高中数学单元测试——第八章立体几何初步（较易版02）

高中数学单元测试 —— 第八章 立体几何初步（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 2．（本题5分）四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（本题5分）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）若圆锥轴截面的面积为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）设长方体的长、宽、高分别为，a，a，其顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 7．（本题5分）如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是等腰三角形，是的中点，则异面直线与所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）如图，在棱长为2的正方体中，M，P分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，上，则多面体的表面积为（   ） A．14 B．15 C．16 D． 二、多选题 9．（本题6分）已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等 10．（本题6分）如图，已知分别是的中点，分别在上，，二面角的大小为，且平面，则以下说法正确的是（    ）    A．四点共面 B．平面 C．若直线交于点，则三点共线 D．若的面积为6，则的面积为3 11．（本题6分）三棱锥各顶点均在半径为2的球的表面上，，二面角的大小为，则下列结论正确的是（    ） A．直线平面. B．三棱锥的体积为 C．点到平面的距离为1 D．点形成的轨迹长度为 三、填空题 12．（本题5分）已知正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比是________． 13．（本题5分）如图，平行四边形为利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，若，则四边形的面积为______． 14．（本题5分）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为______________公里. 四、解答题 15．（本题13分）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，为的中点． (1)求证：平面； (2)过点的平面分别与交于点，若，求证：． 16．（本题15分）如图，在长方体中，，，与交于点，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 17．（本题15分）如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18．（本题17分）如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 19．（本题17分）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且， （1）求证：四点共面； （2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：面； （3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第八章 立体几何初步（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 【答案】B 【分析】利用棱柱的有关定义与性质逐项判断即可. 【详解】对于A，三棱柱的两底面是三角形，故A错误； 对于B，由棱柱的定义可得棱柱的侧面一定是平行四边形，故B正确； 对于C，由棱柱的定义可得棱柱的侧面都是平行四边形，由平行四边形的性质对边相等， 所以棱柱的侧棱全相等，故C错误； 对于D，各条棱长都相等的棱柱可能是正棱柱（如正六棱柱），但底面不一定是正方形， 故各条棱长都相等的棱柱不一定是正方体，故D错误. 故选：B. 2．（本题5分）四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据经过两条相交直线确定一个平面可得到确定的平面的个数. 【详解】首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面． 故选：A 【点睛】本题主要考查了确定一个平面的条件，经过两条相交直线确定一个平面. 3．（本题5分）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 4．（本题5分）若圆锥轴截面的面积为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由母线与底面所成角为，可得圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为，则，从而可求出，再求出圆锥的高，进而可求出圆锥的体积 【详解】解：圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为， 则圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为， 则有，解得，则圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故选：A． 5．（本题5分）设长方体的长、宽、高分别为，a，a，其顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由长方体的性质，可求其外接球的直径(或半径)，应用球体的表面积公式，求表面积即可. 【详解】由题意知：球体的直径为， ∴球的表面积. 故选：B. 6．（本题5分）已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】根据正方体的结构特征，讨论的位置并结合平面的基本性质、空间想象判断截面的形状，即可得. 【详解】如下图，    当在上，截面形状为矩形， 当与重合，截面形状为等边三角形， 当在除上述两种情况外的其它位置，截面形状为等腰梯形. 故选：C 7．（本题5分）如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是等腰三角形，是的中点，则异面直线与所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，，，则或其补角即为所求，由平面，知，结合，可得平面，从而有，再根据，得解． 【详解】设等边的边长为， 取的中点，连接，，， 由圆锥的性质可得平面， 因为是的中点，所以，， 所以或其补角即为所求， 因为平面，平面，所以， 又等腰，且为的中点，所以，， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，，所以． 故选：B． 8．（本题5分）如图，在棱长为2的正方体中，M，P分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，上，则多面体的表面积为（   ） A．14 B．15 C．16 D． 【答案】C 【分析】由面面平行的性质定理确定为中点，为中点，进而逐个计算每个面的面积即可. 【详解】由题意得平面平面， 又平面平面 ， 平面平面，， 正方体中易知， 所以，为中点，为中点， 同理， 为中点， 所以， 所以四边形的面积等于， 所以四边形的面积等于， 易知四边形为等腰梯形，其中， 如图，过作，易得， 所以四边形的面积为， 同理四边形的面积为， 所以多面体的表面积为， 故选：C 二、多选题 9．（本题6分）已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等 【答案】BCD 【分析】对于A，运用长方体举反例证明其错误；对于B，利用直线与平面平行的性质定理得到线线平行，再得到线线垂直；由平面与平面平行的性质定理判断C；由平行的传递性及线面角的定义判断D. 【详解】对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，不妨设为直线为直线， 四边形所在的平面为，四边形所在的平面为， 显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，A错误； 对于B，证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线， 则，由 知，从而；B正确 对于C，由平面与平面平行的定义知，如果，那么C正确； 对于D，由平行的传递性及线面角的定义知，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，D正确． 故选：BCD． 10．（本题6分）如图，已知分别是的中点，分别在上，，二面角的大小为，且平面，则以下说法正确的是（    ）    A．四点共面 B．平面 C．若直线交于点，则三点共线 D．若的面积为6，则的面积为3 【答案】ACD 【分析】由题意证出即可判断A项；假设B项正确，然后利用直线与平面平行的性质得出，从而推出与已知条件矛盾的结论，可判断B项；利用基本事实3可判断C项；通过作出二面角的平面角，从而找到与的公共边上的高之间的关系，从而求出结果，可判断D项. 【详解】由知EF平行且等于， 又分别是的中点，所以GH平行且等于，∴， 因此E，F，G，H四点共面，A项正确； 假设平面ADC成立，因为平面，平面平面，所以， 又G是BC的中点，所以F是AB的中点，与矛盾，B项不正确； 因为直线交于点，所以，， 因为平面，，所以平面，同理平面，因为平面平面，所以，所以P，A，C三点共线，因此C正确； 在平面内作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又平面，所以，则为二面角的平面角，即， 因为平面，平面，所以，所以， 所以，D正确. 故选：ACD. 11．（本题6分）三棱锥各顶点均在半径为2的球的表面上，，二面角的大小为，则下列结论正确的是（    ） A．直线平面. B．三棱锥的体积为 C．点到平面的距离为1 D．点形成的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】根据球的截面圆的性质可得出二面角，利用直角三角形性质判断，位置，利用垂直关系证明为中点即可判断AC，再由体积公式判断B，根据为定长判断点轨迹为圆，即可判断D. 【详解】当P与球心O在平面ABC同侧时，如图，    设是的外心，是的外心， 则平面，平面， 又平面，平面， 所以，，又，平面, 所以平面，又平面， 所以，由，则是的中点， 所以，且，所以平面，所以四点共面， 所以是二面角的平面角，即， 因为，，所以，， 所以，即， 则是中点，如图，    显然，当P与球心O在平面ABC同侧时，直线与平面相交于，故A错误； ，故B正确； 由是中点，则，故C正确； 由，故点形成的轨迹是半径为的圆的一部分（与在同侧）， 当P与球心O在平面ABC同侧时，由对称性，轨迹可与P与球心O在平面ABC同侧时构成一个完整的圆， 所以轨迹长度为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（本题5分）已知正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比是________． 【答案】 【分析】作出图形，根据正四棱锥的特征可知为棱锥的高，根据条件计算可得结果． 【详解】如图：为正四棱锥，为，的交点，即底面正方形的中心，则为四棱锥的高， 设底面边长为，则， 在中，， ， 故 故答案为： 13．（本题5分）如图，平行四边形为利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，若，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】根据斜二测画法的规则，可得四边形是平行四边形，且且平行四边形的高为4，底为4，结合面积公式，即可求解. 【详解】由四边形水平放置的平面图形为平行四边形，且， 结合斜二测画法的规则，可得四边形是平行四边形，如图所示， 且平行四边形的高为4，底为4，所以四边形的面积为． 故答案为：. 14．（本题5分）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为______________公里. 【答案】32 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 由的长为，得，由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段， 而，则， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， 因此上坡段的铁路，即图中的线段，由，得. 故答案为：32 【点睛】关键点点睛：作出圆锥侧面展开图，确定铁路对应线段是解决问题的关键. 四、解答题 15．（本题13分）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，为的中点． (1)求证：平面； (2)过点的平面分别与交于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证线面垂直，先要证线线垂直，因此需要证； （2）要证线线平行，先要证线面平行，再通过线面平行的性质定理证明线线平行． 【详解】（1）平面平面， 又四边形为矩形， ， 又，平面， 平面， 又平面． ，为的中点， ， 又，平面， 平面． （2），平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， ． 16．（本题15分）如图，在长方体中，，，与交于点，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件即可推出，即可判定线面平行； （2）由已知可得，三棱锥的高为，进而可根据三棱锥的体积公式求解得出. 【详解】（1）因为四边形ABCD为矩形，且，则O为AC的中点， 又因为E为的中点，所以是的中位线，所以， 又平面EBD，平面EBD， 因此，平面EBD. （2）因为， 又平面，所以三棱锥的高为， ∴. 17．（本题15分）如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）作辅助线得到四边形是菱形，则，可证出平面，再证四边形是平行四边形，即可证结论； （2）假设线段上存在点，使平面，作辅助线得到四点共面，且四边形为平行四边形，则，即是的中点，即可求结果. 【详解】（1）如图，在梯形ABCD中，连接DE，而E是BC的中点， 所以，又， 所以，又， 所以四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是菱形，从而， 沿着AE翻折成后，有， 又平面， 所以平面， 由题意，易知， 所以四边形是平行四边形，故， 所以平面. （2）假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，则四点共面， 又平面，面面，所以， 所以四边形为平行四边形，故，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 18．（本题17分）如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意证得，再由线面平行的判定定理即可证明直线平面； （2）由（1）知，直线平面，由线面平行的性质定理证得，再由线面平行的判定定理即可知证明直线平面； 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 平面，平面，所以直线平面； （2）由（1）知，直线平面，平面， 平面与平面的交线为直线l，所以， 平面，平面，所以直线平面. 19．（本题17分）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且， （1）求证：四点共面； （2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：面； （3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【详解】试题分析：（1）四点共面问题通常我们将它们变成两条直线，然后证明这两条直线平行或相交，根据公理3的推论2、3可知，它们共面；（2）要证线面垂直，可以证明两个垂直平面内一条直线垂直两平面的交线即可；（3）可以证明就是二面角的平面角，在直角三角形中可解得的值. 试题解析：（1）证明：在DD上取一点N使得DN=1，连接CN，EN， 显然四边形CFDN是平行四边形，所以DF//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以 CN//BE，所以DF//BE，所以四点共面． （2）因为所以∽MBG，所以，即，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB又平面ABBA⊥平面BCCB ，且EM在平面ABBA内，所以面 （3）面，所以BF，MH，，所以∠MHE就是截面和面所成锐二面角的平面角，∠EMH=，所以，ME=AB=3，∽MHB，所以3：MH=BF：1，BF=，所以MH=，所以= 点睛：本题主要考查了平面的基本性质及推论，直线和平面垂直的判定，三垂线定理得应用，属于难题.判断直线和平面垂直的方法主要是通过线与线垂直、面与面垂直进行转化，三垂线定理是证明寻求二面角的平面角的较好方法，共面问题主要是转化为两条平行直线或相交直线来处理. 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $