2026年中考数学冲刺复习 专题03 统计和概率问题（八大题型）

专题03 统计和概率问题 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】全部调查与抽样调查 【题型二】总体、个体、样本、样本容量 【题型三】平均数、中位数、众数 【题型四】频数发布直方图 【题型五】几何面积求概率 【题型六】画树状图或列表法求概率 【题型七】由频率估计概率 【题型八】统计与概率综合问题 ：统计和概率综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．从考点频率看：统计部分以数据特征（平均数、中位数、众数、方差）和统计图（条形图、扇形图、折线图）为主，年均2-3题，占分8-12分；概率侧重简单事件计算（树状图/列表法）及用频率估计概率，年均1题，占分3-4分。 2．从题型角度看：选择、填空多考基础概念（如统计量计算、概率值）；解答题常结合实际情境，如分析统计图信息、设计抽样方案或计算概率（如两步试验概率）。 ：1.基础强化：熟练掌握统计量公式（如方差）、统计图解读及概率计算步骤（如树状图法）。 2.易错突破：注意统计图表的单位、数据范围，避免概率计算时遗漏结果。 3.实战训练：通过真题强化应用题（如用样本估计总体），掌握“先易后难”答题节奏。 4.技巧提升：解答题规范步骤（如概率题需列举所有可能结果），灵活运用“排除法”“代入法”解题。 【题型一】全部调查与抽样调查 【例1】（2026·河南周口·二模）要调查下列问题，适合采取全面调查的是（   ） A．调查黄河的水质情况 B．《河南新闻联播》的收视率 C．国产航空母舰入役前的零部件检查 D．调查一批新郑小枣的甜度情况 本题考查了全面调查与抽样调查的应用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．逐项判断即可． 【例2】（2026·江苏扬州·一模）下列说法不正确的是（   ） A．调查一批电池的使用寿命，适宜采用普查的方式 B．经过一个路口时，遇到绿灯是随机事件 C．了解手机已用存储空间占总内存空间的百分比，适宜采用扇形统计图 D．若甲组数据的方差大于乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 【变式1】（2026·重庆·一模）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．手术前检查各项医疗器械是否准备妥当 B．调查某批蔬菜种子的发芽率 C．调查重庆高新区范围内一纵线车流量 D．调查2026年春节联欢晚会收视率 【变式2】（2026·重庆·模拟预测）下列调查中，适用抽样调查的是（   ） A．企业招聘，对应聘人员进行面试 B．检查“神舟二十一号”载人飞船仪器设备的情况 C．调查某种蓝莓的甜度情况 D．了解某班学生的视力情况 【变式3】（2026·山西朔州·一模）下列各项调查中，适合采用抽样调查的是（   ） A．火车站进站前的安全检查 B．调查全班名同学的视力情况 C．长征四号运载火箭执行某次发射任务前的零部件检查 D．调查某地区居民防火安全意识 【题型二】总体、个体、样本、样本容量 【例1】（2026·四川巴中·一模）某班有48名学生参加数学测试，为了了解他们的数学成绩，从中随机抽取了6名考生的数学成绩进行统计分析，利用这6名考生的成绩得到一组数据：75、94、75、81、85、94，据此下列说法正确的是（   ） A．48名考生是总体，6是样本容量 B．这组数据的中位数是78 C．这组数据的众数是75 D．这组数据的方差是62 此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是要分清具体问题中的总体、个体与样本，明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 【例2】（2026·甘肃平凉·一模）让每一位学生都身上有汗、眼中有光、脚上有力、脸上有笑，向着美好未来勇敢前行．某校让“健康第一”从理念变为校园日常，在全校学生中掀起体育锻炼的热潮，现从该校2000名学生每天体育运动时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的运动时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成如图所示的条形统计图，则下列说法错误的是(    ) A．此次调查共抽取了50名学生 B．所抽取学生运动时长为1小时的学生人数是5 C．这个样本的中位数是2小时 D．估计该校运动时长为2小时的学生人数最多 【变式1】（2026·甘肃平凉·一模）平凉市某中学为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开展了“烹饪、园艺、木工、电工”四大类劳动课程．为了解本校1500名学生对每类课程的选择情况，随机抽取了本校300名学生进行调查（每名学生只选一类课程），并绘制了如图所示的扇形统计图，下列说法正确的是（    ） A．此调查属于普查 B．本次调查的样本是300名学生 C．该校1500名学生中约有240人选择“木工”这一类课程 D．选择“烹饪”这一类课程的学生人数占被调查人数的48% 【变式2】（2026·湖南株洲·一模）某市为了解40000名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中2000名学生的身高进行统计分析，下列说法正确的是（   ） A．40000名初中毕业生是总体 B．每名初中毕业生是个体 C．2000名学生是样本容量 D．本次调查属于抽样调查 【变式3】（2026·河南驻马店·一模）下列说法中正确的是（   ） A．为了解驻马店市中学生周末在家干家务活的时间，采用全面调查的方式 B．“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是黑桃”是必然事件 C．一组数据3，5，7，9，10，13的样本容量是6 D．在抽样调查中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 【题型三】平均数、中位数、众数 【例1】（2026·云南·一模）为响应“绿色低碳，节能降耗”号召，某校举办校园节能知识竞赛，九年级（2）班20名参赛学生的成绩（单位：分）如下：82、85、85，90，85，95，85，90，85，80，85，90，95，85，90，80，85，90，85，90．这组数据的众数是（   ） A．80 B．85 C．90 D．95 本题考查了众数和中位数的定义求解即可，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．本题考查了求众数和中位数，理解众数和中位数的定义是解题的关键． 【例2】（2026·浙江衢州·一模）一组数据1，2，3，4，5的方差计算算式是：．下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据3，方差不变 【变式1】（2026·安徽蚌埠·二模）某校举办的“魅力篮球”活动中，有6位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为7，8，7，5，7，8，则下列说法中不正确的是（　　） A．这6位同学投篮进球次数的平均数是7 B．这6位同学投篮进球次数的众数是7 C．这6位同学投篮进球次数的中位数是6 D．这6位同学投篮进球次数的方差是1 【变式2】（2026·河南周口·一模）为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某中学组织了一次国学知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为52，66，50，48，61，54，则这组数据的中位数是______． 【变式3】（2026·辽宁鞍山·一模）某学校招聘数学教师，对应试者进行笔试和面试，若招聘成绩满分为，其中笔试占，面试占，其中一名应试者笔试与面试成绩（百分制）分别为、，则该名应试者的平均成绩为________． 【题型四】频数发布直方图 【例1】（2026·湖南株洲·一模）某班有48位学生，每人抛10次硬币，统计正面向上的次数依次为0，1，2，…，10的人数，得到如图所示的直方图，则这次次数统计的众数和中位数分别是（    ） A．4，5 B．5，5 C．5，6 D．6，6 本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，正确读懂统计图和统计图是解题的关键． 【例2】（2026·上海松江·二模）为了解某年级学生每周课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该年级有600名学生，估计该年级平均每周阅读时长不少于6小时的学生约有______名． 【变式1】（2026·辽宁营口·一模）每年的月日是全国交通安全日．某学校为了增强学生对交通安全知识的掌握，在全校开展了主题为“文明交通，你我同行”的知识竞赛活动．为了解学生竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（成绩为整数），将成绩分成六组：组为，组为，组为，组为，组为，组为，整理并绘制出如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据图表信息解答以下问题： (1)本次调查随机抽取了__________名参赛学生的成绩．在扇形统计图中组所在扇形的圆心角是__________度； (2)补全频数分布直方图，并直接写出学生竞赛成绩的中位数落在__________组； (3)成绩达到分及以上为优秀，若该校有名学生，那么在本次交通安全知识竞赛中，达到优秀的约有多少人？ 【变式2】（2026九年级下·海南海口·专题练习）随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A B C D E 合计 1 根据提供的信息回答问题： (1)本次随机抽样的九年级学生有___________人； (2)学习时间频率分布表中___________，请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； (3)调查所得数据的中位数落在___________组（填组别）； (4)该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生有___________人． 【变式3】（2026·河南信阳·一模）某小区物业为了解小区四月份家庭用水情况，随机调查了40户家庭，并对每户的用水量(单位：)进行收集、整理、描述和分析，过程如下： 【收集数据】随机调查的40户家庭的用水量(单位：m3)如下：                                                                            【整理并描述数据】列出用水量频数分布表，并绘制用水量频数分布直方图： 用水量频数分布表 用水量/ 频数 【分析数据】 40户家庭用水量的平均数、中位数及众数(单位：)如下表： 平均数 中位数 众数 根据以上信息，回答下列问题： (1)上表中a的值为 ． (2)为了鼓励节约用水，小区物业计划确定一个用水量的标准，对四月份用水量不超过这个标准的家庭给予奖励． ①如果家庭用水量的标准定为 ，已知该小区共户家庭，请估计获奖家庭有多少户； ②要使小区一半左右的家庭获奖，你认为用四月份用水量的平均数、中位数和众数中的哪个量作为标准合适？请说明理由． 【题型五】几何面积求概率 【例1】（2026·广东深圳·一模）如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，据此估计图中椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 【例2】（2026·江西九江·一模）如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·内蒙古通辽·月考）如图是的正方形网格，任意选择一个空白小正方形，能与阴影部分组成的图形是轴对称图形的概率为______． 【变式2】（2026·四川成都·一模）如图，筝形内接于，已知直径，，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为_____________． 【变式3】（2026·四川成都·二模）如图，线段是的直径，点是上一点，连接，，以点为圆心，线段长为半径所作的弧恰好经过点．若的半径为2，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是___________． 【题型六】画树状图或列表法求概率 【例1】（2026·吉林长春·一模）第33届世界大学生冬季运动会将在长春举行，现有两张印有本次大冬会吉祥物“吉冰”“吉雪”图案的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将两张卡片正面向下洗匀，尚小德同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求尚小德同学两次抽出的卡片图案不同的概率． 本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【例2】（2026·陕西西安·模拟预测）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． (1)小东抽中的是唐僧的概率为______； (2)用画树状图或列表的方法，表示所有可能出现的结果，你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）陕西作为中华文化的重要发源地之一，有着悠久的文化底蕴和历史积淀，也拥有着许多珍贵的文化遗产．如：西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔深受人们喜爱，为了促进同学们热爱家乡的意识，班里准备召开“我为家乡代言”的主题班会． (1)若从中随机抽选一种，喜欢“戏曲”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是 ； (2)班里决定在以上四种项目中任选一种进行宣传和推广家乡，请利用列表或画树状图的方法分析甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率． A B C D A B C D 【变式2】（2026·陕西西安·一模）数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． (1)小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； (2)小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 【变式3】（2026·江西南昌·一模）“马踏新程·新年有光·少年有为”，某班开展马年迎新活动，活动中有个游戏环节，规则为每位同学只能转动转盘（图1）一次，指针落在面积相等的A，B，C，D的某个区域，对应可得一个有奔马、福马、萌马、祥云马图案的马卡龙（图2），若指针落在边界位置，则要重新转动，甲、乙两位同学各转动转盘一次． (1)事件“甲同学得到有福马图案的马卡龙”是_________事件； A．随机    B．不可能    C．必然    D．确定性 (2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位同学抽到图案相同的马卡龙的概率．                            甲 乙 A B C D A B C D 【题型七】由频率估计概率 【例1】（2026·江苏徐州·一模）一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 本题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）利用频率估计概率求解即可； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【例2】（2026·山东滨州·一模）甲、乙两位同学在一次试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率 B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率 C．任意写出一个整数，能被2整除的概率 D．一个袋子中装着只有颜色不同其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个球是黄球的概率 【变式1】（2026·广西玉林·一模）为迎接年广西“三月三”，某校开展了“壮韵三月三”游园活动，其中兑奖处准备了一个不透明的抽奖箱，箱内装有绣球兑换券和铜鼓兑换券两种完全相同的奖券，其中绣球兑换券有张．为估算铜鼓兑换券的数量，工作人员设计了如下方案：每次从箱子中随机摸出一张奖券，记录奖项后放回，摇匀后再摸，重复多次后，统计数据如下表 摸奖券次数 摸到绣球兑换券次数 请根据以上数据，估算箱子中铜鼓兑换券的张数__________． 【变式2】（2026·河南·一模）小明利用AI工具制作了一个“石头、剪刀、布”游戏的模拟器：两位玩家随机出石头、剪刀、布，然后统计胜负情况．试验的部分结果如下图： 试验次数 两位玩家平局的试验频数 两位玩家平局的试验频率（精确到） 根据表中试验结果，用频率估计“两位玩家平局”的概率是__________．（精确到） 【变式3】（2026·云南昆明·一模）一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋子中，不断重复这一过程，下表是试验进行中的一组统计数据（结果保留小数点后三位）． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.650 0.590 0.630 0.620 0.603 0.602 (1)根据表中的数据，估计摸到黑球的概率是______；（结果保留小数点后一位） (2)某小组成员从袋子中拿出1个黑球和2个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用画树状图法或列表法中的一种方法，求摸出的两个球的颜色不同的概率． 【题型八】统计与概率综合问题 【例1】（2026·黑龙江佳木斯·一模）龙东地区某中学为了解学生对“黑土文化”的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果分为“比较了解”“了解一点”“不了解”三个等级，绘制了如下不完整的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图信息解答下列问题： (1)本次调查抽取的学生人数为________； (2)补全条形统计图和扇形图的 %； (3)若该校共有1200名学生，估计该校对“黑土文化”“了解一点”的学生人数； (4)若从“了解一点”的3名男生和2名女生中随机抽取2人参加黑土文化宣传活动，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 男1 男2 男3 女1 女2 男1 男1，男2 男1，男3 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，男3 男2，女1 男2，女2 男3 男3，男1 男3，男2 男3，女1 男3，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，男3 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，男3 女2，女1 此题考查了树状图或列表法求概率、求众数、中位数、频率等知识，熟练掌握相关概念是解题的关键． （1）利用频率等于频数除以总数即可求出，根据中位数和众数的定义进行解答即可； （2）用总人数乘以抽取的数据中优秀以上的占比即可； （3）列表找到所有等可能结果，再用满足要求的结果数除以总的结果数即可求出答案． 【例2】（2026·西藏·一模）【项目背景】 为切实关心青少年身心健康，学校开展阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计． 【数据收集与整理】 （一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理． A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． （二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下． 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 成绩（个/分钟） 人数 【数据分析与应用】 (1)任务一：掷实心球的女生有 人；掷实心球的女生成绩的中位数落在 组； (2)任务二：若该校九年级共有200名女生，请估计这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数； (3)任务三：将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）中学生心理健康受到社会的广泛关注，为深入落实“健康第一”教育理念，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有________人，条形统计图中m的值________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为________． (2)若该校共有学生1000人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为________人． (3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【变式2】（2026·四川成都·二模）某校为了让学生更好的有节约粮食的意识，在某天午餐后，随机调查了部分学生这餐饭菜的剩余情况，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．请根据图中提供的信息解答下列问题： 类别 A B C D 剩余量 剩一半 剩少量 剩大量 没有剩 人数 25 15 40 (1)本次共调查了多少名学生？并求出和的值； (2)在扇形统计图中表示“剩一半”的扇形圆心角是多少度？ (3)某班级抽查小组饭菜的剩余情况，某小组共4人这餐饭菜的剩余情况恰好有2人“没有剩”，剩下2人分别是“剩一半”和“剩少量”，若从该小组中抽取2人进行调查，用树状图或列表法求恰好抽到的2人都是“没有剩”的同学的概率． 【变式3】（2026·湖南长沙·模拟预测）四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传诵．学校开展读书节，为了解学生对这四部名著的喜好进行了抽样调查（A．西游记，B．三国演义，C．水浒传，D．红楼梦）．某班随机抽取部分学生进行调查后，王老师将自己班调查数据进行整理并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共抽取学生_____人，补全条形统计图； (2)扇形统计图中类别D所对应的圆心角的度数为_____； (3)该校共有2000名学生，请你估计该校有多少名学生选择《水浒传》； (4)为了交流读书心得，王老师从被调查的类别B和类别D的学生中分别选取一名学生参与活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 统计和概率问题 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】全部调查与抽样调查 【题型二】总体、个体、样本、样本容量 【题型三】平均数、中位数、众数 【题型四】频数发布直方图 【题型五】几何面积求概率 【题型六】画树状图或列表法求概率 【题型七】由频率估计概率 【题型八】统计与概率综合问题 ：统计和概率综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．从考点频率看：统计部分以数据特征（平均数、中位数、众数、方差）和统计图（条形图、扇形图、折线图）为主，年均2-3题，占分8-12分；概率侧重简单事件计算（树状图/列表法）及用频率估计概率，年均1题，占分3-4分。 2．从题型角度看：选择、填空多考基础概念（如统计量计算、概率值）；解答题常结合实际情境，如分析统计图信息、设计抽样方案或计算概率（如两步试验概率）。 ：1.基础强化：熟练掌握统计量公式（如方差）、统计图解读及概率计算步骤（如树状图法）。 2.易错突破：注意统计图表的单位、数据范围，避免概率计算时遗漏结果。 3.实战训练：通过真题强化应用题（如用样本估计总体），掌握“先易后难”答题节奏。 4.技巧提升：解答题规范步骤（如概率题需列举所有可能结果），灵活运用“排除法”“代入法”解题。 【题型一】全部调查与抽样调查 【例1】（2026·河南周口·二模）要调查下列问题，适合采取全面调查的是（   ） A．调查黄河的水质情况 B．《河南新闻联播》的收视率 C．国产航空母舰入役前的零部件检查 D．调查一批新郑小枣的甜度情况 【答案】C 【分析】根据调查是否具有破坏性，对结果精确度的要求判断即可； 【详解】解：A 、调查黄河水质情况，范围广，适合抽样调查； B 、调查电视收视率，工作量大，适合抽样调查； C 、国产航空母舰入役前零部件检查关乎航行安全，要求每个零件都合格，必须进行全面调查； D 、调查小枣甜度，调查具有消耗性，适合抽样调查； ∴适合全面调查的是C． 本题考查了全面调查与抽样调查的应用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．逐项判断即可． 【例2】（2026·江苏扬州·一模）下列说法不正确的是（   ） A．调查一批电池的使用寿命，适宜采用普查的方式 B．经过一个路口时，遇到绿灯是随机事件 C．了解手机已用存储空间占总内存空间的百分比，适宜采用扇形统计图 D．若甲组数据的方差大于乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 【答案】A 【分析】根据调查方式选择、随机事件定义、统计图应用、方差的性质，逐项判断． 【详解】解：A、∵调查电池使用寿命具有破坏性，不适合采用普查，应当采用抽样调查， ∴选项A说法错误； B、∵遇到红灯或绿灯是不确定的，遇到绿灯可能发生也可能不发生，符合随机事件定义， ∴选项B说法正确； C、∵扇形统计图的特点是可以清晰反映各部分占总体的百分比， ∴了解已用存储空间占总内存空间的百分比适合用扇形统计图，选项C说法正确； D、∵方差越大，数据波动越大，稳定性越差， ∴甲组方差大于乙组方差时，乙组数据更稳定，选项D说法正确． 【变式1】（2026·重庆·一模）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．手术前检查各项医疗器械是否准备妥当 B．调查某批蔬菜种子的发芽率 C．调查重庆高新区范围内一纵线车流量 D．调查2026年春节联欢晚会收视率 【答案】A 【分析】需根据全面调查（普查）的适用条件判断，普查适合精确度要求高，事关重大，无破坏性，调查范围小的情况． 【详解】解：A、手术前检查各项医疗器械是否准备妥当，事关手术安全，必须逐一检查所有器械，符合普查的适用条件； B、选项中调查种子发芽率，调查具有破坏性，不适合普查； C、选项中车流量调查范围大，工作量大，不适合普查； D、选项中春晚收视率调查范围广，工作量大，不适合普查； ∴最适合采用全面调查的是A选项． 【变式2】（2026·重庆·模拟预测）下列调查中，适用抽样调查的是（   ） A．企业招聘，对应聘人员进行面试 B．检查“神舟二十一号”载人飞船仪器设备的情况 C．调查某种蓝莓的甜度情况 D．了解某班学生的视力情况 【答案】C 【分析】需明确两种调查的适用范围，全面调查适用于范围小、要求精准或事关重大的调查，抽样调查适用于范围广、调查具有破坏性或难以全面调查的情况，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ A选项企业招聘需要对每位应聘人员面试，范围小要求准确，属于全面调查； ∵ B选项飞船仪器设备检查事关飞行安全，必须全面排查，属于全面调查； ∵ C选项某种蓝莓数量大，且调查甜度会破坏蓝莓，难以进行全面调查，适合抽样调查； ∵ D选项某班学生人数少，可全面统计视力情况，属于全面调查； ∴ 适用抽样调查的是C． 【变式3】（2026·山西朔州·一模）下列各项调查中，适合采用抽样调查的是（   ） A．火车站进站前的安全检查 B．调查全班名同学的视力情况 C．长征四号运载火箭执行某次发射任务前的零部件检查 D．调查某地区居民防火安全意识 【答案】D 【分析】根据调查范围、调查要求判断适用的调查方式，调查范围广、工作量大，无需全面排查时适合抽样调查，对准确性要求高、事关安全或范围小的调查适合全面调查． 【详解】解：A．火车站进站安全检查需要检查每一名旅客，适合全面调查，故该选项不符合题意， B．全班仅名同学，调查范围小，适合全面调查，故该选项不符合题意， C．火箭发射前的零部件检查事关发射安全，必须逐个检查，适合全面调查，故该选项不符合题意， D．某地区居民人数多，调查防火安全意识范围广，工作量大，适合抽样调查，故该选项符合题意． 【题型二】总体、个体、样本、样本容量 【例1】（2026·四川巴中·一模）某班有48名学生参加数学测试，为了了解他们的数学成绩，从中随机抽取了6名考生的数学成绩进行统计分析，利用这6名考生的成绩得到一组数据：75、94、75、81、85、94，据此下列说法正确的是（   ） A．48名考生是总体，6是样本容量 B．这组数据的中位数是78 C．这组数据的众数是75 D．这组数据的方差是62 【答案】D 【详解】解：A、总体是考查对象的全体，本题考查对象为48名考生的数学成绩，样本容量是样本中个体的数目，是数值，因此本题样本容量是6，故A选项说法不正确； B、这组数据从小到大排列为，则中位数是，故B选项说法不正确； C、这组数据中和出现的次数最多，都是2次，则众数是和，故C选项说法不正确； D、这组数据的平均数为，则方差为，故D选项说法正确． 此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是要分清具体问题中的总体、个体与样本，明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 【例2】（2026·甘肃平凉·一模）让每一位学生都身上有汗、眼中有光、脚上有力、脸上有笑，向着美好未来勇敢前行．某校让“健康第一”从理念变为校园日常，在全校学生中掀起体育锻炼的热潮，现从该校2000名学生每天体育运动时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的运动时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成如图所示的条形统计图，则下列说法错误的是(    ) A．此次调查共抽取了50名学生 B．所抽取学生运动时长为1小时的学生人数是5 C．这个样本的中位数是2小时 D．估计该校运动时长为2小时的学生人数最多 【答案】C 【分析】根据条形统计图读取信息，再逐项分析判断即可． 【详解】A、此次调查共抽取学生数是：，故选项A正确，不符合题意； B、由图可知，所抽取学生运动时长为1小时的学生人数是5，故选项B正确，不符合题意； C、此次调查共抽取了50名学生，由图可知，第25、26个数据分别是2和3，故这个样本的中位数是小时，故选项C错误，符合题意； D、由图可知，样本中运动时长为2小时的学生人数最多，故估计该校运动时长为2小时的学生人数最多，故选项D正确，不符合题意． 【变式1】（2026·甘肃平凉·一模）平凉市某中学为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开展了“烹饪、园艺、木工、电工”四大类劳动课程．为了解本校1500名学生对每类课程的选择情况，随机抽取了本校300名学生进行调查（每名学生只选一类课程），并绘制了如图所示的扇形统计图，下列说法正确的是（    ） A．此调查属于普查 B．本次调查的样本是300名学生 C．该校1500名学生中约有240人选择“木工”这一类课程 D．选择“烹饪”这一类课程的学生人数占被调查人数的48% 【答案】C 【详解】解：随机抽取了本校300名学生进行调查，故此调查属于抽样调查，故选项A错误； 本次调查的样本是300名学生所选的课程，故选项B错误； 选择“烹饪”这一类课程的学生人数占被调查人数的，故选项D错误； 该校1500名学生中选择“木工”这一类课程的人数为：，故选项C正确． 【变式2】（2026·湖南株洲·一模）某市为了解40000名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中2000名学生的身高进行统计分析，下列说法正确的是（   ） A．40000名初中毕业生是总体 B．每名初中毕业生是个体 C．2000名学生是样本容量 D．本次调查属于抽样调查 【答案】D 【分析】根据统计中总体、个体、样本容量、抽样调查的相关概念判断选项即可． 【详解】解：∵本次调查的对象是初中毕业生的身高，不是初中毕业生本身， ∴总体是40000名初中毕业生的身高，不是40000名初中毕业生，A错误； 个体是每名初中毕业生的身高，不是每名初中毕业生，B错误； ∵样本容量是样本中包含的个体的数目，是一个数字， ∴样本容量是2000，不是2000名学生，C错误； 本次调查是从总体中随机抽取部分学生进行分析，属于抽样调查，D正确． 【变式3】（2026·河南驻马店·一模）下列说法中正确的是（   ） A．为了解驻马店市中学生周末在家干家务活的时间，采用全面调查的方式 B．“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是黑桃”是必然事件 C．一组数据3，5，7，9，10，13的样本容量是6 D．在抽样调查中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 【答案】C 【分析】本题考查统计相关基础概念，涉及全面调查与抽样调查的选择，事件的分类，样本容量的定义，抽样调查的特点，根据对应知识点逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A，驻马店市中学生人数较多，调查工作量大，适合采用抽样调查，因此A错误； 对于选项B，“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是黑桃A”可能发生也可能不发生，属于随机事件，不是必然事件，因此B错误； 对于选项C，样本容量是指样本中个体的数目，该组数据共有6个数据，因此样本容量是6，因此C正确； 对于选项D，在抽样调查中，样本容量越大，对总体的估计越准确，样本容量越小估计越不准确，因此D错误． 【题型三】平均数、中位数、众数 【例1】（2026·云南·一模）为响应“绿色低碳，节能降耗”号召，某校举办校园节能知识竞赛，九年级（2）班20名参赛学生的成绩（单位：分）如下：82、85、85，90，85，95，85，90，85，80，85，90，95，85，90，80，85，90，85，90．这组数据的众数是（   ） A．80 B．85 C．90 D．95 【答案】B 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数可得答案． 【详解】解：∵这组数据中，出现次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是． 本题考查了众数和中位数的定义求解即可，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．本题考查了求众数和中位数，理解众数和中位数的定义是解题的关键． 【例2】（2026·浙江衢州·一模）一组数据1，2，3，4，5的方差计算算式是：．下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据3，方差不变 【答案】D 【分析】根据平均数，方差的定义求解即可． 【详解】解：一组数据1，2，3，4，5，则， ∴， ∴， ∴， 在这组数据中添加一个数据3，这组数据变成1，2，3，3，4，5，则， ∴， ∴． 方差改变． 【变式1】（2026·安徽蚌埠·二模）某校举办的“魅力篮球”活动中，有6位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为7，8，7，5，7，8，则下列说法中不正确的是（　　） A．这6位同学投篮进球次数的平均数是7 B．这6位同学投篮进球次数的众数是7 C．这6位同学投篮进球次数的中位数是6 D．这6位同学投篮进球次数的方差是1 【答案】C 【分析】先对数据从小到大排序，再依次计算平均数、众数、中位数、方差，判断各选项正误，找出错误说法． 【详解】解：将进球次数从小到大排序得，5，7，7，7，8，8， 计算平均数，∵数据总和为， ∴平均数为，A选项说法正确； 求众数，∵7在数据中出现次数最多，共3次， ∴众数是7，B选项说法正确； 求中位数，∵数据共6个，中位数为排序后第3个和第4个数据的平均数， ∴中位数为，C选项说法错误； 计算方差，∵平均数， ∴方差，D选项说法正确． 【变式2】（2026·河南周口·一模）为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某中学组织了一次国学知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为52，66，50，48，61，54，则这组数据的中位数是______． 【答案】53 【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：重新排列为48，50，52，54，61，66， 这组数据的中位数为， 故答案为：53． 【变式3】（2026·辽宁鞍山·一模）某学校招聘数学教师，对应试者进行笔试和面试，若招聘成绩满分为，其中笔试占，面试占，其中一名应试者笔试与面试成绩（百分制）分别为、，则该名应试者的平均成绩为________． 【答案】 【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：由题意可得，应试者的平均成绩为（分）， 故答案为：． 【题型四】频数发布直方图 【例1】（2026·湖南株洲·一模）某班有48位学生，每人抛10次硬币，统计正面向上的次数依次为0，1，2，…，10的人数，得到如图所示的直方图，则这次次数统计的众数和中位数分别是（    ） A．4，5 B．5，5 C．5，6 D．6，6 【答案】B 【分析】根据频数分布直方图中，众数就是分布图里最高的那条，中位数是第和个数的平均数，即可求出答案． 【详解】解：根据频数分布直方图可得： 众数就是分布图里最高的那条， 所以这次次数统计的众数是， 因为有位学生， 所以这次次数统计的中位数是． 本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，正确读懂统计图和统计图是解题的关键． 【例2】（2026·上海松江·二模）为了解某年级学生每周课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该年级有600名学生，估计该年级平均每周阅读时长不少于6小时的学生约有______名． 【答案】 【分析】先求出样本中平均每周阅读时长不少于小时的学生的频率，再用年级总人数乘以对应频率得到估计结果． 【详解】解：由频数分布直方图可得，抽取的样本容量为： 样本中平均每周阅读时长不少于小时的学生频数为：（人） 样本中对应频率为： 因此估计该年级符合条件的学生人数为：（人）． 【变式1】（2026·辽宁营口·一模）每年的月日是全国交通安全日．某学校为了增强学生对交通安全知识的掌握，在全校开展了主题为“文明交通，你我同行”的知识竞赛活动．为了解学生竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（成绩为整数），将成绩分成六组：组为，组为，组为，组为，组为，组为，整理并绘制出如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据图表信息解答以下问题： (1)本次调查随机抽取了__________名参赛学生的成绩．在扇形统计图中组所在扇形的圆心角是__________度； (2)补全频数分布直方图，并直接写出学生竞赛成绩的中位数落在__________组； (3)成绩达到分及以上为优秀，若该校有名学生，那么在本次交通安全知识竞赛中，达到优秀的约有多少人？ 【答案】(1)，； (2)图见解析，； (3)在本次交通安全知识竞赛中，达到优秀的约有人． 【分析】（）用频数分布直方图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次调查随机抽取的学生人数；用乘以本次调查中的人数所占的百分比，即可得出答案； （）求出组的人数，补全频数分布直方图即可；根据中位数的定义可得答案； （）根据样本估计总体计算即可． 【详解】（1）解：本次调查随机抽取的学生人数为：（名）， 在扇形统计图中组所在扇形的圆心角是； （2）解：组的人数为（人）， 补全频数分布直方图如图所示， 将名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第和位的成绩都落在组， ∴学生竞赛成绩的中位数落在组； （3）解：（人）， 答：在本次交通安全知识竞赛中，达到优秀的约有人． 【变式2】（2026九年级下·海南海口·专题练习）随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A B C D E 合计 1 根据提供的信息回答问题： (1)本次随机抽样的九年级学生有___________人； (2)学习时间频率分布表中___________，请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； (3)调查所得数据的中位数落在___________组（填组别）； (4)该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生有___________人． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)C (4)该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人 【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出总人数，进而求出D组人数， （2）用1减去其它组的频率之和，即可； （3）根据50个人的中位数是第25和26人的平均数，即可； （4）由这所学校共有学生人数乘以一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生的频率即可． 【详解】（1）解：． D组人数：人． 如图为所求： （2）解： （3）解：总人数有50人，从小到大排列后，中位数为第25人和26人的学习时间的平均数， 从统计图，可知，组8人，组12人，组15人，那么第25人和26人的数据落在组； （4）解：， （人）． 答：该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人． 【变式3】（2026·河南信阳·一模）某小区物业为了解小区四月份家庭用水情况，随机调查了40户家庭，并对每户的用水量(单位：)进行收集、整理、描述和分析，过程如下： 【收集数据】随机调查的40户家庭的用水量(单位：m3)如下：                                                                            【整理并描述数据】列出用水量频数分布表，并绘制用水量频数分布直方图： 用水量频数分布表 用水量/ 频数 【分析数据】 40户家庭用水量的平均数、中位数及众数(单位：)如下表： 平均数 中位数 众数 根据以上信息，回答下列问题： (1)上表中a的值为 ． (2)为了鼓励节约用水，小区物业计划确定一个用水量的标准，对四月份用水量不超过这个标准的家庭给予奖励． ①如果家庭用水量的标准定为 ，已知该小区共户家庭，请估计获奖家庭有多少户； ②要使小区一半左右的家庭获奖，你认为用四月份用水量的平均数、中位数和众数中的哪个量作为标准合适？请说明理由． 【答案】(1) (2)①户，②中位数，理由见解析 【分析】（1）根据中位数的定义，即可求解； （2）①用四月份用水量不超过的家庭户数的占比乘以即可求解； ②根据中位数的意义分析，即可求解． 【详解】（1）解：根据用水量频数分布表可知，中位数为这组数据的第和第个数据的平均数， 将的数据从小到大重新排列为： ，，，，，，，，，， 所以40户家庭用水量的中位数． （2）解：①户． 答：估计获奖家庭有户． ②中位数，理由如下： 因为从样本情况看，四月份用水量不超过 (中位数)的有户，占被调查家庭数量的一半，可以估计，如果用四月份用水量的中位数作为标准，将有一半左右的家庭获奖． 【题型五】几何面积求概率 【例1】（2026·广东深圳·一模）如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，据此估计图中椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则点落在椭圆内部的概率为，再根据点落在椭圆内部的概率等于椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值列式求解即可． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右， ∴点落在椭圆内部的概率为， ∴椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值为， ∴椭圆的面积为． 本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 【例2】（2026·江西九江·一模）如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分， 注意到，三角形①与②全等， ∴三角形①与②的面积相等． ∴阴影部分面积等于平行四边形面积的一半． ∴针头扎在阴影区域内的概率为． 【变式1】（25-26九年级下·内蒙古通辽·月考）如图是的正方形网格，任意选择一个空白小正方形，能与阴影部分组成的图形是轴对称图形的概率为______． 【答案】/0.4 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，有种情况使之成为轴对称图形∶ ①② ∵总共有个小正方形，其中阴影小正方形有个， ∴空白小正方形共个， ∵能和已知阴影部分组成轴对称图形的空白正方形共有个， ∴根据概率公式，所求概率为符合条件的情况数总情况数，即． 【变式2】（2026·四川成都·一模）如图，筝形内接于，已知直径，，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为_____________． 【答案】/ 【分析】设与相交于点E，设的半径为r，先求出圆的面积，再运用等边三角形的判定和性质与勾股定理求出筝形的面积，进而求解即可． 【详解】解：设与相交于点E，如图， 设的半径为r， ∴， ∴圆的面积为： ∵筝形内接于，且， ∴，，对角线平分， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴点取在阴影部分的概率为． 【变式3】（2026·四川成都·二模）如图，线段是的直径，点是上一点，连接，，以点为圆心，线段长为半径所作的弧恰好经过点．若的半径为2，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是___________． 【答案】 【分析】分别求出的面积和阴影的面积，然后利用概率公式求解． 【详解】解：∵的半径为2， ∴， ∵线段是的直径，点C是上一点， ∴，， ∵， ∴，即 ∴ ∴，， ∴ ∴这个点取在阴影部分的概率是． 【题型六】画树状图或列表法求概率 【例1】（2026·吉林长春·一模）第33届世界大学生冬季运动会将在长春举行，现有两张印有本次大冬会吉祥物“吉冰”“吉雪”图案的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将两张卡片正面向下洗匀，尚小德同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求尚小德同学两次抽出的卡片图案不同的概率． 【答案】 【分析】画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出两次抽出的卡片图案不同的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图，如图 共4种等可能性结果，两次抽出的卡片图案不同的情况有2种， ∴尚小德同学两次抽出的卡片图案不同的概率为． 本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【例2】（2026·陕西西安·模拟预测）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． (1)小东抽中的是唐僧的概率为______； (2)用画树状图或列表的方法，表示所有可能出现的结果，你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】（1）根据概率公式解答； （2）画出树状图，可知所有等可能出现的结果，再得出师徒关系的结果，然后求出各自的概率比较可得答案． 【详解】（1）解：一共有4张卡片，抽到A的概率为； （2）解：公平，理由如下： 画出树状图如下： 一共有12种等可能出现的结果，师徒关系的有6种，即，， 则，， 所以这个游戏公平． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）陕西作为中华文化的重要发源地之一，有着悠久的文化底蕴和历史积淀，也拥有着许多珍贵的文化遗产．如：西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔深受人们喜爱，为了促进同学们热爱家乡的意识，班里准备召开“我为家乡代言”的主题班会． (1)若从中随机抽选一种，喜欢“戏曲”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是 ； (2)班里决定在以上四种项目中任选一种进行宣传和推广家乡，请利用列表或画树状图的方法分析甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）利用列表法以及概率公式求解即可． 【详解】（1）解：在西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔这4个项目中，属于“戏曲”的只有秦腔， ∴喜欢“戏曲”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是； （2）解：分别用A，B，C，D表示西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔，用列表法把所有等可能结果表示出来如下， A B C D A B C D ∴共有16种等可能结果，其中同一种的有4种， ∴甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率为． 【变式2】（2026·陕西西安·一模）数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． (1)小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； (2)小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是； （2）解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数有6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率为． 【变式3】（2026·江西南昌·一模）“马踏新程·新年有光·少年有为”，某班开展马年迎新活动，活动中有个游戏环节，规则为每位同学只能转动转盘（图1）一次，指针落在面积相等的A，B，C，D的某个区域，对应可得一个有奔马、福马、萌马、祥云马图案的马卡龙（图2），若指针落在边界位置，则要重新转动，甲、乙两位同学各转动转盘一次． (1)事件“甲同学得到有福马图案的马卡龙”是_________事件； A．随机    B．不可能    C．必然    D．确定性 (2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位同学抽到图案相同的马卡龙的概率． 【答案】(1)A (2) 【分析】（1）根据事件的分类即可解答； （2）列表求出总的结果数和甲、乙两位同学抽到图案相同的马卡龙的结果数，利用概率公式计算即可求解． 【详解】（1）解：事件“甲同学得到有福马图案的马卡龙”是随机事件； （2）解：列表如下：                            甲 乙 A B C D A B C D 故P（甲、乙两位同学抽到图案相同的马卡龙）． 【题型七】由频率估计概率 【例1】（2026·江苏徐州·一模）一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，大量重复试验后，频率的稳定值即为事件发生的概率，先根据白球频率求出总球数，再减去白球个数即可得到红球个数． 【详解】解：∵大量重复试验后，摸出白球的频率稳定在左右， ∴估计摸到白球的概率为， 设盒子中球的总个数为， 可得， 解得， ∴盒中红球个数为（个）． 本题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）利用频率估计概率求解即可； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【例2】（2026·山东滨州·一模）甲、乙两位同学在一次试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率 B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率 C．任意写出一个整数，能被2整除的概率 D．一个袋子中装着只有颜色不同其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个球是黄球的概率 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 【详解】解：由图可得该试验的概率在之间 对于A，骰子上共有6个数，出现6点的概率为 ，故A选项错误； 对于B，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为 ，故B选项错误； 对于C，任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故C选项错误； 对于D，摸到黄球的概率为 ，故D选项正确. 【变式1】（2026·广西玉林·一模）为迎接年广西“三月三”，某校开展了“壮韵三月三”游园活动，其中兑奖处准备了一个不透明的抽奖箱，箱内装有绣球兑换券和铜鼓兑换券两种完全相同的奖券，其中绣球兑换券有张．为估算铜鼓兑换券的数量，工作人员设计了如下方案：每次从箱子中随机摸出一张奖券，记录奖项后放回，摇匀后再摸，重复多次后，统计数据如下表 摸奖券次数 摸到绣球兑换券次数 请根据以上数据，估算箱子中铜鼓兑换券的张数__________． 【答案】 【分析】本题利用频率估计概率的知识点，先根据大量重复试验中，频率可估计概率，由表格数据可知，摸到绣球兑换券的频率逐渐稳定在，即估计摸到绣球兑换券的概率为． 【详解】解：设箱子中铜鼓兑换券有张， 由表格中的数据可知，当摸奖次数为时，摸到绣球兑换券的频率为，由此估计摸到绣球兑换券的概率约为， 根据概率公式得：， 解方程：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，符合题意． 【变式2】（2026·河南·一模）小明利用AI工具制作了一个“石头、剪刀、布”游戏的模拟器：两位玩家随机出石头、剪刀、布，然后统计胜负情况．试验的部分结果如下图： 试验次数 两位玩家平局的试验频数 两位玩家平局的试验频率（精确到） 根据表中试验结果，用频率估计“两位玩家平局”的概率是__________．（精确到） 【答案】 【分析】当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数可作为概率的估计值，根据表格中频率的变化趋势即可求解. 【详解】解：观察表格可知，随着试验次数不断增大，“两位玩家平局”的频率逐渐稳定在附近， 结果要求精确到， 因此用频率估计“两位玩家平局”的概率是． 【变式3】（2026·云南昆明·一模）一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋子中，不断重复这一过程，下表是试验进行中的一组统计数据（结果保留小数点后三位）． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.650 0.590 0.630 0.620 0.603 0.602 (1)根据表中的数据，估计摸到黑球的概率是______；（结果保留小数点后一位） (2)某小组成员从袋子中拿出1个黑球和2个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用画树状图法或列表法中的一种方法，求摸出的两个球的颜色不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值即可求解； （2）先根据题意画树状图，确定所有等可能结果数，并从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：当很大时，摸到黑球的频率将会趋近； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球的颜色不同的结果有4种， （摸出的两个球的颜色不同）． 【题型八】统计与概率综合问题 【例1】（2026·黑龙江佳木斯·一模）龙东地区某中学为了解学生对“黑土文化”的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果分为“比较了解”“了解一点”“不了解”三个等级，绘制了如下不完整的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图信息解答下列问题： (1)本次调查抽取的学生人数为________； (2)补全条形统计图和扇形图的 %； (3)若该校共有1200名学生，估计该校对“黑土文化”“了解一点”的学生人数； (4)若从“了解一点”的3名男生和2名女生中随机抽取2人参加黑土文化宣传活动，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)60人 (2)见解析 (3)720人 (4) 【分析】（1）根据“不了解”的人数为6人占比，即可求解； （2）算出“了解一点”的人数，“了解一点”和“比较了解”占比，补全统计图即可； （3）根据样本估计总体的方法求解即可； （4）用列表法求解即可； 【详解】（1）解：总人数人． （2）解：“了解一点”的人数人． “了解一点”比例， “比较了解”比例， 补全统计图如图： （3）解：该校对“黑土文化”“了解一点”的学生人数人； （4）解：列表如下， 男1 男2 男3 女1 女2 男1 男1，男2 男1，男3 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，男3 男2，女1 男2，女2 男3 男3，男1 男3，男2 男3，女1 男3，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，男3 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，男3 女2，女1 共有20种情况，1男1女有12种情况， 故恰好抽到1名男生和1名女生的概率​． 此题考查了树状图或列表法求概率、求众数、中位数、频率等知识，熟练掌握相关概念是解题的关键． （1）利用频率等于频数除以总数即可求出，根据中位数和众数的定义进行解答即可； （2）用总人数乘以抽取的数据中优秀以上的占比即可； （3）列表找到所有等可能结果，再用满足要求的结果数除以总的结果数即可求出答案． 【例2】（2026·西藏·一模）【项目背景】 为切实关心青少年身心健康，学校开展阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计． 【数据收集与整理】 （一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理． A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． （二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下． 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 成绩（个/分钟） 人数 【数据分析与应用】 (1)任务一：掷实心球的女生有 人；掷实心球的女生成绩的中位数落在 组； (2)任务二：若该校九年级共有200名女生，请估计这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数； (3)任务三：将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率． 【答案】(1)50；C (2)（人） (3) 【分析】（1）根据掷实心球的女生的人数和占比可求掷实心球的女生总人数，进而根据中位数的定义求解即可； （2）根据E组有5人，求得优秀率，再根据样本估计总体，即可求解； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽取到选手的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意知A组占，有5人， 所以掷实心球的女生的人数为：（人）． C组有 人 所以E组有人， 将这50个女生的成绩由低到高分组排列，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，所以成绩的中位数落在C组； （2）解：E组有5人，优秀率为 所以这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数为 （人） （3）由成绩统计表得跳绳个数在的选手共有人，依次记为，画树状图如下： 共有12种不同的情况，且每一种可能性都相同，其中恰好抽到选手的有两种， ∴恰好抽到选手的概率为． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）中学生心理健康受到社会的广泛关注，为深入落实“健康第一”教育理念，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有________人，条形统计图中m的值________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为________． (2)若该校共有学生1000人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为________人． (3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】(1)80，16， (2)50 (3)恰好抽到2名男生的概率为． 【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的百分比即可； （2）用总人数1000乘以“不了解”的人数所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名男生的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：接受问卷调查的学生共有（人）， （人）， 扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为； 故答案为：80，16，； （2）解：根据题意得： （人）， 答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为50人； （3）解：由题意列树状图： 由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名男生的结果有2种， ∴恰好抽到2名男生的概率为． 【变式2】（2026·四川成都·二模）某校为了让学生更好的有节约粮食的意识，在某天午餐后，随机调查了部分学生这餐饭菜的剩余情况，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．请根据图中提供的信息解答下列问题： 类别 A B C D 剩余量 剩一半 剩少量 剩大量 没有剩 人数 25 15 40 (1)本次共调查了多少名学生？并求出和的值； (2)在扇形统计图中表示“剩一半”的扇形圆心角是多少度？ (3)某班级抽查小组饭菜的剩余情况，某小组共4人这餐饭菜的剩余情况恰好有2人“没有剩”，剩下2人分别是“剩一半”和“剩少量”，若从该小组中抽取2人进行调查，用树状图或列表法求恰好抽到的2人都是“没有剩”的同学的概率． 【答案】(1)本次共调查了名学生，， (2) (3) 【分析】（1）由D类别人数及其所占百分比可得总人数；根据各类别人数之和等于总人数可得m的值，再根据百分比的概念可得n； （2）用乘以“剩一半”所占百分比即可得到结论； （3）利用树状图得出所有可能出现的结果和恰好抽到的2人都是“没有剩”的情况数，然后利用概率公式即可解决问题． 【详解】（1）解：本次共调查了（人）， ， ，即； （2）解：在扇形统计图中表示“剩一半”的扇形圆心角的度数是； （3）解：用甲、乙表示这四人这餐饭菜中“没有剩”，丙和丁分别表示“剩一半”和“剩少量”， 画树状图如下： 则共有12种情况，2人都是“没有剩”的同学的情况数为2种， 则恰好抽到的2人都是“没有剩”的同学的概率为． 【变式3】（2026·湖南长沙·模拟预测）四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传诵．学校开展读书节，为了解学生对这四部名著的喜好进行了抽样调查（A．西游记，B．三国演义，C．水浒传，D．红楼梦）．某班随机抽取部分学生进行调查后，王老师将自己班调查数据进行整理并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共抽取学生_____人，补全条形统计图； (2)扇形统计图中类别D所对应的圆心角的度数为_____； (3)该校共有2000名学生，请你估计该校有多少名学生选择《水浒传》； (4)为了交流读书心得，王老师从被调查的类别B和类别D的学生中分别选取一名学生参与活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)20，见解析 (2) (3)500名 (4) 【分析】（1）根据类别A的人数和占比求解即可．然后分别求出类别C和类别D的人数，然后补全条形统计图即可． （2）用360度乘以类别D的占比求解即可． （3）用样本估计总体即可． （4）根据B组和D组的男女人数画出树状图，然后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（人） 则类别C的人数有：（人）， 则类别D的人数有：（人）， 则补全条形统计图如下： （2）解：． （3）解：（名） （4）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果有3种， 恰好选中一名男生和一名女生的概率为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $