第8章 整式乘法与因式分解（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪科版七年级下册

第8章 整式乘法与因式分解（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．我国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候为各类用户提供高精度、高可靠的定位、导航、授时服务，其授时精度不超过秒，将数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算结果正确的是（） A． B． C． D． 4．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值是（   ） A．25 B．23 C．21 D．20 6．有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正方形，的面积之和为（   ） A．34 B．26 C．19 D．17 7．要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 8．无论，为何实数，代数式的值（   ） A．可能为零 B．最小为7 C．最小为10 D．最大为10 9．已知，，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2 10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（    ） A．15 B．21 C．28 D．36 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若是关于的完全平方式，则______． 12．因式分解： ___________． 13．若，则_______． 14．数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ；． 总结规律，解答下列问题． （1）_______．（2）_______． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．计算 16．化简： (1) (2)． 17．先化简，再求值其中，． 18．计算： (1)若，，求； (2)已知，求值． 19．阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 20．如图，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为 的长方形．现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图 的大正方形． (1)观察图，请你用两种方法表示出图的总面积． 方法∶ ； 方法∶ ； 请利用图的面积表示方法，写出一个关于，的等式： ． (2)已知图的总面积为，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为，求 的值； (3)用一张型纸板和一张型纸板拼成图所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积． 21．某地有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周修建四个直角边长分别为米，米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个长为米，宽为米的长方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示． (1)用含的代数式表示长方形花坛的面积：__________平方米．（结果化到最简） (2)用含的代数式表示阴影部分规划的绿化地带面积．（结果化到最简） (3)若，，请求出阴影部分规划的绿化地带面积． 22．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解： ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：求代数式的最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 23．观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式： ． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论，计算：． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 整式乘法与因式分解（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．我国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候为各类用户提供高精度、高可靠的定位、导航、授时服务，其授时精度不超过秒，将数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 2．下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是因式分解，则A选项不符合题意， B、，公因式未提尽，因式分解不彻底，则B选项不符合题意， C、符合因式分解的定义，则C选项符合题意， D、中等号右边不是积的形式，则D选项不符合题意， 故选：C． 3．下列计算结果正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A：，不正确； 对于选项B：，正确； 对于选项C：，不正确； 对于选项D：，不正确． 4．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： , 故选：A． 5．已知，则的值是（   ） A．25 B．23 C．21 D．20 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正方形，的面积之和为（   ） A．34 B．26 C．19 D．17 【答案】A 【详解】解：设正方形的边长为，的边长为， 由图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，可得①，②， 将②化简，得③， 由①得， 将③代入可得． 即正方形，的面积之和为． 故选：A． 7．要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ∵多项式不含x的二次项， ∴， ∴， 故选：B． 8．无论，为何实数，代数式的值（   ） A．可能为零 B．最小为7 C．最小为10 D．最大为10 【答案】B 【详解】解： ∵， ∴原式大于或等于，即最小为7 故选：B． 9．已知，，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【详解】解：，， ，， 即，， ， ， ． 10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（    ） A．15 B．21 C．28 D．36 【答案】C 【详解】解：观察题目发现的第三项系数为， 的第三项系数为， 的第三项系数为， …… ∴的第三项系数为， ∴第三项系数为． 故选C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若是关于的完全平方式，则______． 【答案】 【详解】解：是完全平方式， ， ． 12．因式分解： ___________． 【答案】 【详解】解： 故答案为： 13．若，则_______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 14．数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ；． 总结规律，解答下列问题． （1）_______． （2）_______． 【答案】 1 【详解】（1）解：； （2）解： ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．计算 【详解】解：原式 ． 16．化简： (1) (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．先化简，再求值其中，． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 18．计算： (1)若，，求； (2)已知，求值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ 19．阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解：依题意，， ∴， ∴或 ∴或， 因此整数p的值可能为8或． 20．如图，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为 的长方形．现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图 的大正方形． (1)观察图，请你用两种方法表示出图的总面积． 方法∶ ； 方法∶ ； 请利用图的面积表示方法，写出一个关于，的等式： ． (2)已知图的总面积为，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为，求 的值； (3)用一张型纸板和一张型纸板拼成图所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积． 【详解】（1）解∶用两种方法表示出图的总面积为和 ， 关于，的等式， 故答案为：， ，； （2）根据题意，得：，， ； （3）根据题意，得图中阴影部分的面积为 ， 当，时， 图中阴影部分的面积为 ． 21．某地有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周修建四个直角边长分别为米，米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个长为米，宽为米的长方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示． (1)用含的代数式表示长方形花坛的面积：__________平方米．（结果化到最简） (2)用含的代数式表示阴影部分规划的绿化地带面积．（结果化到最简） (3)若，，请求出阴影部分规划的绿化地带面积． 【详解】（1）解：∵长方形花坛的长为米，宽为米， ∴长方形花坛的面积为：平方米， 故答案为：； （2）解： ， ∴阴影部分规划的绿化地带面积为平方米； （3）解：当，时， ， ∴阴影部分规划的绿化地带面积为平方米． 22．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解： ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：求代数式的最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值； （2）解：，且， 当时，代数式的最大值为； （3）解：， ， ， 当时，的最小值为． 23．观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式： ． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论，计算：． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ……， 以此类推可知，； （3）解：原式 ． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $