专题06 平面直角坐标系与一次函数（题型专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06 平面直角坐标系与一次函数 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 平面直角坐标系 题型02 函数与正比例函数 题型03 一次函数的图象和性质 题型04 一次函数与一次不等式、二元一次方程(组) 题型05 一次函数的实际应用 题型06 一次函数与几何综合 题型07 一次函数中新定义问题 题型08 一次函数规律探索问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 平面直角坐标系 典例引领 【典例01】（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 【典例02】（2026·江苏宿迁·一模）如图，点从原点出发，每次一个单位长度，沿“→→→→→→→→→→…”的“凸”字形路线运动，则运动第2026次的位置坐标为__________． 方法透视 考向解读 平面直角坐标系是中考基础必考内容，常以选择、填空出现。主要考查点的坐标特征、对称点坐标、距离公式、图形平移与坐标变化，常结合几何图形考查位置判断、面积计算，注重数形结合思想，难度低但细节易失分。 方法技能 牢记象限符号、对称点坐标规律；平移遵循 “左减右加，上加下减”；两点距离用勾股定理；求面积常用割补法；坐标与线段长度互化时注意符号，多画图辅助判断，避免符号与位置错误。 变式演练 【变式01】（2026·江苏扬州·一模）若点在第二象限，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式02】（2026·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型02 函数与正比例函数 典例引领 【典例01】（2024·江苏泰州·一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 方法透视 考向解读 函数概念与正比例函数是一次函数的入门考点，侧重判断函数关系、求自变量范围、识别正比例函数解析式。常结合表格、图象、实际情境命题，考查定义理解与简单计算，为后续一次函数综合奠定基础。 方法技能 判断函数看 “唯一对应”；求范围注意分母不为 0、被开方数非负；正比例函数形式为 y=kx(k≠0)，图象过原点；待定系数法只需一组点；应用中先判断是否成正比例，再列式求解。 变式演练 【变式01】（2025·江苏无锡·一模）已知点在正比例函数的图像上，则______． 【变式02】（2025·江苏常州·一模）已知点、都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型03 一次函数的图象和性质 典例引领 【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 方法透视 考向解读 次函数图象与性质是中考核心考点，常以选择、填空及简单解答出现。重点考查 k、b几何意义、图象经过象限、增减性、截距，常与平移、对称结合，侧重数形结合分析，难度中等，必须熟练掌握。 方法技能 看 k 定增减，看 b 定与 y 轴交点；图象平移 “左加右减，上加下减”；两直线平行则 k 相等，垂直则 k 乘积为−1；多画草图，用特殊点快速判断图象大致位置与趋势。 变式演练 【变式01】（2026·江苏连云港·一模）关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（   ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 【变式02】（21-22八年级上·辽宁沈阳·期中）若，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 题型04 一次函数与一次不等式、二元一次方程(组) 典例引领 【典例01】（2025·江苏扬州·二模）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点、点．则关于x的方程的解为_____． 【典例02】（2025·江苏徐州·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是(        ) A． B． C． D． 方法透视 考向解读 一次函数与方程、不等式综合是中考高频题型，侧重数形结合。常考利用图象解不等式、求交点坐标、判断解的情况，将代数问题转化为图象位置关系，突出直观推理，常出现在中档解答题。 方法技能 函数交点即方程组的解；图象上下位置对应函数值大小；解不等式看图象高低；先求关键点（交点、坐标轴交点），再结合图象写解集；注意不等号是否含等号，避免端点遗漏或多取。 变式演练 【变式01】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ______ ． 【变式02】（2025·江苏盐城·三模）如图，已知一次函数的图像分别与、轴交于两点，若则关于的不等式的解集为_______ 题型05 二一次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 方法透视 考向解读 一次函数实际应用是中考解答题必考内容，以行程、销售、计费、工程等背景为主。考查从实际问题中抽象函数模型、求解析式、利用图象分析最值与最优方案，重阅读理解与建模能力，分值较高。 方法技能 先找变量，设解析式y=kx+b用两组数据待定系数；看清单位与分段条件；求最值看增减性；方案选择比较函数值大小；答题规范写清解析式、取值范围与结论，步骤完整不跳步。 变式演练 【变式01】（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． (1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； (2)设小明接温水的时间为， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 题型06 一次函数与几何综合 典例引领 【典例01】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【典例02】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 方法透视 考向解读 一次函数与几何综合是中考中档压轴题型，常结合三角形、四边形、面积、对称、最短路径命题。考查坐标与线段互化、面积计算、动点问题，综合性强，侧重数形结合与分类讨论，是拉分关键点。 方法技能 先求函数解析式与关键点坐标；用坐标表示线段长；面积用割补法；动点问题设坐标表示线段；遇对称用将军饮马模型；分类讨论位置不同情况，画图分析避免漏解，计算注意符号与最简。 变式演练 【变式01】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求的面积． 【变式02】（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________． 题型07 一次函数中新定义问题 典例引领 【典例01】（2026·江苏无锡·一模）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①一次函数是“2型闭函数”； ②若一次函数是“1型闭函数”，则； ③反比例函数（，且）是“k型闭函数”，且，则； ④二次函数是“k型闭函数”，则k的取值范围是． 其中正确的是（   ） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【典例02】（2025·江苏无锡·模拟预测）若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“致远函数”，称点P为致远点． ①函数与函数的“致远函数”最小值是； ②若一次函数和反比例函数在自变量x的值满足的情况下，其“致远函数”的最小值为3，则该“致远函数”的解析式为； ③若函数与函数的“致远函数”图象的顶点为A，与y轴的交点为B，此时由原点O与A，B三点组成的是以为底的等腰三角形，则点B的坐标为； ④若函数与函数的“致远函数”的图象过点，且满足，．则点离原点O的距离的取值范围为． 其中正确的为（　　） A．①③④ B．②③ C．①④ D．①③ 方法透视 考向解读 新定义问题是近年中考创新题型，给出新运算、新点、新直线等规则，结合一次函数考查阅读理解与迁移应用。侧重即时学习能力，题型新颖但难度可控，常出现在选择或填空压轴位置。 方法技能 先读懂定义规则，转化为一次函数知识；严格按规则列式计算；用待定系数法求解析式；结合图象与性质分析；注意特殊情况与限制条件，不被新形式迷惑，回归k、b核心性质。 变式演练 【变式01】（2025·江苏无锡·二模）定义：在平面直角坐标系中，点P在直线上．我们约定点是点P的反对称点． （1）若点P的反对称点为本身，则P点坐标为____________； （2）若抛物线上不存在点P的反对称点，则a的取值范围是____________． 题型08 一次函数规律探索问题 典例引领 【典例01】（2015·江苏扬州·一模）正方形 ，，，…按如图的方式放置．点，，，…和点，，，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点的坐标是_____________． 方法透视 考向解读 规律探究题以多组直线、多点、多图形为载体，探究坐标、解析式、角度、面积变化规律。侧重观察、归纳、猜想与验证，常出现在填空压轴，考查从特殊到一般的推理能力，对逻辑要求较高。 方法技能 先算前几项，写出坐标与解析式；观察k、b变化规律；用n表示通项；结合图象周期性或递推关系；验证第 3、4 项是否符合；归纳时注意序号与项的对应，避免下标与符号错误。 变式演练 【变式01】（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，，则点的纵坐标为______． 【变式02】（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，的顶点，，，在x轴上．顶点，，，在直线上，若，，则（   ） ①点坐标为； ②直线的表达式为； ③； ④点的横坐标为，其中说法正确的为（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③ 题●型●训●练 1．（2026·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏徐州·模拟预测）正比例函数的图象上有两点，，则的值是（    ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏无锡·一模）把函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏南京·模拟预测）已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 6．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 7．（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为________． 8．（2026·江苏南通·二模）已知函数与，当满足时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是______． 9.（2025·江苏无锡·二模）如图，平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A、与y轴交于点B，，点E在线段上，点F在A右侧的x轴上，且，则 ______；连接，则的最小值＝__________   ． 10．（2026·江苏连云港·一模）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)___________． (2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 11．（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 12．（2026·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“集团平衡点”．例如，点是函数的图象的“集团平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“集团平衡点”的所有函数是__________（填序号） (2)设函数与的图象的“集团平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有1个“集团平衡点”时，求的坐标． 13．（2025·江苏南通·二模）已知抛物线经过，两点． (1)若，求当随的增大而增大时，自变量的取值范围； (2)若直线与抛物线有且只有一个公共点，求的值； (3)在（2）的条件下，点在直线上，点在抛物线上．若，求的最大值． 14．（2025·江苏盐城·二模）定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点． 【概念理解】 （1）点，点N为点M关于点P的二次对称点，则____． （2）若点，，点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 ．（用t的代数式表示） 【形成技能】 （3）点D为点C关于点的二次对称点，且、都与坐标轴平行，画图分析．求点C的坐标． 【灵活运用】 （4）如图2，点F为点E关于点的二次对称点，连接，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为，若在运动过程中，一定存在的情形．求b的取值范围． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面直角坐标系与一次函数 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 平面直角坐标系 题型02 函数与正比例函数 题型03 一次函数的图象和性质 题型04 一次函数与一次不等式、二元一次方程(组) 题型05 一次函数的实际应用 题型06 一次函数与几何综合 题型07 一次函数中新定义问题 题型08 一次函数规律探索问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 平面直角坐标系 典例引领 【典例01】（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可． 【详解】解：点在第一象限， ， 解得， 故答案为： 【典例02】（2026·江苏宿迁·一模）如图，点从原点出发，每次一个单位长度，沿“→→→→→→→→→→…”的“凸”字形路线运动，则运动第2026次的位置坐标为__________． 【答案】 【分析】根据点P的运动路线得到坐标规律，进而求解． 【详解】解：根据题意得，第一个“凸”字形从点到点结束，共8个点， ∴可以看作“凸”字形路线运动以8个点为一个循环单位， ∵ ∴运动第2026次的位置的纵坐标和点的纵坐标相同，为1； ∵从开始，每两个点的横坐标相同，且依次递增1， ∵ ∴运动第2026次的位置的横坐标为1013 ∴运动第2026次的位置坐标为． 方法透视 考向解读 平面直角坐标系是中考基础必考内容，常以选择、填空出现。主要考查点的坐标特征、对称点坐标、距离公式、图形平移与坐标变化，常结合几何图形考查位置判断、面积计算，注重数形结合思想，难度低但细节易失分。 方法技能 牢记象限符号、对称点坐标规律；平移遵循 “左减右加，上加下减”；两点距离用勾股定理；求面积常用割补法；坐标与线段长度互化时注意符号，多画图辅助判断，避免符号与位置错误。 变式演练 【变式01】（2026·江苏扬州·一模）若点在第二象限，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据点在第二象限得到，的取值范围，再判断点横纵坐标的正负，即可确定所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴根据第二象限点的坐标特征，得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限点的坐标特征， ∴点在第四象限． 【变式02】（2026·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据各象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，解之求出m的范围，从而得出答案． 【详解】解：A、若点在第一象限，则，解得，故点可能在第一象限； B、若点在第二象限，则，解得，故点可能在第二象限； C、若点在第三象限，则，该不等式组无解，故点不可能在第三象限； D、若点在第四象限，则，解得，故点可能在第四象限． 题型02 函数与正比例函数 典例引领 【典例01】（2024·江苏泰州·一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查函数的概念和图象，关键是根据当x取一值时，y有唯一与它对应的值判断． 根据函数的概念解答即可． 【详解】解：A、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、当x取一值时，y有两个值与其对应，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【典例02】（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，可知两个交点关于原点对称，据此求解即可． 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称． 已知一个交点坐标为， 因此另一个交点坐标为． 方法透视 考向解读 函数概念与正比例函数是一次函数的入门考点，侧重判断函数关系、求自变量范围、识别正比例函数解析式。常结合表格、图象、实际情境命题，考查定义理解与简单计算，为后续一次函数综合奠定基础。 方法技能 判断函数看 “唯一对应”；求范围注意分母不为 0、被开方数非负；正比例函数形式为 y=kx(k≠0)，图象过原点；待定系数法只需一组点；应用中先判断是否成正比例，再列式求解。 变式演练 【变式01】（2025·江苏无锡·一模）已知点在正比例函数的图像上，则______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，把点P坐标代入正比例函数解析式中计算求解即可． 【详解】解；∵点在正比例函数的图像上， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式02】（2025·江苏常州·一模）已知点、都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例图象上点的坐标特征，熟知正比例的图象和性质是解题的关键．根据正比例的图象和性质即可解决问题． 【详解】解：， 随的增大而增大， 又点在正比例函数的图象上，且 ． 故选：B 题型03 一次函数的图象和性质 典例引领 【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 方法透视 考向解读 次函数图象与性质是中考核心考点，常以选择、填空及简单解答出现。重点考查 k、b几何意义、图象经过象限、增减性、截距，常与平移、对称结合，侧重数形结合分析，难度中等，必须熟练掌握。 方法技能 看 k 定增减，看 b 定与 y 轴交点；图象平移 “左加右减，上加下减”；两直线平行则 k 相等，垂直则 k 乘积为−1；多画草图，用特殊点快速判断图象大致位置与趋势。 变式演练 【变式01】（2026·江苏连云港·一模）关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（   ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 【答案】D 【分析】根据直线解析式判断其所在象限，即可求解． 【详解】解：直线中，，经过一、二、三，不经过第四象限， 因为直线与直线的不相等，所以两直线必有一个交点， 又因为交点必在直线上，所以交点不可能在第四象限， 故选项D符合题意． 【变式02】（21-22八年级上·辽宁沈阳·期中）若，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，关键是掌握一次函数中、的符号对图象的影响：当时，直线从左到右呈下降趋势；当时，直线与轴的交点在轴正半轴． 【详解】解：对于一次函数， ∵， ∴直线从左到右呈下降趋势，由此排除选项A、B； ∵， ∴直线与轴的交点在轴正半轴，由此排除选项C； 选项D中直线的特征完全符合的条件， 故选：D． 题型04 一次函数与一次不等式、二元一次方程(组) 典例引领 【典例01】（2025·江苏扬州·二模）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点、点．则关于x的方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，利用一次函数的图象解一元一次方程时，关键是找准方程的解是相应的一次函数y为何值时对应的x的值． 方程的解即为当时方程的解，而一次函数的图象与y轴交于点，则当时，，即可求解． 【详解】解：方程的解即为当时方程的解， ∵一次函数的图象与y轴交于点， ∴当时，， 故答案为：． 【典例02】（2025·江苏徐州·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是(        ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解答本题的关键．依据题意，由函数图象直接写出不等式解集即可． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数与轴的交点坐标为， 不等式的解集是． 故选：A． 方法透视 考向解读 一次函数与方程、不等式综合是中考高频题型，侧重数形结合。常考利用图象解不等式、求交点坐标、判断解的情况，将代数问题转化为图象位置关系，突出直观推理，常出现在中档解答题。 方法技能 函数交点即方程组的解；图象上下位置对应函数值大小；解不等式看图象高低；先求关键点（交点、坐标轴交点），再结合图象写解集；注意不等号是否含等号，避免端点遗漏或多取。 变式演练 【变式01】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ______ ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据函数图像解答即可求解． 【详解】解：由函数图像可知，当时，函数的图像不在函数图像的上方，即， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【变式02】（2025·江苏盐城·三模）如图，已知一次函数的图像分别与、轴交于两点，若则关于的不等式的解集为_______ 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 题型05 二一次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 【典例02】（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 方法透视 考向解读 一次函数实际应用是中考解答题必考内容，以行程、销售、计费、工程等背景为主。考查从实际问题中抽象函数模型、求解析式、利用图象分析最值与最优方案，重阅读理解与建模能力，分值较高。 方法技能 先找变量，设解析式y=kx+b用两组数据待定系数；看清单位与分段条件；求最值看增减性；方案选择比较函数值大小；答题规范写清解析式、取值范围与结论，步骤完整不跳步。 变式演练 【变式01】（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题． 【详解】解：满足公式， 由表格数据可得， 解得， 即， 当温度t为时，， 故选：B． 【变式02】（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． (1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； (2)设小明接温水的时间为， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）①由题意知温水体积为，开水体积为，设水杯中水的温度为，根据题意得出与的关系式，再代入数据即可求解； ②根据饮水适宜温度是，结合①中的与的关系式，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设需再接开水的时间为． 根据题意，得， 解得． 答：需再接开水的时间为． （2）解：①由题意，知温水体积为，开水体积为， 设水杯中水的温度为，由题意， ∴， ∴当时． 解得： ②∵饮水适宜温度是， ∴， 解得． 题型06 一次函数与几何综合 典例引领 【典例01】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数交点问题的解法． （1）先将代入求出反比例函数解析式，再将代入，求出，将，代入，求解即可； （2）先求出，再利用求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入， 得：， ∴， 将，代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴． 【典例02】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． （1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； （2）解：如图，过点C作，垂足为E， ，， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 方法透视 考向解读 一次函数与几何综合是中考中档压轴题型，常结合三角形、四边形、面积、对称、最短路径命题。考查坐标与线段互化、面积计算、动点问题，综合性强，侧重数形结合与分类讨论，是拉分关键点。 方法技能 先求函数解析式与关键点坐标；用坐标表示线段长；面积用割补法；动点问题设坐标表示线段；遇对称用将军饮马模型；分类讨论位置不同情况，画图分析避免漏解，计算注意符号与最简。 变式演练 【变式01】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键． （1）将点代入可得反比例函数的解析式，再求出点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得； （2）设一次函数的图象与轴的交点为点，先求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得． 【详解】（1）解：由题意得：将点代入得：， 所以反比例函数的表达式为； 将点代入可得：， ∴， 将点，代入得：，解得， 所以一次函数的表达式为． （2）解：如图，设一次函数的图象与轴的交点为点， 将代入一次函数得：，解得， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为． 【变式02】（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则， 则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 令， 则：， ∴点在直线上运动， 当点与重合时，，此时， 当点与重合时，，此时， ∴点E所经过的路径长为； 故答案为：． 题型07 一次函数中新定义问题 典例引领 【典例01】（2026·江苏无锡·一模）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①一次函数是“2型闭函数”； ②若一次函数是“1型闭函数”，则； ③反比例函数（，且）是“k型闭函数”，且，则； ④二次函数是“k型闭函数”，则k的取值范围是． 其中正确的是（   ） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据“k型闭函数”的定义，结合一次函数反比例函数二次函数的增减性，逐个计算验证四个结论即可． 【详解】解：①对于一次函数 ，随增大而增大 时，；时，，即，， 又，满足 ①正确； ②对于一次函数，是“1型闭函数”，则 当时，随增大而增大，，得 当时，随增大而减小，，得 故或 ②错误； ③对于反比例函数 ，随增大而减小， ， ∴ 函数是“k型闭函数”， ，约去得 ， ③正确； ④二次函数，开口向下，对称轴为，，由定义得，即 当时，函数在上，随着的增大而减小， ∴， 解得 当时，最大值在取得，最小值在取得， ∴， ∵，， ∴在上的值随着的增大而减小， ∴ ∴； 当时，最大值在取得，最小值在取得， ∴， ∵， ∴在上，的值随着的增大而增大， ∴ ∴； 当时，函数在上，随着的增大而增大， ∴， 解得 综上，， ④正确． 综上，正确结论为①③④． 【典例02】（2025·江苏无锡·模拟预测）若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“致远函数”，称点P为致远点． ①函数与函数的“致远函数”最小值是； ②若一次函数和反比例函数在自变量x的值满足的情况下，其“致远函数”的最小值为3，则该“致远函数”的解析式为； ③若函数与函数的“致远函数”图象的顶点为A，与y轴的交点为B，此时由原点O与A，B三点组成的是以为底的等腰三角形，则点B的坐标为； ④若函数与函数的“致远函数”的图象过点，且满足，．则点离原点O的距离的取值范围为． 其中正确的为（　　） A．①③④ B．②③ C．①④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质判断①；先求出“致远函数”的对称轴，再分情况判断②；由定义求出函数的点A及点B的坐标，结合勾股定理求出m的值，进而判断③；利用两点距离公式表示出，根据的取值范围判断④即可． 【详解】解：①函数与函数的“致远函数”为， 顶点为， ∴函数与函数的“致远函数”最小值是，故①正确； ②由和反比例函数得：“致远函数”的解析式为， 函数的对称轴为：； i当时，即， ，函数取得最小值，即， 解得或（舍去）； ii当，即， 函数在处取得最小值，即，无解； iii当时， 函数在处，取得最小值，即， 解得：（舍去）， 综上，或4， 故“致远函数”的解析式为或，故②不正确． ③函数与函数的“致远函数”为， ∴顶点，， ∵由原点O与A，B三点组成的是以为底的等腰三角形， ∴， 过A作轴于点C，则， ∴， 解得， ∴， ∴，故③正确； ④函数与函数的“致远函数”为， 将点代入，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 点离原点O的距离， 设，则， ∵， ∴当时，的最小值为， 当时，， 当时，， ∴原点O的距离的取值范围为，故④不正确； 故选D． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键． 方法透视 考向解读 新定义问题是近年中考创新题型，给出新运算、新点、新直线等规则，结合一次函数考查阅读理解与迁移应用。侧重即时学习能力，题型新颖但难度可控，常出现在选择或填空压轴位置。 方法技能 先读懂定义规则，转化为一次函数知识；严格按规则列式计算；用待定系数法求解析式；结合图象与性质分析；注意特殊情况与限制条件，不被新形式迷惑，回归k、b核心性质。 变式演练 【变式01】（2025·江苏无锡·二模）定义：在平面直角坐标系中，点P在直线上．我们约定点是点P的反对称点． （1）若点P的反对称点为本身，则P点坐标为____________； （2）若抛物线上不存在点P的反对称点，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的点坐标性质、一元二次方程判别式与方程解的关系，以及函数与方程的转化思想．解题关键在于结合点在直线上的性质建立方程求解． （1）由点在直线上，且点是点的反对称点，当点的反对称点为本身时，即，从而代入求解即可； （2）先设出点坐标，根据反对称点定义得到其反对称点坐标，再根据抛物线不存在点的反对称点，转化为方程无解的问题． 【详解】解：（1）∵点在直线上， ∴． 又∵点的反对称点为本身， ∴， 将代入，得到． ∴， 解得， ∴． ∴点坐标为． （2）设点， ∴其反对称点． ∵抛物线上不存在点的反对称点， ∴方程无解． ∴ ∴ ∴中，， ∴ 对于二次函数，令， ∴求根公式（这里，，）可得： 解得，． ∴不等式的解集为． 题型08 一次函数规律探索问题 典例引领 【典例01】（2015·江苏扬州·一模）正方形 ，，，…按如图的方式放置．点，，，…和点，，，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点的坐标是_____________． 【答案】（63，32） 【分析】先根据题意得出各正方形边长的规律，进而可得出结论． 【详解】解：∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=-1， ∴=1，OD=1， ∴∠=45°， ∴∠=45°， ∴，点所在正方形的边长=2， ∴，点所在正方形的边长=， 同理得：，点所在正方形的边长=， …， ∴点所在正方形的边长=， ∴其横坐标， ∴的坐标是（63，32）． 故答案为：（63，32）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键． 方法透视 考向解读 规律探究题以多组直线、多点、多图形为载体，探究坐标、解析式、角度、面积变化规律。侧重观察、归纳、猜想与验证，常出现在填空压轴，考查从特殊到一般的推理能力，对逻辑要求较高。 方法技能 先算前几项，写出坐标与解析式；观察k、b变化规律；用n表示通项；结合图象周期性或递推关系；验证第 3、4 项是否符合；归纳时注意序号与项的对应，避免下标与符号错误。 变式演练 【变式01】（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，，则点的纵坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何图形，点的坐标规律探索，过点作于，过点作于，过点作于，可得，，，即得点的纵坐标为，据此解答即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，过点作于， 把代入，得， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ， ∵点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， ， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 【变式02】（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，的顶点，，，在x轴上．顶点，，，在直线上，若，，则（   ） ①点坐标为； ②直线的表达式为； ③； ④点的横坐标为，其中说法正确的为（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，利用正方形的性质求出点和的坐标即可判断①；利用待定系数法得出直线的函数解析式即可判断②；利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可判断③；再依次求出点，…，的纵坐标，发现规律即可判断④． 【详解】解：分别过点作x轴的垂线，垂足分别为M和N， ∵四边形和四边形是正方形，且， ∴点的坐标为，点的坐标为，故①正确； 将和的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为，故②正确； 由题意可知， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 过点作x轴的垂线，垂足为P， 设 ∴点坐标可表示为， 将点坐标代入直线函数解析式得， ， 解得， ∴点的纵坐标为． 同理可得，点的纵坐标为， …， ∴点的纵坐标为， 代入，即可求得， ∴点的横坐标为，故④正确． 故选：C． 题●型●训●练 1．（2026·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，按照规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标规律为：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵点的坐标为， ∴横坐标的相反数为，纵坐标仍为， 即点关于轴对称的点的坐标是． 2．（2023·江苏徐州·模拟预测）正比例函数的图象上有两点，，则的值是（    ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据当，y随x增大而减小，即可得出结论. 【详解】 解：∵正比例函数中， ∴随 的增大而减小， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 4．（2026·江苏无锡·一模）把函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像的平移规律，利用“上加下减”的平移规则求出平移后的函数解析式，再代入点坐标验证即可得到结果． 【详解】解：∵原函数为，将其图像沿轴向上平移3个单位长度，根据一次函数平移规则， ∴平移后得到的函数解析式为． 将代入解析式，得， ∴在平移后的图像上，因此选C． 5．（2026·江苏南京·模拟预测）已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】根据总费用为前的费用与超过以外的费用之和求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得，． 6．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【详解】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 7．（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的解，先求出交点的坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行解答． 【详解】解：当时，，解得， ∴交点坐标为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 8．（2026·江苏南通·二模）已知函数与，当满足时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是______． 【答案】 【分析】整理一次函数解析式可得其恒过定点，确定在上的图象，结合图象找出两个函数存在2个公共点的临界情况，计算得到k的取值范围即可． 【详解】解：整理函数得， 当时，，因此该一次函数恒过定点， 当时，可分段写为： ， 其图象为折线，端点坐标为，，， 当一次函数过点时，将点代入解析式得： ， 解得，此时两个函数仅有1个公共点，不符合要求， 当时，一次函数解析式为，根据函数图象可知，此时两个函数有2个公共点， 根据函数图象可知：当时，两个函数有2个公共点， 因此满足的条件是． 9.（2025·江苏无锡·二模）如图，平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A、与y轴交于点B，，点E在线段上，点F在A右侧的x轴上，且，则 ______；连接，则的最小值＝__________   ． 【答案】 60 【分析】过点P作轴于点H，连接，求出，，得，；求出，得，，证明，得，∴证明，得，是等边三角形，得,由，得的最小值为． 【详解】解：过点P作轴于点H，连接，则， ∵， ∴， ∴， 对， 令， 则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴； 对， 令， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题，构建方程解决问题． 10．（2026·江苏连云港·一模）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)___________． (2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 【答案】(1)25 (2) (3)43.25或44.25或48 【分析】（1）观察图象根据路程除以时间得出答案； （2）将点代入关系式，求出解即可； （3）先求出小兴对应的函数关系式，再分两种情况列出方程 ，求出解即可． 【详解】（1）解：∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点， ∴（分钟）； （2）解：桐桐开始骑车的时间为（分钟）， 桐桐骑车到达C景点的时间为（分钟）， 设桐桐骑车时距景点A的路程与时间的关系式为，且经过点根据题意，得 ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：设小兴距景点A的函数关系式为，且经过点， ∴， 解得， ∴． 桐桐到达A景点前，两人相距140米， ∴， 解得或； 桐桐到达景点A之后，两人相距140米， 则， 解得， 所以当t是43.25，或44.25或48分时，两人相距140米． 11．（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2) (3)停车距离约为． 【分析】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用； （1）设，，结合题意可得，，再进一步求解即可； （2）结合（1）可得：； （3）当刹车距离为时，可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．骑行速度为， ∴，， ∵当骑行速度为时，反应距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∵当骑行速度为时，刹车距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时，． （2）解：设骑行速度为，而，， ∴y关于x的函数表达式为． （3）解：∵当刹车距离为时， ∴， 解得：，（舍去）， ∴ ∴停车距离约为． 12．（2026·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“集团平衡点”．例如，点是函数的图象的“集团平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“集团平衡点”的所有函数是__________（填序号） (2)设函数与的图象的“集团平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有1个“集团平衡点”时，求的坐标． 【答案】(1)③④ (2)的值为或或或0 (3) 【分析】（1）在中，令得，方程无解，可知的图象上不存在“平衡点”；同理可得的图象上不存在“平衡点”， 和的图象上存在“平衡点”； （2）在中，令得，在中，令得，当时，，可得，，，分三种情况列方程可得答案； （3）设，求出抛物线的顶点为，而点关于的对称点为，可得旋转后的抛物线解析式为，令得，根据旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，知有两个相等实数根，故，，从而得的坐标为． 【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在中，令得，方程无解， 的图象上不存在“平衡点”； 在中，令得，方程无解， 的图象上不存在“平衡点”； 在中，令得， 可得， ， 则方程有解， 的图象上存在“平衡点”； 在中，令得， 可得 ， 则方程有解， 的图象上存在“平衡点”； 故存在“集团平衡点”的函数是③④； （2）解：在中，令得， 解得或， ， ； 在中，令得， 解得， ， 当时，， ，，， 若，则， 解得； 若，则， 解得或； 若，则， 解得或（此时，重合，舍去）； 的值为或或或0； （3）解：设， ， 抛物线的顶点为， 点关于的对称点为， 旋转后的抛物线解析式为， 在中，令得： ， ， 旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， 有两个相等实数根， ，即， ， 的坐标为． 13．（2025·江苏南通·二模）已知抛物线经过，两点． (1)若，求当随的增大而增大时，自变量的取值范围； (2)若直线与抛物线有且只有一个公共点，求的值； (3)在（2）的条件下，点在直线上，点在抛物线上．若，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． （1）利用待定系数法求得函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可； （2）将代入，得到，根据根的判别式，可求出； （3）先把代入解析式，求得直线为，抛物线为，再根据题意求得，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得，， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，即抛物线的开口向下， 此时，在对称轴左侧，随的增大而增大， 即； （2）解：将代入， 得， ， ， 整理，得， 直线与抛物线有且只有一个公共点， 方程有两个相等的实数根， ， 整理，得， ， ． 的值为； （3）解：当时，直线为，抛物线为， ， ， 点在直线上，点在抛物线上， ， ， ， 配方，得， 是的二次函数，且二次项系数小于0， 当时，有最大值，最大值为． 14．（2025·江苏盐城·二模）定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点． 【概念理解】 （1）点，点N为点M关于点P的二次对称点，则____． （2）若点，，点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 ．（用t的代数式表示） 【形成技能】 （3）点D为点C关于点的二次对称点，且、都与坐标轴平行，画图分析．求点C的坐标． 【灵活运用】 （4）如图2，点F为点E关于点的二次对称点，连接，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为，若在运动过程中，一定存在的情形．求b的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析，或；（4） 【分析】（1）设，由二次对称点的定义求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）根据二次对称点的定义求解即可； （3）分情况画出图形，结合二次对称点的定义求解即可； （4）连接，令直线交轴于，交轴于，求出，，由勾股定理可得，结合二次对称点的定义，并结合（1）可得：，，，得出垂直平分，，从而可得，进而推出，即在以 圆心，为半径的圆上运动，当直线于相切时，此时，等面积法求出，即可得解． 【详解】解：（1）设， ∵点，点N为点M关于点P的二次对称点， ∴， ∴， ∴； （2）∵点，，点B为点A关于点Q的二次对称点， ∴点关于点的对称点为， ∴点B的坐标为； （3）∵点D为点C关于点的二次对称点，且、都与坐标轴平行， ∴如图，当轴，轴时， ， 由题意可得，，， ∴点与点关于轴对称， ∴， ∵，即为的中点， ∴； 如图，当轴，轴时， ， 由题意可得，，， ∴点与点关于轴对称， ∴， ∵，即为的中点， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （4）如图，连接，令直线交轴于，交轴于， ， 在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， ∵点F为点E关于点的二次对称点， ∴由（1）可得：，，， ∵， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴点在以 圆心，为半径的圆上运动， 当直线于相切时，此时， ∵， ∴， ∴， ∵在运动过程中，一定存在的情形． ∴b的取值范围为． 【点睛】本题考查了点的坐标—轴对称，一次函数的综合，切线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $