 4 排列中的顺序与相邻条件 先用捆绑法处理相邻，再用倍缩法处理顺序限制。 5 相邻问题 将相邻元素捆绑视为一个整体，再与其他元素排列。 6 分组分配问题 先将5人分成人数为2,1,1,1的四组，再分配到4个场次。 7 先选后排（空盒问题） 先选空盒，再将4个球分到2个盒子，分两种情况（2,2和1,3）。 8 有限制条件的分组分配 按A公司人数分类讨论（1人或2人），再分配B、C公司。 9 排列中的位置与相邻限制 先排特殊元素“礼”，再用排除法减去“射”和“御”相邻且不满足条件的情况。 10 排列中的位置限制 分C是第1个和C不是第1个且不是最后一个两类讨论。 11 排列中的不相邻与前位限制 先排歌舞节目，再插空排机器人，用排除法去掉前3个全是歌舞的情况。 12 排列中的位置与不相邻限制 先排男生，分甲在两端和甲在中间两类，再让女生插空。 13 相邻问题的综合应用 分恰有3本相邻和4本相邻两类，分别用捆绑法计算。 14 排列中的位置限制 用间接法，先求全排列，再减去春字在两端的排列。 15 有限制条件的分配问题 按A舱人数分类讨论（1人、2人、3人、4人），分别计算分配方法。 16 车票问题 每两个站点之间需要准备2种车票，即排列数。 17 数字排列（无重复） 先确定百位数字（不能为0），再从剩余数字中选2个排列。 18 网格路径问题 用组合数求总路径，减去经过管制点的路径。 19 有限制条件的分配问题 先安排女性去两个不同社区，再安排男性去三个社区，用排除法去掉社区无人的情况。 20 分组分配问题 先按3,1,1和2,2,1两种方式分组，再分配到3个不同的盒子。 21 有限制条件的填数问题 先选2个格子放1，排除同行或同列相邻的情况，再放2，最后放剩余数字。 22 顺序固定与不相邻问题 先排顺序固定的非耐力打卡，再用插空法插入顺序固定的耐力打卡。 23 排列中的位置限制 用间接法，先求所有选择，再减去第一场选“峡谷之巅”的情况。 24 网格路径问题 分类讨论必经点，分步计算路径数。 25 图形填数问题 分析阴影圆的位置关系，按阴影圆中数字的大小分类讨论，结合相邻圆数字大小关系计算。 26 取物顺序问题 对前三个球的取法分类讨论，再分析剩余球的取法顺序。 27 数阵填数问题 先确定特定位置的最大数，再按顺序从剩余数中选择填入。 一、单选题 1．（2026·河北唐山·一模）某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区，每个社区至少一名同学，不同的分配方案有（    ） A．6种 B．12种 C．14种 D．28种 2．（2026·黑龙江·一模）黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（   ） A．81 B．72 C．36 D．12 3．（2026·辽宁·模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. A．432 B．257 C．282 D．504 4．（2026·安徽合肥·一模）国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（   ） A．18种 B．24种 C．48种 D．60种 5．（2026·新疆·模拟预测）有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 6．（2026·山东烟台·一模）某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（   ） A．180 B．240 C．320 D．360 7．（2026·山东聊城·模拟预测）将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（       ） A．72 B．78 C．84 D．96 8．（2026·贵州黔东南·模拟预测）将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（   ） A．120种 B．150种 C．210种 D．300种 9．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有（    ）． A．408种 B．336种 C．240种 D．120种 10．（2026·山东淄博·一模）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 11．（2026·浙江·一模）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 12．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 13．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 14．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 15．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 二、填空题 16．（2026·广东梅州·一模）已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备______种不同的车票. 17．（25-26高二上·江西上饶·月考）从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答） 18．（2026·河北·模拟预测）如图，某城市A，B两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口，小林要从出发到处，若每次只能向右或向上走一个路口，P，Q两处实行交通管制，不准通行，则从到的走法共有____________种．（用数字作答） 19．（2026·河北邯郸·一模）某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同社区的方案共有______种． 20．（2026·湖北孝感·二模）2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 21．（2026·宁夏银川·一模）在如图所示的九宫格中，每个格子用1，2，3，4，5，6中的一个数字填入，要求1用两次，2用三次，其余数字各用一次，且当两个1在同一行或同一列时均不相邻，则不同的填法共有______种. 22．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种. 23．（2026·湖南·模拟预测）某电竞战队从张不同地图中选择3张，按顺序用于场比赛，且每张地图最多使用一次．若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有__________种． 24．（2026·重庆·模拟预测）小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格，则从起点到终点共有______种不同的走法. 25．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种. 26．（2025·江西南昌·二模）某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有__________种. 27．（2026·湖南湘潭·二模）将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答） 题型26 二项式定理17个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 求展开式指定项的系数 利用二项展开式的通项公式，代入项数求系数。 2 二项式系数相等求指数 利用二项式系数的性质，由 得 。 3 求展开式指定项的系数 写出通项公式，令 的指数为2，求出 后代入求系数。 4 存在性条件求指数 写出通项公式，令 的指数为整数，检验 的可能取值。 5 已知常数项求参数 写出通项公式，令 的指数为0，代入常数项列方程求解。 6 二项式系数最大项求指数 分 为偶数和奇数讨论，根据第7项二项式系数最大确定 的范围。 7 多项式乘法求指定项系数 分别写出二项式展开的通项，再与 相乘，合并同类项。 8 多项式乘法求指定项系数 将多项式拆分为两部分，分别求含 的项，再合并系数。 9 二项式系数最大项与指定项系数 由仅有第4项二项式系数最大得 ，再通项求 的系数。 10 二项式系数最大与有理项概率 由第6项二项式系数最大得 ，写出通项，找出有理项个数，再计算概率。 11 赋值法求系数和 分别令 和 ，相减可得奇数项系数之和。 12 换元法求指定项系数 令 ，转化为关于 的二项式，求 的系数。 13 赋值法求系数和（多选题） 令 求各项系数和；令 求奇偶项系数差；求导后赋值求相关和。 14 赋值法求系数和（多选题） 由最高次项系数确定 ；利用通项求 ；令 和 求相关和。 15 赋值法与二项式系数性质（多选题） 令 求系数和；利用通项求指定项系数；令 和 求奇偶项系数差；利用二项式系数性质求最大值。 16 多项式乘法求指定项系数 将多项式看作5个因式相乘，分类讨论选取 和 的个数。 17 二项式系数和与常数项 由二项式系数和求 ，再写通项，令指数为0求常数项。 一、单选题 1．（2026·江西·模拟预测）二项式的展开式中，第四项的系数为（   ） A． B． C．30 D． 2．（2026·山西大同·一模）若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（2026·广东·一模）在的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．4 C． D．16 4．（2026·江西·一模）若的展开式中存在含的项，则可能等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．19 5．（2026·陕西榆林·一模）若的展开式中常数项为180，则a的值为（   ） A．4 B．2 C． D．1 6．（2026·陕西·模拟预测）若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 7．（2026·陕西·模拟预测）展开式中的系数为（    ） A．56 B．42 C．84 D．120 8．（2025高三·全国·专题练习）的展开式中的系数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 9．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 10．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·福建龙岩·一模）设，则（    ） A．1 B．2 C．31 D．32 12．（2026·安徽马鞍山·一模）若，则（    ） A．-56 B．-28 C．28 D．56 二、多选题 13．（2026·广东广州·模拟预测）设，则（    ） A． B． C．的展开式中含项的系数为 D． 14．（2026·山东·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 15．（2026·重庆·一模）已知 ，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．中，与最大 三、填空题 16．（2026·山东聊城·一模）的展开式中的系数是____________． 17．（25-26高三上·天津蓟州·期末）的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 题型27 概率统计小题52个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 统计量变化判断 分别计算原数据和新数据的平均数、中位数、众数、方差，比较是否变化。 2 百分位数计算 根据百分位数公式计算位置，若为整数则取该位置数据，若为小数则取相邻两数的平均数，列方程求解参数。 3 回归直线过样本中心 计算样本中心点坐标，代入回归直线方程，解出参数。 4 回归直线过样本中心 计算样本中心点坐标，代入回归直线方程，解出未知数据。 5 折线图信息提取 观察折线图的变化趋势、差值、峰值等，判断各选项的结论是否可直接从图中得出。 6 线性变换后的方差 利用方差性质 ，由原数据方差求新数据方差。 7 数据错误对方差的影响 设原数据平均数为 ，由方差公式分别表示正确数据和错误数据的方差，作差求解。 8 二次函数最值与样本数据 将函数展开，代入已知的样本和与平方和，转化为关于 的二次函数，利用二次函数性质求最小值。 9 全概率公式求总体优秀率 将全校优秀率表示为各年级优秀率乘以人数比例的加权和，利用全概率公式计算。 10 古典概型概率计算 列举所有可能结果（总事件数），再计算事件发生的结果数，求比值。 11 条件概率 先求甲被派去B服务站的所有分配方法数，再求甲、乙同去B服务站的方法数，比值即为条件概率。 12 全概率公式 将做对概率表示为选择各难度题目概率乘以对应正确率之和。 13 条件概率与独立事件 设 ，利用条件概率公式和独立事件性质列方程，解出 。 14 条件概率与并事件 利用条件概率公式 ，结合并事件概率公式求解。 15 比赛获胜概率与奖金分配 分2局结束和3局结束两种情况计算甲获胜概率，按概率比例分配奖金。 16 对立事件与充分必要条件 理解对立事件定义，通过举例验证充分性和必要性。 17 随机变量期望 列出所有出牌组合（共6种），计算甲每轮得分，求得分分布，再计算期望。 18 正态分布概率计算 利用正态分布对称性，由已知概率推导目标区间概率。 19 二项分布与正态分布综合 由正态分布对称性得均值，由二项分布方差公式求 ，再代入条件求概率。 20 二项分布与线性变换 设正面次数为 ，则总得分 ，利用二项分布期望方差求 的期望方差。 21 概率递推 分别计算经过3秒后处于状态1和状态2的路径概率，相加得占比。 22 线性变换后的统计量（多选题） 极差变为原来的2倍，平均数变为原来的2倍加1，方差变为原来的4倍，第80百分位数不能确定。 23 去掉极值后的统计量（多选题） 极差变小，平均数可能不变，方差变小，百分位数可能改变，通过计算验证。 24 折线图分析（多选题） 计算各月变化量判断A；求和求平均判断B；分别计算前5个月和后5个月的方差比较；排序后求第70百分位数。 25 条形图和扇形图分析（多选题） 根据比例计算各年各路线人数，比较大小，计算极差和增长率。 26 线性变换后的统计量（多选题） 平均数变为原来的3倍加1，中位数变为原来的3倍加1，方差变为原来的9倍，极差变为原来的3倍。 27 两组数据合并后的统计量（多选题） 利用已知平均数和方差，通过公式推导合并后的平均数和方差。 28 去掉极值后的统计量（多选题） 中位数不变；极差可能不变也可能变小；方差可能变小；通过具体数据验证。 29 统计图表分析（多选题） 根据累计收入和同比增长率计算每月收入，比较大小，判断各选项。 30 添加数据后的统计量变化（多选题） 通过构造具体数据验证平均数、中位数、方差、极差的变化可能性。 31 独立性检验（多选题） 列出列联表，计算卡方值，与临界值比较，判断是否独立。 32 独立性检验与条件概率（多选题） 根据比例计算人数，列出列联表，计算卡方值，用条件概率公式求概率。 33 互斥事件与包含关系（多选题） 利用互斥事件概率加法公式和包含事件概率性质判断。 34 贝叶斯定理（多选题） 利用全概率公式和贝叶斯公式计算条件概率。 35 随机变量期望（多选题） 分类讨论从乙袋取球的情况，计算从甲袋取到红球个数的分布列和期望。 36 条件概率与独立事件（多选题） 利用条件概率公式和独立事件概率性质推导。 37 条件概率与和事件（多选题） 利用条件概率公式和概率加法公式计算。 38 等比数列与概率（多选题） 先求等比数列通项，判断各项正负，再根据前 项中正数个数计算概率。 39 正态分布性质（多选题） 利用正态分布的对称性、概率密度函数性质判断。 40 马尔可夫链与条件概率（多选题） 利用全概率公式和条件概率公式计算。 41 全概率公式与二项分布（多选题） 全概率公式求答对概率；条件概率公式；二项分布概率公式和期望公式。 42 条件概率与全概率公式（多选题） 利用条件概率和全概率公式推导各选项。 43 递推概率（多选题） 分析试验过程，建立概率递推关系，判断各选项。 44 分层抽样总体均值与方差 利用分层抽样总体均值公式 ，总体方差公式 。 45 分层抽样总体均值 计算加权平均数。 46 古典概型概率 列举所有取球组合，找出互质的数对，求概率。 47 比赛得分概率 先求每轮甲得1分、0分、-1分的概率，再分析三轮总分1分的情况，用二项分布或分类计数。 48 随机变量最大值期望 分析 （抽到数字2、0、6的次数的最大值）的可能取值，计算各概率，再求期望。 49 条件概率（马尔可夫链） 利用全概率公式求第3天选A的概率，再求第2天选A且第3天选A的概率，用条件概率公式。 50 全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式求合格品概率，贝叶斯公式求甲厂生产条件下是合格品的概率。 51 概率递推 分析操作过程，计算4次和5次操作后全红的概率，注意红球和黑球替换的路径。 52 条件概率与期望 先求系统正常工作概率，再求在正常工作条件下损坏元件个数的分布，计算期望。 一、单选题 1．（2026·四川内江·二模）现有一组数据：1，1，3，7，若在这组数据中添加一个数据3，则不会发生变化的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．（2026·河北保定·一模）已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，，m，，，，，若该组数据的分位数是，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北张家口·一模）通过下表5组数据得到的经验回归方程为，则的值为（    ） 2 3 4 5 6 0.67 0.56 0.47 0.39 0.31 A． B．0.08 C． D．0.09 4．（2026·山东青岛·一模）已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（   ） 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 2.6 4.0 5.1 5.4 A．2.5 B．2.7 C．2.9 D．3.1 5．（2026·湖南·模拟预测）国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（   ） A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B．这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 6．（2026·广东·一模）已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2026·河北邯郸·一模）已知一组数据的方差为，甲同学将这组数据错看成，并求得错误数据的方差为，则正确数据的方差（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 8．（2026·湖北宜昌·二模）有一组样本数据，其中．已知，设函数．则的最小值为（    ） A．19 B．100 C．190 D．200 9．（24-25高二下·湖北·期中）某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·陕西榆林·模拟预测）甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·山东东营·一模）在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·四川德阳·二模）某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·广东佛山·二模）设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，则（   ） A． B． C． D． 14．（2026·山东临沂·一模）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 15．（2026·广东梅州·一模）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 16．（2026·广东汕头·模拟预测）“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 17．（2026·福建福州·模拟预测）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 18．（2026·内蒙古包头·模拟预测）某厂生产了一批固态电池，已知该批次固态电池的“循环寿命”（单位：千次）服从正态分布，且．现从该批固态电池中随机抽取1组，则“循环寿命”在区间的概率为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·山东德州·一模）已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026·湖北武汉·模拟预测）连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（   ） A． B． C． D． 21．（2026·江苏·一模）科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占（   ） A． B． C． D． 二、多选题 22．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）一组数据的极差为4，平均数为3，方差为2，若，则（    ） A．的第80百分位数为 B．的极差为8 C．的平均数为7 D．的方差为4 23．（2026·山西晋中·模拟预测）在一次机器人大赛中，7位评委给某机器人的打分（单位：分）为，则下列说法正确的有（    ） A．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的极差不变 B．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的平均数不变 C．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的方差会变小 D．这组数据的分位数为93 24．（2026·河北·一模）某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（    ） A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份 B．这10个月营业额的平均数为32.5万元 C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D．这10个月营业额数据的第70百分位数为43 25．（2026·辽宁辽阳·一模）某市10公里慢跑自2020年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加.下图分别为该市2020年10公里慢跑参与人数的条形统计图（图1）、2025年10公里慢跑参与人数的扇形统计图（图2），已知2025年一号线的参与人数是2020年一号线参与人数的1.5倍，则（    ） A．2025年该市10公里慢跑总的参与人数是6万 B．2025年五号线的参与人数超过了2020年二号线与三号线的参与人数总和 C．2020年，五条路线对应的参与人数的极差是11千 D．2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线 26．（2026·四川成都·二模）已知数据的平均数为M，中位数为N，方差为P，极差为Q，设，得到新数据，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（    ） A．平均数是3M B．中位数是 C．方差是9P D．极差是 27．（2026·山东聊城·一模）已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（   ） A．第一组数据的平均数为4 B．第二组数据的方差为3 C．将两组数据合并后数据的平均数是9 D．将两组数据合并后数据的方差是30 28．（2026·吉林白城·一模）有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（   ） A． B． C． D． 29．（2026·安徽安庆·一模）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 30．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）有一组互不相等的样本数据，现添加一个新的数据，得到新的一组数据，则新数据与原数据相比，下列情况可能发生的是（   ） A．若平均数不变，但极差变大 B．若中位数不变，但平均数变小 C．若平均数不变，但方差变大 D．若中位数不变，但方差变小 31．（2026·重庆·一模）（多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲 15 52 乙 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得．则下列说法正确的是：（    ） A．以频率估计概率，有 B．以频率估计概率，有 C．若取，可以认为疗效与疗法独立 D．若取，可以认为疗效与疗法独立 32．（2026·广东梅州·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（    ） 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A．在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B．在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C．根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D．从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4 33．（2025高三·全国·专题练习）已知随机事件满足，则（    ） A．若事件互斥，则 B．若，则 C．若，则 D．若事件互斥，则 34．（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 35．（2026·江苏·一模）甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 36．（2026·重庆·模拟预测）已知，为两个随机事件，，分别表示，的对立事件，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，相互独立，则 D．若，则 37．（2026·江西赣州·一模）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 38．（2026·河北张家口·一模）若数列的前n项和为，且，在数列的前（）项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 39．（2026·浙江·模拟预测）已知随机变量，且，（），则（    ） A． B． C． D．（） 40．（2026·湖北孝感·二模）春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B．小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小 C．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 41．（2026·河北张家口·一模）某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，甲同学回答类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲同学在第一轮答对试题的概率为 B．甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为 C．甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为 D．甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6 42．（2026·四川绵阳·模拟预测）设，分别为随机事件的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 43．（2026·山东济南·一模）现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（    ） A． B． C． D．且 三、填空题 44．（2026·辽宁·模拟预测）大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____ 45．（25-26高二上·广东中山·月考）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15．则估计出总样本的平均数为_____． 46．（2026·广东汕头·模拟预测）抽奖箱中共6个球，这6个球的形状、大小完全相同，每个球上面分别标有数字1，2，3，4，5，6中的一个，且没有重复出现的数字标号，现从中随机抽出两个球（不放回），则两个球之间的数字标号互质的概率为_______________． 47．（2025·湖北黄冈·模拟预测）甲､乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀的骰子一次，规定点数大的得分，点数小的得分，点数相同时各得分，三轮比赛结束后，甲得分的概率为__________. 48．（2026·河北张家口·一模）已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则的数学期望______． 49．（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 50．（2026·江西·模拟预测）某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占70%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是90%，在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，则这个灯泡是甲厂生产的概率是________． 51．（2026·江西南昌·一模）已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 52．（2026·湖南怀化·一模）如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 题型28 概率统计大题35个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 互斥事件与独立事件概率 分情况讨论比赛结束仍未决出胜负的情形，利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式计算概率；甲获胜需考虑甲在第1、2、3次投篮中获胜的各种路径。 2 独立事件与随机变量分布 分别计算甲、乙通过面试的概率；由两人答题次数之和的可能取值，结合独立事件概率公式求分布列，再求期望。 3 全概率公式与二项分布 由全概率公式求检测结果与实际不符的概率；二项分布求恰有2天不符的概率；计算使用检测系统时每日总支出的期望，与不使用系统时的期望比较。 4 线性回归与相关系数 计算样本中心点，求相关系数判断相关性强弱；利用最小二乘法求回归直线方程，再代入预测值。 5 独立性检验与超几何分布 补全列联表，计算卡方值判断是否独立；分层抽样后，用超几何分布求抽取人数分布列和期望。 6 相关系数与超几何分布 计算相关系数判断线性相关程度；从5个数据中随机抽取3个，最小值的分布列为超几何分布，求期望。 7 频率分布直方图与正态分布 由频率和为1求参数，根据百分位数定义求分数线；分层抽样后用超几何分布求分布列；由直方图估计均值，结合正态分布概率公式求概率。 8 二项分布与全概率公式 有放回抽取服从二项分布，求分布列和期望；用二项分布概率公式求误差不超过0.2的概率；利用条件概率和全概率公式分析换门问题。 9 全概率公式与二项分布 由全概率公式求随机抽取一名会员满意的概率；从所有会员中抽取2名，满意的数量服从二项分布，求分布列和期望。 10 条件概率与独立事件 由全概率公式求有消费意向的概率，再求条件概率；分析了解政策的家庭与受带动家庭合计补贴的可能取值，用独立事件乘法公式求概率；计算奖励期望。 11 古典概型与超几何分布 列举法求概率；从低于2%的模型中抽取3个，其中低于1.3%的个数服从超几何分布，求分布列和期望。 12 独立事件与二项分布 求一件零件合格的概率，再求3件中至少2件合格的概率；4件零件总获利服从二项分布，求分布列和期望。 13 分布列性质与全概率公式 由分布列概率和为1求参数，再由条件概率公式和全概率公式求概率；利用期望公式和导数判断方程解的存在性。 14 条件概率与递推概率 由条件概率公式求概率；分析抽到干电池的过程，用乘法公式或递推关系求恰好抽到最后一块干电池的概率。 15 独立性检验与二项分布 计算卡方值判断是否相关；由样本频率估计总体概率，混合后优等品概率为加权平均，抽取3件服从二项分布，求分布列和期望。 16 条件概率与独立性检验 由列联表计算条件概率，直观判断关联；计算卡方值，与临界值比较得出结论。 17 互斥事件与随机变量分布 分两类情况求立项概率；由评审通过人数可能取值，结合概率加法公式和乘法公式求分布列和期望。 18 独立事件与二次不等式 由独立事件概率公式求两模型答案不同的概率；系统输出正确答案的概率由两部分组成，列不等式求参数最小值。 19 古典概型与二项分布 计算游戏Ⅰ各局获胜概率；3人选择游戏Ⅰ，前两局均未获胜的人数服从二项分布，求分布列和期望；计算两游戏奖金期望，比较选择。 20 互斥事件与随机变量分布 分情况求甲、乙得分之和大于3的概率；列出两轮得分之和的可能取值，用互斥事件和独立事件求分布列和期望。 21 全概率公式与条件概率 由全概率公式求一次测试得2分的概率；由条件概率公式求在总得分至少3分条件下第一次得1分的概率；由每轮得分分布求期望，再用线性性质求总期望。 22 互斥事件与随机变量期望 分正确选项个数为2或3，求随机选一个选项得分的分布列和期望；类似求随机选两个选项得分的期望，比较大小得参数范围。 23 分布列与递推概率 分析一个分裂周期后细胞个数的可能取值，求分布列和期望；通过递推关系求经过n个周期后恰有2个细胞的概率；利用全概率公式证明递推不等式。 24 条件概率与随机变量分布 由条件概率公式求在第一轮甲胜条件下乙获得第3名的概率；分析甲最终名次的所有可能路径，用独立事件乘法公式求概率，得分布列和期望。 25 独立事件与递推概率 由独立事件乘法公式求一轮获得“驰骋”卡片的概率；通过状态转移建立概率递推关系，构造等比数列求通项，并求极限。 26 独立事件与递推概率 由独立事件求小球落入A、B袋的概率；累计得分n的概率满足递推关系，构造常数列和等比数列求通项。 27 正态分布与超几何分布 由频率分布直方图估计均值，结合正态分布求A等品概率；超几何分布求分布列和期望；建立利润函数，利用导数求最大值。 28 古典概型与马尔可夫链 枚举法求三枚骰子点数和≥12的概率；由状态转移建立概率递推关系，求首次结束的概率；建立期望方程组，求解期望步数。 29 独立事件与函数最值 由独立事件乘法公式求支付金额的分布列和期望；建立期望利润函数，求导得极大值点及最大值。 30 二项分布与递推概率 二项分布求分布列、均值和方差；由概率定义求人气值出现概率，建立递推关系，构造等比数列求通项。 31 独立事件与分布列 分析生成词元的规则，用独立事件乘法公式求生成1个、2个词元的概率；推导一般项概率，得分布列；用错位相减法求和求期望。 32 全概率公式与最值 由全概率公式求获得最大金额奖励的概率；通过估值近似，建立函数求最大值及对应k值。 33 独立事件与递推概率 求一次通关概率；利用参考公式求每关期望次数，求和得总期望；建立概率递推关系，构造等比数列求通项，并证明不等式。 34 独立事件与递推概率 分析抛掷硬币生成字符序列的规则，求字符总数的期望；建立“前0”概率的递推关系，证明等比数列；由条件概率公式求概率，通过构造函数求最大值。 35 全概率公式与递推概率 由全概率公式求物流提前送达的概率；建立方案选择概率的递推关系，证明等比数列；求极限得长期概率，判断系统能否提高概率。 1．（2026·江苏常州·模拟预测）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 2．（2026·湖南常德·一模）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 3．（2026·河北衡水·一模）某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结果相互独立. (1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率. (2)若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率. (3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费（检修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由. 4．（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表： 每周课外阅读时长 频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的列联表： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 每周课外阅读时长低于6小时 80 合计 200 (1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关； (2)从每周课外阅读时长在和的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设表示抽取的2人中每周课外阅读时长在的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 6．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 7．（2026·新疆·模拟预测）某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列； (3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率. ［参考数据：；若，则，，］ 8．（2026·广东梅州·一模）（1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用表示停止时摸出红球的次数. ①求的分布列和数学期望； ②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率. （2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.） 9．（2026·福建龙岩·一模）某会员店的本地会员占，外地会员占.现开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，每个会员对该店商品质量满意与否相互独立. (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员（其中会员总数远大于2），记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望. 10．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000元以上可以领取500元补贴.通过调查可知，该市有的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为． (1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率； (2)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列； (3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000元补贴，带动家庭可以拿到100元奖励；两个家庭合计拿到1500元补贴，带动家庭可以拿到200元奖励；两个家庭合计拿到2000元补贴，带动家庭可以拿到300元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 11．（2026·江苏镇江·一模）AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 12．（2026·贵州黔东南·模拟预测）某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立. (1)求检测3件该零件，至少有2件合格的概率； (2)已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利元，求的分布列与期望. 13．（2026·山东德州·一模）在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多. (1)若，求，并根据全概率公式求； (2)是否存在值且，使得，请说明理由. 14．（2026·湖北黄冈·一模）抽屉里有相同规格的3块充电电池和2块一次性干电池，当需要使用电池时即从抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．当抽屉只剩下充电电池时则停止电池的随机抽取． (1)求在第2次抽取的是干电池的条件下第1次抽取的也是干电池的概率； (2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2块干电池用完．记抽取第次时恰好抽到最后一块干电池的概率为，求． 15．（2026·河北保定·一模）某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密元件的产品质量.原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网和大数据分析的智能调控系统，实现了生产参数的实时优化.为评估技术创新对产品质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产线生产的同种产品中各随机抽取100件进行检测，得到如下列联表： 优等品 非优等品 合计 甲生产线 65 35 100 乙生产线 90 10 100 合计 155 45 200 (1)根据小概率值的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关. (2)以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定数量的产品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽取3件，记这3件产品中优等品的个数为X，求X的分布列和数学期望. 附 其中. 16．（2026·江西南昌·一模）近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯与近视之间是否存在关联，某研究小组在某中学随机抽取了200名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机的时间（分为“少于1小时”和“1小时及以上”两类）以及是否被医院诊断为近视（分为“是”和“否”两类）.调查结果汇总如下表： 使用手机时间 近视 不近视 总计 少于1小时 40 60 100 1小时及以上 65 35 100 总计 105 95 200 (1)从该校学生中任选1人，记“该人平均每天使用手机时间少于1小时”为事件，记“该人近视”为事件.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断平均每天使用手机时间与近视是否有关联，简要说明理由； (2)利用列联表中的数据，计算卡方统计量（精确到0.001），并判断是否有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关. 附：公式，独立性检验临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17．（2026·河北邯郸·一模）某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以立项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第三位专家进行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项．设该项目能通过每位初审专家评审的概率均为，能通过复审专家评审的概率为，各专家评审能否通过相互独立． (1)求该项目予以立项的概率； (2)记评审通过该项目的专家人数为，求的分布列与期望． 18．（2026·广东深圳·一模）某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为，模型乙回答正确的概率为0.75，假设各模型每次回答相互独立. (1)当时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率； (2)若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88，求的最小值. 19．（2026·山东临沂·一模）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 20．（2026·重庆·一模）甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3分、2分、0分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3分、2分、0分的概率分别为，乙不投3分球，他一次投篮得2分、0分的概率分别为．若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相互独立，每次投篮也互不影响． (1)记一轮投篮后，甲的得分为，乙的得分为，求； (2)记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量，求的分布列及数学期望． 21．（2026·山东潍坊·模拟预测）某人工智能实验室测试一款新型深度强化学习智能体，每次测试中，智能体会随机接受类或类任务，每次测试相互独立.已知每类任务出现的概率均为，且智能体成功完成类任务的概率为类任务的概率为.记成功完成类任务得1分，类任务得2分，不成功均得0分. (1)求智能体经过1次测试后得2分的概率； (2)记智能体经过次测试后的总得分为. （i）若，求在的条件下，第1次测试得1分的概率； （ii）求. 附：若为随机变量，则. 22．（2026·江苏·一模）某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， (1)若，求； (2)求的概率分布列和数学期望； (3)证明：当且仅当时，. 23．（2026·江西赣州·一模）现有一种不断分裂的细胞，在每个分裂周期中，一个细胞以的概率分裂成一个新的细胞，以的概率分裂成两个新的细胞，分裂后原来的细胞消失，新的细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个细胞，个分裂周期后，细胞的数目为. (1)求的分布列和数学期望. (2)求概率. (3)证明：. 24．（2026·浙江·模拟预测）“村超”是乡村足球超级联赛的简称.其通过全民参与的体育赛事激活了乡村振兴新动能，构建了集文化自信、经济发展、社会治理于一体的乡村发展新模式.为了提高参赛球队技战术水平，某乡镇组织甲、乙、丙、丁四支参赛球队进行了“热身排位赛”，赛程为：第一轮：经过抽签，甲队和乙队为一组，丙队和丁队为一组，两组分别进行组内比赛，每组的胜者编入A组，负者编入B组；第二轮：A，B两组的球队分别进行组内比赛，A组的胜者进入决赛，B组的负者获得第4名；第三轮：A组的负者和B组的胜者比赛，胜者进入决赛，负者获得第3名；第四轮：决赛，胜者获得第1名，负者获得第2名.已知甲队与其他三支球队的比赛中，甲队获胜的概率均为.乙、丙、丁三支球队间的比赛中，每支球队获胜的概率均为（比赛没有平局）.且各场比赛之间互不影响. (1)求在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第3名的概率； (2)记甲队最终获得的名次为随机变量，求的分布列和数学期望. 25．（2026·山东济宁·一模）2026年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，盒中有1个红球，2个黄球；盒中有1个红球，3个黄球；盒中有5个红球，3个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从盒中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回盒内，然后，乙根据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从盒中摸球；若甲摸到黄球，则乙从盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响. (1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率； (2)记甲乙两人在第轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为，且. （i）求； （ii）求，并判断：当时，是否无限趋近于一个常数？若是，求出的值；若不是，请说明理由. 26．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入A袋或B袋中．一次游戏中小球落入A袋记1分，落入B袋记2分，游戏可以重复进行．游戏过程中累计得n（）分的概率为． (1)求； (2)写出与之间的递推关系，并求出的通项公式． 27．（2026·四川成都·二模）2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） (2)（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. 28．（2026·江西·模拟预测）小明玩一个掷骰子游戏：每次同时掷三枚均匀的六面骰子（点数从1到6），记录点数和.每枚骰子朝上的点数互不影响，游戏规则如下： •若连续两次点数和大于等于12，则游戏立即结束. •若某次点数和小于12，则之前的“点数和大于等于12”的次数清零，并从下一次重新开始计数. 以当前连续点数和大于等于12的次数作为状态，记状态0为上一次点数和小于12或刚开始，状态1为上一次点数和大于等于12，状态2为游戏结束. (1)求一次掷三枚骰子，点数和大于等于12的概率p. (2)设从状态0开始，记第n次掷骰子后游戏首次结束（即首次到达状态2）的概率为. ①求，； ②证明：数列满足递推关系（，）； (3)以掷骰子的次数为步数，构成一个马尔可夫链. 设从状态0、状态1出发到游戏结束所需步数的期望分别为、． 考虑当前状态与下一步可能转移的状态，建立关于、的方程组（例如：在状态0时，掷一次骰子后可能仍处于状态0或进入状态1，步数期望如何表达？）；以此为依据解答下列问题： 设随机变量X表示从开始到游戏结束时所需的掷骰子次数（即首次到达状态2的步数），求X的数学期望． 29．（25-26高三上·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （ⅰ）求关于p的函数表达式； （ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 30．（2026·四川德阳·二模）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． (1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； (2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 31．（2026·山东青岛·一模）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. (1)求，； (2)求的分布列； (3)求. 32．（2026·河北唐山·一模）某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励. (1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率； (2)若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张. （ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p； （ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值. （估值参考：当时，，，，.） 33．（2026·山东菏泽·一模）甲参与了一个有奖闯关游戏，游戏共设置3关，他每次从装有1个红球，2个黑球，3个黄球的袋中有放回地摸出1个球（这些球除颜色外完全相同），规则如下：过第一关时，若摸到黄球则前进到第二关，否则留在第一关；过第二关时，若摸到黑球则前进到第三关，否则留在第二关；过第三关时，若摸到红球则通关成功，游戏结束，否则留在第三关.假设甲的摸球次数不受限制. 参考公式：若，则. (1)求甲摸球3次恰好通关成功的概率； (2)已知X，Y是随机变量，则，现用表示“甲通关成功所需的摸球次数”，求； (3)设甲摸球次后通关成功的概率为，求出与的递推关系式，并证明. 34．（2026·四川·模拟预测）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷，按如下规则从左至右依次生成一个由数字“1”和“0”组成的字符序列：若硬币正面朝上，则在当前序列的末尾添加一个字符“1”；若硬币反面朝上，则在当前序列的末尾添加两个连续的“0”，称这两个“0”中前一个为“前0”，后一个为“后0”．例如，抛掷5次硬币的结果依次是：正、反、正、正、反，那么得到的字符序列为1001100，共7个字符，此时从左向右第4个字符为1，第6个字符为0． (1)若抛掷3次硬币，记得到的字符序列中字符总数为，求； (2)对，记为从左向右第n个字符是“前0”的概率，为从左向右第n个字符是0的条件下，第n+1个字符是1的概率. （ⅰ）证明：为等比数列； （ⅱ）求的最大值. 35．（2026·福建福州·模拟预测）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种. 记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 清单02-4 高考数学考前重点题型归纳 第四部分 （含7个专题，258个重点题型） 题型22 直线与圆32个重点题型 题型23 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55个重点题型 题型24 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40个重点题型 题型25 排列组合27个重点题型 题型26 二项式定理17个重点题型 题型27 概率统计小题52个重点题型 题型28 概率统计大题35个重点题型 题型22 直线与圆32个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 两直线垂直求参数 利用两直线垂直的充要条件（斜率乘积为－1或一般式系数关系）列方程求解。 2 动直线过定点与点到直线距离最值 将含参直线方程整理为关于参数的形式，令参数系数为零得定点；当直线与定点连线垂直时，点到直线距离最大，最大值即为两点间距离。 3 直线与圆相交的弦长最值 直线过圆内定点，弦长最小时，圆心到直线的距离最大（即直线与定点、圆心连线垂直），利用弦长公式求解。 4 两圆相交的公切线交点 判断两圆位置关系，利用几何性质：两圆相交时，外公切线交点位于圆心连线上，且到两圆心距离之比等于半径之比，结合定比分点公式求交点坐标。 5 已知弦长求参数 由弦长公式得圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式列方程求解参数。 6 点与圆、直线与圆位置关系的充要条件 点与圆位置关系由点到圆心距离与半径比较判断；直线与圆位置关系由圆心到直线距离与半径比较判断；结合充要条件定义判断。 7 直线与圆相交求斜率范围 设直线点斜式，由圆心到直线距离小于半径列不等式，解出斜率范围，注意斜率不存在的情况。 8 平行直线与圆相交构成矩形 平行直线与圆相交，若四个交点构成矩形，则圆心到两直线的距离相等，由距离公式列方程求参数和。 9 圆关于直线对称与圆上点到直线距离最值 利用对称性设出圆的标准方程，代入已知点求圆心半径；圆上点到直线距离的最大值和最小值分别为圆心到直线距离加减半径，求和即得。 10 两圆相切求参数 分别求出两圆圆心和半径，根据外切或内切列出圆心距等于半径和或差，解方程求参数，注意分类讨论。 11 圆外一点与圆上点所成角最大问题 过圆外一点作圆的两条切线，当点与切点连线与圆相切时，该点与圆上点连线的夹角最大，利用直角三角形边角关系求解。 12 圆与直线相切及弦长求半径 由切点与圆心连线垂直于切线求圆心坐标满足的方程，再由弦长公式和点到直线距离公式列方程组求半径。 13 动点最值问题（对称转化） 求两圆上动点与直线上动点距离之和的最小值，可作一圆关于直线的对称圆，将问题转化为圆心距减去半径之和。 14 直线与圆相交的弦长最值 直线过圆内定点，当圆心到直线距离最大时弦长最小，此时直线与过定点和圆心的直线垂直，利用几何关系求弦长及余弦值。 15 切点弦所在直线过定点及点到直线距离最值 设切点，利用切点弦方程，通过恒等式求出直线过定点，则点到直线距离的最大值为该点与定点之间的距离。 16 轨迹方程与切线夹角最值 由垂足定义得轨迹为圆，过圆外一点作圆的两条切线，切线夹角的正弦最大值对应圆心角最值，通过几何关系求解。 17 弦中点轨迹与两圆有公共点求参数 由弦长和半径得弦心距，从而得弦中点轨迹为圆；两圆有公共点等价于圆心距介于半径差与和之间，列不等式求参数范围。 18 向量数量积的最值 取弦中点，将向量数量积转化为圆心到弦中点的距离与半径的关系，结合几何意义求最大值。 19 直线与圆相交的圆心角范围求参数 由圆心角范围得到圆心到直线的距离范围，利用点到直线距离公式列不等式，结合直线过圆上定点，解出参数范围。 20 直线过定点、弦长、相交与相切的条件（多选题） 将直线方程变形得定点；利用弦长公式和点到直线距离公式判断；根据圆心到直线距离与半径关系判断位置关系。 21 点到直线距离、两圆相交弦长、公切线、曲线交点面积（多选题） 判断直线与圆相离，求最小距离；两圆方程相减得公共弦方程，再求弦长；由圆心距与半径关系判断公切线条数；联立曲线方程求交点，再求三角形面积。 22 圆上点到直线距离最值、四边形面积最值、数量积最值、切点弦方程（多选题） 利用圆心到直线距离求圆上点到直线距离最值；将四边形面积表示为切线长与半径乘积，利用勾股定理求最值；利用数量积定义结合函数单调性求最值；以切点弦所在直线为两圆公共弦，联立方程求解。 23 两圆位置关系、公共弦方程、公切线（多选题） 由圆心距与半径和差判断位置关系；两圆相交时，公共弦所在直线方程为两圆方程相减；圆心到直线距离等于半径时直线为切线。 24 两圆公共弦长 两圆方程相减得公共弦所在直线，求圆心到直线距离，再利用弦长公式求解。 25 直线与圆相交的等腰直角三角形条件求参数 由向量数量积为零得两半径垂直，从而圆心到直线的距离等于半径的倍，利用点到直线距离公式求参数。 26 等边三角形与直线与圆相交求参数 等边三角形边长为圆半径，故圆心到直线的距离为半径的倍，代入距离公式求解。 27 与两平行直线相切的圆方程 设圆心坐标，利用圆心到两直线距离相等且等于半径，列方程组求解圆心和半径。 28 矩形对角线中点轨迹与距离范围 由矩形性质得对角线中点相同且相等，转化为求中点轨迹圆上点到定点距离的范围，再转化为弦长范围。 29 圆过两点且圆心在直线上，求与圆相交的直线参数范围 先求圆心和半径，再由圆心到直线距离小于半径列不等式解参数范围。 30 直线与圆相切且圆过定点，求半径最小值 由直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径，由圆过定点得圆心到定点距离等于半径，转化为圆心到两直线距离相等，利用几何意义求半径最小值。 31 动直线交点轨迹与分式最值 两动直线垂直且过定点，交点轨迹为圆；将分式变形为斜率形式，转化为圆上点到定点斜率的最值，利用切线求最值。 32 动点轨迹与线段长度最小值 由圆的切线性质得动点满足的等式，化简得轨迹为直线，则线段长度的最小值即为原点到该直线的距离。 一、单选题 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）若直线与直线垂直，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的条件列出关于的方程,求解的值即可. 【详解】对于直线和直线垂直,则. 已知直线中,直线中. 因为,即. 故选：C. 2．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得. 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 3．（2026·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由直线的方程可确定直线过定点，则当点到直线的距离的最大值为时，取最小值. 【详解】直线，可化为，则直线过定点， 圆配方得，可得圆心，半径， 所以，即点在圆内， 则当点到直线的距离的最大值为时，， 故选：C． 4．（2026·广东佛山·一模）圆和圆的两条公切线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断两圆位置关系，再根据几何性质可得为的中点，故可求交点坐标. 【详解】， 故圆的半径为，圆的半径为，且， 故圆心距为，而， 故两圆相交，故两圆有两条外公切线，    设一条公切线与两圆的切点分别为，两条切线的交点为， 连接，则，故， 由几何性质可得共线，故， 故为的中点，故， 故选：C. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求得圆心到直线l的距离，结合点到直线的距离公式列方程求解即可. 【详解】因为，所以，则， 故圆心到直线l的距离， 即，解得． 故选：D. 6．（2026·江西南昌·一模）已知圆，：点在圆外，：直线与圆有两个公共点，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】利用点与圆，直线与圆的位置关系的判断方法，结合充要条件的定义判断即得. 【详解】由点在圆：外，可得，此时，圆心到直线的距离为， 即直线与圆相交，故充分性成立； 由直线与圆有两个公共点，可得圆心到直线的距离为， 则有，即点在圆：外，故必要性成立. 故是的充分必要条件. 7．（2026·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的直线与圆有两个交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与圆相交以及点到直线的距离公式求斜率即可. 【详解】圆可化为，则圆心，半径， 由题意可知，过点的直线与圆相交， 当直线的斜率不存在时，与圆相切，不符合题意； 故直线的斜率存在，设，即， 则，即，得， 故直线斜率的取值范围是. 故选：C 8．（2026·四川德阳·二模）若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则m＋n＝（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可. 【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等， 圆的圆心为：， 圆心到直线的距离为：， 圆心到直线的距离为：， ， 又，. 9．（2026·福建泉州·一模）已知直线，圆关于轴对称，且过点，则圆上的点到的距离的最大值与最小值之和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可设圆的方程为， 将代入可得，解之得， 所以圆心与半径分别为， 则C到的距离为， 所以圆上的点到的距离的最大值与最小值分别为， 其和为. 10．（2026·湖南怀化·一模）已知圆与圆相切，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 【答案】C 【分析】求出两圆的圆心和半径，分内切与外切求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， ， 当两圆外切时，，即，解得； 当两圆内切时，，即，解得； 综上，则或. 11．（2026·广东广州·二模）已知点在圆上，点，当最大时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合确定当最大时点位置，即可利用两角和的余弦公式求值. 【详解】设圆的圆心为，则，半径， 过作圆的切线，设交点为，如图， 由图可知，当与圆相切，且点在第四象限时，最大， 因为，所以, 又，所以, 所以. 12．（2026·湖南·模拟预测）已知圆与直线相切于点，与直线相交于两点，且，则圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切点以及切线方程可知，再由点到直线距离以及弦长公式可求得圆的半径. 【详解】设圆心，由圆与相切于点可得，即， 所以圆心到直线的距离为，又弦长为4， 故圆的半径． 13．（2026·广东茂名·一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先求出圆的圆心关于直线的对称点坐标，再结合圆的几何性质求解即可． 【详解】由题意知圆，其圆心为，半径为， 则圆心关于直线的对称点坐标， 则可知与的中点在直线上， 所以有解之可得，则， 而圆化为标准方程为，其圆心为，半径为， 则与之间距离为， 圆上点关于直线在上的对称点为， 所以. 故选：    14．（25-26高三上·广东·期末）设动直线（）交圆于，两点（点为圆心），当最小时其余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线所过定点，当最小时，此时最小，直线与过点和的直线垂直，求出，进一步求出． 【详解】因为动直线，所以， 因为，所以，所以直线过定点， 当最小时，此时最小， 又，其中r为圆C的半径，，d为圆心C到直线l的距离， 当d最小时，也即直线与过点和的直线垂直时，最小，如图所示， 此时，， 所以． 故选：C． 15．（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设出点的坐标，根据切线的性质可得到直线的方程，进而可知直线过定点，进而可知点到直线的距离的最大值为. 【详解】如图，设，则. 根据圆的切线性质知，以为直径的圆与圆交于两点， 即线段为两圆的公共弦. 而以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以其方程为，即. 与圆的方程作差得直线的方程为， 将代入得，即. 因为上式对恒成立，令，解得， 所以直线恒过定点，所以点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为. 16．（2026·广东汕头·模拟预测）为平面直角坐标系中一点，直线的方程为，过点M作l的垂线，垂足为Q，记Q点的轨迹为曲线E，过直线上任意一点P作E的两条切线，切点分别为A、B，则正弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设动点Q的坐标为，根据题意得曲线的方程为结合图形特征及正弦函数单调性得出即可求解. 【详解】设动点Q的坐标为，，直线，恒过定点， 所以，所以Q点的轨迹为以为直径的圆的方程， 圆的圆心为的中点，半径为， 所以曲线的方程为， 根据题意，过直线上任意一点P作E的两条切线，切点分别为A、B， 则，， 所以当取最小值时，取最大值，即取最大值， 所以最小值为，此时，即得， 此时， 则 . 所以正弦值的最大值为． 17．（25-26高二下·江西赣州·开学考试）点A，B是圆上两点，，若在圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的长度和圆的方程可得点P的轨迹，再分析与圆的位置关系进而即得. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由P是弦AB的中点，且，则， 所以， 故点P在以为圆心，以为半径的圆上． 又在圆上存在点P恰为线段AB的中点， 则两圆有公共点，可得，即， 解得或． 则实数m的取值范围为． 18．（2026·辽宁大连·一模）已知点是圆上一点，直线与圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设作的中点，利用向量的加法法则将转化为；结合图形可得进而即可求解. 【详解】依题意，直线可化为，所以直线过定点； 圆的圆心为，半径为，所以，所以定点在圆的内部； 如上图（左），作的中点，则，所以； 如上图（中），在中，，当与重合时取等号，此时； 如上图（右），在中，，当与共线时取等号； 所以.当与重合，且，共线时取等号. 故选：D. 19．（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得圆心到直线的距离，且即可，计算得解. 【详解】如图，过圆心向直线作垂线，垂足为， 当时，则，又圆的半径，可得， 又直线过定点，且点在圆上， 若要使得，则圆心到直线的距离，且即可； 所以，且，解得且， 所以实数的取值范围为.    二、多选题 20．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知直线l：与圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l被圆C所截的弦长为 C．当直线l与圆C相交时， D．当直线l与圆C相切时， 【答案】ABD 【详解】由直线l：可得，则直线l过定点，则A正确. 当时，直线l：，圆C的圆心C到直线l的距离，则直线l被圆C所截的弦长为，B正确. 当直线l与圆C相交时，圆心C到直线l的距离，解得，C错误. 当直线l与圆C相切时，圆心C到直线l的距离，解得，D正确. 21．（2026·河南·模拟预测）已知⊙O：，则下列说法正确的是（   ） A．⊙O上一点到直线l：距离的最小值是 B．⊙O和圆：的相交弦长是4 C．⊙O和圆：有且只有两条公切线 D．⊙O和曲线C：交于A，B两点，则△OAB的面积为 【答案】BD 【分析】对于A，先根据点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，进而求出最小距离；对于B，先判断⊙O和圆的位置关系，然后联立两圆方程求出两圆的相交弦的直线方程，进而根据点到直线的距离求出结果；对于C，先判断⊙O和圆的位置关系，进而判断公切线条数；对于D，联立圆与曲线的方程，求出的坐标，进而求得三角形面积. 【详解】对于A，圆心的坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆是相离的， 所以⊙O上一点到直线l：距离的最小值是，所以A错误； 对于B，圆的标准方程为，所以，半径为3， 所以，因为，所以两圆相交， 两圆方程相减得，化简得. 所以两圆的相交弦的直线方程为，圆心到直线的距离为， 所以⊙O和圆：的相交弦长是4，B正确； 对于C，圆的标准方程为，所以，半径为3， 所以，所以两圆外切， 所以⊙O和圆：有三条公切线，C错误； 对于D，联立，得，解得（舍去）或. 所以，所以，D正确. 22．（2026·江西赣州·一模）已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A．圆上的点到直线的最大距离为 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为8 D．当点坐标为时，直线的方程为 【答案】ABD 【分析】A计算圆心到直线的距离即可判断；B根据计算面积即可；C利用数量积的定义以及对勾函数的单调性判断；D求出以为直径的圆的方程，再求两圆的交线即可. 【详解】由题意得，，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最大距离为，故A正确； 因为， 所以四边形面积为， 当时，四边形面积的最小值，故B正确； 因为， 所以 因为在上单调递增，且， 所以当，即时取得最小值，最小值为，故C错误； 因为，所以以为直径的圆的方程为， 即， 则直线的方程为，故D正确. 23．（2026·吉林通化·模拟预测）已知圆与圆，则下列说法正确的有（   ） A．若，则两圆外离 B．若两圆相交，则 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则直线为两圆的公切线 【答案】BD 【分析】根据圆与圆位置关系计算可判断AB；根据两圆公共弦所在直线方程求法计算可判断C；根据直线与圆的位置关系计算可判断D. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由圆，得圆心，半径． 对于A，若，，两圆外切，故A错误； 对于B，由两圆相交，得， 即，解得，故B正确； 对于C，若，则， 此时，所以两圆相交， 因为两圆方程作差得， 所以两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误； 对于D，若，则到直线的距离， 到直线的距离， 所以直线为两圆的公切线，故D正确． 三、填空题 24．（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为________. 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合勾股定理求出弦长. 【详解】法1，两圆与圆均过点，，弦长为. 法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程， 圆的圆心到直线的距离， 故公共弦长为. 故答案为：. 25．（2026·四川广安·一模）直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则___________． 【答案】 【分析】根据题设可知为等腰直角三角形，结合点到直线的距离公式建立等式后即可求解. 【详解】 依题意，圆心为，半径为； 因为，所以为等腰直角三角形，所以，圆心到直线的距离为； 又圆心到直线的距离为； 所以，解得. 故答案为：. 26．（25-26高二上·天津武清·月考）已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则______． 【答案】 【分析】将圆的方程转化为标准方程，求得其圆心和半径，根据为等边三角形可知等于圆的半径，由此求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可求得的值. 【详解】由圆，得. 所以圆心的坐标为，半径. 因为为等边三角形，所以. 所以圆心到直线的距离为. 即，所以. 故答案为：. 27．（2026·天津河东·一模）已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的方程为__________. 【答案】 【分析】根据圆心在轴正半轴设圆心坐标，然后根据相切列方程得到，最后计算半径写方程即可. 【详解】设圆心，， 由题意得，解得或0（舍去）， 则圆的半径， 所以圆的方程为. 故答案为：. 28．（2026·江苏·一模）已知圆是上的两个动点，点．若四边形是矩形，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】由四边形为矩形，知对角线与互相平分且相等， 设的中点为，则也是的中点，且， 故问题转化为求的取值范围. 设，由可得， 又由垂径定理得：，即， 即， 整理得，即的轨迹是以为圆心、为半径的圆， ，而的取值范围可由的轨迹求得： ，其中， 所以的范围为： 所以， 故的取值范围为.      29．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，若直线：与圆相交，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据条件，求出圆心C和半径r，由题意得，圆心C到直线l的距离小于半径r，代入点到直线距离公式，即可得答案. 【详解】因为，， 所以AB中点坐标为，直线AB的斜率， 所以与AB垂直的直线的斜率， 则AB的垂直平分线方程为，即， 由题意圆心为直线与的交点，联立解得圆心为， 则圆的半径， 因为直线：与圆相交， 所以圆心到直线l的距离，解得， 则实数的取值范围为 30．（2026·北京平谷·一模）已知直线与圆相切，并且圆过点，则的最小值是______． 【答案】2 【分析】根据题意，得到，且，联立方程组，求得，由，得到，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为 因为直线与圆相切，可得， 又因为圆过点，可得， 所以，可得，解得， 因为，可得，所以， 又因为，所以当时，取得最小值，最小值为. 31．（2026·安徽安庆·一模）动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据动直线垂直且过定点得到交点轨迹为圆；把分式变形为斜率形式，将分式最值问题转化为圆上点到定点的斜率最值问题. 【详解】根据题意，动直线经过定点， 动直线经过定点,则有， 所以，又点是两条直线的交点，所以有， 所以点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以为半径的圆，不含点，. 又， 故只需求的最小值，令可看作点与点的斜率， 求出过点与圆相切的切线斜率即可， 设切线为，即. 根据切线条件构造方程，即，解得， 所以的最小值为，所以的最小值为. 32．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是______. 【答案】 【分析】设的坐标为，由题意结合圆的切线的几何性质推出在直线上，继而将的最小值转化为点到直线的距离，即可求解. 【详解】如图所示，根据题意，设的坐标为， 圆的圆心为，则，为圆的切线， 则有， 又由，则有，即， 变形可得：，即在直线上， 则的最小值即为点到直线的距离， 且，即的最小值是， 故答案为：. 题型23 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 抛物线定义求点到焦点距离 利用抛物线定义，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，代入纵坐标求解。 2 椭圆焦点坐标求参数 根据焦点位置确定a、b关系，利用椭圆中a、b、c的关系列方程求解参数。 3 抛物线定义求点坐标 由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，列方程求横坐标，再代入求纵坐标。 4 椭圆焦点弦长 写出过焦点的直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式或焦半径公式求弦长。 5 双曲线方程判定 根据双曲线标准方程中分母异号，列不等式组求解参数范围。 6 椭圆与抛物线综合求参数 由椭圆长轴与短轴关系得a、b关系，由抛物线焦点坐标得c，再结合a2=b2+c2求参数。 7 双曲线渐近线斜率与离心率 由渐近线斜率得b/a，代入离心率公式e=√(1+(b/a)2)求解。 8 椭圆与双曲线离心率关系求参数 分别求出两曲线的离心率，代入关系式解方程求参数。 9 椭圆中向量条件求离心率 利用向量关系将点坐标用椭圆参数表示，代入椭圆方程，结合a、b、c关系求离心率。 10 椭圆焦点三角形求离心率 利用椭圆定义及特殊角关系，通过解三角形或几何性质建立a、c方程求离心率。 11 折痕问题与抛物线定义 由折痕性质得动点到定点与定直线距离相等，根据抛物线定义判断轨迹形状。 12 抛物线定义与向量共线求参数 利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，结合向量共线条件列方程求解。 13 双曲线弦长与距离之和求离心率 求出弦端点坐标，利用点到直线距离公式列方程，结合双曲线中a、b、c关系求离心率。 14 角平分线性质与双曲线定义求离心率 利用角平分线定理得线段比，结合双曲线定义和余弦定理列方程求离心率。 15 椭圆焦点三角形面积与数量积 由焦点三角形面积求点纵坐标，代入椭圆方程求横坐标，再计算向量数量积。 16 双曲线中点弦存在性求离心率范围 利用点差法求中点弦斜率条件，结合点与双曲线位置关系列不等式，求离心率范围。 17 双曲线焦点到渐近线距离与三角形面积求离心率 利用点到直线距离求垂线段长，由三角形面积列方程，结合a、b、c关系求离心率。 18 双曲线与抛物线综合求方程 由公共焦点得c关系，利用等边三角形条件求交点坐标，再联立渐近线与抛物线求参数。 19 双曲线顶点与斜率积求渐近线 设点坐标，利用斜率积公式及点在双曲线上消元，结合离心率条件求渐近线方程。 20 双曲线焦点到渐近线距离与三角形面积求渐近线斜率 利用点到直线距离公式求垂线段长，由三角形面积列方程求a、b关系，得渐近线斜率。 21 双曲线焦点弦与定义求离心率 利用双曲线定义求各段长度，在三角形中利用余弦定理或勾股定理建立a、c方程。 22 椭圆中等腰三角形条件求离心率 由向量条件得等边三角形，利用椭圆定义和余弦定理列方程求离心率。 23 双曲线渐近线与平行线交点求直线方程 求出渐近线方程，过已知点作平行线，联立求交点，再用两点式求直线方程。 24 椭圆通径与垂直关系求离心率 由通径长度与焦点弦关系，利用几何性质列方程，结合a、b、c关系求离心率。 25 椭圆中位线与圆条件求直线斜率 利用焦半径公式和中位线性质，结合圆半径条件求点坐标，再求直线斜率。 26 椭圆焦点三角形与余弦定理求离心率 利用椭圆对称性和定义求边长，在三角形中用余弦定理列方程求离心率。 27 双曲线焦点弦与向量垂直求离心率 利用双曲线定义和向量垂直条件，在三角形中用勾股定理或余弦定理建立a、c方程。 28 双曲线焦点弦与比例关系求离心率 设参数表示各段长，利用双曲线定义和余弦定理列方程，解出离心率。 29 双曲线焦点弦与向量共线求离心率 利用向量条件求点坐标关系，结合双曲线定义和勾股定理建立a、c方程。 30 双曲线渐近线与中点坐标求离心率 利用中点坐标公式和点在渐近线上，结合斜率关系列方程，求a、b关系得离心率。 31 双曲线中点弦与圆条件求渐近线 利用中点坐标公式和点在双曲线上，结合圆半径条件列方程，求渐近线方程。 32 椭圆焦点三角形面积比与等腰条件求离心率 由面积比得线段比，利用椭圆定义和等腰三角形性质，结合余弦定理求离心率。 33 双曲线离心率、直线斜率、数量积最值（多选题） 求离心率；直线与双曲线联立判别式求斜率范围；设点坐标用参数表示数量积求最值；直线与圆相切求斜率。 34 双曲线焦距、离心率、渐近线、焦点三角形周长（多选题） 由焦距求a，再求离心率和渐近线；由焦点三角形条件分类讨论，结合双曲线定义求周长。 35 椭圆焦点三角形周长、面积、向量数量积最值、切线面积最值（多选题） 利用椭圆定义求周长；焦点三角形面积公式求面积；向量数量积用基本不等式求最值；切线方程与坐标轴围成三角形面积用基本不等式求最值。 36 抛物线定义、点坐标、向量数量积、点到直线距离（多选题） 利用抛物线定义求点坐标；由点坐标求向量数量积；由点坐标和斜率公式求角正切；由点到直线距离公式求距离。 37 双曲线焦点弦与勾股定理求离心率及斜率（多选题） 设参数表示各段长，利用双曲线定义和勾股定理求离心率和斜率。 38 抛物线定义、圆与直线相切、最值、垂直条件（多选题） 利用抛物线定义判断圆与直线相切；由半径最小值求圆面积最小值；用基本不等式求最值；用坐标表示垂直条件解方程判断存在性。 39 抛物线定义、距离最值（多选题） 利用抛物线定义将距离转化，结合三点共线求最值。 40 抛物线焦点弦、中点弦、弦长和面积最值（多选题） 设直线方程联立抛物线，利用焦半径公式和韦达定理求弦长、中点坐标，再结合基本不等式求最值。 41 抛物线旋转与四叶草曲线性质（多选题） 由对称性求各抛物线方程；求曲线交点及距离最值；判断点是否在曲线内部；设直线联立求斜率。 42 椭圆焦点三角形性质（多选题） 利用椭圆上点到焦点距离范围求离心率；焦点三角形面积公式求面积；内切圆半径公式求半径；正弦定理结合比例性质求离心率。 43 双曲线旋转与性质（多选题） 由旋转前后渐近线关系判断；求双曲线方程及离心率；联立直线与双曲线求交点个数；判断两圆位置关系。 44 曲线对称性、直线与曲线交点、区域面积（多选题） 利用对称性验证；联立直线与曲线方程判断解的存在性；联立曲线与圆方程求公共点；利用不等式确定面积范围。 45 椭圆方程、弦长、点差法、垂直弦长和定值（多选题） 由短轴长和向量数量积最值求椭圆方程；求通径长；点差法求中点弦方程；利用弦长公式求垂直弦长和为定值。 46 直线与抛物线相交、向量数量积、斜率关系（多选题） 联立方程用韦达定理求数量积；求垂线方程得交点坐标，验证垂直；由焦半径关系求点坐标得斜率；利用弦长关系求斜率。 47 双曲线焦点三角形、渐近线、正切值、内心性质（多选题） 利用焦点三角形面积和余弦定理求离心率；由a、b关系写渐近线；设点坐标用正切值相等求参数关系；由内心性质证等式。 48 抛物线定义、切线、向量数量积、角平分线（多选题） 由焦半径最小值求p；设直线联立求弦长范围；由切线性质求角范围；利用向量夹角或角平分线性质证等角。 49 双曲线光学性质、切线、几何性质（多选题） 利用光学性质得切线方程；判断点是否在切线上；利用几何关系证点在圆上；切线定义得公共点个数。 50 椭圆离心率求参数 根据离心率公式列方程，注意焦点位置，解出参数。 51 椭圆焦点三角形周长 利用椭圆定义，将焦点三角形周长转化为2a+2c，代入数值求解。 52 抛物线焦半径与直角条件求距离 利用焦半径公式和直角条件列方程求点坐标，再求距离。 53 抛物线焦半径与正弦定理求线段长 利用抛物线定义和正弦定理，结合锐角条件求点坐标，再求焦半径。 54 平行直线与两抛物线交点围成四边形面积 设直线方程，求出交点坐标，判断四边形形状为矩形，计算面积。 55 两抛物线焦点与直线交点求参数 由抛物线定义求焦点坐标，设直线方程，利用向量共线或距离关系列方程求参数。 一、单选题 1．（2026·福建·模拟预测）已知抛物线上的一点的纵坐标为，则点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，将其代入抛物线方程可得，解得， 易知抛物线的准线方程为， 故点到焦点的距离为. 2．（2026·四川成都·二模）已知椭圆的一个焦点是,则（   ） A． B．3 C．5 D． 【答案】D 【详解】因为椭圆的一个焦点是, 所以焦点在上,则,, 所以,则. 3．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得，则. 4．（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆：的右焦点， 过且倾斜角为的直线的方程为，即， 将代入，得到， 即， 设， 则， 则，故选项B正确. 5．（2026·贵州贵阳·一模）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 解得或. 6．（2026·江苏·一模）若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线的焦点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由椭圆与抛物线的基本概念及性质求解即可. 【详解】椭圆的长轴长是短轴长的倍， 所以，即，所以， 抛物线的焦点为，该焦点为椭圆的右焦点， 所以，所以，即. 故选：A 7．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】由双曲线（，）得双曲线的渐近线方程为. ，所以离心率. 8．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知曲线：，曲线：的离心率分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】曲线的长半轴长为，短半轴长为，所以焦距为. 曲线的实半轴长为，虚半轴长为，所以焦距为. 由. 故选：A 9．（2026·安徽淮南·一模）已知椭圆:的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量关系得到点坐标，代入椭圆方程化简求解即可. 【详解】椭圆右焦点为，上顶点为，设. 由得， 所以，，即. 代入椭圆方程得，整理得，即. 又，所以. 故选：C. 10．（2026·四川广安·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算半通径，再利用椭圆定义即可得到齐次方程求解离心率. 【详解】    令，代入椭圆 则可知：，又因为，所以， 根据椭圆定义可知：， 所以椭圆的离心率为， 故选： B 11．（2026·山东青岛·一模）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直于交直线于点，点的轨迹为曲线的一部分，则为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】由抛物线的定义求解即可. 【详解】由折痕的性质可得，则直线是线段的垂直平分线，对任意的在上，由， 又因为，所以点到直线的距离为， 所以点到定点的距离等于点到定直线的距离， 由抛物线的定义，可得点的轨迹为抛物线. 12．（2026·河北保定·一模）已知抛物线：的焦点为F，点D 为C 的准线上一点，线段DF与C 交于点E，若，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】设，由题意可知，可得，再根据结合抛物线定义运算求解即可. 【详解】设，， 因为抛物线的焦点为，准线为， 由题意可知：，则，可得， 且，所以. 13．（2026·河南许昌·模拟预测）已知双曲线，是过右焦点且垂直于轴的弦，若点，到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，则其离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先求出的坐标，渐近线的方程，再根据点到直线的距离公式列方程解得半焦距，进而可求得离心率. 【详解】由双曲线的方程知渐近线方程为， 设，因为是过右焦点且垂直于轴的弦，所以， 过分别作渐近线，即的垂线，垂足分别为，如图： 则. 又点，到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2， 所以，即，整理得. 将代入上式得，解得，所以， 所以离心率. 14．（2026·黑龙江·一模）已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过角平分线性质定理、双曲线的定义、余弦定理求解. 【详解】因为直线的，由角平分线性质定理可知， 所以，由双曲线的定义可知，所以， 在中由余弦定理可得， 即，整理得， 两边同除以可得，解得或（舍去）． 故选：C 15．（2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由椭圆，得，，即， 因此左右焦点，， 因为面积为，故，得，即， 将代入椭圆方程：，解得. ，， 则 . 16．（25-26高三上·山东济宁·月考）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件： 点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 17．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线：（，）的右焦点为，半焦距为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（    ） A．2 B．2或 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】利用点到直线距离可求出，再根据的面积为列出相应等式，即可求解. 【详解】由题可得双曲线的渐近线为，这里不妨取，即， 点到直线的距离， 在中， 所以，则， 又因，所以， 化简可得，等式两边同时除以，可得， 即，解得或， 因，所以或. 18．（2026·天津河东·一模）已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线与双曲线交于，两点，三角形为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点与另一点，三角形的面积为，则双曲线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过双曲线与抛物线的定义找出，将抛物线的准线方程代入双曲线方程解出两点坐标，联立双曲线渐近线方程与抛物线方程，找出的关系求解. 【详解】双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为， 由焦点相同得，即， 将抛物线的准线代入双曲线方程，得，， 故，，则， 为等边三角形，， 双曲线的渐近线方程为：， 根据对称性，不妨取其中一条渐近线与抛物线方程联立： ，消元得，对应，即， ，即， ，得 所以双曲线的方程为： 19．（2026·河南南阳·模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，点是上异于的一点，若直线，的斜率之积为的离心率的倍，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，设，根据斜率关系得，再结合题意得，解得即可得答案. 【详解】由题知，设， 点是上异于的一点，故，即 因为， 所以， 因为直线，的斜率之积为的离心率的倍，离心率， 所以， 令，则， 即，解得或（舍），故，即， 所以的渐近线方程为. 故选：B 20．（2026·山东聊城·一模）过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，结合渐近线的方程为，由点到直线的距离可得，，再由三角形的面积公式，计算可得所求值． 【详解】设，不妨取渐近线的方程为， 则，又，故， 因为，的面积为6， 所以，解得 所以的渐近线的斜率为. 21．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）若双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于A，B两点，且，则的离心率为（    ）． A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出示意图，根据双曲线的定义求解出，判断的形状，再结合余弦定理得出的关系，计算求解. 【详解】，． ，所以，是等边三角形，． 在中，，即， 化简得，所以． 22．（2026·山东济南·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与均为等腰三角形，结合，分情况讨论三角形的腰长，进而求出椭圆的离心率. 【详解】已知椭圆的左、右焦点为，，左顶点. 因为为等腰三角形且，所以是等边三角形，边长为，故，点坐标为. 又为等腰三角形，，，. 由等腰三角形性质， 若，则，则，离心率. 若，可得，即，则，因为，所以此情况不成立. 若，可得，则， 化简得，因为，所以，不满足，此情况不成立. 因此，椭圆的离心率为. 故选：D 23．（2026·江西·模拟预测）已知双曲线上一点，若过P分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为M，N，则直线MN的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出双曲线的渐近线方程，再求出过点与双曲线C的两条渐近线平行的直线方程，分别求出交点分M，N，利用点斜式方程即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 平行于的直线：斜率为 2，由点斜式得，即 该直线与另一条渐近线交于点 联立，解得, 平行于的直线：斜率为，由点斜式得，即； 该直线与另一条渐近线交于点 , 联立，解得, 所以​， 所以直线MN的方程为，化简得：， 故选：C 24．（2026·山东威海·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交于A，B两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题先求出，利用，即化简可求解. 【详解】设焦点，则过且垂直于长轴的直线为， 将代入，得到， 所以， 因为，所以， 所以，即， 化简得到， 因为，解得. 故选：A. 25．（2026·贵州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆的上半部分有一点，若以原点为圆心，半焦距为半径的圆过线段的中点，则直线的斜率为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】结合图形可以发现，利用焦半径及三角形中位线定理，得出，再应用斜率公式计算求解. 【详解】由题知，椭圆，焦点在轴上，， 设线段的中点为. 由题意知. 因为OM是的中位线，所以． 因为，所以，所以点的坐标为，且， 所以直线的斜率. 故选：C. 26．（25-26高二上·四川达州·期末）已知A，B是椭圆C：上关于原点对称的两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性及定义求出和，再利用余弦定理列式求解. 【详解】令椭圆C：的右焦点为，设该椭圆半焦距为， 由A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，得四边形是平行四边形， 则，，由椭圆定义得， 由余弦定理得，整理得， 所以椭圆C的离心率为. 故选：C 27．（2026·河北张家口·一模）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，过的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点，且满足，（为坐标原点），，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】设，在中，根据双曲线定义及余弦定理可得，再由，得，根据代入计算即可求解. 【详解】设， 则， 在中，， 所以，化简可得， 所以， 因为，所以， ， 因为， 所以，化简可得， 所以双曲线C的离心率. 28．（2026·山东临沂·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据双曲线的定义和余弦定理，求得，在中，利用余弦定理，求得即，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设，则， 由双曲线的定义，可得，所以， 又由， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， ，即， 即，所以，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 所以双曲线的离心率为. 29．（2026·山西朔州·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量条件求出，，再利用余弦定理得，接着由双曲线的定义结合共线求出与的关系，最后根据三边关系和勾股定理求出. 【详解】设，由条件可得： ，且， 解得：，即， 在中，由余弦定理 可知：，则， 又，， 两式相加可得 ：， 又因为共线，所以， 代入得： ， 化简得：，解得：， 因此 ，，， 且， 在中，三边满足， 所以为直角三角形，则，即， 所以为直角三角形， 化简得，即 所以 . 30．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到为的中点，过点作轴，设，由过点的直线的斜率为2得到的值，利用勾股定理得到的值，结合得到，从而得到，，由的坐标得到的值，从而得到的坐标，由是双曲线渐近线上的点，及斜率为2，可得的值，利用公式得到离心率的值. 【详解】，为的中点， 过点作轴，交轴于点， 设， 过点的直线的斜率为2，， ， ，，，，， ，，，， 设， 为的中点，，， 是双曲线的渐近线上的点， ， ，， ， ，， ， . 故选：B. 31．（25-26高三上·天津西青·期末）已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，连接，则可得，然后在中利用余弦定理求得，则，从而可表示出，代入双曲线方程化简可求出渐近线方程. 【详解】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，左右焦点为，连接， 因为线段的中点在圆上，所以， 所以≌，所以， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 所以，过作轴于，则， 所以， 所以，得，即， 所以双曲线的渐近线方程为； 故选：B 32．（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面积的比例关系可得，利用椭圆的定义，计算出的各边长，运用余弦定理建立等式. 【详解】 如图，因为，所以, 所以. 因为，所以是等腰三角形，则 又因为，所以，所以，则 过作其中为垂足，则为中点，所以. 在中，由余弦定理得， 整理得，所以离心率为. 二、多选题 33．（2026·山东济宁·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的最小值为-9 D．若以实轴为直径的圆与相切，则 【答案】BCD 【分析】对于A选项，通过离心率的定义求解即可；对于B选项，直线与双曲线联立，由韦达定理以及直线与双曲线交于右支求解即可；对于C选项，设，分别表达出，，再由在双曲线上求解即可；对于D选项，直线与圆相切，由点到直线的距离公式，求解，再由直线与双曲线联立，由余弦定理求解即可. 【详解】对于A选项，由双曲线方程为，可得，，所以，所以，，所以离心率为，故A错误； 对于B选项，，设直线：，直线与双曲线联立可得， ，， ，，，因为直线与双曲线右支交于一点， 所以，解得，故B正确； 对于C选项，设，，，所以， 由在双曲线上可得，代入可得，， 当时，取得最小值，可得，故C正确； 对于D选项，以实轴为直径的圆，圆心为原点，半径，直线与圆相切， 由点到直线的距离公式，，联立求解坐标， 将代入双曲线方程，可得，解得，， 所以，， ，，故D正确. 34．（25-26高二上·广东江门·期末）已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（   ） A． B．双曲线的离心率为2 C．双曲线的渐近线方程为 D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 【答案】BC 【分析】先根据题意，求出的值，再由选项内容逐一判断A，B，C项；对于D，需要按照点在双曲线的左支还是右支进行分类，结合双曲线上的点到焦点距离的范围进行判断取舍即可. 【详解】对于A，因双曲线的焦距为，即得，由：（）可得， 则，故A错误； 对于B，由上分析，，故B正确； 对于C，由上分析可得，，则该双曲线的渐近线方程为，即，故C正确； 对于D，若点在双曲线的左支上，由可得， 此时，的周长为； 若点在双曲线的右支上，因，这与已知不符，故D错误. 故选：BC. 35．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（   ） A．的周长是 B．时，的面积是 C．的最大值是2 D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，先得到，再根据椭圆的定义求解判断即可；对于B，根据余弦定理可得，再求解判断即可；对于C，由基本不等式求解判断即可；对于D，设，易得切线方程为，进而得到，由结合基本不等式可得，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由椭圆知椭圆焦点在轴上，且， 则的周长是，故A正确； 对于B，由椭圆的定义得，， 由余弦定理得，， 则，即，则， 所以的面积为，故B错误； 对于C，由，则， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，先证明：椭圆上的一点处的切线方程为. 联立，得， 点在椭圆上，， ，即， ， 得，故直线和椭圆仅有一个公共点， 则椭圆上的一点处的切线方程为. 设，由题意知的切线斜率存在，则切线方程为， 令，得，令，得，即， 又，则， 即，当且仅当时等号成立， 则面积为， 即的面积的最小值为，故D正确. 36．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D．点F到直线OM的距离为 【答案】BC 【详解】抛物线的焦点，准线， 对于A，由抛物线的定义，得，则，A错误； 对于B，由点在抛物线C上，得，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，设点F到直线OM的距离为d，则，，D错误. 37．（2026·山东青岛·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于两点，，，则（    ） A． B． C．的离心率为 D．直线的斜率为 【答案】AC 【分析】设结合双曲线的定义与勾股定理即可得的值，从而进行判断. 【详解】 如图，由，可设.因为，所以. 对于A、B：设则，解得，所以，故A正确，B错误； 对于C：在中，由，得，则，从而双曲线的离心率为，故C正确； 对于D：因为，所以直线的斜率为，故D 错误. 38．（2026·山西运城·一模）已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（   ） A．圆与直线相切 B．圆的面积的最小值是 C．的最大值是 D．存在点，使得 【答案】ACD 【分析】对AB直接用抛物线的定义判断可得，对CD用抛物线的定义及距离公式即可得. 【详解】如图：过点作于点，设，则，. 对于A，由抛物线的定义可知，圆心到直线的距离等于半径， 所以圆与直线相切，A正确； 对于B，因为圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的面积的最小值是，B错误； 对于C，因为，所以， 所以， 令，则， 当且仅当，即时等号成立，所以C正确； 对于D，，， 化简得，得，即，再代入 得，所以存在或使得成立，D正确. 39．（2026·河北张家口·一模）已知抛物线C：的焦点为F，点，P为C上的动点，则（   ） A．满足的点P恰有两个 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最大值为3 【答案】BCD 【分析】先求出抛物线焦点坐标，再利用抛物线的定义，结合平面几何知识求解即可. 【详解】因为，所以焦点为， 因为，所以点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为， 与抛物线C仅有一个交点，故A错误； 如图1，点在抛物线外，故的最小值为，故B正确； 如图2，过作轴的平行线，与准线交于点，与抛物线交于点， 根据抛物线定义，此时有最小值，故C正确； 因为，当且仅当三点共线且在之间时取等号，故D正确． 40．（2026·湖北黄冈·一模）如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，与交于A，B两点，与交于C，D两点（点A，C在轴上方），M，N分别是弦和的中点，则（   ） A．设点，则的周长最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．和的面积之和的最小值为32 【答案】ACD 【分析】对选项A：结合抛物线的定义，的周长为，要找周长最小值，需找到点A使得最小，利用三点共线时距离最短的思路分析即可；对于B：设直线的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，利用焦半径公式可得的表达式，再利用基本不等式分析最小值；对选项C：表示出的坐标，再利用两点间距离公式表示出，最后利用基本不等式求最值的方法分析最小值；对选项D：利用三角形面积公式表示出和的面积之和，结合焦半径公式或联立方程后的弦长公式，将面积和转化为关于k的表达式，再利用基本不等式求最小值. 【详解】对于A，，，准线方程为，点， 的周长为，其中， 过点作垂直于准线的直线，垂足为，由抛物线定义知， 则周长为, 当最小时，周长最小， 所以当在一条直线上时，最小，最小长度为， 所以周长最小值为，故A正确； 对于B，由题意知，两直线斜率均存在，且不为0，设直线的方程为， 联立，即，设， 则，， 则， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C，直线的斜率为，的方程为， 以代换中的k， 得， 设，得，， 、分别是弦和弦的中点，所以，， ， 而，， 则，即，的最小值为8，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，由抛物线定义得，，，，， 和面积之和为 当且仅当，等号成立，所以和面积之和的最小值为32，故D正确. 41．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为，过点作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且，则（   ） A．开口向下的抛物线的焦点坐标为 B．曲线E上两点间距离的最大值为 C．点不在曲线E的内部 D．直线l的斜率为 【答案】BD 【分析】由条件结合对称性求出四个抛物线的方程，对于选项A，结合抛物线性质求焦点坐标即可判断，对于选项B，求点的坐标，由此判断结论，对于选项C，确定阴影部分内的点在第一象限内的点所需满足的条件，再检验点是否满足要求即可，对于选项D，设直线，，联立方程结合根与系数关系求结论即可. 【详解】已知开口向右的抛物线为，焦点为， 根据对称性可设开口向左的抛物线方程为，其焦点坐标为 开口向上的抛物线方程为，其焦点坐标为， 开口向下的抛物线方程为，其焦点坐标为， 由焦点共圆（圆心在原点，半径相等）得， 因此四条抛物线分别为：，， 对于选项A，开口向下的抛物线为，焦点坐标为，不是，A错误， 对于选项B，联立，可得，故点的坐标为， 同理可得， 距离最大的两个点为和（或和）， 最大距离为： ，选项B正确， 对于选项C，曲线的内部的点在第一象限内部的点的坐标满足关系且， 代入： ，，因此在曲线E内部，选项C错误， 对于选项D，设直线，，在最上方，在最下方，故， 由得：，即， 联立，可得，由韦达定理： ， 代入得：，，解得， 由得，斜率，选项D正确. 42．（2026·河北张家口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．若，，则的面积为2 C．若，，，则内切圆的半径为 D．若，，则椭圆的离心率为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆上的点到焦点距离的取值范围，可求的值，判断A的真假；利用焦点三角形的面积公式求的面积，可判断B的真假；结合三角形内切圆的半径（表示三角形周长）及椭圆的定义，可求内切圆的半径，判断C的真假；利用正弦定理，结合比例的性质和椭圆的定义，可判断D的真假. 【详解】对A：因为，所以，此时椭圆的离心率为，故A正确； 对B：因为，所以，即，所以，故B错误； 对C：因为， 由，，所以，设内切圆半径为，则，故C正确； 对D：如图： 由，，可得. 由正弦定理：， 所以，即， 所以.故D正确. 43．（2026·辽宁辽阳·一模）双曲线可由以坐标原点为中心的曲线绕其中心旋转一定角度得到．现将曲线绕原点旋转一定角度可得到双曲线，其左右焦点分别为和，点P为曲线C上一点，则下列说法正确的是（   ） A．直线是曲线E的一条渐近线 B．双曲线C的离心率为2 C．若与双曲线C有四个交点，则 D．以为直径的圆与圆相切 【答案】ABD 【分析】A选项，根据性质得到曲线的渐近线；B选项，求出曲线如何旋转得到双曲线，从而得到双曲线方程，求出离心率；C选项，举出反例；D选项，根据圆与圆的位置关系和直线与圆的位置关系得到D正确. 【详解】A选项，中，当趋向于或时，曲线趋向于， 当从左边趋向于0时，趋向于，从右边趋向于0时，趋向于， 由双刀函数性质可知曲线的渐近线分别为和，A正确； B选项，两条渐近线夹角为，结合图象可知曲线的对称轴为和（如图）， 故将绕原点逆时针旋转得到， 故的两渐近线方程分别为， 联立与得， 当时，，当时，， 故曲线的两个顶点为，， 故， 易得中， 由渐近线方程为得，故，， 故离心率为，B正确； C选项，由B可知，双曲线方程为， 当时，联立与得， 解得， 当时，，交点坐标为，当时，， 交点坐标为，共3个交点，不合要求，C错误； D选项，，设，故， 以为直径的圆方程为， 即， 与圆联立可得，此为两圆的交点弦方程或公切线方程， 圆的圆心到直线的距离 ， 以为直径的圆与圆相切，D正确 44．（2026·浙江·模拟预测）已知曲线E：，为曲线E上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线E关于直线对称 B．点P不可能在直线上 C．曲线E与圆有4个公共点 D．记曲线E所围成的区域的面积为S，则 【答案】BCD 【分析】首先将互换，判断两个方程是否相等，判断A，直线方程与曲线方程联立，判断是否有实根，判断B，两个曲线方程联立，判断C，首先判断曲线的范围，判断D. 【详解】将曲线E的方程中x，y互换得，与原方程不同， 所以曲线E不关于直线对称，A错误； 将代入曲线E的方程得， 因为，所以方程无实数解， 所以曲线E与直线无公共点，故点P不可能在直线上，B正确； 由得，因为， 所以，设（，）， ，设，则， 单调递增，由，得在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 故，同理可得，， 将代入曲线E的方程得，即， 即，因为所以或， 故或，当时，得，当时，得或， 所以曲线E与圆有4个公共点，，，，C正确； ，因为，且， 所以，又，，所以， 故，可得曲线E在圆和之间， 所以，D正确. 故选：BCD. 45．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆：（）的短轴长为，左、右焦点分别为，，为上一动点，且的最大值为4，则下列说法正确的有（   ） A．的方程为 B．若过点且垂直于轴的直线交于，两点，则 C．若，是上两点，且的中点为，则直线的方程为 D．若过点且互相垂直的两条直线与分别交于点，和点，，则 【答案】ACD 【分析】由椭圆的定义和基本不等式，求得，得出的值，求得椭圆的方程，可判定A正确；求得直线方程为，联立方程组，求得的长，可判定B错误；利用“点差法”求得的斜率，得出的方程，可判定C正确；利用弦长公式，分别求得的长，可判定D正确. 【详解】对于A，根据椭圆的定义，可得， 由基本不等式，可得，所以，即 因为椭圆的短轴长为，可得，所以， 所以椭圆的方程为，所以A正确； 对于B，由，，可得，则， 所以过且垂直于轴的直线方程为， 将代入椭圆的方程，可得，解得， 所以，所以B错误； 对于C，设，因为在椭圆上， 则，两式相减得：， 因为的中点为，可得， 所以，可得，所以的斜率为， 所以直线的方程为，即，所以C正确； 对于D，当一条直线的斜率为0时，则另一条直线的斜率不存在， 不妨设直线的斜率为0，则， 则直线的方程为，可得，所以； 当两条直线的斜率都存在，且不为0时， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 可得且， 则 ， 因为直线与垂直，所以直线的斜率为， 同理可得：， 则， 综上可得，，所以D正确. 46．（2026·湖北宜昌·二模）已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，过点作的垂线交直线于点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】设，联立方程组求得，，结合向量的数量积的运算公式，可得判定A错误，B正确；由抛物线的定义和，得到，代入求得的坐标，结合斜率公式，可判定C正确；求得 ，列出方程，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A，设，可得 联立方程组，整理得， 可得，且， 则， 所以，所以A错误； 对于B，由抛物线的焦点为，直线的斜率为， 则过且垂直于的直线的斜率为，其方程为， 令，可得，所以，则， 所以， 又由， 所以，所以B正确； 对于C，由抛物线的定义，可得， 因为，可得，即， 因为，代入可得，即， 解得或（舍去），则， 将代入抛物线的方程，可得或（舍去），所以， 此时直线的斜率为，所以C正确； 对于D，由抛物线的焦点为且， 可得， 因为，可得，整理得，解得， 又因为，所以，所以D正确. 47．（2026·山东淄博·一模）已知双曲线：的上、下焦点分别为和，下顶点为，为第一象限内上的动点，当时，的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．的内心满足 【答案】ACD 【分析】选项A，焦三角形的相关性质，结合双曲线的定义，得到基本量的关系选项B，考察焦点在轴上，渐近线方程.选项C，设点坐标，利用正切值建立坐标与角的关系，两个角的正切值相等，限定范围，得到结论.选项D，利用选项C的逆命题，验证内心满足该命题的条件，即可得到等式. 【详解】对于A：由双曲线定义得 ，平方得 ， 在 中由余弦定理得， ， 代入 ，整理得 ，即 ， 的面积， 得 ，即， 又因为，所以，则离心率 ，A正确； 对于选项B：焦点在轴的双曲线渐近线为 ，代入 ，得 ，B错误； 对于选项C：，设 ，满足 ， 设，，则 ， 代入 ，化简得 。 设，同理得 ，且 ，故 ，C正确； 对于选项D：首先考虑选项C的逆命题即若点在第一象限且满足，则点在双曲线上. 下面证明这个命题，设，则， 化简得，所以点在双曲线上，该命题成立. 又因为内心是三角形各角平分线的交点，所以， 根据上述命题，在双曲线上，所以，所以. 48．（2026·江西·一模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于两点，过作的垂线，垂足分别为，若点是抛物线上的一动点，且满足的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，设点的坐标为，根据焦半径公式利用表示，求其最小值表达式，列方程求即可判断，对于B，设直线的方程为，，与抛物线方程联立，求，结合两点距离公式求的范围，即可判断，对于C，由条件结合抛物线定义三角函数定义可得，通过求的范围可判断结论，对于D，先证明，再结合抛物线定义及平面几何性质证明结论或利用向量夹角公式求，，结合二倍角公式证明结论. 【详解】对于选项A：设点的坐标为，则，，， 所以当，即点在原点时，最小， 此时，，故A错误； 不妨设在轴上方，由已知准线的方程为，点的坐标为， 对于选项B：如图：设 联立得：， 由已知方程的判别式，故， 由根与系数的关系可得 且， 则，故B正确； 对于选项C：，由选项B可知， 若与抛物线相切，则，即抛物线过点的切线为直线，切线的倾斜角为， 故，从而，故C正确． 对于选项D：由 可知：直线关于直线对称，即 因为 所以． 另解：， ，， 由二倍角公式知，．故D正确； 49．（2026·广东佛山·二模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，点在上，直线为的内角平分线，过作于点，则（   ） A．当轴时，点在直线上 B．当轴时，点在轴上 C．点在圆上 D．直线与双曲线的公共点只有1个 【答案】BCD 【分析】由双曲线的光学性质可知，点处的切线平分，对A、B，写出直线方程代入求解即可；对C，求出是的中位线，再利用双曲线的定义求解即可；对D，利用双曲线的几何性质判断即可 【详解】由双曲线的光学性质可知，点处的切线平分，因此直线即为双曲线在点处的切线 对A，当轴时，不妨设点坐标为 双曲线在点的切线（即角平分线）方程为：， 将原点代入方程得，因此点不在直线l上，故A错误 对B，求得的方程为，，，的方程为， 联立得交点，横坐标为0，故在轴上，B正确 对C，延长交于，因为是角平分线且， 所以是等腰三角形，，是中点， 又是中点，是的中位线， 因此： 即， 故在圆上，C正确 对D，因为直线 即为双曲线在点处的切线，所以直线与双曲线的公共点只有1个，D正确 三、填空题 50．（2026·广东广州·一模）已知椭圆（）的离心率为，则______． 【答案】4 【详解】显然，故，解得. 51．（2026·湖北荆门·模拟预测）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为______． 【答案】8 【分析】根据椭圆的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，， 如图，    由椭圆的定义知，， 所以的周长为. 故答案为：8 52．（2026·河北邯郸·一模）已知是抛物线的焦点，是的准线与轴的交点，是上的点，且，则______． 【答案】 【分析】根据题意求出点的坐标，利用焦半径公式求解即可. 【详解】由题可知，． 设， 由，则， 解得或（舍去）， 则． 53．（2026·河南许昌·模拟预测）抛物线的焦点为，准线与轴交于点，为抛物线上一点，若为锐角，，则________. 【答案】 【分析】过作抛物线准线的垂线，垂足为，根据抛物线的性质结合正弦定理可求，求出的正切值后得直线的方程，联立直线方程和抛物线方程求出的坐标后可求. 【详解】由抛物线可得准线方程为，故， 由抛物线的对称性不妨设在第一象限. 过作抛物线准线的垂线，垂足为，则. 在中，由正弦定理可得即， 故，故，所以， 而为锐角，故，所以, 由可得或者. 因为为锐角，故，故. 54．（2026·湖北武汉·模拟预测）平行于x轴的直线交抛物线：于点，交抛物线：于点，记抛物线和的焦点分别为和，若，则四边形的面积为__________. 【答案】3 【分析】设平行于x轴的直线方程为，然后求出的坐标，进而判断四边形的形状，进而求出面积. 【详解】由题意可得，，设平行于x轴的直线方程为. 则，因为， 所以，化简解得. 根据对称性，不妨取，所以四边形为矩形， 所以四边形的面积为. 55．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，若直线分别与，交于两点，且，则________． 【答案】 【分析】根据抛物线定义以及性质得出方程解出即可． 【详解】由题意如图所示： 由抛物线，可得，准线方程为， 设，， 则，， 故，所以， 所以，解得． 题型24 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 抛物线焦点弦与三角形面积 联立直线与抛物线方程，利用弦长公式和点到直线距离公式表示三角形面积，列方程求直线斜率，注意斜率不存在的情况。 2 双曲线中点弦存在性 利用点差法求中点弦斜率，联立直线与双曲线方程，通过判别式判断直线与双曲线是否有两个交点，从而判断中点是否存在。 3 抛物线中的垂直与角平分线 设直线方程联立抛物线，利用向量数量积证垂直；由角平分线性质得斜率关系，利用韦达定理求定点，再用弦长公式和距离公式求面积最值。 4 椭圆焦点弦与向量夹角 联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，将角的条件转化为向量数量积的不等式，结合判别式求斜率范围。 5 抛物线定义与三角形外接圆 利用抛物线定义求点坐标和方程；联立直线与抛物线，由中点条件求参数，判断三角形形状，再求外接圆半径。 6 双曲线焦点到渐近线距离与向量共线 由焦点到渐近线距离和点坐标求双曲线方程；联立直线与双曲线，利用韦达定理和向量共线条件求参数，再用弦长公式求弦长。 7 椭圆离心率与几何证明 由离心率和焦点坐标关系求椭圆方程；设点坐标，表示直线方程，求与坐标轴交点，利用中点坐标性质证明线段相等。 8 抛物线准线与焦点弦 由抛物线定义和几何关系求参数；设直线方程联立抛物线，利用韦达定理和弦长公式，结合已知条件列方程求斜率。 9 椭圆中直线与坐标轴交点 由顶点坐标和离心率求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆求交点坐标，表示与坐标轴交点，利用向量垂直或共线列方程求斜率。 10 椭圆通径与点到直线距离 由通径长和点到直线距离求椭圆方程；设直线方程联立椭圆，利用韦达定理，将向量数量积条件转化为坐标关系，求范围，再证直线过定点。 11 双曲线定义与重心坐标 由双曲线定义求轨迹方程；利用重心坐标公式和三角形面积求点坐标；设直线方程，联立双曲线，用韦达定理和参数表示点坐标，证点在定直线上。 12 椭圆中等腰三角形与面积最值 设直线方程联立椭圆，利用韦达定理，由等腰三角形条件得斜率关系，求出定值；再用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用基本不等式求最值。 13 双曲线焦点弦与圆过定点 由离心率和焦点到渐近线距离求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理求弦中点坐标和半径，写出圆的方程，令y=0解出定点坐标。 14 椭圆中圆过焦点与定点 由椭圆的定义和焦点坐标求方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，证明以弦为直径的圆恒过焦点，通过向量数量积为零验证。 15 椭圆中光线反射与对称性 由焦距和过定点求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，求点关于x轴的对称点，验证反射光线经过另一点。 16 椭圆中平行四边形面积最值 设点坐标，利用平行四边形向量关系表示点坐标，代入椭圆方程得关系式；用三角函数表示面积，结合基本不等式求最值。 17 抛物线与双曲线渐近线交点及圆过定点 联立抛物线方程与双曲线渐近线求交点坐标，由弦长求抛物线方程；设直线方程，利用圆直径所对圆周角为直角得垂直条件，转化为向量数量积为零，用韦达定理求定点。 18 双曲线离心率与渐近线 选择条件求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理和点到直线距离公式，结合三角形面积求直线方程。 19 抛物线中的等差数列与三角形面积 由点在抛物线上求抛物线方程；利用斜率公式求数列通项，证等差数列；利用弦长公式和点到直线距离公式求三角形面积。 20 直线与抛物线相切及三角形面积比 联立直线与抛物线，利用判别式为零证相切；求直线与坐标轴交点，用坐标表示三角形面积，通过比例关系证明面积相等。 21 椭圆中向量共线与面积最值 由点在椭圆上求椭圆方程；利用向量共线表示点坐标，代入椭圆方程得参数关系，用三角形面积公式和基本不等式求最值。 22 椭圆中通径与点差法 由长轴长和通径条件求椭圆方程；利用点差法求斜率关系，得定值；用两角差的正切公式和基本不等式求角的最值。 23 椭圆中等腰梯形存在性 由离心率和三角形面积求椭圆方程；设直线方程，利用韦达定理求弦中点，由等腰梯形性质得对角线垂直，列方程判断解的存在性。 24 椭圆中斜率关系与三角形面积 由顶点坐标和离心率求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，将斜率条件转化为坐标关系，求斜率；再用弦长公式求三角形面积。 25 椭圆中点弦与直线过定点及面积最值 由焦点三角形面积和边角关系求椭圆方程；设直线方程，利用韦达定理和点关于x轴对称，求直线方程，证过定点；用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用基本不等式求最值。 26 椭圆中斜率积为定值与三角形面积 由斜率积为定值求轨迹方程；联立直线与椭圆，用弦长公式求弦长；设直线方程，利用韦达定理，由x轴平分角得斜率关系，求定点，再用面积公式和基本不等式求范围。 27 双曲线定义与点差法及角范围 由圆的垂直平分线性质得双曲线定义，求方程；利用点差法求中点弦斜率，由对称性得参数关系，求值；联立直线与双曲线，由点横坐标为正求斜率范围，再用向量夹角公式求角范围。 28 椭圆中斜率积为定值与面积最值 由顶点坐标和斜率积求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，由斜率关系求参数，用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用换元法和函数单调性求最值。 29 双曲线渐近线与斜率积为定值及最值 由渐近线斜率求离心率；设点坐标，利用斜率公式和点在双曲线上，证明斜率积为定值；设直线方程，联立双曲线，用韦达定理和基本不等式求最值。 30 椭圆中垂直关系与面积最值 由焦距和短轴长求椭圆方程；联立直线与椭圆求交点坐标，用斜率公式证垂直；用面积公式表示三角形面积，利用换元法和基本不等式求最值。 31 抛物线中四点共圆与面积比范围 由点坐标和斜率求抛物线方程；联立直线与抛物线，利用韦达定理，由四点共圆得对角互补，转化为向量数量积为零，求直线方程；用坐标表示三角形面积，求比值范围。 32 椭圆中三角形外接圆面积最值 由上顶点和直线与椭圆交点求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，求交点坐标，设外接圆方程，代入三点坐标，用半径公式表示半径，利用函数单调性求最值。 33 椭圆中直线与坐标轴交点成等差数列及面积比定值 由长轴长和直线与圆相切求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理，求直线与y轴交点坐标，证等差中项；利用中点坐标性质证面积比为定值。 34 椭圆离心率与中点弦及最值 由离心率和长轴长求椭圆方程；设直线方程，利用点差法求斜率关系，证直线垂直；设点坐标，代入椭圆和曲线方程，用换元法求最值。 35 双曲线焦点到渐近线距离与点差法及正弦定理 由焦点到渐近线距离和点在双曲线上求双曲线方程；设点坐标，利用中点坐标公式和点在渐近线上求轨迹，用椭圆定义求最值；利用正弦定理和坐标关系求比值范围。 36 双曲线通径与内切圆性质 由离心率和通径长求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理和参数范围求最值；利用内切圆切线长性质证切点为焦点，由对称性证点在圆上。 37 椭圆焦点弦与中点轨迹及面积比范围 由椭圆定义和余弦定理求椭圆方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理求中点坐标，消参得轨迹方程；求中垂线与坐标轴交点，用坐标表示面积，利用换元法求范围。 38 抛物线切线方程与直线过定点及向量共线 由点到直线距离求抛物线方程；利用导数或判别式求切线方程，由切线过同一点得切点弦方程，证直线过定点；联立直线与抛物线，利用韦达定理和向量共线条件求参数。 39 椭圆中中点弦与斜率之和为定值及面积最值 由顶点坐标求椭圆方程和直线方程；设直线方程，联立椭圆，利用韦达定理求点坐标，由中点坐标得点坐标，用斜率公式证和为定值；用弦长公式和点到直线距离公式表示面积，利用换元法和导数求最值。 40 双曲线焦点到渐近线距离与直线斜率之和及外接圆 由焦点到渐近线距离和点在双曲线上求双曲线方程；设直线方程，联立双曲线，利用韦达定理求斜率之和；设外接圆方程，利用同解方程求圆心坐标，由几何关系求定点。 1．（2026·山东青岛·一模）已知抛物线，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时，. (1)求的方程； (2)若直线过点且的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当直线垂直轴时，可求出、的坐标进而求出的值； （2）三角形的面积可以用弦长公式和点到直线的距离公式表示底和高. 【详解】（1）设点 因为抛物线，所以， 当直线过点且垂直轴时，直线的方程为， 把代入可得， 故，所以，所以方程为. （2）由（1）可知，设直线方程为， 联立得， 则，， 所以， 又点到直线距离， 所以， 令，所以，所以，解得或， 所以直线方程为或. 2．（2026·四川内江·二模）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能,理由见解析 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【详解】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为. （2）假设是线段的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段的中点，， 代入上式，可得，即此时直线的斜率为， 于是直线的方程为，即. 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段的中点. 3．（2026·江西赣州·一模）已知抛物线，过点作直线与抛物线相交于两点，为坐标原点. (1)证明：； (2)若存在异于点的定点，使得恒成立，请求出点的坐标，并求出面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)  8 【分析】（1）设出直线方程与抛物线联立，结合向量运算可证结论； （2）根据条件得出为的角平分线，结合斜率和为0，可求，求出弦长和高，利用三角形面积公式可得答案. 【详解】（1）证明：设直线的方程为， 由，得，即， 因为，所以， ， 所以，所以. （2）因为，所以， 由角平分线的性质可知，为的角平分线，由抛物线对称性可得，在轴上， 设，， 因为在轴上，所以，， 整理得，由，代入可得， 即，由于上式对任意恒成立，所以，即. ， 到直线的距离为：，面积， 当时，面积有最小值8. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆：左焦点，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 根据离心率及焦点列方程计算求解椭圆方程； （2）先设直线再联立方程组计算韦达定理，把角转化为计算向量数量积计算求解. 【详解】（1）由已知， 解得，所以C的方程为 （2）设MN：，， 将直线与椭圆方程联立， 整理得， 经检验， 根据韦达定理， 因为，所以，即， 所以，整理得， 将韦达定理代入得， 去分母后整理得，解得， 5．（25-26高三下·安徽·月考）已知抛物线的焦点为，过上一动点作的准线的垂线，垂足为.当时，的面积为8. (1)求的方程； (2)直线与交于两点，点均在第一象限，为坐标原点，当为的中点时，求外接圆的半径. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义得到点横坐标与的关系，结合三角形面积求出点纵坐标，再代入抛物线方程解得，从而得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，结合中点条件求出的坐标，通过向量点积判断为直角三角形，进而用斜边长度求出外接圆半径. 【详解】（1）由抛物线的定义，得，则. 由的面积为8，知点到直线的距离为，则. 由，得，解得. 故的方程为. （2）由（1）可得，设，由题可知. 由，可得， 则. 若点为的中点，则，其中， 所以，解得（负值舍去），则，代入，得. 而，得，则，所以. 由于，故是直角三角形， 故所求外接圆半径. 6．（2026·山东威海·一模）已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意建立关于的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）将直线方程与双曲线方程联立，写出韦达定理，利用和三角形相似可推得，与韦达定理联立求得，再用弦长公式即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，，      解得，      所以的方程为 （2）联立，整理得，      由，可得， 设，则      因为， 又直线过点，且，     所以，所以①，（也可利用斜率相等或向量共线得出）     将①式代入得，消去得，     解得，     则    7．（2026·北京平谷·一模）已知椭圆的离心率为，右顶点为，左焦点为，且． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且点在第一象限内，直线，过点且平行于的直线交轴于点，直线交轴于点，点为线段的中点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用离心率和的几何意义，结合椭圆中的基本关系，联立方程组即可求出，进而得到椭圆方程； （2）法一：先通过直线和的方程求得点和的坐标，再借助两点间距离公式得到，再由条件为线段的中点即可得结论; 法二：先通过直线和的方程求得点和的坐标，再由条件为线段的中点得到点的坐标，最后得出即可得结论. 【详解】（1）由题意，解得． 所以椭圆的方程为． （2） 依题意，，因为点是椭圆上一点，可得，且， 直线的斜率，直线的方程为， 令，得． 直线的斜率为，直线方程为， 令，得． 法一：因为， ， 所以，所以三角形为等腰三角形，因为点为底边的中点， 所以． 法二：点为线段的中点，，所以， 所以， ，所以，所以． 8．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且. (1)求； (2)若过点的直线交于，两点，且，求的值. 【答案】(1)2 (2)或. 【分析】（1）由抛物线定义可得进而得到为等边三角形，从而求得，结合图形特征及角的正切即可求解； （2）设直线：,联立直线与抛物线可得，则由韦达定理得，，计算弦长代入中即可求得，再列方程结合弦长公式求值. 【详解】（1） 由抛物线定义得，又因为，所以为等边三角形， 所以， 设准线为与x轴交于点，且的纵坐标为，所以， 所以，所以； （2） 设： ，，， 联立得，， 由韦达定理得，， 所以 ， 所以，所以，则， 由韦达定理得，， 所以，所以， 所以， 或， 所以 或， 所以的值为或. 9．（2026·天津河东·一模）已知椭圆的方程为，上顶点为，右顶点为，，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于点（在第一或第四象限），过原点且与直线平行的直线与椭圆在第二象限交于点. (1)求椭圆方程； (2)轴上有一点，，求直线的斜率； (3)若直线与轴交于点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题知，，，， 且，，， ，，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，， 设过点的直线方程为，过原点且与直线平行的直线为， 联立可得， 则点的坐标为， 联立可得， 则点的坐标为， 所以，， 由，整理为，解得，（舍）， 即直线的斜率为. （3）由题知，， ， ， 由（2）整理为，解得，（舍）， 所以直线的斜率为. 10．（2026·河南南阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，轴，且点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点. （i）求的取值范围； （ii）若于点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）先求出，再利用椭圆的定义以及等面积求出即可； （2）（i）设，与椭圆方程联立，根据韦达定理化简即可求出； （ii）求出直线的方程，利用即可化简求出定点. 【详解】（1）由题意知，， 令，则，得，则， 由椭圆的定义可知，， 因为点到直线的距离为， 所以， 则，即， 又，得， 故的方程为； （2）（i）由题意可知，直线的斜率存在， 设，， 联立，得， 则， ，得， 则 ， 因为，所以，则， 则， 故的取值范围为； （ii）因为，所以， 若，即，则直线的方程为， 即， 因为，所以， 因为， 所以， 即，恒过点， 若，即，则，则，也过点， 故直线过定点. 11．（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)是，直线 【分析】（1）根据已知及双曲线的定义写出的方程； （2）根据已知三角形面积及在双曲线上求出的坐标，结合重心的坐标性质确定点的坐标； （3）设的方程为，联立双曲线并应用韦达定理得，，写出直线与的方程，联立求出的轨迹，即可得. 【详解】（1）由题可知，，则． 又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； （2）设．因为的面积为24， 所以，得． 由，得． 因为是的重心， 所以或或或； （3）由题可知的斜率存在，可设的方程为． 由，得， 则，得，则，． 直线的方程为，直线的方程为， 则． 由，，得， 则，得， 故点在定直线上. 12．（2026·湖南·模拟预测）已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为． (1)求椭圆的方程． (2)已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形． （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）2． 【分析】（1）根据点以及焦点坐标，解方程可求得椭圆的方程； （2）（i）法一：设直线的方程为，并与椭圆方程联立，结合韦达定理由可得直线的斜率； 法二：设直线的方程为，联立椭圆方程可解得，同理可得，化简可知直线的斜率； 法三：由，可设直线为，不同时为0，联立直线与椭圆方程化简得，可得，即直线的斜率为定值． （ii）设直线为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理知 法一：易知，当时，的面积取最大值2． 法二：由弦长公式可知，又点到直线的距离，所以，当时，的面积取最大值2． 【详解】（1）设椭圆的方程为， 显然， 将点代入椭圆方程，即，解得或（舍去） 所以椭圆的方程为． （2）（i）法一： 设直线的方程为（由对称性知存在），如下图： 联立得，化简得， 由知，则， 因为，所以，即， 化简得，因为直线不过点，所以， 故． 法二： 设直线的方程为， 联立，得，化简， 得， 由知，即，则， 又，所以， 因为直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以， 同理可得， 由此可知， 则直线的斜率， 故直线的斜率为定值． 法三： 因为直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以， 因为为椭圆上异于的两点， 所以可设直线为，不同时为0， 联立与， 得， 等式两边同时除以，记， 化简得， 由于，所以，说明直线的斜率为定值． （ii）设直线为， 联立与，得， 因为，所以． 由韦达定理知 法一： 过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为， ，即， 化简得． 当且仅当时，的面积取最大值2． 法二： 易知， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当时，的面积取最大值2． 13．（2026·山东青岛·模拟预测）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率等于2，右焦点到其渐近线的距离等于． (1)求双曲线的方程； (2)经过点的直线与双曲线C交于、两点，以为直径的圆记作．求证：恒过某个定点，并求出此定点的坐标； 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线距离可得a，c的关系和b值，结合，求出，即可得双曲线方程； （2）当斜率不为0时，设为，联立，根据韦达定理及弦长公式，求出方程，由对称性可知，过的定点应在轴上，故令得或，当直线斜率为0时，直线为，此时方程为，分析可得所过定点； 【详解】（1）设双曲线方程为，设右焦点坐标为，则渐近线方程为， 故到的距离为， 又离心率等于2，故，又，解得，． 故双曲线方程为； （2）由（1）得，当过点的直线斜率不为0时，设为， 联立与得， 整理可得， 由直线与双曲线交于、两点，得，解得， 设，，则，， 所以， 则， 又 ， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以方程为， 由对称性可知，过的定点应在轴上，故在中，令， 得，解得或， 故与轴交点为，， 当直线斜率为0时，直线为，此时，的坐标分别为， 则方程为，经过点， 综上，恒过某个定点，此定点的坐标为； 14．（2026·陕西商洛·二模）在天问二号探测器伴飞任务中，地面观测站，用于追踪探测器，探测器沿椭圆轨道运行，到两站距离和为4．设过点的波束中心直线（斜率不为0）与椭圆轨道交于两点，以为直径形成通信圆．研究发现，若通信圆恒过近地点时，视为通信状态最佳． (1)求椭圆轨道的方程； (2)请判断通信圆是否能达到通信状态最佳？并说明理由． 【答案】(1)； (2)可以达到通信状态最佳，理由见解析． 【分析】（1）由条件根据焦点坐标性质和椭圆的定义确定，利用求，由此可得结论； （2）设直线的方程为，，联立方程组利用根与系数关系求，证明，由此可得结论. 【详解】（1）由题意，设椭圆的焦点为，，且探测器到两站距离和为4， 则， 故椭圆的标准方程为：； （2）欲判断通信圆是否达到通信状态最佳，验证通信圆恒过点即可． 设直线的方程为， 联立，可得， 方程的判别式， 设，则， 由，得， 将代入可得 化简可得， 则，即以为直径的圆经过点， 故通信圆可以达到通信状态最佳 15．（2026·北京密云·一模）已知椭圆，过点，焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（，异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由. 【答案】(1)， (2)光线经过轴反射后经过点 【分析】（1）由已知条件列出关于方程组求出即可求解. （2）先表示过点的直线的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理得、，计算求解即可. 【详解】（1）由题可得， 椭圆的方程为， 所以椭圆的离心率. （2）如图 为椭圆的右焦点，， 设，， 设过点的直线的方程为， 将直线方程与椭圆方程联立得， 展开并整理得， 则即， 且，， ， 光线经过轴反射后经过点. 16．（2026·山东菏泽·一模）已知椭圆，O为坐标原点，点A，B分别在直线与上，P是C上一点，O、A、P、B四点顺时针构成平行四边形. (1)求的值； (2)求平行四边形面积的最大值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）设出点A，B的坐标，结合它们所在的直线方程，再根据向量关系得到点P的坐标，因为点P在椭圆上，将P的坐标代入椭圆方程，可得到A，B的坐标与P的坐标的关系式，进而通过弦长公式求解. （2）设直线OA的倾斜角为，通过倍角公式求出，， 利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式可求得结果； 【详解】（1）因为点分别在直线与上，所以可设， 设，则 因为四边形OAPB是平行四边形，所以 即 所以， 所以 （2）因为点A，B分别在直线与上 设直线OA的倾斜角为，则， ， ，即， 所以平行四边形OAPB的面积为 在中，设， 所以，当且仅当时等号成立 所以平行四边形的面积为， 当且仅当时等号成立，所以平行四边形的面积的最大值为. 17．（2026·山东淄博·一模）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. (1)求抛物线的方程； (2)，为上异于，的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出双曲线渐近线后，可表示出点、坐标，再利用即可得解； （2）由题意可得，即可得，则可设出直线方程，联立抛物线，可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合可表示出直线方程，即可得解. 【详解】（1）的渐近线为， 联立，解得或，故， 由对称性可得，则， 故（负值舍去），即抛物线的方程为； （2）由（1）知，设、， 由以线段为直径的圆恰好经过，则， 由，， 则 ， 由，异于，故， 则， 设，，则， ，则， ，，即，， 故,即， 则， 当时，，故直线过定点. 18．（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线：的右顶点为A.请从条件①、②、③中选择两个条件作为已知，使得C存在且唯一. 条件①：的离心率为2； 条件②：的渐近线方程为； 条件③：的右焦点与点A的距离为1. (1)求的方程； (2)若过点的直线交C的右支于点M，且的面积为3，求的方程. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分. 【答案】(1)选择条件①和③和选择条件②和③时，的方程，选择条件①和②时，C存在且不唯一 (2)或 【分析】（1）选择条件①和③：根据双曲线的离心率公式和两点间距离公式进行求解即可； 选择条件②和③：根据双曲线的渐近线方程和两点间距离公式进行求解即可； 选择条件①和②：根据双曲线的离心率公式和双曲线的渐近线方程进行求解判断即可. （2）方法一：根据三角形面积公式，结合点到直线距离公式进行求解即可； 方法二：设出直线方程与双曲线联立，利用三角形面积公式，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】（1）选择条件①和③： 因为C的离心率为2，点A到C的右焦点的距离为1，所以 解得 又因为，所以， 所以C的方程为. 选择条件②和③： 因为C的渐近线方程为，点A到C的右焦点的距离为1， 所以由 可得 所以C的方程为. 选择条件①和②： 因为的离心率为2， 所以， 所以的渐近线方程为， 由①能推出②，所以C存在但是不唯一，不符合题意； 综上所述：选择条件①和③和选择条件②和③时，的方程，选择条件①和②时，C存在且不唯一. （2）由（1）知，点A坐标为， 又由可得直线的方程为，且. 设点M到直线的距离为d， 因为面积为3，所以，所以. 设过点M且与直线平行的直线为n：. 则n与直线的距离为，故， 解得或， 所以直线n方程为或， 直线与直线关于原点中心对称， 与双曲线左支有两个交点，不合题意，舍去. 由得或 故点M坐标为或， 当M坐标为时，点，所以直线的方程为， 当M坐标为时，点，直线的方程为， 所以直线的方程为或. （方法二）由（1）知，点A坐标为，且点在C上. 当直线斜率不存在时，，面积为3，直线的方程为，符合题意. 当直线斜率存在时，设其方程为. 由得， 设， 则，， 故， 又因为A到直线的距离， 故面积为. 所以，解得，或， 因为该双曲线的渐近线方程为， 所以，， 因此此时直线不与双曲线的右支相交， 因为， 所以此时直线与双曲线的右支相交， 故直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 19．（2026·江西·一模）已知为抛物线上一点. (1)求的准线方程； (2)若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设. （i）求数列的前项和； （ii）求的面积. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）8 【分析】（1）代入点的坐标，得出抛物线方程，即可求出准线方程； （2）（i）利用斜率可得，再由等差数列的定义判断数列为等差数列，即可求出前项和； （ii）法一：利用弦长公式、点到直线的距离求三角形面积，法二：利用向量外积求三角形面积即可. 【详解】（1）由题意知，则， 所以的准线方程为. （2）由（1）知的方程为， （i）， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，以4为公差的等差数列， 所以，所以. （ii）将代入得， 则， 法一： 直线的方程为， 点到直线的距离， ， 的面积. 法二： . 20．（2026·四川绵阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知曲线，点在曲线上，直线. (1)判断曲线与直线的位置关系，并证明； (2)当时，直线与直线，分别交于，两点.设与的面积分别为，，比较与的大小. 【答案】(1)相切，证明见解析 (2) 【分析】（1）联立直线和曲线方程，利用判别式可知直线与曲线相切； （2）解法一：将两三角形面积比值转化为线段的比例，再转化为点的坐标的比值可知两式相等； 解法二：利用三角恒等变换证明，再利用三角形面积公式化简可得两式相等； 【详解】（1）联立可得， 因为，于是. 所以， 可知直线与曲线相切. （2）解法一： 设，，如下图： 易知，当时，由对称性可知，. 当时，不妨设，易知. 联立，解得，， 联立，解得，. 所以. ， 故. 综上. 解法二： 不妨设，. 易知，当时，由对称性可知，. 当时，不妨设. 联立，解得，， 联立，解得，. 若，则，，， 由对称性，不妨取，，则，，， ，，所以. 同理，当时，. 当时，则，，， 又，所以， 所以. . 则，即， 所以. 综上：. 21．（2026·四川成都·二模）如图，已知椭圆，点在椭圆上且，，分别经过的左、右焦点，，且，． (1)若，求点的坐标； (2)证明：是定值，并求出的值； (3)求四边形面积最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）借助向量线性运算可表示出点坐标，结合、点在椭圆上可得、点坐标满足关系，计算即可得解； （2）借助向量线性运算可用、表示出点、点坐标，再利用、、点在椭圆上可得、点坐标满足关系，则可用表示出、，再求和即可得解； （3）利用三角形面积公式可得，则，再计算出面积后，利用、间的关系，结合基本不等式即可得解. 【详解】（1），，则， 由，则，故， 故，化简得，又， 则，解得，则， 故或（负值舍去），即点的坐标为； （2）由，，则， 故，则有， 化简得， 由，则， 整理得， 则或（负值舍去）； ，则，由，则， 故，则有， 化简得， 由，则， 整理得， 则或（负值舍去）； 故， 故是定值，且； （3），， 则 ， 则， 由，，则， 又， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故四边形面积最大值为. 22．（2026·湖北黄冈·一模）已知椭圆的长轴长为4，直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点． (1)求的标准方程； (2)若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）设椭圆焦距为，则椭圆过点，代入椭圆方程，结合及，求出，即可得到椭圆的标准方程； （2）（ⅰ）设各点的坐标，利用点差法，用表示，即可证为定值；（ⅱ）根据直线的斜率与倾斜角的关系，利用两角差的正切公式，并结合基本不等式可求得的最小值． 【详解】（1）由题意有，所以. 设椭圆焦距为，易知椭圆过点，所以. 又，所以. 所以，即，解得. 所以，，故的标准方程为． （2）（ⅰ）设，，，则，由题意有． 直线的斜率即的斜率为，所以直线的方程. 所以，又，在椭圆上， ∴，∴. ∴， ∴. （ⅱ）∵， 而，， 由（ⅰ）知， ∴，又， ∴， ∴. 当且仅当，即时等号成立. 所以．的最小值为． 23．（2026·河北唐山·一模）已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N. (1)求C的方程； (2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见详解 【分析】（1）根据离心率可得，再结合的面积可得，，即可得椭圆方程； （2）设直线l：，与椭圆方程联立，利用韦达定理分别求线段、的中点，结合等腰梯形的性质列式求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，可得，即， 则，， 又因为的面积，即，， 所以椭圆C的方程为. （2）由（1）可知：，， 则直线的斜率，且线段的中点为， 假设存在直线l满足题意，设直线l：，，， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 可得，， 即，则， 可得线段的中点为，直线的斜率， 此时，可知直线与直线不垂直， 这与等腰梯形的性质相矛盾，假设不成立，所以不存在直线l满足题意. 24．（2026·河北保定·一模）已知椭圆的右顶点为，离心率为，过的左焦点的直线与交于异于点的，两点. (1)求椭圆的方程. (2)记直线的斜率为，直线与直线的斜率分别为， （i）若，求； （ii）若，求的面积. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据条件可求，得到椭圆方程. （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，可得，. （i）化简，结合，可求. （ii）化简，结合，表示出，再利用，求的值，再用求的面积. 【详解】（1）由题意，，，所以，所以. 所以椭圆的方程为：. （2）直线的方程为，（），代入椭圆方程，得： . 整理得. 设，，则，. 如图： （i）因为， 所以 由. （ii）因为 . 由. 由， 此时，. 所以. 25．（2026·山东临沂·一模）已知椭圆的两个焦点分别为，，点P是C上的一个动点，当面积取得最大值时，． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为（与B不重合）． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）由题意可得，进而结合已知求得，可求C的方程； （2）（ⅰ）设l的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，进而求得直线的方程，由椭圆的对称性可证得结论；（ⅱ）记直线过定点为，利用计算，结合基本不等式可求面积的最大值. 【详解】（1）因为，又，所以， 又面积取得最大值，所以， 在中，，所以，所以， 又，所以，所以，解得， 所以，所以椭圆C的方程为； （2）（ⅰ）当过点的直线l不与x轴重合时， 设直线l的方程为，， 由，得， 整理得， 由韦达定理得， 因为为点A关于x轴的对称点，所以，所以， 所以直线的方程为， 由对称性，直线所过定点一定在轴上， 令，可得 ， 所以直线过定点； 当过点的直线与x轴重合时，显然过点； 综上所述：直线过定点； （ⅱ）记直线过定点为， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为． 26．（2026·陕西榆林·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，直线AP与BP相交于点P，且两直线的斜率之积为． (1)求动点P的轨迹方程； (2)直线与动点P的轨迹交于C，D两点，求弦长； (3)若动点P的轨迹为闭合曲线，点，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M，N，使得恰好被x轴平分，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合斜率公式计算即得动点的轨迹方程； （2）联立直线与椭圆得出韦达定理，再由弦长公式计算即得； （3）先设直线方程再联立，写出韦达定理，应用题设条件得出斜率关系，计算得出定点，再列出三角形的面积及基本不等式计算范围． 【详解】（1）设交点P的坐标为，因为直线AP与BP的斜率之积为， 所以，所以，则， 故动点P的轨迹方程为． （2）由与椭圆联立，可得， 设，则，       所以弦长． （3）设直线的方程为， 由得， 所以，， 因为恰好被x轴平分，所以，                所以直线的斜率与直线的斜率存在且， 即，整理得， 即，因，解得，即直线经过定点， 所以的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以面积的取值范围是． 27．（2026·安徽合肥·一模）已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为． ①求的值； ②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据点在的垂直平分线上，得，又在直线上，而是已知圆上的动点，因此为定长，于是与的差为定值，符合双曲线的定义，由两定点坐标和常数可确定双曲线方程. （2）①设出 及其中点，利用点差法得到直线的斜率与中点坐标的关系，由于关于直线对称，故是的中垂线，即过且与垂直，由此可用中点坐标表示出的斜率，根据过已知点，又可写出斜率的另一种形式，两斜率相等得到与中点横坐标的关系. ② 在已求出的基础上，直线又过点，故完全确定，设直线的方程将其与双曲线联立，利用均在轴右侧（即横坐标大于零）以及中点的横坐标关系，通过判别式和韦达定理得到直线斜率的取值范围，最后将转化为向量夹角，用坐标表示后代入参数范围，即可求得角度的取值范围. 【详解】（1）的圆心为，半径，因为点在线段的垂直平分线上，所以，由题意，点在线段的延长线或反向延长线上， 所以， 所以动点在以、为焦点的双曲线上，设双曲线方程为, 则，，所以， 所以点的轨迹方程，即曲线的方程为； （2）①设，，，则， 所以，即， 即，因为关于直线对称，所以，所以， 即，因为，所以，所以； ②依题意直线的斜率存在，设其方程为，由， 整理得，由， 所以， 则，，所以， 则，因为，所以， 所以，所以， ， 在中，， 又均在轴的右侧，所以， 解得，所以，所以， 所以，所以， 即的取值范围为． 28．（2026·四川德阳·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求面积的最大值； (3)若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由椭圆的左右顶点可知的值，设，则，分别表示出再根据即可求出，则可得椭圆标准方程； （2）设直线方程为，将直线和椭圆方程联立可得，由韦达定理可得的值，求出，再由点到直线距离公式求出左顶点到直线距离，由面积公式可得到面积，再根据换元法即可求出最大值； （3）假设存在使得，分别表示出，再根据，代入到，由（2）韦达定理可知的值，代入到上式，再根据对任意的都成立，可求出值. 【详解】（1）由椭圆的左右顶点可知， 设，则， 化简可得，则， ， 所以，则椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为， ，将直线和椭圆方程联立， 代入可得， 由韦达定理可知， 则， 而， 代入可得， 根据点到直线距离公式， 所以， 令则，所以， 函数在上单调递增， 所以即时，， 此时的面积最大，最大值为； （3）假设存在使得，分别求出， 因为在直线上， 所以， 故， 化简可得， 由（2）知， 则，所以可得， 整理化简可得， 要对任意的都成立，需系数满足， 解得，故存在，使得. 29．（2026·江苏·一模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为分别为左、右焦点，为右顶点，为左支上的两个动点（不包括顶点）． (1)求的离心率； (2)是否存在常数，使得总成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (3)若为定值，直线经过，求的最小值． 【答案】(1)2 (2)存在常数，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据渐近线的倾斜角，可得其斜率，即可得a，b的关系，求出a与c的关系，代入公式，即可得答案. （2）当时，根据条件，求出，即可得关系；当时，分别求出的表达式，化简整理，分析即可得关系. （3）设出直线的方程，与双曲线方程联立，根据韦达定理，可得表达式，进而可得表达式，利用导数求出的最小值，结合（2）及基本不等式，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）由题意，所以， 所以的离心率. （2）①当时，，， 此时，有. ②当时，可得的斜率都存在，设， 则， 因为， 即，其中为锐角， 即，， 所以，即. 所以存在常数，使得总成立. （3）由对称性，设直线的方程为，代入， 得，即， 所以， 令，则， 令，则， 所以单调递增，所以的最小值为， 所以，当且仅当“”时，取等号. 由（2）可知， 所以. 所以 ， 当且仅当“且”时，取等号． 所以的最小值为. 30．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知椭圆C：（）的焦距与短轴长均为. (1)求椭圆C的标准方程. (2)已知直线：（）与椭圆C交于A，B两点，点A在x轴上方，过点B作斜率为的直线，交椭圆C于另一个点P. ①证明：. ②求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据椭圆的几何性质可得标准方程； （2）解法一：①直接用证明两条直线垂直可得；②由三角形为直角三角形可得面积，再通过换元及根据对勾函数的性质可得面积的最大值；解法二：①利用点差法可得且，进而可得，从而可得；②先计算，再根据直线的倾斜角与直线的倾斜角的差为，进而可得，所以三角形的面积，再通过换元及根据对勾函数的性质可得面积的最大值. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 所以椭圆C的标准方程是. （2）解法一：联立方程，解得或. 因为点A在x轴上方，所以，， 则直线的方程为，即. 又由，消去y化简得， 则，所以， 故点P的坐标为.如图： ①证明：因为，， 所以直线的斜率， 所以，故. ②因为，， 所以. 因为，， 所以 . 因为，所以的面积. 设，由，得，当且仅当时，等号成立， 所以. 因为对勾函数在上单调递增，所以， 故，当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 解法二：①设，则.如图： 联立方程解得，所以. 又因A，P在椭圆上，所以，两式相减，， 又因为，所以，且， 所以，即，故. ②设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， ， 因为是直角三角形，，， 所以 ， 设，由，得，当且仅当时，等号成立， 所以. 因为对勾函数在上单调递增，所以， 故，当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 31．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为． ①当四点共圆时，求直线的方程； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据条件求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求解； （2）①联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，根据条件有，从而可得，即可求解；②根据条件求出的取值范围，求出的横坐标，再利用三角形的面积公式及弦长公式得，即可求解. 【详解】（1）因为点，则，又，则， 所以，代入抛物线，得到，解得， 所以抛物线的方程为. （2）①因为直线方程为， 设，联立，消得到， 则， 当四点共圆时，则有，故， 则，所以， 又， 所以，即， 整理得到，又，所以，故直线的方程为. ②当时，由，得，又直线的斜率，则， 由，得到直线， 由，得， 直线，联立方程，解得， 由，得， 所以， 又， 又，所以， 故的取值范围为. 32．（2026·山西朔州·一模）已知椭圆上顶点为，直线与椭圆交于两点.当时，. (1)求椭圆的方程； (2)当的外接圆面积最大时，求其外接圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由上顶点为得，当时，直线与椭圆方程联立，可得到坐标，结合已知，可求出的值，进而得到椭圆的方程。 （2）设，的外接圆的一般方程，将三点坐标代入，结合在直线上，化简得到外接圆方程参数的关系，根据外接圆半径公式，利用函数求最值的方法，求出当半径最大时的参数值，进而得到外接圆的方程 【详解】（1）因为上顶点为，所以， 当时，直线，代入椭圆方程得，整理得， 解得，故 又， ，所以，解得， 所以椭圆方程为 （2） 设，外接圆方程为 代入得，两式相加得， 两式相减得 又点既在，又在椭圆上，所以， 所以， 代入到外接圆方程得， 故， 设，则，， ， 所以外接圆半径 时，故其在上单调递增，在时取最大值， 此时，，， 即，，， 所以的外接圆面积最大时，其外接圆的方程为 33．（2026·福建龙岩·一模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，长轴长为4，且以短轴为直径的圆与直线相切. (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线分别交轴于两点，证明： （ⅰ）的横坐标成等差数列； （ⅱ）与的面积之比为定值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题可得，然后由到直线的距离可得，据此可得答案； （2）（i）由题设过点的直线方程为，、，将直线与椭圆方程联立，由韦达定理可得，，由题可得，验证可完成证明； （ⅱ）注意到，据此可完成证明. 【详解】（1）由已知得，，所以， 原点到直线的距离为， 所以的方程为. （2）（i）当过点的直线斜率不存在时， 直线与椭圆只有1个交点，舍去， 设直线的方程为， 设、，由， 消去整理得， 所以，解得， ，， 直线的方程为，令，得， 同理可得. . 又因为， . 所以， 所以的横坐标成等差数列； （ⅱ）由（ⅰ）知为的中点，得， 所以， 所以与的面积之比为. 34．（2026·山东青岛·一模）已知为坐标原点，椭圆：（）的离心率为，长轴长为4. (1)求的方程； (2)若过的直线交于，两点，点在上，点为直线与轴的交点，点的横坐标为点横坐标的3倍. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若点，都在曲线：（）上，求的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ） 【分析】（1）利用离心率及长轴长计算即可得； （2）（ⅰ）法一：设，，借助点差法计算即可得；法二：设：，联立椭圆方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，再表示出与后，由可得，即可得证；（ⅱ）设，，则有，两式相乘可得，则可得，设，可得在上单调递增，故可得，即可得解. 【详解】（1）由题得，，，得，，， 所以的方程为； （2）（ⅰ）（法1）设，，，， 因为，两式作差得：， 又因为，即，所以， 所以； （法2）由题可知直线斜率存在且不为0， 设：，，，，， 由，得，所以， 所以，， 因为，则，即有，所以； （ⅱ）设，，其中，，， 因为，所以， 两式相乘得：，又因为， 所以， 所以， 令（）， 所以， 令，又因为在区间上单调递增； 所以， 显然在上单调递增，因为，得， 所以，所以（当且仅当，时取等号）， 综上，的最大值为. 35．（2026·广东广州·一模）已知双曲线：（，）的焦点到其渐近线的距离为，点在上． (1)求的方程； (2)点，分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （ⅰ）设，，求的最大值； （ⅱ）设，（），点不在轴上，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）4；（ⅱ） 【分析】（1）由焦点到渐近线的距离求得，再将点代入到双曲线方程即可求解； （2）（i）设出渐近线上的点，由中点坐标和得出的轨迹为椭圆，发现为其焦点，结合椭圆的定义即可求得，再使用基本不等式即可求解；（ⅱ）由及正弦定理，用坐标表示，并使用三角函数恒等变换和椭圆方程消去，得到比值关于的表达式，结合的取值范围即可求解. 【详解】（1）设右焦点，其中一条渐近线方程为，即， 由题意得到的距离， 即，因为点在上， 将代入，得，解得， 即双曲线. （2）（i）由（1）得渐近线方程为，设， 设，则有，即， 则， 所以， 即，整理得， 即的轨迹是椭圆，易得其焦点为，长半轴长为2， 所以是点轨迹的焦点，所以， 则，当且仅当时等号成立. （ⅱ）在中，由正弦定理得， 因为，所以应在轴右侧，即， 且， 所以，设，则， 不妨令，因为在上，且， 所以， 又， 联立，整理得， 而，解得， 设，则， 易得当时，则在上单调递增， 所以，即，因为短半轴长为1，因此， 由整理得， 因为，解得， 因为，代入，所以整理得， 令，则，则，代入， 整理得， 设其中， 易得当时单调递增，则单调递减，单调递增，单调递增， 单调递增，单调递增，最终有在上单调递增， 所以，即. 由于椭圆的对称性，当时结果一致， 综上， 36．（2026·广东·一模）设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最小值； (3)记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． 【答案】(1) (2)9 (3)证明见解析 【分析】（1）依题意列出关于的方程组，求解即得双曲线的标准方程； （2）设直线的方程为与双曲线方程联立，推得，写出的表达式，利用的范围，即可求得的最小值； （3）先证明与边的切点即为点，再证，由此推得点在直线上，再证，结合，且，可得点均在上，即得证. 【详解】（1）不妨设点在第一象限，点在第四象限，离心率① ， 在中，当时，，故，即②  ， 又因③ ，联立① ②③，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）得，当直线的斜率为0时，直线与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合条件； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 由，化简得， 设，则，解得， 则， 因，则，故，即. 故的最小值为9. （3）如图，设与边切于点， 由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得， ，即点与点重合，即与边切于点. 设与边切于点，则， 在中，. 设点，点，则，解得， 即点在直线上，过点作直线的垂线，交直线于点， 其中，， 设点关于直线的对称点为点，所以. 因为点与点，点与点分别关于直线对称， 所以，且， 所以点均在上，且， 所以. 37．（2026·辽宁抚顺·一模）椭圆的焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，当时有． (1)求的值及椭圆的标准方程； (2)已知线段的中点为． （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）若线段的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，为坐标原点，记的面积为的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆定义及余弦定理列式求解. （2）（ⅰ）按是否垂直于轴分类，设出直线方程并与椭圆方程联立求出点坐标，消去参数即得轨迹方程；（ⅱ）由（ⅰ）求出线段中垂线方程并求出点坐标，进而求出，再求出目标式的函数关系，进而求出函数的值域即可. 【详解】（1）由，，得， 由椭圆定义得，在中，， 由余弦定理得， 即，解得，则， 所以，椭圆的标准方程为. （2）（ⅰ）设线段的中点，当直线不垂直于轴时，设其方程为， 由，得，则，， 则，，整理得， 当直线轴时，满足方程， 所以点的轨迹方程为. （ⅱ）依题意，直线不垂直于坐标轴，由（ⅰ）知点， 直线的方程为，即， 则，， ，， ，因此 ，令，函数在上单调递增，值域为， 则，所以的取值范围是. 38．（2026·河北张家口·一模）已知抛物线的焦点F到直线的距离为． (1)求抛物线的方程． (2)点为直线上的一点，过点作的切线，切点分别为． ①问：直线是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． ②若点在抛物线的准线上，切点在第一象限内，存在过点的直线与相交于两点，过点作平行于的直线，分别与直线和直线交于点，若，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）由题意，根据点到直线距离公式计算即可求解； （2）①求得切线方程，由题意在切线方程上可得直线的方程为，由此计算可解；②直线的方程为，联立，可得，设，直线的方程为，可得，设直线的方程为，联立可得，设直线的方程为，联立可得，由此可计算，计算可解. 【详解】（1）由题意可得， 故焦点到直线的距离， 所以，解得或（舍去）； 所以抛物线的方程为； （2）设抛物线在点的切线方程为， 切线与抛物线联立方程组，得， 则， 化简可得，所以， 因为点在抛物线上，则，所以， 所以切线方程为，即， 将代入化简可得， 所以抛物线在点的切线方程为； ①设，因为抛物线， 所以点处的切线方程为，点处的切线为， 设点，由题意可得，点在直线和直线上， 所以， 所以直线过点， 所以直线的方程为，故， 令，解得， 所以直线过定点； ②由题意可得，直线的方程为，联立，解得，所以， 设，直线的方程为， 联立方程，解得， 设直线的方程为， 所以， 所以直线的方程为， 联立方程，解得， 设直线的方程为， 联立方程，消去可得， 由韦达定理可得，， 整理可得， 所以 ， 所以，即. 39．（2026·广东佛山·二模）已知椭圆的左顶点，上顶点． (1)求椭圆的方程和直线的方程； (2)过椭圆上异于的点作轴的垂线交直线于点，延长至点，使，直线交椭圆于点． （i）求证：直线的斜率之和为定值； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，直接写出椭圆及直线方程. （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，进而求出点的坐标，再利用斜率坐标公式计算得证；（ii）由（i）求出点坐标，进而求出三角形面积关系，利用换元法，结合导数求出最大值. 【详解】（1）由椭圆的左顶点，上顶点，得， 所以椭圆的方程为，直线的方程为. （2）（i）直线斜率存在，设其方程为，点 由，得，则， 解得，即点， 直线交直线于点， 由点是线段的中点，得点， 因此直线的斜率，即， 所以直线的斜率之和为定值. （ii）由（i）同理得，， 点到直线的距离， 则的面积， 显然，，令， ，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 当时，，所以面积的最大值为. 40．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，且点. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）①设点、，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线、的斜率之和； ②设的外接圆方程为，分析可知方程与方程为同解方程，可得出关于、、的方程组，解出、，可得出点的坐标，求出直线的方程，当时，求出直线的方程，取点为直线与轴的交点，结合勾股定理可得出结论. 【详解】（1）双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）①设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. ②设的外接圆方程为， 则， 由代入， 可得， 可得， 同理可得， 所以、为关于的方程的两根， 又因为、为关于的方程的两根， 所以方程与方程为同解方程， 所以，解得， 易知点，即点，， 所以直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，即， 直线与轴的交点为，不妨取点，此时， 则， 故在轴上存在定点，使得为定值. 题型25 排列组合27个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 分组分配问题 先按人数分组，再分配到两个社区，注意平均分组需除以组数的阶乘。 2 分组分配问题 先将4人分成3组（2,1,1），再分配到3个地点，注意平均分组的处理。 3 数字排列与相邻问题 先排奇偶相间，再插入相邻数字，注意捆绑后插入位置的特殊性。 4 排列中的顺序与相邻条件 先用捆绑法处理相邻，再用倍缩法处理顺序限制。 5 相邻问题 将相邻元素捆绑视为一个整体，再与其他元素排列。 6 分组分配问题 先将5人分成人数为2,1,1,1的四组，再分配到4个场次。 7 先选后排（空盒问题） 先选空盒，再将4个球分到2个盒子，分两种情况（2,2和1,3）。 8 有限制条件的分组分配 按A公司人数分类讨论（1人或2人），再分配B、C公司。 9 排列中的位置与相邻限制 先排特殊元素“礼”，再用排除法减去“射”和“御”相邻且不满足条件的情况。 10 排列中的位置限制 分C是第1个和C不是第1个且不是最后一个两类讨论。 11 排列中的不相邻与前位限制 先排歌舞节目，再插空排机器人，用排除法去掉前3个全是歌舞的情况。 12 排列中的位置与不相邻限制 先排男生，分甲在两端和甲在中间两类，再让女生插空。 13 相邻问题的综合应用 分恰有3本相邻和4本相邻两类，分别用捆绑法计算。 14 排列中的位置限制 用间接法，先求全排列，再减去春字在两端的排列。 15 有限制条件的分配问题 按A舱人数分类讨论（1人、2人、3人、4人），分别计算分配方法。 16 车票问题 每两个站点之间需要准备2种车票，即排列数。 17 数字排列（无重复） 先确定百位数字（不能为0），再从剩余数字中选2个排列。 18 网格路径问题 用组合数求总路径，减去经过管制点的路径。 19 有限制条件的分配问题 先安排女性去两个不同社区，再安排男性去三个社区，用排除法去掉社区无人的情况。 20 分组分配问题 先按3,1,1和2,2,1两种方式分组，再分配到3个不同的盒子。 21 有限制条件的填数问题 先选2个格子放1，排除同行或同列相邻的情况，再放2，最后放剩余数字。 22 顺序固定与不相邻问题 先排顺序固定的非耐力打卡，再用插空法插入顺序固定的耐力打卡。 23 排列中的位置限制 用间接法，先求所有选择，再减去第一场选“峡谷之巅”的情况。 24 网格路径问题 分类讨论必经点，分步计算路径数。 25 图形填数问题 分析阴影圆的位置关系，按阴影圆中数字的大小分类讨论，结合相邻圆数字大小关系计算。 26 取物顺序问题 对前三个球的取法分类讨论，再分析剩余球的取法顺序。 27 数阵填数问题 先确定特定位置的最大数，再按顺序从剩余数中选择填入。 一、单选题 1．（2026·河北唐山·一模）某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区，每个社区至少一名同学，不同的分配方案有（    ） A．6种 B．12种 C．14种 D．28种 【答案】C 【详解】4名同学按分配到两个社区，有种方法；按分配到两个社区，有种方法， 所以不同的分配方案有（种）. 2．（2026·黑龙江·一模）黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（   ） A．81 B．72 C．36 D．12 【答案】C 【分析】利用排列数与组合数定义计算即可得. 【详解】先从四人中选出两人当成一组，共种分法， 再将三组人进行分配，共种， 故共有种分配方法. 3．（2026·辽宁·模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. A．432 B．257 C．282 D．504 【答案】D 【分析】利用捆绑法和插空法来求个数即可. 【详解】第一步：把1、2、3、4、7、8奇偶数相间而排，共有种， 第二步：再把5、6两个数字一起插空，由于每一个空的旁边都是一奇一偶， 所以插入后奇数旁边放6，偶数旁边放5，则这7个空共有种排法， 根据分步计数乘法原理可得：这样的八位数有个， 故选：D. 4．（2026·安徽合肥·一模）国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（   ） A．18种 B．24种 C．48种 D．60种 【答案】B 【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出. 【详解】若与相邻，则需将其捆绑并排列，再将四个元素排列，共有种， 因为在之前和在之后各占一半，故符合题意的不同的游览顺序共有种. 故选：B 5．（2026·新疆·模拟预测）有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 【答案】B 【详解】将甲、乙视为一个“整体”（捆绑），甲、乙内部有2种排法（甲左乙右或乙左甲右）， 把“甲乙整体”与另外3辆车看成4个元素一起排列，有种排法， 所以总的停放方法是种. 6．（2026·山东烟台·一模）某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（   ） A．180 B．240 C．320 D．360 【答案】B 【分析】先求将名同学分成人数分别为的四组的方法数，再求将组同学分派到4个场次的方法数，根据分步乘法计数原理求结论. 【详解】符合要求的选派方法可分为两步完成， 第一步，将名同学分成人数分别为的四组，该步有种完成方法， 第二步，将组同学分派到4个场次，此步有种完成方法， 由分步乘法计数原理可得符合要求的派法种数为 7．（2026·山东聊城·模拟预测）将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（       ） A．72 B．78 C．84 D．96 【答案】C 【分析】利用先选后排的方法进行解题即可. 【详解】第一步：选择两个空盒子，有种方法； 第二步：4个不同的小球放入2个不同的盒子中，有两种方式， 第一种方式，两个盒子都有2个不同的小球，不同的方式有种， 第二种方式，两个盒子中一个盒子有1个小球，另一个盒子有3个不同的小球，所以不同的方法有， 所以恰有两个盒子为空的放法种数为. 故选：C 8．（2026·贵州黔东南·模拟预测）将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（   ） A．120种 B．150种 C．210种 D．300种 【答案】C 【分析】分安排1名同学去A公司实习和安排2名同学去A公司实习，两类情况讨论求解即可. 【详解】安排1名同学去A公司实习，安排2名去B公司实习，3名去C公司实习， 则有种不同的安排方法； 安排1名同学去A公司实习，安排3名去B公司实习，2名去C公司实习， 则有种不同的安排方法； 安排2名同学去A公司实习，有种不同的安排方法. 故满足条件的不同安排方法有种. 9．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有（    ）． A．408种 B．336种 C．240种 D．120种 【答案】B 【详解】“礼”不在第一场也不在最后一场，先为“礼”选择中间4个位置中的1个，有 种方法；再将剩余5个元素全排列，有 种方法，共 种， 先将“射”和“御”捆绑，内部有 种排法；将此捆绑体与其余4个元素（含“礼”）排列，要求“礼”不在首尾，排法有 种， 故“礼”不在第一场也不在最后一场，且“射”和“御”的场次相邻的排法共 种， 故不同的排法共有种． 10．（2026·山东淄博·一模）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 【答案】D 【分析】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论，结合排列数和组合数的计算公式，以及分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论： 当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 11．（2026·浙江·一模）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 【答案】C 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 12．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】B 【详解】第一类：先排3名男生，甲在两端的排序有种，再2名女生插空有种； 第二类：先排3名男生，甲在中间的排序有种，再2名女生插空有种， 故男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（种）. 13．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 【答案】D 【分析】利用计数原理以及相邻问题捆绑法可得答案. 【详解】四大名著恰有3本相邻共有种插法； 4本相邻时共有种插法， 所以不同的插法共有600种， 故选：D. 14．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 【答案】B 【分析】根据题意，求得5个窗花的全排列，再求得春字在两端的种数，结合间接法，即可求解. 【详解】把5个窗花全排列有种情况，其中春字在两端的情况有种， 故春字不在两端的贴法有（种）． 15．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 【答案】D 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素 或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 二、填空题 16．（2026·广东梅州·一模）已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备______种不同的车票. 【答案】30 【详解】每2个站点之间都需要准备2种车票，从6个站点中任取2个站点，共种. 17．（25-26高二上·江西上饶·月考）从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答） 【答案】18 【分析】先确定百位数字，再从剩余3个数字中选2个分别作为十位和个位，最后用乘法计算总和即可. 【详解】根据题意，该三位数的百位数字不能为0，所以只能从1，2，3中任取1个数字，有种选择； 而十位数字和个位数字可从剩余的3个数字中任选2个即可，有种选择， 所以从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为种选择. 故答案为：18. 18．（2026·河北·模拟预测）如图，某城市A，B两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口，小林要从出发到处，若每次只能向右或向上走一个路口，P，Q两处实行交通管制，不准通行，则从到的走法共有____________种．（用数字作答） 【答案】24 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理，以及组合与组合数的概念和计算方法，列出所有可能的情况，计算结果即可. 【详解】由题意可知，从出发到处，需要向上4次，向右4次，所以不同的情况有种， 从出发到处，需要向上3次，向右1次，从出发到处，需要向上1次，向右3次， 则从出发经过到处，共有不同情况种， 从出发到处，需要向上1次，向右2次，从出发到处，需要向上3次，向右2次， 则从出发经过到处，共有不同情况种， 则从出发不经过到达处，共有不同情况种. 故答案为：24. 19．（2026·河北邯郸·一模）某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同社区的方案共有______种． 【答案】390 【详解】第一步，安排女性普法员，分别去两个社区，有种安排方案； 第二步，安排4名男性普法员去三个社区，总共有种情况， 其中一个社区没人，即都在女性普法员所在社区，共有种情况， 因为社区至少有1名普法员，所以男性普法员的安排方案有种； 由分步乘法计数原理可知，共有种不同的方案. 20．（2026·湖北孝感·二模）2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 【答案】150 【分析】先按和两种方式分组，再排列即可. 【详解】把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种： 按分组：先从个中选个为一组，剩下的个各成一组， 组数；按分组：先从个中选个为一组， 剩下的个中选个为一组，最后个为一组(消除重复分组)， 组数，分配到3个不同的盒内，， 故装法总数. 21．（2026·宁夏银川·一模）在如图所示的九宫格中，每个格子用1，2，3，4，5，6中的一个数字填入，要求1用两次，2用三次，其余数字各用一次，且当两个1在同一行或同一列时均不相邻，则不同的填法共有______种. 【答案】20160 【详解】从9个格子中选2个放入数字1的填法：， 两个1在同一行或同一列且相邻的填法：， 则从9个格子中选2个放入数字1且两个1在同一行或同一列时均不相邻的填法：， 从剩下7个格子中选3个放入数字2的填法：， 剩下4个格子3，4，5，6，共有种填法， 故满足题意的填法有种. 22．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种. 【答案】150 【分析】由题意可知先排非耐力打卡，再利用插空法排耐力打卡，即可得答案. 【详解】第一步：排非耐力打卡：非耐力共有次打卡，同类顺序固定， 只需从5个位置中选2个放柔韧打卡，剩余3个放力量打卡， 放法数为：； 第二步：插入耐力打卡：5个排好的打卡共形成6个空隙（含两端）， 要选4个空隙各插入1次耐力打卡（保证不相邻），且耐力顺序固定， 选法数为：， 第三步：根据分步乘法计数原理，总顺序数为：. 23．（2026·湖南·模拟预测）某电竞战队从张不同地图中选择3张，按顺序用于场比赛，且每张地图最多使用一次．若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有__________种． 【答案】 【详解】考虑所有情况为种， 如果第一场选择“峡谷之巅”共有种， 那么第一场不选择“峡谷之巅”，则有种选法. 24．（2026·重庆·模拟预测）小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格，则从起点到终点共有______种不同的走法. 【答案】29 【分析】利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理来求解即可. 【详解】设：列从左到右为，行从下到上为， 起点()，简记为，终点()，简记为 如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格， 则小明必经过和， 当小明经过到达时，按以下步骤： 从到，这三步中有一步向右，两步向上，故有种走法， 下面又分两类情形到达， 第1类是从到，只有2种走法，然后再向右走到， 而从到，这三步中有一步向上，两步向右，故有种走法， 所以第1类从到的走法有种； 第2类是从到，这三步中有一步向右，两步向上，故有种走法， 然后从到，只能全向右走，只有1种走法， 所以第2类从到的走法有种； 所以小明经过到达的走法有种； 当小明经过到达时，按以下步骤： 从到，只能全向右走，只有1种走法， 再从到，只能全向上走，也是只有1种走法， 最后从到，只有2种走法， 所以小明经过到达的走法有种； 故小明从起点到终点不同的走法共有种. 25．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种. 【答案】200 【详解】 将有阴影的圆分别标为， 由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字， 当阴影的圆中的数字为时，则将填在中有种方法，接着剩下的个数字填到圆中有种方法，所以共有种方法； 当阴影的圆中的数字为时，若将填到，则接着安排有种方法，与相邻的两个圆只能从中选两个有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有种方法； 若将填到或，有种方法，则接着安排有种方法，与相邻的三个圆只能填有种方法，剩下一个数有种填法，所以共有种方法； 当阴影的圆中的数字为时，则只能填到，则接着安排有种方法，与相邻的两个圆只能安排有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有种方法； 所以总共有种填法. 故答案为： 26．（2025·江西南昌·二模）某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有__________种. 【答案】 【分析】对小球进行编号，然后对前三个球的取法进行分类讨论，进而对后续小球的摸球顺序进行讨论，结合分步乘法与分类加法计数原理可得结果. 【详解】将这个小球编号如下图所示： 分以下两种情况讨论： 第一种，第一步，先取、、号球，第二步，再取、、号球依次取个球， 最后一步，从剩余两球依次摸取，此时不同的抽法种数为种； 第二种，将、、视为三个整体， 前三个球从其中一个整体和每支不与号球相邻的小球中依次摸取，有种， 以、、为例，可依次为、、，共种， 剩余、、、号球，先从、号球中摸一个，有种情况， 比如先取号球，剩余三个相邻的小球，接下来从、号球中取一个，有种情况， 最后剩余两球摸取的先后顺序任意， 此时，不同的取法种数为. 综上所述，不同的取法种数为种. 故答案为：. 27．（2026·湖南湘潭·二模）将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答） 【答案】1080 【分析】由计数原理分析求解即可. 【详解】从9个数中任取2个数填入和的位置，有种方法． 因为，， 所以在剩下的7个数中，最大的数只能填入的位置， 再从剩下的6个数字中选择4个数字填入，，，的位置，且这4个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，，，的位置， 最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，的位置， 故填好，，，，，，共有种方法． 因此，按照要求填好该方格共有种方法． 故答案为：1080. 题型26 二项式定理17个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 求展开式指定项的系数 利用二项展开式的通项公式，代入项数求系数。 2 二项式系数相等求指数 利用二项式系数的性质，由 得 。 3 求展开式指定项的系数 写出通项公式，令 的指数为2，求出 后代入求系数。 4 存在性条件求指数 写出通项公式，令 的指数为整数，检验 的可能取值。 5 已知常数项求参数 写出通项公式，令 的指数为0，代入常数项列方程求解。 6 二项式系数最大项求指数 分 为偶数和奇数讨论，根据第7项二项式系数最大确定 的范围。 7 多项式乘法求指定项系数 分别写出二项式展开的通项，再与 相乘，合并同类项。 8 多项式乘法求指定项系数 将多项式拆分为两部分，分别求含 的项，再合并系数。 9 二项式系数最大项与指定项系数 由仅有第4项二项式系数最大得 ，再通项求 的系数。 10 二项式系数最大与有理项概率 由第6项二项式系数最大得 ，写出通项，找出有理项个数，再计算概率。 11 赋值法求系数和 分别令 和 ，相减可得奇数项系数之和。 12 换元法求指定项系数 令 ，转化为关于 的二项式，求 的系数。 13 赋值法求系数和（多选题） 令 求各项系数和；令 求奇偶项系数差；求导后赋值求相关和。 14 赋值法求系数和（多选题） 由最高次项系数确定 ；利用通项求 ；令 和 求相关和。 15 赋值法与二项式系数性质（多选题） 令 求系数和；利用通项求指定项系数；令 和 求奇偶项系数差；利用二项式系数性质求最大值。 16 多项式乘法求指定项系数 将多项式看作5个因式相乘，分类讨论选取 和 的个数。 17 二项式系数和与常数项 由二项式系数和求 ，再写通项，令指数为0求常数项。 一、单选题 1．（2026·江西·模拟预测）二项式的展开式中，第四项的系数为（   ） A． B． C．30 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出第四项即可. 【详解】二项式的展开式中，第四项为， 所以所求系数为. 故选：A 2．（2026·山西大同·一模）若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【详解】的展开式中第3项与第6项的二项式系数分别为，， 由题意得，所以. 3．（2026·广东·一模）在的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．4 C． D．16 【答案】D 【详解】对于的展开式， 含的项为， 故该项的系数为16. 4．（2026·江西·一模）若的展开式中存在含的项，则可能等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．19 【答案】C 【分析】利用二项式定理的通项公式得，令，代入检验即可求解. 【详解】由二项式定理得，的展开式通项为， ，令， 当时，，故A错误；当时，，故B错误； 当时，，故C正确；当时，，故D错误. 故选：C. 5．（2026·陕西榆林·一模）若的展开式中常数项为180，则a的值为（   ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式，令的指数为0，求出，再由常数项为解得. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得，所以，即，， 又，故． 6．（2026·陕西·模拟预测）若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】分为偶数和为奇数两种情况，分析二项式系数最大的项，结合题意求出的可能值. 【详解】当为偶数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项， 令，得； 当为奇数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项和第项， 令，得； 令，得. 所以结合选项可知的值不可能是. 7．（2026·陕西·模拟预测）展开式中的系数为（    ） A．56 B．42 C．84 D．120 【答案】B 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求出含的项即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为42. 故选：B 8．（2025高三·全国·专题练习）的展开式中的系数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 【答案】D 【分析】根据二项展开式的通项公式及多项式乘法，计算即可. 【详解】的通项公式为， 且， 当时，； 当时，， 故的系数为． 故选：D 9．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【答案】A 【分析】依题意可确定，再结合通项公式即可求解. 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. 10．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式系数的性质可知，再由二项展开式的通项求出有理项的个数，即可求解. 【详解】在的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则， 可得的二项展开式的通项， 当为整数时，该项为有理项，因为且， 所以当时，分别为是整数，即有理项有3项，可得. 故选：A. 11．（2026·福建龙岩·一模）设，则（    ） A．1 B．2 C．31 D．32 【答案】C 【分析】利用赋值法即可求解系数和. 【详解】令得：， 令得：， 所以. 12．（2026·安徽马鞍山·一模）若，则（    ） A．-56 B．-28 C．28 D．56 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用换元法及二项式定理求出指定项的系数. 【详解】令，则原等式化为， 所以. 故选：C 二、多选题 13．（2026·广东广州·模拟预测）设，则（    ） A． B． C．的展开式中含项的系数为 D． 【答案】ABD 【分析】应用二项式展开式通项公式计算判断A，B，C，再应用赋值法计算判断D. 【详解】对于，故，故A正确； 对于，故B正确； 对于C，的展开式中含项的系数为， 而，显然二者不相等，故C错误； 对于， 所以，即，故D正确． 14．（2026·山东·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A：根据展开式最高次项的次数进行求解即可；B：利用二项式的通项公式，结合乘法的运算性质进行求解即可；C：利用赋值法进行求解即可；D：利用导数的运算性质，结合赋值法进行求解即可. 【详解】A：因为， 所以多项式最高次项的次数为， 所以，因此本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法不正确； C：在中， 令，得， 令，得， 所以本选项说法正确； D：对两边同时求导， 得， 令，得 ，所以本选项说法不正确. 故选：AC 15．（2026·重庆·一模）已知 ，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．中，与最大 【答案】ACD 【分析】令可得，根据二项式定理确定展开式中的表达式，根据二项式系数的性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，令可得，故A正确； 对于B，令可得， 所以， 设展开式的通项为， 取，可得，所以，故B错误； 对于C，令可得①， 令可得②， 由①②可得，故C正确； 对于D，由选项B可知，， 若最大，则 所以，， 解得，则，故或， 又，所以中，与最大，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 16．（2026·山东聊城·一模）的展开式中的系数是____________． 【答案】 【详解】表示5个因式的乘积， 的项可以是：从5个因式中选1个提供，1个提供，3个提供1， 此时的系数为， 的项也可以是：从5个因式中选3个提供，0个提供，2个提供1， 此时的系数为， 所以展开式中的系数为. 17．（25-26高三上·天津蓟州·期末）的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 【答案】 【分析】各项的二项式系数之和为64，可得，得到，再利用通项公式即可求常数项. 【详解】因为各项的二项式系数和为64，所以 ，所以, 所以的， 令，解得，代入通项得常数项. 故答案为：. 题型27 概率统计小题52个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 统计量变化判断 分别计算原数据和新数据的平均数、中位数、众数、方差，比较是否变化。 2 百分位数计算 根据百分位数公式计算位置，若为整数则取该位置数据，若为小数则取相邻两数的平均数，列方程求解参数。 3 回归直线过样本中心 计算样本中心点坐标，代入回归直线方程，解出参数。 4 回归直线过样本中心 计算样本中心点坐标，代入回归直线方程，解出未知数据。 5 折线图信息提取 观察折线图的变化趋势、差值、峰值等，判断各选项的结论是否可直接从图中得出。 6 线性变换后的方差 利用方差性质 ，由原数据方差求新数据方差。 7 数据错误对方差的影响 设原数据平均数为 ，由方差公式分别表示正确数据和错误数据的方差，作差求解。 8 二次函数最值与样本数据 将函数展开，代入已知的样本和与平方和，转化为关于 的二次函数，利用二次函数性质求最小值。 9 全概率公式求总体优秀率 将全校优秀率表示为各年级优秀率乘以人数比例的加权和，利用全概率公式计算。 10 古典概型概率计算 列举所有可能结果（总事件数），再计算事件发生的结果数，求比值。 11 条件概率 先求甲被派去B服务站的所有分配方法数，再求甲、乙同去B服务站的方法数，比值即为条件概率。 12 全概率公式 将做对概率表示为选择各难度题目概率乘以对应正确率之和。 13 条件概率与独立事件 设 ，利用条件概率公式和独立事件性质列方程，解出 。 14 条件概率与并事件 利用条件概率公式 ，结合并事件概率公式求解。 15 比赛获胜概率与奖金分配 分2局结束和3局结束两种情况计算甲获胜概率，按概率比例分配奖金。 16 对立事件与充分必要条件 理解对立事件定义，通过举例验证充分性和必要性。 17 随机变量期望 列出所有出牌组合（共6种），计算甲每轮得分，求得分分布，再计算期望。 18 正态分布概率计算 利用正态分布对称性，由已知概率推导目标区间概率。 19 二项分布与正态分布综合 由正态分布对称性得均值，由二项分布方差公式求 ，再代入条件求概率。 20 二项分布与线性变换 设正面次数为 ，则总得分 ，利用二项分布期望方差求 的期望方差。 21 概率递推 分别计算经过3秒后处于状态1和状态2的路径概率，相加得占比。 22 线性变换后的统计量（多选题） 极差变为原来的2倍，平均数变为原来的2倍加1，方差变为原来的4倍，第80百分位数不能确定。 23 去掉极值后的统计量（多选题） 极差变小，平均数可能不变，方差变小，百分位数可能改变，通过计算验证。 24 折线图分析（多选题） 计算各月变化量判断A；求和求平均判断B；分别计算前5个月和后5个月的方差比较；排序后求第70百分位数。 25 条形图和扇形图分析（多选题） 根据比例计算各年各路线人数，比较大小，计算极差和增长率。 26 线性变换后的统计量（多选题） 平均数变为原来的3倍加1，中位数变为原来的3倍加1，方差变为原来的9倍，极差变为原来的3倍。 27 两组数据合并后的统计量（多选题） 利用已知平均数和方差，通过公式推导合并后的平均数和方差。 28 去掉极值后的统计量（多选题） 中位数不变；极差可能不变也可能变小；方差可能变小；通过具体数据验证。 29 统计图表分析（多选题） 根据累计收入和同比增长率计算每月收入，比较大小，判断各选项。 30 添加数据后的统计量变化（多选题） 通过构造具体数据验证平均数、中位数、方差、极差的变化可能性。 31 独立性检验（多选题） 列出列联表，计算卡方值，与临界值比较，判断是否独立。 32 独立性检验与条件概率（多选题） 根据比例计算人数，列出列联表，计算卡方值，用条件概率公式求概率。 33 互斥事件与包含关系（多选题） 利用互斥事件概率加法公式和包含事件概率性质判断。 34 贝叶斯定理（多选题） 利用全概率公式和贝叶斯公式计算条件概率。 35 随机变量期望（多选题） 分类讨论从乙袋取球的情况，计算从甲袋取到红球个数的分布列和期望。 36 条件概率与独立事件（多选题） 利用条件概率公式和独立事件概率性质推导。 37 条件概率与和事件（多选题） 利用条件概率公式和概率加法公式计算。 38 等比数列与概率（多选题） 先求等比数列通项，判断各项正负，再根据前 项中正数个数计算概率。 39 正态分布性质（多选题） 利用正态分布的对称性、概率密度函数性质判断。 40 马尔可夫链与条件概率（多选题） 利用全概率公式和条件概率公式计算。 41 全概率公式与二项分布（多选题） 全概率公式求答对概率；条件概率公式；二项分布概率公式和期望公式。 42 条件概率与全概率公式（多选题） 利用条件概率和全概率公式推导各选项。 43 递推概率（多选题） 分析试验过程，建立概率递推关系，判断各选项。 44 分层抽样总体均值与方差 利用分层抽样总体均值公式 ，总体方差公式 。 45 分层抽样总体均值 计算加权平均数。 46 古典概型概率 列举所有取球组合，找出互质的数对，求概率。 47 比赛得分概率 先求每轮甲得1分、0分、-1分的概率，再分析三轮总分1分的情况，用二项分布或分类计数。 48 随机变量最大值期望 分析 （抽到数字2、0、6的次数的最大值）的可能取值，计算各概率，再求期望。 49 条件概率（马尔可夫链） 利用全概率公式求第3天选A的概率，再求第2天选A且第3天选A的概率，用条件概率公式。 50 全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式求合格品概率，贝叶斯公式求甲厂生产条件下是合格品的概率。 51 概率递推 分析操作过程，计算4次和5次操作后全红的概率，注意红球和黑球替换的路径。 52 条件概率与期望 先求系统正常工作概率，再求在正常工作条件下损坏元件个数的分布，计算期望。 一、单选题 1．（2026·四川内江·二模）现有一组数据：1，1，3，7，若在这组数据中添加一个数据3，则不会发生变化的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】A 【详解】对于A：原数据平均数为，添加数据3后平均数为，故A正确； 对于B：原数据中位数为，添加数据3后中位数为3，故B错误； 对于C：原数据众数为1，添加数据3后众数为1和3，故C错误； 对于D：原数据方差为，添加数据3后方差为，故D错误. 2．（2026·河北保定·一模）已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，，m，，，，，若该组数据的分位数是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据百分位数的定义计算可得. 【详解】因为这组数据共个，所以，因此分位数为第6个数据和第7个数据的平均数， 因为该组数据的分位数为，所以，解得. 3．（2026·河北张家口·一模）通过下表5组数据得到的经验回归方程为，则的值为（    ） 2 3 4 5 6 0.67 0.56 0.47 0.39 0.31 A． B．0.08 C． D．0.09 【答案】C 【分析】求解，利用经验回归直线经过样本中心点，建立关于的方程并求解即可. 【详解】根据题意可得，， 由，可得， 解得：. 4．（2026·山东青岛·一模）已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（   ） 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 2.6 4.0 5.1 5.4 A．2.5 B．2.7 C．2.9 D．3.1 【答案】C 【分析】先求出样本中心点坐标，代入回归直线方程，解方程即可. 【详解】由题意，可得，， 所以样本点的中心坐标为， 代入回归直线方程，可得， 解方程得. 5．（2026·湖南·模拟预测）国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（   ） A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B．这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 【答案】C 【详解】由图可知：实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值，A正确； 对于B，差异平均值为，B正确； 由图可知两折线的趋势基本一致，且误差较小，故精确度高，D正确； 对于C，没有足够的理由说明预测变化慢于实际变化，C错误． 6．（2026·广东·一模）已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因的平均数为1，方差为2，则， 于是数据的平均数为， 又，则， 于是数据的方差为： . 7．（2026·河北邯郸·一模）已知一组数据的方差为，甲同学将这组数据错看成，并求得错误数据的方差为，则正确数据的方差（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 【答案】C 【分析】利用方差公式，将正确数据和错误数据的方差的表达式相减，即可求得答案. 【详解】由于，故正确数据和错误数据的平均数相等，记为， 则， ， 则， 则． 8．（2026·湖北宜昌·二模）有一组样本数据，其中．已知，设函数．则的最小值为（    ） A．19 B．100 C．190 D．200 【答案】C 【分析】将所求函数式展开，代入已知条件，转化成二次函数求最小值问题. 【详解】因为， 而，则得. 所以当时，. 9．（24-25高二下·湖北·期中）某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是， 其中高一、高二、高三年级人数比为， 根据全概率公式可得：全校“优秀率”为. 故选：C. 10．（2026·陕西榆林·模拟预测）甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】总事件数为，乙获胜的事件数是， 则乙获胜的概率是． 11．（2026·山东东营·一模）在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出甲被安排到服务站的方法数，再求出甲，乙被派去同一个服务站的方法数，然后求其概率即可. 【详解】先求甲被派去服务站的方法数； 第一种情况：甲一个人去服务站，则有种； 第二种情况：甲和其中一人去服务站，则有种； 故甲被派去服务站的方法数共种； 再求甲乙被派去同一个服务站的方法数：有种； 故概率为. 12．（2026·四川德阳·二模）某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小明选道类试题为事件， 小明选道类试题为事件，小明选道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 故，故C正确. 13．（2026·广东佛山·二模）设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 由题意，在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是， 则， 即，解得，即. 14．（2026·山东临沂·一模）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式以及并事件的性质即可求解. 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因，则. 15．（2026·广东梅州·一模）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 【答案】C 【详解】甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局. 2局结束，即甲连赢2局，概率为； 3局结束，即前2局甲、乙各赢1局，第3局甲赢，概率为， 所以甲赢得比赛的总概率为. 同理可求得乙赢得比赛的总概率为. 所以甲分得奖金为元. 16．（2026·广东汕头·模拟预测）“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案. 【详解】投掷一枚硬币3次，满足,但不一定是对立事件， 如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”， 则，，满足，但不是对立事件. 若事件A与事件B是对立事件，则为必然事件，再由概率的加法公式得； 所以“”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件； 故选：D 17．（2026·福建福州·模拟预测）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】设甲总得分为，则的可能取值为， 在不考虑出牌顺序的前提下，甲、乙两人出牌共有种， 第一行为甲出牌，其余为乙出牌，如下表， 甲得分 2 3 5 0分 4 6 10 2分 4 10 6 1分 6 4 10 2分 6 10 4 2分 10 4 6 1分 10 6 4 则， 则. 18．（2026·内蒙古包头·模拟预测）某厂生产了一批固态电池，已知该批次固态电池的“循环寿命”（单位：千次）服从正态分布，且．现从该批固态电池中随机抽取1组，则“循环寿命”在区间的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， 则. 19．（2026·山东德州·一模）已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】正态分布关于均值对称，又， 可得，所以，又， 所以， 由此可得，解得． 20．（2026·湖北武汉·模拟预测）连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为正面向上的次数，则， 总得分, 由于，， 所以 ，所以D正确. 21．（2026·江苏·一模）科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算经过3秒后处于状态1和状态2的粒子的概率，然后将这两个概率相加，得到处于状态1和状态2的粒子数目占总粒子数的比例. 【详解】设经过3秒处于状态1的概率为，粒子要始终停留在状态 1，需连续3秒都保持状态 1，根据独立事件概率公式：； 设经过3秒处于状态2的概率为， 情况一:第1秒从状态1变为状态2，第2秒和第3秒都保持状态2不变，概率为； 情况二:第1秒保持状态1不变，第2秒从状态1变为状态2，第3秒保持状态2不变，概率为； 情况三:第1秒和第2秒保持状态1不变，第3秒从状态1变为状态2，概率为； 将上述三种情况的概率相加，得到经过3秒后处于状态2的粒子的概率为， 则经过3秒后处于状态1和状态2的粒子数目占总粒子数的比例为将经过3秒后处于状态1和状态2的粒子的概率相加，可得. 二、多选题 22．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）一组数据的极差为4，平均数为3，方差为2，若，则（    ） A．的第80百分位数为 B．的极差为8 C．的平均数为7 D．的方差为4 【答案】BC 【详解】数据的大小不确定，所以第80百分位数不能确定，故A错误； 数据的极差为4，即. 由，可知，， ，故B正确； 由数据的平均数为3，，得数据的平均数为，故C正确； 由数据的方差为，由，得数据,的方差为，故D错误. 23．（2026·山西晋中·模拟预测）在一次机器人大赛中，7位评委给某机器人的打分（单位：分）为，则下列说法正确的有（    ） A．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的极差不变 B．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的平均数不变 C．去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的方差会变小 D．这组数据的分位数为93 【答案】BC 【详解】对于A，原极差：；去掉最低分、最高分后， 剩余数据为，极差为，极差改变，故A错误； 对于B，原数据总和：，原平均数， 去掉两端后总和为，平均数，平均数不变，故B正确； 对于C，方差衡量数据波动程度，去掉了离平均数（）最远的两个数据和，剩余数据波动更小，因此方差变小，故C正确； 对于D，计算分位数：由，向上取整得分位数位置为第位， 第位数据是，不是，故D错误. 24．（2026·河北·一模）某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（    ） A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份 B．这10个月营业额的平均数为32.5万元 C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D．这10个月营业额数据的第70百分位数为43 【答案】AC 【分析】对A ，计算相邻月份营业额的变化量，找出下降幅度最大的区间判断；对 B ，将 10 个月的营业额数据求和，再除以 10 得到平均数，与 32.5 万元对比；对 C ，分别计算前 5 个月和后 5 个月营业额的方差，比较两者大小；对 D ，将数据排序后，根据百分位数公式计算第 70 百分位数进行判断. 【详解】对于A：由图可知二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元， 六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元， 十月份比九月份减少4万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A正确； 对于B：由，即这10个月的营业额的平均数为万元，B错误； 对于C：前5个月的平均数， 方差； 后5个月的平均数， 方差 因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确； 对于D：将10个数据从小到大排序： 因为，所以第百分位数取第7项和第8项的平均数，D错误. 故选：AC. 25．（2026·辽宁辽阳·一模）某市10公里慢跑自2020年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加.下图分别为该市2020年10公里慢跑参与人数的条形统计图（图1）、2025年10公里慢跑参与人数的扇形统计图（图2），已知2025年一号线的参与人数是2020年一号线参与人数的1.5倍，则（    ） A．2025年该市10公里慢跑总的参与人数是6万 B．2025年五号线的参与人数超过了2020年二号线与三号线的参与人数总和 C．2020年，五条路线对应的参与人数的极差是11千 D．2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线 【答案】ACD 【分析】根据直方图、扇形图分析、年各路线对应慢跑人数，结合各项描述、极差的概念判断各项的正误. 【详解】由图及已知，年一号线参与人数为千人， 所以年参加10公里慢跑人数为千人，即6万人，A对， 所以年五号线的参与人数为千人， 且年二号线、三号线的参与人数总和为千人，显然B错， 年五条路线参与人数的极差为千人，C对， 由图及上述分析，年一号到五号线的人数依次为千人， 而年一号到五号线的人数依次为千人， 2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率依次为： ，，，，， 所以2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线，D对. 故选：ACD 26．（2026·四川成都·二模）已知数据的平均数为M，中位数为N，方差为P，极差为Q，设，得到新数据，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（    ） A．平均数是3M B．中位数是 C．方差是9P D．极差是 【答案】BC 【分析】根据题意，结合数据的平均数、中位数、方差和极差的定义与计算方法，结合，逐项求解判断，即可得到答案. 【详解】对于A，由数据的平均数为，可得， 新数据的平均数为 ，所以A错误； 对于B，由数据的中位数为， 将新数据从小到大排序，因为，所以新数据的排序和原数据的排序相同， 所以新数据的中位数为，所以B正确； 对于C，由数据的方差为， 设新数据的方差为，因为新数据满足，可得，所以C正确； 对于D，由原数据的极差为，可得， 因为新数据满足，则新数据的极差为，所以D错误. 27．（2026·山东聊城·一模）已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（   ） A．第一组数据的平均数为4 B．第二组数据的方差为3 C．将两组数据合并后数据的平均数是9 D．将两组数据合并后数据的方差是30 【答案】ACD 【详解】设第一组样本数据，，…，的平均数为，方差为， 则第二组样本数据，，…，的平均数为，方差为， 由题意知，， 则有，解得第一组的平均数为，故选项A正确； 第二组的方差为，故选项B错误； 将两组数据合并后数据的平均数是，故选项C正确； 第一组样本数据的方差， 即， 即， 即， ， ， 则两组数据合并后数据的方差是 ， ， ， 则两组数据合并后数据的方差 ，故选项D正确. 28．（2026·吉林白城·一模）有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由排序确定中位数不变，通过分析极差可以为4，最后运用方差的公式寻求前后数据的方差关系进而得到结论. 【详解】对于A，令，原中位数，将最大最小去掉后，，此时中位数，所以.故A正确. 对于B，，故B错误. 对于C，因为原数据的平均值为4，所以，去掉，，新的平均值为. 又 所以，因此，故C正确. 对于D，由上述计算，故D正确. 29．（2026·安徽安庆·一模）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【答案】CD 【详解】对于A，由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元）， 4月的地方一般公共预算收入为（亿元），故A错误； 对于B，8月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），故B错误； 对于C，由图表可知，2025年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元）， 而2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），比2025年9月少，故C正确； 对于D，由C选项可知，2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为（亿元），故D正确． 30．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）有一组互不相等的样本数据，现添加一个新的数据，得到新的一组数据，则新数据与原数据相比，下列情况可能发生的是（   ） A．若平均数不变，但极差变大 B．若中位数不变，但平均数变小 C．若平均数不变，但方差变大 D．若中位数不变，但方差变小 【答案】BD 【分析】根据题意，设原来数据中，平均数为，方差为，结合中位数，平均数和方差的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】不妨设原来数据中，平均数为，方差为， 对于A，若平均数不变，则，因为， 所以添加后极差仍然是，故A错误； 对于B，若中位数不变，则，只要， 新数据的平均数就比原来小，故B正确； 对于C，原来的方差，若平均数不变，则， 新的方差， 即平均数不变时，方差一定变小，故C错误； 对于D，例如，取原始数据为，可得原始数据的中位数为，方差为， 添加一个新数据，可得新数据的中位数仍为，此时新数据的方差为， 因为，方差变小，所以D正确. 31．（2026·重庆·一模）（多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲 15 52 乙 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得．则下列说法正确的是：（    ） A．以频率估计概率，有 B．以频率估计概率，有 C．若取，可以认为疗效与疗法独立 D．若取，可以认为疗效与疗法独立 【答案】ABD 【分析】先由题设求出表格中各行各列总数，再由古典概型即可计算求解判断AB；再由独立性检验思想即可分析判断CD. 【详解】由题设求出表格 疗法 疗效 总数 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 总数 21 115 136 以频率估计概率，有，故A正确； 以频率估计概率，有，故B正确； 零假设：认为疗效与疗法独立，由题且， 所以若取小概率值，则零假设不成立，即不可以认为疗效与疗法独立； 若取小概率值，则没有充分的证据推翻零假设，故可以认为疗效与疗法独立，故C错误，D正确. 故选：ABD 32．（2026·广东梅州·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（    ） 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A．在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B．在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C．根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D．从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4 【答案】BCD 【分析】A、B，根据统计图所给比例，结合抽样人数计算相应人数判断对错；C，列出列联表，再用公式计算，与临界值比较判断购车类型与地域是否有关；D：根据条件概率公式计算已知为新能源车主条件下来自甲地的概率. 【详解】A：甲地购买燃油车人数为，购买新能源车人数为， 故购买燃油车的人数比新能源车的多人，A错误. B：乙地购买新能源车比例为，故用分层随机抽样抽取20人时，新能源车主有人，B正确. C：列出列联表： 甲地 乙地 总计 燃油车 120 80 200 新能源车 80 120 200 总计 200 200 400 则. 小概率值时，. 因为，所以根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关，C正确. D：所调查的新能源车主共有人，其中甲地80人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为，D正确. 33．（2025高三·全国·专题练习）已知随机事件满足，则（    ） A．若事件互斥，则 B．若，则 C．若，则 D．若事件互斥，则 【答案】AC 【分析】利用互斥事件的定义及性质判断AD；利用包含事件的性质求解判断BC. 【详解】对于A选项，因为事件互斥，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，因为，所以，故C正确； 对于D选项，事件与事件是互斥事件，则为必然事件，所以，故D错误． 故选：AC． 34．（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】ACD 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 35．（2026·江苏·一模）甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分别求出从乙袋子中取出2个红球、2个白球和1个红球和1个白球的概率，分析X的可能取值，求出各个概率，可判断A、B的正误，代入期望公式，可判断C、D的正误. 【详解】设从乙袋子中取出2个红球为事件A，则， 从乙袋子中取出2个白球为事件B，则， 从乙袋子中取出1个红球和1个白球为事件C，则， 由题意，X的可能取值为0和1， 则 ，故A错误，B正确； 所以，故C正确，D错误. 36．（2026·重庆·模拟预测）已知，为两个随机事件，，分别表示，的对立事件，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，相互独立，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据事件的包含关系，结合互斥事件的概率公式，可判断A、B的正误；根据独立事件的概率公式，可判断C的正误；根据全概率公式及条件概率公式，可判断D的正误. 【详解】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得A、B互斥， 所以，故B正确； 选项C：若，相互独立，则 所以，故C错误； 选项D：因为，所以， 则，故D正确. 37．（2026·江西赣州·一模）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 38．（2026·河北张家口·一模）若数列的前n项和为，且，在数列的前（）项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定的递推关系求出通项，再按为奇数、偶数分类求出并逐项求解判断. 【详解】数列中，，当时，，则， 而，解得， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，， 当时，数列的前项中，有个正数，个负数， 任取两项都是正数的概率为， 当时，数列的前项中，有个正数，个负数， 任取两项都是正数的概率为， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，，D错误. 39．（2026·浙江·模拟预测）已知随机变量，且，（），则（    ） A． B． C． D．（） 【答案】BC 【分析】利用正态分布曲线的对称性逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，则，则，即，故B正确； 对于C，因为，而， 故，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以，故D错误. 故选：BC. 40．（2026·湖北孝感·二模）春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B．小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小 C．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 【答案】BCD 【分析】根据乘法公式以及全概率公式判断AB；由条件概率结合全概率公式求解CD. 【详解】记小张第次去洗车店为，第次去洗车店为， 则，，，，，. 选项A：，故A错误. 选项B：， ， 所以小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小，故B正确. 选项C：，故C正确. 选项D：，故D正确. 41．（2026·河北张家口·一模）某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，甲同学回答类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲同学在第一轮答对试题的概率为 B．甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为 C．甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为 D．甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6 【答案】ACD 【详解】根据题意，在第一轮答题中，甲同学回答正确的概率为，故选项A正确； 甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为，故选项B不正确； 分析可得，甲同学经过轮答题，答对的试题个数服从二项分布， 故甲同学经过三轮答题，只回答正确一道试题的概率为，故选项C正确； 甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为，故选项D正确． 42．（2026·四川绵阳·模拟预测）设，分别为随机事件的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据全概率公式、条件概率公式等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A，由全概率公式得，，故A正确； 对于B，，所以，所以，相互独立， 那么，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，表示在发生的条件下发生的概率，表示在发生的条件下发生的概率， 两者之和不一定为1，例如：设为“掷骰子点数为偶数”，为“掷骰子点数为奇数”， 为“掷骰子点数大于2”，则，，和为，D错误. 43．（2026·山东济南·一模）现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（    ） A． B． C． D．且 【答案】BCD 【分析】对于选项A，可根据试验过程直接计算；对于选项B，需要根据试验过程分析表达式；对于选项C，根据条件概率公式判断与是否相等；对于选项D，时，有，得，可知，，则有，可得. 【详解】对于A，若数字9被选到，有两种情况： 第一次选数时，从1到10中选到9，概率为， 第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为， 所以，选项A错误； 对于B，若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为； 发生后，下一次从1到8中选到8，概率为， 发生后，下一次从1到9中选到8，概率为， 这几种情况彼此互斥，所以，选项B正确； 对于C，根据条件概率公式，， 若发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下， 下一次从1到8中选到8的概率为，即， 若发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8， 也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8， 即， 所以，选项C正确； 对于D，对于即选中的情况，设为选中数当中不小于的最小整数， 则 ， 当时，有，，， 结合知，， 所以最大数选取是任意的，始终有， 对于同时选中情况，不妨设，可理解为从中按规则取数， 选中的概率，则有， 可得，选项D正确. 故选：BCD 三、填空题 44．（2026·辽宁·模拟预测）大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____ 【答案】 33岁 10 【分析】利用平均数的意义可求总体平均数；利用由部分方差求总体方差的公式求解即可. 【详解】由题意得，该高中高三备课组老师的平均年龄为岁， 则该高中高三备课组老师的方差 . 故答案为：33岁；10. 45．（25-26高二上·广东中山·月考）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15．则估计出总样本的平均数为_____． 【答案】164 【分析】运用总体样本均值公式进行求解即可. 【详解】总样本的平均数为； 故答案为：164. 46．（2026·广东汕头·模拟预测）抽奖箱中共6个球，这6个球的形状、大小完全相同，每个球上面分别标有数字1，2，3，4，5，6中的一个，且没有重复出现的数字标号，现从中随机抽出两个球（不放回），则两个球之间的数字标号互质的概率为_______________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率. 【详解】随机抽出两个球的样本空间，共15个， 两个球之间的数字标号互质的事件，共11个， 所以两个球之间的数字标号互质的概率为. 故答案为： 47．（2025·湖北黄冈·模拟预测）甲､乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀的骰子一次，规定点数大的得分，点数小的得分，点数相同时各得分，三轮比赛结束后，甲得分的概率为__________. 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式分别计算每轮比赛得分所对应的概率，再分情况讨论三轮比赛的得分情况，即可得解. 【详解】用分别表示甲､乙两人投掷一枚骰子的结果，因为甲､乙两人每次投掷均有种结果，则在一轮游戏中，共包含（个）等可能的基本事件.其中，甲得分，即包含的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共个，则甲每轮得分的概率为.同理可得，甲每轮得分的概率也是，得分的概率为. 设事件表示三轮比赛结束后甲得分，则事件可分两类情形： ①甲有两轮得分，一轮得分，概率为； ②甲有一轮得分，两轮得分，概率为， 所以， 故答案为：. 48．（2026·河北张家口·一模）已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则的数学期望______． 【答案】 【详解】由题设，每次抽取的概率为，抽取的概率为，抽取的概率为. 可取， 当时，4次中有两个元素各出现两次，或者4次中三个都出现，其中有一个元素出现两次，其余两个元素各出现一次， 故， 当时，4次中有一个元素抽到4次，故， 故， 故的分布列如下： 故. 49．（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 【答案】 【分析】由求出，再由求出,最后利用即可求解. 【详解】设为第天选A套餐，为第天选B套餐， 则， ； 从而， ， . 50．（2026·江西·模拟预测）某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占70%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是90%，在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，则这个灯泡是甲厂生产的概率是________． 【答案】/0.25 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得. 【详解】设事件为“购买一个甲厂灯泡”，事件为“购买一个乙厂灯泡”，事件为“购买的灯泡是合格品”， 依题意，， 因此， ， 所以这个灯泡是甲厂生产的概率是. 故答案为： 51．（2026·江西南昌·一模）已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 【答案】 【详解】若4次重复操作后，盒中6个球全是红球，则1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二次和第三次抽到红球三种情况， 所以， 若5次重复操作后，盒中6个球全是红球，则2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况， 所以 ， 所以. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于将次重复操作后，盒中6个球全是红球转化为次抽到红球，3次抽到黑球，然后分情况计算概率即可. 52．（2026·湖南怀化·一模）如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 【答案】 【分析】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，，可得，结合两点分布可得，即可得结果. 【详解】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，， 则，可得， 在电路系统正常工作的条件下，可知系统均正常工作，对应概率为， 则，可得，， 则，所以. 题型28 概率统计大题35个重点题型 题号 核心题型 题型解决关键点 1 互斥事件与独立事件概率 分情况讨论比赛结束仍未决出胜负的情形，利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式计算概率；甲获胜需考虑甲在第1、2、3次投篮中获胜的各种路径。 2 独立事件与随机变量分布 分别计算甲、乙通过面试的概率；由两人答题次数之和的可能取值，结合独立事件概率公式求分布列，再求期望。 3 全概率公式与二项分布 由全概率公式求检测结果与实际不符的概率；二项分布求恰有2天不符的概率；计算使用检测系统时每日总支出的期望，与不使用系统时的期望比较。 4 线性回归与相关系数 计算样本中心点，求相关系数判断相关性强弱；利用最小二乘法求回归直线方程，再代入预测值。 5 独立性检验与超几何分布 补全列联表，计算卡方值判断是否独立；分层抽样后，用超几何分布求抽取人数分布列和期望。 6 相关系数与超几何分布 计算相关系数判断线性相关程度；从5个数据中随机抽取3个，最小值的分布列为超几何分布，求期望。 7 频率分布直方图与正态分布 由频率和为1求参数，根据百分位数定义求分数线；分层抽样后用超几何分布求分布列；由直方图估计均值，结合正态分布概率公式求概率。 8 二项分布与全概率公式 有放回抽取服从二项分布，求分布列和期望；用二项分布概率公式求误差不超过0.2的概率；利用条件概率和全概率公式分析换门问题。 9 全概率公式与二项分布 由全概率公式求随机抽取一名会员满意的概率；从所有会员中抽取2名，满意的数量服从二项分布，求分布列和期望。 10 条件概率与独立事件 由全概率公式求有消费意向的概率，再求条件概率；分析了解政策的家庭与受带动家庭合计补贴的可能取值，用独立事件乘法公式求概率；计算奖励期望。 11 古典概型与超几何分布 列举法求概率；从低于2%的模型中抽取3个，其中低于1.3%的个数服从超几何分布，求分布列和期望。 12 独立事件与二项分布 求一件零件合格的概率，再求3件中至少2件合格的概率；4件零件总获利服从二项分布，求分布列和期望。 13 分布列性质与全概率公式 由分布列概率和为1求参数，再由条件概率公式和全概率公式求概率；利用期望公式和导数判断方程解的存在性。 14 条件概率与递推概率 由条件概率公式求概率；分析抽到干电池的过程，用乘法公式或递推关系求恰好抽到最后一块干电池的概率。 15 独立性检验与二项分布 计算卡方值判断是否相关；由样本频率估计总体概率，混合后优等品概率为加权平均，抽取3件服从二项分布，求分布列和期望。 16 条件概率与独立性检验 由列联表计算条件概率，直观判断关联；计算卡方值，与临界值比较得出结论。 17 互斥事件与随机变量分布 分两类情况求立项概率；由评审通过人数可能取值，结合概率加法公式和乘法公式求分布列和期望。 18 独立事件与二次不等式 由独立事件概率公式求两模型答案不同的概率；系统输出正确答案的概率由两部分组成，列不等式求参数最小值。 19 古典概型与二项分布 计算游戏Ⅰ各局获胜概率；3人选择游戏Ⅰ，前两局均未获胜的人数服从二项分布，求分布列和期望；计算两游戏奖金期望，比较选择。 20 互斥事件与随机变量分布 分情况求甲、乙得分之和大于3的概率；列出两轮得分之和的可能取值，用互斥事件和独立事件求分布列和期望。 21 全概率公式与条件概率 由全概率公式求一次测试得2分的概率；由条件概率公式求在总得分至少3分条件下第一次得1分的概率；由每轮得分分布求期望，再用线性性质求总期望。 22 互斥事件与随机变量期望 分正确选项个数为2或3，求随机选一个选项得分的分布列和期望；类似求随机选两个选项得分的期望，比较大小得参数范围。 23 分布列与递推概率 分析一个分裂周期后细胞个数的可能取值，求分布列和期望；通过递推关系求经过n个周期后恰有2个细胞的概率；利用全概率公式证明递推不等式。 24 条件概率与随机变量分布 由条件概率公式求在第一轮甲胜条件下乙获得第3名的概率；分析甲最终名次的所有可能路径，用独立事件乘法公式求概率，得分布列和期望。 25 独立事件与递推概率 由独立事件乘法公式求一轮获得“驰骋”卡片的概率；通过状态转移建立概率递推关系，构造等比数列求通项，并求极限。 26 独立事件与递推概率 由独立事件求小球落入A、B袋的概率；累计得分n的概率满足递推关系，构造常数列和等比数列求通项。 27 正态分布与超几何分布 由频率分布直方图估计均值，结合正态分布求A等品概率；超几何分布求分布列和期望；建立利润函数，利用导数求最大值。 28 古典概型与马尔可夫链 枚举法求三枚骰子点数和≥12的概率；由状态转移建立概率递推关系，求首次结束的概率；建立期望方程组，求解期望步数。 29 独立事件与函数最值 由独立事件乘法公式求支付金额的分布列和期望；建立期望利润函数，求导得极大值点及最大值。 30 二项分布与递推概率 二项分布求分布列、均值和方差；由概率定义求人气值出现概率，建立递推关系，构造等比数列求通项。 31 独立事件与分布列 分析生成词元的规则，用独立事件乘法公式求生成1个、2个词元的概率；推导一般项概率，得分布列；用错位相减法求和求期望。 32 全概率公式与最值 由全概率公式求获得最大金额奖励的概率；通过估值近似，建立函数求最大值及对应k值。 33 独立事件与递推概率 求一次通关概率；利用参考公式求每关期望次数，求和得总期望；建立概率递推关系，构造等比数列求通项，并证明不等式。 34 独立事件与递推概率 分析抛掷硬币生成字符序列的规则，求字符总数的期望；建立“前0”概率的递推关系，证明等比数列；由条件概率公式求概率，通过构造函数求最大值。 35 全概率公式与递推概率 由全概率公式求物流提前送达的概率；建立方案选择概率的递推关系，证明等比数列；求极限得长期概率，判断系统能否提高概率。 1．（2026·江苏常州·模拟预测）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可得解； （2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和独立事件的概率公式即可得解. 【详解】（1）设事件“甲在第次投篮投中”， 事件“乙在第次投篮投中”，， 则，，，， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则， 可得， 所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为 （2）记“甲获胜”为事件，则， 可得， 所以甲获胜的概率为． 2．（2026·湖南常德·一模）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）易知随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列，计算出期望值. 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， （或） （或） 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率 . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，， 随机变量的分布列为 2 3 4 所以随机变量的期望为. 3．（2026·河北衡水·一模）某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结果相互独立. (1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率. (2)若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率. (3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费（检修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由. 【答案】(1)0.1 (2)0.0486 (3)应该引进，理由见解析 【分析】（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中结果，结合独立重复性实验的概率公式运算求解即可； （3）根据题意求使用自动化检测系统时每日总支出的期望，并与每日故障损失的期望对比分析即可. 【详解】（1）设某日检测结果与设备实际状态不符为事件， 由全概率公式可得， 故某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1. （2）由（1）可知：某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1， 设恰有2天检测结果与实际不符为事件， 则， 故恰有2天检测结果与实际不符的概率为0.0486. （3）应该引进该自动化检测系统，理由如下： 设使用自动化检测系统时每日总支出（即总损失）为元. 设备故障且被判为故障的概率为， 设备正常却被判为故障的概率为， 设备故障却被判为正常的概率为， 则. 因为，所以应该引进该系统. 4．（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 【答案】(1)； (2)，2.9万辆． 【详解】（1）由题意，， 则，， 则． 故与的相关系数为． （2）由（1）， 则， 故关于的线性回归方程为， 令，则， 故可预测该地区2026年新能源汽车购买数量为万辆. 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表： 每周课外阅读时长 频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的列联表： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 每周课外阅读时长低于6小时 80 合计 200 (1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关； (2)从每周课外阅读时长在和的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设表示抽取的2人中每周课外阅读时长在的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 30 80 每周课外阅读时长低于6小时 40 80 120 合计 90 110 200 学生的写作水平与每周课外阅读时长有关 (2) X 0 1 2 P 【详解】（1）每周课外阅读时长不低于6小时的学生人数为（人）， 每周课外阅读时长低于6小时的学生人数为（人），所以列联表 为： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 30 80 每周课外阅读时长低于6小时 40 80 120 合计 90 110 200 所以， 依据小概率值的独立性检验，我们推断学生的写作水平与每周课外阅读时长有关． （2）根据分层抽样原理， 组抽取人数为（人）， 组人数为（人），则X的取值可能为， 所以， 则分布列如下所示： X 0 1 2 P 所以． 6．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 【答案】(1)，很强的线性正相关关系 (2) X 80 150 210 P 【详解】（1）由题意，，， 则， 由， 同理， 则， 则， 由接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系. （2）由题意，X的可能取值为80、150、210， 则，， ， 故X的分布列为： X 80 150 210 P 则. 7．（2026·新疆·模拟预测）某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列； (3)由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率. ［参考数据：；若，则，，］ 【答案】(1)，76分 (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积为1计算可得，再由百分位数的定义计算可求出最低分数线； （2）由分层抽样比可求出各区间抽取的人数，再计算出相应概率可求出分布列； （3）由频率分布直方图计算出初赛成绩的平均值，再由正态分布计算可得所求概率. 【详解】（1）由频率分布直方图易知，， 解得， 由图知的频率为0.04，的频率为， 的频率为0.54， ∴获奖学生最低分数线落在内，不妨设为x， 则，解得， ∴估计获奖学生的最低分数线为76分. （2）由图可知，与的频率之比是， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取3人，在内抽取4人，在内抽取1人. 则X的可能取值为0，1，2， 易知，，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P （3）易知平均值为， 即可得， ∴. 8．（2026·广东梅州·一模）（1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用表示停止时摸出红球的次数. ①求的分布列和数学期望； ②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率. （2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.） 【答案】（1）①分布列见解析，；②；（2）节目参加者换门更好，答案见解析 【分析】（1）①由进行求解即可；②依题意，样本比例为，现要求，得，，再由进行求解； （2）记表示初始选择时选得汽车的事件，表示更换选择后选得汽车的事件， 则，，由全概率公式进行求解． 【详解】（1）①每次有放回的抽取，每次抽到红球的概率为， 所以， 即，，，，，，， 得到的分布列为 0 1 2 3 4 5 期望为， ②依题意，样本比例为，现要求， 得，即，， 所以用样本中红球的比例估计总体的误差绝对值不超过0.2的概率为 . （2）记表示初始选择时选得汽车的事件，表示更换选择后选得汽车的事件， 则，， 所以，， 则， 因此不换门选中汽车的概率是， 换门选中汽车的概率是， 故而得结论：当主持人开启剩余的山羊门后，节目参加者换门更好，因为此时其获得汽车的概率是不换门的两倍. 9．（2026·福建龙岩·一模）某会员店的本地会员占，外地会员占.现开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，每个会员对该店商品质量满意与否相互独立. (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员（其中会员总数远大于2），记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可. 【详解】（1）设事件：抽取的是本地会员，， 则事件：抽取的是外地会员，， 事件：会员对商品质量满意，，， 所以. （2）由（1）可知，单次抽取会员满意的概率，不满意的概率为， 的所有可能取值为0，1，2. 则，， ，， 0 1 2 所以. 10．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000元以上可以领取500元补贴.通过调查可知，该市有的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为． (1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率； (2)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列； (3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000元补贴，带动家庭可以拿到100元奖励；两个家庭合计拿到1500元补贴，带动家庭可以拿到200元奖励；两个家庭合计拿到2000元补贴，带动家庭可以拿到300元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）设事件A为抽取到的是一个有消费意向的家庭，事件B为该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的家庭，根据题意求出，，利用条件概率的公式求出，从而得解. （2）设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为，写出的可能取值，分别求出的每一个可能取值的概率，根据其概率求出的分布列. （3）分别求出带动家庭可以拿到100元，200元，300元的奖励的概率，从而得到该带动家庭可以拿到的奖励. 【详解】（1）设事件A为抽取到的是一个有消费意向的家庭， 事件B为该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的家庭， ，， 所以， 所以在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下， 该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率为. （2）设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为， 的可能取值为0，500，1000，1500，2000， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 500 1000 1500 2000 （3）带动家庭可以拿到100元奖励的概率为， 带动家庭可以拿到200元奖励的概率为， 带动家庭可以拿到300元奖励的概率为， 该带动家庭可以拿到的奖励为 （元）. 11．（2026·江苏镇江·一模）AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【分析】（1）通过列举法，结合古典概型概率公式求解； （2）首先列举幻觉率低于2%的AI模型的个数，以及低于1.3%的模型个数，再根据超几何分布公式求概率和分布列，以及数学期望. 【详解】（1）14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个， 所以幻觉率低于的概率为. （2）幻觉率低于2%的AI模型中共9个，其中低于1.3%的模型有3个，故 ，  ， ，  , 故分布列为 0 1 2 3 故. 12．（2026·贵州黔东南·模拟预测）某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立$