题号猜押08 江苏南京中考数学19～20题 网格作图、反证法、（特殊）平行四边形的证明、方程（组）的应用（解答题）（江苏南京专用） 2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押08 江苏南京中考数学19~20题（解答题） 考点1 网格作图 1．（2026•玄武区一模）如图，8×12的长方形网格中，网格线的交点叫做格点，点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题： 平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是（﹣3，1），（﹣1，4）， （1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy； ②点C的坐标是 　　 ，点C关于x轴的对称点C1的坐标是 　　 ． （2）设l是过点C且平行于y轴的直线， ①点A关于直线l的对称点A1的坐标是 　　 ； ②在直线l上找一点P，使PA+PB最小，在图中标出此时点P的位置； ③若Q（m，n）为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点Q1的坐标（用含m，n的式子表示）． 2．（2026•鼓楼区二模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1； （2）将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 考点2 反证法 1．（2026•南京一模）已知PA切⊙O于点A，直线l经过切点A，且垂直于PA，直线l一定经过圆心O吗？为什么？ 2．（2026•鼓楼区一模）用反证法证明：平行于同一条直线的两条线平行． 考点3 平行四边形的证明 1．（2026•南京一模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且∠AEB＝∠CFD．求证：四边形BFDE是平行四边形． 2．（2026•南京一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 考点4 矩形的证明 1．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于点E，CG⊥BD于点F，FG＝CF，连接AG． （1）求证：四边形AEFG是矩形； （2）若∠ABD＝30°，AG＝2AE＝6，求BD的长． 2．（2026•南京模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝2，AD＝1． （1）若△ABD是等腰三角形，则BD＝ 　　 ； （2）已知OB＝OD，AC＝BD． ①若OA＝OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，求AC的长． 考点5 菱形的证明 1．（2026•建邺区一模）（1）已知抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3，求该抛物线的顶点坐标． （2）如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，分别过点C，B作CE∥AB，BE∥CD，CE与BE相交于点E．求证：四边形CDBE是菱形． 2．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 考点6 正方形的证明 1．（2025•玄武区二模）如图，已知在矩形ABCD中，AE，BE，CF，DF分别是四个内角的平分线，AE，DF相交于点M，BE，CF相交于点N，求证：四边形EMFN是正方形． 2．（2025•鼓楼区二模）如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点． （1）求证：四边形EFGH为矩形； （2）菱形ABCD满足 时，四边形EFGH为正方形． 考点7 分式方程与应用 1．（2026•建邺区校级模拟）（1）已知ab＝1，计算的值； （2）已知，证明ab＝1； （3）已知mn＝20252025，且，则2025x+y＝ 　　 ． 2．（2026•南京一模）铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． （1）求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 考点8 一元二次方程的应用 1．（2026•鼓楼区校级模拟）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为448m2.求停车场内车道的宽度？ 2．（2025•鼓楼区校级模拟）如图，将边长为12cm的正方形扩大成面积为182cm2的矩形．若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽． 考点9 二元一次方程组的应用 1．（2026•南京一模）苏超联赛，球迷团队需购买“手幅”．现有甲、乙两种型号的“手幅”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．求甲、乙两种型号的“手幅”单价各是多少元？ 2．（2025•南京二模）A，B两块试验田去年共收获小麦500kg．今年采用新技术实现了增产，共收获小麦562kg．已知A试验田今年比去年增产16%，B试验田今年比去年增产10%．去年A，B两块试验田分别收获小麦多少kg？ 1．（2026•南京一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1）、C（3，﹣3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出C1的坐标　　 ； （2）以原点O为位似中心，在x轴上方画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出对应点B2的坐标　　 ． 2．（2026•玄武区一模）如图，AB，CD是⊙O内非直径的两条弦，用反证法证明：AB与CD不能互相平分． 3．（2026•建邺区一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP． （1）BE与AF之间有怎样的关系？请说明理由． （2）若AE＝DF＝1，AB＝4，求OP的长． 4．（2026•鼓楼区校级模拟）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ 5．（2026•南京一模）照相机成像应用了一个重要原理，即（v≠f），其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离，如果一架照相机f已固定，那么就要依靠调整u，v来使成像清晰．问在f，v已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离u？ 6．（2026•建邺区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点B，D作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）四边形BEDF能否是菱形？简要说明你的理由； （3）若DF＝EF，CE＝7，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积． 7．（2026•南京一模）某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成任务，那么原计划每天铺设管道多少米？ 8．（2026•南京一模）铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． （1）求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 9．（2025•栖霞区校级三模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，∠BED＝∠BFD． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB＝8，AD＝4，∠A＝60°，当AE的长为　　 时，四边形BEDF是菱形． 10．（2025•鼓楼区校级三模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若BC＝3，DC＝2，求四边形OCED的面积． 11．（2025•南京模拟）如图，在锐角△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点M，F分别为AC上的点，且∠A＝∠AFE，DM＝DA．证明：四边形DMFE为平行四边形． 12．（2025•鼓楼区二模）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）． （1）当m＝1，n＝2，k＝3时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由． （2）判断命题的真假，并说明理由． 13．（2025•玄武区一模）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，△EFD和△ABC关于点O成中心对称，连接BD，BE，AF，CF． （1）求证：四边形ABEF是平行四边形． （2）若AB＝AC，∠BAC＝∠DBC，求证：▱ABEF是菱形． 14．（2025•建邺区一模）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F在直线BD上，BE＝BD＝DF． （1）判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）当 时，四边形AECF是正方形． 15．（2025•鼓楼区校级一模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 16．（2026•常州校级模拟）2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 17．（2025•南京一模）因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计120吨，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用4辆车．已知每辆大型冷链车的运货量是每辆小型冷链车的1.5倍，求每辆小型链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？ 18．（2025•鼓楼区一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边AB的中点，连接EO，过点E，O作BC的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AC＝6，BD＝8，求四边形OEFG的面积． 19．（2025•建邺区二模）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE＝AB，DF＝CD． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若AB＝2，BD＝5，四边形AECF的面积为2，则▱ABCD的面积为　　 ． 20．（2026•雨花区校级模拟）为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 （1）分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； （2）求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押08 江苏南京中考数学19~20题（解答题） 考点1 网格作图 1．（2026•玄武区一模）如图，8×12的长方形网格中，网格线的交点叫做格点，点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题： 平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是（﹣3，1），（﹣1，4）， （1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy； ②点C的坐标是 　（1，2）　 ，点C关于x轴的对称点C1的坐标是 　（1，﹣2）　 ． （2）设l是过点C且平行于y轴的直线， ①点A关于直线l的对称点A1的坐标是 　（5，1）　 ； ②在直线l上找一点P，使PA+PB最小，在图中标出此时点P的位置； ③若Q（m，n）为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点Q1的坐标（用含m，n的式子表示）． 【分析】（1）①根据A，B两点坐标作出平面直角坐标系即可； ①根据轴对称的性质解决问题即可； （2）①利用轴对称的性质解决问题； ②作点A关于直线l的对称点A1，连接BA1交直线l于点P，连接AP，点P即为所求； ③利用中点坐标公式解决问题即可． 【解答】解：（1）①建立的直角坐标系xOy如图所示； ②C（1，2），C1（1，﹣2）． 故答案为：（1，2），（1，﹣2）； （2）①A1（5，1）； 故答案为：（5，1）； ②如图，点P即为所求； ③设Q（x，y），则有1，y+n， ∴x＝2﹣m， ∴Q1（2﹣m，n）． 2．（2026•鼓楼区二模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1； （2）将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可； （2）利用平移变换的性质分别作出O，A，B的对应点O2，A2，B2即可；对应点连线的交点即为位似中心． 【解答】解：（1）如图，△OA1B1即为所求； （2）ΔOA1B1与ΔO2A2B2是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为（﹣4，2）． 考点2 反证法 1．（2026•南京一模）已知PA切⊙O于点A，直线l经过切点A，且垂直于PA，直线l一定经过圆心O吗？为什么？ 【分析】利用反证法结合切线性质证明即可． 【解答】解：直线l一定经过圆心O， 理由：假设直线l不经过圆心O，且垂直于PA，垂足为B， 连结OA， ∵PA是⊙O的切线， ∴OA⊥PA， 即过一点O有2条直线OA，OB都垂直PA，这与过一点有且只有一条直线垂直已知直线矛盾， ∴B与A重合， ∴直线l一定经过圆心O，且垂直于PA． 2．（2026•鼓楼区一模）用反证法证明：平行于同一条直线的两条线平行． 【答案】见试题解答内容 【分析】画出图形，写出已知、求证，然后根据反证法的步骤给出证明即可解决问题． 【解答】证明：假设a与b相交于点M， 则过M点有两条直线平行于直线c， 这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾， 所以a∥b． 考点3 平行四边形的证明 1．（2026•南京一模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且∠AEB＝∠CFD．求证：四边形BFDE是平行四边形． 【分析】由平行四边形的性质得∠A＝∠C，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，再证明△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，进而证明DE＝BF，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴AD﹣AE＝BC﹣CF， 即DE＝BF， ∴四边形BFDE是平行四边形． 2．（2026•南京一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 【分析】（1）由∠ABD＝∠CDB得出AB∥CD，再证明△ABE≌△CDF（AAS）得出AB＝CD，即可得证； （2）证明△ABO是等边三角形，得出AO＝BO，结合平行四边形的性质得出AC＝BD，即可得证． 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CDF， ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：当∠ABE＝30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵AB＝BO，BE⊥AO， ∴∠ABO＝2∠ABE＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴AO＝BO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，BD＝2BO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 考点4 矩形的证明 1．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于点E，CG⊥BD于点F，FG＝CF，连接AG． （1）求证：四边形AEFG是矩形； （2）若∠ABD＝30°，AG＝2AE＝6，求BD的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，则∠ABE＝∠CDF，再证明△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，则FG＝CF，然后证明四边形AEFG是平行四边形，即可得出结论； （2）由矩形的性质得EF＝AG＝6，再由勾股定理得BE＝3，然后由全等三角形的性质得BE＝DF＝3，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE⊥BD，CG⊥BD， ∴AE∥CG，∠AEB＝∠AEF＝∠CFD＝90°， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∵FG＝CF， ∴四边形AEFG是平行四边形， 又∵∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFG是矩形； （2）解：∵AG＝2AE＝6， ∴AE＝3， 由（1）可知，四边形AEFG是矩形， ∴EF＝AG＝6， ∵∠ABD＝30°， ∴AB＝2AE＝6， ∴BE3， 由（1）可知，△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF＝3， ∴BD＝BE+EF+DF＝36+366． 2．（2026•南京模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝2，AD＝1． （1）若△ABD是等腰三角形，则BD＝ 　2　 ； （2）已知OB＝OD，AC＝BD． ①若OA＝OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，求AC的长． 【分析】（1）由△ABD是等腰三角形，AB＝2，AD＝1，分别讨论：当BD＝AB＝2时和当BD＝AD＝1时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可； （2）①利用OA＝OC，OB＝OD，得出四边形ABCD是平行四边形，再利用AC＝BD，即可判定四边形ABCD是矩形；②过点B作BE⊥AC于点E，利用CD2＝AD2+AC2，得出△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，证明△AOD≌△EOB，得出BE＝DA＝1，AO＝EO，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABD是等腰三角形，AB＝2，AD＝1， ∴当BD＝AB＝2时，此时满足三角形三边关系； 当BD＝AD＝1时，1+1＝2，此时不满足三角形三边关系； 综上所述，BD＝2， 故答案为：2； （2）①四边形ABCD是矩形；理由如下： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形； ②过点B作BE⊥AC于点E，如图， ∵在△ACD中，CD2＝AD2+AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°， ∴∠DAO＝∠BEO＝90°， 在△AOD和△EOB中， ， ∴△AOD≌△EOB（AAS）， ∴BE＝DA＝1，AO＝EO， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：， ∴， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 考点5 菱形的证明 1．（2026•建邺区一模）（1）已知抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3，求该抛物线的顶点坐标． （2）如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，分别过点C，B作CE∥AB，BE∥CD，CE与BE相交于点E．求证：四边形CDBE是菱形． 【分析】（1）先将函数表达式化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可； （2）先证明四边形CDBE是平行四边形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到CD＝BD，进而利用菱形的判定定理可得结论． 【解答】（1）解：将函数表达式y＝x2﹣4x+3化为顶点式得：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴该抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）； （2）证明：∵CE∥AB，BE∥CD， ∴四边形CDBE是平行四边形， ∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线， ∴CD＝BD＝AD， ∴四边形CDBE是菱形． 2．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形．再证平行四边形OCED是矩形，则∠COD＝90°，得AC⊥BD，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2，再由勾股定理得OD，然后由矩形的在得CE＝OD，∠OCE＝90°，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OE＝CD， ∴平行四边形OCED是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝2，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2， ∴OA＝OC＝1， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴CE＝OD，∠OCE＝90°， ∴AE， 即AE的长为． 考点6 正方形的证明 1．（2025•玄武区二模）如图，已知在矩形ABCD中，AE，BE，CF，DF分别是四个内角的平分线，AE，DF相交于点M，BE，CF相交于点N，求证：四边形EMFN是正方形． 【分析】首先根据已知条件证明四边形EMFN是矩形，再根据正方形的判定：邻边相等的矩形是正方形即证明FM＝EM即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴四个内角均为90°， ∵AE，BE，CF，DF分别是四个内角的平分线， ∴∠EAB＝∠EBA＝45°， ∴△EBA为等腰直角三角形， ∴AE＝BE，∠E＝90°， 同理∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°， ∴四边形MFNE为矩形， ∵AD＝BC，∠AMD＝∠BNC＝90°，∠DAE＝∠CBN＝45°， ∴△DAM≌△BNC（AAS）． ∴AM＝BN， ∵ME＝NE， ∴四边形MFNE是正方形． 2．（2025•鼓楼区二模）如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点． （1）求证：四边形EFGH为矩形； （2）菱形ABCD满足AC＝BD 时，四边形EFGH为正方形． 【分析】（1）连接FH，EG，AC，BD，根据菱形的性质结合三角形中位线定理推出EG＝FH即可推出结论 （2）由AC＝BD可得EF＝EH，从而得出结论． 【解答】（1）证明：如图，连接FH，EG，AC，BD， ∵四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴AB＝AD，AE∥GD，AE＝GD，EF，且EF∥AC∥GH， ∴四边形EGDA是平行四边形，四边形EFGH是平行四边形， ∴EG＝AD， 同理可证FH＝AB， ∴EG＝FH， ∴四边形EFGH为矩形； （2）解：菱形ABCD满足AC＝BD时，四边形EFGH为正方形， ∵AC＝BD， ∴EF， 又∵四边形EFGH为矩形， ∴四边形EFGH为正方形． 故答案为：AC＝BD． 考点7 分式方程与应用 1．（2026•建邺区校级模拟）（1）已知ab＝1，计算的值； （2）已知，证明ab＝1； （3）已知mn＝20252025，且，则2025x+y＝ 　　 ． 【分析】（1）先把所求分式进行通分，然后把ab＝1代入化简后的式子进行计算即可； （2）把已知条件中的等式的左边进行通分，然后得到分子和分母相等，从而证明即可； （3）先把 的左边进行通分，然后得到分子和分母相等，再把mn＝20252025，代入化简后的等式，从而得到关于x+y，再代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵ab＝1， ∴ ＝1； （2）证明：∵， ∴， ， ， ∴a+b+2＝1+a+b+ab， ∴ab＝1； （3）， ， ， ， ∴2+2025xm+2025y﹣2024n＝1+2025xm+2025y﹣2024+2025x+y﹣2024mn， ∴2025x+y﹣2024mn＝1 ∵mn＝20252025， ∴2025x+y﹣2024•20252025＝1， 2025x+y﹣2024+2025＝1， 2025x+y+1＝1， ∴x+y+1＝0， x+y＝﹣1， ∴2025x+y＝2025﹣1， 故答案为：． 2．（2026•南京一模）铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． （1）求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量＝工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天， 根据题意得：， 解得：x＝90， 经检验：x＝90是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：a＝36， 需要施工费用：36×（8.4+6.6）＝540＞500（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 考点8 一元二次方程的应用 1．（2026•鼓楼区校级模拟）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为448m2.求停车场内车道的宽度？ 【分析】设停车场内车道的宽度为xm，则停车位可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形，根据停车位的占地面积为448m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设停车场内车道的宽度为xm，则停车位可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形， 根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝448， 整理得：x2﹣62x+432＝0， 解得：x1＝8，x2＝54（不符合题意，舍去）． 答：停车场内车道的宽度为8m． 2．（2025•鼓楼区校级模拟）如图，将边长为12cm的正方形扩大成面积为182cm2的矩形．若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽． 【分析】设矩形的宽为（12+x）cm,则矩形的长为（12+2x）cm,根据矩形的面积为182cm2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题． 【解答】解：设矩形的宽为（12+x）cm,则矩形的长为（12+2x）cm, 根据题意得：（12+2x）（12+x）=182， 整理得：x2+18x-19=0， 解得：x1=1，x2=-19（不符合题意，舍去）， ∴12+2x=12+2×1=14，12+x=12+1=13． 答：矩形的长为14cm,宽为13cm. 考点9 二元一次方程组的应用 1．（2026•南京一模）苏超联赛，球迷团队需购买“手幅”．现有甲、乙两种型号的“手幅”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．求甲、乙两种型号的“手幅”单价各是多少元？ 【分析】设乙种型号的“手幅”单价是x元，乙种型号的“手幅”单价是y元，根据一个甲种型号比一个乙种型号多20元得出x﹣y＝20，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元得出10x+10y＝1760”列出二元一次方程组，解方程组即可得解． 【解答】解：设甲种型号的“手幅”单价是x元，乙种型号的“手幅”单价是y元． 根据题意得：， 解得：， 答：甲种型号的“手幅”单价是98元，乙种型号的“手幅”单价是78元． 2．（2025•南京二模）A，B两块试验田去年共收获小麦500kg．今年采用新技术实现了增产，共收获小麦562kg．已知A试验田今年比去年增产16%，B试验田今年比去年增产10%．去年A，B两块试验田分别收获小麦多少kg？ 【分析】设去年A试验田收获小麦xkg，B试验田收获小麦ykg，根据A，B两块试验田去年及今年收获小麦的总重量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设去年A试验田收获小麦xkg，B试验田收获小麦ykg， 根据题意得：， 解得：． 答：去年A试验田收获小麦200kg，B试验田收获小麦300kg． 1．（2026•南京一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1）、C（3，﹣3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出C1的坐标　（﹣3，﹣3）　 ； （2）以原点O为位似中心，在x轴上方画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出对应点B2的坐标　（﹣8，2）　 ． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，C1（﹣3，﹣3）． 故答案为：（﹣3，﹣3）； （2）△A2B2C2如图所示，点B2（﹣8，2）． 故答案为：（﹣8，2）． 2．（2026•玄武区一模）如图，AB，CD是⊙O内非直径的两条弦，用反证法证明：AB与CD不能互相平分． 【分析】根据反证法的步骤进行证明：先假设AB与CD能互相平分，结合垂径定理的推论，进行推理，得到矛盾，从而肯定命题的结论正确． 【解答】证明：如图，设AB，CD交于点P，连接OP． 假设AB与CD能互相平分，则AP＝BP，CP＝DP， ∵AB，CD是⊙O内非直径的两弦， ∴OP⊥CD，OP⊥AB， 这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾， ∴假设AB与CD能互相平分不成立， ∴AB，CD是⊙O内非直径的两条弦，AB与CD不能互相平分． 3．（2026•建邺区一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP． （1）BE与AF之间有怎样的关系？请说明理由． （2）若AE＝DF＝1，AB＝4，求OP的长． 【分析】（1）先根据正方形的性质可得AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，再根据三角形全等的判定定理证出△ABE≌△DAF，然后根据全等三角形的性质可得BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，最后根据角的和差可得∠AOB＝90°，由此即可得证； （2）先根据正方形的性质可得∠C＝90°，BC＝CD＝AB＝4，再根据线段的和差可得CF＝3，然后利用勾股定理可得BF＝5，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得． 【解答】解：（1）AF与BE的关系是垂直且相等，证明如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°， 在△ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF， ∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°， ∴∠BAF+∠ABE＝90°， ∴∠AOB＝90°，即AF⊥BE， 综上，AF与BE的关系是垂直且相等； （2）∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴∠C＝90°，BC＝CD＝AB＝4， ∵AE＝1，AE＝DF， ∴DF＝1， ∴CF＝CD﹣DF＝3， 在Rt△BCF中，， ∵点P是Rt△BOF斜边BF的中点， ∴． 4．（2026•鼓楼区校级模拟）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ 【分析】设每支圆珠笔的价格是x元，则每支中性笔的价格是（x+1.2）元，利用数量＝总价÷单价，结合花21元购买中性笔的数量和花12元购买圆珠笔的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：嘉嘉搞错了，理由如下： 设每支圆珠笔的价格是x元，则每支中性笔的价格是（x+1.2）元， 根据题意得：， 解得：x＝1.6， 当x＝1.6时，7.5，7.5，7.5＝7.5，7.5不是正整数， ∴x＝1.6是所列方程的解，但不符合题意， ∴淇淇说嘉嘉搞错了． 5．（2026•南京一模）照相机成像应用了一个重要原理，即（v≠f），其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离，如果一架照相机f已固定，那么就要依靠调整u，v来使成像清晰．问在f，v已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离u？ 【答案】u． 【分析】利用分式的加减运算法则计算． 【解答】解：∵（v≠f），f，v已知， ∴， ∴u． 6．（2026•建邺区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点B，D作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）四边形BEDF能否是菱形？简要说明你的理由； （3）若DF＝EF，CE＝7，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，得BE∥DF，∠CEB＝∠AFD＝90°，由平行四边形的性质得CB∥AD，且CB＝AD，则∠BCE＝∠DAF，即可根据“AAS”证明△BCE≌△DAF，得BE＝DF，则四边形BEDF是平行四边形； （2）由BE⊥AC于点E，得BE＜BF，即BE≠BF，可知四边形BEDF不能是菱形； （3）由全等三角形的性质得CE＝AF＝7，BE＝DF，因为DF＝EF，所以BE＝EF，则AE＝7+EF＝7+BE，由∠AEB＝90°，AB＝13，根据勾股定理得（7+BE）2+BE2＝132，求得BE＝5，则BE＝DF＝EF＝5，求得AC＝19，则S△ABC＝S△CDA，所以S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝95． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴BE∥DF，∠CEB＝∠AFD＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB∥AD，且CB＝AD， ∴∠BCE＝∠DAF， 在△BCE和△DAF中， ， ∴△BCE≌△DAF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形． （2）解：四边形BEDF不能是菱形， 理由：∵四边形BEDF是平行四边形， ∴点E与点F不能重合， ∵BE⊥AC于点E， ∴BE＜BF， ∴BE≠BF， ∴四边形BEDF不能是菱形． （3）解：由（1）得△BCE≌△DAF， ∴CE＝AF＝7，BE＝DF， ∵DF＝EF，AB＝13， ∴BE＝EF， ∴AE＝7+EF＝7+BE， ∵∠AEB＝90°， ∴AE2+BE2＝AB2， ∴（7+BE）2+BE2＝132， 解得BE＝5或BE＝﹣12（不符合题意，舍去）， ∴BE＝DF＝EF＝5， ∴AC＝CE+AF+EF＝7+7+5＝19， ∴S△ABC＝S△CDA19×5， ∴S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝295， ∴平行四边形ABCD的面积为95． 7．（2026•南京一模）某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成任务，那么原计划每天铺设管道多少米？ 【答案】原计划每天铺设管道30米． 【分析】设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道（1+25%）x米，根据实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成任务，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道（1+25%）x米， 根据题意得：8， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是原分式方程的解，且符合题意， 答：原计划每天铺设管道30米． 8．（2026•南京一模）铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． （1）求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量＝工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天， 根据题意得：， 解得：x＝90， 经检验：x＝90是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：a＝36， 需要施工费用：36×（8.4+6.6）＝540＞500（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 9．（2025•栖霞区校级三模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，∠BED＝∠BFD． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB＝8，AD＝4，∠A＝60°，当AE的长为　4　 时，四边形BEDF是菱形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，根据平行线的性质得到∠CFB＝∠ABF，BE∥DF，根据平行四边形的判定定理得到四边形BEDF是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得到BE＝AB﹣AE＝4，AD＝AE，根据等边三角形的性质得到DE＝AD＝4，求得BE＝DE，由（1）知四边形BEDF是平行四边形，根据菱形的判定定理得到结论． 【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠BFD， ∴∠AED＝∠CFB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠CFB＝∠ABF，BE∥DF， ∴∠AED＝∠ABF，BF∥DE， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：当AE的长为4时，四边形BEDF是菱形， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，AE＝4，AD＝4， ∴BE＝AB﹣AE＝4，AD＝AE， ∵∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD＝4， ∴BE＝DE， 由（1）知四边形BEDF是平行四边形， ∴四边形BEDF是菱形． 故答案为：4． 10．（2025•鼓楼区校级三模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若BC＝3，DC＝2，求四边形OCED的面积． 【分析】（1）证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形性质可得：OC＝OD，利用菱形的判定即可证得结论； （2）先求出矩形面积，再根据矩形性质可得S△OCDS矩形ABCD，再由菱形性质可得菱形OCED的面积＝2S△OCD可解答． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴AC＝BD，OCAC，ODBD， ∴OC＝OD， ∴四边形OCED是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝3，DC＝2， ∴OA＝OB＝OC＝OD，S矩形ABCD＝3×2＝6， ∴S△OCDS矩形ABCD6＝1.5， ∵四边形OCED是菱形， ∴菱形OCED的面积＝2S△OCD＝2×1.5＝3． 11．（2025•南京模拟）如图，在锐角△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点M，F分别为AC上的点，且∠A＝∠AFE，DM＝DA．证明：四边形DMFE为平行四边形． 【分析】根据DM＝DA得出∠A＝∠DMA，结合已知可得∠DMA＝∠AFE即可证明DM∥EF，根据三角形中位线的性质得出DE∥MF，即可得证． 【解答】证明：∵DM＝DA， ∴∠A＝∠DMA（等边对等角）， ∵∠A＝∠AFE， ∴∠DMA＝∠AFE， ∴DM∥EF（同位角相等，两直线平行）， ∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE∥AC， ∴DE∥MF， ∴四边形DMFE为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 12．（2025•鼓楼区二模）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）． （1）当m＝1，n＝2，k＝3时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由． （2）判断命题的真假，并说明理由． 【分析】（1）根据矩形的长和宽表示出新矩形的长和宽，再根据面积的关系列出一元二次方程，进一步求解即可； （2）设矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为2k（m+n），面积为kmn，设矩形B的长为x，则宽为k（m+n）﹣x．再根据面积的关系列出一元二次方程，利用根的判别式求解即可． 【解答】解：（1）当m＝1，n＝2，k＝3时，此时矩形B的周长为18，面积为6， 设矩形B的长为x，则宽为9﹣x， 根据题意列方程，得：（9﹣x）x＝6， ∴x2﹣9x+6＝0， 解得：，， ∴此时命题成立； （2）若矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为2k（m+n），面积为kmn，设矩形B的长为x，则宽为k（m+n）﹣x． 根据题意列方程，得：x[k（m+n）﹣x]＝kmn， 即x2﹣k（m+n）x+kmn＝0， 根据求根公式得：b2﹣4ac＝k2（m+n）2﹣4kmn＝k[k（m+n）2﹣4mn]， ∵k＞1， ∴[k（m+n）2﹣4mn]＞（m+n）2﹣4mn， 又（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2≥0， ∴[k（m+n）2﹣4mn]＞0， ∴存在矩形B， ∴此命题成立． 13．（2025•玄武区一模）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，△EFD和△ABC关于点O成中心对称，连接BD，BE，AF，CF． （1）求证：四边形ABEF是平行四边形． （2）若AB＝AC，∠BAC＝∠DBC，求证：▱ABEF是菱形． 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【解答】证明：（1）∵△EFD和△ABC关于点O成中心对称， ∴△EFD≌△ABC， ∴EF＝AB，∠BAC＝∠FED， ∴EF∥AB， ∴四边形ABEF是平行四边形； （2）连接BF，则BF交AC于点O， ∵△EFD≌△ABC， ∴DF＝BC，∠CDF＝∠BCD， ∴DF∥BC， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴OD＝OC， ∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC， ∠BDC＝∠BAC+∠ABD， ∠BAC＝∠DBC， ∴∠ABC＝∠BDC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴BD＝BC， ∵OD＝OC， ∴OB⊥CD， ∵四边形ABEF是平行四边形， ∴OA＝OE， ∴AB＝BE， ∴▱ABEF是菱形． 14．（2025•建邺区一模）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F在直线BD上，BE＝BD＝DF． （1）判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）当 　　 时，四边形AECF是正方形． 【分析】（1）连接AC∠BD于点O，根据菱形性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，进而得AC⊥EF，OE＝OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出结论； （2）当时，四边形AECF是正方形，设AD，BD＝2a，根据菱形性质得OB＝ODBD＝a，OA＝OC，AC⊥BD，由勾股定理得OA＝3a，则AC＝6a，再根据BE＝BD＝DF＝2a得BE＝6a，继而得AC＝EF＝6a，然后根据对角线相等的菱形是正方形即可得出结论． 【解答】解：（1）四边形AECF的形状是菱形，理由如下： 连接AC∠BD于点O，如图1所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵点E，F在直线BD上，BE＝BD＝DF， ∴OB+BE＝OD+DF，AC⊥EF， ∴OE＝OF， 在四边形AECF中，OA＝OC，OE＝OF，AC⊥EF， 根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得：四边形AECF的形状是菱形； （2）当时，四边形AECF是正方形，理由如下： ∵， ∴设AD，BD＝2a， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝ODBD＝a，OA＝OC，AC⊥BD， 在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA3a， ∴AC＝2OA＝6a， ∵BE＝BD＝DF＝2a， ∴BE＝3BD＝6a， ∴AC＝EF＝6a， 根据对角线相等的菱形是正方形得：四边形AECF是正方形． 故答案为：． 15．（2025•鼓楼区校级一模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润＝1250，根据等量关系列出方程即可． 【解答】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得 （20+2x）（40﹣x）＝1250， 解得：x1＝x2＝15， 答：衬衫的单价降了15元． 16．（2026•常州校级模拟）2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 【分析】设过道的宽为x米，根据题意得出（50-2x）（40-x）=1872，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解． 【解答】解：设过道的宽为x米， 根据题意得（50-2x）（40-x）=1872， 解得x1=1，x2=64（不符合题意，舍去）， 答：过道的宽应该设计1米． 17．（2025•南京一模）因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计120吨，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用4辆车．已知每辆大型冷链车的运货量是每辆小型冷链车的1.5倍，求每辆小型链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？ 【分析】设每辆小型链车的运货量为x吨，根据每辆车刚好装满的情况下比原计划少用4辆车得：4，解方程并检验可得答案． 【解答】解：设每辆小型链车的运货量为x吨，则每辆大型冷链车的运货量为1.5x吨， 根据题意得：4， 解得x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解，也符合题意， ∴1.5x＝1.5×10＝15， 答：每辆小型链车的运货量为10吨，每辆大型冷链车的运货量为15吨． 18．（2025•鼓楼区一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边AB的中点，连接EO，过点E，O作BC的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AC＝6，BD＝8，求四边形OEFG的面积． 【分析】（1）证明OE是△ABC的中位线，得OE∥BC，再证明EF∥OG，∠EFG＝90°，则四边形OEFG是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，AC⊥BD，进而由勾股定理得BC＝5，则OEBC，然后由三角形面积求出OG的长，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC， ∵E是边AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥BC， ∵EF⊥BC，OG⊥BC， ∴EF∥OG，∠EFG＝90°， ∴四边形OEFG是平行四边形， 又∵∠EFG＝90°， ∴平行四边形OEFG是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8， ∴OA＝OCAC＝3，OB＝ODBD＝4，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴BC5， 由（1）可知，OE是△ABC的中位线，四边形OEFG是矩形， ∴OEBC， ∵OG⊥BC， ∴S△BOCBC•OGOB•OC， ∴OG， ∴S矩形OEFG＝OE•OG6． 19．（2025•建邺区二模）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE＝AB，DF＝CD． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若AB＝2，BD＝5，四边形AECF的面积为2，则▱ABCD的面积为　10　 ． 【分析】（1）根据平行四边形的性质求出AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质求出∠ABE＝∠CDF，等量代换求出BE＝AB＝DF＝CD，利用SAS证明△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质求出AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据邻补角定义求出∠AEF＝∠CFE，则AE∥CF，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证； （2）结合平行四边形的性质，根据同高等底的三角形面积相等可解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BE＝AB，DF＝CD， ∴BE＝AB＝DF＝CD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD， 即∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：如图，连接AC，交EF于点O， ∵BE＝AB＝DF＝2，BD＝BE+EF+DF＝5， ∴EF＝1， ∵四边形AECF是平行四边形，四边形AECF的面积为2， ∴OE＝OFEF，S△AOE2， ∴， ∴S△ABE＝4S△AOE＝2， ∴S△AOB＝S△ABE+S△AOE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD的面积＝4S△AOB＝410， 故答案为：10． 20．（2026•雨花区校级模拟）为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 （1）分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； （2）求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 【分析】（1）设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，列出方程组求出x和y的值； （2）设商场打折促销期间是打m折出售这两种商品的，根据题意列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元， 则， 解得：， 答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元； （2）设商场打折促销期间是打m折出售这两种商品的， 由题意得，， 解得：m=9． 答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $