精品解析：2026年河南平顶山市鲁山县第八教研区中考学科第一次调研九年级数学试卷

2026年中考学科第一次调研 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 面积为9的正方形，其边长等于（　　） A. 9的平方根 B. 9的算术平方根 C. 9的立方根 D. 的算术平方根 2. 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ） A. B. C. D. 3. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，，则的度数是（ ） A. 18° B. 20° C. 25° D. 30° 6. 某单位招聘一名员工，从专业知识、工作能力、面试成绩三个方面进行考核（考核的满分均为100分），三个方面的权重比依次为．小明经过考核后所得的分数依次为90分、85分、80分，那么小明考核的最后得分是（ ） A. 80分 B. 84分 C. 87分 D. 90分 7. 我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 某摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的顶点O是原点，A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象过的顶点C和中心．将绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数的自变量的取值范围是___________． 12. 化简：______． 13. 某城市人民广场（如图）是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入环岛，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出，则甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是______． 14. 如图1，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接，设BF的长为x，，如图2是点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是______． 15. 如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算与解不等式组： （1）计算：． （2）解不等式组： 17. 近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各名司机月收入情况：（单位：千元）甲公司司机：4，5，9，10，4，5，5，5，4，9．乙公司司机：4，5，7，8，6，7，6，5，6，6．整理数据，画出统计表和统计图如下： 甲公司网约车司机收入频数分布表 月收入 4千元 5千元 9千元 10千元 人数 3 4 2 1 乙公司网约车司机收入分布统计图 根据以上信息，分析数据如下表： 网约车公司 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元 甲公司 6 5 5 乙公司 6 6 （1）请求出的值． （2）______，______，圆心角______． （3）林林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是林林，请从平均数、中位数、众数和方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并给他的叔叔提供建议． 18. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． （1）求密度关于体积V的函数解析式； （2）若，求二氧化碳密度的变化范围． 19. 如图，在四边形中，为对角线，． （1）用无刻度直尺和圆规在线段上求作一点E，使得，连接AE．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，小米在证明（1）中得到的四边形是平行四边形时，考虑先用等边对等角与等量代换，得到一组角相等，进而证明两三角形全等，再利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，得到四边形是平行四边形．请根据小米的证明思路写出证明过程． 20. 拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 21. 某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量y（单位：）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象，其中折线表示用快速充电器充电时与x的函数关系；线段表示用普通充电器充电时与x的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： （1）用快速充电器充电时，汽车电池电量从充到需______h． （2）求关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围． （3）该品牌汽车电池电量从充到，快速充电器比普通充电器少用______h． 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动． 问题情境：在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． （1）操作判断 当时，如图1，连接，试判断四边形的形状，并证明； （2）深入探究 连接，取的中点，连接．善于思考的小东发现当点在边上运动时，的值始终不变，请你利用图2求的值． （3）解决问题 若，，如图3，在（2）的探究中，当时，直接写出两点之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第一次调研 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 面积为9的正方形，其边长等于（　　） A. 9的平方根 B. 9的算术平方根 C. 9的立方根 D. 的算术平方根 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：正方形的面积为9， 其边长． 故选：B． 【点睛】本题考查的是算术平方根，解题的关键在于熟练掌握算术平方根的定义，算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根． 2. 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可． 【详解】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即： ． 故选：C 3. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：几何体的主视图为： 故选A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式可判定A，积的乘方与幂的乘方可判定B，合并同类项可判断C，利用幂的乘方可判定D即可； 【详解】解：A.，故选项A计算错误，不符合题意； B. ，故选项B计算错误，不符合题意； C. ，故选项C计算错误，不符合题意； D. ，故选项D计算正确，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了幂的运算公式、完全平方公式、合并同类项，准确分析判断是解题的关键． 5. 如图，，，，则的度数是（ ） A. 18° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 6. 某单位招聘一名员工，从专业知识、工作能力、面试成绩三个方面进行考核（考核的满分均为100分），三个方面的权重比依次为．小明经过考核后所得的分数依次为90分、85分、80分，那么小明考核的最后得分是（ ） A. 80分 B. 84分 C. 87分 D. 90分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法，将各科分数乘以对应的权重比例，再求和即可得到最终得分． 【详解】解：由题意可知，权重比为，总权重为，则各部分的权重分别为、、， 计算小明的最后得分：分， 故选：B． 7. 我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可. 【详解】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛， ∴5x+y=3， ∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛， ∴x+5y=2， ∴得到方程组， 故选：A. 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键. 8. 我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 【详解】解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 9. 某摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ． 10. 如图，的顶点O是原点，A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象过的顶点C和中心．将绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用点D是的中点求出点B的坐标和反比例函数解析式，再由得到点C的横坐标，代入反比例函数解析式求得点C的坐标，再根据点D是的中点求出点A的坐标，再根据旋转的周期性得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴点D是的中点，点D是的中点， 又∵ ∴， 将点代入得： ∴ ∴反比例函数的解析式是． ∵ ∴点C的横坐标是4， 当时，， ∴ 又∵点D是的中点，， ∴ ∵绕原点O逆时针旋转，每次旋转， ∴点A的坐标每4次旋转作为一个循环， ∵，第三次旋转之后点A的坐标是 ∴第次旋转结束时，点A的坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，反比例函数的图象与性质，旋转的性质等知识，利用数形结合思想和掌握旋转的周期性是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数的自变量的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键． 12. 化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式加法运算，约分，因式分解，根据异分母分式加法运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 某城市人民广场（如图）是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入环岛，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出，则甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，可画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种， ∴甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是． 14. 如图1，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接，设BF的长为x，，如图2是点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由对称的性质可得， 所以，当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，根据图，时，，设，则，根据，此时可计算， 连接交于，连接，过点作于，通过，算得，，计算通过勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，连接，，交于， ∵在菱形中点，点关于对称， ∴， ∴， 当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，如图，当时，， 设，则，， ∴， ∴， ∴，， 由图知：， 如图，连接交于，连接，过点作于， ∵四边形是菱形， ∴，，， 由勾股定理得：，此时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， 即图象最低点的纵坐标是． 15. 如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长交延长线于点，过作于点，则，由三线合一性质可得，然后证明四边形是矩形，所以，，又，则可证，所以，求出，然后通过平行线的性质和等角对等边可得，设，则，，最后通过勾股定理求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过作于点，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴，解得：， 即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算与解不等式组： （1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为． 17. 近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各名司机月收入情况：（单位：千元）甲公司司机：4，5，9，10，4，5，5，5，4，9．乙公司司机：4，5，7，8，6，7，6，5，6，6．整理数据，画出统计表和统计图如下： 甲公司网约车司机收入频数分布表 月收入 4千元 5千元 9千元 10千元 人数 3 4 2 1 乙公司网约车司机收入分布统计图 根据以上信息，分析数据如下表： 网约车公司 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元 甲公司 6 5 5 乙公司 6 6 （1）请求出的值． （2）______，______，圆心角______． （3）林林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是林林，请从平均数、中位数、众数和方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并给他的叔叔提供建议． 【答案】（1）； （2），，； （3）因为两家公司司机的月收入平均数一样，乙公司的中位数、众数大于甲公司，且乙公司司机月收入的方差小，收入更稳定，所以建议他的叔叔去乙公司做网约车司机．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了统计图，平均数、中位数、众数，读懂题意，获取信息是解题的关键． （）根据算术平均数的计算公式可得的值； （）根据中位数的定义可得的值，用平均月收入千元总数即可求出的值，由用乘平均月收入千元所占比可得圆心角的度数； （）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：甲公司网约车司机收入从小到大排序后，中位数排在第，个司机的平均数， ∴（千元）， 乙公司网约车司机收入千元所占比， ， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：因为两家公司司机的月收入平均数一样，乙公司的中位数、众数大于甲公司，且乙公司司机月收入的方差小，收入更稳定， 所以建议他的叔叔去乙公司做网约车司机．（答案不唯一） 18. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． （1）求密度关于体积V的函数解析式； （2）若，求二氧化碳密度的变化范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可完成； （2）把V=3和V=9代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度的变化范围． 【小问1详解】 解：∵密度与体积V是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：观察函数图象可知，随V的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时， 即二氧化碳密度的变化范围是． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 19. 如图，在四边形中，为对角线，． （1）用无刻度直尺和圆规在线段上求作一点E，使得，连接AE．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，小米在证明（1）中得到的四边形是平行四边形时，考虑先用等边对等角与等量代换，得到一组角相等，进而证明两三角形全等，再利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，得到四边形是平行四边形．请根据小米的证明思路写出证明过程． 【答案】（1） 如图，点E即为所求作． （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形AECD是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于点即可； （2）证明，推出，，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 【答案】36m 【解析】 【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则 ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， ∴该古建筑的高度为36m． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键． 21. 某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量y（单位：）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象，其中折线表示用快速充电器充电时与x的函数关系；线段表示用普通充电器充电时与x的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： （1）用快速充电器充电时，汽车电池电量从充到需______h． （2）求关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围． （3）该品牌汽车电池电量从充到，快速充电器比普通充电器少用______h． 【答案】（1）； （2）关于x的函数表达式为，自变量x的取值范围为． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象即可求出答案； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）分别求出快速充电器所用时间和普通充电器所用时间，即可求出答案． 【小问1详解】 解：由图象可知，用快速充电器充电时，汽车电池电量从充到需． 【小问2详解】 解：设关于的函数解析式为， 将代入解析式中，得： ， 解得， 关于的函数解析式为； 【小问3详解】 解：把代入，得， 解得， ， 该品牌汽车电池电量从充到，快速充电器比普通充电器少用． 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【小问2详解】 解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动． 问题情境：在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． （1）操作判断 当时，如图1，连接，试判断四边形的形状，并证明； （2）深入探究 连接，取的中点，连接．善于思考的小东发现当点在边上运动时，的值始终不变，请你利用图2求的值． （3）解决问题 若，，如图3，在（2）的探究中，当时，直接写出两点之间的距离． 【答案】（1） 四边形是菱形； 理由：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出，进而证明，，得出四边形是菱形； （2）延长至点，使，连接，依题意，，证明，得出，即可求解． （3）延长至点，使，连接，过点作于点，可得是三角形是中位线，证明，则，，进而得出，，可得点在上，根据等边三角形的性质勾股定理求得，，进而分点在的左边和右边，分别求得，根据求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，延长至点，使，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 延长至点，使，连接，过点作于点， ∵是的中点， ∴是三角形是中位线 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，中位线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $