精品解析：黑龙江绥化市第七中学2025-2026学年度第二学期4月阶段检测高二数学试题

绥化市第七中学2025-2026学年度第二学期4月阶段检测 高二数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，，所以. 2. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，解得或， 所以不等式的解集为或 3. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】等差数列中，由，得，即，解得， 而，则公差，所以. 4. 已知数列为等比数列，若，，则（     ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列通项公式将条件转化为和的等式，作除法即可求得，进而可求解. 【详解】由题意得，解得， 则. 5. 袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】记取出的 2个球中，有一个标号为1为事件，另一个标号为1为事件， 则，， 则. 6. 已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. 事件与不独立 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义，和事件与积事件的运算法则，逐项判断即可. 【详解】已知，则，而题目中，显然，因此事件A与B不互斥，选项A错误；  ，又，所以，选项B正确；  因为， ，由于，所以事件与独立，选项C错误；  ，则，选项D错误. 故选：B. 7. 某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用频率估计概率，再由全概率公式计算可得. 【详解】记“现场挂号”，“患者对医院的服务满意”，则. 因为通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意， 所以用频率估计概率，得. 又由全概率公式得 . 所以随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为. 8. 记为数列的前n项和，若，且的值为的可能性相同，则是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用递推思想,设 为 为奇数的概率,根据 的取值对 奇偶性的影响建立递推关系,再通过构造等比数列求出 的通项,代入 即可得概率. 【详解】记事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，是奇数的概率为． 当为奇数时，若，则仍然为奇数. 当为偶数时，若或3，则为奇数，从而， 即，即，整理可得． 又，所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以，故是奇数的概率为. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ） A. 公差 B. C. D. 当时，最小 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列的通项公式逐一判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，故A错误； 因为，，所以，解得，故B正确； 对于选项C、D，因为， 所以， 而；由于二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线. 又因为，所以当时，最小，故C、D正确， 故选：BCD 10. 春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（ ） A. 小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B. 小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小 C. 若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D. 若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据乘法公式以及全概率公式判断AB；由条件概率结合全概率公式求解CD. 【详解】记小张第次去洗车店为，第次去洗车店为， 则，，，，，. 选项A：，故A错误. 选项B：， ， 所以小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小，故B正确. 选项C：，故C正确. 选项D：，故D正确. 11. 已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则（ ）（参考数据： A. 该校学生成绩的均值为 B. 该校学生成绩的标准差为 C. 该校学生成绩的标准差为 D. 该校学生成绩及格率超过 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接由正态分布的定义可判断ABC选项，再由正态分布的概率分布计算成绩超过及格线的概率可判断D选项. 【详解】因为学生的成绩服从正态分布，所以，所以AC正确，B错误； 因为， 所以， 又因为，所以 所以，故D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式即可求解. 【详解】记“第一次取到白球”为事件，“第二次取到黄球”为事件，“第二次才取到黄球”为事件，所以. 故答案为：. 13. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则_____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据等差数列的等差中项以及前项和公式，即可求得. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 14. 已知数列中，…，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先将和代入条件，然后两式相除，可得答案. 【详解】当时，有 ① 当时，有 ② 由①÷②，可得 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表： 体质情况 组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 （1）求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关； （2）在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 【答案】（1），体质情况与爱好运动有关. （2）的分布列为： 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）求出参数值并完善表格，根据公式计算的值后可得正确判断； （2）先确定的所有可能取值，根据超几何分布计算概率后结合期望公式可求. 【小问1详解】 由表中数据可得，表格完善如下： 体质情况 组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 设：体质情况与爱好运动无关， 则， 根据依据小概率值的独立性检验，否定，故体质情况与爱好运动有关. 【小问2详解】 易知名体质情况“合格”对象中有人爱好运动，人不爱好运动， 故的所有可能取值为0，1，2， ，，， 即所求分布列为 0 1 2 所以的期望. 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求证：数列为等比数列； （2）若对一切，不等式均成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 已知，当时，. 则， 所以，即. 当时，， 则，，满足. 因此，数列是以3为首项，3为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，结合作差法得到，变形可得，根据等比数列的概念证明即可. （2）结合（1）对不等式进行变形得到，求的最大值即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 故不等式可化为，即. 设，，故只需即可. ， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，，所以，即. 因此，在时取得最大值为， 故实数的取值范围为. 17. 已知函数，的图象在点处的切线方程为. （1）求a，b的值； （2）当时，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数来求函数在某点处的切线方程，结合已知条件即可求解； （2）利用作差构造函数，求导来判断单调性，然后求出最小值即可得证. 【小问1详解】 因为，， 所以， 即得在点处的切线方程为， 由题意可知：切线方程为，两方程等价，所以，， 综上可得：； 【小问2详解】 证明：设，则，令得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 即，所以. 18. 2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； （3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）可应用二项分布求解3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）应用互斥事件的和事件的概率和条件概率求解即可； （3）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为，分别求出，进而可得不同取值时的概率，列出分布列，求出期望即可. 【小问1详解】 记3人中通过第一轮的人数为， 由题意可知， 记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件， 则. 【小问2详解】 记随机选择小明、小华、小方的事件分别为，通过第二轮的事件记为， 则由题意可知， 则， 所以. 【小问3详解】 记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为， 则， ， ， 由相互独立可知， ， ， 所以的分布列是 0 1 2 3 则的数学期望是． 19. 甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球． （1）从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率； （2）从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率； （3）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用间接法求解即可得； （2）利用条件概率公式求解即可得； （3）先根据全概率公式求解，再根据贝叶斯公式即可求解得. 【小问1详解】 记事件表示“抽出的个球中有红球”，则； 【小问2详解】 记事件表示“两个球都是红球”，则， 故； 【小问3详解】 设事件表示“从乙箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则事件表示“从甲箱中抽球”， 则，， 则， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥化市第七中学2025-2026学年度第二学期4月阶段检测 高二数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 4. 已知数列为等比数列，若，，则（     ） A. B. 4 C. D. 8 5. 袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（ ） A. B. C. D. 6. 已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. 事件与不独立 D. 7. 某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 记为数列的前n项和，若，且的值为的可能性相同，则是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ） A. 公差 B. C. D. 当时，最小 10. 春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（ ） A. 小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B. 小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小 C. 若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D. 若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 11. 已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则（ ）（参考数据： A. 该校学生成绩的均值为 B. 该校学生成绩的标准差为 C. 该校学生成绩的标准差为 D. 该校学生成绩及格率超过 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为______. 13. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则_____________． 14. 已知数列中，…，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表： 体质情况 组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 （1）求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关； （2）在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求证：数列为等比数列； （2）若对一切，不等式均成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数，的图象在点处的切线方程为. （1）求a，b的值； （2）当时，求证：. 18. 2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； （3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 19. 甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球． （1）从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率； （2）从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率； （3）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $