精品解析：2026年辽宁省沈阳市沈河区九年级教学数据采集数学试题

2026年九年级数学学科教学数据采集试题 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列实数中最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，其中一个大数据中心能存储580亿本书籍，数据58000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列工具图标是轴对称图形的是（ ） A. 豆包 B. 秘塔 C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某款玩偶的原价为元，如果经过两次降价后售价为元，且每次降价的百分率都是，那么下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则下列高度最接近水面高度的是（ ） A. B. 9 C. 7 D. 5.7 8. 汽车经过某十字路口时，可以直行、向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少会有一辆右转的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 10. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_________． 12. 如图一种常见吸管杯的截面示意图，已知杯口与杯底平行，若则的度数为_________． 13. 如图，A、B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为_________． 14. 如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，交于K，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部）．若正方形的边长，则的长为_________． 15. 在平面直角坐标系中，抛物线上有两点和，当，时，都有成立，则a的取值范围是_________． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“E模型”和“M模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级）： A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：抽取的对“E模型”的评分数据中B等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“M模型”的评分数据：100，99，98，98，97，91，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的两种模型的评分数据统计表 品牌 平均数 中位数 众数 A等级所占的百分比 E模型 88 b 98 M模型 88 87.5 c 抽取的对“E模型”的评分数据扇形统计图 据以上信息，解答下列问题： （1）求出图表中a，b，c的值； （2）此次调查中有300人对“E模型”进行评分，400人对“M模型”进行评分，估计此次调查中对“E模型”，“M模型”两种软件评分为A等级的共有多少人？ 18. 某学校决定购买A，B两种沈阳故宫文旅产品作为“校园艺术节”活动奖品，已知A种单价比B种贵20元，买5个A种产品和买9个B种产品的总价相同． （1）求A，B两种产品的单价； （2）在不超过预算资金1600元的前提下，学校准备购买A，B两种产品共60件，问最多购买A种产品多少件？ 19. 将一把直尺按照如图所示摆放，点A和点D位于直尺的一条边上，点B和点C位于直尺的对边．点B所对应的数字为4，点C所对应的数字为8．若，，求这把直尺的宽度．（结果保留一位小数，单位：，参考数据：，，） 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点，，直线分别与x，y轴交于点C，D，过直线上一点M作x轴的平行线，交直线于点N． （1）求直线的解析式； （2）若，求点M的坐标． 21. 如图，为外接圆，为的直径，，是的切线，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）求阴影部分的面积．（结果不取近似值，请保留精确值） 22. 点为所在平面内一点，满足，与交于点． （1）【问题探究】 如图1，将沿着所在直线对折，得到． ①求证：； ②试探究与的数量关系，并说明理由； （2）【问题拓展】 如图2，取的中点，在内部取一点，使，，连接，若，，，当最小时，直接写出的长． 23. 定义：若一个函数的图象上存在纵坐标是横坐标的倍的点，则称该点为该函数的“双倍比例点”．例如，函数的“双倍比例点”是点． （1）【初步理解】 求出函数的“双倍比例点”的坐标； （2）【深入探究】 不重合的两点和是抛物线的“双倍比例点”，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于点（不与点重合）．若的面积为，求的值； （3）【拓展思考】 抛物线关于点的中心对称图象为，当与的图象共有个“双倍比例点”时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级数学学科教学数据采集试题 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列实数中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据负数小于，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，进行大小比较即可． 【详解】解：，，， ， ， 最小的数是． 2. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行作答即可． 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： ， 故选：D 3. 我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，其中一个大数据中心能存储580亿本书籍，数据58000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：580亿， 故选：B． 4. 下列工具图标是轴对称图形的是（ ） A. 豆包 B. 秘塔 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的意义，根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可． 【详解】解：A、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意； D、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用积的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘除法法则，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，运算正确，符合题意； B、，运算错误，不符合题意； C、，运算错误，不符合题意； D、，运算错误，不符合题意． 6. 某款玩偶的原价为元，如果经过两次降价后售价为元，且每次降价的百分率都是，那么下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据降价规则，两次降价均在前一次价格基础上进行，逐步推导两次降价后的售价，即可得到正确方程． 【详解】解：玩偶原价为元，每次降价的百分率为， 第一次降价后的售价为元， 第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再次降价，降价百分率仍为， 第二次降价后的售价为， 可得方程． 7. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则下列高度最接近水面高度的是（ ） A. B. 9 C. 7 D. 5.7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中给出的黄金比关系（水面高度与瓶高之比约为），结合已知的长度，通过乘法计算得出的长度即可． 【详解】解：根据题意，可知 ∵， ∴， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 8. 汽车经过某十字路口时，可以直行、向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少会有一辆右转的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出列表，确定所有等可能结果数和符合题意的结果数，再利用概率公式即可计算出结果． 【详解】解：设两辆汽车分别为甲、乙，记直行、左转、右转分别为直、左、右， 根据题意可作出列表如下： 乙 甲 直 左 右 直 （直，直） （直，左） （直，右） 左 （左，直） （左，左） （左，右） 右 （右，直） （右，左） （右，右） 由列表可知，共有9种等可能的结果，其中至少一辆右转的结果共5种， ∴ 至少会有一辆右转的概率为． 9. 有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的概念，利用相关概念逐一判断即可，熟知相关概念时解题的关键． 【详解】解：这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不符合题意； 若，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不符合题意； 若，则新数据中间数为第四个数，为3，若，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故B符合题意， 故选：B． 10. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理，由菱形的性质得， 则， 因为F是线段AD的中点，求出长，然后根据求出长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴， ∴， ∵是线段的中点，， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， 故选： D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先由点平移前后的坐标确定平移方式，再根据平移方式计算点对应点的坐标． 【详解】解：点平移后得到点， 点的平移方式为：向左平移个单位，向上平移个单位， 线段平移时，线段上所有点的平移方式相同， 点向左平移个单位，向上平移个单位得到，即， ． 12. 如图一种常见吸管杯的截面示意图，已知杯口与杯底平行，若则的度数为_________． 【答案】##67度 【解析】 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∵ ∴． 13. 如图，A、B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积．根据反比例函数k的几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，设过点A，B作x轴和y轴的垂线的垂足分别为，与交于点，两个空白的矩形面积分别表示为， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， ∴， ∵图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6， ∴， 又∵反比例函数图象经过第二象限， ∴． ∴． 14. 如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，交于K，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部）．若正方形的边长，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可知垂直平分，，设交于点，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：设交于点， 由作图可知：垂直平分，， ∴， ∵正方形，， ∴，，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴． 15. 在平面直角坐标系中，抛物线上有两点和，当，时，都有成立，则a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】推导出抛物线开口向上，在时，函数最大值在端点或处取得，需满足且，得到不等式组，求出，即可解答． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向上，在时，函数最大值在端点或处取得， 当时，记函数值为，当时，记函数值为，当时，记函数值为， ∵点的纵坐标恒大于区间上任意点的纵坐标， ∴需满足且， ∵， ， ， ∴， 由①，得， ． ∵， ∴， ， 或， 解得或（不符合题意，舍去）； 由②，得， ． ∵， ∴， ， 或， 解得或（不符合题意，舍去）． ∴的解集为． ∵当时，，不在区间内，符合题意． 综上所述，a的取值范围是． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂、特殊角三角函数值、绝对值、负整数指数幂的运算法则分别计算每一项，再合并得到最终结果； （2）先通分，再将除法转化为乘法，对平方差多项式分解因式后约分，即可得到化简结果． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： 原式   ． 17. 技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“E模型”和“M模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级）： A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：抽取的对“E模型”的评分数据中B等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“M模型”的评分数据：100，99，98，98，97，91，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的两种模型的评分数据统计表 品牌 平均数 中位数 众数 A等级所占的百分比 E模型 88 b 98 M模型 88 87.5 c 抽取的对“E模型”的评分数据扇形统计图 据以上信息，解答下列问题： （1）求出图表中a，b，c的值； （2）此次调查中有300人对“E模型”进行评分，400人对“M模型”进行评分，估计此次调查中对“E模型”，“M模型”两种软件评分为A等级的共有多少人？ 【答案】（1）35；89；86，87，97，98 （2）295人 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，抽取的对“E模型”的评分数据中B等级的数据共计7个，进而计算B等级数据占比，即可确定的值；分别计算抽取的对“E模型”的评分数据中，A、C、D等级人数，然后将抽取的对“E模型”的评分数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义，即可确定的值；根据众数的定义确定C的值即可； （2）根据题意可知抽取的对“E模型”的评分数据中A等级数据占比为，抽取的对“M模型”的评分数据中A等级数据占比为，然后计算此次调查中对“E模型”，“M模型”两种软件评分为A等级的人数即可． 【小问1详解】 解：根据题意，抽取的对“E模型”的评分数据中B等级的数据共计7个， ∴抽取的对“E模型”的评分数据中B等级占比为，即； ∵抽取的对“E模型”的评分数据中，A等级人数为（人）， D等级人数为（人）， ∴C等级人数为（人）， 将抽取的对“E模型”的评分数据按照从小到大的顺序排列，第1个数据在D组，第2至4个数据在C组，第5至11个数据在B组， 且B组数据从小到大排列为84，86，86，87，88，89，89， ∴第10和第11个数据分别为89和89， ∴中位数； 抽取的对“M模型”的评分数据中，其中86，87，97，98均出现了2次，其他数据出现了一次， ∴众数c是86，87，97，98； 【小问2详解】 根据题意，抽取的对“E模型”的评分数据中A等级数据占比为， 抽取的对“M模型”的评分数据中A等级数据占比为， ∵（人）， ∴估计此次调查中对“E模型”，“M模型”两种软件评分为A等级的共有295人． 18. 某学校决定购买A，B两种沈阳故宫文旅产品作为“校园艺术节”活动奖品，已知A种单价比B种贵20元，买5个A种产品和买9个B种产品的总价相同． （1）求A，B两种产品的单价； （2）在不超过预算资金1600元的前提下，学校准备购买A，B两种产品共60件，问最多购买A种产品多少件？ 【答案】（1） A种产品单价为45元，B种产品单价为25元 （2） 最多购买A种产品5件 【解析】 【分析】(1)设B种产品的单价为元，则A种产品的单价为元，根据总价相等的等量关系，列一元一次方程求解单价； (2)设购买A种产品件，则购买B种产品件，根据总预算不超过1600元的不等关系，列一元一次不等式，取最大整数解得到结果． 【小问1详解】 解：设B种产品的单价为元，则A种产品的单价为元， 根据题意得：， 解得，  则， 答：A种产品单价为45元，B种产品单价为25元； 【小问2详解】 解：设购买A种产品件，则购买B种产品件， 根据题意得：， 解得， 所以的最大值为5； 答：最多购买A种产品5件． 19. 将一把直尺按照如图所示摆放，点A和点D位于直尺的一条边上，点B和点C位于直尺的对边．点B所对应的数字为4，点C所对应的数字为8．若，，求这把直尺的宽度．（结果保留一位小数，单位：，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，，，，根据平行线的性质得，，进而得，设，则，再根据求解即可． 【详解】解：根据题意得，，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得， 即这把直尺的宽度为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点，，直线分别与x，y轴交于点C，D，过直线上一点M作x轴的平行线，交直线于点N． （1）求直线的解析式； （2）若，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将点，代入，然后求解即可； （2）首先确定点坐标，易知，进而可得；设点的坐标为，根据题意可知点的纵坐标与点的纵坐标相等，即，进而确定点坐标，然后计算的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式； 【小问2详解】 对于直线，当时可得，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即， 又∵点在直线上， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，点M的坐标为或． 21. 如图，为外接圆，为的直径，，是的切线，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）求阴影部分的面积．（结果不取近似值，请保留精确值） 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，结合，即可证明结论； （2）用梯形的面积减去扇形的面积即得阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如下图， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形，且为的直径，， ∴，， ∴阴影部分的面积 ． 22. 点为所在平面内一点，满足，与交于点． （1）【问题探究】 如图1，将沿着所在直线对折，得到． ①求证：； ②试探究与的数量关系，并说明理由； （2）【问题拓展】 如图2，取的中点，在内部取一点，使，，连接，若，，，当最小时，直接写出的长． 【答案】（1） ①证明：∵，， ∴，即， 由折叠的性质可得，， ∴； ②，理由如下： 如图，连接， 由折叠的性质可得，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）①由和可得，由折叠的性质可得，因此； ②由折叠的性质可得，，，容易证明，则．由，，可判定，则，结合可得，则．由三角形的内角和定理结合等量代换可得，因此； （2）作的外接圆，圆心为，连接、，作于点，取的中点，连接、、，容易判断、、、四点共圆，由可得，为圆的直径．容易证明和，则，结合可得，．由垂径定理可得，，则，从而证明，则，进一步得到为定值，因此点在以点为圆心，为半径的圆弧上，当、、三点共线时，最小．容易判断是等边三角形，则，在中，使用勾股定理计算出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作的外接圆，圆心为，连接、，作于点，取的中点，连接、、， 由（1）可知，， ∴点也在圆上， ∵， ∴为圆的直径，即点为的中点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵点为的中点， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴为定值， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上， ∴当、、三点共线时，最小， 如图， ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵点为的中点， ∴，， 在中，． 23. 定义：若一个函数的图象上存在纵坐标是横坐标的倍的点，则称该点为该函数的“双倍比例点”．例如，函数的“双倍比例点”是点． （1）【初步理解】 求出函数的“双倍比例点”的坐标； （2）【深入探究】 不重合的两点和是抛物线的“双倍比例点”，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于点（不与点重合）．若的面积为，求的值； （3）【拓展思考】 抛物线关于点的中心对称图象为，当与的图象共有个“双倍比例点”时，求的值． 【答案】（1）或 （2）或 （3）满足条件的值为，， 【解析】 【分析】（1）根据“双倍比例点”的定义，令，解方程即可得解； （2）根据“双倍比例点”的定义可求得点的坐标，再由抛物线的对称性可确定点的坐标，即可得到的长，由的面积列方程求解即可； （3）先确定抛物线的“双倍比例点”，再由中心对称的性质确定抛物线的解析式，再结合“双倍比例点”的定义分两种情况讨论：的图象有且仅有个“双倍比例点”，且与图象“双倍比例点”不重合；的图象有个“双倍比例点”，且有个点与图象“双倍比例点”重合． 【小问1详解】 解：令函数，即， 解得或， 此时或， 函数的“双倍比例点”的坐标是：或； 【小问2详解】 解：是“双倍比例点”， ， ， 对于抛物线，其对称轴为直线， 过点作平行于轴的直线，交该抛物线于点， ，解得， ， ， 的面积为：， 即， 解得或； 【小问3详解】 解：令函数， 整理得， 即， 解得或； 的图象有个“双倍比例点”：，； 抛物线关于点的中心对称图象为， 点关于点的对称点为， 将点代入抛物线中得， ， 整理得， 即， 令，即， ， 与的图象共有个“双倍比例点”， 分以下两种情况讨论： 的图象有且仅有个“双倍比例点”，且与图象“双倍比例点”不重合； 此时，即，解得， 方程的解为， 即当时，的图象有个“双倍比例点”：，与图象“双倍比例点”不重合，符合题意； 的图象有个“双倍比例点”，且有个点与图象“双倍比例点”重合； 此时，即，解得， 若与点重合，则有，解得， 方程为，即， ，解得或， 此时，的图象有个“双倍比例点”：，； 即与的图象共有个“双倍比例点”：，，； 若与点重合，则有，解得， 方程为，即， ，解得或， 此时，的图象有个“双倍比例点”：，； 即与的图象共有个“双倍比例点”：，，； 综上，满足条件的值为，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $