精品解析：北京市第二十中学启承书院2024-2025学年度高一6月月考数学学科测试

启承书院2024-2025学年度6月月考数学学科测试 （时间：120分钟 满分：150分） 一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目要求的项.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 9. 已知函数，，在同一平面直角坐标系里，函数与的图像在轴右侧有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________． 12. 函数的定义域是_____________． 13. 请写出一个定义域为，值域为的增函数__________. 14. 已知函数，．若函数存在两个零点，则的取值范围是___________． 15. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②当时，存在最小值； ③的零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意． 其中所有正确结论的序号是________． 三､解答题（共6小题，共85分，解答应与出相应文字说明，演算步骤或证明过程.） 16. （1） （2） 17. 已知集合 （1）求集合中的所有整数； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）已知，且在上恒成立，求a的取值范围； （3）若关于x的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围． 19. 有一种放射性元素，最初的质量为，按每年衰减 （1）求两年后，这种放射性元素的质量； （2）求年后，这种放射性元素的质量（单位为：）与时间的函数表达式； （3）由（2）中的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期）．（精确到年，已知：，） 20. 已知且，函数在R上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个. ①函数为奇函数；②；③. （1）从中选择的两个条件的序号为_____，依所选择的条件求得____，____； （2）利用单调性定义证明函数在上单调递减； （3）在（1）的情况下，若方程在上有且只有一个实根，求实数的取值范围. 21. 如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间． Ⅰ已知函数，其中且，，． 当时，若函数是上的等域函数，求的解析式； 证明：当，时，函数不存在等域区间； Ⅱ判断函数是否存在等域区间？若存在，写出该函数的一个等域区间；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 启承书院2024-2025学年度6月月考数学学科测试 （时间：120分钟 满分：150分） 一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目要求的项.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可 【详解】因为，， 所以， 故选：C 2. 若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用全称命题的否定变换形式即可得出结果. 【详解】， 则为. 故选：A 3. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数和在上单调递增两个条件，逐个分析选项. 【详解】选项A，的定义域为，不关于原点对称，不具备奇偶性，错误； 选项B，，满足，是偶函数不是奇函数，错误； 选项C，，满足，是奇函数，但它在上单调递减，不符合要求，错误； 选项D，，满足，是奇函数；且由幂函数单调性可知，在上单调递增，正确. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简，通过讨论函数和的单调性和取值范围即可得出的大小关系. 【详解】解：由题意， ， 在中，函数单调递增，且， ∴， 在中，函数单调递增，且当时，， ∴， ∴， 故选：A. 5. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域和单调性即可求出一定成立的不等式. 【详解】取，，则，，故A，D错误. 在中，定义域为， ∴可能小于0，不满足定义域，故B错误. 在中，函数在单调递减， ∴当时，，C正确. 故选：C. 6. 已知函数，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断在是连续的增函数，再结合零点存在性定理可求得结果. 【详解】因为和在上都是连续的增函数， 所以在上是连续的增函数， 所以在上至多有一个零点， 因为，， 所以， 所以唯一的零点所在的区间为， 故选：C 7. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立. 【详解】当，时，， 则当时，有，解得，充分性成立； 当，时，满足，但此时，必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解. 【详解】由，当时，， 则. 故选：C. 9. 已知函数，，在同一平面直角坐标系里，函数与的图像在轴右侧有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 函数与的图像在轴右侧有两个交点等价于在上有两个不同的实数解，令，可判断在上为减函数，在上为增函数，利用零点存在定理可得实数的取值范围. 【详解】令. 设，则， 因为，故，， 故即， 所以当时，为减函数，同理可证：当时，为增函数. 由，可得： 当时，为增函数；当时，为增函数. 故在上为减函数，在上为增函数. 因为函数与的图像在轴右侧有两个交点， 所以在上有两个不同的实数解，所以即，故. 又当时，， 设较大的解为， 当时，，故， 又当时， ， 故， 由零点存在定理可知，在，上各有一个零点. 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的零点，注意函数零点的个数判断需利用函数的单调性和零点存在定理来判断，后者需要在一个单调区间内找两个函数值异号的点，如果找点比较麻烦，可以利用常见函数的性质放缩后再判断函数值的符号，本题属于难题. 10. 已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将成立转化成恒成立的问题，构造函数，然后分类讨论，即可求出的取值范围. 【详解】由题意，在中，对称轴，函数在上单调递减，在上单调递增， ∵对于，均有成立， 即对于，均有恒成立，设，则对称轴，函数在上单调递减，在上单调递增， 当即时， 函数在上单调递减，函数在上单调递减， ，， ， 当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减， ，， ， 当，即时，， 函数在上单调递增，函数在上单调递减， ，， ，故不符题意，舍去. 当即时， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， ， 当即时， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 此时，，所以符合题意. 当时， 函数在上单调递增，函数在上单调递增， ，， 此时，，所以符合题意. 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查恒成立问题，关键在于熟练掌握二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性. 二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设幂函数，由幂函数的图象经过点，知，由此能求出这个幂函数的解析式． 【详解】设幂函数， ∵幂函数的图象经过点， ∴，∴， ∴这个幂函数的解析式为． 故答案为：． 12. 函数的定义域是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知：， 所以该函数的定义域为， 故答案为： 13. 请写出一个定义域为，值域为的增函数__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】根据指数函数的性质，和函数平移，构造适合的函数即可. 可知在上单调递增，且值域为， 所以在上单调递增，且值域为. 14. 已知函数，．若函数存在两个零点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先分类讨论时，不符合题意；当时，写成分段函数的形式，判断其单调性，利用零点存在定理得出有两个零点的条件即可求解. 【详解】因为，， 所以， 若时，在上为增函数，至多有一个零点，不符合题意； 当时，， 则在单调递减，在单调递增， 易知， 当时，因为可取得无穷大值，故不管的取值如何，在必存在一点，使得， 所以在上必存在唯一零点， 因为函数存在两个零点， 所以当时，在上也必须存在一个零点，即在必存在一点，使得，即， 所以在上能成立， 因为指数函数恒成立，且当时，， 所以只需即可，得，即的取值范围为. 故答案为：. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②当时，存在最小值； ③的零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】利用函数的单调性及最值可判断①②，根据零点定义结合条件分类讨论可判断③，利用特值可判断④. 【详解】对①，当时，， 当时，，当时，， 综上，的最小值为，①正确； 对②，，， 当时，， 当时，若，；若，， 如时，，函数不存在最小值，②错误； 对③，当时，最多一个解， 得或， 如时，，由可得(舍去)， 由得或，故此时两个零点，即； 如时，，由可得， 由得或，故此时三个零点，即； 当时，，由可得， 由得，故此时一个零点，即； 当时，，时，，无解， 时，，无解， 此时没有零点，即. 综上，的值域为，故③正确； 对④，当时，如时，， ，，，此时，故④错误. 故答案为：①③ 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 三､解答题（共6小题，共85分，解答应与出相应文字说明，演算步骤或证明过程.） 16. （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）； （2） . 17. 已知集合 （1）求集合中的所有整数； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，求出集合中的元素，进而判断其中的整数； （2）根据集合补集和交集的概念，判断集合之间的包含关系，分类讨论集合的情况，列出不等式，求出参数范围. 【小问1详解】 由题意可得，即，解得，即， 所以集合中的所有整数为. 【小问2详解】 当时，可知， 当时，，解得； 当时，即时，可得，解得， 综上，当时，. 18. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）已知，且在上恒成立，求a的取值范围； （3）若关于x的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，求解即可得出答案； （2）函数，可得二次函数图象的开口向上，且对称轴为，题意转化为，利用二次函数的图象与性质，即可得出答案； （3）利用一元二次方程的根的判别式和韦达定理，即可得出答案． 【小问1详解】 当时，， ，即，解得或， ∴不等式的解集为或； 【小问2详解】 ， 则二次函数图象的开口向上，且对称轴为， ∴在上单调递增，， 在上恒成立，转化为， ∴，解得，故实数的取值范围为； 【小问3详解】 关于x的方程有两个不相等的正实数根， ∵，，， ∴且，解得， ， 令（）， 在上单调递减， ，， 故的取值范围为． 19. 有一种放射性元素，最初的质量为，按每年衰减 （1）求两年后，这种放射性元素的质量； （2）求年后，这种放射性元素的质量（单位为：）与时间的函数表达式； （3）由（2）中的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期）．（精确到年，已知：，） 【答案】（1）405 （2） （3）年. 【解析】 【分析】(1)根据衰减率直接求解即可；(2)根据衰减规律归纳出函数表达式；(3)半衰期即为质量衰减为原来的一半，建立等式，利用换底公式求解. 【小问1详解】 经过一年后，这种放射性元素的质量为， 经过两年后，这种放射性元素的质量为， 即两年后，这种放射性元素的质量为405 【小问2详解】 由于经过一年后，这种放射性元素的质量为， 经过两年后，这种放射性元素的质量为， …… 所以经过年后，这种放射性元素的质量. 【小问3详解】 由题可知，即年. 20. 已知且，函数在R上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个. ①函数为奇函数；②；③. （1）从中选择的两个条件的序号为_____，依所选择的条件求得____，____； （2）利用单调性定义证明函数在上单调递减； （3）在（1）的情况下，若方程在上有且只有一个实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）①②；； （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过分析可知一定满足①②，从而列出方程组，求出，； （2）定义法判断函数的单调性步骤：取值，作差，变形，判号； （3）参变分离得到，，换元后转化为在上有唯一解，结合（2）中函数单调性，求出的值域，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 因为函数在R上是单调减函数， 故②；③不会同时成立，两者选一个， 故函数一定满足①函数为奇函数， 由于函数定义域为R，所以有，则，， 故一定满足②， 选择①②；， ， 解得：，； 【小问2详解】 任取，且， 则， 由于，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减. 【小问3详解】 由（1）可得， 所以方程为，即， 令，由于，所以， 则问题转化为在上有唯一解. 由（2）知，函数在上单调递减， 所以， 所以，实数的取值范围是. 21. 如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间． Ⅰ已知函数，其中且，，． 当时，若函数是上的等域函数，求的解析式； 证明：当，时，函数不存在等域区间； Ⅱ判断函数是否存在等域区间？若存在，写出该函数的一个等域区间；若不存在，请说明理由． 【答案】(Ⅰ)； 见证明；(Ⅱ)见解析 【解析】 【分析】Ⅰ当时，若函数是上的等域函数，根据函数的单调性，建立方程关系，进行求解即可； 当，时，根据等域区间的定义建立方程关系，进行判断； Ⅱ结合函数的单调性，建立方程关系进行判断即可． 【详解】Ⅰ已知函数，其中且，，． 当时， 若函数是上的等域函数， 当时，为增函数， 则，得，此时 当时，为减函数， 则，得，不满足条件． 即； 证明：当，时，，即， 则为减函数， 假设函数存在等域区间， 则，两式作差得， 即， ，， ，，， 则， 等式不成立，即函数不存在等域区间； Ⅱ函数不存在等域区间， 证明假设函数存在等域区间， 则， 即， 两式作差得， 即， 即函数过，的割线斜率等于4， 为减函数， 任意两点的割线斜率为负数， 故不成立，即不存在等域区间． 【点睛】本题主要考查函数值域的应用，结合等域区间的定义建立方程组关系，结合函数单调性的性质是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $