高中数学单元测试——第八章立体几何初步（适中版02）

高中数学单元测试 —— 第八章 立体几何初步（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 【答案】B 【分析】利用棱柱的有关定义与性质逐项判断即可. 【详解】对于A，三棱柱的两底面是三角形，故A错误； 对于B，由棱柱的定义可得棱柱的侧面一定是平行四边形，故B正确； 对于C，由棱柱的定义可得棱柱的侧面都是平行四边形，由平行四边形的性质对边相等， 所以棱柱的侧棱全相等，故C错误； 对于D，各条棱长都相等的棱柱可能是正棱柱（如正六棱柱），但底面不一定是正方形， 故各条棱长都相等的棱柱不一定是正方体，故D错误. 故选：B. 2．（本题5分）下列几何元素可以确定唯一平面的是（    ） A．三个点 B．圆心和圆上两点 C．梯形的两条边 D．一个点和一条直线 【答案】C 【分析】根据平面的确定方法求解. 【详解】对A，三个不共线的点才能确定唯一平面，A错误； 对B，当圆上的两点和圆心共线时，三个点不能确定唯一平面，B错误； 对C，梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面，所以确定的平面唯一，C正确； 对D，当点在直线上时，这个点和直线不能确定唯一平面，D错误， 故选:C. 3．（本题5分）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 4．（本题5分）若圆锥的轴截面三角形面积为24，底面周长为，则其体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的面积公式，圆的周长公式，结合圆锥的体积公式进行求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，所以有：， 所以该圆锥的体积为：， 故选：D 5．（本题5分）如图 1，在平行四边形中， . 沿将折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，如图 2，若，则三棱锥外接球的表面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过勾股定理，可以证明和，利用直角三角形的性质“斜边上的中线长是斜边的一半”，可知的中点为外接球的球心，为半径，即可求得外接球的表面积. 【详解】 在Rt中， ，又， 所以，所以，同理可得. 取的中点，则， 所以为三棱锥 外接球的球心，为半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选: C. 6．（本题5分）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，过点，，的平面交于点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过平行得到平面与的交点，从而得到与面的交线，再由平行得到与平面的交线，从而确定点的位置，根据为的四等分点得到G为AD的三等分点，从而得到的长. 【详解】 如图，平面与平面的交线与平行，即过点作的平行线，交于点，连接， 因为，分别为棱和的中点，所以为的四等分点, 过点作，交于点.从而G为AD的三等分点，故. 故选：D. 7．（本题5分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面垂直判定定理可证明平面，再由异面直线所成角的定义可得结果. 【详解】取为弧的中点，连接，如下图所示：    由圆柱性质可得平面， 又平面，所以， 又因为，且，且平面， 可得平面，又平面， 所以，即， 易知，所以； 显然，所以与所成的角的即为与所成的角； 易知，所以. 故选：C 8．（本题5分）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设BC=1， ，则上顶的面积为（    ） A．3sinθ B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义，结合菱形的面积公式求解. 【详解】因为ABCDEF是正六边形，又BC=1， 则，即， 因为四边形PGHI为菱形，连接PH，GI，则， 又且GI=AC，则， 设， 则， 则，则， 则菱形PGHI的面积为， 则上顶菱形的面积为. 故选：D. 【点睛】 二、多选题 9．（本题6分）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用空间中线面和面面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，线与平面平行，直线并不与平面内的每一条直线平行，A错误： 对于B，若直线与平面垂直，则直线与平面内的每一条直线都垂直，B正确； 对于C，由线面平行性质定理可知，C选项正确； 对于D，结合正方形模型及线面垂直定义可知D选项正确. 故选：BCD. 10．（本题6分）将下列平面四边形中的沿对角线翻折成，使二面角为直二面角，其中四面体的外接球的半径等于2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据勾股定理即可求解A，根据正弦定理求解底面圆半径即可判断B，根据直角三角形的性质即可求解CD. 【详解】对于A，如图：,解得，故A正确， 对于B，底面圆的半径为,而，故B错误， 对于C，由于和均为直角三角形，且二面角为直二面角，故的中点即为球心，故,C正确， 对于D，由于和均为直角三角形，且二面角为直二面角，取中点为，中点为,则,结合二面角为直二面角，是两平面的交线，故平面，平面，故, 因此, 故的中点即为球心，故,D正确， 故选：ACD 11．（本题6分）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则（    ） A．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 B．勒洛四面体内切球的半径是 C．勒洛四面体的截面面积的最大值为 D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 【答案】BC 【分析】求出勒洛四面体被平面截得的截面面积判断选项；求出勒洛四面体内切球的半径判断选项． 【详解】观察几何体知，勒洛四面体的最大截面是经过正四面体的任意三个顶点的平面截勒洛四面体而得， 勒洛四面体被平面截得的截面是正及外面拼接上以各边为弦的三个弓形， 弓形弧是以正各顶点为圆心，边长为半径且所含圆心角为的扇形弧，如图所示： 因此，截面面积为：，选项A错误，C正确； 由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心， 正外接圆半径，正四面体的高， 设正四面体的外接球半径为，在中，，解得， 因此，勒洛四面体内切球半径为，选项B正确； 勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球， 所以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为，选项D错误． 故选：BC． 三、未知 12．（本题5分）正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________． 【答案】 【分析】正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出三角形的面积即可求出三棱锥的侧面积. 【详解】已知正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3， 则正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高， 侧面积. 故答案为： 四、填空题 13．（本题5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为_______. 【答案】 【分析】画出直观图，结合斜二测画法的定义得到答案. 【详解】画出直观图如下： 为该平面图形的高，. 故答案为： 14．（本题5分）如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为________    【答案】 【分析】将三角形和三角形展开在同一个平面，然后利用余弦定理求得正确答案. 【详解】连接，依题意平面，而平面， 所以，，是的中点，则， 由于，所以， 则三角形是等边三角形，三角形是等腰直角三角形，    将三角形和三角形展开在同一个平面，如下图所示，    连接，交于，在三角形中， 由余弦定理得 ， 所以的周长最小值为. 故答案为： 五、解答题 15．（本题13分）如图，在长方体中，，，与交于点，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件即可推出，即可判定线面平行； （2）由已知可得，三棱锥的高为，进而可根据三棱锥的体积公式求解得出. 【详解】（1）因为四边形ABCD为矩形，且，则O为AC的中点， 又因为E为的中点，所以是的中位线，所以， 又平面EBD，平面EBD， 因此，平面EBD. （2）因为， 又平面，所以三棱锥的高为， ∴. 16．（本题15分）如图，多面体中，四边形为菱形，，，，． (1)求证：平面平面； (2)当时，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定证明平面即可； （2）先根据线面垂直的判定证明平面，再根据求解即可. 【详解】（1）因为，所以四点共面， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）因为平面，平面，所以， 又因为，平面，故平面， 又因为互相平分，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以， 又因为， 所以三棱锥的体积为. 17．（本题15分）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得证； （2）取的中点，连接，即可得到平面，从而得到为直线与平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，， 则，所以， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，由（1）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，， 又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．（本题17分）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形.平面平面分别棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行可证线面平行，即可根据面面平行的判定即可求证， （2）根据面面垂直的性质可得是直线与平面所成的角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）由三棱柱的定义可知. 因为分别是棱的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，则. 因为平面平面，所以平面. 因为分别是棱的中点，所以. 因为平面平面，所以平面. 因为平面，且，所以平面平面. （2）作的延长线于点，连接. 因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面， 则是直线与平面所成的角. 设，则. 因为，所以，则 因为是等边三角形，所以，所以. 由余弦定理可得. 因为平面平面，所以，则， 故，即直线与平面所成角的正弦值为. 19．（本题17分）如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由平面平面可得平面，从而得到，进而即可证明平面； （2）过点作，垂足为，过点作，连接，先证明，从而可得是二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】（1）∵四边形是正方形，∴， 又平面平面平面，平面平面， ∴平面，∵平面，∴， 又∵平面， ∴平面. （2）由题意，，，，则，， 过点作，垂足为，过点作，连接. 由（1）知平面平面，∴. 又平面， ∴平面，又平面， 又平面平面. 又平面， 是二面角的平面角， 在中，，则， 则， 由图可知，二面角为锐角， 则二面角的余弦值为. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第八章 立体几何初步（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 2．（本题5分）下列几何元素可以确定唯一平面的是（    ） A．三个点 B．圆心和圆上两点 C．梯形的两条边 D．一个点和一条直线 3．（本题5分）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）若圆锥的轴截面三角形面积为24，底面周长为，则其体积是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）如图 1，在平行四边形中， . 沿将折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，如图 2，若，则三棱锥外接球的表面积为 （    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，过点，，的平面交于点，则（　　） A． B． C． D． 7．（本题5分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（   ）    A． B． C． D． 8．（本题5分）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设BC=1， ，则上顶的面积为（    ） A．3sinθ B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（本题6分）将下列平面四边形中的沿对角线翻折成，使二面角为直二面角，其中四面体的外接球的半径等于2的是（    ） A． B． C． D． 11．（本题6分）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则（    ） A．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 B．勒洛四面体内切球的半径是 C．勒洛四面体的截面面积的最大值为 D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 三、未知 12．（本题5分）正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________． 四、填空题 13．（本题5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为_______. 14．（本题5分）如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为________    五、解答题 15．（本题13分）如图，在长方体中，，，与交于点，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 16．（本题15分）如图，多面体中，四边形为菱形，，，，． (1)求证：平面平面； (2)当时，求三棱锥的体积． 17．（本题15分）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（本题17分）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形.平面平面分别棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 19．（本题17分）如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $