专题——解二元一次方程组2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题 解二元一次方程组 姓名：___________班级：___________ 方法1：代入消元法（最基础，适用于有未知数系数为1或-1的方程组） 1. 表：从方程组中选一个系数较简单（最好为1或-1）的方程，将其中一个未知数表示为另一个未知数的式子 2. 代：将表示好的式子代入另一个未变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3. 解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4. 验：将求出的未知数的值代入第一步表示的式子中，求出另一个未知数的值； 方法2：加减消元法（适用于未知数系数有倍数关系或可通过乘除转化为相同/相反的方程组） 1. 化：观察两个方程中同一个未知数的系数，若不相同也不相反，可通过乘一个适当的数，使该未知数的系数变为相同或相反； 2. 消：将两个方程相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程； 3. 解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4. 验：将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值； 知识点1：代入法解方程 1、 用代入消元法解方程组 （1） ； （2） (3) (4) 知识点2：加减法解方程 2、 用加减消元法解方程组 (1) ． （2） (3)． (5) 知识点3：用合适的方法解方程 3、 用恰当的方法解方程组 （1） ​ （2） （3） (4) （5） 知识点4：整体代入解方程 4、【注重阅读理解】先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组： 由，得． 把代入，得，解得． 把代入，得． 原方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 5、已知：，是常数，若二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是______． 6．我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 知识点5：新定义题型 7、【阅读材料】以下是小颖在求解方程组的解题过程： 解：，得，化简得③， ，得，化简得④， ，得，解得， ，得，解得， 所以原方程的解为． 如果一个方程组中，两个方程相加时两个未知数的系数相等，两个方程相减时两个未知数的系数互为相反数；或者两个方程相加时两个未知数的系数互为相反数，两个方程相减时两个未知数的系数相等，那么我们称这样的二元一次方程组为“系数友好方程组”，称小颖的解法为“循环加减法”． 【解决问题】 (1)方程组 （填“是”或“不是”）“系数友好方程组”． (2)如果（1）中的方程组是“系数友好方程组”，请用“循环加减法”解该方程组．如果不是，请选择适当的方法解该方程组． 8．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”． (1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值； (2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 解二元一次方程组 姓名：___________班级：___________ 方法1：代入消元法（最基础，适用于有未知数系数为1或-1的方程组） 1. 表：从方程组中选一个系数较简单（最好为1或-1）的方程，将其中一个未知数表示为另一个未知数的式子 2. 代：将表示好的式子代入另一个未变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3. 解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4. 验：将求出的未知数的值代入第一步表示的式子中，求出另一个未知数的值； 方法2：加减消元法（适用于未知数系数有倍数关系或可通过乘除转化为相同/相反的方程组） 1. 化：观察两个方程中同一个未知数的系数，若不相同也不相反，可通过乘一个适当的数，使该未知数的系数变为相同或相反； 2. 消：将两个方程相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程； 3. 解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4. 验：将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值； 知识点1：代入法解方程 1、 用代入消元法解方程组 （1）； 【详解】（1）解： 将①代入②得， 解得 将代入①得， ∴方程组的解为； (2) 【详解】（2）解： 由②，得③． 把③代入①，得． 解这个方程，得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解为； (3) （3）解： 由①，得③． 把③代入②，得． 解这个方程，得． 将代入③，得． 所以这个方程组的解是． (2) （2）解： 整理得， 将②代入①得， 解得 将代入②得， ∴方程组的解为． 知识点2：加减法解方程 2、 用加减消元法解方程组 (1)． 【详解】解： 得，， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴该方程组的解为． （2) 【详解】解：， 由得， 把代入得， 整理得， 解得 把代入得， 原方程组的解为． (3)． 【详解】（3）解：， 整理，得， ①②，得， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为． (4) 【详解】（4）解： 由②得：③ ①-③得： 解得：④ 把④代入①得：⑤ ④+⑤得： 解得， 把代入④得： 所以方程组的解为 知识点3：用合适的方法解方程 3、 用恰当的方法解方程组 (1) ​ 【详解】解：， 由得， 把代入得， 整理得， 解得， 把代入得， 原方程组的解为； (2)； ． 【详解】（2）解： 由得，，解得， 将代入①得， ∴原方程组的解为； (3)； 【详解】（3）解：， 把①代入②，得， 去括号，得， 解得：， 把代入①，得， 方程组的解为； (4) [详解]（4）解：原方程组整理为， 得， 解得， 把代入得， 解得， 原方程组的解为； （5） 解：， ①得 ③， ②③得， 解得， 把代入②得， 解得， 原方程组的解是． 知识点4：整体代入解方程 4、【注重阅读理解】先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组： 由，得． 把代入，得，解得． 把代入，得． 原方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，把方程变形可得：，整体代入方程消去未知数，可得：，再把代入方程求出的值即可． 【详解】解：， 由可得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为． 5、已知：，是常数，若二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】利用换元法将待求解方程组变形为与已知方程组结构相同的形式， 根据已知方程组的解得到关于新未知数的等量关系，求解即可得到结果． 【详解】解：设，，则待求解方程组可化为， 将方程组两边同时除以，得， 已知二元一次方程组的解是， ∴， 解得， 即， 解得． 6．我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：设， 则原方程组可化为， ， 解得：； （2）设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解得：， ， 解得． 知识点5：新定义题型 7、【阅读材料】以下是小颖在求解方程组的解题过程： 解：，得，化简得③， ，得，化简得④， ，得，解得， ，得，解得， 所以原方程的解为． 如果一个方程组中，两个方程相加时两个未知数的系数相等，两个方程相减时两个未知数的系数互为相反数；或者两个方程相加时两个未知数的系数互为相反数，两个方程相减时两个未知数的系数相等，那么我们称这样的二元一次方程组为“系数友好方程组”，称小颖的解法为“循环加减法”． 【解决问题】 (1)方程组 （填“是”或“不是”）“系数友好方程组”． (2)如果（1）中的方程组是“系数友好方程组”，请用“循环加减法”解该方程组．如果不是，请选择适当的方法解该方程组． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）根据“系数友好方程组”的定义判断即可； （2）根据“循环加减法”解方程组即可． 【详解】（1）解：∵，得，两个未知数的系数互为相反数， ，得，两个未知数的系数相等， ∴方程组是“系数友好方程组”． （2）解：，得，化简得③， ，得，化简得④， ，得，解得， ，得，解得， ∴原方程组的解为． 8．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”． (1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值； (2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1)的值为； (2)的值为或． 【分析】（）先解方程与方程，然后根据“和方程”可得，进而问题可求解； （）设另一个方程的解为，由题意得，则或，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：， ， ； ， ， ， ， ∵关于的方程与方程是“和方程”， ∴， ， ， ， ∴的值为； （2）解：设另一个方程的解为， ∵“和方程”的两个方程解的差为， ∴， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $