第09讲 条件概率与相关公式（知识清单+4题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册重难点讲义与测试

第09讲 条件概率与相关公式 知识清单 知识点01：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 知识点02：条件概率 知识点03：全概率公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：计算条件概率 题型2：独立事件的乘法公式 题型3：利用全概率公式求概率 题型4：利用贝叶斯求概率 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件． 2．相互独立事件同时发生的概率公式： 将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为： P（A•B）＝P（A）•P（B） 推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即： P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An） 3．区分 互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念： （1）互斥事件：两个事件不可能同时发生； （2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 知识点02 条件概率 1. 概念：在古典概率模型中，事件发生之后，随机现象的结果就剩下事件中的基本事件，所以事件变成了样 本空间．这个样本空间仍然是等可能的，这时事件发生的概率称为事件基于条件的概率，或在事件发生的条件下，事件发生的概率，或已知事件发生，事件发生的概率，记为 . 2. 公式：（适用于古典概率）； （适用于一般情况）. 3. 乘法公式：，若与独立，则，此时. 这说明在两个事件独立的情况下，条件概率等于概率．反之，若条件概率等于概率，则两个事件是独立 的. 4.利用定义计算条件概率的步骤 分别计算概率P(AB)和P(A)． 将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 5.利用缩小样本空间法求条件概率的方法 缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. 数：数出A中事件AB所包含的基本事件． 算：利用P(B|A)＝求得结果． 知识点03 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． 题型1：计算条件概率 【例1-1】（24-25高二下·上海·月考）某游戏玩家玩一款游戏，第一关通过的概率为0.6，在第一关通过的条件下，第二关通过的概率为0.4，则该玩家连续通过两关的概率为（   ） A．0.24 B．0.36 C．0.8 D．0.16 【答案】A 【分析】根据条件概率的计算公式求解即可. 【详解】设第一关通过为A，第二次通过为B， 则，， 所以. 故选：. 【例1-2】（24-25高二下·上海宝山·期中）将一枚质地均匀的硬币抛掷3次，设事件为“第1次出现正面”，事件为“第3次出现反面”，则_____. 【答案】/ 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】. 故答案为：. 【例1-3】（24-25高二上·上海）100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽l件.已知第一次抽出的是次品，求第二次抽出正品的概率. 【答案】 【分析】第一次抽到次品后，还有4件次品，95件正品，根据条件概率进行求解. 【详解】设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B， 第一次抽到次品后，还有4件次品，95件正品， 则第二次抽出正品的概率为. 【变式1-1】（24-25高二下·上海松江·月考）盒中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球．甲从中随机取出两个球，在已知甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件概率的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设事件为甲取出的有红球，事件表示取出两个红球， 则，， 则. 故选：C 【变式1-2】（24-25高二下·上海·月考）从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示“取得的牌面是A”，事件B表示“取得的牌的花色是黑桃”，则为______. 【答案】/0.25 【分析】计算出，利用条件概率公式进行求解. 【详解】，，故. 故答案为： 【变式1-3】在一个盒子中有大小与质地相同的20个球，其中10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸个球，求： (1)在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率； (2)第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）根据概率乘法公式计算可得. 【详解】（1）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球， 则， 第一个人摸出个红球后，盒子中还有个球，其中个红球，个白球， 故在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率. （2）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球， 事件：第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球即事件， 所以. 题型2：独立事件的乘法公式 【例2-1】（25-26高二上·上海松江·期中）事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的定义、性质，结合概率的基本性质逐项判断. 【详解】对于A，由是独立事件，得，A正确； 对于B，由是独立事件，得相互独立，则，B正确； 对于C，，C错误； 对于D， 由是独立事件，得也是相互独立事件， 则，D正确， 故选：C 【例2-2】（25-26高二上·上海·期末）相互独立事件满足，，则______． 【答案】/ 【详解】因为，且，所以， 因为事件和事件相互独立，所以，所以. 【例2-3】（24-25高二下·上海松江·期末）为丰富学生的业余生活， 学校开展了一系列文体活动， 其中有一项是 3 对 3 篮球对抗赛. 现有甲、乙两队进行比赛，假设每局比赛结果相互独立且无平局，每局比赛甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为 . (1)若采用三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)进行比赛，求甲队获胜的概率; (2)若比赛有三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)和五局三胜制(即先胜三局者赢得比赛， 同时比赛结束)两种选择， 从概率角度考虑， 甲队如何选择对自己更有利? 请说明理由. 【答案】(1) (2)选择五局三胜制对甲队更有利，理由见解析 【分析】（1）用表示事件 “第局甲队胜” ， 表示事件 “第局乙队胜” ，设表示事件“三局两胜制下甲队获胜”，得到，结合相互独立事件和互斥事件的概率公式，即可求解； （2）用表示事件 “ 局赛完，甲队胜” ，设 表示事件“五局三胜制下甲队获胜”，根据相互独立事件的概率公式，求得，即可求解. 【详解】（1）解：用表示事件 “第局甲队胜” ， 表示事件 “第局乙队胜” ( )， 则 ， 设表示事件“三局两胜制下甲队获胜”，则 ， 由各局比赛结果相互独立，且事件互斥， 所以. （2）解：用表示事件 “ 局赛完，甲队胜” ， 则 ， 设 表示事件“五局三胜制下甲队获胜”，则， 由各局比赛结果相互独立，且事件 互斥， 所以， 因为，所以选择五局三胜制对甲队更有利. 【变式2-1】（24-25高二下·上海徐汇·期末）如果事件与事件独立，且，，、分别是、的对立事件，那么以下等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据独立事件、对立事件的概率公式判断． 【详解】因为事件与事件是相互独立事件，则事件与事件也是相互独立事件， 所以，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意. 故选：C 【变式2-2】（25-26高二上·上海长宁·期末）甲、乙两人罚球时，“甲命中”与“乙命中”相互独立，已知甲罚球命中的概率是0.6，两个人中至少有一人罚球命中的概率是0.9，则乙罚球命中的概率是______． 【答案】/ 【分析】利用独立事件概率的乘法公式计算即可. 【详解】设乙罚球命中的概率为p，则. 故答案为： 【变式2-3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）生产零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.03．生产过程中，第一道工序产生的废品也会投入第二道工序，但是两道工序中有一道产出废品时，成品即判定为废品．已知每道工序生产废品相互独立． (1)求经过两道工序后得到的零件不是废品的概率； (2)现有经过这两道工序生产的1个废品．求生产该件废品的过程中，第二道工序产出废品的概率．（结果写成最简分数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出经过两道工序后得到的零件不是废品的概率． （2）根据条件概率公式计算即可． 【详解】（1）由题意得，经过两道工序后得到的零件不是废品的概率为 （2）设“经过这两道工序判定为废品”为事件，“第二道工序中生产出废品”为事件，则， ， 所以生产该件废品的过程中，第二道工序产出废品的概率为． 题型3：利用全概率公式求概率 【例3-1】（25-26高二下·上海松江·月考）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 由全概率公式得： ， . 【例3-2】（24-25高二下·上海·期末）某中学高一、高二、高三的学生人数比例为，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率________． 【答案】 【分析】根据全概率公式计算可得. 【详解】根据题意选取选手来自高一、高二、高三的概率分别为, 所以随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率 . 故答案为：. 【例3-3】（25-26高二上·上海·期末）盒中有个红球，个黑球，其中、为正整数．这些球的大小、质地均相同． (1)若，求在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率； (2)设为正整数．先随机从盒中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率（用含、、的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知在第一次抽取黑球的条件下，则盒子里还剩个红球个黑球，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）记事件第次从盒中摸出的一个球是黑球，求出、、、，利用全概率公式可得出的值. 【详解】（1）若，在第一次抽取黑球且不放回的条件下，则盒子里还剩个红球个黑球， 故在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率为. （2）记事件第次从盒中摸出的一个球是黑球， 则，，，， 由全概率公式可得 . 【变式3-1】（24-25高二下·上海·期中）上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（   ） 甲 乙 丙 丁 甲 0.3 0.3 0.7 乙 0.7 0.6 0.3 丙 0.7 0.4 0.4 丁 0.3 0.7 0.6 A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 【答案】B 【分析】分丙、丁的输赢情况，结合独立事件的乘法公式与全概率公式即可得解. 【详解】设为甲赢乙的概率，为甲赢丙的概率，为甲赢丁的概率， 分别为丙赢丁和丁赢丙的概率，为甲夺冠的概率， 则. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二下·上海崇明·期末）某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是_______． 【答案】/ 【分析】先设事件，根据已知条件，写出对应事件的概率，，，，再根据全概率公式求解即可. 【详解】设任取一件商品是一等品， 取到的商品是甲品牌，则， 取到的商品是乙品牌，则， 已知甲品牌一等品比例为90%，即， 乙品牌一等品的比例为95%，即， 所以由全概率公式可知 . 故答案为： 【变式3-3】设有两个罐子，罐中放有4个白球、2个黑球，罐中放有6个白球.现在从两个罐子中各摸一个球交换，求这样交换2次后，罐中仅剩下1个黑球的概率. 【答案】 【分析】 讨论所有情况后利用概率公式计算即可得. 【详解】 若第一次从罐中取出白球，其概率为，第一次从罐中只能取出白球， 此时罐中依然放有4个白球、2个黑球，罐中依然放有6个白球， 则第二次必须从罐中取出黑球，其概率为，第二次从罐中只能取出白球， 这种情况下的概率为， 若第一次从罐中取出黑球，其概率为，第一次从罐中只能取出白球， 此时罐中依然放有5个白球、1个黑球，罐中依然放有5个白球，1个黑球， 第二次可能从罐中取出白球，其概率为，则从罐中必须取出白球，其概率为， 第二次可能从罐中取出黑球，其概率为，则从罐中必须取出黑球，其概率为， 这两种情况的概率为， 则有，即这样交换2次后，罐中仅剩下1个黑球的概率为. 题型4：利用贝叶斯求概率 【例4-1】（24-25高三·上海·单元测试）在某一季节，疾病的发病率为2%，患者中40%表现出症状；疾病的发病率为5%，患者中18%表现出症状；疾病的发病率为0.5%，患者中60%表现出症状．则以下结论中错误的是（    ） A．任意一位患者有症状的概率为0.02 B．患者有症状时患疾病的概率为0.4 C．患者有症状时患疾病的概率为0.45 D．患者有症状时患疾病的概率为0.25 【答案】D 【分析】根据全概率公式、贝叶斯公式逐一判断即可. 【详解】由题意可知：，，， ，，.由全概率公式可知： ，因此选项A正确； 由贝叶斯公式可知： ，因此选项B正确； ，因此选项C正确； ，因此选项D不正确， 故选：D 【例4-2】（25-26高二上·上海静安·期末）某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是______________． 【答案】 【分析】根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求解. 【详解】设“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品是次品”，则， ． 故答案为： 【例4-3】（24-25高三上·上海·月考）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 【答案】(1) (2)该航班飞往其他地区的可能性最大． 【分析】（1）首先设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，根据题中信息把相关事件的概率表示清楚，然后利用全概率公式求即可； （2）利用贝叶斯公式求解，，，再比较大小，即可判断航班飞往哪种情况的可能性最大. 【详解】（1）设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"， 则，，， ，，， 由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （2）， ， ， 因为，所以该航班飞往其他地区的可能性最大． 【变式4-1】（24-25高三上·上海）某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率______. 【答案】 【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案. 【详解】设事件表示“选到第一组学生”，事件表示“选到共青团员”， 由题意，，, 所以“已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率”为. 故答案为： 【变式4-2】（25-26高三上·上海·单元测试）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是__________． 【答案】 【分析】记事件“取得一个产品是次品”，“取得的一箱是甲厂的”，“取得的一箱是乙厂的”，“取得的一箱是丙厂的”，先由已知条件结合全概率公式求得，再由贝叶斯公式即可得解. 【详解】记事件“取得一个产品是次品”，“取得的一箱是甲厂的”， “取得的一箱是乙厂的”，“取得的一箱是丙厂的”， 则由题，，， ，，， 所以由全概率公式得 ， 所以由贝叶斯公式若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 . 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高三上·上海·单元测试）某商店从三个厂购买了一批灯泡，甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，各厂的次品率分别为5%、4%、2%． (1)求消费者买到一只次品灯泡的概率； (2)若消费者买到一只次品灯泡，则它是哪个厂家生产的可能性最大？ 【答案】(1)0.0345 (2)买到乙厂产品的可能性最大 【分析】（1）直接由全概率公式即可求解； （2）直接由贝叶斯公式即可求解. 【详解】（1）记事件表示“消费者买到一只次品灯泡”，、、分别表示“买到的灯泡是甲、乙、丙厂生产的灯泡”， 根据题意得，，，， ，，． 所以； （2）， ， ， 所以买到乙厂产品的可能性最大． 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·期中）已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.58 D．0.7 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率及概率的基本性质计算得解. 【详解】由事件与事件相互独立，，得， 所以. 故选：C 2．将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则条件概率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由古典概型分别求出，代入条件概率公式即可. 【详解】由题意，事件即为“三个点数都不同且至少出现一个6点”， ， ， ． 故选：A． 3．（25-26高二上·上海·期末）已知甲、乙两人投篮命中的概率分别为和，且事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为（    ） A．0.88 B．0.48 C．0.32 D．0.12 【答案】A 【分析】令事件表示甲投篮命中，事件表示乙投篮命中，事件表示甲、乙两人至少有一人命中，则，，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】令事件表示甲投篮命中，事件表示乙投篮命中，事件表示甲、乙两人至少有一人命中， 则，所以， 所以 ， 故选：A. 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）2025上海市实验学校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】C 【分析】利用古典概型概率公式和全概率公式，求出和，由比值确定大小关系. 【详解】设事件为“最终中奖”，事件为“一开始选中的有奖”，则， 在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 更换后， 若一开始选中的无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换后， 故， 由于风吹掉为随机吹掉，故所有个盲盒中有个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等，， 因此，故. 故选：. 二、填空题 5．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则_________． 【答案】/0.125 【分析】根据条件概率公式即可求解． 【详解】， 故答案为：． 6．（24-25高二下·上海崇明·期末）某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则_______． 【答案】 【分析】先根据古典概型概率公式求出各事件的概率，再根据条件概率公式，求出条件概率. 【详解】已知男生中有10名团员，女生中有9名团员，共有19名团员，则， 已知男生中有10名团员，则, 可得， 故答案为：. 7．（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知、为随机事件，且，，若，则___________. 【答案】/ 【分析】根据题意结合条件概率公式可得，结合概率性质可得，即可得结果. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 且，所以. 8．（25-26高二上·上海·期末）一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.2，则该产品的正品率______． 【答案】 【分析】经过这每道工序出来的产品是否为正品，是相互独立的，第一道工序的正品率为，第二道工序的正品率为，再利用相互独立事件的概率乘法公式求得产品的正品率． 【详解】由题意可得，当经过这第一道工序出来的产品是正品，且经过这第二道工序出来的产品也是正品时，得到的产品才是正品．经过这每道工序出来的产品是否为正品，是相互独立的． 第一道工序的正品率为，第二道工序的正品率为， 故产品的正品率为， 故答案为：． 9．（25-26高二上·上海·期末）袋中装有大小与质地相同的 4 个红球与 8 个白球，从中依次摸两个球，规则如下：先从袋中任取一个球，若该球是红球，则放回袋中，进行下一次摸球；若该球是白球，则不放回，直接进行下一次摸球，则在第二次摸到白球的条件下，第一次摸到白球的概率为 __________ . 【答案】 【分析】设事件为第一次取到白球，事件表示第二次取到白球，利用全概率公式计算，再利用条件概率公式求即可. 【详解】设事件为第一次取到白球，事件表示第二次取到白球，则为第一次取到红球， 则，，，， 所以. 所以 故答案为： 10．（24-25高二下·上海奉贤·期中）设有两个罐子，罐中放有2个白球、1个黑球，罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球并交换，求这样交换3次后，黑球还在罐中的概率为：__________． 【答案】 【分析】先求出一次交换后黑球在罐和不在罐的概率，然后通过递推的方式，运用全概率公式逐步计算出交换次后黑球还在罐的概率． 【详解】一次交换后黑球还在罐有两种情况： 从罐中摸出白球与罐中摸出的白球交换，罐中摸出白球的概率为， 罐中摸出白球的概率为，这种情况的概率为． 一次交换后黑球不在罐的情况： 从罐中摸出黑球与罐中摸出的白球交换，罐中摸出黑球的概率为， 罐中摸出白球的概率为，这种情况的概率为． 若第一次交换后黑球在罐（概率为），第二次交换后黑球还在罐的概率为； 若第一次交换后黑球不在罐（概率为），第二次交换后黑球回到罐的概率为． 根据全概率公式，两次交换后黑球在罐的概率为． 若第二次交换后黑球在罐（概率为），第三次交换后黑球还在罐的概率为； 若第二次交换后黑球不在罐（概率为），第三次交换后黑球回到罐的概率为． 根据全概率公式，三次交换后黑球在罐的概率为． 交换次后，黑球还在罐中的概率为． 故答案为： 11．（25-26高三·上海·二轮复习）已知男性中有患色盲，女性中有患色盲，从男女数量相等的人群中任选一人，设“任选一人是男性”为事件，“任选一人是女性”为事件“任选一人患色盲”为事件，如果此人患色盲，则此人是男性的概率_____. 【答案】 【分析】应用全概率及贝叶斯公式计算求解. 【详解】此人患色盲的概率 又， . 故答案为：. 12．甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件与相互独立； ②事件与相互独立； ③；④，其中错误的个数是__________个． 【答案】3 【分析】按相互独立的定义可判断AB，用条件概率公式可判断CD. 【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含 （个）样本点，它们等可能， 事件含有的样本点个数为，则， 同理，， 事件含有的样本点个数为，则， 事件含有的样本点个数为，则， 对于A，，即事件与不相互独立，故A不正确； 对于B，，即事件与不相互独立，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确． 所以其中错误的个数是3个． 故答案为：3. 13．（24-25高二下·上海青浦·期中）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为.乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，则至少有一个一等品的概率________________． 【答案】 【分析】根据题意先求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率，记为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，利用对立事件，即计算即可. 【详解】设分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，由题设条件有,解得, 记为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，利用对立事件， 则, 故答案为： 14．（24-25高二下·上海·期中）小玲、小强两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人在罚球区各投1球．已知小玲、小强每轮投中的概率分别为，每轮比赛中两人是否投中互不影响，各轮比赛之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为______. 【答案】 【分析】由“星队”在两轮比赛中共投中3球的可能情况结合互斥、对立事件的概率求法及独立事件乘法公式即可求解. 【详解】“星队”在两轮比赛中共投中3球，则两轮比赛中一轮甲、乙有一人未投中，一轮两人均投中， 所以其概率为：. 故答案为： 15．（25-26高二上·上海普陀·期末）在信道内传输信号，信号的传输相互独立．发送时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到的概率为，收到1的概率为．现依次发送1、1、0三个信号，则至少收到两个0的概率为______． 【答案】 【分析】将目标事件合理拆分，再利用互斥事件的概率公式和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意得至少收到两个可拆分为恰好收到个和恰好收到个， 且两种情况互斥，对于恰好收到个，可拆分为如下三种情况， 第1位发送1时，收到，第2位发送1时，收到，第3位发送0时，收到， 第1位发送1时，收到，第2位发送1时，收到，第3位发送0时，收到， 第1位发送1时，收到，第2位发送1时，收到，第3位发送0时，收到， 而每一位收发数字的情况相互独立， 对于第一种情况，由独立事件的概率公式得概率为， 对于第二种情况，由独立事件的概率公式得概率为， 对于第三种情况，由独立事件的概率公式得概率为， 由互斥事件的概率公式得恰好收到个的概率为， 当恰好收到个时，由独立事件概率公式得概率为， 由互斥事件的概率公式得至少收到两个0的概率为. 故答案为： 16．（24-25高二下·上海浦东新·期末）不透明的袋中装有编号为1，2，…，10的10个小球，现从中随机有放回地取4次，每次取1个球，已知摸出的球中有编号为5的球，则摸出的球中最大编号大于等于7的概率是________． 【答案】 【分析】首先求出事件“摸出的球中有编号为5的球”的概率，然后求出事件“摸出的球中有编号为5的球，且摸出的球中最大编号大于等于7”的概率，最后根据条件概率公式求出结果. 【详解】令“摸出的球中有编号为5的球”为事件，“摸出的球中最大编号大于等于7”为事件， 则事件的情况包括1次球的编号为5，2次球的编号为5，3次球的编号为5和4次球的编号为5，这四种情况， 所以. 而事件表示的是“摸出的球中有编号为5的球，且摸出的球中最大编号大于等于7”， 此事件的情况包括： 当1次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球可能为1次，2次或3次； 当2次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球可能为1次，或2次； 当3次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球为1次； 所以. 所以. 故答案为：. 三、解答题 17．（25-26高二上·上海普陀·期末）（1）已知，，，求的值. （2）设，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，根据条件，利用全概率公式，即可求解 （2）令求出，再令求出，写出展开式的通项，分析各项系数的正负性，即可得解. 【详解】（1）设，因为，，， 又，所以， 整理得到，解得，所以； （2）因为， 令可得， 令可得， 则， 又展开式的通项为（且）， 所以，，，，，， 所以. 18．（24-25高二下·上海·期末）某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为 ，且这些消费者可以分为三类．其中类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占比，其在一年内再次购买产品的概率为． (1)求与的值． (2)若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是类消费者的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）记一年内再次购买产品为事件，消费者是类消费者记为事件，消费者是类消费者记为事件，消费者是类消费者记为事件，根据求出，再由全概率公式求出； （2）由条件概率公式计算可得. 【详解】（1）记一年内再次购买产品为事件，消费者是类消费者记为事件， 消费者是类消费者记为事件，消费者是类消费者记为事件， 则，，， ，，， 所以，解得， 则，解得； （2）依题意可得. 19．（24-25高二下·上海浦东新·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，将事件“为整数”记为A，将事件“为偶数”记为B，将事件“为奇数”记为C； (1)试判断事件B与事件C是否相互独立？并说明理由； (2)求的值. 【答案】(1)事件B与事件C相互独立，理由见解析； (2). 【分析】（1）列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义判断事件B与事件C是否相互独立； （2）结合条件概率的概率公式计算可得. 【详解】（1）先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，， 则基本事件总数为，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共36种情况， 满足事件的有，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，共个， 故； 满足事件的有，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共个， 故， 满足事件的有，，， ，，， ，，，共个， 所以， 所以事件与事件相互独立， （2）满足事件的有，，，，，，，共种， 所以， 所以， 20．（25-26高二下·上海奉贤·月考）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作、、三幅不同的湘绣作品，已知、、三幅作品通过设计图案环节相互独立，且通过的概率依次为、、. (1)求、、三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； (2)若已知、、三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将所求的“恰有一幅通过设计”事件分解为三个互斥的独立事件组合，分别用独立事件概率乘法计算每个组合的概率，再相加得到最终结果； （2）明确所求为条件概率，找出对应分子和分母，代入条件概率公式计算得结果. 【详解】（1）设分别表示通过设计图案环节， 由题得，且三个事件相互独立. 恰有一幅通过设计环节可分解为仅通过、仅通过、仅通过三个互斥事件， 设仅通过为事件： 仅通过为事件： 仅通过为事件： 由互斥事件概率加法公式，恰有一幅通过的概率： （2）设事件为“三幅中恰有一幅通过设计环节”，事件为“通过设计的作品为”， 由条件概率公式： 其中即“仅通过设计环节”， 故， 由（1）知， 所以 【点睛】本题核心考察独立事件概率乘法、互斥事件概率加法、条件概率公式三个知识点，解题关键是对复杂概率事件进行合理的互斥分解，结合事件独立性计算基础概率，再根据问题类型套用对应公式求解. 21．（25-26高二上·上海徐汇·期末）周五放学后，老师和老师相约去体育馆打羽毛球切磋球技.两人决定采用羽毛球旧赛制进行一场复古局.旧制规则如下：只有发球方赢得当前回合才能得1分并继续发球；若发球方输掉该回合，则双方均不得分，且下一回合交换发球权（即改为由对方发球）. (1)两人刚开始热身，体力充沛，发球极其凶猛.假设在热身局中，无论谁发球，发球方输掉该回合的概率均为.若第一回合由老师发球，求第二回合比赛有人得分的概率； (2)临近饭点，两人决定用一场“一分定胜负”的比赛来决定今晚谁请晚饭：谁先赢得1分，谁就获胜；输的一方请客.假设两人水平接近，在任一回合中，发球方赢得该回合的概率均为.若第一回合由老师发球，求老师获胜的概率.并据此从概率角度分析：旧赛制对于发球方和接发球方是否公平？ 【答案】(1) (2)，旧赛制不公平 【分析】（1）由全概率公式，即可求解； （2）由已知条件，求出第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，与比较，即可得到答案. 【详解】（1）设事件表示第一回合老师赢球，事件表示第二回合老师赢球， 事件表示第二回合比赛有运动员得分，它包括两个事件： 一个事件：第一回合老师赢球，第二回合老师赢球； 另一个事件：第一回合老师输球，第二回合老师赢球； 则， 即第二回合比赛有运动员得分的概率为. （2）设老师先发球，记事件表示第i回合老师赢球， 记事件表示老师先得第一分， 则， 则， 所以，第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率大于， 则比赛双方运动员实力相当的情况下，先发球者更大概率占据心理上的优势，所以旧赛制不公平. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 条件概率与相关公式 知识清单 知识点01：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 知识点02：条件概率 知识点03：全概率公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：计算条件概率 题型2：独立事件的乘法公式 题型3：利用全概率公式求概率 题型4：利用贝叶斯求概率 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件． 2．相互独立事件同时发生的概率公式： 将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为： P（A•B）＝P（A）•P（B） 推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即： P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An） 3．区分 互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念： （1）互斥事件：两个事件不可能同时发生； （2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 知识点02 条件概率 1. 概念：在古典概率模型中，事件发生之后，随机现象的结果就剩下事件中的基本事件，所以事件变成了样 本空间．这个样本空间仍然是等可能的，这时事件发生的概率称为事件基于条件的概率，或在事件发生的条件下，事件发生的概率，或已知事件发生，事件发生的概率，记为 . 2. 公式：（适用于古典概率）； （适用于一般情况）. 3. 乘法公式：，若与独立，则，此时. 这说明在两个事件独立的情况下，条件概率等于概率．反之，若条件概率等于概率，则两个事件是独立 的. 4.利用定义计算条件概率的步骤 分别计算概率P(AB)和P(A)． 将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 5.利用缩小样本空间法求条件概率的方法 缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. 数：数出A中事件AB所包含的基本事件． 算：利用P(B|A)＝求得结果． 知识点03 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． 题型1：计算条件概率 【例1-1】（24-25高二下·上海·月考）某游戏玩家玩一款游戏，第一关通过的概率为0.6，在第一关通过的条件下，第二关通过的概率为0.4，则该玩家连续通过两关的概率为（   ） A．0.24 B．0.36 C．0.8 D．0.16 【例1-2】（24-25高二下·上海宝山·期中）将一枚质地均匀的硬币抛掷3次，设事件为“第1次出现正面”，事件为“第3次出现反面”，则_____. 【例1-3】（24-25高二上·上海）100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽l件.已知第一次抽出的是次品，求第二次抽出正品的概率. 【变式1-1】（24-25高二下·上海松江·月考）盒中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球．甲从中随机取出两个球，在已知甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·上海·月考）从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示“取得的牌面是A”，事件B表示“取得的牌的花色是黑桃”，则为______. 【变式1-3】在一个盒子中有大小与质地相同的20个球，其中10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸个球，求： (1)在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率； (2)第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率. 题型2：独立事件的乘法公式 【例2-1】（25-26高二上·上海松江·期中）事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题不成立的是（ ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高二上·上海·期末）相互独立事件满足，，则______． 【例2-3】（24-25高二下·上海松江·期末）为丰富学生的业余生活， 学校开展了一系列文体活动， 其中有一项是 3 对 3 篮球对抗赛. 现有甲、乙两队进行比赛，假设每局比赛结果相互独立且无平局，每局比赛甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为 . (1)若采用三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)进行比赛，求甲队获胜的概率; (2)若比赛有三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)和五局三胜制(即先胜三局者赢得比赛， 同时比赛结束)两种选择， 从概率角度考虑， 甲队如何选择对自己更有利? 请说明理由. 【变式2-1】（24-25高二下·上海徐汇·期末）如果事件与事件独立，且，，、分别是、的对立事件，那么以下等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·上海长宁·期末）甲、乙两人罚球时，“甲命中”与“乙命中”相互独立，已知甲罚球命中的概率是0.6，两个人中至少有一人罚球命中的概率是0.9，则乙罚球命中的概率是______． 【变式2-3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）生产零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.03．生产过程中，第一道工序产生的废品也会投入第二道工序，但是两道工序中有一道产出废品时，成品即判定为废品．已知每道工序生产废品相互独立． (1)求经过两道工序后得到的零件不是废品的概率； (2)现有经过这两道工序生产的1个废品．求生产该件废品的过程中，第二道工序产出废品的概率．（结果写成最简分数） 题型3：利用全概率公式求概率 【例3-1】（25-26高二下·上海松江·月考）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高二下·上海·期末）某中学高一、高二、高三的学生人数比例为，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率________． 【例3-3】（25-26高二上·上海·期末）盒中有个红球，个黑球，其中、为正整数．这些球的大小、质地均相同． (1)若，求在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率； (2)设为正整数．先随机从盒中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率（用含、、的代数式表示）． 【变式3-1】（24-25高二下·上海·期中）上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（   ） 甲 乙 丙 丁 甲 0.3 0.3 0.7 乙 0.7 0.6 0.3 丙 0.7 0.4 0.4 丁 0.3 0.7 0.6 A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 【变式3-2】（24-25高二下·上海崇明·期末）某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是_______． 【变式3-3】设有两个罐子，罐中放有4个白球、2个黑球，罐中放有6个白球.现在从两个罐子中各摸一个球交换，求这样交换2次后，罐中仅剩下1个黑球的概率. 题型4：利用贝叶斯求概率 【例4-1】（24-25高三·上海·单元测试）在某一季节，疾病的发病率为2%，患者中40%表现出症状；疾病的发病率为5%，患者中18%表现出症状；疾病的发病率为0.5%，患者中60%表现出症状．则以下结论中错误的是（    ） A．任意一位患者有症状的概率为0.02 B．患者有症状时患疾病的概率为0.4 C．患者有症状时患疾病的概率为0.45 D．患者有症状时患疾病的概率为0.25 【例4-2】（25-26高二上·上海静安·期末）某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是______________． 【例4-3】（24-25高三上·上海·月考）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 【变式4-1】（24-25高三上·上海）某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率______. 【变式4-2】（25-26高三上·上海·单元测试）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是__________． 【变式4-3】（25-26高三上·上海·单元测试）某商店从三个厂购买了一批灯泡，甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，各厂的次品率分别为5%、4%、2%． (1)求消费者买到一只次品灯泡的概率； (2)若消费者买到一只次品灯泡，则它是哪个厂家生产的可能性最大？ 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·期中）已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.58 D．0.7 2．将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则条件概率等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·期末）已知甲、乙两人投篮命中的概率分别为和，且事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为（    ） A．0.88 B．0.48 C．0.32 D．0.12 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）2025上海市实验学校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 二、填空题 5．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则_________． 6．（24-25高二下·上海崇明·期末）某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则_______． 7．（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知、为随机事件，且，，若，则___________. 8．（25-26高二上·上海·期末）一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.2，则该产品的正品率______． 9．（25-26高二上·上海·期末）袋中装有大小与质地相同的 4 个红球与 8 个白球，从中依次摸两个球，规则如下：先从袋中任取一个球，若该球是红球，则放回袋中，进行下一次摸球；若该球是白球，则不放回，直接进行下一次摸球，则在第二次摸到白球的条件下，第一次摸到白球的概率为 __________ . 10．（24-25高二下·上海奉贤·期中）设有两个罐子，罐中放有2个白球、1个黑球，罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球并交换，求这样交换3次后，黑球还在罐中的概率为：__________． 11．（25-26高三·上海·二轮复习）已知男性中有患色盲，女性中有患色盲，从男女数量相等的人群中任选一人，设“任选一人是男性”为事件，“任选一人是女性”为事件“任选一人患色盲”为事件，如果此人患色盲，则此人是男性的概率_____. 12．甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件与相互独立； ②事件与相互独立； ③；④，其中错误的个数是__________个． 13．（24-25高二下·上海青浦·期中）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为.乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，则至少有一个一等品的概率________________． 14．（24-25高二下·上海·期中）小玲、小强两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人在罚球区各投1球．已知小玲、小强每轮投中的概率分别为，每轮比赛中两人是否投中互不影响，各轮比赛之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为______. 15．（25-26高二上·上海普陀·期末）在信道内传输信号，信号的传输相互独立．发送时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到的概率为，收到1的概率为．现依次发送1、1、0三个信号，则至少收到两个0的概率为______． 16．（24-25高二下·上海浦东新·期末）不透明的袋中装有编号为1，2，…，10的10个小球，现从中随机有放回地取4次，每次取1个球，已知摸出的球中有编号为5的球，则摸出的球中最大编号大于等于7的概率是________． 三、解答题 17．（25-26高二上·上海普陀·期末）（1）已知，，，求的值. （2）设，求的值. 18．（24-25高二下·上海·期末）某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为 ，且这些消费者可以分为三类．其中类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占比，其在一年内再次购买产品的概率为． (1)求与的值． (2)若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是类消费者的概率． 19．（24-25高二下·上海浦东新·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，将事件“为整数”记为A，将事件“为偶数”记为B，将事件“为奇数”记为C； (1)试判断事件B与事件C是否相互独立？并说明理由； (2)求的值. 20．（25-26高二下·上海奉贤·月考）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作、、三幅不同的湘绣作品，已知、、三幅作品通过设计图案环节相互独立，且通过的概率依次为、、. (1)求、、三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； (2)若已知、、三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率. 21．（25-26高二上·上海徐汇·期末）周五放学后，老师和老师相约去体育馆打羽毛球切磋球技.两人决定采用羽毛球旧赛制进行一场复古局.旧制规则如下：只有发球方赢得当前回合才能得1分并继续发球；若发球方输掉该回合，则双方均不得分，且下一回合交换发球权（即改为由对方发球）. (1)两人刚开始热身，体力充沛，发球极其凶猛.假设在热身局中，无论谁发球，发球方输掉该回合的概率均为.若第一回合由老师发球，求第二回合比赛有人得分的概率； (2)临近饭点，两人决定用一场“一分定胜负”的比赛来决定今晚谁请晚饭：谁先赢得1分，谁就获胜；输的一方请客.假设两人水平接近，在任一回合中，发球方赢得该回合的概率均为.若第一回合由老师发球，求老师获胜的概率.并据此从概率角度分析：旧赛制对于发球方和接发球方是否公平？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $