精品解析：天津市耀华中学2025-2026学年下学期九年级数学综合练习三

数学综合练习三 一、单选题 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选B． 2. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与运算法则，根据相关规则逐一判断各选项计算是否正确即可． 【详解】解：选项A：， A计算错误． 选项B：， B计算错误． 选项C：， C计算错误． 选项D：， D计算正确． 3. 如图，点A到数轴的距离为1，以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B，则点B表示的实数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，推出即可推出结果． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B， ∴， ∴点B表示的实数是， 故选：D． 4. 在下列给出的条件中，不能判定四边形一定是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，属于基本题型，熟练掌握平行四边形常见的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法（①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据，，可能得出四边形是等腰梯形，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，根据多边形的内角和公式求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是，依此可以求出多边形的一个外角． 【详解】解：∵正多边形的内角和是， ∴多边形的边数为， ∵多边形的外角和都是， ∴该正多边形的每个外角为． 故选：B． 6. 如图，矩形中，点分别是的中点，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求出的长是解题的关键．根据三角形中位线的性质得到，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：点分别是的中点， 是的中位线， 故， 矩形中，， ， ， 故选：B． 7. 如图所示，在四边形中，，E，F，G分别是的中点，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．根据三角形中位线定理得到，，，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵E，F，G分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， 又∵， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在矩形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长先增大后减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质、勾股定理，连接，由三角形中位线定理可得，由矩形的性质结合勾股定理可得，由点保持不动可得长度不变，从而可得线段的长不变，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 四边形为矩形， ， ， 点保持不动， 的长度始终不变， 的长不变， 故选：C． 9. 如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，如图，根据勾股定理求出的长；进而求出的长度；由题意得；利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可解决问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 【详解】解：四边形为矩形， ；； 由题意得：， 设，则； 由勾股定理得：， ， ； 在中，由勾股定理得： ∴， 解得：， ． 故选：B． 10. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，点M为中点，则最小值为（　　） A. 2.4 B. 2.5 C. 4.8 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理的逆定理可以证明； 结合已知可以证明四边形是矩形，由此可得到对角线相等，M是的中点； 要求的最小值，实际上就是求的最小值，当，利用三角形面积，即可求得最小值． 【详解】连接， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵M是的中点， ∴． 根据直线外一点与直线上任一点所连的线段中，垂线最短， 可知当时，最短．同样也最短． 当时，有， 即， 解得． ∴的最小值为，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，矩形，垂线段，直角三角形斜边上的中线，直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理判定直角三角形，矩形的判定与性质、垂线段最短的性质，直角三角形斜边上的中线性质，由面积法求三角形的高，是解决问题的关键． 二、填空题 11. 计算结果等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，利用平方差公式直接计算即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键； 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】 十 【解析】 【分析】利用多边形的内角和公式，列方程求解即可得到边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据多边形内角和公式，得， 等式两边同除以，得 ， 解得． 13. 如图，在中，，，于E，则___． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键．由，得，则，而，所以． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵于E， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知平行四边形的三个顶点分别为，则第四个顶点的坐标为_______． 【答案】 或或 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况讨论，分别以为对角线，结合中点坐标公式计算第四个顶点的坐标． 【详解】解：设第四个顶点为，分三种情况讨论： 1. 当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线互相平分，得中点与中点重合， ∴中点的坐标为，即，中点的坐标为， ∴可得方程组， 解得，此时第四个顶点的坐标为； 2. 当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线互相平分，得中点与中点重合， ∴中点的坐标为 ，即，中点的坐标为 ， ∴可得方程组， 解得，此时第四个顶点的坐标为； 3. 当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线互相平分，得中点与中点重合， ∴中点的坐标为 ，即，中点的坐标为 ， 可得方程组， 解得，此时第四个顶点的坐标为． 综上，第四个顶点的坐标为或或． 15. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_______．（杯壁厚度不计） 【答案】 17 【解析】 【分析】根据题意将圆柱侧面展开，运用“将军饮马”模型找到最短路径，再求得 的长度，最后，由勾股定理即可得到最短路径的长． 【详解】解：如图， 将该圆柱的侧面展开， 由题意，得，， 在中，， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 16. 如图，顶点A、B、C在格点上，D为上的一个动点． （1）的长为 ； （2）平分，在上求一点P，使的值最小，用无刻度的直尺，在网格中画出、点P和点D，简要说明、点P、点D如何找到的． 【答案】（1）5 （2）图见解析，取格点H，G，连接交于M，则为所求作；取格点K，连接，交于D，交于P，则的值最小（ 理由充分即可） 【解析】 【分析】本题考查作图－复杂作图，涉及到全等三角形的判定与性质、最短距离、勾股定理等知识，灵活运用所学知识是解答的关键， （1）根据网格特点和勾股定理求解即可； （2）利用网格特点和全等三角形的性质以及两点之间线段最短、垂线段最短解答即可． 【小问1详解】 解：由图知： ， 故答案为：5； 【小问2详解】 如图，取格点H，G，连接交于M，则为所求作；取格点K，连接，交于D，交于P，则的值最小；    理由：如图，取格点H，G，连接交于M， ∵，，， ∴， ∴ ∴平分，则即为所求； 取格点K，连接，交于D，交于P， 根据角是轴对称图形，且，则， ∴，当D、P、G共线时取等号， 当时，最小，此时最小； 如图，根据网格特点，， ∴， ∵， ∴，即， 故点D、P即为所求作． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式加减运算，二次根式的除法，涉及二次根式性质、合并同类二次根式等知识，熟记二次根式性质及二次根式加减，除法运算规则是解决问题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可得到答案； （2）先由二次根式性质化简，再计算二次根式除法，最后合并同类二次根式即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 18. 如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，垂足分别为E，F，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用平行四边形性质得到且，再证明，得到，结合，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ，，， ， ， 又 ，， ， 四边形是平行四边形． 19. 中国古代《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折者高几何．意思是：一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？ 【答案】3.2尺 【解析】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：如图．设折断处离地面的高度为x尺， 则AB＝（10－x）尺，BC＝6尺． 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， 即x2＋62＝（10－x）2 即折断处离地面的高度为3.2尺 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，并且a，b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）． （1）B，C两点的坐标分别为：B（______，______），C（______，______）； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质及解一元一次不等式组得出的值进而得出答案； （2）由题意得∶ 根据平行四边形的判定可得，再解方程即可； （3）①当时， ，解方程得到的值；②当时， 由题意得：，进而得到方程：再解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得∶ ， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由题意得∶ ， 则∶，， ∵， ∴当时， 四边形是平行四边形， ∴， 解得∶ ， 故当时，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况∶或． ①当时， 如图， 过作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴中∶ ∵， ，即 解得： ②当时， 过作轴于， ∴， 由题意得∶， 则， 解得： ， 综上所述，当或 时， 是以为腰的等腰三角形． 【点睛】此题考查了二次根式性质、解不等式组，平行四边形和矩形判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，关键是注意分类讨论，不要漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学综合练习三 一、单选题 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A到数轴的距离为1，以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B，则点B表示的实数是（　　） A. B. C. D. 4. 在下列给出的条件中，不能判定四边形一定是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，矩形中，点分别是的中点，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 7. 如图所示，在四边形中，，E，F，G分别是的中点，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长先增大后减小 9. 如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，点M为中点，则最小值为（　　） A. 2.4 B. 2.5 C. 4.8 D. 5 二、填空题 11. 计算结果等于______． 12. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 13. 如图，在中，，，于E，则___． 14. 已知平行四边形的三个顶点分别为，则第四个顶点的坐标为_______． 15. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_______．（杯壁厚度不计） 16. 如图，顶点A、B、C在格点上，D为上的一个动点． （1）的长为 ； （2）平分，在上求一点P，使的值最小，用无刻度的直尺，在网格中画出、点P和点D，简要说明、点P、点D如何找到的． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作 ，垂足分别为E，F，求证：四边形是平行四边形． 19. 中国古代《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折者高几何．意思是：一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，并且a，b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）． （1）B，C两点的坐标分别为：B（______，______），C（______，______）； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $