专题09 分数的四则运算（思维导图+考点梳理+例题讲解+真题演练）-2026年小升初数学复习讲义人教版

专题09 分数的四则运算 （思维导图+考点梳理+例题讲解+真题演练） 思维导图 考点梳理 考点一、分数的加、减法 1. 同分母分数加减法 (1)法则：分母不变，只把分子相加减。 (2)注意：计算结果能约分的要约成最简分数；结果是假分数的通常化成带分数或整数。 (3)字母表示： （ ） 2. 异分母分数加减法 (1)核心步骤：先通分，将异分母分数转化为同分母分数，再按照同分母分数加减法的法则进行计算。 (2)通分方法：找出几个分母的最小公倍数作为公分母。 (3)算理依据：只有分数单位相同（即分母相同）时，分子才能直接相加减。 3. 分数加减混合运算 (1)运算顺序： ①　没有括号的，按照从左到右的顺序计算。 ②　有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。 (2)简便运算技巧： ①　加法交换律： ②　加法结合律： ③　减法的性质： ； ④　提示：在分数加减混合运算中，可以一次性通分所有分数，也可以分步通分，视具体数字特征而定，以简便为准。 考点二、分数乘法 1. 分数乘整数 (1)意义：求几个相同加数和的简便运算。 (2)法则：用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 (3)优化策略：计算过程中，整数与分母能约分的，先约分再计算，结果更简便。 2. 分数乘分数 (1)意义：求一个数的几分之几是多少。 (2)法则：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 (3)公式： （ ） (4)优化策略：计算前，交叉约分（分子的因数与分母的因数约分），确保结果为最简分数。 3. 小数乘分数 (1)方法一：把小数化成分数，再按分数乘法计算。 (2)方法二：如果小数能与分数的分母约分，可直接约分后计算。 (3)方法三：把分数化成小数（仅限分母只含质因数2和5的情况），再按小数乘法计算。 4. 乘法运算定律在分数中的应用 (1)乘法交换律： (2)乘法结合律： (3)乘法分配律： (4)逆运用： (5)重点：小升初常考利用乘法分配律进行分数的简便计算，需敏锐识别公共因数。 5. 倒数 (1)定义：乘积是1的两个数互为倒数。 (2)求法： ①　分数的倒数：交换分子和分母的位置。 ②　整数的倒数：整数看作分母为1的分数，再交换位置。 ③　小数的倒数：先化成分数，再求倒数。 ④　带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。 (3)特例：1的倒数是1；0没有倒数。 考点三、分数除法 1. 分数除法的意义 (1)已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。它是分数乘法的逆运算。 2. 计算法则 (1)核心规则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 (2)公式： （ ） (3)步骤分解： ①　被除数不变。 ②　除号变乘号。 ③　除数变为其倒数。 ④　按分数乘法法则计算并约分。 3. 商与被除数的大小关系 (1)当除数 时，商 被除数； (2)当除数 时，商 被除数； (3)当除数 （且 ）时，商 被除数。 (4)应用：此规律常用于不用计算直接判断大小或检查计算结果的合理性。 4. 分数混合运算中的除法处理 (1)在含有除法的混合运算中，通常先将所有的除法转化为乘法，统一为连乘形式，再进行约分和计算，这样能有效减少错误。 考点四、分数的四则混合运算 1. 运算顺序 (1)同级运算：如果一个算式中只含有加减法或只含有乘除法，要从左往右依次计算。 (2)两级运算：如果一个算式中既有加减法又有乘除法，要先算乘除法，后算加减法。 (3)括号优先：如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2. 简便运算的综合应用 在四则混合运算中，需灵活观察数据特征，综合运用以下策略： (1)凑整法：利用加法结合律、乘法结合律，将能凑成整数（如1, 10, 100等）的数先结合。 (2)拆分法：将一个数拆分成两个数的和、差、积、商，以便与其他数进行简便运算（如 ）。 (3)转化法：将除法转化为乘法，将小数转化为分数，统一形式后寻找公因数使用分配律。 (4)去括号法：注意括号前是减号或除号时，去括号后括号内各项符号的变化（减变加，除变乘且取倒数）。 3. 常见易错点警示 (1)运算顺序错误：忽视“先乘除后加减”或括号优先级。 (2)倒数混淆：在除法转乘法时，只改变了符号未改变除数为倒数，或错误地将所有数都取倒数。 (3)约分遗漏：计算结果未化成最简分数，或在连乘过程中漏掉可约分的项。 (4)抄写错误：在多步运算中，抄错数字或符号。 (5)0的处理：0不能作除数；0乘任何数得0；0除以任何非0数得0。 4. 解决问题的一般步骤（思维框架） 虽然本题不包含应用题，但四则运算服务于问题解决，需建立以下思维链接： (1)审题：确定单位“1”。 (2)列式：根据数量关系列出综合算式。 (3)计算：严格执行上述四则混合运算规则。 (4)检验：估算结果范围，检查逻辑合理性。 例题讲解 题型一、分数的加、减法 【例题1】下面四个算式中的“7”和“3”可以直接相加减的是（    ）。 A．467＋358 B．4.79－1.3 C．－ D．7＋ 【答案】B 【分析】根据整数、小数、分数加法、减法的计算法则，计算整数加减法，相同数位对齐，从个位算起；计算小数加减法，把小数点对齐（也就是相同数位上的数对齐），从最低位算起，计算异分母分数加减法，先通分，把异分母分数分成化成与原来大小相等的同分母分数，然后按照同分母分数加减法的计算法则计算，据此解答。 【详解】A．，因为在个位上，在百位上，所以和不能直接相加； B．，因为在十分位上，在十分位上，所以和可以直接相减； C．，因为两个分数的分母不同，所以和不能直接相加； D．，因为整数表示，所以和不能直接相加。 “7”和“3”可以直接相加减的是“”。 故答案为：B 【练习1】直接写得数。                                                                              【答案】 ；；； ；；； 题型二、分数乘法 【例题2】自然界中有许多动物都要冬眠，如：熊、蛇、青蛙等。青蛙的冬眠时间是熊的，熊的冬眠时间是蛇的，蛇的冬眠时间是180天，青蛙的冬眠时间是多少天？ 【答案】150天 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用180乘即可得到熊的冬眠时间，再用熊的冬眠时间乘即可求出青蛙的冬眠时间。 【详解】180×× ＝120× ＝150（天） 答：青蛙的冬眠时间是150天。 【练习2】C919大型客机是中国首款完全按照最新国际适航标准研制的单通道大型干线客机，具有中国完全的自主知识产权。C919大型客机的翼展约36米，机身的长度比翼展长。C919大型客机的机身约长多少米？ 【答案】39米 【分析】把C919大型客机的翼展约36米看作单位“1”，机身的长度比翼展长，则机身的长度相当于翼展的，根据分数乘法的意义，用36×即可得C919大型客机的机身约长多少米。 【详解】36× ＝36× ＝39（米） 答：C919大型客机的机身约长39米。 题型三、分数除法 【例题3】青山小学开展了形式多样的“阳光体育活动”。其中乒乓球队有45人，足球队的人数是乒乓球队的，同时又是篮球队人数的，篮球队有多少人？ 【答案】42人 【分析】先以“乒乓球队人数”为单位“1”，用乘法求出足球队人数；再以“篮球队人数”为单位“1”，用除法求出篮球队人数。据此解答。 【详解】 （人） 答：篮球队有42人。 【练习3】为了增强身体素质，李明每天进行一定时间的体育锻炼。李明今天体育锻炼的时间是60分，比昨天的时间减少了。李明昨天体育锻炼的时间是多少分？ 【答案】80分 【分析】把李明昨天体育锻炼的时间看作单位“1”，则今天体育锻炼的时间是昨天的1－，根据求已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数用除法解答，求李明昨天体育锻炼的时间，列式为60÷（1－），计算即可解答。 【详解】60÷（1－） ＝60÷ ＝60× ＝80（分） 答：李明昨天体育锻炼的时间是80分。 题型四、分数的四则混合运算 【例题4】计算下面各题，能简算的要简算。                        【答案】；5； 【分析】（1）先算小括号内的加法，再算中括号内的乘法，最后算括号外的除法（注意小数与分数的统一）； （2）利用减法的性质（一个数连续减两个数，等于减这两个数的和）简算，先统一小数与分数； （3）利用乘法交换律和结合律简算（调整因数位置，约分简化计算）。 【详解】（1） （2） （3） 【练习4】计算下面各题，能简便计算的要简便计算。 （1）                 （2） （3）        （4） 【答案】（1）；（2）7； （3）7.7；（4） 【分析】（1）先把分数除法改写成分数乘法，再从左往右依次计算。 （2）先把分数除法改写成分数乘法，再利用乘法分配律的逆运算进行简便计算。 （3）根据四则混合运算的顺序，先算乘法，再算加法，最后算除法。 （4）根据四则混合运算的顺序，先算减法，再算乘法，最后算除法。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝7 （3） ＝ ＝ ＝7.7 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ 真题演练 1．（2025·山东菏泽·毕业考真题）下面的算式计算结果比1大的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算四个选项算式的结果，再与1比较大小即可。 A．分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分； B．根据除以一个非零数等于乘这个数的倒数，将除法转换成乘法计算； C．异分母分数相加减，先通分化成同分母分数，再分子相加减； D．异分母分数相加减，先通分化成同分母分数，再分子相加减。 【详解】A．，＜1，该选项不符合； B． ＝ ＝ ＜1，该选项不符合； C． ＝ ＝ ＞1，该选项符合； D． ＝ ＝ ＜1，该选项不符合。 计算结果比1大的是。 故答案为：C 2．（2025·新疆克拉玛依·毕业考真题）自然数（0除外）、、、满足，则、、、中最小的一个是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用特殊值法，利用分数的意义以及分数的大小比较来解决问题。自然数（0除外）、、、，假设，再分别求出、、的数值，然后比较、、、的大小，即可得解。 【详解】假设 则， ， ， 因为， 所以最小的是， 故答案选：A 3．（2025·四川绵阳·毕业考真题）已知甲数是乙数的4倍，乙数是丙数的多3，已知丙数是18，则甲数为（    ）。 A．15 B．60 C．68 D．40 【答案】B 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法。已知：乙数是丙数的多3，则丙数×＋3＝乙数，又知：甲数是乙数的4倍，所以乙数×4＝甲数，据此列式计算即可。 【详解】 ＝12＋3 ＝15 15×4＝60 已知甲数是乙数的4倍，乙数是丙数的多3，已知丙数是18，则甲数为60。 故答案为：B 4．（2025·湖南长沙·毕业考真题）一个挂钟的分针长20cm，经过小时后，这根分针的尖端所走过的路程是（    ）。 A．94.2cm B．942cm C．47.1cm D．471cm 【答案】A 【分析】分针长度相当于圆的半径，经过小时后，这根分针的尖端所走过的路程是圆周长的，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，求出圆的周长，再用圆的周长×即可。 【详解】2×3.14×20× ＝125.6× ＝94.2（cm） 这根分针的尖端所走过的路程是94.2cm。 故答案为：A 5．（2024·四川成都·毕业考真题）如图所示能用“表示或解决”的是（    ）。 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①先把整个图形看作单位“1”，平均分成4份，浅色阴影部分占其中的3份，用分数表示为；再把浅色阴影部分看作单位“1”，平均分成4份，深色阴影部分占其中的1份，用分数表示为；那么深色阴影部分是整个图形的的，根据求一个数的几分之几，用乘法列式。 ②已知小时走了千米，根据“速度＝路程÷时间”，求出每小时行多少千米。 ③已知长方形总面积为m2，阴影部分的面积占，求阴影部分的面积，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 ④求米的是多少米，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】①求深色阴影部分是整个图形的几分之几，列式为：，符合题意； ②求每小时行多少千米，列式为：÷，不符合题意； ③求阴影部分的面积，列式为：，符合题意； ④求米的是多少米，列式为：，符合题意。 所以，能用表示或解决的是①③④。 故答案为：C 6．（2025·浙江宁波·毕业考真题）按照健康饮食标准，李老师家六口人，每人每天食用油的摄入量控制在，李老师家一共吃掉的食用油可能是（    ）。 A．4kg B．5kg C．6kg D．7kg 【答案】B 【分析】用每人每天食用油的摄入量乘6，即可计算出李老师家一天一共吃掉的食用油质量，再乘30天，即可计算出李老师家一个月一共吃掉的食用油。分别用每人每天食用油的摄入量的最多千克数和最少千克数乘6再乘30即可计算出李老师家一共吃掉的食用油最多、最少各是多少千克，再选择在此区间的答案即可。 【详解】 ＝ ＝（kg） ＝4.5（kg） ＝ ＝（kg） ＝5.4（kg） 4＜4.5＜5＜5.4＜6＜7 按照健康饮食标准，李老师家六口人，每人每天食用油的摄入量控制在，李老师家一共吃掉的食用油可能是5kg。 故答案为：B 7．（2025·河南郑州·毕业考真题）有一台数码照相机，成像质量分“最好”、“好”、“一般”三种。这台相机配的存储卡最多可存储“最好”的相片120张，或存储“好”的相片160张，或存储“一般”的相片280张。现在这张存储卡中已存有“最好”的相片30张。“好”的相片60张。那么，还能存“一般”的相片（    ）张。 A．108 B．100 C．96 D．105 【答案】D 【分析】把这台数码照相机的存储空间看作单位“1”。用总的存储空间减去已经存储的空间，算出还剩的存储空间，再除以存每张“一般”相片的空间即可。 【详解】30÷120＝ 60÷160＝ ＝ ＝ ＝105（张） 所以，还能存“一般”的相片105张。 8．（2025·湖北武汉·毕业考真题）A×＝B×＝C÷＝D÷15（A、B、C、D为非0的正数）。最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 B A 【分析】假设A×＝B×＝C÷＝D÷15＝1，根据“因数＝积÷另一个因数”“被除数＝商×除数”，分别求出A、B、C、D的值，然后比较即可解答。 【详解】假设A×＝B×＝C÷＝D÷15＝1， A×＝1 A＝1÷ ＝1× ＝ B×＝1 B＝1÷ ＝1×20 ＝20 C÷＝1 C＝1×＝ D÷15＝1 D＝1×15＝15 20＞15＞＞，所以B＞D＞C＞A。 所以A×＝B×＝C÷＝D÷15（A、B、C、D为非0的正数）。最大的是B，最小的是A。 【点睛】本题的解题关键是运用赋值法，先假设A×＝B×＝C÷＝D÷15＝1的结果为1，再利用乘除逆运算分别算出A、B、C、D的具体数值，最后通过比较这些数值的大小，确定其中最大和最小的数。 9．（2025·四川绵阳·毕业考真题）一个长方体的长是8分米，宽是6分米，高是4分米，如果把这个长方体的长、宽、高都缩小到原来的，那么现在的长方体的体积是原来长方体体积的( )。 【答案】 【分析】一个长方体的长是8分米，宽是6分米，高是4分米，如果把这个长方体的长、宽、高都缩小到原来的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，则变化后的长方体的长宽高分别为8×＝4分米，6×＝3分米，4×＝2分米，由此利用长方体的体积公式计算出变化前后的长方体的体积，再相除即可解答问题。长方体体积＝长×宽×高。 【详解】8×＝4（分米） 6×＝3（分米） 4×＝2（分米） 4×3×2÷（8×6×4） ＝12×2÷（48×4） ＝24÷192 ＝ 所以现在的长方体的体积是原来长方体体积的。 10．（2025·安徽合肥·毕业考真题）成语“半斤八两”意指古时半斤与八两二者轻重相等，比喻彼此不相上下，实力相当。按照半斤等于八两推算斤是( )两。 【答案】12 【分析】根据“半斤八两”的描述，即古时1斤有（8×2）两。斤表示将1斤，即（8×2）两看作单位“1”，其中的是多少两。根据求一个数的几分之几是多少用乘法，列式计算即可。 【详解】8×2× ＝16× ＝12（两） 按照半斤等于八两推算斤是12两。 11．（2025·江苏苏州·毕业考真题）活动课上，同学们用铁丝圈成一个等腰三角形，其中两条边的长度分米和分米，这个三角形的周长是( )分米。 【答案】 【分析】等腰三角形的特征是两条腰相等，已知一个等腰三角形的两条边的长度分别是分米和分米，则另外一条边可能是分米或分米；根据三角形的两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边求出另一条边的长度，最后把三条边相加之和就是这个等腰三角形的周长。 【详解】如果这个等腰三角形的腰长度是分米。 ＋＝，因为＜，不满足三角形的两边之和大于第三条边，所以这个等腰三角形的腰长度是分米。 ＋＋ ＝＋＋ ＝＋ ＝（分米） 这个三角形的周长是分米。 12．（2025·河南郑州·毕业考真题）一只蜂鸟分钟飞行了千米，照这样计算，这只蜂鸟飞行2千米需要用( )分钟。 【答案】 【分析】已知蜂鸟在分钟内飞行了千米，速度不变。要求飞行2千米所需的时间，可以先求出蜂鸟的速度（即每分钟飞行的距离），再根据速度求时间；或者先求出飞行1千米所需的时间，再求飞行2千米的时间。由于速度不变，时间与距离成正比。 【详解】方法一：先求速度，再求时间。 速度＝距离÷时间＝（千米/分钟）。 飞行2千米所需时间＝距离÷速度＝（分钟）。 方法二：先求飞行1千米所需时间，再求飞行2千米的时间。 飞行1千米所需时间＝时间÷距离＝（分钟）。 飞行2千米所需时间＝（分钟）。 综上，这只蜂鸟飞行2千米需要用 分钟。 13．（2025·浙江宁波·毕业考真题）根据线段图，小海列出了算式，他要解决的问题是( )。 【答案】篮球队有多少人 【分析】由图可知：参加游泳队的有36人，把参加游泳队的人数看作单位“1”，参加足球队的人数是参加游泳队人数的，单位“1”已知，用36乘计算出参加足球队的人数； 再把参加足球队的人数看作单位“1”，参加篮球队的人数是参加足球队人数的，单位“1”已知，用参加足球队的人数乘，求出参加篮球队的人数。 【详解】表示游泳队的人数×＝足球队的人数 表示足球队的人数×＝篮球队的人数 所以，小海列出了算式，他要解决的问题是（篮球队有多少人）。 14．（2025·浙江宁波·毕业考真题）一项工程，甲队独做6天完成，乙队独做9天完成。如果两队先合做3天，能完成这项工程的( )，剩下的由乙队独做，还需( )天才能完成。 【答案】 //1.5 【分析】将这项工程的工作量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作量÷工作时间”先分别计算甲队和乙队的工作效率；然后将甲队和乙队的工作效率求和求出合作效率；再根据“合作工作量＝合作效率×合作时间”计算出合作3天能完成的工作量； 根据“剩余工作量＝1－合作工作量”计算出剩余工作量；再根据“乙队工作时间＝剩余工作量÷乙队工作效率”计算出还需要的天数； 据此解答。 【详解】1÷6＝ 1÷9＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（天） 如果两队先合做3天，能完成这项工程的，剩下的由乙队独做，还需天才能完成。 15．（2025·河南商丘·毕业考真题）直接写得数。                                                            【答案】12；20；；； ；；； 16．（2025·湖北武汉·毕业考真题）直接写得数。                          24.24÷12＝          【答案】1.5；；； 0.4；2.02；；0.5 17．（2025·云南昆明·毕业考真题）下面各题，能简算的要简算。                                         【答案】；70 34； 【分析】根据四则混合运算的顺序，①先算乘法，再算加法； 乘法分配律：指两个数的和与一个数相乘时，可将其分别与该数相乘后再相加，用字母表示为（a＋b）×c＝a×c＋b×c；②③根据乘法分配律计算； 根据四则混合运算的顺序，④先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法。 【详解】① ② ＝（37.5＋62.5）×0.7 ＝100×0.7 ＝70 ③ ＝12＋40－18 ＝34 ④ 18．（2025·江西吉安·毕业考真题）下列各题怎样简便怎样算。                            【答案】；76 3.8； 【分析】，先算除法，再从左往右算，除以一个数等于乘这个数的倒数； ，根据乘法分配律，小括号里的数分别与括号外的两个数连乘，再相加； ，去括号，括号里的加号变减号，再将小数和分数交换到一块进行结合，注意括号前边是减号，添上括号，括号里的减号变加号； ，将除法改写成乘法，百分数化成分数，逆用乘法分配律，先算（＋＋1），再与相乘。 【详解】 19．（2025·北京丰台·毕业考真题）计算下面各题。 108－972÷54              2.5×（9.8－1.6）÷5                                           【答案】90；4.1；； ；； 【分析】108－972÷54先算除法再算减法； 2.5×（9.8－1.6）÷5先算小括号里面的减法，再按从左往右的顺序计算； 通过添加小括号先计算与的和，与的和，再计算减法即可简便运算； 提出逆用乘法分配律计算比较简便； 先算小括号里面的减法，再按从左往右的顺序计算； 先算小括号里面的减法，再算中括号里面的加法，最后算括号外面的加法。 【详解】108－972÷54 ＝108－18 ＝90 2.5×（9.8－1.6）÷5 ＝2.5×8.2÷5 ＝20.5÷5 ＝4.1 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 20．（2025·湖北十堰·毕业考真题）计算下列各题。                                【答案】；1 ；5.61 【分析】（1）先算乘除法，再算减法即可； （2）运用带符号搬家和减法的性质，将原式化为，据此进行计算即可； （3）先把带分数化为假分数，即把原式化为，然后先算小括号里面的乘法，再算减法，最后算括号外面的除法即可； （4）先将带分数和1.25化为分数，即化为，然后再算分母中的除法和分子中的乘法，再化简分数为7.8，最后再算减法即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝5.61 21．（2025·重庆綦江·毕业考真题）一个大型农场运用联合收割机收割小麦，已经收割了，还剩下40公顷。这个农场小麦的种植面积一共是多少公顷？ 【答案】100公顷 【分析】把小麦的种植面积看作单位“1”，已经收割了，则还剩下的40公顷占种植面积的（1－），单位“1”未知，用还剩下的面积除以（1－），求出小麦的种植面积。 【详解】40÷（1－） ＝40÷ ＝40× ＝100（公顷） 答：这个农场小麦的种植面积一共是100公顷。 22．（2025·四川遂宁·毕业考真题）根据算式补充信息。 六（1）班有学生45人，_____。这个班的男生有多少人？ (1)补充信息( )。 (2)补充信息( )。 【答案】(1)男生人数是全班人数的； (2)全班人数比男生人数多； 【分析】（1）通过算式可知全班人数是单位“1”男生人数与全班人数有关系，当全班人数是9份时，男生人数是5份，所以需要补充的条件是男生人数是全班人数的。 （2）通过算式可知男生人数是单位“1”，男生人数与全班人数有关系，全班人数比男生多。据此补充条件。 【详解】（1）因为全班人数是单位“1”，所以补充的条件是：男生人数是全班人数的； （2）因为男生人数是单位“1”，所以补充的条件是：全班人数比男生人数多； 23．（2025·重庆梁平·毕业考真题）如图，线段1的长度用“1”表示（可用学具帮助分析）。那么： （1）线段2的长度用哪个数表示？为什么？（写出你的做法和结果） （2）已知线段3的长度是线段2的4倍，从这个角度思考，线段3的长度用哪个数表示？为什么？（写出你的想法和结果） 【答案】（1）；见详解 （2）；见详解 【分析】（1）线段1的长度用“1” 表示，把线段1按线段2的长度平均分，看能分成几份，线段2的长度占1份，根据分数的意义可得出线段2的长度表示的数。 （2）已知线段3的长度是线段2的4倍，根据求一个数的几倍是多少，用乘法求出线段3的长度。 【详解】（1）如图： 答：线段2的长度用表示。因为把线段1按线段2的长度平均分，可以分成6份，所以线段2相当于线段1的。 （2）×4＝ 答：线段3的长度用表示。因为线段3的长度是线段2的4倍，用线段2的长度乘4，即是线段3的长度。 24．（2025·重庆沙坪坝·毕业考真题）某校五年级共有三个班，已知一班、二班、三班各班的学生数相等，一班的男生数与二班的女生数相同，三班的男生占全年级男生的，那么全年级女生占全年级学生的几分之几？ 【答案】 【分析】分析题目，把全年级的总人数看作单位“1”，因为“一班、二班、三班各班的学生数相等”，所以每班人数占全年级的，根据“一班的男生数与二班的女生数相同”可知：一班和二班这两个班男生人数占全年级学生的；又因为“三班的男生占全年级男生的”，所以一、二班的男生占全年级男生的（1－），则全年级男生占全年级学生的[÷（1－）]， 最后用1减去全年级男生占全年级学生的分率即可解答。 【详解】1－÷（1－） ＝1－÷ ＝1－× ＝1－ ＝ 答：全年级女生占全年级学生的。 25．（2025·河南新乡·毕业考真题）修路队修一条路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩下1200米没有修完，这条路一共长多少米？ 【答案】2000米 【分析】将这条路的全长看作单位“1”，用单位“1”减去前两天已修路占全长的分率，求出剩下路程占全长的分率，正好对应未修的1200米，根据“总量＝部分量÷部分分率”，用除法计算出这段路的全长。 【详解】1－－ ＝－ ＝－ ＝ ＝ 1200÷ ＝1200× ＝2000（米） 答：这条路全长2000米。 26．（2025·四川绵阳·毕业考真题）一个玻璃瓶内装有盐水，盐的重量是水的，加入15克盐后，盐的重量占盐水总量的。瓶内原有盐水多少克？ 【答案】480克 【分析】本题的核心是水的质量不变。已知盐的重量是水的，这意味着把水的重量看作11份，盐的重量就是1份，此时盐占水的比例为。加入15克盐后，盐的重量占盐水总量的。盐水由盐和水组成，若把盐水总量看作9份，盐占1份，那么水就占9－1＝8份，因此此时盐占水的比例变为。盐占水的比例从原来的变成了，比例增加了－＝。这个比例的增加正是因为加入了15克盐，所以15克盐对应的就是水重量的。 根据对应量÷对应比例＝单位“1”的量，可算出水的重量为15÷＝440克；再根据原有盐是水的，算出原有盐的重量为440×＝40克（求一个数的几分之几用乘法）；最后将原有盐和水的重量相加，得到原有盐水重量为440＋40＝480克。 【详解】根据题意，加入15克盐后，盐的重量占盐水总量的，则盐的质量占水的质量的。 15÷（－） ＝15÷（－） ＝15÷ ＝15× ＝440（克） 440×＝40（克） 440＋40＝480（克） 答：瓶内原有盐水480克。 【点睛】这道题的核心关键是水的重量始终没有变化，我们可以通过盐与水的比例变化，找到加入的15克盐对应的比例，进而根据量率对应求出水的重量，再算出原有盐水的重量。 27．（2025·河南郑州·毕业考真题）两列火车从甲乙两地同时相对开出，4小时后在距中点48千米处相遇。已知慢车的速度是快车速度的，计算快车和慢车的速度各是多少？甲乙两地相距多少千米？（用算式或方程解） 【答案】快车84千米/时；慢车60千米/时；576千米 【分析】已知两列火车相向而行，4小时后在距中点48千米处相遇，说明相遇时快车比慢车多行（48×2）千米，用路程差除以相遇时间，求出每小时快车比慢车多行的路程，即两车的速度差； 已知慢车的速度是快车速度的，把快车的速度看作单位“1”，则快车与慢车的速度差占快车速度的（1－），单位“1”未知，用两车的速度差除以（1－），求出快车的速度； 再根据求一个数的几分之几是多少，用快车的速度乘，求出慢车的速度； 最后根据“速度和×相遇时间＝路程”，求出两地的距离。 【详解】两车的速度差： 48×2÷4 ＝96÷4 ＝24（千米/时） 快车的速度： 24÷（1－） ＝24÷ ＝24× ＝84（千米/时） 慢车的速度： 84×＝60（千米/时） 两地相距： （84＋60）×4 ＝144×4 ＝576（千米） 答：快车的速度是84千米/时，慢车的速度是60千米/时，甲乙两地相距576千米。 【点睛】本题考查相遇问题，先由两车在距中点48千米处相遇，得出相遇时快车比慢车多行的路程，再计算出每小时快车比慢车多行的路程；然后根据快车与慢车速度的关系，利用分数除法的意义求出快车的速度，进而求出慢车的速度是解题的关键。 28．（2025·浙江温州·毕业考真题）学校对初一6班36名新生进行了一次抽样调查，了解学生游泳和自行车两项运动技能。调查结果发现：每个学生至少会一样，有的学生两样都会，有的学生会游泳。则会骑自行车的学生有多少人？ 【答案】21人 【分析】用36分别乘和求出两样都会和会游泳的学生人数，根据总人数＋两样都会人数＝会游泳人数＋会骑自行车人数，求出会骑自行车的人数，据此解答。 【详解】36＋36×－36× ＝36＋9－24 ＝45－24 ＝21（人） 答：会骑自行车的学生有21人。 29．（2025·安徽合肥·毕业考真题）六年级举行书画艺术比赛。六（1）班和六（2）班所交作品件数如图所示。两个班一共交了多少件作品？ 【答案】55件 【分析】将六（1）班交的作品件数看作单位“1”，利用六（1）班的件数乘（1＋）求出六（2）班的件数。将两个班的件数相加，即可解题。 【详解】25＋25×（1＋） ＝25＋25× ＝25＋30 ＝55（件） 答：两个班一共交了55件作品。 30．（2025·四川绵阳·毕业考真题）如图，从A到B是0.5千米的上坡路，从B到C是3千米的平路，从C到D是2.5千米的上坡路。下坡速度都是每小时6千米，平路速度都是每小时4千米，上坡速度都是每小时3千米。如果小张与小王分别从A、D两地同时出发，相向步行，几小时两人相遇？ 【答案】小时 【分析】观察图形可知：小张从点A出发，在AB阶段上坡，结合时间＝路程÷速度，计算出小张在AB花费的时间：0.5÷3＝（小时）； 小王从点D出发，在CD阶段下坡，结合时间＝路程÷速度，计算出小王在CD花费的时间：2.5÷6＝（小时）； ，所以小张先到BC平路上，等小王到BC平路上时，小张已经走了的路程：，此时平路还剩下的路程：，这一部分的路程小王小张两人以每小时4千米的速度相向而行，计算出这段路程的时间再加上小王到C点的时间就是小张与小王分别从A、D两地同时出发，相向步行，相遇需要的时间，据此列式即可。 【详解】0.5÷3＝（小时） 2.5÷6＝（小时） （小时） （小时） 答：如果小张和小王分别从A、D两地同时出发，相向步行，小时两人相遇。 【点睛】行程问题中，时间＝路程÷速度，本题中计算出在AB段和CD段需要的时间，进而判断出相遇点在BC段，再结合相向而行，时间＝路程÷速度和，进行分析计算。 31．（2025·江苏淮安·毕业考真题）五福食品厂接到一批面包订单，第一天上午完成了这批订单的，下午完成了这批订单的，还剩420个第二天上午完成，这批订单共订了多少个面包？ 【答案】1200个 【分析】把这批订单共订面包的总数看作单位“1”，则还剩的420个所对应的分率是（），根据分数除法的意义，即可计算出这批订单共订了多少个面包。 【详解】420 ＝420 ＝420 ＝420 ＝420 ＝1200（个） 答：这批订单共订了1200个面包。 32．（2025·河南郑州·毕业考真题）一间房，由甲乙两个工程队合盖，需要24天完成。现在由甲队先盖6天，再由乙队盖2天，这样共完成工程的，如果从开始就由甲队单独盖，需要多少天盖好？ 【答案】60天 【分析】将整个工程看作工作总量“1”，因为“甲乙两个工程队合盖，需要24天完成”，则甲乙合作效率为。由题意知“现在由甲队先盖6天，再由乙队盖2天”，也可理解为：看作甲乙合干2天，甲队盖（6－2）天。甲乙合干2天的工作量为：，则甲队盖（6－2）天的工作量是，进而计算出甲队的工作效率，最后用工作总量1÷甲队的工作效率＝甲队单独盖需要的天数。据此列式计算即可。 【详解】 ＝60（天） 答：如果从开始就由甲队单独盖，需要60天盖好。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 分数的四则运算 （思维导图+考点梳理+例题讲解+真题演练） 思维导图 考点梳理 考点一、分数的加、减法 1. 同分母分数加减法 (1)法则：分母不变，只把分子相加减。 (2)注意：计算结果能约分的要约成最简分数；结果是假分数的通常化成带分数或整数。 (3)字母表示： （ ） 2. 异分母分数加减法 (1)核心步骤：先通分，将异分母分数转化为同分母分数，再按照同分母分数加减法的法则进行计算。 (2)通分方法：找出几个分母的最小公倍数作为公分母。 (3)算理依据：只有分数单位相同（即分母相同）时，分子才能直接相加减。 3. 分数加减混合运算 (1)运算顺序： ①　没有括号的，按照从左到右的顺序计算。 ②　有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。 (2)简便运算技巧： ①　加法交换律： ②　加法结合律： ③　减法的性质： ； ④　提示：在分数加减混合运算中，可以一次性通分所有分数，也可以分步通分，视具体数字特征而定，以简便为准。 考点二、分数乘法 1. 分数乘整数 (1)意义：求几个相同加数和的简便运算。 (2)法则：用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 (3)优化策略：计算过程中，整数与分母能约分的，先约分再计算，结果更简便。 2. 分数乘分数 (1)意义：求一个数的几分之几是多少。 (2)法则：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 (3)公式： （ ） (4)优化策略：计算前，交叉约分（分子的因数与分母的因数约分），确保结果为最简分数。 3. 小数乘分数 (1)方法一：把小数化成分数，再按分数乘法计算。 (2)方法二：如果小数能与分数的分母约分，可直接约分后计算。 (3)方法三：把分数化成小数（仅限分母只含质因数2和5的情况），再按小数乘法计算。 4. 乘法运算定律在分数中的应用 (1)乘法交换律： (2)乘法结合律： (3)乘法分配律： (4)逆运用： (5)重点：小升初常考利用乘法分配律进行分数的简便计算，需敏锐识别公共因数。 5. 倒数 (1)定义：乘积是1的两个数互为倒数。 (2)求法： ①　分数的倒数：交换分子和分母的位置。 ②　整数的倒数：整数看作分母为1的分数，再交换位置。 ③　小数的倒数：先化成分数，再求倒数。 ④　带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。 (3)特例：1的倒数是1；0没有倒数。 考点三、分数除法 1. 分数除法的意义 (1)已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。它是分数乘法的逆运算。 2. 计算法则 (1)核心规则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 (2)公式： （ ） (3)步骤分解： ①　被除数不变。 ②　除号变乘号。 ③　除数变为其倒数。 ④　按分数乘法法则计算并约分。 3. 商与被除数的大小关系 (1)当除数 时，商 被除数； (2)当除数 时，商 被除数； (3)当除数 （且 ）时，商 被除数。 (4)应用：此规律常用于不用计算直接判断大小或检查计算结果的合理性。 4. 分数混合运算中的除法处理 (1)在含有除法的混合运算中，通常先将所有的除法转化为乘法，统一为连乘形式，再进行约分和计算，这样能有效减少错误。 考点四、分数的四则混合运算 1. 运算顺序 (1)同级运算：如果一个算式中只含有加减法或只含有乘除法，要从左往右依次计算。 (2)两级运算：如果一个算式中既有加减法又有乘除法，要先算乘除法，后算加减法。 (3)括号优先：如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2. 简便运算的综合应用 在四则混合运算中，需灵活观察数据特征，综合运用以下策略： (1)凑整法：利用加法结合律、乘法结合律，将能凑成整数（如1, 10, 100等）的数先结合。 (2)拆分法：将一个数拆分成两个数的和、差、积、商，以便与其他数进行简便运算（如 ）。 (3)转化法：将除法转化为乘法，将小数转化为分数，统一形式后寻找公因数使用分配律。 (4)去括号法：注意括号前是减号或除号时，去括号后括号内各项符号的变化（减变加，除变乘且取倒数）。 3. 常见易错点警示 (1)运算顺序错误：忽视“先乘除后加减”或括号优先级。 (2)倒数混淆：在除法转乘法时，只改变了符号未改变除数为倒数，或错误地将所有数都取倒数。 (3)约分遗漏：计算结果未化成最简分数，或在连乘过程中漏掉可约分的项。 (4)抄写错误：在多步运算中，抄错数字或符号。 (5)0的处理：0不能作除数；0乘任何数得0；0除以任何非0数得0。 4. 解决问题的一般步骤（思维框架） 虽然本题不包含应用题，但四则运算服务于问题解决，需建立以下思维链接： (1)审题：确定单位“1”。 (2)列式：根据数量关系列出综合算式。 (3)计算：严格执行上述四则混合运算规则。 (4)检验：估算结果范围，检查逻辑合理性。 例题讲解 题型一、分数的加、减法 【例题1】下面四个算式中的“7”和“3”可以直接相加减的是（    ）。 A．467＋358 B．4.79－1.3 C．－ D．7＋ 【练习1】直接写得数。                                                                              题型二、分数乘法 【例题2】自然界中有许多动物都要冬眠，如：熊、蛇、青蛙等。青蛙的冬眠时间是熊的，熊的冬眠时间是蛇的，蛇的冬眠时间是180天，青蛙的冬眠时间是多少天？ 【练习2】C919大型客机是中国首款完全按照最新国际适航标准研制的单通道大型干线客机，具有中国完全的自主知识产权。C919大型客机的翼展约36米，机身的长度比翼展长。C919大型客机的机身约长多少米？ 题型三、分数除法 【例题3】青山小学开展了形式多样的“阳光体育活动”。其中乒乓球队有45人，足球队的人数是乒乓球队的，同时又是篮球队人数的，篮球队有多少人？ 【练习3】为了增强身体素质，李明每天进行一定时间的体育锻炼。李明今天体育锻炼的时间是60分，比昨天的时间减少了。李明昨天体育锻炼的时间是多少分？ 题型四、分数的四则混合运算 【例题4】计算下面各题，能简算的要简算。                        【练习4】计算下面各题，能简便计算的要简便计算。 （1）                 （2） （3）        （4） 真题演练 1．（2025·山东菏泽·毕业考真题）下面的算式计算结果比1大的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（2025·新疆克拉玛依·毕业考真题）自然数（0除外）、、、满足，则、、、中最小的一个是（    ）。 A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·毕业考真题）已知甲数是乙数的4倍，乙数是丙数的多3，已知丙数是18，则甲数为（    ）。 A．15 B．60 C．68 D．40 4．（2025·湖南长沙·毕业考真题）一个挂钟的分针长20cm，经过小时后，这根分针的尖端所走过的路程是（    ）。 A．94.2cm B．942cm C．47.1cm D．471cm 5．（2024·四川成都·毕业考真题）如图所示能用“表示或解决”的是（    ）。 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 6．（2025·浙江宁波·毕业考真题）按照健康饮食标准，李老师家六口人，每人每天食用油的摄入量控制在，李老师家一共吃掉的食用油可能是（    ）。 A．4kg B．5kg C．6kg D．7kg 7．（2025·河南郑州·毕业考真题）有一台数码照相机，成像质量分“最好”、“好”、“一般”三种。这台相机配的存储卡最多可存储“最好”的相片120张，或存储“好”的相片160张，或存储“一般”的相片280张。现在这张存储卡中已存有“最好”的相片30张。“好”的相片60张。那么，还能存“一般”的相片（    ）张。 A．108 B．100 C．96 D．105 8．（2025·湖北武汉·毕业考真题）A×＝B×＝C÷＝D÷15（A、B、C、D为非0的正数）。最大的是( )，最小的是( )。 9．（2025·四川绵阳·毕业考真题）一个长方体的长是8分米，宽是6分米，高是4分米，如果把这个长方体的长、宽、高都缩小到原来的，那么现在的长方体的体积是原来长方体体积的( )。 10．（2025·安徽合肥·毕业考真题）成语“半斤八两”意指古时半斤与八两二者轻重相等，比喻彼此不相上下，实力相当。按照半斤等于八两推算斤是( )两。 11．（2025·江苏苏州·毕业考真题）活动课上，同学们用铁丝圈成一个等腰三角形，其中两条边的长度分米和分米，这个三角形的周长是( )分米。 12．（2025·河南郑州·毕业考真题）一只蜂鸟分钟飞行了千米，照这样计算，这只蜂鸟飞行2千米需要用( )分钟。 13．（2025·浙江宁波·毕业考真题）根据线段图，小海列出了算式，他要解决的问题是( )。 14．（2025·浙江宁波·毕业考真题）一项工程，甲队独做6天完成，乙队独做9天完成。如果两队先合做3天，能完成这项工程的( )，剩下的由乙队独做，还需( )天才能完成。 15．（2025·河南商丘·毕业考真题）直接写得数。                                                            16．（2025·湖北武汉·毕业考真题）直接写得数。                          24.24÷12＝          17．（2025·云南昆明·毕业考真题）下面各题，能简算的要简算。                                         18．（2025·江西吉安·毕业考真题）下列各题怎样简便怎样算。                            19．（2025·北京丰台·毕业考真题）计算下面各题。 108－972÷54              2.5×（9.8－1.6）÷5                                           20．（2025·湖北十堰·毕业考真题）计算下列各题。                                21．（2025·重庆綦江·毕业考真题）一个大型农场运用联合收割机收割小麦，已经收割了，还剩下40公顷。这个农场小麦的种植面积一共是多少公顷？ 22．（2025·四川遂宁·毕业考真题）根据算式补充信息。 六（1）班有学生45人，_____。这个班的男生有多少人？ (1)补充信息( )。 (2)补充信息( )。 23．（2025·重庆梁平·毕业考真题）如图，线段1的长度用“1”表示（可用学具帮助分析）。那么： （1）线段2的长度用哪个数表示？为什么？（写出你的做法和结果） （2）已知线段3的长度是线段2的4倍，从这个角度思考，线段3的长度用哪个数表示？为什么？（写出你的想法和结果） 24．（2025·重庆沙坪坝·毕业考真题）某校五年级共有三个班，已知一班、二班、三班各班的学生数相等，一班的男生数与二班的女生数相同，三班的男生占全年级男生的，那么全年级女生占全年级学生的几分之几？ 25．（2025·河南新乡·毕业考真题）修路队修一条路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩下1200米没有修完，这条路一共长多少米？ 26．（2025·四川绵阳·毕业考真题）一个玻璃瓶内装有盐水，盐的重量是水的，加入15克盐后，盐的重量占盐水总量的。瓶内原有盐水多少克？ 27．（2025·河南郑州·毕业考真题）两列火车从甲乙两地同时相对开出，4小时后在距中点48千米处相遇。已知慢车的速度是快车速度的，计算快车和慢车的速度各是多少？甲乙两地相距多少千米？（用算式或方程解） 28．（2025·浙江温州·毕业考真题）学校对初一6班36名新生进行了一次抽样调查，了解学生游泳和自行车两项运动技能。调查结果发现：每个学生至少会一样，有的学生两样都会，有的学生会游泳。则会骑自行车的学生有多少人？ 29．（2025·安徽合肥·毕业考真题）六年级举行书画艺术比赛。六（1）班和六（2）班所交作品件数如图所示。两个班一共交了多少件作品？ 30．（2025·四川绵阳·毕业考真题）如图，从A到B是0.5千米的上坡路，从B到C是3千米的平路，从C到D是2.5千米的上坡路。下坡速度都是每小时6千米，平路速度都是每小时4千米，上坡速度都是每小时3千米。如果小张与小王分别从A、D两地同时出发，相向步行，几小时两人相遇？ 31．（2025·江苏淮安·毕业考真题）五福食品厂接到一批面包订单，第一天上午完成了这批订单的，下午完成了这批订单的，还剩420个第二天上午完成，这批订单共订了多少个面包？ 32．（2025·河南郑州·毕业考真题）一间房，由甲乙两个工程队合盖，需要24天完成。现在由甲队先盖6天，再由乙队盖2天，这样共完成工程的，如果从开始就由甲队单独盖，需要多少天盖好？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $