立体几何中的截面、交线问题课件-2026届高三数学一轮复习

立体几何中的截面、交 线问题 “截面、交线”问题是高考立体几何问题中具有创 新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体 几何题赋予了活力.有关截面、交线问题，常见考查方式:作截面、判 断截面图形的形状、求截面图形的周长或面积、求截面有关的体积 问题，意在考查空间想象能力，化归和转化能力. 2 例1 如图，在四棱锥中，底面是矩形， 平面，是的中点.若是的中点， 过点 作一个截面，使得该截面与平面 平行， 请画出截面，并写出作图过程（无需证明）. 解：如图，取的中点, 的中点， 连接,, ， 则截面与平面 平行. 类型一 作截面 3 [总结反思] （1）作截面应遵循的三个原则:①在同一平面上的两点可引直线;② 凡是相交的直线都要画出它们的交点;③凡是相交的平面都要画出它 们的交线. （2）作交线的方法有如下两种:①利用基本事实3作交线; ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行, 然后根据性质作出交线. 4 注:正方体的一些截面: 5 变式题 在正方体中，，分别为， 的中 点，.过点,, 三点作该正方体的截面，在图中画出这 个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）. 6 解：如图，连接并延长，与 的延长线交于， 连接，与交于点，连接 ， 延长，与的延长线交于， 延长 ，与的延长线交于，连接， 与交于 ,与交于，连接， ， 则六边形 即为所作的截面. 7 例2（1）用一个平面去截正方体，则截面不可能是( ) A.正方形 B.梯形 C.等边三角形 D.钝角三角形 √ 类型二 截面图形的形状判断 8 [解析] 用一个平面去截正方体，截面可能是正方形、梯形、等边 三角形. 当平面平行于正方体的一个面时，截面是正方形，如图①； 如图②，截面可以是梯形； 如图③，当平面过正方体的三个顶点时，截面是等边三角形. 截面不可能为钝角三角形，故选D. 9 （2）[2025·江苏南通调研]在正方体中，为 的 中点，则平面 截正方体所得的平面图形为( ) A.三角形 B.等腰梯形 C.直角梯形 D.五边形 √ 10 [解析] 如图，连接，延长交直线于 ， 连接，交于，连接，则四边形 即为所求截面. 由题设有 ，故为的中点， 则且. 因为 ，，所以四边形为 平行四边形，所以 且， 故且， 又 ，所以四边形 为等腰梯形.故选B. 11 [总结反思] 判断几何体被一个平面所截得的截面形状，关键在于弄清这个平面 与几何体的面相交成线的形状和位置，可得利用面面平行转化为线 线平行去寻找截面，也可以利用面的延伸与棱的交点，从而找到截 面与几何体面上的两交点，从而定出截面. 12 变式题（1）如图所示，四面体木块的四个面均为等 边三角形，点是的中心，过点 将木块锯开， 并使得截面平行于和 ，则所得截面是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.矩形 D.梯形 √ [解析] 由题意可知，点是的中心，过点 作 ，分别交,于,，作交于 . 设过点，，的平面与交于点，因为 平 面， 平面，所以平面 ， 13 同理平面，即四边形即为所求截面. 由平面 ，平面 平面， 平面，得 ，故， 同理可得，则， 故四边形 为平行四边形，即截面是平行四边形. 设为的中点，连接,，则 ,， 又，, 平面，所以 平面. 因为 平面，所以，而， ， 故，即平行四边形 为矩形，即截面是矩形.故选C. 14 （2）已知三棱柱中，，分别为棱， 的中 点，过，，作三棱柱的截面交于点，且 ，则 ___. 6 15 [解析] 如图，连接并延长，与 的延长 线交于点，连接与直线交于点 ， 易知即为点. 因为与相交于点 ，所以，，，四点共面. 因为是 的中点，且， ，所以， ，所以是的中位线，则是 的中点. 连接，，因为为的中点，所以 ， . 易知，则 ，所以 . 16 例3（1）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角 都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. √ 类型三 截面图形的周长或面积 17 [解析] 在正方体的所有棱中，实际上是3组平行 的棱，每条棱所在直线与平面 所成的角都相 等，如图所示， 与正六边形 平行的平面满足条件， 且当截面 为正六边形 时， 截此正方体所得截面的面积最大， 故 截此正方体所得截面面积的最大值为 .故选A. 18 （2）如图，在棱长为3的正方体中，为 的中 点，为的中点，过，， 作正方体的截面，则截面的周长 为_ __________. 19 [解析] 如图，在正方体 中， 连接， 设直线与直线，分别交于， ， 连接，，分别与，交于点， ， 连接，，则五边形是过，， 的正方体的截面. 由为的中点，为 的中点， 得，，则 ， 同理 ，则，故， ， 20 同理可得，， 则 ， ， ， 所以截面的周长为 . 21 [总结反思] 破解有关几何体的截面图形的周长或面积题的关键：一是定图，即 判断或作出截面图形的特征；二是用公式，即会利用平面图形的周 长与面积公式，有时还需利用解三角形的相关知识进行解决. 变式题（1）在正三棱柱中，，为 的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球 的 截面，则所得截面圆面积的最小值为( ) A. B. C. D. √ 23 [解析] 因为四边形为正方形，所以点在 的外接圆上， 又三棱锥的四个顶点均在球上， 即球 为四棱锥的外接球， 故球心为正方形的中心，则球 的半径为. 过作球 的截面，当所得截面圆面积最小时，截面圆圆心为 的中点（即过作截面的垂线，垂足为 的中点）， 所以截面圆的半径的最小值为1，所以截面圆面积的最小值为 . 24 （2）如图，已知四面体 为正四面体， ，,分别是, 的中点.若用一个与 直线 垂直，且与四面体的每一个面都相交的 平面 去截该四面体，由此得到一个多边形截 面，则该多边形截面面积的最大值为___. 1 25 [解析] 将正四面体 补成正方体，如图. , 截面为平行四边形, ,,, 分别为，，， 上的点， 且， ， 易得， 又, , , 当且仅当 时取等号，故所得多边形截面面积的最大值为1. 26 例4 如图，过三棱柱下底面的边 作一个截面， 截面与上底面的交线为,,分别是 , 的中点.该截面将三棱柱 分 成了两部分，设较大部分的体积为 ，较小部 分的体积为，则 __. 类型四 截面有关的体积问题 27 [解析] 由题意知几何体 为三棱台. 设三棱柱的高为， 的面 积为. 因为,分别是, 的中点，所以， 即，则 的面积为， 所以 , ， 故，所以 . 28 [总结反思] 破解截面有关的体积问题的关键：一是定形，一个几何体被一个平 面所截，需弄清截成两个几何体的形状；二是用公式，会利用柱、 锥、台的体积公式对几何体的体积进行求解. 29 变式题 在直三棱柱中，点，， 满足 ，， ，则下列说法正确的是( ) A.三棱锥 的体积为定值 B.三棱锥 的体积为定值 C.当时，三棱柱被截面 分成的上、下两部分的体积相等 D.当时，三棱柱被截面 分成的上、下两部分的体积相等 √ 30 [解析] 如图所示，因为， 平面 ， 平面，所以 平面 ，同理可证平面. 对于A， 到平面的距离为定值， 但 不为定值，所以不为定值，故A错误； 对于B， 到平面的距离为定值，且为定值， 所以 为定值，故B正确； 对于C，D，根据对称性知，当 ，即时，三 棱柱被截面 分成的上、下两部分的体积相等，故C，D错误.故选B. 31 【备选理由】例1以三棱柱为背景，考查截面图形的面积、几何体的 体积、线面平行的判断及线面角； 例1 ［配例3使用］（多选题）[2025·江西抚州 质检]如图，在正三棱柱中， ， 分别是棱，的中点，是线段 的 中点，是棱上靠近点 的四等分点，则下 列说法正确的是( ) 教 师 备 用 习 题 32 A.平面平面 B.直线与平面所成的角为 C.三棱锥 的体积与正三棱柱 的体积之比为 D.若，则过，， 三点作平 面 ，截正三棱柱 所得截面图形 的面积为 √ √ √ 教 师 备 用 习 题 33 [解析] 对于选项A，如图①,取的中点 ， 连接,，则在中，为的中点， 为的中点，所以. 在中， 为的中点，为的中点， 所以 . 因为，，所以,,, 四点共面. 又, 平面，, 平面， 所以 平面，平面， 又，所以平面平面 , 所以A正确. 教 师 备 用 习 题 34 对于选项B,由A知平面平面 ， 所以直线与平面所成的角即为直线 与平面 所成的角. 在正三棱柱中，易得, ， 又，所以 平面 ， 所以直线与平面所成的角为 , 而 ，所以B错误. 教 师 备 用 习 题 35 对于选项C，因为 平面，， 所以 平面. 因为，，所以 , 所以， 所以三棱锥 的体积与正三棱柱 的体积之比为 ，所以C正确. 教 师 备 用 习 题 36 对于选项D，如图②,连接 并延长，交于点， 连接,,则即是平面 截正三棱柱得到的 截面图形. 因为为正三角形，为的中点，所以. 因为 平面， 平面，所以. 又, , 平面，所以 平面. 又 平面 ，所以. 教 师 备 用 习 题 37 在中，， 在 中，, 又，所以 . 根据勾股定理得 ， 所以，所以D正确.故选 . 教 师 备 用 习 题 38 例2 ［配例2、例3使用］（多选题）[2025·辽宁省实验中学模拟]在 棱长为4的正方体中，，，分别是棱 ， ，的中点，是棱 上的动点（包含端点），则 ( ) 【备选理由】 例2以正方体为背景，主要考查截面图形的形状判断与截面图形的面积； 教 师 备 用 习 题 39 A.当点是棱的中点时，过点且与平面 平行的平面截该 正方体所得截面图形的面积为 B.若过点，，的平面截该正方体所得截面与交于点 ，则 C.过点且与 垂直的平面截该正方体所得截面图形的面积的最大 值为 D.存在点，使得过点，， 的平面截该正方体所得截面图形为 五边形 √ √ √ 教 师 备 用 习 题 40 因为，，分别为，， 的中点， 所以，， 又 平面， 平面， 平面， 平面， 所以 平面，平面， 又，所以平面 平面，所以即为过点 且与平面 平行的平面截该正方体所得截面图形， 因为正方体 的棱长为4，所以， 所以 的面积为 ，故A正确. [解析] 对于A，如图①所示，取的中点，连接，， ， 教 师 备 用 习 题 41 对于B，如图 ②，延长，，延长线交于点， 连接 ，与交于点，延长， ， 延长线交于点，连接，与交于点， 连接， ， 则五边形为平面 截 正方体所得的截面图形， 因为为的中点，所以 ，所以， 又 ，所以，所以 ，故B正确. 教 师 备 用 习 题 对于C，如图③，分别取，的中点，， 连接,,，易得 ，， 又,, 平面， 所以 平面 ，所以过点且与垂直的平面 与平面 平行或重合，且截该正方体所得截面图形为矩形， 当点 在线段上时，矩形的面积最大，且等于矩形 的 面积， 又，，则截面图形面积的最大值为 ，故C正确. 教 师 备 用 习 题 43 对于D，连接，，， 由题可知，，分别是， 的中点， 则. 当点与点重合时，过点，， 的平面截该 正方体所得截面图形为矩形； 当点与点 重合时，截面图形为四边形（菱形）； 当在棱 （除端点外）上时，如图④，作交于 点，连接并延长,交 的延长线于点，连接并延长, 交的延长线于点 ，连接,交于点，交于点， 连接, ，则多边形为过，， 三点的截面图形， ④ 教 师 备 用 习 题 44 由正方体的对称性可知梯形与 梯形 全等，则截面图形为六边形. 综上，过，， 三点的平面截该正方体所得 截面图形不可能是五边形，故D错误.故选 . ④ 教 师 备 用 习 题 45 例3 ［配例1、例3使用］[2025·浙江浙南名校联考] 如图，在四棱锥中，，，分 别是， 的中点，， . （1）求证：平面 ； 【备选理由】 例3以四棱锥为背景，考查截面图形的作法及截面图形 的周长； 教 师 备 用 习 题 46 证明：方法一：取的中点，连接， ，如图①. ，，分别为， 的中点， ， 又 平面， 平面， 平面 . ,分别为，的中点， . 平面， 平面，平面 . ，， 平面， 平面平面 ， 又 平面，平面 . 教 师 备 用 习 题 47 方法二：取的中点，过作交于 ， 取的中点，连接，， ，如图②， 则，， ， ，, ， 四边形 是平行四边形， . 平面， 平面， 平面 . 教 师 备 用 习 题 48 （2）若平面，求 的值； 教 师 备 用 习 题 49 解：连接，，设交点为，连接 ， 如图③. 平面，平面 平面 ， 平面， ， . 又，， . 教 师 备 用 习 题 50 （3）当时，若， ， ，请在图中作出四棱锥过点，， 的截面 （保留作图痕迹），并求出截面周长. 教 师 备 用 习 题 51 解：设为上靠近点的三等分点，连接， ， ，，如图④，则四边形 为所求截面. 证明如下：，， . ， , 四边形是平行四边形， ， ,故，，， 四点共面， 故四边形 为所求截面. 教 师 备 用 习 题 52 ， ， ，， . 在中，， ， ， 则 ， 故截面周长为 . 教 师 备 用 习 题 例4 ［配例4使用］[2025·浙江丽水质检] 如图，四 棱柱中， 底面 ，四边 形为梯形，，且，过,, 三点的平面记为 ，与 的交点为 . （1）证明：为 的中点； 【备选理由】 例4以四棱柱为背景，考查截面分成两部分的体积问题，考查两平面夹角的正切值. 教 师 备 用 习 题 54 证明：如图，延长,，延长线交于点 ， 因为,， ， 且， 平面， , 且, 平面 ， 所以平面 平面 ， 因为 平面，所以 ， 因为，，所以 ， 因为，所以，即为 的中点. 教 师 备 用 习 题 55 （2）求此四棱柱被平面 所分成上、下两部 分的体积之比； 解：延长,，延长线交于点，连接 ， 因为几何体 为四棱柱， 所以几何体 为三棱柱， 易知 . 因为为的中点， ， 所以， ， 教 师 备 用 习 题 56 所以 . 因为,分别是, 的中点， 所以 ， 则 ， 所以， 即四棱柱被平面 所分成上、下两部分的体积之比为 . 教 师 备 用 习 题 （3）若,，梯形的面积为6，求平面 与平面 的夹角的正切值. 教 师 备 用 习 题 58 解：由（1）知平面为平面 ，作 ， 垂足为，连接 ， 因为 平面， 平面 ， 所以 ， 因为，且， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面，所以 ， 所以为平面 与平面 的夹角. 教 师 备 用 习 题 59 因为,,分别为,的中点， ， 所以， . 因为，所以，则 ， 所以 ， 所以平面 与平面 的夹角的正切值为1. 教 师 备 用 习 题 $