江苏泰州市靖江市滨江学校2025-2026学年下学期八年级数学学情自测3

滨江学校 2025-2026学年度第二学期八年级周测3 一.选择题（共6小题18分） 1.起分式 2(x≠0，y≠0)中的x、y缩小为原来的，那么分式的值() A.缩小2倍 B.扩大2倍 C.改变为原来的 1 D.不改变 2.下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是() A.内角和为360 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 3.若k为自然数，则(2k+3)2-42的值总能() A.被2整除 B.被3整除 C.被4整除 D.被6整除 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2,点D在BC上，∠ADC=2∠B,AD=V5,则BC的长为() D A.V3-1 B.V3+1 C.5+1 D.5-1 5.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线 上一点，下列结论：①BE平分∠CBF:②DE=AF:③BC=FB:④PF=PC.其中正确结论的个数为() D E A.1 B.2 C.3 D.4 6. 定义：△ABC中，一个内角的度数为α，另一个内角的度数为β，若满足a+2B=90°，则称这个三角形为 “准直角三角形”.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,D是BC上的一个动点，连接AD,若 △ABD是“准直角三角形”，则CD的长是() y B D A.号 B治 c D. 13 二.填空题（共10小题）30分 7.在平行四边形ABCD中，如果∠A+∠C=110°，则∠B= 8.函数)=零中，自变最x的取值范图是 9.若关于x的分式方程，文=30一2的解是非负数，则a的取值范围是 ￥x-1=2x-2 10.如果一个菱形的两条对角线长分别为12cm和16cm,那么它的周长为 cm. 11.如图，在菱形ABCD巾，∠BCD=1I0°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足，连接DF,则∠CDP 的度数为 D G M B 12.如图所示，在R1△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,N是边BC上一点，M是边AB上的动点，点D,E 分别为CN,MN的中点，则DE的最小值是 =2X+1 D E D AM 13.如图任意四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，当四边形ABCD满足条件 时，四边形EGFⅡ是菱形.（填一个使结论成立的条件） 14.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B(6,2),C(4,0), 直线y=2+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过一 秒该直线可将平行四边形OABC分成面 积相等的两部分. 15.如图，在口MBCD巾，AB=8,以点D为圆心作弧，交B于点从、N,分别以点M、N为圆心，大于2MN为 半径作弧，两弧交于点F,作直线DF交AB于点E,若∠BCE=∠DCE,DE=4,则四边形BCDE的周长是 16.如图，在矩形纸片AB(CD中，AB=3,BC=4,将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长 为 三.解答题 17.解分式方程：(6分) (2)5-x+1 4+4文=1. 18.将下列各式因式分解(6分) (1)2x3y-8y: (2)(x2+4)2-16x2. 19.（3+2分）先化简，啊求值：口-1-异)+2。华请在-1,0,2中选择一个合适的数代入求微 20.(2+3)将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为(b>a>0). (1)【操作发现】再往杯中加入m(m>0)克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示 为+m b+m 分（填“>“<”或“=： (2)【探究论证】请证明（1)巾的结论正确. 21.(4+4+4分)四边形ABCD是矩形，点E是边BC的延长线上一点，连接AC,DE,BE=AC. A D 0 A M E 图1 图2 备用图 (1)如图1，若∠ACB=40°，求∠E的度数： (2)如图2，点E在边BC的延长线上，若M是DE的中点，连接AM,CM,AM与CD交于点N. ①求证：AM⊥MC; ②若AB=3,BC=4,求MN的值. 22.(4+4分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E,F分别是BC,AC的中点，延长线段BA到点D, 使得AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O. (1)求证：AF与DE互相平分： (2)若AB=6,BC=10,求DE的长 D A B 公 23.(3+3+4分)如图，∠MON=90°，正方形BCD的顶点A、B分别在OM、ON上，AB=13,OB=5,E为AC 上一点，且∠EBC=∠CBN,直线DE与ON交于点F. (I)求证：BE=DE: (2)判断DF与ON的位置关系，并说明理出： (3)△BEF的周长为 M D B 0 4 滨江学校 2025-2026学年度第二学期八年级周测3 参考答案与试题解析 一.选择题（共6小题） 题号 2 4 6 答案 D B D 一。 选择题（共6小题） 。把分式化去0，y去0中的x、y缩小为原来的那么分式的值（一 A.缩小2倍 B.扩大2倍 C. 改变为原来的 D.不改变 【考点】分式的基本性质. 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答. 【解答】解：由题意得： -32 x-3y 2 2x 2X(:≠0，y≠0中的x、y缩小为原来的那么分式的值不改变， ·把分式3型 故选：D. 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练学握分式的基本性质是解题的关键。 2.下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（) A.内角和为360° B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 【考点】矩形的性质；菱形的性质！ 【答案】C 【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案。 【解答】解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分， ∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等， 故选：C. 【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，热记两图形的性质是解题的关键 3.若k为自然数，则(2+3)2-4的值总能() A.被2整除 B.被3整除 C.被4整除 D.被6整除 【考点】因式分解的应用. 【答案】B 【分析】利用平方差公式将式子分解因式后化简可得：（2+3)2-42=3(4+3)，因此可得式子总能被3整除. 【解答】解：(2k+3)2-42 =(2k+3)2-(2k)2 =（2k+3+2k)（2k+3-2k) =(4k+3)×3 =3(4k+3), 因为k为自然数， 所以3(4+3)总能被3整除， 所以(2k+3)2-42的值总能被3整除. 故选：B. 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是利用平方差公式分解因式. 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2,点D在BC上，∠ADC=2∠B,AD=V5,则BC的长为() A.3-1 B.3+1 C.5+1 D.5-1 【考点】勾股定理 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出CD,根据三角形的外角的性质得到∠B=∠BAD,求出BD,计算即可. 【解答】解：：∠C=90°，AC=2,AD=V5, .CD=V√AD2-AC2=1, ,∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD, ∴.∠B=∠BAD, ..DB=AD=V5, ∴.BC=BD+CD=V5+I, 故选：C. 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，堂握如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么 2+b2=c2是解题的关键. 5.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线 上一点，下列结论：①BE平分∠CBF:②DE=AF:③BC=FB:④PF=PC.其中正确结论的个数为() D E C A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】平行四边形的性质：等腰三角形的判定与性质 【答案】D 【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案， 【解答】解：，BC=EC, ∴.∠CEB=∠CBE, ,四边形ABCD是平行四边形， DC∥AB, ∴.∠CEB=∠EBF, ∴.∠CBE=∠EBF, ∴.BE平分∠CBF,①正确： ,BC=EC,CF⊥BE, ∴.∠ECF=∠BCF, ∴.CF平分∠DCB,②正确： ,DC∥AB, .∠DCF=∠CFB, ,∠ECF=∠BCF, ∴.∠CFB=∠BCF, 2 ∴BF=BC, ∴③正确： ,FB=BC,CF⊥BE, ∴.B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC, ∴.PF=PC,故④正确. 故选：D. D E A F B P 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等 腰三角形的性质是解题关键. 6.定义：△ABC中，一个内角的度数为α，另一个内角的度数为β，若满足+2邱=90°，则称这个三角形为“准直 角三角形”.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,D是BC上的-·个动点，连接AD,若△ABD 是“准直角三角形”，则CD的长是() B 0 A.号 4 B.13 13 C.3 D. 【考点】勾股定理. 【答案】C 【分析】作DMLAB于M.分两种情形：①设∠BAD=a,∠B=B,当a+2邱=90°时：②设∠BAD=B,∠B =,当a+2邱=90°时，分别求解即可. 【解答】解：作DM⊥AB于M.设∠BAD=C,∠B=B. ①设∠BAD=a,∠B=B,当+2B=90°时， .'a+B+∠DAC=90°， ∴.∠DAC=B=∠B, .∠C=∠C, ∴.△CAD∽△CBA, ..AC2=CD.CB, C0=号>6（含去）： ②设∠BAD=B,∠B=,当+2B=90°时， ,a+β+∠DAC=90°， ∴.∠DAC=∠DAB, DM⊥AB,DC⊥AC, ..DM=DC, 3 ,∠DMA=∠C=90°，DM=DC,AD=AD, .Rt△ADC≌Rt△ADM(HL), ∴.AM=AC=8, .∠C=90°，AC=8,BC=6, ..AB=VACZ BCZ=V82+6Z=10, .BM=10-8=2, 设BD=x,则CD=DM=6-x, 在Rt△BDM中，则有x2=(6-x)2+22, 解得=9 CD=6-10=8 3=31 故选：C. A B D 【点评】本题考查的是勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于选择题巾的压轴题. 二.填空题（共10小题） 7.在平行四边形ABCD中，如果∠A+∠C=110°，则∠B=125° 【考点】平行四边形的性质， 【答案】125° 【分析】根据平行四边形的性质可得∠A=∠C,∠B=∠D,再根据四边形内角和定理求解即可. 【解答】解：四边形ABCD是平行四边形， .∠A=∠C,∠B=∠D, ,∠A+∠C=110°， .∠A+∠B+∠C+∠D=360°， ∠B=360°≥10°=125， 2 故答案为：125° 【点评】本题考查了平行四边形的角度问题，学握平行四边形的性质、四边形内角和定理是解题的关键。 8.函数=+中，自变量x的取值范围是≥-2且x≠3 x-3 【考点】函数自变量的取值范围. 【答案】x≥-2且x≠3 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围. 【解答】解：一零中自变量x的取值范围是x之2且x≠3： 故答案为：x≥-2且x≠3. 【点评】本题考查了函数自变量的范围，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数：当函数表达式是分式时， 考虑分式的分母不能为0：当函数表达式是二次根式时，被开方数非负. 4 9.若关于x的分式方程，x=3和 2的解是非负数，则a的取值范围是_a之-且Q≠号。 .2 星x-1=2x-2 【考点】分式方程的解：解一元一次不等式 【答案】a之-粗a*子 ,2 【分析】将分式方程转化为整式方程，求解得到x关于α的表达式，再根据解为非负数和分母不为零的条件，确 定a的取值范围即可， 【解答】解：原方程化为：x一=2-) X 3a -2, 去分母可得：2x=3a-4(x-1), 解得：x=3a+4 6 3a+4 由解为非负数得： 6≥0，即3a+4≥0， 解得a2-专 又x≠1， 30+1,即346 解得：a中号 故答案为：a之-组a*导 【点评】本题考查了分式方程的特殊解，熟练掌握运算法则是解题的关键。 10.如果一个菱形的两条对角线长分别为12cm和16cm,那么它的周长为40cm. 【考点】菱形的性质. 【答案】40. 【分析】根据菱形的性质得BO=BD=6cm,A0=4C=8cm,AC⊥BD,再利用勾股定理求出AB,即可得出周 长 【解答】解：如图，在菱形ABCD中，BD=12cm,AC=16cm, 0 B :.BO=BD=6cm,AO=TAC=8cm,ACLBD, 在Rt△ABO中，由勾股定理得，AB=√A02+B0z=V62+8Z=10(cm), ∴.菱形ABCD的周长为10×4=40(cm), 故答案为：40. 【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键. I1.如图，在菱形ABCD中，∠BCD=II0°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足，连接DF,则∠CDF 的度数为15° 【考点】菱形的性质：线段垂直平分线的性质. 【答案】15°. 【分析】由菱形的性质可得∠BCD=∠BAD=I10°，∠BCA=∠ACD=55°=∠BAC=∠CAD,AB=AD,∠ADC =70°，由“SAS”可证△ABF≌△ADF,可得BF=DF=AF,可求∠ADF=55°，即可求解. 【解答】解：如图，连接BF, D ,四边形ABCD是菱形， ∴.∠BCD=∠BAD=1I0°，∠BCA=∠ACD=55°=∠BAC=∠CAD,AB=AD,∠ADC=70°， :EF垂直平分AB, ..AF=BF, 在△ABF和△ADF中， (AB=AD ∠BAF=∠DAF, AF=AF ∴.△ABF≌△MDF(SMS), ∴.BF=DF, ..AF=DF, ∴.∠FAD=∠ADF=55°， ∴.∠CDF=∠ADC-∠ADF=15°， 故答案为：15°. 【点评】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明 △ABF≌△ADF是解题的关键， 12.如图所示，在R△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,N是边BC上一点，M是边AB上的动点，点D,E 分别为CN,MN的中点，则DE的最小值是-亏· C E M 【考点】三角形中位线定理。 【答案】 6 6 【分析】当CMLAB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积求出 CM,再求出答案即可. 【解答】解：连接CM, ,点D、E分别为CN,MN的中点， :.DE=CM. 当CMLAB时，CM的值最小，此时DE的值也最小， 由勾股定理得：AB=VAC2+BCZ=V32+42=5, SARC=TAB-CM-AC-BC, Ck号 ∴DE=2CM=号 故答案为： 6 E A M B 【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线 等于第三边的一半. I3.如图任意四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，当四边形ABCD满足条件AB =CD时，四边形EGFH是菱形.（填一个使结论成立的条件） E A H B 分 C 【考点】菱形的判定：三角形中位线定理. 【答案】AB=CD 【分析】E、G分别是AD,BD的中点，那么EG就是三角形ADB的中位线，同理，HF是三角形ABC的中位线， 因此EG、证同时平行且相等于B,因此EG抓，因此四边形EG是平行四边形，E、H是D,AC的中 点，那么EH=CD,要想证明EHFG是菱形，那么就需证明EG=EH,那么就需要AB、CD满足AB=CD的条 件. 【解答】需添加条件AB=CD. 证明：，点E,G分别是AD,BD的中点， ∴EGI AB,且EG=AB同理HF∥AB,且HF=B, ..EG-HF. .四边形EGFH是平行四边形. EG=HAB, 1 又可同理证得EH=CD, .AB=CD, ∴.EG=EH, ∴.四边形EGFH是菱形 故答案为：AB=CD. 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理与菱性的判定方法，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论 依据，常用三种方法：①定义：②四边相等：③对角线互相垂直平分. 14.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B(6,2),C(4,0), 直线y=2+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过6秒该直线可将平行四边形OABC分成面积 相等的两部分。 y=2x+1 【考点】一次函数图象与几何变换：平行四边形的性质. 【答案】6 【分析】首先连接AC、BO,交于点D,当y=2x+1经过D点时，该直线可将口OABC的面积平分，然后计算出 过D且平行直线y=2+1的直线解析式，从而可得直线y=2x+1要向下平移6个单位，进而可得答案. 【解答】解：连接AC、BO,交于点D,当y=2+1经过D点时，该直线可将口OABC的面积平分： ,四边形AOCB是平行四边形， ∴.BD=OD, B(6,2),点C(4,0), .D(3,1), 设DE的解析式为y=a+b, .平行于y=2+1, ∴.k=2, .过D(3,1), ∴.DE的解析式为y=2x-5, ∴直线y=2+1要向下平移6个单位， .时间为6秒， 故答案为：6 y y=2x+1 y=kx+b E 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线 平分平行四边形的面积， 15.如图，在口ABCD中，AB=8,以点D为圆心作弧，交AB于点M、N,分别以点M、N为圆心，大于二MN为 半径作弧，两弧交于点F,作直线DF交AB于点E,若∠BCE=∠DCE,DE=4,则四边形BCDE的周长是_22· D C B 【考点】作图一基本作图：平行四边形的性质。 【答案】22. 【分析】设AE=x,则BE=8-x,根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定得出BC=BE=8-x,得出AD= 8-x,再根据勾股定理求出x,即可解答. 【解答】解：在口ABCD中， ,AB∥CD, ∴.∠DCE=∠CEB, 又∠BCE=∠DCE, ∴.∠BEC=∠BCE, ..BE=BC, 设AE=x,则BE=BC=AD=8-x: 由作图可知DE⊥AB,即∠AED=90°， 在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2, 即：x2+42=(8-x)2,解得：x=3, ∴.BE=BC=5, ∴.BC+BE+DE+CD=5+5+4+8=22, ∴.四边形BCDE的周长为22. 【点评】本题考查平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定，勾股定理，用同一个未知数表示出AE、 AD是关健， 15 16.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3,BC=4,将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为一4-· E 【考点】翻折变换（折叠问愿）：矩形的性质. 【容案】空 【分析】连接BD,B,DF,由翻折可得，EF垂直且平分BD,BF=DF,BE=DE,∠BFE=∠DFE,进而可 证明四边形BEDF为菱形，在Rt△BCD中，BD=VBCZ+CDz=5,设BF=x,则CF=BC-BF=4-x,在Rt 11 1 △CDF中，由勾股定理可求得x,结合2S菱翻EDF=SaB0F,吃×乞EF,BD=乞BF,CD,可求得EF. 【解答】解：连接BD,BE,DF, E B 由翻折可得，EF垂直且平分BD,BF=DF,BE=DE,∠BFE=∠DFE, 9 .四边形ABCD为矩形， ∴.AB=CD=3,∠C=90°，AD∥BC, .∠DEF=∠BFE, ∴.∠DEF=∠DFE, 即IDE=DF, ∴.DE=BE=BF=DF, 则四边形BEDF为菱形. 在Rt△BCD中， BD=BC2 CD2 =5, 设BF=x,则CF=BC-BF=4-x, 在Rt△CDF中，由勾股定理可得， x2=(4-x)2432, 解得x=空 )S菱EDF=SADP 2xER·BD=Br.CD, 22 *Fx5=方×曾×3 1.25 解得F=华 故答案为：号 【点评】本题考查翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、菱形的性质、勾股定理，熟练学握翻折的性质是解答本 题的关键. 三.解答题（共7小题） 17.解分式方程： (1)2=3 、=一： x-3 x' (2)5x 1 =1. x-4+4=x 【考点】解分式方程. 【答案】(1)x=9: (2)无解. 【分析】利用解分式方程的步骤解方程即可. 【解答】解：(1)原方程去分母得：2x=3(x-3), 去括号得：2x=3x-9, 移项，合并同类项得：~x=-9, 系数化为1得：x=9, 检验：将x=9代入x(x-3)得9×6=54≠0， 故原方程的解为x=9: (2)原方程去分母得：5-x-1=x-4, 移项，合并同类项得：-2x=-8, 系数化为1得：x=4, 检验：将x=4代入（x-4)得4-4=0， 则x=4是分式方程的增根， 故原方程无解. 10 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键。 18.将下列各式因式分解 (1)2x3y-8y: (2)(x2+4)2-162. 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)首先提取公因式2y,进而利用平方差公式分解因式得出答案： (2)直接利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式即可. 【解答】解：(1)原式=2y(x2-4) =2y(x+2)(x-2): （2)(x2+4)2-16x2 =(x2+4-4x)(x2+4+4x) =(x-2)2(+2)2. 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键 19。先化简，再求值：(a-1-a品)÷2。+4请在-1,0,2中选择一个合适的数代入求值。 【考点】分式的化简求值. 【答案1号 原式=-1. 【分析】先算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件选用α=0代入，即可求解. +1-a中]+a=22 【解答】解：原式=[(a+-a+1_3 a+1 =a(a+1)-(a+1)-3xa+ a+1 (a-2)2 =a2+a-a-1-3x,a+1 a+1 (a-2)2 =苏 =a+2)(a-2) (a-2)2 =Q+2 -a-2 ,a1≠0，a-2≠0， .a≠-1，a≠2， ∴.只能选a=0, 当a=0时，原式=8号=马=-1. 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键。 20.将a克糖放入水中，得到6克糖水，此时糖水的含糖显我们可以记为号(b>>0)。 (1)【操作发现】再往杯中加入m(m>0)克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示 为+m b+m 之8填“>”“<”或“=： 一b (2)【探究论证】请证明（1)中的结论正确. 【考点】分式的混合运算. 【答案】(1)>： (2)证明过程见解答. 11 【分析】（1)根据生活中的经验，即可解答： (2)利用作差法进行比较，即可解答 【解答】解：(1)【操作发现】再往杯中加入m(m>0)克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系 式可以表示为a+m>4 bimb 故答案为：>： (2)证明： a+m a b(a+m)a(b+m)bm-am m(b-a) b+m bb(b+m)b(b+m) b(b+m)b(b+m) .'m>0,b>a>0, ∴.b-a>0,b+m>0, 即m(6-a b(b+m) Z0, atm a >0, b+m b .a+m .'b+m 【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关健 21.四边形ABCD是矩形，点E是边BC的延长线上一点，连接AC,DE,BE=AC. D D B B C 图1 图2 备用图 (1)如图1，若∠ACB=40°，求∠E的度数： (2)如图2，点E在边BC的延长线上，若M是DE的中点，连接AM,CM,AM与CD交于点N. ①求证：AM⊥MC: ②若AB=3,BC=4,求AN的值. 【考点】四边形综合题 【答案】(1)70°： (2)①如图，延长CM交AD延长线于G, D -G M B ,四边形ABCD是矩形， ∴AG∥BE,BC∥AD, ∴.∠MDG=∠MEC,∠MGD=∠GCE, ,M是DE的中点， ∴.DM=EM, 在△DMG和△EMC中， I∠MDG=∠MEC ∠MGD=LGCE, DM=EM ∴.△DMG≌△EMC(AAS), 12 ∴.DG=EC,MG=MC, ∴AD+DG=BC+CE,即AG=BE, .BE=AC, ∴.AG=AC, 又.MG=MC, ∴.AM⊥MC: @jV16. 【分析】(I)如图，连接BD与AC交于点O,根据矩形的性质：AC=BD,OB=OC,可得∠DBC=∠ACB=40°， 由BD=BE得出∠E=∠BDE,可得结论： (2)①如图，延长CM交AD延长线于G,证明△DMG≌△EMC(AAS),得AG=AC,根据等腰三角形三线 合一即可得证： ②根据等腰三角形三线合一性质可得∠FAN=∠DAN,如图，过点N作NF⊥AC于点F,根据矩形的性质及勾 股定理得∠ADC=∠B=90°=∠AFN,DC=AB=3,AD=BC=4,AC=VBC2+ABZ=5,根据角平分线的性 质得NF=ND,证明△AFWN≌△ADN(AAS)得AF=AD=4,CF=AC-AF=1,根据勾股定理得CF2+FW2=CNP, 求出DN=专然后再根据勾股定理计算AN=VAD2+DN即可. 【解答】(1)解：如图，连接BD与AC交于点O, D B C ,四边形ABCD是矩形，∠ACB=40°， ∴.AC=BD,OB=OC, ∴.∠DBC=∠ACB=40°， .BE=AC, ∴BD=BE, ∴.LE=∠BDE=2(180°-LDBC)=2×(180°-40)=70， 即∠E的度数为70°： (2)①证明：如图，延长CM交AD延长线于G, D -；G M B C ,四边形ABCD是矩形， ∴.AG∥BE,BC∥AD, ∴.∠MDG=∠MEC,∠MGD=∠GCE, ,M是DE的中点， ∴.DM=EM, 在△DMG和△EMC中， (LMDG=∠MEC LMGD=∠GCE, DM=EM 13 .∴.△DMG≌△EMC(AAS), ∴.DG=EC,MG=MC, AD+DG=BC+CE,即AG=BE, .BE=AC, ∴AG=AC, 又.MG=MC, ..AMLMC: ②解：由①知：AG=AC,MG=MC, .AM平分∠DAC, ∴.∠FAW=∠DAN, 如图，过点N作NF⊥AC于点F, D B 四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4, .∠ADC=∠B=90°=∠AFN,DC=AB=3,AD=BC=4, ..AC=BC2 ABZ=V42+32=5, ,AM平分∠DAC,NF⊥AC,∠ADC=90°，即ND⊥AD, ..NF=ND, 在△AFN和△ADN中， (LFAN=∠DAN ∠AFN=∠ADN, (AN =AN ∴.△AFN≌△ADN(AAS), ..AF=AD=4, .CF=AC-AF=5-4=1, 在Rt△CFN中，CF2+FN2=CN2, ∴.12+DW2=(CD-DW)2,即12+DW2=(3-DN)2, 解得：DN=季 在R△ADN中，AN=D2+D=+5=等而， 即N的值为号V而。 【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，勾股定理， 全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键. 22.己知：如图，在R1△ABC中，∠BAC=90°，E,F分别是BC,AC的中点，延长线段BA到点D,使得AB= 2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O. (1)求证：AF与DE互相平分： (2)若AB=6,BC=10,求DE的长. 14 D ⊙ 【考点】平行四边形的判定与性质：直角三角形斜边上的中线：三角形中位线定理. 【答案】(1)证明见解析： (2)DE=2V13. 【分析】(1)结合己知条件推知四边形AEFD是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分： (2)根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度，即可求得DE的长. 【解答】(1)证明：，E、F分别是BC、AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB且EF=2AB, 又AB=2AD,即AD=2AB, .AD∥EF,AD=EF, ∴.四边形AEFD是平行四边形， ∴AF与DE互相平分： (2)解：在R1△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,BC=10, ∴.由勾股定理得AC=VBC2-AB2=V102-62=8, 又由(1)知，OA=OF,且AF=CF, ∴.0A=2AF=1AC=2, 在△A0D中，∠DA0=90°，AD=2AB=3,0A=2, ∴.由勾股定理得D0=VDA2+0A=V32+2z=V13, ∴.DE=2D0=2V13. 【点评】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三 边，且等于第三边的一半是解题的关键， 23.如图，∠MON=90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，AB=13,OB=5,E为AC上一点，且 ∠EBC=∠CBN,直线DE与ON交于点F. (1)求证：BE=DE: (2)判断DF与ON的位置关系，并说明理由： (3)△BEF的周长为24. M D N F B 【考点】正方形的性质：全等三角形的判定与性质. 【答案】见试题解答内容 15 【分析】(I)利用正方形的性质，即可得到△BCE≌△DCE(SAS),根据全等三角形的性质即可得到BE=DE. (2)依据∠EDC=∠CBN,∠EDC+∠1=90°，∠1=∠2，即可得出∠2+∠CBN=90°，进而得到DF⊥ON: (3)过C作CG⊥ON于G,过D作DH⊥CG于H,则∠CGB=∠AOB=90°，四边形DFGH是矩形，利用全 等三角形的对应边相等，即可得到DF=HG=17,GF=DH=5,BF=BG-GF=7,进而得出△BEF的周长. 【解答】解：(1)，四边形ABCD是正方形， ∴.CA平分∠BCD,BC=DC, ∴.∠BCE=∠DCE=45°， .CE=CE, ∴.△BCE≌△DCE(SAS), ∴.BE=DE. (2)DF⊥ON,理由如下： .'△BCE≌△DCE, ∴.∠EBC=∠EDC, .∠EBC=∠CBN, ∴.∠EDC=∠CBN, ,∠EDC+∠1=90°，∠1=∠2， ∴.∠2+∠CBN=90°， ∴.∠EFB=90°，即DF⊥ON; (3)如图所示，过C作CG⊥ON于G,过D作DH⊥CG于H,则∠CGB=∠AOB=90°，四边形DFGH是矩 形， 又，∠ABC=90°， ∴.∠ABO+∠BAO=90°=∠ABO+∠CBG, .∠BAO=∠CBG, 又，AB=BC, ∴.△ABO≌△BCG(AAS), ∴.BG=A0=V132-5z=12,CG=B0=5, 同理可得△CDH≌△BCG, ..DH=CG=5,CH=BG=12, ∴.HG=5+12=17, ∴.DF=HG=17,GF=DH=5, ∴.BF=BG-GF=12-5=7, ∴.△BEF的周长=BF+EF+BE=BF+EF+DE=BF+DF=7+17=24, 故答案为：24. M G N B 16 M D A 2 B 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形， 在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形， 17