精品解析：天津市静海区第二中学2025-2026学年第二学期 九年级数学练习卷 结课考试卷

静海二中2025-2026学年第二学期九年级练习卷结课考试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算（﹣8）﹣（﹣5）的结果等于（　　） A. -3 B. -13 C. -40 D. 3 2. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 3. 下图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 同种液体，压强随着深度增加而增大．深处海水的压强为，数据72100000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 的值等于（　　） A. 1 B. C. D. 7. 方程的两根为、，则的值为（　　） A. B. C. D. 3 8. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A. B. 平分 C. D. 12. 四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 不透明袋子中装有12个球，其中有4个蓝球、5个粉球、3个橙球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是粉球的概率为__________． 14. 计算：_________． 15. 计算的结果为______________． 16. 直线向下平移4个单位长度后与轴相交于点，则的坐标为______． 17. 如图，在四边形中，，，连接对角线AC、BD，，，若为的中点，为的中点，连接． （Ⅰ）四边形的面积为______． （Ⅱ）的长为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A、B，C都是格点，点N在圆上且不在网格线上，连接． （Ⅰ）线段的长等于______； （Ⅱ）在圆上找点M，满足弦，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M并简要说明它的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_________； （2）解不等式②，得_________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为__________． 20. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 21. 已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 23. 已知学生宿舍、文具店、自习室依次在同一条直线上，文具店离宿舍，自习室离宿舍，小明从宿舍出发，先匀速步行到文具店，在文具店购买文具停留了，之后匀速骑行到达自习室，在自习室停留后，匀速骑行了返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 40 75 小明离宿舍的距离 0.8 ②填空：小明从自习室到宿舍的骑行速度为______； ③当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （2）当小明离开宿舍时，同宿舍的小杰从文具店出发匀速步行直接前往自习室，如果小杰比小明晚到达自习室，那么他在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 24. 在平面直角坐标系中，为原点，的顶点的坐标为，点在第一象限，，，矩形的顶点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点坐标为． （1）如图①，求点的坐标； （2）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重登部分的面积为． ①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，与相交于点，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线 （，为常数，）与x轴相交于， B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C． （1）若点C的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； （2）当时， 求b的值； （3）若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接，当的最小值为17时，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海二中2025-2026学年第二学期九年级练习卷结课考试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算（﹣8）﹣（﹣5）的结果等于（　　） A. -3 B. -13 C. -40 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】（﹣8）﹣（﹣5）=﹣8+5=﹣3， 故选A． 2. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法解答即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故选：． 3. 下图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是指从正前方向看到的图形，由此从正面看，该立体图形有两层，第一层有三个正方形，第二层有一个正方形，且在最右侧，据此即可得出结论． 【详解】解：该立体图形的主视图是 ． 4. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A.选项中的美术字不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B. 选项中的美术字不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C. 选项中的美术字是轴对称图形，故此选项符合题意； D. 选项中的美术字不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 同种液体，压强随着深度增加而增大．深处海水的压强为，数据72100000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】72100000= 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 6. 的值等于（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的加法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先代入特殊角的三角函数值，再合并二次根式即可． 【详解】解：． 故选：B． 7. 方程的两根为、，则的值为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． 根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ． 故选：A． 8. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，根据分式的加减运算法则，先通分再化简即可． 【详解】解： ． 故选：B． 9. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数值的大小，将各点横坐标代入反比例函数，求出，，的值，再比较大小． 【详解】当时，； 当时，； 当时，． 因为， 所以． 故选B． 10. 如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理求得，根据作图过程可得，由四边形是平行四边形，可得，从而得出，进一步得到，由等腰三角形判定可得，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题中作图可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握坐标与图形的性质． 11. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A. B. 平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过以上知识点，逐个选项进行分析判断即可求解． 【详解】解：将以点为旋转中心逆时针旋转得到， ， ，，，， ，， ，故A正确； ， ， ， ， 平分，故B正确； ， ， 由上可知，， ，故C正确； 选项D无法判断； 故选：D． 12. 四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 不透明袋子中装有12个球，其中有4个蓝球、5个粉球、3个橙球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是粉球的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率计算，准确找出对应数据是解题关键． 利用概率公式，找到粉球个数和球的总个数，两者相除可得取到粉球的概率． 【详解】解：球的总数是12，粉球有个，那么随机取出一个球是粉球的概率， 故答案为：． 14. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 15. 计算的结果为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平方差公式，解题关键是熟练掌握平方差公式的运用． 根据平方差公式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 16. 直线向下平移4个单位长度后与轴相交于点，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数平移确定平移后的一次函数解析式，即可求出平移后直线与y轴的交点坐标． 本题考查求一次函数平移后解析式及与坐标轴的交点坐标，熟练掌握“自变量x左加右减，因变量y上加下减”是解题的关键． 【详解】解：由直线向右平移4个单位长度，可得平移后的直线解析式为：， 令代入解析式，，解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 17. 如图，在四边形中，，，连接对角线AC、BD，，，若为的中点，为的中点，连接． （Ⅰ）四边形的面积为______． （Ⅱ）的长为______． 【答案】 ①. 40 ②. 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定和三角形中位线的应用、勾股定理，根据，，由垂直平分线判定定理可得，由此根据四边形的面积为，在取的中点M，连接、，可得、是中位线，是直角三角形，由勾股定理即可求出． 【详解】解：（Ⅰ）∵，， ∴， ∴四边形的面积为 （Ⅱ）在取的中点M，连接、， ∵E为的中点， ∴，， 同理：，， ∵， ∴，∴， 故答案为：（Ⅰ）40，（Ⅱ）． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A、B，C都是格点，点N在圆上且不在网格线上，连接． （Ⅰ）线段的长等于______； （Ⅱ）在圆上找点M，满足弦，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M并简要说明它的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. 5 ②. 图见解析，取格点P，连接与圆相交于点Q，连接与相交于点D，连接并延长与圆相交于点M，点M即为所求 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、对称的性质，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键． （Ⅰ）利用网格特点和勾股定理求解即可； （Ⅱ）取格点P，连接与圆相交于点Q，利用对称的性质得到点的对称点点Q，连接与相交于点D，连接并延长与圆相交于点M，根据对称的性质可知点M即为所求． 【详解】（Ⅰ）解：由图知，， 故答案为：5． （Ⅱ）解：所作点M如图所示： 取格点P，连接与圆相交于点Q，连接与相交于点D，连接并延长与圆相交于点M，点M即为所求． 故答案为：取格点P，连接与圆相交于点Q，连接与相交于点D，连接并延长与圆相交于点M，点M即为所求． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_________； （2）解不等式②，得_________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为__________． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题重点考查一元一次不等式组的解法，注意在求解过程中遵循不等式的基本性质，确保计算的准确性． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可； （3）在数轴上表示即可； （4）根据数轴求出两个不等式的公共部分即可． 【小问1详解】 解：， 两边同时减，得到，即， 两边再同时除以，不等号方向不变，解得． 故答案为：； 【小问2详解】 解：，两边同时减7x，得到，即． 故答案为：； 【小问3详解】 解：把两个不等式的解集在数轴上表示，如图所示： 【小问4详解】 解：由数轴可知，不等式组的解集为． 故答案为：． 20. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1） （2）8.36 （3）150人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 在这组数据中，8出现了17次，次数最多， 众数是8， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． 【小问2详解】 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 21. 已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 【答案】（1） （2）3， 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可； （2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接． 与相切于点， ．又， 平分． ∴． ， ． 在中，， ． 【小问2详解】 由（1）知：． ， ． 为的一个外角， ． 由题意，为的直径， ． 又的半径为3，则：． 在中，， ． 22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【小问1详解】 解：设，由，得． ，垂足为， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 得． 答：线段的长约为． 【小问2详解】 在中，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 23. 已知学生宿舍、文具店、自习室依次在同一条直线上，文具店离宿舍，自习室离宿舍，小明从宿舍出发，先匀速步行到文具店，在文具店购买文具停留了，之后匀速骑行到达自习室，在自习室停留后，匀速骑行了返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 40 75 小明离宿舍的距离 0.8 ②填空：小明从自习室到宿舍的骑行速度为______； ③当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （2）当小明离开宿舍时，同宿舍的小杰从文具店出发匀速步行直接前往自习室，如果小杰比小明晚到达自习室，那么他在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）①0.4；2；1．②0.2．③． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间、路程三者之间的关系和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）①根据图象以及路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； ②根据路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； ③利用待定系数法求解即可，然后写成分段函数的形式； （2）根据题意，利用待定系数法求出小杰离宿舍的距离y与时间x之间的关系式，根据二人离宿舍的距离相等列方程，求解再进行计算即可． 【小问1详解】 解：①小明从宿舍到文具店过程中的速度为：， 当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：, 由图可知，当小明离开时，他离宿舍的距离为, 小明从自习室返回宿舍过程中的速度为：， 当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：． ②由①可知小明从自习室到宿舍的骑行速度为． ③当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：， 将代入，得， 解得， ∴， 当时，由图像可知，小明离宿舍的距离始终为0.8， ∴， 当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：， 将和代入，得， 解得， ∴ 综上所述，小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：． 故答案为：①0.4；2；1．②0.2．③． 【小问2详解】 设小杰离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：， 将和代入，得， 解得， ∴， ∵小杰在前往自习室的途中遇到了小明， ∴， 解得， 此时离宿舍的距离为：， 答：小杰在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，的顶点的坐标为，点在第一象限，，，矩形的顶点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点坐标为． （1）如图①，求点的坐标； （2）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重登部分的面积为． ①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，与相交于点，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点作轴于点，根据题意可得是等腰直角三角形，可得，由此即可求解； （2）图形结合分析，当时，过点；当时，过点，矩形与重叠部分不能组成五边形；可求出的取值范围，再根据图示，可得，由此即可求解；②根据图形的平移，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论：当，，时，分别算出最大值与最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作轴于点， 已知顶点的坐标为，点在第一象限，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：已知四边形是矩形，， ∴，， ∴，， 由（1）可知，， ①矩形沿轴向右平移，， ∴当时，过点，矩形与重叠部分不能组成五边形； 当时，过点，矩形与重叠部分不能组成五边形； ∴的取值范围为：， 如图所示，过点作轴于点， ∴， 根据题意可知，，，，， ∴，，，， ∴，， ∴矩形与重登部分的面积为： ， ∴； ②由上述可知，， ∴当时，如图所示，当时， ∴； 如图所示，当时， ∴， ∴ ； 当时，， ∴当时，的面积最大，最大面积为； 如图所示，当时， ∴， ∴ ； 如图所示，当时， ∴，， ∴； 综上所述，当时，的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移，几何图形面积的计算，二次函数图象的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，图形平移的性质，二次函数图象的性质是解题的关键． 25. 已知抛物线 （，为常数，）与x轴相交于， B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C． （1）若点C的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； （2）当时， 求b的值； （3）若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接，当的最小值为17时，求b的值． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、平行四边形的性质等，确定的最小值是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）表示出点，令，则或，即点，即可求解； （3）通过作辅助线证明四边形为平行四边形，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，则：， ∴抛物线的表达式为：， 把代入，得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； 抛物线的对称轴为：， 当时，； 则抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的表达式为：，则点， 令，则或，即点， ∵， 则， 解得：； 【小问3详解】 解：由（2）知，点，点，抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， 作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向右平移的长度， 则点， 连接，则四边形为平行四边形， 则， 连接交抛物线对称轴于点、连接， 则， 当、、共线时（此时在处），上式等式成立，即的最小值为：， 即， 解得：（舍去）或， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $