题号猜押03 广东广州中考数学11～16题 相交线平行线，二次根式，三角形，锐角三角函数，圆，二次函数，函数与几何的综合（填空题）（广州专用） 2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押03 广东广州中考数学11~16题（填空题） 考点1 相交线与平行线 1．（2025·广东广州·二模）如图，若，则______． 2．（2026·广东广州·一模）如图，直线，直线c与a，b分别相交于点，．若，则__________． 3．（2026·广东广州·模拟预测）如图，，，，则__________°． 4．（2025·广东汕头·一模）如图1，王老师小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为如图2所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），若，则______． 5．（2025·广东韶关·三模）如图，已知在中，，，直线经过直角顶点，直线与边相交于点，且．若，则________． 6．（2025·广东深圳·三模）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为___________度．（备注：入射角等于反射角）    7．（2025·广东广州·二模）如图，在平行四边形中，的角平分线交边于点，，则的度数是___________． 8．（2025·广东广州·一模）如图，直线，线段分别与，交于点D，C，过点B作，交直线于点A．若，则的度数是______． 考点2 二次根式 9．（2026·广东汕头·一模）比较大小：_______1 ，_______ 10．（2023·广东·中考真题）计算：______． 11．（2024·广东茂名·一模）计算：___________． 12．（2025·广东惠州·二模）化简：①___________；②___________；③___________． 13．（2025·广东·一模）计算：_____________． 14．（2025·广东·模拟预测）若代数式有意义，则x的取值范围是 ______． 15．（2024·广东·二模）若代数式有意义，则实数y的取值范围是______． 16．（2025·广东汕头·一模）使函数有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，则函数的定义域为_____． 考点3 三角形的计算 17．（2025·广东广州·模拟预测）在中，斜边上的中线长度为5，直角边的长度为6，则直角边的长度为_______ ． 18．（2026·广东佛山·一模）如图，点D、E、F是等边三角形边上的点，满足．连接，写出符合题意的三个不同类型的正确结论：________． 19．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，分别是，的中点，，，则____． ‍ 20．（2026·广东深圳·一模）如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算______． 21．（2026·广东深圳·一模）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，，则的面积为___________． 22．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，为的中点，点在边上，交于点，若，，的面积为，则的长为_____________． 23．（2026·广东珠海·一模）如图，在菱形中，，，，则周长的最小值为_____． 24．（2024·广东·二模）如图，将足够大的等腰直角三角板的锐角顶点放在另一个等腰直角三角板的直角顶点处，三角板绕点在平面内转动，且的两边始终与斜边相交，交于点，交于点，设，，，则与的函数关系是 ______． 考点4 锐角三角函数的计算 25．（2024·广东·模拟预测）计算：________． 26．（2025·广东韶关·模拟预测）计算：_____． 27．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为_____．    28．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为_________ m，楼房的高为 _________ m． 29．（2024·广东潮州·一模）“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为__________米．（）（答案保留整数） 30．（2025·广东梅州·一模）某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走6米到处再测得点的仰角为，已知、、在同一条直线上，则新教学楼的高度是___________米．（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：） 31．（2024·广东·模拟预测）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知，且，则折痕长是________． 32．（2025·广东深圳·三模）如图所示为一张矩形纸片，E为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点若，则的值是______． 考点5 圆的计算 33．（2025·广东河源·一模）如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接，若，则 ________ ． 34．（2026·广东湛江·一模）如图，在中，、是弦，是直径，是半径且交于点D，请写出三个不同类型的结论________________________________________． （请注意：结论不要添加新字母，不要添加辅助线） 35．（2026·广东东莞·一模）如图，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，，若， 则的度数是 ． 36．（2026·广东广州·一模）如图，中，，，，以为中心，将顺时针旋转，使得点落在延长线上的点，此时点落到点，则在旋转中，边变到边所扫过的面积为______平方厘米（结果保留）． 37．（2026·广东深圳·一模）如图，在矩形中，，以为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 38．（2025·广东江门·二模）在中，，点是上一点，且，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点，若，则图中阴影部分的面积是__________ （结果保留） 39．（2025·广东阳江·模拟预测）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为______．(结果保留) 40．（2024·广东·模拟预测）如图，在中有折线，其中，，，则的长为________． 考点6 二次函数的性质 41．（2025·广东肇庆·三模）抛物线如图所示，则它的解析式是__________． 42．（2025·广东深圳·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，，则__________． 43．（2026·广东广州·一模）老师在黑板上写出了一个二次函数，小张、小赵、小王、小马四位同学各指出了这个函数的一个正确的性质： 小张：函数图象不经过第三象限； 小赵：函数图象经过第一象限； 小王：当时，y随x的增大而减小； 小马：当时，． 请你写出满足上述所有性质的一个函数解析式______． 44．（2025·广东惠州·三模）已知抛物线的对称轴为直线，则的最大值为______． 45．（2025·广东珠海·一模）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 0 y 1 0 以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于的方程的根为和；④当时，的取值范围是或．其中正确的是___________ 46．（2026·广东惠州·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法．若二次函数的图象在平面直角坐标系中只经过两个象限，则的值可以是_________．（写出满足条件的一个值即可） 47．（2025·广东广州·二模）已知函数与轴的一个交点坐标为 （1）若方程其中一个根为，则另一个根为___________． （2）的最小值是___________． 48．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有_______．（填写序号） 考点7 函数与几何的综合 49．（2025·广东惠州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为________． 50．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于点 ，，交轴于点 ，作平行四边形，边交抛物线于点，连接，若的面积是，则的值为_________． 51．（2025·广东广州·一模）如图，是等腰直角三角形，，，为线段上一动点，过点作直线，垂足为，设，当点从点开始运动至点过程中，记直线扫过的面积为．当与满足关系式时，取值范围为___________． 52．（2025·广东揭阳·二模）已知：如图，二次函数的顶点为M，最大值为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点C在上； ③在抛物线上存在一点E，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是______． 53．（2025·广东湛江·一模）抛物线过点，与轴交于，两点（点在的左侧），若为轴上的一点，在在平面内且满足，则的最小值为_________． 54．（2025·广东深圳·一模）如图，抛物线经过矩形的两顶点A，B，与x轴交于点D，E，抛物线对称轴与x轴交于点F.点P，Q分别为边上一点，当四边形周长最短时，与的数量关系为______． 55．（2025·广东广州·三模）如图，已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接则下列结论：；在点运动过程中，的面积始终不变，面积为；连接，则；存在点，使得．其中正确的结论有______填写所有正确结论的序号 56．（2025·广东广州·一模）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论： ①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值； ③若在函数图象上，则也在函数图象上； ④当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是． 其中正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 1．（2026·广东东莞·模拟预测）要使代数式有意义，则x的取值范围是________． 2．（2026·广东广州·一模）如图，，直线l平分，，则______． 3．（2026·广东珠海·一模）如图，四边形是边长为4的正方形，点P为线段的上一点，，点E是直线上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为________． 4．（2026·广东汕头·模拟预测）若二次函数的图象关于轴对称的图象的解析式为____． 5．（2026·广东佛山·一模）如图，为的直径，，则______． 6．（2026·广东广州·一模）美国华盛顿大学研究团队在年发现了一种新的不规则五边形（如图①）．相互组合后可完全铺满平面（如图②），不会出现重叠或任何空隙，是全球第十五种能做到此效果的五边形，这项发明相当于在科学领域中寻获了新原子粒子．设此五边形中．则______；该五边形的周长为______． 7．（2026·广东珠海·一模）如图是一个圆弧形拱门，拱门圆弧所在圆的半径为米，拱门底部跨度米．现要在拱门内加装一根垂直于底边的加固立柱，点M在圆弧上，点N在上，且点N把线段分为的两部分，则线段的长度为______米． 8．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，延长交图象另一支曲线于点，轴且满足．若的面积为8，则____． 9．（2026·广东佛山·一模）将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为，已知，，，那么的长度是________． 10．（2024·广东清远·一模）如图，正方形和正方形按照如图所示方式放置，连接、、，若，则线段的最小值为______． 11．（2026·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是________ ． 12．（2026·广东汕头·一模）如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，且，点H为中点，连接和，M为的中点，连接，作于点G，若，则_______． 13．（2026·广东佛山·一模）如图，的边落在x轴上，点C是线段的中点，反比例函数的图像经过点A和点C．若的面积为9，则k的值为_____． 14．（2026·广东深圳·一模）如图，四边形内接于圆，，，，连接，交于点E，则_______． 15．（2025·26九年级上·广东佛山·月考）如图1，在中，，D为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为．当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据图象信息，求得线段的长为_____． 16．（2026·广东汕头·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxx k.com 题号猜押03广东广州中考数学11、 押题预测 ·考点1相交线与平行线 1.(2025广东广州二模)如图，若a∥b,则∠1=· 36° 【答案】144°/144度 【分析】 【详解】解：alb, :∠2=∠3=36°， .∠1=180°-∠3=180°-36°=144°， C 236° 3 故答案为：144°. 2.(2026广东广州一模)如图，直线a∥b,直线c与a,b分别相交于点A,B 1A 【答案】50° 【详解】解：：allb, 1/58 上好每一堂课 16题（填空题） 若∠1=50°，则∠2= 面学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 ∠2=∠1=50°. 3.(2026广东广州·模拟预测)如图，AB∥CD,AC⊥AD,LACD=70°，则∠BAD= -B C 【答案】20 【详解】解：AC⊥AD, .∠CAD=90°， :AB∥CD,∠ACD=70° ∴.∠BAC=180°-∠ACD=180°-70°=110°， ∠BAD=∠BAC-∠CAD=110°-90°=20°. 4.(2025广东汕头一模)如图1，王老师小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为如图2所示模型.己 知AB垂直于水平地面AE,当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则 一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），若∠ABC=I25°，则∠BCD=。. D B 图1 图2 【答案】145 【详解】解：过点B向右侧作BG∥CD,则LBCD+∠CBG=180°， B ---G 图2 :AE∥CD,BG∥CD, AE∥BG, :AB⊥AE, AB⊥BG, .∠ABG=90°， 2/58 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠4ABC=125°， LCBG=LABC-ABG=35°， .∠BCD+∠CBG=180°， ∴.∠BCD=145°， 故答案为：145. 5.(2025广东韶关.三模)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，直线a经过直角顶点C, 直线b与AB边相交于点D,且a∥b.若∠1=25°，则L2=· 【答案】35°/35度 【详解】解：如图，过点B作BE∥a B .∠EBC=∠1， :a∥b,BE∥a BE∥b ∴∠ABE=∠2 又：∠ACB=90°，∠A=30°， ∠ABC=90°-∠A=60° .∠1+L2=LABE+∠CBE=LABC=60°， .∠1=25°， ∠2=60°-∠1=60°-25°=35°， 故答案为：35°. 6.(2025·广东深圳三模)如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位 3/58 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 置.已知法线OC⊥MN,反射光线A0与水平线的夹角∠A0D=54°，则平面镜MN与水平线BD的夹角 ∠DON的大小为 度.（备注：入射角∠BOC等于反射角∠AOC) A 沙发 TTTTW B --D M 【答案】27 【详解】解：∠A0D=54°， ∠A0B=180°-∠A0D=126°， :入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ·∠A0C=LB0C= ∠AOB=63°， 2 :OC⊥MN, .∠C0M=90°， .∠B0M=∠C0M-∠B0C=27°， 由对顶角相等得：∠D0N=∠B0M=27°， 故答案为：27 7.(2025·广东广州二模)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交边AD于点E, LAEB=25°，则∠D的度数是 ED B 【答案】50° 【详解】解：：BE平分∠ABC, ∠ABE=LCBE, 四边形ABCD为平行四边形， .∠D=∠ABC,AD∥BC, ∠ABE=∠CBE=∠AEB=25°， ∴.∠D=∠ABC=∠ABE+∠CBE=50°， 故答案为：50°. 4/58 命学科网·上好课 8.(2025广东广州一模)如图，直线1∥2，线段BC分别与4，交于 直线L于点A.若∠BAD=20°，则∠BCE的度数是 E 【答案】70° 【详解】解：：AB⊥BC,∠BAD=20°， LADB=90°-20°=70°； 1∥12， .∠BCE=∠ADB=70°， 故答案为：70°. 考点2二次根式 9.(2026广东汕头一模)比较大小：-31,3√2 2√5 【答案】 【详解】解：-3<0、1>0， .-3<1; 3√2=V32×2=V18、2V5=V22x5=√20， :18<20, .√18<√20， 即3√5<2√5 10.(2023广东.中考真题)计算：√3×√12= 【答案】6 【详解】解：√5×12=√3x12=√36=6， 故答案为：6. 1.(2024广东茂名一模)计算：2xv2 3 【答案】2√2 5/58 上好每一堂课 点D,C,过点B作AB⊥BC,交 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解： 2x2_23x5=22, 3 3 故答案为：2√2 12.（2025广东惠州二模)化简：①√16= :②V-52- ;③5x10= 【答案】 4552 【详解】解：①√6=4： ②-5)=5： ③5x10=√5x10=√50=52. 13.（2025广东一模)计算：√5×√2= 【答案】0 【详解】解：√5x√2=√5x2=√10， 故答案为：√10. 14.(2025广东模拟预测)若代数式Vx+2有意义，则x的取值范围是 r-5 【答案】x≥-2且x≠5 【详解】解：：代数式Vx+2有意义， x-5 .x+220[且x-5≠0， 解得：x≥-2且x≠5 故答案为：x≥-2且x≠5. 15.(2024广东·二模)若代数式 3+y 一石有意义，则实数y的取值范围是」 【答案】y>6 【分析】 【详解】解：由题意，得：y-6>0, y>6: 故答案为：y>6. 6/58 可学科网·上好课 上好每一堂课 16. (2025广东汕头一模)使函数有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，则函数y=√x-2的定 x-5 义域为 【答案】x22且x≠5 【分析】 x-220 【详解】解：由二次根式的性质和分式的性质得 x-5≠0' x≥2 解得 x≠5’ 故答案为：x≥2且x≠5， 考点3三角形的计算 17.(2025广东广州模拟预测)在Rt△ABC中，斜边BC上的中线长度为5，直角边AB的长度为6，则直 角边AC的长度为 【答案】8 【分析】 【详解】解：：斜边BC上的中线长度为5， BC=10, :AB=6, AC=VBC2-AB2=V102-62=8, 故答案为：8， 18.(2026广东佛山一模)如图，点D、E、F是等边三角形ABC边上的点，满足AD=BE=CF=}AB.连 3 接DE、EF、FD,写出符合题意的三个不同类型的正确结论： 【答案】AF=BD=CE,△ADF≌△BED≌△CFE,ADEF是等边三角形（答案不唯一） 【详解】解：ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC,∠A=B=∠C 7/58 学科网·上好课 AD=BE=CF .AB-AD =BC-BE AC-CF .AF =BD CE, :△ADF≌ABED≌ACFE(SAS), ∴.DF=DE=EF, :.△DEF是等边三角形. 19.(2024广东·模拟预测)如图， BE=3,则AB=· 【答案】2√5 【分析】 【详解】解：设AC=x,BC=y, :D,E分别是BC,AC的中点， :CD=1BC- ,CE= 1 -AC= 2 由勾股定理得 +y2=9② ①+②， 得5x+5y=25, 则x2+y2=20, AB=V2+y2=V20=25. 故答案为：2√5 20.（2026广东深圳一模)如图， ∠a= www.zxxk com 在Rt△ABC中，∠C=90°， 在Rt△ABC中，∠C=90°， 8/58 上好每一堂课 D,E分别是BC,AC的中点，AD=4, ∠B=20°，依据尺规作图的痕迹，计算 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 B 【答案】55°/55度 【详解】解：：∠C=90°，∠B=20°， .∠CAB=180°-∠B-∠C=70°， 由作图得：AD是∠CAB的角平分线，DE是AB的垂直平分线， ∠DAB= ∠CAB=35°，∠DEA=90°， 2 .∠a=∠ADE=90°-35°=55°. B 21.(2026广东深圳一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作 EF1AB交4C于点F.若BC=0,sm∠CEF-号，则△4EF的面积为 B 【答案】2 【详解】解：如图，连接BF :∠ACB=90°，EF⊥AB 点B,E,F,C四点共圆，且BF是圆的直径 9/58 函学科网·上好课 www zxxk.com .∠CBF=LCEF sin∠CBF=sin∠CEF=3 CF3 BF 5 设CF=3x,则BF=5x BC2+CF2=BF2 :（1o+(3x)2=(5x) ·xs0 4 ..CF=3x= 3V10 4 则BF=5x=5 4 :CE是斜边AB上的中线， .BF=AE,BE=AE=-AB 2 :EF⊥AB BF=AF=510 .AC=CF+AF=2v10 :AB=AC2+BC2=52 B8=4征-48-9 2 ·EF=VBF2-BE-5V2 4 :△AEF的面积为4BEF=x5V2x52_25 2248 22.(2024广东深圳模拟预测)如图，在ABC中，D为AB的中点， ,若∠ADC=60°，CE=EF,△BFC的面积为√5，则AB的长为 D 【答案】4 【详解】解：如图，延长CD至点G,使GD=CD,连接BG, 10/58 上好每一堂课 点E在AC边上，BE交CD于点F 函学科网·上好课 www.zxxk.com A H 0 3 B :D为AB的中点， .AD BD :∠ADC=∠BDG,GD=CD, △ACD≌ABGD(SAS), ∠1=∠G. .CE EF .∠1=∠2. :∠2=∠3， .∠G=∠3， :BF BG. 作BH⊥DG于点H,则FH=GH, .CD-CF+DH=DG-DH, .DH-CF. :∠BDH=∠ADC=60°， :.DH=1BD-14B.BH-BD-548.CF=BD-14B. 2 4 2 4 S.aFC =3, :.CF.BH=3, 2 22 4 AB=3, AB=4, 故答案为：4. 23.(2026广东珠海一模)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6,BE=FC=2, 最小值为· 11/58 斗唱DH:价 系一每举丁 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 【答案】6+2√3 【详解】解：如图，作点F关于BD的对称点F, D A B E H GF=GF',且AF'=2,F为定点， 在菱形ABCD中，AB=CB=6,∠A=∠C=60°， BE=FC=2, EC=4, :在△CEF中，过点F作FH⊥BC, :∠C=60°，CF=2, .CH =1,FH=3, .EH=4-1=3, FE=V32+(5-25, :△EFG周长为EF+GF+GE, 且GF+GE=GF'+GE, 当E,G,F三点共线时，GF'+GE最小，此时GF'+GE=FE, :AF'=BE=2,且菱形ABCD中，AF'∥BE, 四边形AFEB为平行四边形， ∴FE=AB=6, :△EFG周长的最小值为EF+FE=6+2√5. 24.(2024广东·二模)如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板 PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于 12/58 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点M,PD交AB于点N,设AB=2,AN=x,BM=y,则y与x的函数关系是 【答案】y=215x≤2到 【详解】解：作PH⊥AB于H,如图， D :△PAB为等腰直角三角形， 乙A=∠B=4,=8H=4B=1. ∴△PAH和△PBH都是等腰直角三角形， :PA=PB=V2AH=√2，LHPB=45°， :∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M,PD交AB于点N 而∠CPD=45°， 1≤AN≤2，即1≤x≤2， :∠2=∠1+∠B=∠1+45°，∠BPM=∠1+∠CPD=∠1+45°， .∠2=∠BPM, 而∠A=∠B, △ANP∽△BPM, AP AN BMBp,即V2X y2, :y=2,1≤x≤2到 故答案为：y=二(1≤x≤2). ~考点4锐角三角函数的计算 13/58 学科网·上好课 www zxxk.com 25.(2024广东·模拟预测)计算：-5+(-3+π)°-2sin30°= 【答案】5 【分析】 1 【详解】解：原式=5+1-2×。=5； 2 故答案为：5. 26.（2025广东韶关模拟预测)计算： 2cos230°-sin30° tan260°-4cos45° 【答案】3+22/2√2+3 【详解】解： 2cos230°-sin30° tan260°-4cos45° 2 1 2× 2 2 (5-4 √2 2 2x31 42 3-2√2 31 =22 3-22 1 3-22 =3+22. 故答案为：3+22. 27.(2025·广东东莞模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C 长为 C B 【答案】√ 【详解】解：：an∠ABC=y ，an30=V3 3 ∴.∠ABC=30°， 14/58 上好每一堂课 90,4B=2V5,tan∠ABC=5,则4C的 3 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4C=分48=5， 故答案为：√ 28.(2025广东广州模拟预测)如图，在两座楼房之间有一旗杆，高15m,从其中一座楼房顶端点A经过 旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C,且俯角为60°，又从点A处测得点D的俯角B为30°，若旗杆 底部点G为BC的中点，则楼房AB的高为 m,楼房CD的高为 m. B G 【答案】 30 20 【分析】 【详解】解：如图：延长CD交AE于点H, B G 由题意得FG⊥BC,AB=CH,AH=BC,AE∥BC, .∠EAC=LACB=60°， 在Rt△FGC中，FG=15m, .CG=_FG 15 tan60°5 =5v3(m, :点G为BC的中点， .BC=2CG=10W3(m), 在Rt△ABC中，AB=BC.tan60°=10W3×√3=30(m, ∴.AB=CH=30m, 在Rt△ADH中，∠DAH=30°， 早DH=AH-tan30°=1o3xgi0mD 15/58 面学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 CD=CH-DH=30-10=20m, :楼房AB的高为30m,楼房CD的高为20m, 故答案为：30；20. 29.(2024广东潮州一模)“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹 角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为 米. (tan27°≈0.51)（答案保留整数) 太阳光线 2707 水平线 【答案】12 【分析】 【详解】解：24×tan27° ≈24×0.51 =12.24 ≈12（米） :旗杆的高度约为12米 故答案为：12， 30.(2025·广东梅州一模)某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度， 如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走6米到C处再测得B点的仰角为57°，已知0、A、 C在同一条直线上，则新教学楼的高度OB是 米.（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位） (参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54) B 57452 A 【答案】17.11 【详解】解：由题意，得：AC=6米，∠AOB=∠C0B=90°，设OB=x米， 16/58 命学科网·上好课 www.zxxk.com 在RA0BC中，OC=OB tan57°1.54 OB 在RtaOBA中，OA= tan 456=x, :AC=0A-0C, x-=6,解得：x17.11； 1.54 故答案为：17.11. 31.(2024广东·模拟预测)如图，折叠矩形ABCD的一边AD AB=6cm,且an∠BFA-},则折痕AE长是 D 10W10 【答案】 -a 3 【详解】解：由折叠的性质得：AF=AD,EF=DE, :四边形ABCD为矩形， AF=AD=BC,DC=AB,∠B=∠C=∠D=90°， :tan∠BFA= 3 AB 4 BF BF=44B=8, 3 由勾股定理得AF=√AB2+BF2=10, .AD=BC=10, :CF =BC-BF =2, 设EF=DE=x,则CE=6-x, 在Rt△EFC中， EF2=CF2+CE2, :x2=22+(6-x2, 10 解得：x=3 17/58 上好每一堂课 使点D落在BC边的点F处，已知 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE2 100(cm); 3 10W10 故答案为： a 3 32. (2025·广东深圳·三模)如图所示为一张矩形纸片ABCD,E为AD的中点，点F在边BC上，把该纸 片沿EF折叠，点A,B的对应点分别为G,H,GE与BC交于点O,HG的延长线过点C,若BC=?,则 C0-31 sin /BCH的值是 G 1 【答案】 3 【详解】解：连接CE,由题意可得：LA=LB=∠D=90°，AB=CD,AE=DE,AE∥BF, D G 由折叠得GH=AB=CD,HF=BF,GE=AE=DE, LH=∠B=90°，∠HGE=LA=90°，GE∥HF, :HG的延长线过点C, ∠CGE=90°， 在Rt△CGE和Rt△CDE中， 「CE=CE GE=DE .Rt△CGE≌RtACDE, .CG=CD, .CG=GH, CO CG OFGH =1, CO=OF=CF 18/58 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BF、2 C03 HF 2 .sin∠BCH= HF 1 CF=3' 故答案为：3 考点5圆的计算 33.(2025广东河源一模)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD,交AB的 延长线于点D,连接AC,若∠D=26°，则∠CAB= 【答案】32°/32度 【分析】 【详解】解：如图，连接OC, B :CD是⊙O的切线， OC⊥CD, :∠D=26°， .∠D0C=90°-26°=64°， 由圆周角定理得：∠CAB=}∠D0C=32°， 2 故答案为：32° 34.(2026广东湛江一模)如图，在⊙0中，AB、BE是弦，AE是直径，OC是半径且0C1AB交AB于 点D,请写出三个不同类型的结论 (请注意：结论不要添加新字母，不要添加辅助线) 19/58 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 【答案】见解析 【详解】解：结论①：∠B=90°， 理由：直径所对的圆周角是直角； 结论②：AB⊥BE, 理由：直径所对的圆周角是直角； 结论③：OD∥BE, 理由：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行： 结论④：20D=BE, 理由：：OC∥BE, .△AODAAEB, OD OA 1 BE AE 2’ .20D=BE; 结论⑤：AD=BD, 理由：垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）； 结论⑥：AC=BC 理由：垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）； 结论⑦：OD是△ABE的中位线： :点O是AE的中点，点D是AB的中点， :OD是△ABE的中位线： (答案不唯一) 35.（2026广东东莞一模)如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工 艺，所彰显的智慧让人拜服.如图②是马车的侧面示意图，AB为车轮O0的直径，过圆心O的车架AC一 端点C着地时，地面CD与车轮O0相切于点D,连接AD,BD,若∠C=20°，则∠BDC的度数是_°. 20/58 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 哥 D 图① 图② 【答案】35 【详解】解：如图，连接OD, D :CD与O0相切于点D, OD⊥CD,即∠0DC=90°， .∠C0D=180°-∠0DC-∠C=70°， .OD=OB, ·∠ODB=∠OBD= 180°-∠C0D=55°， 2 .∠BDC=∠ODC-∠ODB=35°. 36.(2026广东广州一模)如图，ABC中，∠ACB=90°，AC=1cm,AB=2cm,以B为中心，将 ABC顺时针旋转，使得点A落在CB延长线上的A点，此时点C落到点C,则在旋转中，边AC变到边 AC所扫过的面积为 平方厘米（结果保留刀）. B 【答案】 12 【详解】解：在ABC中，∠ACB=90°，AC=1cm,AB=2cm, ·sin∠ABC=4C=1 AB2' .∠ABC=30°，BC=V3cm, :将ABC以点B为中心顺时针旋转，使点A旋转到CB延长线上的A点， 21/58 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △ABC≌△A,B,C1, ∠ABA=150°，∠ABC1=120°， .S阴影=S扇形HBA-S扇形CBC 150π×2150r×V3 360 360 =5m5元 34 语em :边4C变到边4C所扫过的面积为江平方厘米。 12 37.（2026广东深圳一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2√2，以A为圆心，AB长为半径画弧 交边CD于点E,连接AE,则图中阴影部分的面积为 (结果保留刀) D E 【答案】2π 【详解】解：在矩形ABCD中，AB=4,BC=2√2， :∠D=∠BAD=90°，AD=BC=2N2, 由题意，得AE=AB=4, DE=VAE2-AD2=√42-(22)=2V2, .AD=DE, “.ADE是等腰直角三角形， ∠DAE=45°， ∠BAE=∠BAD-∠DAE=45°， 则图中阴影部分的面积为45π×4 360 =2π· 38.(2025广东江门二模)在ABC中，∠C=90°，点0是AB上一点，且0B=20A,以点0为圆心， OA为半径的圆与BC相切于点D,与AC相交于点E,若CE=1cm,则图中阴影部分的面积是 22/58 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (结果保留刀) E CE\ δ 【答案】 〔a6-jcm 【详解】解：设AB交⊙0于点F,连接OD、OE、DE,则OA=OE=OD, 0 :以点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D, B BC⊥OD, .∠0DB=∠0DC=90°， :0B=20A,且0A=0D, 0B=20D, ODOD 1 .'cos∠BOD= 0B20D2' .∠B0D=60°， :LC=∠0DB=90°， AC∥OD, .∠A=∠B0D=60°，而0A=0E=0D, :△AOE是等边三角形， .∠A0E=60°， ∠D0E=180°-∠A0E-∠B0D=60°， .△DOE是等边三角形， .∠0DE=60°， ∠CDE=∠0DC-∠0DE=30°， CE=1, .0D=DE=2CE=2, .0B=20D=4, 23/58 学科网·上好课 上好每一堂课 :BD=V0B2-0D2=V42-22=25, 3as=5am-56m2x25-602- 360=25-2 ， 故答案为： (w-). 39.(2025广东阳江·模拟预测)如图，C为半圆内一点，0为圆心，直径AB长为2cm,∠B0C=60°， LBC0=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC',点C在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分） 的面积为cm.(结果保留π) 【答】牙 【分析】 【详解】解：如图可知S阴影=S形BOg-S扇形DoD, B C 0 D B :∠B0C=60°，△B'OC'是由△BOC绕圆心O逆时针旋转得到， .∠B'0C'=60°， ∠B'0C=180°-∠B'0C-∠B0C=180°-60°-60°=60°， ∠B0B'=∠B'0C+∠B0C=60°+60°=120°， 又：AB=2(cm, BO=AB2 -= =1cm, 22 C0=B0xcos∠BOC=B0=1 2=2cm), ·.S扇形BOB= 120°×π×121 120°×π×()2 1 360°31 (cm2)，S形Dop= 360% π(cm2)' 1 =πcm2）. 3 124 故答案为： 4 24/58 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 40.(2024广东·模拟预测)如图，在⊙O中有折线0ABC,其中OA=8,BC=20,∠A=∠B=60°，则 AB的长为 B 【答案】12 【详解】解：延长AO,交BC于点D, :LA=∠B=60°， ∠ADB=180°-60°-60°=60°， ∠A=∠B=∠ADB, .△ABD是等边三角形， .AB=AD BD 作OH⊥BC于点H,则H为BC的中点，∠OHD=90°， .∠D0H=90°-60°=30°， .0D=2DH, :BC=20, :BH=20x=10, 2 又0A=8, .10+DH=8+2DH, DH=2, BD=10+2=12, AB=12, AB的长为12 故答案为：12. C D O, B 25/58 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一考点6二次函数的性质 41.（2025广东肇庆·三模)抛物线y=x2+bx+c如图所示，则它的解析式是 【答案】y=x2-4x+3 【详解】解：由图象可知，抛物线过点(1,0)，0,3， 1+b+c=0 则 c=3 b=-4 解得 c=3 抛物线的解析式为y=x2-4x+3, 故答案为：y=x2-4x+3. 42.（2025广东深圳二模)在平面直角坐标系中，将抛物线y=(x+1)(x-2)+5向下平移5个单位长度， 所得抛物线与x轴有两个公共点P,Q,则PQ= 【答案】3 【分析】 【详解】解：将二次函数y=（x+1)(x-2)+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： y=(x+1(x-2) 抛物线与x轴交点处y=0, 令y=0,即(x+1(x-2)=0. x+1=0或x-2=0, 解得：.x=-1,x2=2, P9=0-（-1=3, 26/58 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：3 43.(2026广东广州一模)老师在黑板上写出了一个二次函数，小张、小赵、小王、小马四位同学各指出 了这个函数的一个正确的性质： 小张：函数图象不经过第三象限： 小赵：函数图象经过第一象限： 小王：当x<2时，y随x的增大而减小； 小马：当x>2时，y>0 请你写出满足上述所有性质的一个函数解析式一· 【答案】y=(x-2 【详解】解：：当x<2时，y随x的增大而减小，当x>2时，y>0, .二次函数的对称轴为直线x=h,且h≥2，开口向上，即a>0, :函数图象不经过第三象限， “二次函数与y轴的交点纵坐标≥0， 取a=1,顶点纵坐标为0，则顶点坐标可为(2,0)， 可得函数解析式为y=(x-2), 验证该函数满足所有给出的性质，符合要求， 故答案为y=(x-2)2(答案不唯一)· 44.(2025广东惠州·三模)己知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=6,则二的最大值为 【答案】36 【详解】解：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时， 设抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为a,0), :抛物线y=ax2+bx+ca≠0)的对称轴为直线x=6, ∴.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为12-a,0), 即方程ax2+bx+c=0的两个根为a和12-， 由根与系数的关系得a(12-a)=C, 27/58 可学科网·上好课 上好每一堂课 :￡=-2+12a=-(a-62+36, a :-1<0, 当a=6时， :C有最大值为36； 0 当抛物线y=a2+bx+c与x轴没有交点时， :抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=6, b =6, 2a .b=-12a, 此时△=b2-4ac=（-12a2-4ac<0, 整理得ac>36a2>0, a和c同号， ①若a>0,c>0时， :ac>36a2, :9>36. a 此时C无最大值，不符合题意，舍去； a ②若a<0,c<0时， :ac>36a2, :9>36, a 此时C无最大值，不符合题意，舍去； 综上，C有最大值为36； a 故答案为：36. 45.(2025广东珠海.一模)己知抛物线y=ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： -3 -2 -1 0 -3 m 0 -3 以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线x=-2;③关于x的方程x2+bx+c=0的根为-1和-3 28/58 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ④当y<0时，x的取值范围是x<-3或x>-1.其中正确的是 【答案】②③④ 【详解】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线x=4+0-2,故②正确； 2 设抛物线解析式为y=a(x+2)2+1,将(0，-3)代入解得a=-1, -1<0, 故抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，故①错误； 由抛物线关于直线x=-2对称知， 当y=0时，x=-1或x=-3, 故方程ax2+bx+c=0的根为-1和-3，故③正确； 当y<0时，x的取值范围是x>-1或x<-3,故④正确. 故答案为：②③④. 46.（2026广东惠州一模)“数形结合”是研究函数的重要思想方法.若二次函数y=x2+2x+m的图象在 平面直角坐标系中只经过两个象限，则m的值可以是 (写出满足条件的一个值即可) 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：：抛物线y=x2+2x+m=(x+1)+m-1, 顶点为-1，m-1,开口向上， :抛物线只经过两个象限， “顶点落在x轴及以上， m-1≥0，即m≥1， :m的值可以是1（答案不唯一）， 47.（2025广东广州二模)已知函数y=x2+ax+2b与x轴的一个交点坐标为(-2,0) (1)若方程x2+x+2b=0其中一个根为x=4,则另一个根为 (2)a2+b2的最小值是 【答案】 -2 2 【分析】 【详解】解：(1)：函数y=x2+ax+2b与x轴的一个交点坐标为(-2,0) 29/58 可学科网·上好课 上好每一堂课 方程x2+ax+2b=0有一个根为x=-2, :方程x2+ax+2b=0其中一个根为x=4, 另一个根为x=-2; (2):x=-2为方程x2+ax+2b=0的一根， ∴.(-2)2+a(-2)+2b=0,即4-2a+2b=0. a=b+2. a2+b2=(b+2+b2=2b2+4b+4=2(b+1)+2. 2(b+12≥0， .2b+1)2+2≥2. .a2+b2的最小值是2. 故答案为：-2,2. 48.(2024广东·模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1,下列结论：①abc>0; ②b2-4ac>0;③8a+c<0;④5a-3b+2c<0,正确的有 ·(填写序号)》 VA -432 12 【答案】②④ 【详解】解：：抛物线开口方向向上， ∴.a>0, :对称轴在y轴的左侧， a,b同号，即b>0, :函数图象与y轴交于负半轴， c<0, abc<0,故①错误； :抛物线与x轴有两个交点， ∴.b2-4ac>0,故②正确； .:抛物线对称轴是直线x=-1, 30/58 可学科网·上好课 www zxxk com b=1, 2a b=2a, 当x=2时，4a+2b+c>0, .4a+2×2a+c>0,即8a+c>0,故③错误； 当x=-2时，4a-2b+c<0,当x=-1时，a-b+c<0, .(4a-2b+c)+(a-b+c)<0,即5a-3b+2c<0,故④正确； 故答案为：②④ 考点7函数与几何的综合 49.(2025·广东惠州二模)如图，在平面直角坐标系中，菱形 x轴负半轴上.若抛物线y=ax2+2W5ax+4(a<0)经过点B,C 【答案】(2-25,0/(-2W5+2,0) 【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=250。-5, 2a 在y=ax2+25ax+4(a<0)中，令x=0,得y=4, 即B(0,4)； :四边形ABCD是菱形， BC∥AD,AB=AD=BC, .B,C关于直线y=-V5对称， C(-25,4), .AB=AD=BC=25; :0B=4,∠A0B=90°， 31/58 上好每一堂课 ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点D在 则点D的坐标为 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得：0A=√AB2-0B2=2, 即A(2,0), 点D的横坐标为2-2√5， D(2-2V5,0) 故答案为：(2-2V5,0). 50.(2024广东模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-6ax+6a<0)交x轴于点A, D,交y轴于点B,作平行四边形ABCD,边BC交抛物线于点E,连接DE,若△DCE的面积是12，则 a的值为 D八 【答案】 3 6 【分析】 【详解】解：根据题意可知对称轴为：x= -6a=3: 2a 令x=0,则y=6, 故B(0,6), 将y=6代入y=axC-6ax+6a<0)中， 6=ax2-6ax+6, 解得：x=0或x=6, 故E(6,6), 0B=6, EC=4, AD=BC=10, A-2,0), 将A-2,0)代入y=ax☐-6ax+6a<0, 32/58 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0=4a+12a+6, 解得：a= 89 故答案为：3 8 51.(2025广东广州一模)如图，ABC是等腰直角三角形，LA=90°，AB=2√2，D为线段BC上一动 点，过点D作直线I⊥BC,垂足为D,设BD=x,当点D从点B开始运动至点C过程中，记直线I扫过 ABC的面积为S.当S与x满足关系式S≥x时，x取值范围为 B D 【答案】2≤x≤4 【详解】解：：△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=2V2, AC=AB=2V2,LB=LC=45° -BC=VAB2+AC2=V2+22=4, S6c=21B:AC=x22x22=4 1 过点A作AH⊥BC于点H, BD H :AB=AC,AH⊥BC :.BH=CH=-BC=2,AH =BC=2 2 、2 当0<x<2时，直线1与AB相交，扫过的图形为等腰直角三角形， 由S2r得号22x 解得x≥2或x≤0. :0<x<2,.x≥2或x≤0均不合题意； 当2≤x≤4时，直线1与AC相交，扫过的图形为四边形（或△ABC减去右侧小三角形） 此时CD=4-x,右侧小三角形为等腰直角三角形， 33/58 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 面积为(4-x)2, 5=4-4-=+4x-4 由S2x得2 x+4x-42x, 解得2≤x≤4， :2≤x≤4符合题意， 综上所述，x的取值范围为2≤x≤4. 2025广东揭阳二模)已知：如图，二次函数y=-6@+4的顶点为M,最大值为5与x轧 于A,B两点，与y轴交于点C.以AB为直径作圆，记作⊙D,下列结论： ①抛物线的对称轴是直线x=3； ②点C在⊙D上； ③在抛物线上存在一点E,能使四边形ADEC为平行四边形； ④直线CM与⊙D相切. 正确的结论是 y D 【答案】①②④ 【详解】解：如图，过点C作CE∥BA,交抛物线于点E,连接CD,CM,DM, M :y=a2-6+4, 34/58 品学科网·上好课 :.抛物线的对称轴是直线x= -6a=3,故①正确： 2a :二次函数y=a2-6cx+4的最大值为子， ,25 25 .当x=3时，y= 4 9a-18a+4=名，解得：0=1 41 “.二次函数的解析式为y=一二X x+4, 4 1 3 当0时，4+x+4=0, 21 解得：x1=-2,x2=8, 点A-2,0,B(8,0), .AB=10, :点D为AB的中点， ⊙D的半径为5，D(3,0), 当x=0时，y=4, 点C(0,4), ∴.CD=5, 点C在⊙D上，故②正确； :点C0,4,CE∥BA, 点C,E关于直线x=3对称， 点E(6,4, CE=6, CE≠AB, :四边形ADEC不是平行四边形，故③错误； 表凝题意有：友个宁》。 :C(0,4), 35/58 上好每一堂课 625 16 命学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 .CM2+CD2=MD2, CDM是直角三角形，且∠DCM=90°，即CM⊥CD, :CD是⊙D的半径， :直线CM与⊙D相切，故④正确. 故答案为：①②④ 53.(2025广东湛江一模)抛物线y=-x+1)(x+5)过点C(-2,3),与x轴交于A,B两点（点A在B的 左侧)，若E为y轴上的一点，在F在平面内且满足∠AFB=90°，则CE+EF的最小值为 【答案】√34-21-2+V34 【详解】解：抛物线y=-(x+1(x+5)与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）， -x+1(x+5)=0, 解得x=-5,x=-1, 则点A-5,0),B(-1,0), :点F满足∠AFB=90°， 点F在以AB为直径的圆周上， 设线段AB的中点为M, .M-3,0),半径MB=MF=2, 如图，作点C关于y轴的对称点G,过点G作GH⊥x轴， G B M 则点G(2,3,H(2,0),CG=EG, .CE EF GE EF 当点G、E、F、M共线时取的最小值， :GH=3,MH=MO+OH=3+2=5, 36/58 学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 GM=VGH2+MH2=V32+52=V34, 则CE+EF=GE+EF=FG=MG-MF=√34-2， 故答案为：√34-2. 54.(2025广东深圳一模)如图，抛物线y=-x2+2x+3经过矩形0ABC的两顶点A,B,与x轴交于点D, E,抛物线对称轴与x轴交于点F点P,Q分别为AB、BC边上一点，当四边形OPQF周长最短时，PO与 QF的数量关系为 B 答案】OP=OF 【详解】解：如图，作点O关于直线AB的对称点M, M 由y=-x2+2x+3得：当y=0时，-x2+2x+3=0,解得：x1=-1,x2=3, E(3,0, 当x=0时，y=3, .A(0,3), :四边形ABCO是矩形， 37/58 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB⊥OA,BC⊥0C, ∴A、B关于抛物线对称轴对称； ∴抛物线对称轴为直线x=1, F(0,1,B2,3, .C2,0, ∴E,F关于直线BC对称； 连接ME,交AB于点P,交BC与Q, .OF=OE,OP MP, :此时四边形OPQF周长为OF+OP+PQ+QF=OF+MP+PQ+QE=OF+ME,周长最短， 即点M、P、QE共线时，周长最短， :点O关于直线AB的对称点为M, M(0,6), 设直线ME解析式为y=c+b, [3k+b=0 k=-2 1b=6 ，解得 b=6 直线ME解析式为y=-2x+6, 当y=3时，-2x+6=3,解得：x=3 当x=2时，y=-2×2+6=2, 02,2, OP= +13-0-8500=2-12--5. op-or. 酸答案为：OPQn 55.(2025广东广州三模)如图，己知点Aa,b)是反比例函数y=8(x>0)图象上的动点，AB∥x轴， ACy轴，分别交反比例函数y=(x>0)的图象于点B、C,交坐标轴于E、D,且AC=3CD,连接BC.则 38/58 命学科网·上好课 www.zxxk.com 下列结论：①k=2;②在点A运动过程中，ABC的面积始终 ;④存在点A,使得△ABC∽△OED·其中正确的结论有 B O D 【答案】①③④ 【详解】解：如图，连接CE,BC, :Aa,b),且A在反比例函数y=8x>0)的图象上， 8 ∴.b= B a D :AC∥y轴，且C在反比例函数y=(x>0)的图象上， 又：AC=3CD, AD=4CD,即8=4.k, aa k=2,故①正确. 8 (2 :AB∥x轴， 8 B点的纵坐标为°， 0 :点B在反比例函数y=2的函数图象上， :8=2,解得x=4 .82 a a x 点口8) 4'a 44,4C=826 AB=a-a=3a aaa 39/58 上好每一堂课 9 变，面积为2：③连接DE,则BCI DE (填写所有正确结论的序号) 可学科网·上好课 上好每一堂课 S=14B·AC=.3a.6-9 24a4 在点4运动程中，BC面积不变，始终等于，故②错误 :∠BAC=∠D0E=90°， 3 6 4B-403,4C=8=3 AE a4 AD 84 a .AB_AC AE AD △BAC∽△EAD, .ZABC ZAED BC∥DE,故③正确， 若△ABC∽△OED, .AB_Ac ·OEOD 3a6 4=g .8a a .a>0, a=22, :在点A的运动过程中，当a=2√2时，△ABC∽△OED,故④正确， 故答案为：①③④ 56.（2025·广东广州一模)我们定义一种新函数：形如y=ax2+bx+ca≠0，b2-4ac>0)的函数叫做“鹊 桥”函数.某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数G:y=x2-x-6的图象（如图所示），并写出了下列结论： ①图象与坐标轴的交点为A-2,0),B3,0),C(0,6)； ②当x时，系数取得最大值： ③若(x,y)在函数图象上，则1-xo,yo)也在函数图象上； ④当直线y=-x+m与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是3<m<7. 40/58 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A O 其中正确的结论有 (填写所有正确结论的序号) 【答案】①③④ 【详解】解：：y=x2-x-6, .当x=0时，y=6,当y=0时，x2-x-6=0, 解得：x1=3,x2=-2, ∴.图象与坐标轴的交点为A-2,0),B(3,0),C(0,6);故①正确； 由图象可知：当x≤-2或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，且无最大值，故②错误； 根据图象得：图象的对称轴为，x=2+3_1 22 若(x,yo)在函数图象上，则(1-x,y)也在函数图象上，故③正确： 当直线y=-x+m过点B时，直线与函数图象恰好有3个交点， 即0=-3+m,解得：m=3, 当y=-x+m与-2<x<3之间的图象相切时，恰好有三个交点， 当-2<x<3时，y=-x2+x+6, 令-x+m=-x2+x+6,整理得：-x2+2x+6-m=0, △=22-4×-1×6-m=0, 解得：m=7, :当直线y=-x+m与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是3<m<7,故④正确： 41/58 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 综上，正确的是①③④. 故答案为：①③④. 通关特训 1. (2026广东东莞模拟预测)要使代数式x+1有意义，则x的取值范围是 -2 【答案】x2-1且x≠2 【详解】解：要使代数式x+1有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的要求， x-2 x+1≥0 可得 x-2≠0' 解不等式x+1≥0得x2-1, 解不等式x-2≠0得x≠2， 因此x的取值范围是x≥-1且x≠2. 2.(2026广东广州一模)如图，AB∥CD,直线1平分LB0E,∠1=40°，则∠2= -D 【答案】70°/70度 【详解】解：AB∥CD, ∠1=L3=40°， ∠B0E=180°-∠3=140°， :直线1平分∠B0E, .∠EOF=二∠BOE=70°， .∠2=180°-∠1-∠E0F=70°. 3 B 一D 3.(2026广东珠海一模)如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点P为线段AD的上一点，DP=1, 42/58 画学科网·上好课 www zxxk com 点E是直线BC上的动点，连接AE,将AE绕点E顺时针旋转90C, PF的最小值为 P D E 【答案】52 【详解】解：过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G, P D G :四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=AD=4,∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°， :线段AE绕点E顺时针旋转90至EF, AE=EF,∠AEF=90°， .∠AEB+∠FEG=90, 又：∠BAE+∠AEB=90 在△ABE与△EGF中 [∠BAE=∠FEG ∠BAE=∠FEG AE=EF △ABE≌△EGFAAS .EG=AB=4.FG=BE .BG=BE EG=FG+4 .·BC=4 :CG=BG-BC=FG+4-4=FG :△FCG是等腰直角三角形 43/58 上好每一堂课 点A的对应点为点F,连接PF,则 厨学科网·上好课 上好每一堂课 .∠FCG=45 点F在过点C且与BC成45C角的直线上运动。 延长AD交直线CF于点Q .·AD‖BC ∴∠DQC=∠FCG=45 ∠CDQ=180°-∠ADC=90 '△CQD是等腰直角三角形 ∴.DQ=CD=4 点P为线段AD上一点，DP=1 .PQ=PD+DQ=1+4=5 当PF⊥CQ时， PF有最小值，在Rt PFO中，∠PQF=45°。 4.PF=PO.sin45=5x 2 2 4.(2026广东汕头模拟预测)若二次函数y=x2-3x+2的图象关于x轴对称的图象的解析式为· 【答案】y=-x2+3x-2 【详解】解：设对称后图象上任意一点坐标为(x,y),则该点关于x轴的对称点(x,一y)一定在原二次函数图 象上； 将(x,-y)代入原解析式y=x2-3x+2,得-y=x2-3x+2, 整理后得到对称后的解析式：y=-x2+3x-2. 5.(2026广东佛山一模)如图，AB为O0的直径，∠C=25°，则∠BAD=° D 【答案】65 【详解】解：如图，连接BD, 44/58 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°， AD=AD ∠B=∠C=25°， ∠BAD=180°-∠ADB-∠B=65°. 6.(2026广东广州一模)美国华盛顿大学研究团队在2015年发现了一种新的不规则五边形（如图①）.相 互组合后可完全铺满平面（如图②），不会出现重叠或任何空隙，是全球第十五种能做到此效果的五边形， 这项发明相当于在科学领域中寻获了新原子粒子.设此五边形ABCDE中AE=10cm.则∠C=;该五 边形的周长为 cm. 图① 图② 【答案】 60° 5V2+5V6+50 【详解】解：将图②抽象成几何图形可得， B E D D AAEE D D B E CE D A B B 图③ 由图③可知， 45/58 学科网·上好课 [2∠E=180° 2∠A+∠D=360° 2∠B+∠E=360° 2∠D+∠C=360° ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540° ∠A=105° ∠B=135° 解得{∠C=60°， ∠D=150° ∠E=90° 如图④，连接AD,BD,作DP⊥AB于点P,取CD的中点F,连接BF 图④ 由图③可知，AE=DE=BC=10,CD=AE+DE=20, “ADE是等腰直角三角形， .∠1=∠2=45， .∠3=∠BAE-∠1=60°， 由勾股定理可得，AD=VAE2+DE2=V102+102=10V2, 在RIAADP中，AP=AD·cos∠3=10V2×coS60°=5V2,DP=AD :点F为CD的中点， :.CF DF CD =10=BC, 2 又：∠C=60°， BCF是等边三角形， .∠CBF=∠CFB=60°，BF=CF=DF, 46/58 9g=09uIs×☒0I=87uIs 散系一每并丁 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠FBD=∠FDB=2 ∠CFB=30°， ∴∠CBD=∠CBF+LFBD=90°， ∠6=∠ABC-∠CBD=45°， :△BDP是等腰直角三角形， .BP DP =56, .AB AP BP =52+56, :五边形的周长为AB+BC+CD+DE+AE=5√2+5V6+10+20+10+10=5√2+5V6+50(cm. 7.(2026广东珠海一模)如图是一个圆弧形拱门，拱门圆弧所在圆的半径为2√5米，拱门底部跨度 AB=8米.现要在拱门内加装一根垂直于底边AB的加固立柱MN,点M在圆弧上，点N在AB上，且点N 把线段AB分为1：3的两部分，则线段AM的长度为米. A B 【答案】2√2或2√10 详解】解：当WAB=2时，如图，取圆心O,连接OA,OM,过点O作0C上AB于点C,0D上M ,交MN延长线于点D,则OM=OA=25米， M D2 :AB=8米， 1 AC=三AB=4米， 2 CN=2米，0C=V0A2-AC2=2米， :MN⊥AB, .∠D=∠DNC=∠0CN=90°， ∴.四边形OCND为矩形， .0D=CN=2米，DN=0C=2米， 47/58 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在RtAODM中，OD2+DM2=OM2, :2+(2+Mw2=(252, 解得：MN=2米， ·AM=VAN2+MN2=2√2米； 当AN=3AB=6时，如图，取圆心O,连接OA,OM,过点O作OC14B于点C,OD1MN,交MN延长 4 线于点D,则OM=OA=2√5米， M C --D 同理MN=2米， ·AM=√AN2+MW2=2V10米； 综上所述，AM的长为2√2或2√10米. 8.(2026广东深圳模拟预测)如图，点A是反比例函数y=(k>0)的图象上一点，延长A0交图象另一 支曲线于点B,BC∥y轴且满足AC=BC,∠C=120°.若ABC的面积为8，则k=· 【答案】 6 【详解】解：设点A的坐标为(m,n),其中m>0,n>0, :点A在反比例函数y=人的图象上，即k=mn, x 又：反比例函数图象关于原点中心对称，且直线AB过原点， 点B与点A关于原点对称， .点B的坐标为(-m,-n), :BCIy轴， 48/58 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点C的横坐标为-m,且BC⊥x轴， ∴点A到直线BC的距离h=m-(-m)=2m, :AC=BC,∠ACB=120°， :△ABC为等腰三角形， :∠ABC=∠BAC=1809,120°=30， 2 :BC‖y轴， :直线AB与y轴的夹角为30°， ∴.直线AB与x轴的夹角为60°， :”=tan60°=V5,即n=5m, m :0A=Vm2+n2=m2+3m2=2m,0B=-m)2+(-n)2=Vm2+3m2=2m, ∴AB=0A+0B=2m+2m=4m, 过点C作CD⊥AB于点D,如图， D方 .AC=BC, .AB=2BD, 在RtACBD中，∠CBD=30°， Bp-BC-os305Bc, 2 ·AB=V3BC, :BC=1B、4m 55' 1 S.Amc=2.BC.h=8, 14m.2m=8,即5=0’则有m2=2√5】 25 k=mn=m3m=√5m2=√5×2√5=6. 49/58 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.(2026广东佛山一模)将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B,折痕 为EF,己知AB=AC=10,BC=I5,B'F∥AB,那么AB'的长度是 A B B F 【答案】4 【详解】解：设AB'=x, :AB=AC=10, .∠B=∠C,B'C=AC-AB'=10-x, 由折叠的性质可知：B'F=BF,∠B'FE=∠BFE, :B'F∥AB, :∠B'FC=∠B, 又∠B=∠C, :LB'FC=∠C, B'℉=B'C=10-x, .BF=B'F=10-x,FC=BC-BF=15-(10-x=5+x, B'F∥AB, △B'FC∽△ABC, B'F FC AB BC 即10-x-5+x 1015 解得，x=4 即AB的长度是4. 10. (2024广东清远一模)如图，正方形ABCD和正方形CEFG按照如图所示方式放置，连接AC、AF、 CF,若BG=5,则线段AF的最小值为· F 0 B G 【答案】5 50/58 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：如图，取AF的中点H,连接CH, E F H D B G :正方形ABCD和正方形CEFG, ∴∠ACD=45°=∠ECF, .∠ACF=90°， .CH=AF, 如图，当CH最小时，则AF最小， (D)E(H) A 此时D、E、H重合， 四边形ABGF为矩形， AF=BG=5,即AF的最小值为5. 故答案为：5 11.(2026广东东莞一模)如图，在平面直角坐标系中，RtaA0B的顶点坐标分别是0(0,0)，A0,4, B3,0),其两个锐角的外角平分线相交于点P,若点P恰好在反比例函数y=36的图象上，则△4PB的面积 1 是 A 【答案】15 36 【详解】解：如图，过点P分别作y轴、x轴和AB的垂线，垂足为C、D、E,设点P的坐标为a, 、a 51/58 丽学科网·上好课 www zxxk com D 由题意可知，AP平分∠BAC,BP平分∠ABD, :PC⊥y轴，PD⊥x轴，PE⊥AB, PC=PE=PD,∠PC0=∠PD0=90°， 0=36, a 解得a=6(负根舍去)， .PC PE PD =6, .∠PC0=∠PD0=∠C0D=90°， :四边形OCPD是矩形， PC=PD, 四边形OCPD是正方形， ∴.PC=0C=0D=PD=6, :A(0,4,B(3,0), 0A=4,0B=3, AC=0C-0A=2,BD=0D-0B=3, S△APB=SE方形0GPm-S△AB-S△APC-S△BPD, =e-08-c-号m, 2 =6-x4×3- 1 2 。×6×2-) ×3×6, =36-6-6-9, =15. 12.(2026广东汕头一模)如图，在正方形ABCD中，点E在 CF=AE,点H为DE中点，连接HF和EF,M为EF的中点， ,则DG·HM= 52/58 上好每一堂课 AB边上，点F在BC的延长线上，且 连接HM,作DG⊥HF于点G,若DE=6 而学科网·上好课 www.zxxk.com D H (T M B 【答案】18⑤ 【详解】解：连接DF, H E M :正方形ABCD, .AD=CD,∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°， .∠DCF=180°-∠BCD=90°， ∠A=∠DCF, 又：CF=AE, △ADE≌aCDF(SAS), DE=DF=6,∠ADE=∠CDF, ∠ADE+LCDE=LCDE+∠CDF,即∠EDF=∠ADC=90°， :点H为DE中点，M为EF的中点， .DH-DE-3,HM-DF-3, HF=DH2+DF2=35, :DG⊥HF, 5a-号0H-0F-号Hf-DG,即3x6=3n5DG, 2 DG= 5 )x318v5 DG.HM=6 51 13.(2026广东佛山一模)如图，△0AB的边OB落在x轴上， 53/58 上好每一堂课 点C是线段AB的中点，反比例函数 可学科网·上好课 www zxxk com y=上(k>0,x>0)的图像经过点4和点C.若△04B的面积为9，则k的值 B 【答案】6 【详解】解：过A作AD⊥OB于D, D B x :点A在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上， 设Am,n,则有mn=k, :△0AB的面积为9， 0B=18, n n :点C是AB的中点， C/ mn+18 n 2n 2 :点C在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上， wn+18 n =k, 2n2 mn+18 n =mn 2n2 .mn=6, ∴.k=6. 14.(2026广东深圳一模)如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC=90°， 接AC，BD交于点E,则AE CE 54/58 上好每一堂课 为 am∠4C8=2AD-4,兰 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 【答案】3 22 【详解】解：：∠ABC=90°， :AC为圆的直径， LADC=90°， .tan∠ACB= AB 1 BC2' :BC =2AB, 又40-4B, 3, BC 2AB 4 不妨设AB=2a,则BC=4a,AD=3a, :AC=AB2+BC2=25a,CD=AC2-AD2=1a, :∠AED=∠BEC(对顶角相等)，∠ADE=∠BCE(同弧所对圆周角相等)， .△ADE∽△BCE, AE AD 3a 3 BE BC 4a4' :∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，∠ABE=∠DCE(同弧所对圆周角相等)， ·△ABE∽△DCE, BE AB 2a 211 CE CD 11a 11 AEAE BE 3 2v11 3v11 CE BE CE 4 11 22 15. (202526九年级上广东佛山·月考)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，动点P以 每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正 方形DPEF.设点P的运动时间为s,正方形DPEF的面积为S,当点P由点B运动到点A时，经探究发现S 是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.根据图象信息，求得线段AB的长为· 55/58 学科网·上好课 www.zxxk.com 18 BPC 02 图1 图2 【答案】6 【分析】 【详解】解：如图，连接BD,过点D作DG⊥AB于点G, 当点P在线段CB上运动时， 在Rt△PCD中，PC=t,则S=PD2=t2+CD2, :函数值随t的增大而增大，与点B重合时最大； 当点P在线段BA上运动时，PD的长度是先减小，到与点G重合时， 到最大，而S=PD2, “S先减小，再增大，在与点G重合时最小，与点A重合时达到最大， 结合图象知，BC=2,DG2=2,AD2=18, :DG=2,AD=32, 在Rt△ADG中，由勾股定理得AG=VAD2-DG2=V18-2=4, :∠DGA=∠C=90°，LA=∠A, ∴.△ADG∽△ABC, .AD_DG ABBC2 AB =2AD =6, 2 D 图1 故答案为：6. 56/58 上好每一堂课 达到最小，再增大，与点A重合时达 学科网·上好课 www zxxk com 16.(2026广东汕头一模)如图1，在ABC中，∠C=90°，D为边AC上 长度的速度从点A出发，沿折线AB-BC匀速运动，到达点C后停止，连接DE 位：秒)，DE2为y.在动点E运动的过程中，y与x的函数图象如图2所示 C E 图1 B0八 图2 (1)线段AD的长为 (2)在整个运动过程中，y的最大值为 【答案】 3 54 【分析】 【详解】解：(1)由函数图象得，函数图象经过点(0,9， 当x=0时，AD2=DE2=9, AD=V9=3, 故答案为：3； (2)由函数图象得，当动点E运动到达点C后，CD=√少=3， 当点E与点B重合时，y的值最大， 由函数图象经过点(4,9)， 则当AE=4时，DE=√9=3， 当AE=4时，连接CE,BD,作DF⊥AB于点F, D B .DA=DE=DC=3,AC=AD+CD=6, ∴∠DAE=∠DEA,LDCE=∠DEC, :∠DAE+∠DCE+∠DEC+∠DEA=180°， 57/58 上好每一堂课 点.动点E以每秒1个单位 设点E的运动时间为x(单 函学科网·上好课 www.zxxk com ∠AEC=∠DEA+∠DEC=90°， :LACB=90°， .LACE=90°-∠A=∠B, :∠ACB=∠AEC=90°， .△ACEn△ABC, ABAC’ AC2=AE×AB, AB=6」 =9, 4 .DA=DE,AE=4, AF=EF=-AE=2, 2 .DF2=AD2-AF2=32-22=5,BF=AB-AF=7, BD=DF2+BF2=5+49=54, 当点E与点B重合时，y的值最大，y最大值=DE2=BD2=54, y的最大值为54. 58/58 系一每环丁