高中数学单元测试——第八章立体几何初步（较易版01）

高中数学单元测试 —— 第八章 立体几何初步（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 【答案】B 【分析】利用棱柱的有关定义与性质逐项判断即可. 【详解】对于A，三棱柱的两底面是三角形，故A错误； 对于B，由棱柱的定义可得棱柱的侧面一定是平行四边形，故B正确； 对于C，由棱柱的定义可得棱柱的侧面都是平行四边形，由平行四边形的性质对边相等， 所以棱柱的侧棱全相等，故C错误； 对于D，各条棱长都相等的棱柱可能是正棱柱（如正六棱柱），但底面不一定是正方形， 故各条棱长都相等的棱柱不一定是正方体，故D错误. 故选：B. 2．（本题5分）下列几何元素可以确定唯一平面的是（    ） A．三个点 B．圆心和圆上两点 C．梯形的两条边 D．一个点和一条直线 【答案】C 【分析】根据平面的确定方法求解. 【详解】对A，三个不共线的点才能确定唯一平面，A错误； 对B，当圆上的两点和圆心共线时，三个点不能确定唯一平面，B错误； 对C，梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面，所以确定的平面唯一，C正确； 对D，当点在直线上时，这个点和直线不能确定唯一平面，D错误， 故选:C. 3．（本题5分）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 4．（本题5分）已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用圆锥的结构特征求出圆锥底面圆半径和高即可计算作答. 【详解】因圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，则该圆锥的轴截面是等腰直角三角形，其底面圆半径为，高为， 所以该圆锥的体积为. 故选：C 5．（本题5分）如果一个棱长为a的正方体的外接球的表面积为π，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出球半径，进而求出棱长. 【详解】由球的表面积为π，得球半径满足，解得， 因此正方体的体对角线，所以. 故选：D 6．（本题5分）过正方体的中心作与垂直的平面，则平面截正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】证明线面垂直作出图判断截面图形即可. 【详解】 在正方体中，平面，平面，所以， 又在正方形中，，，所以平面， 平面，所以， 由于分别为的中点，所以， 故，同理，，所以平面， 且平面过正方体的中心， 故选：D 7．（本题5分）如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是等腰三角形，是的中点，则异面直线与所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，，，则或其补角即为所求，由平面，知，结合，可得平面，从而有，再根据，得解． 【详解】设等边的边长为， 取的中点，连接，，， 由圆锥的性质可得平面， 因为是的中点，所以，， 所以或其补角即为所求， 因为平面，平面，所以， 又等腰，且为的中点，所以，， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，，所以． 故选：B． 8．（本题5分）中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中是长方体，且，，是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据棱柱棱台的几何特征，求解每个面的面积相加可得结论. 【详解】先求下半部分，表面积为. 再求上半部分， 由于，则， 所以上长方形的面积为. 由已知， 则， 由于棱台侧面为等腰梯形，故， 前后两部分的梯形的高为，， 则这两个梯形的面积之和为. 左右两部分的梯形的高为， 则这两个梯形的面积之和为， 因此总表面积为. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用空间中线面和面面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，线与平面平行，直线并不与平面内的每一条直线平行，A错误： 对于B，若直线与平面垂直，则直线与平面内的每一条直线都垂直，B正确； 对于C，由线面平行性质定理可知，C选项正确； 对于D，结合正方形模型及线面垂直定义可知D选项正确. 故选：BCD. 10．（本题6分）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则下列说法正确的是（   ） A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的表面积为 C． D．的面积为 【答案】ABC 【分析】根据圆锥的体积、表面积公式计算，可判断A、B，利用二面角结合条件可计算并判断C、D. 【详解】 如图，因为，，所以, 所以圆锥的体积为，表面积为，故A、B正确； 对于C，设是的中点，连接,因为，所以, 所以，就是二面角的平面角，则. 所以，，则.故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：ABC. 11．（本题6分）绿水青山就是金山银山，为响应党的号召，某小区把一处荒地改造成公园进行绿化.在绿化带旁边放置一些砌成的完全相同的石墩，石墩的上部是半径为的球的一部分，下部是底面半径为的圆柱体，整个石墩的高为，如图所示（注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高.球缺的体积，其中为球的半径，为球缺的高），下列说法正确的是（    ）    A．石墩上､下两部分的高之比为 B．石墩表面上两点间距离的最大值为 C．每个石墩的体积为 D．将石墩放置在一个球内，则该球半径的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据几何体的几何结构特征，利用圆柱和球的性质，结合圆柱和球的体积公式、圆的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，设球缺的球心为，由已知可得半径，， 所以，可得，石墩上､下两部分的高之比为,所以A正确； 由，所以石墩表面上两点间距离的最大值为，所以B错误； 由前面的计算可知上部分球缺的高，所以石墩的体积，所以C正确； 设该球的半径为，则，解得，所以D正确. 故选：ACD. 三、未知 12．（本题5分）正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________． 【答案】 【分析】正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出三角形的面积即可求出三棱锥的侧面积. 【详解】已知正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3， 则正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高， 侧面积. 故答案为： 四、填空题 13．（本题5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为_______. 【答案】 【分析】画出直观图，结合斜二测画法的定义得到答案. 【详解】画出直观图如下： 为该平面图形的高，. 故答案为： 14．（本题5分）如图，已知圆锥的母线长为2，高为，为底面圆心，且，为线段上靠近点的四等分点，则在此圆锥的侧面上，从到的最短路径长度为__________.    【答案】/ 【分析】根据圆锥的侧面展开图、两点间直线距离最短以及余弦定理求得正确答案. 【详解】圆锥的底面半径为， 由于， 所以为钝角，且，所以. 圆锥的侧面展开图如图，    沿母线展开的圆锥的侧面展开图中弧所对的圆心角为， 连接，可得从到的最短路径长度为： . 故答案为： 五、解答题 15．（本题13分）如图，正方体中，分别是的中点． (1)求证：四点共面； (2)设平面与平面交于直线，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到，再证明出四边形为平行四边形，得到，从而得到线线平行，得到结论； （2）由面面平行得到线线平行； 【详解】（1）连接， 因为E，F分别是的中点， 所以， 因为，且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 故四点共面； （2）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以； 16．（本题15分）如图，在长方体中，，，与交于点，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件即可推出，即可判定线面平行； （2）由已知可得，三棱锥的高为，进而可根据三棱锥的体积公式求解得出. 【详解】（1）因为四边形ABCD为矩形，且，则O为AC的中点， 又因为E为的中点，所以是的中位线，所以， 又平面EBD，平面EBD， 因此，平面EBD. （2）因为， 又平面，所以三棱锥的高为， ∴. 17．（本题15分）如图，在四棱锥中，，，，，为的中点，平面． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用线面平行的判定定理求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，且， 所以与全等，所以． 又因为平面，平面,所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为，，且，及（1）中有， 所以，， 又因为，解得， 所以为等边三角形，又因为为的中点，所以， 所以为的中心，连接交于点，所以． 过点在平面内作， 因为平面，平面， 所以平面，因为， 所以，故． 18．（本题17分）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明过程详见解析. (2) 【分析】（1）根据面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直. （2）根据面面垂直得到线面垂直，得到即为直线与平面所成的角，在直角三角形中求正弦值即可. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 又平面，所以. （2）连接. 因为是等边三角形，点为棱的中点，所以，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 在中，. 在中，. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 19．（本题17分）如图，在等腰直角△中，，，为的中点，、分别为、边上一点，满足，．将△、△分别沿着、翻折成△、△，满足，在平面的同侧，且． (1)证明：，，，共面； (2)设几何体的体积为，求的最大值； (3)当取最大值时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形相似即可得故共线，进而可求证，或者利用相似得与重合求解， （2）根据题意可得几何体为三棱台，即可根据体积公式求解， （3）根据体积最大可得，进而根据二面角的定义可知是二面角的平面角，即可利用余弦定理求解. 【详解】（1） 延长，相交于点，连接、． 由题意，，所以，． 因为，所以，且在同一平面内． 所以．所以，故共线．即直线，所以共面． （法二）延长，相交于点． 因为，所以∽，且． 延长，相交于点． 因为，所以∽ 因为，，所以，故与重合． 即直线，所以共面． （2）因为，平面，平面，故平面 同理，平面 又，所以平面平面． 由（1）知共面，所以，几何体为三棱台． 由，，平面， 所以平面，从而平面平面．过作，垂足为， 则平面，故平面 易知，． 则． 当且仅当，即取到等号， 故体积的最大值为， （3）由（2）知，当取最大值时， 因为，所以 取的中点，连接，，则， 所以是二面角的平面角． 在三角形中，由余弦定理得． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第八章 立体几何初步（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列说法中正确的是（   ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 2．（本题5分）下列几何元素可以确定唯一平面的是（    ） A．三个点 B．圆心和圆上两点 C．梯形的两条边 D．一个点和一条直线 3．（本题5分）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）如果一个棱长为a的正方体的外接球的表面积为π，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（本题5分）过正方体的中心作与垂直的平面，则平面截正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 7．（本题5分）如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是等腰三角形，是的中点，则异面直线与所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中是长方体，且，，是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（本题6分）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则下列说法正确的是（   ） A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的表面积为 C． D．的面积为 11．（本题6分）绿水青山就是金山银山，为响应党的号召，某小区把一处荒地改造成公园进行绿化.在绿化带旁边放置一些砌成的完全相同的石墩，石墩的上部是半径为的球的一部分，下部是底面半径为的圆柱体，整个石墩的高为，如图所示（注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高.球缺的体积，其中为球的半径，为球缺的高），下列说法正确的是（    ）    A．石墩上､下两部分的高之比为 B．石墩表面上两点间距离的最大值为 C．每个石墩的体积为 D．将石墩放置在一个球内，则该球半径的最小值为 三、未知 12．（本题5分）正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________． 四、填空题 13．（本题5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为_______. 14．（本题5分）如图，已知圆锥的母线长为2，高为，为底面圆心，且，为线段上靠近点的四等分点，则在此圆锥的侧面上，从到的最短路径长度为__________.    五、解答题 15．（本题13分）如图，正方体中，分别是的中点． (1)求证：四点共面； (2)设平面与平面交于直线，求证：． 16．（本题15分）如图，在长方体中，，，与交于点，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 17．（本题15分）如图，在四棱锥中，，，，，为的中点，平面． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 18．（本题17分）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 19．（本题17分）如图，在等腰直角△中，，，为的中点，、分别为、边上一点，满足，．将△、△分别沿着、翻折成△、△，满足，在平面的同侧，且． (1)证明：，，，共面； (2)设几何体的体积为，求的最大值； (3)当取最大值时，求二面角的余弦值． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $