专题07 函数的图像与性质6大题型（题型专练）（四川成都专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题07 函数的图像与性质 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01   一次函数图像与性质、解析式求法 题型02 反比例函数图像与性质、k的几何意义 题型03 二次函数图像与性质、顶点、对称轴 题型04 函数图像平移、对称变换 题型05 分段函数图像分析 题型06 函数与方程、不等式关系 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一次函数图像与性质、解析式求法 典例引领 【典例01】（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 【典例02】（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为：，反比例函数解析式为． (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用系数待定法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可． （2）先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D，设，再根据直角坐标系两点之间的距离公式分别求出，，，由对顶角相等得出，再根据相似三角形的性质分两种情况或代入求解即可． 【详解】（1）解：把代入反比例函数，则， 则反比例函数解析式为：， 把代入， 则， ∴， 再把，代入， 则， 解得：， 则一次函数的解析式为：． （2）解：令时，则， ∴， ∵点D与点A关于点O对称， ∴ 设点， ∵， ∴ 又∵，， ∴，，， ∵与相似，， ∴分两种情况：或， 当时， 即， 解得：， 此时，点， 当， 即， 解得：， 此时， 综上：当点P在x轴的负半轴上，且与相似，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，关于原点对称的点的坐标特点，相似三角形的性质，直角坐标系中两点之间的距离等知识，掌握这些知识是解题的关键． 方法透视 考向解读 四川中考基础必考点，多为选择、填空题，也常作为解答题的背景条件： 1.基础性质考查：根据一次函数的解析式，判断图像经过的象限、增减性、与坐标轴的交点。 2.解析式求解：利用待定系数法，已知两点坐标、一点坐标和斜率，或图像经过的点求解析式。 3.实际应用：以行程、购物、计费等为背景，列一次函数解析式解决实际问题，常与不等式结合求最值。 方法技能 一次函数 y=kx+b（k≠0）： · k>0，图像从左到右上升，y随x的增大而增大； · k<0，图像从左到右下降，y随x的增大而减小； · b>0，图像与y轴交于正半轴；b<0，交于负半轴。 2.解析式求法（待定系数法）： · 设：设解析式为y=kx+b； · 代：将已知点的坐标代入，得到关于k,b的方程组； · 解：解方程组求出k,b的值； · 写：写出最终解析式。 3.实际应用技巧：从题目中提取关键信息，找到两个关键点（如初始值、变化率），再用待定系数法求解析式，最后根据自变量的取值范围作答。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·模拟预测）已知点在一次函数的图象上，当时，，则实数的值可以是_________．（只需写出一个符合条件的实数即可） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解答的关键．根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上，当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴， ∴的值可以是． 故答案为：（答案不唯一） 【变式02】（2025·四川成都·二模）若点，在一次函数的图象上，则__________.(填“”，“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数的性质，一次函数随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：一次函数的， 一次函数随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 【变式03】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，函数图象的交点，坐标系中三角形的面积． （1）把点代入一次函数，即可得到k的值，得到一次函数的表达式．把点代入一次函数，得到，把点代入反比例函数，求出m的值，得到反比例函数的表达式； （2）结合函数图象关于原点中心对称可知，根据求解即可． 【详解】（1）解∶∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴，解得，     ∴一次函数的表达式为． ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：射线与反比例函数的图象交于点C， 结合函数图象关于原点中心对称可知， 过点作轴于点E，过点作轴于点D， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型02 反比例函数图像与性质、k的几何意义 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴电流与电阻成反比， ∴电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而减小； 故答案为：减小 【典例02】（2025·四川达州·中考真题）如图，直线与双曲线交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在x轴上，，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵双曲线经过点，， ∴， ∴， ∴，反比例函数解析式为：， ∵直线经过点，点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）解：∵点P在x轴上，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 方法透视 考向解读 四川中考高频考点，多为选择、填空题，也常与几何图形结合出现在解答题中： 1.图像与性质：判断反比例函数图像所在的象限、增减性，或比较同一/不同分支上点的函数值大小。 2.k的几何意义：利用过双曲线上一点作坐标轴的垂线，构成的矩形/三角形面积与∣k∣的关系，求k的值或图形面积。 3.综合应用：与一次函数结合，求交点坐标、三角形面积；或与几何图形结合，利用反比例函数的对称性解题。 方法技能 1.核心性质速记： 反比例函数 y=（k≠0）： · k>0，图像在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； · k<0，图像在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； · 图像关于原点对称，也关于直线y=x、y=−x对称。 2.k的几何意义： · 过双曲线上任意一点P(x,y)，作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为∣k∣； · 所得直角三角形面积为∣k∣。 3.解题技巧：看到反比例函数上的点，优先设点的坐标为(x,)，再利用坐标关系列方程求解。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____（请用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会通过反比例系数k的正负判断函数的增减性． 由反比例函数的增减性求得结果． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴反比例函数在第一，三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，横坐标，，， ∴点在第三象限，点和在第一象限， ∴，，． 又∵在第一象限内，随的增大而减小，且， ∴． 综上所述，． 故答案为：． 【变式02】（2026·四川成都·一模）如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接．若的面积为6，则的值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义即可解答． 【详解】解：∵轴，的面积为6， ∴， 由题意， ∴． 故选：B． 【变式03】（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． (1)求反比例函数解析式； (2)求直线的解析式和点的坐标． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由得，又四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴ ∴直线的解析式为， ∵点是反比例函数与正比例函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ∵， ∴． 题型03 二次函数图像与性质、顶点、对称轴 典例引领 【典例01】（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 【典例02】（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得，根据抛物线与x轴交于点，点，当时，即可逐一判断，进而求解. 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，点，当时， ∴抛物线的对称轴是直线，，， 故结论③④正确； ∴，即，， 故结论②正确； ∴， 故结论①正确； 综上，说法正确的有4个； 故选：D. 方法透视 考向解读 四川中考核心重难点，是压轴题必考内容，多为选择、填空压轴题和解答压轴题： 1.基础性质考查：根据二次函数的解析式，判断开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性。 2.图像与系数关系：根据二次函数图像，判断a,b,c及相关代数式（如a+b+c、a−b+c、b2−4ac）的符号。 3.解析式求法：根据已知条件，选择一般式、顶点式、交点式求二次函数解析式。 方法技能 1.三种解析式形式： · 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），已知三点坐标时使用； · 顶点式：y=a(x−h)2+k（a≠0），已知顶点(h,k)或对称轴时使用； · 交点式：y=a(x−x1)(x−x2)（a≠0），已知图像与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0)时使用。 2.核心性质速记： · 开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下； · 对称轴：直线x=； · 顶点坐标：(,)； · 最值：a>0时，顶点为最小值点；a<0时，顶点为最大值点。 3.图像与系数符号判断技巧： · a：由开口方向判断； · b：由对称轴位置和a的符号判断（“左同右异”）； · c：由图像与y轴的交点判断； · b2−4ac：由图像与x轴的交点个数判断。 变式演练 【变式01】（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 【变式02】（2026·四川成都·一模）如图，二次函数的部分图象如图所示，其对称轴是直线，且图象经过点，下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．是方程的一个根 【答案】D 【分析】根据开口方向、与y轴交点、对称轴及抛物线对称性，逐一判断A、B、C选项，由方程等价于，利用对称性得是根，判断D选项． 【详解】解：A．∵二次函数图象开口向下， ∴，故选项错误，不符合题意； B．∵图象与y轴的交点在正半轴， ∴当时，，故选项错误，不符合题意； C．∵对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ，此范围包含对称轴左侧和右侧部分区域， ∴随增大而增大不成立，故选项错误，不符合题意； D．方程 ， 即求二次函数图象上函数值为时对应的值． ∵对称轴为，且图象经过点； ∴点关于对称轴的对称点横坐标为： 即点也在二次函数图象上； 当时，，成立，是方程的一个根，选项正确，符合题意． 【变式03】（2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数中，， 则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确． 令， 则， 当时，则， 则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确． 点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大， 故若，则，故③错误． 联立与， 则， 整理得：， 则，解得：， 令，对称轴为直线， ∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点， 故当时，， 解得：． 解得：，故④正确， 综上：①②④正确， 故选：C 题型04 函数图像平移、对称变换 典例引领 【典例01】（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线解析式为，则可求出，过点A作轴交直线于T，则，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 如图所示，过点A作轴交直线于T， ∵， ∴点T的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 【典例02】（2025·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】(1)或； (2)一次函数和反比例函数的表达式分别为，； (3)的面积为． 【分析】（1）结合题意可知，时的取值范围即为直线与反比例函数上方时交点的横坐标的取值范围； （2）先将点、点的横坐标代入反比例函数解析式求出，，再代入一次函数解析式求解即可； （3）先求出平移后的一次函数解析式为，然后求出交点，过点作轴交于点，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和， 当时，或； （2）解：点、点的横坐标分别是和，且点、点在反比例函数与一次函数上， ，， ，， 将，代入， 则 解得， 一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 点在第一象限， ， ， ， 过点作轴交于点， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题、解分式方程（化为一元二次）、反比例函数与几何综合，解题关键是将求的面积转化为求和的和． 方法透视 考向解读 四川中考高频易错考点，多为选择、填空题，常结合一次、二次函数考查： 1.平移变换：一次函数、二次函数图像的上下、左右平移，求平移后的解析式。 2.对称变换：求函数图像关于x轴、y轴、原点或某条直线对称后的解析式。 3.变换综合：结合平移、对称变换，求变换后图像的性质（如顶点、对称轴）。 方法技能 1.平移规律（“左加右减，上加下减”）： · 左右平移：对x进行加减，向左平移h个单位，解析式中的x替换为x+h；向右平移h个单位，替换为x−h； · 上下平移：对解析式整体进行加减，向上平移k个单位，解析式整体加k；向下平移k个单位，整体减k。 2.对称变换规律： · 关于x轴对称：将y替换为−y，整理得新解析式； · 关于y轴对称：将x替换为−x，整理得新解析式； · 关于原点对称：将x替换为−x，y替换为−y，整理得新解析式。 3.解题关键：平移和对称变换的本质是图像上所有点的坐标发生变化，可通过顶点坐标的变化来快速判断二次函数的变换结果。 变式演练 【变式01】（2026·四川泸州·一模）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的平移问题，熟练掌握平移口诀是解题关键． 根据二次函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得到；再向上平移1个单位长度，得到 ． 故答案为：． 【变式02】（2026·四川达州·一模）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接,,则可知图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积，由题意易得点、的水平距离即为该平行四边形的高，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接,, ∴阴影部分的面积为平行四边形， ∵，， ∴点的水平距离为， ∴, ∴， ∴抛物线向上平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为． 【变式03】（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)点E的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用两点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可； （3）先由对称性求出由对称性可得，求出，，则；则可推出将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为；再分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解；把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， ∵， ∴， ∴ 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等，解（2）的关键在于分两种情况讨论求解，解（3）的关键在于利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解． 题型05 分段函数图像分析 典例引领 【典例01】（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 【典例02】（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是． (2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得， ∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 方法透视 考向解读 四川中考应用题常考题型，多为选择、填空题，也常作为解答题的背景： 1.图像信息读取：根据分段函数的图像，分析实际情境中的变化过程（如行程、计费问题）。 2.解析式求解：根据分段函数的图像，求各段的函数解析式。 3.实际应用：利用分段函数解决计费、行程、工程等实际问题，常与不等式结合求方案。 方法技能 1.图像分析步骤： · 分段：根据图像的转折点，将整个过程分成不同阶段； · 分析：每一段的斜率代表变化率，水平段代表变化停止； · 解读：结合实际情境，理解每一段的含义（如匀速运动、静止、加速运动）。 2.解析式求法：对每一段分别用待定系数法求解析式，注意标注自变量的取值范围。 3.解题技巧：找到图像的起点、转折点、终点坐标，利用这些关键点求解析式，再根据解析式解决问题。 变式演练 【变式01】（2024·四川成都·二模）对于自变量x的不同的取值范围有不同的解析式的函数，我们称之为分段函数，它是一个函数，而不是几个函数，习惯上，我们会把每段的自变量的取值范围写在该范围内满足的解析式后面．现有分段函数（其中m是常数，且），该函数的图象记为G．当时，图象G与x轴的交点坐标为________；若直线与G恰有两个交点，则m的值为______． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质综合，熟练掌握二次函数与直线、坐标轴的交点求法是解题的关键．令，即可求出图象与轴的交点坐标；根据两个二次函数的特征及整个图象是分轴两侧且开口相反的图象可得有两个交点即直线恰好过两个二次函数图象其中一个的顶点，即可解答． 【详解】解：当时，函数， 令，则，， 解得：，， ∵， ∴， 方程中，， 即方程无解， ∴当时，图象G与x轴的交点坐标为； ∵， ∴函数的顶点为， ∵， ∴函数的顶点为， 当或时，直线与G恰有两个交点， 由，解得， 由，解得， ∴若直线与G恰有两个交点，则m的值为或， 故答案为：；或． 【变式02】（2025·四川眉山·二模）将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图所示． （1）当直线过点时，则的值为___________； （2）当直线与新图象有四个公共点时，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】（1）由题意得，抛物线与x轴的交点坐标分别为，，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为，将点B代入解析式中求解，即可解题． （2）当直线过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，将代入，可求出a的值；当直线与抛物线相切时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，结合图象，求出b的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：（1）令， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标分别为，， 将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为． 当直线过点B时，， 解得，； 故答案为：； （2）当直线过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 将代入， 得， 解得． 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 即方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得． ∴当直线与新图象恰有四个公共点时，a的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式03】（2025·四川广元·模拟预测）中华猕猴桃富含大量维生素，鲜果可生吃，还可加工成果酱、果干等食品，其叶、花、种子、藤蔓也具有重要的经济价值，被誉为“绿色金矿”．某地区为发展经济，种植了大量的猕猴桃，由历年市场行情得知，从月日起的天内，猕猴桃的市场售价（元/千克）与上市时间（天）之间的函数关系如图所示，猕猴桃的种植成本（元/千克）与上市时间（天）之间的函数关系式为． (1)求市场售价与上市时间之间的函数关系式； (2)上市第几天，每千克猕猴桃的纯收益最大？最大纯收益是多少？（市场售价减去种植成本为纯收益） (3)当纯收益最大时，猕猴桃的售价是多少？（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天） 【答案】(1) (2)上市第天时，每千克猕猴桃的纯收益最大，最大纯收益为元 (3)元/千克 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数与分段函数，自变量取值范围，要根据题目给的范围，找准等量关系是解题关键． （1）分，，三种情况讨论，分别设出函数关系式，利用待定系数法求解即可； （2）设每千克猕猴桃的纯收益为元，根据纯收益市场售价种植成本，结合一次函数的增减性讨论求解即可； （3）将代入，计算即可得解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，设线段所在直线的函数关系式为， 将，分别代入，得 ，解得， ， 当时，设线段所在直线的函数关系式为， 将，分别代入，得 ，解得， ， 综上，市场售价与上市时间之间的函数关系式为； （2）解：设每千克猕猴桃的纯收益为元， 当时，， 随的增大而减小， 当时，最大，最大值为． 当时，， 随的增大而减小， ， ． 当时，， 随的增大而增大， 当时，最大，最大值为． 综上可得，上市第天时，每千克猕猴桃的纯收益最大，最大纯收益为元． （3）解：当时，， 当纯收益最大时，猕猴桃的售价是元/千克． 题型06 函数与方程、不等式关系 典例引领 【典例01】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 【答案】(1)，，或； (2)或 【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可； （2）将的面积转化为两个三角形的面积之和即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：联立方程组得， 解得或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为或． 故答案为：，，或； （2）解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为， 由题意知， ， 解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴点C的坐标为或． 【典例02】（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3)16 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）已知双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，即可求出的值，先将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再将点和的坐标代入直线方程，联立方程组求解和的值，进而得到直线的表达式． （2）根据函数图象，找出直线在双曲线上方时的取值范围，即为不等式的解集． （3）可先求出直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式，将的面积转化为与的面积之和进行计算． 【详解】（1）解：点在双曲线上， ， 又在双曲线上， ，解得． 由题意得：，解得， ． （2）解：由（1）可知，， 所以不等式可化为， 根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是， 所以不等式的解集为． （3）解：如图，设直线与轴交于点， 当时．， ， ， ． 方法透视 考向解读 四川中考综合考点，多为选择、填空题，也常出现在解答题中： 1.函数与方程：利用函数图像与x轴的交点，求对应方程的解；或利用方程的解，判断函数图像与x轴的交点情况。 2.函数与不等式：利用函数图像，解不等式（如kx+b>0、ax2+bx+c>0），或根据不等式的解集判断函数图像的位置。 3.函数交点问题：利用两个函数的交点，解对应的方程组或不等式组。 方法技能 1.函数与方程的关系： · 一次函数y=kx+b的图像与x轴的交点的横坐标，就是方程kx+b=0的解； · 二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标，就是方程ax2+bx+c=0的解； · 两个函数图像的交点的坐标，就是对应方程组的解。 2.函数与不等式的关系： · 解不等式kx+b>0，就是找一次函数y=kx+b的图像在x轴上方的部分对应的x的取值范围； · 解不等式ax2+bx+c>0，就是找二次函数y=ax2+bx+c的图像在x轴上方的部分对应的x的取值范围； · 比较两个函数的大小，就是找两个函数图像的交点，再看谁在上方/下方。 3.解题关键：数形结合，将方程、不等式问题转化为函数图像的交点或位置关系问题。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·二模）已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，先联立方程组求得两个函数的交点横坐标为，，然后分和两种情况，利用一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得： 整理，得， 解得，， 由题意，， 当时，一次函数y随x的增大而增大，二次函数图象开口向上， 若时，恒成立， 则， 解得，即； 当时，一次函数y随x的增大而减小，二次函数图象开口向下， 若时，恒成立， 则， 解得，即， 综上，满足条件的a的取值范围为且， 故答案为：且． 【变式02】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的图象交于点，点的横坐标为，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，理解图示，掌握交点的含义是关键． 根据题意得，，由此即可求解． 【详解】解：直线与直线的图象交于点，点的横坐标为， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式03】（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【答案】或 【分析】先求得的坐标；根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围． 【详解】解：令，可得， ， 令，可得，解得， ， 由图可得关于x的不等式即的解集为或． 题●型●训●练 1．（2026·四川成都·一模）若反比例函数的图象经过点，则下列各点在此函数图象上的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与解析式，掌握好相关知识是关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，先求出的值，再验证各选项点的横纵坐标乘积是否等于即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴， ∵反比例函数图象上的点满足横纵坐标的乘积等于， ∴对各选项逐一验证： 对于A选项：，不在图象上， 对于B选项：，不在图象上， 对于C选项：，不在图象上， 对于D选项：，在图象上． 故选：D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，下列说法正确的是（   ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点间的距离为3 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ∴，解得， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故A、B错误，D正确； ∵，对称轴为直线，点， ∴， ∴，故C错误． 故选：D． 3．（2026·四川达州·一模）如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且点恰为的中点，连接，，则的面积是（　　） A．4 B．5 C．6.5 D．8 【答案】A 【分析】令点坐标为，点坐标为，可得点坐标为，由点在轴上，可得，代入的面积公式，即可得出结果． 【详解】解：令点坐标为，点坐标为， ∵点恰为的中点， ∴点坐标为，即， ∴的面积为， ∵点在轴上， ∴， 即， 代入上式面积公式得． 4．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到，即可判断①；由对称轴为直线得到，然后将代入抛物线得到，代入得到，然后根据得到，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将代入抛物线得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判断③；分别将和代入方程，整理求出和或6，进而求解即可． 【详解】∵抛物线开口向上 ∴ ∵对称轴为直线 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴，故①错误； ∵对称轴为直线 ∴ ∵在抛物线上 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 将代入 将，代入得， ∴ ∵ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是钝角三角形，故③正确； ∵ ∴当时，， ∴方程转化为 解得； ∴当时，， ∴方程转化为 解得或6； ∵方程的两根为、 ∴，，故④正确． 综上所述，其中正确结论有3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解直角三角形，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 5．（2026·四川成都·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，则_____________（填“>”或“<”）． 【答案】> 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限，再根据两个点横坐标的符号判断纵坐标的正负，进而比较和的大小. 【详解】解：对于任意实数，都有， ， 反比例函数的图象位于第一，三象限， 点的横坐标， 点在第一象限，可得， 点的横坐标， 点在第三象限，可得， ， 即. 6．（2026·四川成都·一模）如图，直线在第一象限交双曲线于两点，交轴于点，已知，连结．则的面积为_____． 【答案】12 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了相似三角形的判定和性质，反比例图象上点的坐标特征．作轴于D，轴于E，则，得到，设A点坐标为，则B点坐标为，利用，得到，于是可求得． 【详解】解：连接，作轴于D，轴于E，则， ∴， ∵， ∴， 设A点坐标为，则B点坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：12． 7．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则______；若，对于，都有，则t的取值范围为______． 【答案】 1 【分析】本题考查二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．根据二次函数的性质求得对称轴即可，根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出与的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答． 【详解】解：对于，，有， ， ， ， ； ， ， ， 抛物线开口向下， 若，对于，都有， 离对称轴的距离大于， 则与的中点在对称轴的右侧， ， 即， 故答案为：1；． 8．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键． （1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围； （3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点 ∴， 故反比例函数的表达式为 把点代入反比例函数得，，解得 ∴点的坐标为 ∵一次函数的图象经过、两点 ∴，解得 故一次函数的表达式为； （2）∵ ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴； （3）∵点横坐标为，代入 解得： ∴ 当时，代入，得 解得： ∴ 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴． 9．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由矩形性质得点，根据 D为的中点，得，得，得； （2）求出和直线解析式，求出，得，求出，，即得． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴点， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象过点D， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵反比例函数的图象交于点E， ∴设， ∴，∴ 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 令， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形面积公式，是解题关键． 10．（2025·四川南充·一模）某旅游景区发扬工匠精神，开发新兴旅游特色产品．在尝试制作并试销的一个月（30天）中，第x天的销售单价（元／件）与的函数图象如图，销量（件）与的函数关系式为．设第天的销售额为元． (1)求前20天的销售额与之间的函数关系式． (2)在试销的30天中，销货额超过1000元的时间共有多少天？ 【答案】(1)前20天的销售额与之间的函数关系式为 (2)在试销的30天中，销售额超过1000元的时间共有7天 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出销售单价与的函数关系式，根据销售额等于单价乘以销量，求出前20天的销售额与之间的函数关系式即可； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）由图象，前20天的销售单价与成一次函数关系． 设． 把代入，得 得 解得． ， 前20天的销售额与之间的函数关系式为： ． 即． （2）由（1），当时，销售额 ． 即销售额未超过1000元． 由图象，当时，． 销售额． 由，解得． 整数可取24，25，26，27，28，29，30． 即销售额超过1000元的时间共有7天． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数的图像与性质 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01   一次函数图像与性质、解析式求法 题型02 反比例函数图像与性质、k的几何意义 题型03 二次函数图像与性质、顶点、对称轴 题型04 函数图像平移、对称变换 题型05 分段函数图像分析 题型06 函数与方程、不等式关系 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一次函数图像与性质、解析式求法 典例引领 【典例01】（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【典例02】（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 方法透视 考向解读 四川中考基础必考点，多为选择、填空题，也常作为解答题的背景条件： 1.基础性质考查：根据一次函数的解析式，判断图像经过的象限、增减性、与坐标轴的交点。 2.解析式求解：利用待定系数法，已知两点坐标、一点坐标和斜率，或图像经过的点求解析式。 3.实际应用：以行程、购物、计费等为背景，列一次函数解析式解决实际问题，常与不等式结合求最值。 方法技能 一次函数 y=kx+b（k≠0）： · k>0，图像从左到右上升，y随x的增大而增大； · k<0，图像从左到右下降，y随x的增大而减小； · b>0，图像与y轴交于正半轴；b<0，交于负半轴。 2.解析式求法（待定系数法）： · 设：设解析式为y=kx+b； · 代：将已知点的坐标代入，得到关于k,b的方程组； · 解：解方程组求出k,b的值； · 写：写出最终解析式。 3.实际应用技巧：从题目中提取关键信息，找到两个关键点（如初始值、变化率），再用待定系数法求解析式，最后根据自变量的取值范围作答。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·模拟预测）已知点在一次函数的图象上，当时，，则实数的值可以是_________．（只需写出一个符合条件的实数即可） 【变式02】（2025·四川成都·二模）若点，在一次函数的图象上，则__________.(填“”，“”或“”) 【变式03】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 题型02 反比例函数图像与性质、k的几何意义 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【典例02】（2025·四川达州·中考真题）如图，直线与双曲线交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在x轴上，，求点P的坐标． 方法透视 考向解读 四川中考高频考点，多为选择、填空题，也常与几何图形结合出现在解答题中： 1.图像与性质：判断反比例函数图像所在的象限、增减性，或比较同一/不同分支上点的函数值大小。 2.k的几何意义：利用过双曲线上一点作坐标轴的垂线，构成的矩形/三角形面积与∣k∣的关系，求k的值或图形面积。 3.综合应用：与一次函数结合，求交点坐标、三角形面积；或与几何图形结合，利用反比例函数的对称性解题。 方法技能 1.核心性质速记： 反比例函数 y=（k≠0）： · k>0，图像在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； · k<0，图像在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； · 图像关于原点对称，也关于直线y=x、y=−x对称。 2.k的几何意义： · 过双曲线上任意一点P(x,y)，作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为∣k∣； · 所得直角三角形面积为∣k∣。 3.解题技巧：看到反比例函数上的点，优先设点的坐标为(x,)，再利用坐标关系列方程求解。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____（请用“<”连接）． 【变式02】（2026·四川成都·一模）如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接．若的面积为6，则的值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【变式03】（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． (1)求反比例函数解析式； (2)求直线的解析式和点的坐标． 题型03 二次函数图像与性质、顶点、对称轴 典例引领 【典例01】（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【典例02】（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 方法透视 考向解读 四川中考核心重难点，是压轴题必考内容，多为选择、填空压轴题和解答压轴题： 1.基础性质考查：根据二次函数的解析式，判断开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性。 2.图像与系数关系：根据二次函数图像，判断a,b,c及相关代数式（如a+b+c、a−b+c、b2−4ac）的符号。 3.解析式求法：根据已知条件，选择一般式、顶点式、交点式求二次函数解析式。 方法技能 1.三种解析式形式： · 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），已知三点坐标时使用； · 顶点式：y=a(x−h)2+k（a≠0），已知顶点(h,k)或对称轴时使用； · 交点式：y=a(x−x1)(x−x2)（a≠0），已知图像与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0)时使用。 2.核心性质速记： · 开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下； · 对称轴：直线x=； · 顶点坐标：(,)； · 最值：a>0时，顶点为最小值点；a<0时，顶点为最大值点。 3.图像与系数符号判断技巧： · a：由开口方向判断； · b：由对称轴位置和a的符号判断（“左同右异”）； · c：由图像与y轴的交点判断； · b2−4ac：由图像与x轴的交点个数判断。 变式演练 【变式01】（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【变式02】（2026·四川成都·一模）如图，二次函数的部分图象如图所示，其对称轴是直线，且图象经过点，下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．是方程的一个根 【变式03】（2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04 函数图像平移、对称变换 典例引领 【典例01】（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 【典例02】（2025·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 方法透视 考向解读 四川中考高频易错考点，多为选择、填空题，常结合一次、二次函数考查： 1.平移变换：一次函数、二次函数图像的上下、左右平移，求平移后的解析式。 2.对称变换：求函数图像关于x轴、y轴、原点或某条直线对称后的解析式。 3.变换综合：结合平移、对称变换，求变换后图像的性质（如顶点、对称轴）。 方法技能 1.平移规律（“左加右减，上加下减”）： · 左右平移：对x进行加减，向左平移h个单位，解析式中的x替换为x+h；向右平移h个单位，替换为x−h； · 上下平移：对解析式整体进行加减，向上平移k个单位，解析式整体加k；向下平移k个单位，整体减k。 2.对称变换规律： · 关于x轴对称：将y替换为−y，整理得新解析式； · 关于y轴对称：将x替换为−x，整理得新解析式； · 关于原点对称：将x替换为−x，y替换为−y，整理得新解析式。 3.解题关键：平移和对称变换的本质是图像上所有点的坐标发生变化，可通过顶点坐标的变化来快速判断二次函数的变换结果。 变式演练 【变式01】（2026·四川泸州·一模）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为___________． 【变式02】（2026·四川达州·一模）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【变式03】（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 题型05 分段函数图像分析 典例引领 【典例01】（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【典例02】（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 方法透视 考向解读 四川中考应用题常考题型，多为选择、填空题，也常作为解答题的背景： 1.图像信息读取：根据分段函数的图像，分析实际情境中的变化过程（如行程、计费问题）。 2.解析式求解：根据分段函数的图像，求各段的函数解析式。 3.实际应用：利用分段函数解决计费、行程、工程等实际问题，常与不等式结合求方案。 方法技能 1.图像分析步骤： · 分段：根据图像的转折点，将整个过程分成不同阶段； · 分析：每一段的斜率代表变化率，水平段代表变化停止； · 解读：结合实际情境，理解每一段的含义（如匀速运动、静止、加速运动）。 2.解析式求法：对每一段分别用待定系数法求解析式，注意标注自变量的取值范围。 3.解题技巧：找到图像的起点、转折点、终点坐标，利用这些关键点求解析式，再根据解析式解决问题。 变式演练 【变式01】（2024·四川成都·二模）对于自变量x的不同的取值范围有不同的解析式的函数，我们称之为分段函数，它是一个函数，而不是几个函数，习惯上，我们会把每段的自变量的取值范围写在该范围内满足的解析式后面．现有分段函数（其中m是常数，且），该函数的图象记为G．当时，图象G与x轴的交点坐标为________；若直线与G恰有两个交点，则m的值为______． 【变式02】（2025·四川眉山·二模）将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图所示． （1）当直线过点时，则的值为___________； （2）当直线与新图象有四个公共点时，则的取值范围是___________． 【变式03】（2025·四川广元·模拟预测）中华猕猴桃富含大量维生素，鲜果可生吃，还可加工成果酱、果干等食品，其叶、花、种子、藤蔓也具有重要的经济价值，被誉为“绿色金矿”．某地区为发展经济，种植了大量的猕猴桃，由历年市场行情得知，从月日起的天内，猕猴桃的市场售价（元/千克）与上市时间（天）之间的函数关系如图所示，猕猴桃的种植成本（元/千克）与上市时间（天）之间的函数关系式为． (1)求市场售价与上市时间之间的函数关系式； (2)上市第几天，每千克猕猴桃的纯收益最大？最大纯收益是多少？（市场售价减去种植成本为纯收益） (3)当纯收益最大时，猕猴桃的售价是多少？（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天） 题型06 函数与方程、不等式关系 典例引领 【典例01】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 【典例02】（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 方法透视 考向解读 四川中考综合考点，多为选择、填空题，也常出现在解答题中： 1.函数与方程：利用函数图像与x轴的交点，求对应方程的解；或利用方程的解，判断函数图像与x轴的交点情况。 2.函数与不等式：利用函数图像，解不等式（如kx+b>0、ax2+bx+c>0），或根据不等式的解集判断函数图像的位置。 3.函数交点问题：利用两个函数的交点，解对应的方程组或不等式组。 方法技能 1.函数与方程的关系： · 一次函数y=kx+b的图像与x轴的交点的横坐标，就是方程kx+b=0的解； · 二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标，就是方程ax2+bx+c=0的解； · 两个函数图像的交点的坐标，就是对应方程组的解。 2.函数与不等式的关系： · 解不等式kx+b>0，就是找一次函数y=kx+b的图像在x轴上方的部分对应的x的取值范围； · 解不等式ax2+bx+c>0，就是找二次函数y=ax2+bx+c的图像在x轴上方的部分对应的x的取值范围； · 比较两个函数的大小，就是找两个函数图像的交点，再看谁在上方/下方。 3.解题关键：数形结合，将方程、不等式问题转化为函数图像的交点或位置关系问题。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·二模）已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是______． 【变式02】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的图象交于点，点的横坐标为，则______． 【变式03】（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 题●型●训●练 1．（2026·四川成都·一模）若反比例函数的图象经过点，则下列各点在此函数图象上的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，下列说法正确的是（   ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点间的距离为3 D．当时，的值随值的增大而增大 3．（2026·四川达州·一模）如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且点恰为的中点，连接，，则的面积是（　　） A．4 B．5 C．6.5 D．8 4．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026·四川成都·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，则_____________（填“>”或“<”）． 6．（2026·四川成都·一模）如图，直线在第一象限交双曲线于两点，交轴于点，已知，连结．则的面积为_____． 7．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则______；若，对于，都有，则t的取值范围为______． 8．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 9．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 10．（2025·四川南充·一模）某旅游景区发扬工匠精神，开发新兴旅游特色产品．在尝试制作并试销的一个月（30天）中，第x天的销售单价（元／件）与的函数图象如图，销量（件）与的函数关系式为．设第天的销售额为元． (1)求前20天的销售额与之间的函数关系式． (2)在试销的30天中，销货额超过1000元的时间共有多少天？ 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $