重难点03 平行四边形与特殊平行四边形（重难专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

重难点03 平行四边形与特殊平行四边形 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向01 平行四边形的性质与判定（基础巩固） 考向02 特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的判定与性质 考向03 四边形中的最值与面积问题 考向04 四边形中的动态探究与存在性问题（压轴核心） 考向05 四边形与折叠、旋转等图形变换的综合 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 一、 2023、2024、2025年考法解读 综合分析近三年全国中考真题，四边形（平行四边形及其特殊形式）的命题呈现“基础必考、压轴常客”的双重特征： 1. 基础考查：多以选择题、填空题形式直接考查特殊四边形的性质（如对角线、对称性）和判定定理，单题分值3-4分，重在检验学生对概念辨析和基础计算的熟练度。 2. 综合考查：常作为几何综合压轴题的载体，与全等/相似三角形、圆、勾股定理深度融合。尤其偏爱将矩形和菱形放入平面直角坐标系或动态变化的情境中，考查分类讨论和方程思想。 3. 命题偏好：“中点四边形”的性质探究、利用对角线关系判定特殊菱形/矩形、以及四边形中的折叠与旋转是近三年命题人最常挖掘的高频得分点。 二、 2026年考法预测 基于对近年命题演变的观察，对2026年中考命题趋势及备考策略作出如下预测： 1. 命题趋势展望 (1) 从“单一知识点”向“综合实践”过渡：预计2026年会出现更多结合实际生活背景（如工程框架结构、平面设计图）的四边形探究题，要求学生现场提取几何模型。 (2) 动态存在性与多结论判断加剧：动点、动四边形与二次函数图象结合的压轴题依然是拉分主力；此外，涵盖多种四边形性质的“多结论选择题”将增加，侧重考察学生的快速纠错和排除能力。 (3) 强化“转化”与“补全”思想：题目将更隐蔽地考察如何利用对角线将四边形问题转化为熟悉的三角形问题。 2. 2026年备考策略建议 (1) 构建“阶梯式”判定网络：指导学生按“平行四边形→菱形/矩形→正方形”的顺序梳理判定定理，明确每一步升级所需的“额外条件”（如对角线垂直、一个直角）。 (2) 强化“分类讨论”的肌肉记忆：在涉及坐标平面求未知顶点时，强制学生遵循“先画草图，再定分类”的原则，防范漏解。 (3) 提炼几何计算的核心公式：重点强化“勾股定理”、“等面积法（求高/面积）”和“中点坐标公式”在四边形计算中的灵活应用。 重●难●要●点●剖●析 考向01 平行四边形的性质与判定（基础巩固） 题型01 利用性质求边长、角度或对角线参数 通用思路：见到平行四边形，优先联想“对边平行且相等”、“对角相等”、“对角线互相平分”三大核心性质。 关键步骤： 1. 审图形：观察已知条件和所求目标（边、角还是对角线）。 (1) 求边/角：直接利用对边相等、对角相等或邻角互补列方程。 (2) 求对角线：利用“对角线互相平分”得出两组相等线段，代入含参代数式求解。 避坑提示：注意题目是否给出“四边形ABCD是平行四边形”的原命题，若仅给出“AB//CD，AB=CD”等形式，需先完成判定再使用性质。 1．（2026·四川成都·二模）在平行四边形中，，过点作，在直线上取一点，连接，使得． 【特例感知】 (1)如图1，连接，若，求的长； 【问题探究】 (2)如图2，连接，若，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，当时，为射线上一点，连接，若，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质和判定，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，等边三角形的性质； （1）作于点H，证明平行四边形是菱形得，，求出，证明得，，求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）过点作交于点，交于点，证明平行四边形是矩形，证明，求出、，利用建立方程即可求解； （3）过点作交延长线于点，由可求出，结合圆周角定理和等边三角形的性质可得点的运动轨迹，进而可知取最大值时点的位置，最后结合已知条件求出长度即可． 【详解】（1）解：如图所示，作于点H， ∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：过点作交于点，交于点， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， 在中，由三角形的面积可得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，即， 又∵， ∴在中，，即，解得：， ∴． （3）解：过点作交延长线于点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 以为边长作等边，作的外接圆， ∵， ∴点在上运动， ∴当点在点的位置时，此时经过圆心，故取最大值，如下图所示： 连接，过点作， ∴经过圆心，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴． 综上：的最大值为． 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图1，在中，点是边的一点，连接．若． (1)【初步感知】直接写出的值． (2)【问题解决】如图2，作射线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)【变式探究】如图3，连接与交于点，连接． ①若，求证：； ②当时，与之间的关系是，求的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①见解析；②． 【分析】（1）先求得，，即可得到，据此求解即可； （2）连接交于点，证明，求得，推出四边形为平行四边形，再证明，求得，再证明，据此计算即可求解； （3）①证明是斜边上的中线，据此证明即可； ②证明，求得，再证明，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：线段与线段之间的数量关系为：， 理由如下： 连接交于点，如下图： ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①延长和相交于点， ∵， ∴， 同理得， ∴， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②延长和相交于点， 同理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·安徽合肥·一模）已知中，，、分别为边、上的点，且，连接、相交于点，连接． (1)当时，如图1， ①若，，则______°； ②若，，求的长． (2)若，如图2，试猜想与的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)①70；② (2)猜想：，见解析 【分析】（1）①根据题意先证，得到，再结合三角形内角和及平行线的性质求解即可； ②延长交的延长线于点，先证，得到，进而可求的长； （2）解法一：延长交的延长线于点，过点作，再根据平行线分线段成比例可得，进而可得；解法二：过点作，，再证四边形为菱形，则平分，进而可得． 【详解】（1）①， ，则四边形为菱形， ，又，， ， 在和中， ， ， ， ，， ，即， ， （两直线平行，内错角相等）； ②解：延长交的延长线于点，如图1． ， ． ，， ． ， ， ， ， ，， ， ． （2）猜想：， 证明：【解法一】延长交的延长线于点，过点作，如图2， ，， ， ， ， ，即． 【解法二】过点作，，如图3， 四边形、、、为平行四边形． 设，，， ，， 由得， 由得， ， 四边形为菱形， 平分， 即． 题型02 结合全等/相似证明四边形是平行四边形 通用思路：证明平行四边形本质上是证明“两组对边分别平行/相等”或“一组对边平行且相等”。 关键步骤： 1. 找缺口：分析现有条件还欠缺什么（如已知一组对边平行，缺相等；已知两组对边相等，缺平行）。 2. 借桥梁：通过已知的全等三角形或相似三角形比例线段，补齐所缺的条件。 3. 作结论：写出判定依据（如SAS全等得内错角相等，从而得平行）。 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，为外接圆，为的直径，，是的切线，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求阴影部分的面积．（结果不取近似值，请保留精确值） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先证明，结合，即可证明结论； （2）用梯形的面积减去扇形的面积即得阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）连接，如下图， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形，且为的直径，， ∴，， ∴阴影部分的面积 ． 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在上，，，垂足为F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)4，3 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得，然后由可进行求解问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可得四边形是平行四边形， ∴， ∵，平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·四川德阳·模拟预测）如图1，的内接四边形对角线相互垂直，垂足为点，过点作，交于点． (1)若，，求； (2)如图2，连接并延长交于点，连接．证明四边形为平行四边形； (3)在（2）的条件下，若，，，求的直径． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)的直径为． 【分析】（1）利用圆周角定理和四边形内角和定理即可求解； （2）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形为平行四边形； （3）先证明，，证明，求得，再利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：为的直径， ，，     ，， ∴，，   四边形为平行四边形； （3）解：，， ，， ， ， ， ，    ， ，   ，， ， ，即， ，，， ， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 的直径为． 考向02 特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的判定与性质 题型03 利用特殊四边形的性质进行纯几何计算 通用思路：特殊四边形的计算核心往往落在“对角线”或“直角三角形”上。 关键步骤： 1. 抓特征：明确是矩形（有直角，对角线相等）、菱形（四边等，对角线垂直）还是正方形（兼具二者）。 2. 设未知：利用边长关系（如菱形四边相等）或对角线比例设未知数。 3. 造方程：必然能构造出一个直角三角形，利用勾股定理或面积法列出方程求解。 1．（2026·广东东莞·一模）运用发现、探究、拓展解决下列问题． (1)发现：如图所示，是矩形的对角线，作交于点，交于点．求证：； (2)探究：如图，点是矩形边上一点，连接，过点作交于点，，若，探究的值； (3)拓展：在矩形中，，，点为边上的三等分点，点和分别为直线和上的点，将矩形沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，求的值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)； (3)或． 【分析】（1）由矩形的性质，可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合同角的余角相等，可得，即可证得结论； （2）设，，，证明，可得，可得，即可得的值； （3）作于点，由矩形的判定和性质，可得，证明，，由已知可得或，即可得的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵交于点， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， 设，，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（与矛盾，舍去）， ∴． （3）解：作于点，则， ∵在矩形中，，， ∴四边形为矩形， ∴， 根据题意可知，点和点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点为边上的三等分点， 当时，， 当时，， 综上所述：或． 2．（2025·上海·一模）在平行四边形中，对角线交于点O，P是线段上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作的平行线，交于点E，交于点F、G，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，并求的值； (3)如图3，如果，且射线过点A．请补全图形，并求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例得到，，，即可求解； （2）根据题意得到当时，，则，结合题意，设，则，，，，，，根据即可求解； （3）根据菱形的性质，找出线段比例关系，证明，设，则，结合两直线平行同旁内角互补，列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 设，则，， 在平行四边形中，，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2， ∵， ∴平行四边形为矩形，则， ∴，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，且， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴； （3）解：补全图形如下， ∵， ∴平行四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负根已舍）， ∴， ∴，且， ∴， 又∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识的综合运用，掌握以上知识，找出三角形相似得到线段之间的关系是解题的关键． 3．（2026·广东湛江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，，，双曲线与矩形的两边、分别交于D、E两点，连接、、，将沿翻折后得到． (1)探究一：如图2，若点D为中点时，点又恰好落在线段上，点E的纵坐标为________（用含n的式子表示）； (2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积： (3)探究三：如图4，若点D在直线上，是否存在m的值使点落在x轴上，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质得到的坐标，进而求出D的坐标，可知，将的横坐标代入反比例函数解析式计算即可； （2）证明四边形是正方形，证，即可求得，设，则，则可表示出的坐标，代入反比例函数解析式，即可求得，则面积即可求解； （3）首先解方程组求得的坐标，利用表示出的长度，作于点，则，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长，即可求得，求得的长，则的横坐标即可求得，代入反比例函数解析式即可求得纵坐标． 【详解】（1）解：，，矩形， 的坐标是， ∵点D为中点， 的坐标是：， 在双曲线上， ， 又的横坐标是，把代入， 则， 点E的纵坐标为； （2）解：设正方形的边长是，则，， 则的坐标是：，的坐标是， 则， ． 四边形是正方形． ∴，，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ， 又平分， ， ， 设，则， ∴的坐标是， 代入得：， ∴， ∴正方形的面积是； （3）解：根据题意得：， 解得：或（舍去）， 则的坐标是． ∵的横坐标是， ∴的横坐标是， ∴， ∵将沿翻折后得到， ∴， 在中，当时，， ，， 如图所示，作于点． 折叠， ， ， 又， 则， ， ， 解得：， ∴在中，， 则， ， ， 把代入中得：， ． 题型04 在动态条件下列举结论判断题 通用思路：题干给出一个变动的四边形（如对角线增减、角度旋转），判断由此衍生的数个结论对错。 关键步骤： 1. 定基础：先确定变动中的不变量（如某条边长度、某个角度）。 2. 验结论： (1) 判定类：是否满足直角、等边或对角线垂直/相等？ (2) 最值类：是否构成了直角三角形的斜边或直角边？ 3. 排干扰：对于复杂的几何关系，可代入特殊值（如转动到中点、端点）快速推翻错误选项。 1．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．” (1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． (2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：． (3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)． 【答案】(1)正确，见解析 (2)见解析 (3)k 【分析】（1）由，可得，求证，即可求解； （2）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则，推出四边形和四边形都是平行四边形，即可求解； （3）根据反比例函数的几何意义求解面积即可. 【详解】（1）解：正确．证明如下： 由，可得． 又， ， ， ． （2）证明∶如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则； 又，， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ； （3）解：如图（2），连接，，则． 又， ， ，， ， ． 2．（2024·山东临沂·一模）【问题情境】折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们准备了大小一样的正方形， 如图1， 正方形纸片，边长为4． 【操作发现】老师提出了如下折叠要求：将正方形 ，沿直线折叠使点B落在边上的点 P处（A，D 两点除外）， 点 C的对应点为点 G． 经过思考，讨论， 同学们分享了他们的发现： （1）如图2， 当点 P 落在 上任意一个位置时，平分． 请判断这个结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，若与相交于点 H， 当点P是的中点时，可以求出的长度． 请写出解答过程； 【拓展运用】小辉同学在（2）的基础上，求出了的长，进而求得了的周长，发现这个周长与正方形的边长存在一定的关系，是一个定值．进一步研究他发现：当点 P在上任意位置时，如图4，的周长是一个定值． 小辉的结论是否正确？若正确， 请给出证明； 若不正确，请说明理由． 【答案】（1）都平分这个结论正确，理由见解析；（2）；（3）小辉的结论正确，证明 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等： （1）先由正方形的性质求出，再由折叠的性质得到，则由等边对等角和等角的余角相等证明出，则，即平分； （2）由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，设，则，在中，由勾股定理得，解方程得到；证明，利用相似三角形的性质即可求出； （3）如图所示，过点B作于Q，连接，证明，得到，再证明，得到，则可推出的周长，则的周长等于正方形的边长的2倍，即的周长是一个定值． 【详解】解：（1）平分这个结论正确，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， ∵点P为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）小辉的结论正确，证明如下： 如图所示，过点B作于Q，连接， ∴， 由（1）得， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长， ∴的周长等于正方形的边长的2倍， ∴的周长是一个定值． 3．（2025·广东广州·一模）如图，现有正方形纸片，点，分别在边，上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． (1)若点在边上，且，求的大小（用含的式子表示）； (2)再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别在边，上，点落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若，点在线段上，且四边形是正方形，与的交点为，与的交点为，连接．小明同学猜想：的面积是的2倍，他的猜想是否正确？如正确，请给予证明；若不正确，请求出两三角形面积的比． 【答案】(1) (2)小明同学的猜想不正确，两三角形面积的比 【分析】（1）连接，根据正方形的性质每个内角为直角以及折叠带来的折痕与对称点连线段垂直的性质，再结合平行线的性质即可求解； （2）先可证，则，，由勾股定理可求，由折叠的性质得到：，，，，，则，，由，得，继而可证明，由等腰三角形的性质得到，故，再根据三角形的面积公式即可求得两个三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：连接，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴； （2）∵，设， ∴，， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，， 在中，由勾股定理得， 由折叠可知：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，而， ∴， ∴， ∴的面积为， 的面积为， ∴． 综上，小明同学的猜想不正确，两三角形面积的比． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 考向03 四边形中的最值与面积问题 题型05 不规则四边形面积计算 通用思路：任意四边形无直接面积公式，必须通过连接对角线将其转化为两个三角形。 关键步骤： 1. 选对角线：选择包含已知夹角或能构成直角的对角线（如菱形常连两条对角线）。 2. 求高/底：利用三角函数或勾股定理求出两个三角形的底和高。 3. 求和/差 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，于点，于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，若的面积等于四边形面积的3倍，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使每个三角形的面积等于四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）结合平行四边形性质证明，再利用全等三角形性质即可证明； （2）结合平行四边形性质得到四边形面积，再结合全等三角形性质得到，即可推出与四边形面积相等的三角形． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，． ． ，， ． ． ． （2）解：的面积等于四边形面积的3倍， 的面积等于面积的3倍，的面积等于面积的3倍， ， ， ， 四边形面积， 又，， 等于四边形面积的三角形有，，，． 2．（2026·河北石家庄·一模）【综合与实践】数学实践课上，同学们开展“将正方形裁拼成面积相等的矩形的问题探究”． 题目：“如何将一张边长为的正方形裁拼成面积相等的矩形？” 【理论支持】嘉嘉给出的裁剪作图理论是：“如图1，在边上截取点E（点E不与点B，C重合），连接，过点E作的垂线m，交于点M，过点A作的平行线交直线m于点F，过点D作的垂线，交的延长线于点G，四边形即为与正方形面积相等的矩形．” (1)求证：四边形为矩形； (2)试说明矩形的面积和正方形的面积相等； (3)【动手操作】淇淇按照嘉嘉的示意图，将正方形裁剪成、、四边形三部分，在拼接过程中发现拼接到或的位置都未能全部填满，于是，她把放到图2所示的的位置，然后在截取，过点K作于点J，并裁剪出，将其拼到的位置，恰好无缝拼接，然后将四边形拼到四边形的位置，恰好拼接成一个完整的矩形．求证：； (4)如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据，证明，即可证明四边形为矩形； （2）先证明，继而得到，从而得到比例式 ，故，根据证明即可； （3）先证明，再证明，，然后根据角角边定理证明即可； （4）如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 【详解】（1）证明： ，， ， ， 四边形为矩形． （2）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）证明：四边形是正方形，四边形为矩形． ， ， ， ， ， ， 在和中， ∵， ∴． （4）解：，， ， ， 拼出的矩形为“开心矩形”， 或， 当时， ， 解得， ； 当时， ， 解得， 此时斜边小于直角边，不成立，舍去； 故的长为． 3．（2026·陕西西安·一模） (1)如图①，在正方形中，为正方形边上一点，请画出一条线段，使得在边上，在边上，并且； (2)如图②，在矩形中，，为边上的点，且，连接，过的中点作交于点，交于点，求的长度； (3)某社区老年活动室为如图③四边形，其中，点为边上一点，连接，过的中点作交于点，交于点．为满足活动需求，想使花卉区域（四边形）的面积尽可能小．请问：是否存在面积最小的四边形？若存在，求四边形面积的最小值及此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)存在，四边形面积的最小值为，此时的长为 【分析】（1）在上取点M，过点M作，交于点N，过点M作，垂足为G，证明，即可证明； （2）连接，运用勾股定理求解即可； （3）连接，过点A作，过点F作，设的长为，四边形的面积为，得出点Q是中点，再证，根据梯形面积公式即可得出关系式，再利用二次函数性质即可求得． 【详解】（1）解：在上取点M，过点M作，交于点N，则，理由如下： 过点M作，交于点G，交于点H， 在正方形中，， ∴四边形是矩形， ， ∴， ∵ ， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵点F是线段的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得 ， ∴． （3）解：过点A作于R，过点F作，交于点P，交于点Q，连接， 设的长为，四边形的面积为， ∵ ， ， ∴四边形为矩形， ∴， 同理，四边形是矩形， ∵ ∴， ， ∴， ∵，且点F是中点， ∴点Q是中点 ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 则， ∴ ， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ ， ∵， ∴当时，y有最小值为， ∴存在面积最小的四边形，四边形面积的最小值为，此时的长为． 题型06 动点引发的线段和最值问题 通用思路：求四边形周长最小或路径最短，通常利用轴对称性质将折线拉直。 关键步骤： 1. 找定点：确定图形中不运动的固定顶点。 2. 作对称：将动点所在直线作为对称轴，作出其中一个定点关于该直线的对称点。 3. 连线段：连接对称点与另一个定点，与直线的交点即为使和最小的动点位置（两点之间线段最短）。 1．（24-25九年级上·广东深圳·月考）在数学探究课上，王宇同学通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，其过程如下： (1)【观察发现】如图1，在等边中，，，，分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法． 在等边中，，， 点为边上的中点，． ． 过点作，使，连接． ． ． 又， ． ． 连接，，当，，三点共线时，的最小值等于线段的长． 连接，可证四边形是矩形， ． 的最小值为 _． (2)【类比应用】如图2，已知正方形的边长为6，为对角线的交点，，分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值． (3)【拓展延伸】如图3，矩形中，，，是的中点，，分别是和上的动点，且总有，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得四边形是矩形，从而得到； （2）类比第一问作辅助线，得出，当G，N，C三点共线时，线段的长为的最小值，进而求解即可； （3）由和前述思路可以构造，所有延长到H，使，连接，从而，得到，连接，当E、F、H三点共线时，线段的长为的最小值，利用勾股定理求即可． 【详解】（1）解：由作图可知，四边形是矩形， ∴， 的最小值为 ， 故答案为：． （2）解：如图，类比（1），过点D作，使，连接， ∴ 在和中， ∵， ∴． ∴． ∴． 连接，当G，N，C三点共线时，线段的长为的最小值． 过点G作，交的延长线于点H． 在正方形中，为对角线， ∴ ∵ ∴． ∴为等腰直角三角形． ∵正方形的边长为6， ∴， ∴． ∴在 中，， ∴的最小值为 ． （3）解：如图，延长到H，使，连接． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，当E、F、H三点共线时，线段的长为的最小值． ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查最短距离问题，涉及矩形的性质、正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键． 2．（2026·吉林长春·一模）【问题背景】小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，，点、分别为边、的中点，以为边向下作正方形．点、分别在边、上运动，且，连结、．求的最小值． 【问题探究】小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段与成功“接轨”，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图②，取边的中点，连结． 证明过程缺失 ． ． 请你帮助小明补全上述证明过程． 【问题解决】的最小值为______． 【拓展提升】如图③，在正方形中，，点、分别在边、上运动，且，点在边上，连结、．若，则的最小值为______． 【答案】问题探究：见解析；问题解决；拓展提升： 【分析】问题探究：利用正方形的性质和中点性质得，，再由，得，即可由得出，从而由全等三角形的性质得出结论； 问题解决：连接，根据两点之间，线段最短得，当M、Q、F三点共线时，值最小，最小值等于，延长、相交于N，利用正方形的性质和勾股定理求得，即可求解； 拓展提升：在正方形下方作正方形，在边上取点M，使，在边上取点N，使，连接，则，，根据两点之间，线段最短得，，所以当M、Q、N三点共线时，最小，最小值等于，利用正方形的性质和勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：问题探究： 证明：如图②，取边的中点，连结． ∵正方形， ∴，， ∵M，分别为边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ， ． 问题解决：如图②，连接， ∵， ∴当M、Q、F三点共线时，值最小，最小值等于， 延长、相交于N， ∵正方形，正方形，为边的中点，， ∴正方形， ∴，， ∴ 由勾股定理，得， ∴的最小值为． 拓展提升：在正方形下方作正方形，在边上取点M，使，在边上取点N，使，连接，如图③， 由问题探究可知：，， ∵ ∴当M、Q、N三点共线时，最小，最小值等于， ∵正方形，正方形，，， ∴，，， ∴ 由勾股定理得：， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间，线段最短，利用正方形的对称性质，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线、上一个动点，连结、、，且，求线段的最小值． 【问题分析】 小明发现、的长度不变且互相垂直，可将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题． 【问题解决】如图②，过点O作，且．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求的值；（提示：可构造相似三角形求解） （2）线段的最小值为________． 【方法应用】 如图③，，，，则最小值为________． 【答案】问题解决：（1）；（2）；方法应用： 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及两点之间线段最短等知识，能正确作出辅助线构造平行解答本题的关键． （1）①过点作于点，证明，可得出的值 ②由是的中点得，由勾股定理得，由得，过点作，且，连接，则四边形是平行四边形，得，则，当，，三点共线时，最小值为，由勾股定理得即可； （2）过点作，且，连接，过作于点，，当、、三点共线时的值最小，最小值为；由平行四边形的性质得，，得，，，由勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）①过点作于点，则，如图， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②∵是的中点， ∴， 在中， ∵, ∴， 过点作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小值为， ∵，， ∴ ∴； （2）过点作，且，连接，过作于点，图， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴当、、三点共线时的值最小，最小值为； 在中，， ∴的最小值为． 考向04 四边形中的动态探究与存在性问题（压轴核心） 题型07 已知三个定点，求抛物线上第四个点构成特殊四边形 通用思路：平行四边形（含特殊）的对角线互相平分，中点坐标公式是解决此类问题的通法。 关键步骤： 1. 设已知三点为A，B，C，抛物线上动点P。 2. 分类讨论：分别以AB、AC、BC作为平行四边形的对角线。 3. 套用中点公式：若AB为对角线，则A、B的中点也是C、P的中点。 4. 求解验证：解出x, y，并代入抛物线检验是否满足解析式。 5. 筛选定型：解出坐标后，若是求菱形/矩形，需代回验证“邻边相等”或“对角线相等”。 答题模板：先定形（平行四边形），再添条件（如PA=AB定菱形），最后验算。 1．（2022·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，当时，求点的坐标； (3)将抛物线的对称轴沿轴向右平移个单位得直线，点为直线上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3) 在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或． 【分析】（1）把，代入，可得，，即可得抛物线的解析式； （2）根据题意可得，，，当时，，设，则或，可得，即可得点的坐标； （3）抛物线的对称轴为直线，根据题意可得直线：，设，按照四边形为菱形，或四边形为菱形，进行分类讨论，根据菱形的性质，结合中点坐标，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：在中， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或． （3）解：在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴直线：， 设， ∵，， ∴， 若四边形为菱形，与的交点记为点， 则，，，， ∴， 解得， ∴或， ∴的中点为或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， 若四边形为菱形，与的交点记为点， 则，，，， ∴， 解得， ∴或， ∴的中点为或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， ∴在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或． 2．（2025·内蒙古包头·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质，函数与坐标轴的交点问题以及二次函数最值问题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据题意抛物线过点和对称轴是直线，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为 ，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）如图，延长交轴于，过作轴交于，求解出，再求解直线的函数表达式为，设，则，写出，表达式，代入，利用二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，存在点，使四边形为菱形， 理由如下：在中，当， ∴， 假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点， ∵四边形为菱形，， ∴于点，，即点的纵坐标为， 由，得，（不合题意，舍去）， 故存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标为； （3）如图，延长交轴于，过作轴交于， 在中，令，得，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 3．（2024·江苏常州·模拟预测）在学习了“中心对称图形…平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题： (1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有 _（把所有正确的序号都填上）； ①双直四边形”的对角线不可能相等： ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． (2)如图①，正方形中，点、分别在边、上，连接，，，，若，证明：四边形为“双直四边形”； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上且，是否存在点在第一象限，使得四边形为“双直四边形”，若存在；求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②③ (2)证明见详解； (3)或 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“双直四边形”的定义依次判断即可； （2）证明，得到，由余角的性质可证，可得结论； （3）根据“双直四边形”的定义分当时，当时，当时三种情况讨论，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵正方形是“双直四边形”，正方形的对角线相等． 故①不正确． ∵“双直四边形”的对角线互相垂直， ∴“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半． 故②正确． 中心对称的四边形是平行四边形，再根据“双直四边形”的定义得到四边形是正方形． 故③正确； 故答案为：②③； （2）证明：设与交于点， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为“双直四边形”． （3）解：设如图②，设与交于点， 点，， ，， ，， ， ， ， 点， 四边形是“双直四边形”， ， ， ，即点是的中点， 点，， 点， 设直线的表达式为， ， 解得：， 直线的表示为：， 当，点的横坐标为， ， 点， 当时， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 点， 当时，如图③，过点作于点，于点， 是的垂直平分线， ， 平分， ， ， ， 设，则，， 即点坐标为， 代入， 得， 为， 综上所述，点的坐标或 题型08 四边形形状的动态演变探究 通用思路：图形在运动变化中，找出那个始终保持不变的边或角，分析其到达特殊位置（如垂直、重合）的时刻。 关键步骤： 1. 表变量：用含有时间t的代数式表示出动边的长度或点的坐标。 2. 列方程：根据特殊四边形的判定条件（如菱形要求四边相等，矩形要求对角线相等）列出关于t的方程。 3. 验取舍：解方程，并将t的值代回原题，检验是否符合实际几何意义（如边长不能为负）。 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，四边形的面积是菱形面积的，理由见解析 (3)当时， 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形； （1）根据菱形的性质，勾股定理求得的长，根据题意得出，根据，可得，当时，四边形是平行四边形，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）过点作于点，根据题意可得四边形是梯形，，进而表示出，根据四边形的面积是菱形面积的建立方程，解方程，得出的值，结合题目条件，即可求解； （3）当时得出，根据得出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形中，对角线、相交于点，，， ∴，，， 在中，， 依题意，， ∴， ∵， ∴， ∴ 当时，四边形是平行四边形 ∴ 解得： （2）解：存在时，四边形的面积是菱形面积的，理由如下， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 又， 则， ∴． ∵， ∴四边形是梯形，， ∴，即． ∵四边形的面积是菱形面积的． ∴． ∴． 解得：或． ∵． ∴存在时，使得四边形的面积是菱形面积的． （3）当时， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 又， 则， 解得：． ∴当时，． 2．（2024·山东青岛·二模）已知：如图，在中， ，，，，将沿方向匀速运动得到，已知平移速度为1，分别与，相交于、，与相交于，设运动时间为． 解答下列问题： (1)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形是正方形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (3)连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)存在， (2)存在， (3) 【分析】（1）连接，首先证明四边形为矩形，若四边形为正方形，则有，然后求解即可； （2）首先根据勾股定理解得，由平移的性质可得，，，，，，得，证明，由相似三角形的性质可得，代入数值可解得，，进而可得，当时，在和中，由勾股定理可得关于的方程，求解即可获得答案； （3）根据题意得到，得出，求出，然后证明出，作，，得到，求出，然后利用求解即可． 【详解】（1）解：存在，，理由如下： 如下图，连接， ∵，， ∴， 由平移的性质可得，，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 若四边形为正方形， 则有， ∴运动时间； （2）存在， ，理由如下： ∵， ∴， 又∵，，， ∴， 由平移的性质可得，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即有， ∴，， ∴， 当时，可有， ∴在中，， 在中，， ∴，整理可得， 解得； （3）∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 作， ∴ ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平移的性质、矩形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握平移的性质和相似三角形的性质是解题关键． 3．（2023·山东青岛·模拟预测）已知：如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点P从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作，交于点M，连接，分别交于点E，F．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，？ (2)设的面积为，求S与t的函数关系式． (3)是否存在某一时刻t，使将分成和四边形面积比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)延长交于点N，是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，再根据平行线分线段成比例定理得出，从而得出，然后根据根据平行分线段即可得出答案； （2）过点作于点，交于点，根据相似三角形的判定及性质得出，从而得出，再根据代入化简即可得出答案； （3）首先得，然后证明出，得到，然后证明出，得到，然后代数求解即可． （4）连接，过点作于点，根据垂直平分线的性质得出，再根据平行线分线段成比例定理得出，然后根据勾股定理求解即可得出答案． 【详解】（1）四边形是矩形， ，， ， ， 即， ， ， 若，则，即， 解得：， 即当为时，； （2）如图1，过点作于点，交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 与的函数关系式为； （3）存在某一时刻，使将分成和四边形面积比为， 理由如下： 若和四边形面积比为，则， ∵， ∴，， ∴， ∴与的相似比为， 即， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴存在某一时刻，使将分成和四边形面积比为，t的值为； （4）如图2，连接，过点作于点， 点在线段的垂直平分线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得（舍去），， 答：为时，在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、垂直平分线的性质，二次函数的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 考向05 四边形与折叠、旋转等图形变换的综合 题型09 四边形的折叠（轴对称）问题 通用思路：折叠的本质是轴对称，折叠前后图形全等，对应的线段和角度相等。 关键步骤： 1. 找全等：明确折叠前后的对应线段和对应角。 2. 设未知：通常设所求线段长度为x，并用x表示出其他相关线段的长度。 3. 找直角：在折叠产生的新图形中，寻找可利用的直角三角形（常以x所在边为一腰）。 4. 用勾股：根据勾股定理列出关于x的方程并求解。 1．（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【分析】（1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可， ∵，， ∴， ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分， ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 2．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F． 第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M． (1)求证：． 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上． (2)求的长． 【应用创新】 (3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）连接，根据折叠的性质得到，再证明即可； （2）证明，则，再对运用勾股定理求解即可； （3）当时，可得四边形是矩形，则，然后可得 为等腰直角三角形，则；当时，连接，过点作于点，先得到三点共线，求出，则，再证明，设，则，根据相似三角形的性质求解，最后由勾股定理求解得到． 【详解】（1）证明：连接，如图②： 由第一次折叠可得，， ∵四边形是矩形， ∴ 由第二次折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图③： 由②得，， ∴ ∵矩形， ∴，， ∴ 由折叠可得， ∵ ∴ ∴， 由（1）得， ∴ ∴ ∴， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时， ∴ ∵矩形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，平分 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 当时，连接，过点作于点， 则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， 同上可证明四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，， 由（1）得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 设，则 ∴， 解得 ∴， 综上：当为直角三角形时，则的长为或． 3．（2025·江苏苏州·一模）数学实验：折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【分析】本题考查了正方形的折叠问题． （1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可． ∵，， ∴． ∵，分别是，的角平分线， ∴ ∴ 故答案为：； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分 ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ 即， ∵ ∴ 1．（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【分析】（1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可， ∵，， ∴， ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分， ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 2．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F． 第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M． (1)求证：． 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上． (2)求的长． 【应用创新】 (3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）连接，根据折叠的性质得到，再证明即可； （2）证明，则，再对运用勾股定理求解即可； （3）当时，可得四边形是矩形，则，然后可得 为等腰直角三角形，则；当时，连接，过点作于点，先得到三点共线，求出，则，再证明，设，则，根据相似三角形的性质求解，最后由勾股定理求解得到． 【详解】（1）证明：连接，如图②： 由第一次折叠可得，， ∵四边形是矩形， ∴ 由第二次折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图③： 由②得，， ∴ ∵矩形， ∴，， ∴ 由折叠可得， ∵ ∴ ∴， 由（1）得， ∴ ∴ ∴， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时， ∴ ∵矩形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，平分 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 当时，连接，过点作于点， 则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， 同上可证明四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，， 由（1）得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 设，则 ∴， 解得 ∴， 综上：当为直角三角形时，则的长为或． 3．（2025·江苏苏州·一模）数学实验：折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【分析】本题考查了正方形的折叠问题． （1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可． ∵，， ∴． ∵，分别是，的角平分线， ∴ ∴ 故答案为：； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分 ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ 即， ∵ ∴ 题型10 四边形绕点旋转问题 通用思路：旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置，核心是寻找旋转全等或相似三角形。 关键步骤： 1. 找不变量：确定旋转中心（不动点）和旋转角（通常已知或可通过其他条件算出）。 2. 证全等/相似：连接对应点，证明生成的三角形与原始三角形全等（或相似）。 3. 转结论：利用证出的全等/相似关系，将所求的角或线段转移到便于计算的位置。 1．（2025·河北·模拟预测）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点 A 旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2， ①尺规作图：作的中线，交于点 M（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②在纸片绕点A旋转过程中，当点 D 恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点F，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积，若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）能，直角三角形的面积为4或16或12或． 【分析】（1）证明即可求解； （2）①按照作线段垂直平分线的方法作图即可； ②连接，过点A作于点N，过点E作于点G；由可求得的长，再由（1）可求得，由等腰三角形的性质得，由勾股定理求得，利用面积相等求得；利用面积相等求得，设，则，在中利用勾股定理建立方程可求得x的值，从而求得的长； （3）分四种情况考虑，利用相似三角形的判定与性质等知识即可求解． 【详解】解：（1）由勾股定理得：， 由旋转知：， ∵， ∴， ∴； （2）①中线作图如下： ②如图，连接，过点A作于点N，过点E作于点G； ∵为直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， 由旋转知， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵ ∴； ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 当时，，则； 当时，，则，不合题意； ∴的长为； （3）解：C，D，E三点能构成直角三角形； 如图，当重合时，此时，则是直角三角形， ∵， ∴； 如图，当在的延长线上时，此时，则是直角三角形， ∵， ∴； 如图，当，则是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，则是直角三角形， 过点A作于点Q，交于点N， 设， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 2．（2026·山西晋中·一模）综合与探究： 【问题情境】如图，四边形是菱形，对角线、相交于点．将绕点按逆时针方向旋转得到，，两点旋转后的对应点分别为，，旋转角为． (1)【操作验证】如图1，当点落在对角线上时，连接，求证：是等边三角形． (2)【猜想探究】如图2，在旋转过程中，时，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当与重合时，连接．若，，请你直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形，见解析 (3) 【分析】（1）结合菱形的性质，得，运用旋转的性质得，故是等边三角形； （2）根据四边形是菱形，得，由旋转的性质得，再证明四边形为平行四边形，又因为，故四边形为菱形， （3）运用菱形的性质以及旋转的性质得垂直平分线段，然后结合勾股定理列式得，解得，即可求得，然后在中，运用勾股定理 列式计算，得． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：四边形为菱形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形； （3）解：连接交于点， 由题意知，， ∴垂直平分线段， ∴，， ∴, 由菱形知，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 3．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，在中，，点D在边上（不与点C重合），将绕点D旋转，得到，其中点C的对应点为点E，点A的对应点为点F． (1)如图1，点D与点B重合，将绕点D逆时针方向旋转，当点E落在边上时，与的交点为G，求证：； (2)如图2，点D是边上任一点（不与点A、B重合），将绕点D逆时针方向旋转，当点E落在边上时，连接，求证：； (3)若，，D为中点． ①将绕点D逆时针方向旋转，点E落在边上，连接并延长与的延长线交于点P，求的长； ②将绕点D顺时针方向旋转，当经过点C时，连接并延长与的延长线交于点Q，请直接写出的长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)①；② 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，，根据旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，证明，根据等角对等边得出结论即可； （2）根据解析（1）证明，先得出，求出．根据等腰三角形的判定得出． 证明，根据平行线的判定得出答案； （3）①根据勾股定理得出，根据等积法求出，根据勾股定理求出．证明四边形为矩形，得出，证明，得出，求出即可； ②连接，证明四边形为矩形，根据等积法求值．根据勾股定理求出，求出，证明，得出，求出． 【详解】（1）证明：， ，， ， 旋转得到， ，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：同理（1）得，． ，旋转得到， ， ． ，即．     ．     ，，． ， ∴； （3）解：①，，D为中点， ， ，， 在中，根据勾股定理得： ， 如图，连接，． 旋转得到， ，． ， ，． ． ， ， ， ． ， ， ， 根据勾股定理得： ．     旋转得到， ， ， 又， ， ， ． ， ，即． 由（2）得， ， 四边形为矩形， ．     ， ∵， ， ， ， ； ②解：连接，如图所示： 绕点D顺时针旋转得到， ，，， ，， ． 又， ． ． ， ， ， 即， 又，， ， 即． ， ． ，，， ， 即． 四边形为矩形，同理①： ， ， ． ， ， ， ∵， ． ， 即， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，作出辅助线． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2026·山东日照·一模）如图，矩形的对角线交于原点O，反比例函数的图象过点A．若，，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作于点，由题意易得，，，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】解：过点A作于点，如图所示： ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在四边形中，，，，，E为的中点，交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于点，证明四边形为菱形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，进而求出的长，求出的长，利用线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵交于点F，E为的中点， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴. 3．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在四边形中，对角线，交于点O．，，M，N分别为，的中点，连接分别交，于G，H，延长至点E，使得，连接．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，，与交于点，根据三角形的中位线定理，推出为等边三角形，得到，证明为等边三角形，得到，分别过作的平行线，过作的平行线，它们相交于点，连接，则四边形为平行四边形，推出为等边三角形，根据三角形的三边关系，以及大边对大角，判断C，D即可. 【详解】解：如图1，取的中点，连接，，与交于点，则，，，， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴，∴A正确，B错误； 如图2，分别过作的平行线，过作的平行线，它们相交于点，连接，则四边形为平行四边形， ， ，即为等边三角形， 在中，， ，∴C正确； ， ， ，∴D正确． 4．（2026·湖北荆州·一模）如图，在矩形中，点E为边的中点，连接，沿折叠，点落在矩形内部，点的对应点为，连接，若，则的长为（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】过点E作于点G，由线段中点得，根据折叠可得，，从而得出为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得到，在中利用即可解答． 【详解】解：如图，过点E作于点G，    ∵四边形为矩形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 根据折叠可得，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴． 二、填空题 5．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，A、B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为_________． 【答案】 【分析】用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积．根据反比例函数k的几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，设过点A，B作x轴和y轴的垂线的垂足分别为，与交于点，两个空白的矩形面积分别表示为， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， ∴， ∵图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6， ∴， 又∵反比例函数图象经过第二象限， ∴． ∴． 6．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，交于K，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部）．若正方形的边长，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据作图可知垂直平分，，设交于点，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：设交于点， 由作图可知：垂直平分，， ∴， ∵正方形，， ∴，，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴． 7．（2026·辽宁盘锦·一模）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为______． 【答案】2 【分析】先根据待定系数法求得的解析式，过点作于点，过点作于点，证明，即可得到的长，再证明，即可得到点坐标，再根据平移可得平移后的坐标，代入直线，即可解答． 【详解】解：点在直线上， ， ， 直线解析式为， 如图，过点作于点，过点作于点， 则，， ， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， 将正方形沿y轴向下平移个单位长度后，点C恰好落在直线l上， 则平移后点， ， 解得． 8．（2026·江苏扬州·一模）如图，点M为正方形对角线上的一个动点，将线段绕B点逆时针旋转后得到线段，连接．下列结论正确的是________．（请将所有正确结论的序号填写在横线上） ①当N落在上时，； ②当 时，点M到点N距离最短； ③若正方形的边长为1，则长度范围为． 【答案】①③ 【分析】①由旋转性质和正方形性质得到 ，得到对应角相等，再根据内错角相等得到． ②由于是定角，故最短时也最短，由垂线段最短即可求出 ． ③M与A重合时B，D，N三点共线，此时最短；M与C重合时，是直角三角形，此时最长，由勾股定理即可求出长度． 【详解】①如图所示， 落在上，由旋转可知， ， ， 由正方形性质知， ， 再由正方形性质知 ，， ∴， ， ， ． 故①正确． ②如图，观察，过B作， 由是等腰三角形知 ， 故当最小时，距离最近， 由垂线段最短知时，最短，此时． 故②错误． ③如图所示，                 图一                                         图二 是正方形的对角线且正方形边长为１， ， 由三角形三边关系可知在中， ，故当 时，最小，此时B，D，N三点共线， 由图一知此时M与A点重合， ， ， 在此后随着M点向右平移，N与D的距离越来越大，故当M与C重合时，N与D的距离最大， 由图二所示， ， 在中，， ， 综上所述，，故③正确 【点睛】解本题的关键是画出每一小问对应的图形，综合运用三角形、四边形各种性质来判定一些线段关系，角度大小以及线段长度． 9．（2026·山东日照·一模）如图，在菱形中，，，M是边的中点，N是边上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在点E处，连接，则的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】连接，过点作交的延长线于点，可得，然后解，求出，再由，得到，故当点落在上时，取得最小值，最后对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，过点作交的延长线于点， ∵菱形， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∵M是边的中点， ∴， ∵将菱形沿翻折 ∴， ∵， ∴， ∴当点落在上时，取得最小值， ∵ ∴， ∴的最小值为． 三、解答题 10．（2026·江苏扬州·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若已知，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质可得，进而可得是的中位线，推出，依次证明四边形是平行四边形、矩形即可； （2）根据菱形的性质及直角三角形的斜边中线的性质求出，再在中，解直角三角形求得，最后根据矩形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， 在中，， ∴． 11．（2026·辽宁沈阳·一模）如图中，过点作，垂足为点，将绕点逆时针旋转得到，点落在上点处，点落在内部点处，延长交于点，连接、，且与交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)在上取一点，连接、，，，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，再由垂直的定义确定，利用旋转的性质及角的等量代换得出，即可证明； （2）过点G作交于点N，根据平行四边形及旋转的性质得出，确定，再由全等三角形的判定和性质得出，，即点P是的中点，利用直角三角形斜边中线的性质即可证明； （3）过点D作于点M，连接，设，利用勾股定理建立方程得出，确定，再由正切函数得出，结合图形即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点G作交于点N，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，即点P是的中点， ∴ （3）过点D作于点M，连接， 在中，设， ∴， ∵ ∴， 在中，， 在中， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 12．（2026·内蒙古包头·一模）从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以菱形为背景对旋转中的线段的数量关系开展探究．如图，菱形与菱形（），，点分别在边上． (1)如图1，菱形绕点顺时针旋转，点在菱形内部，连接，当点、点和点共线时， ①与全等吗？为什么？ ②请写出之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，菱形绕点顺时针旋转，点在菱形内部，连接，延长交于点，连接．请写出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①全等，原因见详解；②，理由见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）①由菱形性质得到相关边、角相等关系，再由三角形全等的判定定理说明即可；②过点作，在中得到，再由全等得出，数形结合即可表示出之间的数量关系； （2）在上取点，使，连接，构造出，得到相应边与角的相等关系，进而求出，同（1）②中求证线段之间关系的方法即可得出之间的数量关系． 【详解】（1）解：①全等，原因如下： 在菱形中，，；在菱形中，，； ， 则， 在和中， ， ； ②，理由如下： 过点作，如图所示： 在菱形中，，，则，， 在中，，，则， ， 由①知，则， ； （2）解：，理由如下： 在上取点，使，连接，如图所示： 由（1）①知，则， 在和中， ， ， ，， 由（1）①知，则， ， ， 过点作，如图所示： 在中，，，则，， 在中，，，则， ， 13．（2026·陕西咸阳·二模）问题提出： (1)如图①，在中，，，点在的延长线上，，是上一点，连接，若，求的最小值； (2)问题解决：某晶圆封装工厂准备新修建一个晶圆封装车间，如图②所示，在矩形车间示意图中，米，米，为入口，为出口，为封装核心区域，半径为30米，圆心在上，从入口处，将原材料沿着传送带传送至上，在区域完成切割，贴装，电镀等加工后形成可使用的晶圆片，将最终产品沿传出，已知，段修建费用均为600元/米，段为300元/米，考虑到成本费用，求修建，，三段总费用的最小值，并求出总费用最小时的长． 【答案】(1) (2)修建，，三段总费用的最小值为元，此时的长为100米 【分析】（1）过点H作于点G，过点E作于点F，证明为等腰直角三角形，得出，说明，根据两点之间线段最短，得出当、、G三点共线时，最小，即最小，根据垂线段最短，得出当点G与点F重合时，最小，且最小值为的长度，解直角三角形求出结果即可； （2）以点C为顶点，为角的一条边，在下方作，过点G作于点H，延长，截取，连接、、、、，延长，交于点K，过点作于点M，交于点N，先证明，得出，根据，得出，从而得出最小时，最小，即最小，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出的最小值为的长，解直角三角形求出最小值即可． 【详解】（1）解：过点H作于点G，过点E作于点F，如图所示： 则， ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、、G三点共线时，最小，即最小， ∵垂线段最短， ∴当点G与点F重合时，最小，且最小值为的长度， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （2）解：以点C为顶点，为角的一条边，在下方作，过点G作于点H，延长，截取，连接、、、、，延长，交于点K，过点作于点M，交于点N，如图所示： 则， ∵，段修建费用均为600元/米，段为300元/米， ∴的长度最小时，修建，，三段总费用的最小， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，米，米， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∵米， ∴， ∴当最小时，最小， ∵， ∴， ∴当最小时，最小， ∴最小时，最小，即最小， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴的最小值为的长， ∵，， ∴（米），， ∴（米）， ∵，， ∴（米）， ∴的最小值为225米， ∴的最小值为（米）， 即的最小值为165米， ∴修建，，三段总费用的最小值为（元）， ∵交于点N， ∴此时点O在点N处， ∵，， ∴， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 即总费用最小时的长为100米． 14．（2026·安徽芜湖·二模）如图1，在正方形中，点E是边上一动点，连接，过点D作交于点F，以，为邻边作平行四边形，连接． (1)求证：； (2)如图2，若正方形的边长为6，，连接，，交点为O，边的垂直平分线交于N，交于M，连接，求的长； (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，利用即可得证； （2）先证明，进而得到，得到，推出是的中位线，得到，利用勾股定理求出的长即可； （3）作交的延长线于，证明，推出是等腰直角三角形，得到，根据，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ； （2）解：是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是的中位线， ． ，， ，由（1）得， ， ， ； （3）解：如图，作交的延长线于，则， 由（1）得， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点03平行四边形与特殊平行四边形 内容导航 第部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块 ★重难考向 ★考法解读/考向预测 第二部分重难要点賠剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理 ★典例验知★技巧点拨 ★类题夯基 考向01平行四边形的性质与判定（基础巩固） 考向02特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的判定与性质 考向03四边形中的最值与面积问题 考向04四边形中的动态探究与存在性问题（压轴核心） 考向05四边形与折叠、旋转等图形变换的综合 第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶 ---◆》)的◆- 重●难●考●向●解●读 一、2023、2024、2025年考法解读 综合分析近三年全国中考真题，四边形（平行四边形及其特殊形式）的命题呈现“基础必考、压轴 常客”的双重特征： 1.基础考查：多以选择题、填空题形式直接考查特殊四边形的性质（如对角线、对称性）和判定定 理，单题分值3-4分，重在检验学生对概念辨析和基础计算的熟练度。 2. 综合考查：常作为几何综合压轴题的载体，与全等相似三角形、圆、勾股定理深度融合。尤其偏 爱将矩形和菱形放入平面直角坐标系或动态变化的情境中，考查分类讨论和方程思想。 3.命题偏好：“中点四边形的性质探究、利用对角线关系判定特殊菱形矩形、以及四边形中的折叠与 旋转是近三年命题人最常挖掘的高频得分点。 二、2026年考法预测 基于对近年命题演变的观察，对2026年中考命题趋势及备考策略作出如下预测： 1. 命题趋势展望 (1)从“单一知识点”向“综合实践”过渡：预计2026年会出现更多结合实际生活背景（如工程框架结构、 平面设计图)的四边形探究题，要求学生现场提取几何模型。 (2)动态存在性与多结论判断加剧：动点、动四边形与二次函数图象结合的压轴题依然是拉分主力； 此外，涵盖多种四边形性质的“多结论选择题”将增加，侧重考察学生的快速纠错和排除能力。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)强化“转化”与“补全”思想：题目将更隐蔽地考察如何利用对角线将四边形问题转化为熟悉的三角形 问题。 2.2026年备考策略建议 (①)构建“阶梯式”判定网络：指导学生按“平行四边形→菱形矩形→正方形”的顺序梳理判定定理，明 确每一步升级所需的“额外条件”（如对角线垂直、一个直角）。 (2)强化“分类讨论”的肌肉记忆：在涉及坐标平面求未知顶点时，强制学生遵循“先画草图，再定分类” 的原则，防范漏解。 (3)提炼几何计算的核心公式：重点强化“勾股定理”、“等面积法（求高面积）”和中点坐标公式”在四 边形计算中的灵活应用。 重●难●要●点●剖●析 考向01平行四边形的性质与判定（基础巩固) 。题型01利用性质求边长角度或对角线参数 回棉豪妙计 通用思路：见到平行四边形，优先联想“对边平行且相等”、“对角相等”、“对角线互相平分”三大核心 性质。 关键步骤： 1. 审图形：观察己知条件和所求目标（边、角还是对角线）。 (1)求边/角：直接利用对边相等、对角相等或邻角互补列方程。 (②)求对角线：利用“对角线互相平分”得出两组相等线段，代入含参代数式求解。 避坑提示：注意题目是否给出“四边形ABCD是平行四边形”的原命题，若仅给出“AB/CD,AB-CD” 等形式，需先完成判定再使用性质。 1.(2026四川成都·二模)在平行四边形ABCD中，AB=nBC,∠ABC=a,过点D作EF∥AC,在直线 EF上取一点G,连接CG,使得∠ABC=∠CGD. 9 ED 图1 图2 图3 H 【特例感知】 (1)如图1，连接BG,若AB=6,n=1,a=120°，求BG的长； 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【问题探究】 (2)如图2，连接BG,若BG=V17,n=2,a=90°，求AB的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，当BC=2,a=60°时，H为射线CG上一点，连接BH,若AC.CH=12,求BH的最大值. 2.(2026湖南衡阳·模拟预测)如图1，在口ABCD中，点M是BC边的一点，连接AM.若 1 SAABM= S边形MCD M 图1 图2 图3 ()【初步感知】直接写出BM的值。 AD (2)【问题解决】如图2，作射线DM与AB的延长线相交于点P,连接CP,AM的延长线与CP相交于点 N.试探究线段CP与线段CN之间的数量关系，并证明你的结论 (3)【变式探究】如图3，连接BD,BD与AM交于点E,连接CE. ①若AM⊥BD,求证：∠CED=∠ABD; ②当∠ABD=∠CEM时，AB与AE之间的关系是AB=k·AE,求k的值. 3.(2026安微合肥一模)己知口ABCD中，AD=kAB,E、F分别为边CD、AD上的点，且CE=AF, 连接AE、CF相交于点P,连接BP 图1 图2 (1)当k=1时，如图1， ①若∠D=60°，∠DAP=50°，则∠BCP=°； ②若3FP=2PC,AB=6,求CE的长. (2)若k>1,如图2，试猜想∠ABP与∠CBP的数量关系，并给出证明. 。题型02结合全等相似证明四边形是平行四边形 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 回棉豪妙社 通用思路：证明平行四边形本质上是证明“两组对边分别平行/相等”或“一组对边平行且相等”。 关键步骤： 1.找缺口：分析现有条件还欠缺什么（如已知一组对边平行，缺相等；己知两组对边相等，缺平行）。 2. 借桥梁：通过已知的全等三角形或相似三角形比例线段，补齐所缺的条件。 3. 作结论：写出判定依据（如SAS全等得内错角相等，从而得平行）。 1.(2026辽宁沈阳一模)如图，⊙0为ABC外接圆，BC为O0的直径，BC=12,AD是⊙0的切线， AD∥BC,∠ACD=90°. (I)求证：四边形ABCD为平行四边形 (2)求阴影部分的面积，（结果不取近似值，请保留精确值） 2.(2026江苏苏州模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上， AE∥DC,EF⊥AB,垂足为F. B (I)求证：四边形AECD是平行四边形： (②诺AB平分∠B4C,能=5，o0sB-手求F和AD的长. 3.(2026四川德阳·模拟预测)如图1，O0的内接四边形ABCD对角线相互垂直，垂足为点E,过点B作 BF⊥AD,交AC于点G. E D 图1 图2 (1)若LBAD=50°，∠ABC=70°，求∠ACB的度数； 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，连接DO并延长交O0于点H,连接HB,HA.证明四边形AGBH为平行四边形； (3)在(2)的条件下，若AG=5,GE=1,DE=2,求O0的直径， 考向02特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的判定与性质 。题型03利用特殊四边形的性质进行纯几何计算 回棉豪妙计 通用思路：特殊四边形的计算核心往往落在“对角线”或“直角三角形”上。 关键步骤： 1.抓特征：明确是矩形（有直角，对角线相等）、菱形（四边等，对角线垂直）还是正方形（兼具二者） 设未知：利用边长关系（如菱形四边相等）或对角线比例设未知数。 3. 造方程：必然能构造出一个直角三角形，利用勾股定理或面积法列出方程求解。 1.(2026广东东莞一模)运用发现、探究、拓展解决下列问题 图1 图2 图3 备用图 (I)发现：如图1所示，BD是矩形ABCD的对角线，作AF⊥BD交BD于点F,交BC于点E,求证： △ABE∽△BCD; (2)探究：如图2，点G是矩形ABCD边BC上一点，连接DG,过点A作AF⊥DG交BC于点E, BG66,老提片架%二的能 DG (3)拓展：在矩形ABCD中，AB=3,BC=6,点P为BC边上的三等分点，点E和F分别为直线AD和 的点，将矩形ABCD沿直线EP翻折，点P恰好落在边CD上的点Q处，求O 2.(2025·上海.一模)在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,P是线段0C上一个动点（不与 点O、点C重合)，过点P分别作AD、CD的平行线，交CD于点E,交BC、BD于点F、G,连接EG. 图1 图2 图3 (1)如图1，如果PC=20P,求证：EGIIAC; 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，如果∠ABC=90°， AB 2 P一=，，且△DGE与△PCF相似，并求PT的值 (3)如图3，如果BA=BG=BC,且射线EG过点A.请补全图形，并求∠ABC的度数 12 3.(2026广东湛江.一模)如图1，在平面直角坐标系中，A(0,),C(m,0),双曲线y=二(x>0)与矩形 OABC的两边AB、BC分别交于D、E两点，连接OD、OE、DE,将△DBE沿DE翻折后得到△DB'E B 图1 图2 图3 图4 (I)探究一：如图2，若点D为AB中点时，点B又恰好落在线段OD上，点E的纵坐标为 (用 含n的式子表示)： (2)探究二：如图3，若OE平分∠DOC,当四边形DB'EB是正方形时，求矩形OABC的面积： 3 (3)探究三：如图4，若点D在直线y=x上，是否存在m的值使B点落在x轴上，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由. ◆题型04在动态条件下列举结论判断题 回棉豪妙什 通用思路：题干给出一个变动的四边形（如对角线增减、角度旋转），判断由此衍生的数个结论对错。 关键步骤： 1. 定基础：先确定变动中的不变量（如某条边长度、某个角度）。 2. 验结论： (1)判定类：是否满足直角、等边或对角线垂直/相等？ (2)最值类：是否构成了直角三角形的斜边或直角边？ 3. 排干扰：对于复杂的几何关系，可代入特殊值（如转动到中点、端点）快速推翻错误选项。 1.(2025河南周口一模)请阅读以下材料，并完成相应任务. 形0ABC的边4B,BC分别与反比例函数y二x>0的图 小红的探究：如图②，过点D作DF⊥y轴于点F,过点E作EG⊥x轴于点G.根据反比例函数中的几何意义，可得 CE AD CE·EG=AD·DF,又EG=AB,DF=BC,CE·AB=AD·BC, CB AB 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 小明说：“如图③，连接DE,AC,在小红的结论的基础上继续探究，可以得到DE∥AC.” 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ ()小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由. (2)如图④，直线MN分别与x轴、y轴交于点N,M,与反比例函数y=《(x>0)的图象交于点D,E.求 证：EM=DN. (③)如图⑤，矩形0ABC的边AB,BC分别与反比例函数y=《(x>0)的图象交于点D,E.连接OD, OE,DE.若点D为AB的中点，则SAODE= (用含k的代数式表示)， 2.(2024山东临沂.一模)【问题情境】折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸可以得到许多美丽的图形， 折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们准备了大小一样的正方形，如 图1，正方形纸片ABCD,边长为4. B 图1 图2 图3 【操作发现】老师提出了如下折叠要求：将正方形ABCD,沿直线EF折叠使点B落在边AD上的点P 处(A,D两点除外)，点C的对应点为点G.经过思考，讨论，同学们分享了他们的发现： (1)如图2，当点P落在AD上任意一个位置时，PB平分∠APG,请判断这个结论是否正确，并 说明理由； (2)如图3，若PG与CD相交于点H,当点P是AD的中点时，可以求出DH的长度.请写出解答 过程： 【拓展运用】小辉同学在(2)的基础上，求出了PH的长，进而求得了△PDH的周长，发现这个周长 与正方形的边长存在一定的关系，是一个定值.进一步研究他发现：当点P在AD上任意位置时，如图 4,△PDH的周长是一个定值.小辉的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理 由 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图4 3.(2025广东广州一模)如图，现有正方形纸片ABCD,点E,F分别在边AB,BC上，沿垂直于EF的 直线折叠得到折痕MN,点B,C分别落在正方形所在平面内的点B,C处，然后还原. N G BiM (I)若点N在边CD上，且LBEF=a,求∠C'WM的大小（用含a的式子表示）： (2)再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH,点G,H分别在边CD,AD上，点D落在正方形所在平 面内的点D处，然后还原.若EB=2AE,点D在线段B'C'上，且四边形EFGH是正方形，MN与GH 的交点为Q,EF与HB'的交点为P,连接PQ.小明同学猜想：△HPQ的面积是△HAE的2倍，他的 猜想是否正确？如正院，请给予证明：若不正确，请求出两三角形面积的比S心 S△HE 考向03四边形中的最值与面积问题 ◆题型05不规则四边形面积计算 回棉豪妙竹 通用思路：任意四边形无直接面积公式，必须通过连接对角线将其转化为两个三角形。 关键步骤： 1. 选对角线：选择包含己知夹角或能构成直角的对角线（如菱形常连两条对角线）。 2. 求高/底：利用三角函数或勾股定理求出两个三角形的底和高。 3. 求和/差 1.(2025·黑龙江哈尔滨模拟预测)在ABCD中，AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F, 图1 图2 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图1，求证：AE=CF; (2)如图2，连接AF、CE,若口ABCD的面积等于四边形AECF面积的3倍，在不添加任何辅助线的情 况下，请直接写出图2中四个三角形，使每个三角形的面积等于四边形AECF的面积。 2.(2026河北石家庄.一模)【综合与实践】数学实践课上，同学们开展“将正方形裁拼成面积相等的矩形的 问题探究”. 题目：“如何将一张边长为12cm的正方形ABCD裁拼成面积相等的矩形？” 【理论支持】嘉嘉给出的裁剪作图理论是：“如图1，在边BC上截取点E(点E不与点B,C重合)，连 接DE,过点E作DE的垂线m,交AB于点M,过点A作DE的平行线交直线m于点F,过点D作DE 的垂线DG,交FA的延长线于点G,四边形DEFG即为与正方形ABCD面积相等的矩形.” 图1 图2 图3 (I)求证：四边形DEFG为矩形； (2)试说明矩形DEFG的面积和正方形ABCD的面积相等： (3)【动手操作】淇祺按照嘉嘉的示意图，将正方形裁剪成△CDE、△BEM、四边形ADEM三部分，在 拼接过程中发现△BEM拼接到△GAD或△FAM的位置都未能全部填满，于是，她把△BME放到图2所 示的aHID的位置，然后在DC截取DK=AM,过点K作KJ⊥DE于点J,并裁剪出△DKJ,将其拼到 △AMF的位置，恰好无缝拼接，然后将四边形JKCE拼到四边形GIHA的位置，恰好拼接成一个完整的矩 形.求证：△DKJ≌△AMF; (4)如图3，规定：两条邻边的长度比为2：3的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求CE的 长 D 3.(2026陕西西安一模) B N 图① 图② 图③ (I)如图①，在正方形ABCD中，E为正方形CD边上一点，请画出一条线段MN,使得M在AD边上， N在BC边上，并且MW=BE,MN⊥BE: (2)如图②，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E为CD边上的点，且CE=2,连接BE,过BE的中点 F作MN⊥BE交AD于点M,交BC于点N,求BN的长度； (3)某社区老年活动室为如图③四边形ABCD,其中AD∥BC,∠D=90°，∠ABC=60°，AB=AD=8m,点 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E为CD边上一点，连接BE,过BE的中点F作MN⊥BE交CB于点N,交AD于点M,为满足活动需 求，想使花卉区域（四边形AMNB)的面积尽可能小.请问：是否存在面积最小的四边形AMWB？若存 在，求四边形AMNB面积的最小值及此时CE的长；若不存在，请说明理由 。题型06动点起发的线段和晟值问题 回棉豪妙计 通用思路：求四边形周长最小或路径最短，通常利用轴对称性质将折线拉直。 关键步骤： 1.找定点：确定图形中不运动的固定顶点。 2. 作对称：将动点所在直线作为对称轴，作出其中一个定点关于该直线的对称点。 3. 连线段：连接对称点与另一个定点，与直线的交点即为使和最小的动点位置（两点之间线段最短）。 1.(24-25九年级上·广东深圳月考)在数学探究课上，王宇同学通过作辅助图形的方法，计算动点条件下 线段和的最小值，其过程如下： y G D B D A B 图1 图2 图3 (①)【观察发现】如图1，在等边ABC中，AC=25,CD=BC,E,F分别是AB和4C上的动点， 且总有BE=AF,阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定DE+DF最小值的方法， :在等边ABC中，AC=25,CD=BC, ·点D为BC边上的中点，∠B=∠ACB. AD⊥BC. 过点A作AG⊥AD,使AG=BD,连接GF· .AG∥BC. .∠GAC=∠ACB=∠B, 又：AF=BE, aAGF≌△BDE(SAS). :GF DE 连接DG,DF,当D,F,G三点共线时，GF+DF的最小值等于线段DG的长 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 连接GC,可证四边形ADCG是矩形， :.DG=AC. DE+DF的最小值为一· (2)【类比应用】如图2，己知正方形ABCD的边长为6，O为对角线的交点，M,N分别是AB,AD上 的动点，且总有BM=DN,连接OM,CN,求OM+CN的最小值. (3)【拓展延伸】如图3，矩形ABCD中，AB=√2，AD=2√2，E是AD的中点，F,G分别是BC和 DC上的动点，且总有BF=2DG,求EF+2AG的最小值， 2.(2026吉林长春.一模)【问题背景】小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形ABCD中，AB=4, 点G、H分别为边AB、CD的中点，以AG为边向下作正方形AEFG.点P、Q分别在边AD、AB上运 动，且AP=AQ,连结HP、FQ.求HP+FQ的最小值. 【问题探究】小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段HP与FO成功接轨”，再依据“两 点之间，线段最短”解决问题.具体做法如下： 证明：如图②，取边BC的中点M,连结QM. 证明过程缺失 △DHP≌△BMQ(SAS). ∴HP=Mg 请你帮助小明补全上述证明过程. 【问题解决】HP+FQ的最小值为 【拓展提升】如图③，在正方形ABCD中，AB=4,点P、Q分别在边AD、AB上运动，且AP=AQ, 点E在边CD上，连结EP、EO.若DE=3,则EP+EQ的最小值为 H D D 图① 图② 图③ 3.(2025·吉林长春.模拟预测)【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,O是AB的 中点，E、F分别是直线BC、AD上一个动点，连结OE、EF、CF,且EF⊥OC,求线段OE+CF的 最小值 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G B E E 图① 图② 图③ 【问题分析】 小明发现EF、OC的长度不变且互相垂直，可将OE沿EF的方向平移，使E和F重合，点O的对应点 为点G,将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题. 【问题解决】如图②，过点O作OG∥EF,且OG=EF,在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： )求的值：（提示：可构造相似三角形求解 (2)线段OE+CF的最小值为 【方法应用】 如图③，AB=4,CD=6,∠B0C=60°，则AD+BC最小值为 考向04四边形中的动态探究与存在性问题（压轴核心) 。题型07已知三个定点，求抛物线上第四个点构成特四边形 回棉豪妙什 通用思路：平行四边形（含特殊）的对角线互相平分，中点坐标公式是解决此类问题的通法。 关键步骤： 1. 设已知三点为Ax),B),C乃)，抛物线上动点px)。 2. 分类讨论：分别以AB、AC、BC作为平行四边形的对角线。 +2,+2 3. 套用中点公式 22 ):若AB为对角线，则A、B的中点也是C、P的中点。 4. 求解验证：解出x,y,并代入抛物线检验是否满足解析式。 5. 筛选定型：解出坐标后，若是求菱形矩形，需代回验证“邻边相等”或“对角线相等”。 答题模板：先定形（平行四边形），再添条件（如PA=AB定菱形），最后验算。 1.(2022贵州遵义.一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A-1,0), B(4,0)两点，与y轴交于点C, / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P在抛物线上，当∠PBA=∠AC0时，求点P的坐标； (3)将抛物线的对称轴沿x轴向右平移，个单位得直线1，点M为直线1上一动点，在平面直角坐标系中 是否存在点N,使以点B,C,M,N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在， 请说明理由. 2.(2025内蒙古包头·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-1,0)、B两 点，交)轴于点C,抛物线的对称铺是直线x=)、点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点。 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)连接PO,PC,并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C,是否存在点P,使四边形P0P'C为菱 形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (③)如图2，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D,作PE⊥BC于点E,求PD+V5PE的最大值. 2 3.（2024江苏常州·模拟预测)在学习了“中心对称图形.平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的 探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了己经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新 的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形.请你 根据以上定义，回答下列问题： 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F E B B 图① 图② (1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有一（把所有正确的序号都填上）： ①双直四边形”的对角线不可能相等： ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形. (2)如图①，正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，连接CE,BF,EF,CF,若AE=DF, 证明：四边形BCFE为“双直四边形”； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点A(0,6),C(8,0),点B在线段0C上且AB=BC,是否存在点 D在第一象限，使得四边形ABCD为“双直四边形”，若存在；求出所有点D的坐标，若不存在，请说明 理由. ◆题型08四边形形状的动态演变探究 回棉豪妙社 通用思路：图形在运动变化中，找出那个始终保持不变的边或角，分析其到达特殊位置（如垂直、重合》 的时刻。 关键步骤： 1.表变量：用含有时间t的代数式表示出动边的长度或点的坐标。 2. 列方程：根据特殊四边形的判定条件（如菱形要求四边相等，矩形要求对角线相等)列出关于t的方 程。 3. 验取舍：解方程，并将的值代回原题，检验是否符合实际几何意义（如边长不能为负）。 1.(2025·山东青岛模拟预测)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AC=6cm, BD=8cm,动点P从点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s;动点Q从点D出发沿DB方向匀速 运动，速度为lcm/s.连接PQ交AC于点E,过点Q作OF‖AB,交AD于F,在运动过程中始终保持 QF与AB平行，若点P和点Q同时出发.设运动时间为(s)(0<1<4),解答下列问题： 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P E B (I)当t为何值时，四边形APQF是平行四边形， (②是否存在菜一时刻，使得四边形APQF的面积是菱形4BCD面积的7·若存在，求出：的值，若不 存在，请说明理由， (3)是否存在某一时刻t,使得PQ⊥QF？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 2.(2024山东青岛·二模)己知：如图，在ABC中，AD⊥BC,AD=3cm,CD=4cm,BD=6cm,将 △ABD沿BC方向匀速运动得到aA,B,D,已知△ABD平移速度为1cm/s,AB,分别与AD,AC相交于 E、G,AD与AC相交于F,设运动时间为ts)(0<1<4). E BB1 D BB1 D D 备用图 解答下列问题： (I)连接A4,在运动过程中，是否存在某一时刻t,使四边形AADD是正方形？若存在，请直接写出t的 值；若不存在，请说明理由； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使A,E⊥ED,若存在，求t的值；若不存在，请说明理由； (3)连接ED,设四边形ED,FG的面积为Scm),求S与t之间的函数关系式. 3.(2023山东青岛模拟预测)已知：如图，在矩形ABCD中，CD=6cm,BC=8cm,，对角线AC,BD交 于点O,点P从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s;同时，点Q从点D出发，沿DA方向 匀速运动，速度为lcm/s,过点Q作QM∥BD,交AC于点M,连接PO,PM分别交BD于点E,F.设 运动时间为s0<t<4),解答下列问题： Q A M B (I)当t为何值时，MP∥AB? (2)设△PQM的面积为Scm,求S与t的函数关系式. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)是否存在某一时刻t,使BD将△PQM分成PEF和四边形EFMQ面积比为9：7？若存在，求出t的值； 若不存在，请说明理由。 (4)延长QM交AB于点N,是否存在某一时刻t,使点P在线段QN的垂直平分线上？若存在，求出t的 值；若不存在，请说明理由。 考向05四边形与折叠、旋转等图形变换的综合 ②题型09四边形折叠（轴椒对称）问题 回棉豪妙社 通用思路：折叠的本质是轴对称，折叠前后图形全等，对应的线段和角度相等。 关键步骤： 1.找全等：明确折叠前后的对应线段和对应角。 2. 设未知：通常设所求线段长度为x,并用x表示出其他相关线段的长度。 3. 找直角：在折叠产生的新图形中，寻找可利用的直角三角形（常以x所在边为一腰）。 4. 用勾股：根据勾股定理列出关于x的方程并求解。 1.(2026江苏南京·模拟预测)折叠正方形纸片. 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸 片的折叠是一种有效的数学学习方式.如图，PQ是将正方形纸片ABCD折叠后得到的一条折痕，其中 点P,Q分别在边AD,CD上. B E 图① 图② 图③ (I)折叠正方形纸片ABCD,使得PA,C2依次落在直线P?上.请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中 分别作出折痕PE,QF(不写作法，保留作图痕迹)，其中点E,F分别在边BC,AB上，设PE,QF 的交点为O,则∠POQ= (2)在(1)的条件下，折叠正方形纸片ABCD,使得BC落在直线P?上.请你利用无刻度直尺和圆规， 在图②中作出折痕MN(不写作法，保留作图痕迹)，其中点M,N分别在边AB,CD上.设MN,PE 的交点为G,则点G落在正方形纸片ABCD的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，己知正方形纸片ABCD的边长为8cm.在(2)的条件下，当点P为边AD的中点时，则随 着点Q位置的改变，△PAM的周长是否会发生改变？如果不变，求出△PAM的周长；如果改变，求出 △PAM的周长的最小值，并求出此时折痕MN的长. 2.(2026江苏无锡一模)数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边BC长均 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为4dm.同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动， F B D(E 图① 图② 图③ 图④ 备用图1 备用图2 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片ABCD对折、使边AD,BC重合，展开后折痕与AB交于点F. 第二步：如图②，在AD上取一点E,沿EF折叠矩形ABCD,点A的对应点为G.延长EG交BC于点 H,将纸片沿过点H的直线折叠.使点C的对应点落在EH所在直线上，折痕与DC交于点M. (I)求证：BH=GH. 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片.在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时， 此时点F、G、M三点在一条直线上. (2)求AB的长 【应用创新】 (3)如图④，B小组的同学们选用了AB=2dm的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E), 且第二步折叠中，过点H的折痕与AD交于点M,把纸片展开后，连接GM.当△EGM为直角三角形时， 则MH的长为 3.(2025江苏苏州一模)数学实验：折叠正方形纸片. 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸 片的折叠是一种有效的数学学习方式.如图，PQ是将正方形纸片ABCD折叠后得到的一条折痕，其中 点P,Q分别在边AD,CD上. A D D M B E B 图① 图② 图③ (I)折叠正方形纸片ABCD,使得PA,CQ依次落在直线PQ上.请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中 分别作出折痕PE,QF(不写作法，保留作图痕迹)，其中点E,F分别在边BC,AB上.设PE,QF 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的交点为O,则∠POQ= (2)在(I)的条件下，折叠正方形纸片ABCD,使得BC落在直线P9上.请你利用无刻度直尺和圆规， 在图②中作出折痕MN(不写作法，保留作图痕迹)，其中点M,N分别在边AB,CD上.设MN,PE 的交点为G,则点G落在正方形纸片ABCD的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，己知正方形纸片ABCD的边长为16cm,在(2)的条件下，当点P为边AD的中点时，则随 着点Q位置的改变，△PAM的周长是否会发生改变？如果不变，求出△PAM的周长；如果改变，求出 △PAM的周长的最小值，并求出此时折痕MN的长. 1.(2026江苏南京模拟预测)折叠正方形纸片 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸 片的折叠是一种有效的数学学习方式.如图，PQ是将正方形纸片ABCD折叠后得到的一条折痕，其中 点P,Q分别在边AD,CD上 B B E 图① 图② 图③ (I)折叠正方形纸片ABCD,使得PA,CQ依次落在直线PQ上.请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中 分别作出折痕PE,QF(不写作法，保留作图痕迹)，其中点E,F分别在边BC,AB上.设PE,QF 的交点为O,则∠POQ= (2)在(1)的条件下，折叠正方形纸片ABCD,使得BC落在直线PO上.请你利用无刻度直尺和圆规， 在图②中作出折痕MN(不写作法，保留作图痕迹)，其中点M,N分别在边AB,CD上.设MN,PE 的交点为G,则点G落在正方形纸片ABCD的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm·在(2)的条件下，当点P为边AD的中点时，则随 着点Q位置的改变，△PAM的周长是否会发生改变？如果不变，求出△PAM的周长；如果改变，求出 △PAM的周长的最小值，并求出此时折痕MN的长 2.(2026江苏无锡一模)数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边BC长均 为4dm.同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动 D(E 图① 图② 图③ 图④ 备用图1 备用图2 【动手操作】 步骤如下： 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一步：如图①，将矩形纸片ABCD对折、使边AD,BC重合，展开后折痕与AB交于点F. 第二步：如图②，在AD上取一点E,沿EF折叠矩形ABCD,点A的对应点为G.延长EG交BC于点 H,将纸片沿过点H的直线折叠.使点C的对应点落在EH所在直线上，折痕与DC交于点M. (I)求证：BH=GH. 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片.在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时， 此时点F、G、M三点在一条直线上. (2)求AB的长 【应用创新】 (3)如图④，B小组的同学们选用了AB=2dm的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E), 且第二步折叠中，过点H的折痕与AD交于点M,把纸片展开后，连接GM.当△EGM为直角三角形时， 则MH的长为 3.(2025江苏苏州一模)数学实验：折叠正方形纸片。 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸 片的折叠是一种有效的数学学习方式.如图，PQ是将正方形纸片ABCD折叠后得到的一条折痕，其中 点P,Q分别在边AD,CD上 y D O B B E B 图① 图② 图③ (I)折叠正方形纸片ABCD,使得PA,CQ依次落在直线P9上.请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中 分别作出折痕PE,QF(不写作法，保留作图痕迹)，其中点E,F分别在边BC,AB上.设PE,OF 的交点为O,则∠PO9= (2)在(1)的条件下，折叠正方形纸片ABCD,使得BC落在直线P9上.请你利用无刻度直尺和圆规， 在图②中作出折痕MN(不写作法，保留作图痕迹)，其中点M,N分别在边AB,CD上.设MN,PE 的交点为G,则点G落在正方形纸片ABCD的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，己知正方形纸片ABCD的边长为16cm,在(2)的条件下，当点P为边AD的中点时，则随 着点Q位置的改变，△PAM的周长是否会发生改变？如果不变，求出△PAM的周长；如果改变，求出 △PAM的周长的最小值，并求出此时折痕MN的长. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②题型10四边形绕点旋转间题 回棉豪妙计 通用思路：旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置，核心是寻找旋转全等或相似三角形。 关键步骤： 1. 找不变量：确定旋转中心（不动点）和旋转角（通常己知或可通过其他条件算出）。 2. 证全等/相似：连接对应点，证明生成的三角形与原始三角形全等（或相似）。 3. 转结论：利用证出的全等相似关系，将所求的角或线段转移到便于计算的位置。 1.(2025·河北模拟预测)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点， 然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.己知三角形纸片ABC和ADE中， AB=AD=3,BC=DE=4,ZABC=ZADE=90. 【初步感知】 (1)如图1，连接BD,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究 2 【深入探究】 (2)如图2， ①尺规作图：作ABC的中线BM,交AC于点M(保留作图痕迹，不写作图过程)： ②在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于 点F,求CF的长， 【拓展延伸】 (3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所 有直角三角形CDE的面积，若不能，请说明理由， E 6 图1 图2 备用图 2.(2026山西晋中.一模)综合与探究： 【问题情境】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O.将△BCD绕点B按逆时针方 向旋转得到△BCD',C,D两点旋转后的对应点分别为C,D,旋转角为a(0<a<180). 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D (C)A B D 图1 图2 图3 (I)【操作验证】如图1，当点D落在对角线AC上时，连接DD',求证：△DBD'是等边三角形 (2)【猜想探究】如图2，在旋转过程中，C'D'∥BD时，CD交AD于点E,试判断四边形BDED'的形 状，并说明理由. (3)【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当BC'与AB重合时，连接CD',若AB=3,BD=2,请你直接 写出线段CD'的长 3.(2024辽宁大连模拟预测)如图，在ABC中，AB=AC,点D在BC边上（不与点C重合），将 △ADC绕点D旋转，得到FDE,其中点C的对应点为点E,点A的对应点为点F. B D B(D) 图1 图2 图3 (I)如图1，点D与点B重合，将△ADC绕点D逆时针方向旋转，当点E落在AC边上时，EF与AB的 交点为G,求证：AG=EG; (2)如图2，点D是AB边上任一点（不与点A、B重合），将△ADC绕点D逆时针方向旋转，当点E落 在AC边上时，连接BF,求证：BF∥AC; (3)若AB=√5，BC=2,D为BC中点. ①将△ADC绕点D逆时针方向旋转，点E落在AC边上，连接AF并延长与CB的延长线交于点P,求 PF的长； ②将△ADC绕点D顺时针方向旋转，当EF经过点C时，连接AF并延长与BC的延长线交于点Q,请 直接写出QF的长. 重●难●提●分○必●刷 (建议用时：60分钟) 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一、单选题 1.(2026山东日照一模)如图，矩形ABCD的对角线交于原点O,反比例函数y=k≠0)的图象过点4.若 AC=4,∠ADB=30°，则k的值是() A.-4 B.-V5 C.-2V5 D.-8 2.(2026安微芜湖二模)如图，在四边形ABCD中，∠A=LB=90°，∠C=135°，CD=2,AD=4,E为 AD的中点，EFCD交BC于点F,则BF的长为() E A.2-√2 B.√2-1 C.2 2 D.2 3.(2026·安徽芜湖·二模)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.AC=BD,∠B0C=60 ,M,N分别为AB,CD的中点，连接MN分别交BD,AC于G,H,延长AD至点E,使得DE=BC, 连接CE.则下列结论中错误的是() G B C A.OG=OH B.2MN>AC C.AD+BC>ACD.∠ACE>∠E 4.(2026湖北荆州一模)如图，在矩形ABCD中，点E为边BC的中点，连接DE，△DCE沿DE折叠， 点C落在矩形内部，点C的对应点为F,连接BF,若AD=l0,tan∠BFE=2,则BF的长为( ) D C A.25 B.2 C.4 D.√17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 5.(2026辽宁沈阳一模)如图，A、B是双曲线y=(x<0)上的两个点，分别过点A,B作x轴和y轴的 垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为 B 6.(2026辽宁沈阳一模)如图，在正方形ABCD中，分别以点4和B为圆心，以大于AB的长为半径作 弧，两弧相交于点E和F,作直线EF,交CD于K,再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线 EF于点G(点G在正方形ABCD内部).若正方形ABCD的边长AB=6,则GK的长为 E F 7.(2026辽宁盘锦.一模)如图，正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴，y轴上，点B(6,2)在直线I: y=kx+8上，直线1分别交x轴，y轴于点E,F.将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后， 点C恰好落在直线l上.则m的值为· B E衣 8.(2026江苏扬州一模)如图，点M为正方形ABCD对角线AC上的一个动点，将线段BM绕B点逆时针 旋转45°后得到线段BN,连接DN,下列结论正确的是 ·(请将所有正确结论的序号填写在横 线上) ①当N落在AC上时，BM I DN; ②当∠ABM=67.5°时，点M到点N距离最短； / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ③若正方形的边长为1，则DN长度范围为√2-1≤DN≤√5. B D 9.(2026山东日照.一模)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠A=60°，M是边AB的中点，N是边AD上 任意一点，将菱形ABCD沿MN翻折，点A落在点E处，连接CE,则CE的最小值为· 三、解答题 10.(2026江苏扬州一模)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是边AD的中点，连接 EO,过点E,O作AB的垂线，垂足分别为F,G. D G B (I)求证：四边形OEFG是矩形； (2)若已知∠ADC=120°，AD=12,求四边形OEFG的面积 11.(2026辽宁沈阳一模)如图口ABCD中，过点B作BE⊥DC,垂足为点E,将BEC绕点B逆时针旋转 90°得到△BFG,点E落在AB上点F处，点C落在ABCD内部点G处，延长BG交AD于点H,连接 CG、EF,且CG与EF交于点P,连接BP. D OF B (I)求证：BH⊥AD; (2)求证：BP=PG; (3)在AB上取一点Q,连接DQ、HQ,LAQD=60°，AB=2V7,AD=√7，AH=1,求△ADQ的面 / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 积. 12.(2026内蒙古包头.一模)从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以菱形为背景对旋 转中的线段的数量关系开展探究.如图，菱形ABCD与菱形EFCG(BC>FC),∠BCD=120°，点 F、G分别在边BC、CD上. A F 图1 图2 图3 (I)如图1，菱形EFCG绕点C顺时针旋转，点F在菱形ABCD内部，连接BF,FG,DG,当点B、点 F和点G共线时， ①BCF与△DCG全等吗？为什么？ ②请写出BG、CG、DG之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，菱形EFCG绕点C顺时针旋转，点F在菱形ABCD内部，连接BF,DG,延长BF交DG于 点H,连接CH,请写出BH、CH、DH之间的数量关系，并说明理由. 13.(2026陕西咸阳二模)问题提出： O B G C 图① 图② (I)如图①，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点E在BA的延长线上，BA=2AE,H是AC上一 点，连接EH,若BC=42,求EH+5CH的最小值， (2)问题解决：某晶圆封装工厂准备新修建一个晶圆封装车间，如图②所示，在矩形ABCD车间示意图 中，AB=50√5米，BC=150米，B为入口，C为出口，O0为封装核心区域，半径为30米，圆心0在 AD上，从入口B处，将原材料沿着传送带BE传送至⊙0上，在⊙O区域完成切割，贴装，电镀等加工 后形成可使用的晶圆片，将最终产品沿FG→GC传出，己知BE,FG段修建费用均为6O0元/米，GC 段为300元/米，考虑到成本费用，求修建BE,FG,GC三段总费用的最小值，并求出总费用最小时 OD的长 14.(2026安徽芜湖二模)如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一动点，连接AE,过点D作 DF⊥AE交AB于点F,以FD,FE为邻边作平行四边形DFEP,连接CP. 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D M B E B E 图1 图2 (1)求证：△ADF≌△BAE; (2)如图2，若正方形ABCD的边长为6，AF=2BF,连接FP,DE,交点为O,边AD的垂直平分线 交AD于N,交DF于M,连接OM,，求OM的长； ⊙赚采的能