浙江杭州学军中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

《杭州学军中学2025学年第二学期期中考试高二数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C A D B C ABC ABD 题号 11 答案 AD 1．B 【详解】因为，所以根据组合数的性质可得： 或者，解方程得： 或者. 因为，所以. 那么. 故选：B. 2．C 【详解】对于A，，，A，B不独立，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，则，D错误. 3．D 【详解】因为，由片段和性质得， 即解得，即. 4．C 【详解】先安排队头有种排法，再安排队尾有种排法，然后安排4名女同学有种排法，最后在4名女同学中安排剩下男同学有种排法，根据分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为． 5．A 【详解】根据回归直线过样本中心点，代入得： ，所以原个样本的值总和为：， 去掉后，剩余个样本的值总和为：，值总和为： 因此新的样本中心点为：， 因为新的经验回归方程为，回归直线必过新的样本中心点，代入得： ，解得：. 6．D 【详解】因为，所以， 又因为解得， 所以， ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D. 7．B 【详解】方法一：由题意知， 设，因为的个位数字分别为， 所以的个位数字之和为， 所以的个位数字为5， 所以的个位数字为5. 方法二：由题意知 ， 又由二项式定理知是7的倍数， 所以是10的倍数. 又由二项式定理知， 所以的个位数字与的个位数字相同， 同理，， 所以的个位数字与的个位数字相同， 可得的个位数字为5. ，且是10的倍数，其个位数字为0，所以的个位数字与的个位数字相同，即为5. 综上，十进制数m的个位数字为5. 8．C 【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图， 因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最小值为． 9．ABC 【详解】依题意，，所以， 所以，A选项正确. 越大，正态分布的最高点越矮，远离的数据越多， 越小，B选项正确. 根据正态分布的对称性可知，C选项正确. ，D选项错误. 故选：ABC 10．ABD 【详解】对于A，设点对应圆上折点为则，原圆半径为4，故，因此： ， 由椭圆定义，曲线是以为焦点的椭圆，其中，， 得，，， 离心率，A正确； 对于B，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 则，椭圆方程为， 设，则， 代入得： ，，故最小值为，B正确； 对于C，由正弦定理，中，得， 根据椭圆性质，当为短轴端点时，最大，此时为等边三角形， ，，故，C错误； 对于D，内切圆半径满足，半周长， 面积，故， 最大值为，故，D正确. 11．AD 12． 【详解】由题意知，故切线的斜率，而切点为， 故切线方程为. 故答案为： 13． 【详解】圆的圆心为，半径， 由点在圆上知，，， 所以. 则， 由的值与，无关，可得恒成立， 即恒成立，从而得. 令，即， 易知直线与圆有公共点， 则，解得，故， ，故的取值范围是. 故答案为： 14． 【详解】当时，， 当时，， 两式相减，得， 当为偶数时，，显然适合， 当为奇数时， ， 所以， 所以当为偶数时，此时数列单调递增，， 而，所以； 当为奇数时，，显然此时数列单调递减， ，而，所以. 因为实数满足对恒成立， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 15．【详解】（1）零假设为：对活动的评价与性别无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对活动的评价与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. （2）的所有可能取值为0，1，2， ， 故的分布列为 0 1 2 . 16．【详解】（1）当时，， 则， 即， 由于，所以， ，解得，， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，得证， 即. （2）由（1）知，， 所以， 则 即， 又因为，所以，故得证. 17．【详解】（1）在梯形中，于点，故翻折后，， 又因为平面，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）在梯形中，因为，，，，于点，于点， 所以四边形为矩形，且，，，. 取的中点，连接，则，且， 因为平面，平面，故，所以，，两两垂直. 所以以为原点，过点与平行的直线为轴，以直线为轴，以直线为轴，建立空间直角坐标系如下图所示， 所以，，，，， 因为四边形为矩形，所以与的交点到，，，的距离相等， 所以四棱锥外接球的球心在过且与平面垂直的直线上， 设，外接球的半径为，由，得，解得， 所以，所以四棱锥外接球的表面积. （3）由（2）得，，， 设平面的法向量为， 则，则， 令，得一个法向量， 设平面的法向量为， 则，则， 令，得一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则，所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．【详解】（1）因为函数，所以的定义域为 令，则，注意到为增函数，且， 所以当时,，单调递减； 当时,，单调递增； 所以当时,有极小值 2，无极大值. （2）由题意可知对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，则 设，则 因为在区间上单调递增，所以 则在区间上单调递增，所以则 所以在区间上单调递增， 所以，所以. （3）由题意可知有唯一解， 设 注意到，当时,；当时, 所以至少有一个解. 因为有唯一解，所以有唯一解， 设，因为，所以为单调函数， 则恒成立， 设，则恒成立, 则 所以在区间上单调递增， 注意到所以当时,单调递减； 当时,单调递增； 故只需即可， 所以 19．【详解】（1）    设的右顶点，右焦点， 由得， 又，又是整数，且， 所以， 所以的方程为. （2）      （i）证明：由（1）知， 由题意可设直线的方程为，. 联立方程得， 则， 直线的方程为的方程为， 所以 ， ，即点坐标为， 所以点在定直线上.    （ii）解：因为直线与直线交于点， 同样可求得直线与直线交于点. ， ， ， 所以，当且仅当时取等号， 又点到直线的距离为3， 所以面积的最小值为9. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：叶燕忠 审题人：顾侠 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1．若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 2．一个袋中有大小与质地完全相同的红、黄､蓝三个球，从袋中依次随机不放回地摸出两个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（    ） A．A，B相互独立 B． C． D． 3．等比数列前n项和为，则的值为（    ） A．83 B．108 C．75 D．63 4．3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．240 B．364 C．432 D．468 5．现有10个样本数据，，…，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（   ） A．1 B． C． D．2 6．随机变量的分布列如表：则的取值范围是（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 7．在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0~7这八个数字来表示数值.例如，八进制数2051换算成十进制数是.那么八进制数换算成十进制数m，则十进制数m的个位数字为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知直线与焦点为的抛物线相交于，两点，且，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分． 9．已知则（    ） A． B．若越大，则越小 C． D． 10．现有一半径为的圆纸片（为圆心为圆内的一定点)，且如图将圆折起一角，使圆周正好过点把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到两点距离之和最小的点为如此往复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线为曲线C上任意一点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的离心率是 B．的最小值为2 C．外接圆半径的最小值是 D．内切圆半径的最大值是 11．已知正四棱台的侧面积为9，，，为AD的中点，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则（   ） A．正四棱台的体积为 B．动点的轨迹长度为 C．过，，三点的平面截该正四棱台所得截面的周长为 D．棱长为的正四面体可以在该棱台内随意转动 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在处的切线方程是__________. 13．圆上任意一点，若的值与，都无关，则实数的取值范围为__________. 14．已知数列的前项和，若实数满足对恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（13分）某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的480名同学进行了问卷调查，得到如下列联表： 对活动的评价 满意 不满意 合计 男生 240 40 280 女生 120 80 200 合计 360 120 480 (1)根据小概率值的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关； (2)在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的原因，记选中的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分）记数列的前项和为，已知． (1)证明是等差数列，并求； (2)记数列的前项和为，证明：． 17．（15分）如图，在梯形中，，，，，于点，于点，将沿翻折，将沿翻折，使得点重合为点. (1)证明：平面平面； (2)求四棱锥外接球的表面积； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）已知函数. (1)求的导函数的极值； (2)不等式对任意恒成立，求k的取值范围； (3)对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围. 19．（17分）已知点在双曲线上，是的左､右顶点，是的右焦点，，且是整数. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的直线与的右支交于两点，直线与直线交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）若直线与直线交于点，求面积的最小值. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $