精品解析：福建龙岩市高级中学等学校2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

2025-2026学年第二学期半期考 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，为相互垂直的单位向量，则（ ） A 2 B. C. D. 4 3. 已知中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的斜二测直观图，其中为正三角形，，则的面积是（    ） A. B. C. 2 D. 6. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 任何一个复数z＝a＋b（其中a、b∈R，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. D. 在复平面内对应点的坐标在第三象限 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）= i2020，则下列说法错误的是（ ） A. 复数z的模为 B. 复数z的共轭复数为 C. 复数z的虚部为 D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（    ） A. 圆锥SO的高为8m B. 圆锥SO的侧面积为 C. 圆锥SO的体积为 D. 圆锥SO外接球的表面积为 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 13. 在棱长为2正方体中，三棱锥的表面积为__________． 14. 如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知复数是实数，是虚数单位． （1）求复数； （2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 16. 平面内给定三个向量． （1）求满足的实数m，n； （2）若，求实数k； （3）设满足，且，求． 17. 如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是，且底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱的体积． 18. 已知在中，为中点，，，. （1）若，求； （2）设和夹角为，若，求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 19. 在中，内角所对的边分别为，已知 （1）求角； （2）若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期半期考 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法的几何意义求复数的模即可. 【详解】由. 故选：B 2. 已知，为相互垂直的单位向量，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由知，，的模都等于1，先计算的平方，再开方即得模长. 【详解】解：因为向量，满足，，， 所以， 则 故选：C 3 已知中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D 4. 一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，设球的半径为，则圆锥的底面半径是，再设圆锥的高为， 则有，解得， 所以圆锥的高与底面半径之比为． 5. 如图，是的斜二测直观图，其中为正三角形，，则的面积是（    ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】在直观图中求出，画出原图形，求出边长和面积. 【详解】在直观图中，， 在三角形中，过点作⊥于点，则，， 故， 还原直观图得原图如下， ， 由得， 所以的面积为. 故选：D 6. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可. 【详解】由题意，可得， 且，在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得： 所以． 故选：D． 7. 在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标公式表示出，结合的范围即可得解. 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，，， 所以， 因为的取值范围是，所以的取值范围是. 故选：D． 8. 任何一个复数z＝a＋b（其中a、b∈R，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. D. 在复平面内对应的点的坐标在第三象限 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意以及共轭复数的概念，复数的运算，复数的几何意义，复数模的计算公式等即可判断各选项的真假． 【详解】对A，由题意可知，当时，，所以，A正确； 对B，，所以B错误； 对C，，，所以C正确； 对D，由，所以在复平面内对应的点的坐标在第四象限，D错误． 故选：AC． 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）= i2020，则下列说法错误的是（ ） A. 复数z的模为 B. 复数z的共轭复数为 C. 复数z的虚部为 D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接利用复数的运算，复数的模，复数的共轭，复数的几何意义判断A、B、C、D的结论． 【详解】解：复数满足，整理得． 对于A：由于，故，故A错误； 对于B：由于，故，故B错误； 对于C：复数的虚部为，故C错误； 对于D：复数在复平面内对应的点为，故该点在第一象限内，故D正确； 故选：ABC． 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量投影向量的坐标公式求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断． 【详解】对于，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确； 对于在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误． 故选：AB. 11. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（    ） A. 圆锥SO的高为8m B. 圆锥SO的侧面积为 C. 圆锥SO的体积为 D. 圆锥SO外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求圆锥的高，再代入圆锥的侧面积，体积公式，即可判断ABD，利用圆锥与外接球的几何关系，构造关于的方程，即可求解外接球的表面积，判断D. 【详解】对A，母线的长为10m，底面半径OA长为6m，圆锥SO的高为，A选项正确； 对B，圆锥SO的侧面积，B选项正确； 对C,圆锥的体积,C选项错误， 对D，设圆锥SO的外接球半径为，则，解得， 所以圆锥SO外接球的表面积为，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用复数的几何意义进行求解. 【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上， 而表示圆上的点到定点的距离， 圆心到定点距离为： 所以（是虚数单位）的最小值为：. 13. 在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，根据正方体的性质求出相关线段的长度，即可求出表面积． 【详解】在正方体中， , 所以， 所以三棱锥的表面积． 14. 如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 【答案】4 【解析】 【分析】先用表示，代入表达式，结合三点共线可得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】在中，由， 又，所以， 所以 ， 又，所以， 所以 又D，E，F三点共线，且在直线外， 所以有：，且， 所以，， 当且仅当时，等式成立， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知复数是实数，是虚数单位． （1）求复数； （2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的除法运算以及实数的概念求解； （2）利用复数的乘法运算化简，结合复数的几何意义求解. 【小问1详解】 因为， 所以. 又因为是实数，所以，所以. 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 又因为复数在复平面内对应的点在第一象限，所以， 解得，即实数的取值范围是. 16. 平面内给定三个向量． （1）求满足的实数m，n； （2）若，求实数k； （3）设满足，且，求． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】 (1)根据向量的坐标运算求解即可. (2)分别求得再利用平行的公式求解即可. (3)根据平行与模长的公式列式求解即可. 【详解】（1）∵, ∴. ∴解得 （2）∵,∴. 解得. （3）∵,, ∴ 解得或 ∴或 【点睛】本题主要考查了向量坐标运算以及平行的与模长的公式,属于中等题型. 17. 如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是，且底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱的体积． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的体积公式求圆柱的底面半径. （2）根据三棱柱的体积公式求其体积. 【小问1详解】 设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为. 由题意：. 即圆柱的底面半径为3. 【小问2详解】 因为为等边三角形，且其外接圆半径为3， 所以， 又三棱柱的高为6，所以. 18. 已知在中，为中点，，，. （1）若，求； （2）设和夹角为，若，求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）点为线段的中点 【解析】 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . 【小问2详解】 因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. 【小问3详解】 因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 19. 在中，内角所对的边分别为，已知 （1）求角； （2）若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 【答案】（1） （2）(i) (ii) 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简等式，即可解得. （2）(i)由得，结合题意得，即可得到，由边角关系求得，即求得. (ii)由条件得到边的关系，以及角的取值范围.然后由正弦定理求得，然后由角的取值范围求得结果. 【小问1详解】 ∵， 由正弦定理可得， ∵，∴，∴， ∴，即，即， ∵，∴. 小问2详解】 (i)∵，∴， ∴，∴，∴. ∴， ∴ ∴. (ii) ∵，∴，∴， ∵，∴， 由∵点在边上且不包含端点， ∴， 在中，， 在中由正弦定理可得，又∵， ∴， ∵，则，∴， ∴的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $