专题3.5 第三章 概率初步（高频易错题题型讲练）18个题型讲练+能力提升训练 共46题-2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项培优讲义（题型讲练） 专题3.5 高频易错题题型讲练『第三章 概率初步』 〔18个题型讲练+能力提升练 共46题〕 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 题型一 事件的分类 1 题型二 判断事件发生的可能性的大小 2 题型三 求某事件的频率 2 题型四 概率的意义理解 3 题型五 关于频率与概率关系说法的正误 4 题型六 由频率估计概率 4 题型七 用频率估计概率的综合应用 5 题型八 列举随机实验的所有可能结果 6 题型九 判断实验所得结果是否是等可能的 6 题型十 列举法求概率 7 题型十一 根据概率公式计算概率 7 题型十二 根据概率作判断 8 题型十三 已知概率求数量 8 题型十四 游戏的公平性 9 题型十五 几何概率 10 题型十六 概率在转盘抽奖中的应用 11 题型十七 概率在比赛中的应用 12 题型十八 概率的其他应用 13 能力提升训练 14 题型一 事件的分类 【典例分析】（24-25七年级下·江苏南通·期末）事件A：我市某射击运动员射击三次，刚好都射中靶心，事件B：连续掷四次一角硬币，每次都是正面朝上则（    ） A．事件A和事件B都是必然事件 B．事件A是随机事件，事件B是不可能事件 C．事件A是必然事件，事件B是随机事件 D．事件A和事件B都是随机事件 【变式训练】（2024·湖北武汉·模拟预测）诗词是中华文化的瑰宝，是中国文学的璀璨明珠，也是人类文明的共同财富．请指出所给诗词描述的事件属于随机事件的是（   ） A．锄禾日当午，汗滴禾下土 B．春眠不觉晓，处处闻啼鸟 C．白日依山尽，黄河入海流 D．离离原上草，一岁一枯荣 题型二 判断事件发生的可能性的大小 【典例分析】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【变式训练】（2023七年级下·全国·专题练习）用一副扑克牌中的张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以下三个条件； （1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同； （2）翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小； （3）翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小； 解：我设计的方案如下： “红桃”__张，“黑桃”__张，“方块”__张，“梅花”__张 题型三 求某事件的频率 【典例分析】（24-25七年级下·全国·单元测试）有甲、乙两只不透明的布袋，甲袋中有个红球、个白球和个黑球，乙袋中有个红球，个白球和个黑球，这些球除颜色外全相同． (1)如果你想取出个红球，选哪个袋子成功的机会大？请说明理由； (2)“从乙袋中取出个红球后，乙袋中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时若想取出个红球，选乙袋成功的机会大”，你认为此说法正确吗？为什么？ 【变式训练】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932 合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983 (1)求出表中a=_______，b=_______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是_____（精确到0.01）； (3)如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 题型四 概率的意义理解 【典例分析】（25-26七年级下·云南昭通·期末）下列说法正确的是（   ） A．买中奖率为的奖券100张，一定会中奖 B．“同旁内角互补”是必然事件 C．连续抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次正面向上，则抛掷一枚硬币正面向上的概率为 D．某校有3000名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有80名学生表示喜欢的项目是打羽毛球，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为羽毛球的学生约有1200人 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·期中）某文体店购进了筒羽毛球，但在销售过程中，发现其中混有若干个次品羽毛球，店员进行统计后，发现每筒羽毛球最多混入了个次品羽毛球，具体情况如下： 混入次品羽毛球个数 筒数 (1)用等式写出，所满足的数量关系应为__________； (2)从筒羽毛球中任意选取筒，若“筒中混入个次品羽毛球”的概率为，求和的值． 题型五 关于频率与概率关系说法的正误 【典例分析】（24-25七年级下·河南三门峡·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率与抛硬币的次数无关 B．随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为 C．任意画一个三角形内角和为360°是随机事件 D．连续投两次骰子，前后点数之和为偶数的概率是 【变式训练】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列说法正确的是______（填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 题型六 由频率估计概率 【典例分析】（25-26七年级下·山西晋城·期末）将一枚图钉向上抛起，下列说法错误的是（    ） A．钉尖触地属于随机事件 B．P（钉尖触地）（钉尖朝上） C．因只有“钉尖触地”和“钉尖朝上”两种结果，则P（钉尖触地） D．通过大量重复试验，钉尖触地的频率会越来越接近其概率 【变式训练】（25-26七年级下·甘肃天水·期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 优秀数量 优秀频率 (1)填空：_______，_______ (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到） 题型七 用频率估计概率的综合应用 【典例分析】（24-25七年级下·广东深圳·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：________，________； (2)这种树苗成活的概率估计值为________（精确到） (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表， 试验种子数（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽个数（粒） 1 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 1 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 (1)表中________，________，________（精确到0.01）； (2)估计该小麦种子的发芽概率为________（精确到0.01）； (3)如果该小麦种子发芽后只有的麦芽可以成活，现有这种小麦种子，估计有________千克的麦种可以成活为秧苗. 题型八 列举随机实验的所有可能结果 【典例分析】（25-26七年级下·四川绵阳·期末）同时抛掷两枚质地均匀，大小、颜色完全相同的骰子，每个骰子的六个面依次标记着数字1，2，3，4，5，6，记下向上的点数． (1)列举出所有可能出现的结果，并计数一共有多少种？ (2)求两枚骰子向上的点数均为奇数的概率． 【变式训练】（25-26七年级下·河南周口·期末）在一个不透明的盒子里装有分别标有数字，，0，1的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，先从盒子里随机摸出一个小球，记录数字后放回，再随机摸出一个小球，记录数字． (1)列出两次摸球的所有可能结果； (2)求两次摸出的小球上的数字之和为正数的概率． 题型九 判断实验所得结果是否是等可能的 【典例分析】（2024·福建福州·一模）一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． (1)会出现哪些可能的结果？ (2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 【变式训练】（24-25七年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 题型十 列举法求概率 【典例分析】（25-26七年级下·山东烟台·期末）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（   ） A． B． C． D．0 【变式训练】（25-26七年级下·福建漳州·月考）从写有数字2、3、5的三张卡片中随机抽取一张，不放回后再抽取一张，两次抽取的数字之和为奇数的概率是___． 题型十一 根据概率公式计算概率 【典例分析】（25-26七年级下·河南许昌·期末）某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·周测）有四张正面分别标有数字，，0，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，从剩下的卡片中再任取一张，将该卡片上的数字记为b，则为非负数的概率为____． 题型十二 根据概率作判断 【典例分析】（2025七年级下·全国·专题练习）已知以下四个事件：事件A：抛掷一枚硬币时，正面朝上；事件B：在1小时内步行80千米；事件C：一个袋子中装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出1个黄球；事件D：两数之和是负数，则其中必有一个是负数． (1)随机事件有______，必然事件有______； (2)请你把相应事件发生的概率用对应的字母A，B，C，D表示在数轴的对应点上． 【变式训练】（23-24七年级下·江西鹰潭·期末）现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个，乙盒装有红球20个，白球20个和黑球10个． (1)如果随机取出1个黑球，从 盒中抽取成功的机会大； (2)小明同学说：“从乙盒中取出10个红球后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 题型十三 已知概率求数量 【典例分析】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)填空 ， ； (2)请估计当很大时，摸到白球的频率将会接近 (精确到； (3)假如摸一次，摸到白球的概率 ； (4)试估算盒子里黑颜色的球有多少只？ 【变式训练】（25-26七年级下·全国·周测）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外其余都相同． (1)任意摸出1个球，摸到红球是____________事件，摸到黄球是____________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） (2)从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是多少？ (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出1个球为黑球的概率是．求后来放入袋中的黑球的个数． 题型十四 游戏的公平性 【典例分析】（25-26七年级下·全国·月考）如图，一个均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这几个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字（指向分界线重转）． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向的汉字的笔画数是偶数的概率是____________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画数不小于8时，小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 【变式训练】（25-26七年级下·浙江台州·期末）在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 题型十五 几何概率 【典例分析】（25-26七年级下·全国·单元测试）按要求完成题目： (1)如图①．在正方形内，有一个内切圆．利用电脑设计程序：在正方形内随机产生一些点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为，圆内的点数为（在正方形边上和圆上的点不统计）．根据用频率估计概率的思想，推得的大小（用含，的式子表示）； (2)如图②所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； (3)有一个小球在如图③所示的地板上自由滚动，地板上的每个小格子都是边长为1的正方形．求小球最终停留在阴影区域的概率． 【变式训练】（25-26七年级下·北京顺义·期末）设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） (1)如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； (2)请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 题型十六 概率在转盘抽奖中的应用 【典例分析】（24-25七年级下·四川达州·月考）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元． (1)他获得购物券的概率是多少？ (2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？ (3)若要让获得20元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成黄色． 【变式训练】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 题型十七 概率在比赛中的应用 【典例分析】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 【变式训练】（23-24七年级下·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 题型十八 概率的其他应用 【典例分析】（2025·河南濮阳·一模）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵． 【变式训练】（23-24七年级下·浙江嘉兴·开学考试）某寝室有四个同学，每个同学写一张贺卡放在一起，每人抽取一张，要求不能抽取自己写的贺卡，则不同的抽取方案共有______种（用数字作答）． 1．（24-25七年级下·山东烟台·期中）下列说法正确的是（   ） A．“买中奖率为的奖券6张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 C．烟台气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着烟台明天一定下雨 D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 2．（25-26七年级下·河北沧州·期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的个红球和个黄球，从中随机摸出一个，要使摸到红球的概率是，需要向袋子中加入除颜色外其余均相同的小球，则下列方案不正确的是（    ） A．添加黄球个 B．添加红球个 C．添加红球个，黄球4个 D．添加红球个，黄球个 3．（25-26七年级下·河北保定·期末）不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）规定：对于一个三位数，当时，则称这样的三位数为“上升数”．现有这样一个三位数，若从1，2，3，4，5，6这六个数中任意抽取一个数作为百位上的数，则所组成的三位数为“上升数”的概率为_____． 5．（25-26七年级下·广东·月考）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8．每人每次随机出一张自己的卡片，并比较卡片上数字的大小，当所有卡片出完后，甲至少有2次卡片上的数字大于乙的概率为______． 6．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在边长为的正方形内部画了一个圆，圆心为点，为估算的面积，在正方形区域内任意取100个点，若有60个点在内部，则的面积约为______． 7．（2025·湖北·模拟预测）如图是某市月日至日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择月日至月日中的某一天到达该市，并连续停留天．则此人在该市停留期间有且至少有天空气质量优良的概率是______． 8．（25-26七年级下·四川成都·月考）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小颗做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 71 129 207 334 537 2010 摸到白球的频率 (1)填空：______，______；若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为______（精确到） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是______． A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”． B．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5． C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有100个球，要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 9．（24-25七年级下·山东烟台·期末）小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小明说：“根据试验，一次试验中出现了3点朝上的频率最大”，小亮说：“若投掷次，则出现4点朝上的次数正好是次”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率． 10．（25-26七年级下·福建泉州·期末）某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案： ①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中1个黄球，8个白球； ②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则： ①若取出的是黄球，则获得奖品． ②若取出的是白球，则获得奖品． (1)该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是_________ ． (2)若从原方案的盒子中取走6个白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案及获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案及获奖规则下的概率分别相等． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项培优讲义（题型讲练） 专题3.5 高频易错题题型讲练『第三章 概率初步』 〔18个题型讲练+能力提升练 共46题〕 【北师大版七下●新教材】 题型分类讲练 1 题型一 事件的分类 1 题型二 判断事件发生的可能性的大小 2 题型三 求某事件的频率 4 题型四 概率的意义理解 5 题型五 关于频率与概率关系说法的正误 7 题型六 由频率估计概率 8 题型七 用频率估计概率的综合应用 9 题型八 列举随机实验的所有可能结果 11 题型九 判断实验所得结果是否是等可能的 13 题型十 列举法求概率 14 题型十一 根据概率公式计算概率 15 题型十二 根据概率作判断 17 题型十三 已知概率求数量 18 题型十四 游戏的公平性 20 题型十五 几何概率 22 题型十六 概率在转盘抽奖中的应用 24 题型十七 概率在比赛中的应用 26 题型十八 概率的其他应用 28 能力提升训练 29 题型一 事件的分类 【典例分析】（24-25七年级下·江苏南通·期末）事件A：我市某射击运动员射击三次，刚好都射中靶心，事件B：连续掷四次一角硬币，每次都是正面朝上则（    ） A．事件A和事件B都是必然事件 B．事件A是随机事件，事件B是不可能事件 C．事件A是必然事件，事件B是随机事件 D．事件A和事件B都是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查了必然事件“必然事件发生的可能性为1”与随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”，熟练掌握定义是解题关键．根据必然事件和随机事件的定义求解即可得． 【详解】解：我市某射击运动员射击三次，刚好都射中靶心，是随机事件， 连续掷四次一角硬币，每次都是正面朝上，是随机事件， 所以事件和事件都是随机事件， 故选：D． 【变式训练】（2024·湖北武汉·模拟预测）诗词是中华文化的瑰宝，是中国文学的璀璨明珠，也是人类文明的共同财富．请指出所给诗词描述的事件属于随机事件的是（   ） A．锄禾日当午，汗滴禾下土 B．春眠不觉晓，处处闻啼鸟 C．白日依山尽，黄河入海流 D．离离原上草，一岁一枯荣 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】A. 锄禾日当午，汗滴禾下土，是必然事件，故选项不符合题意； B. 春眠不觉晓，处处闻啼鸟是随机事件，故选项符合题意； C. 白日依山尽，黄河入海流，是必然事件，    故选项不符合题意； D. 离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件，    故选项不符合题意； 故选：B． 题型二 判断事件发生的可能性的大小 【典例分析】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类和事件的可能性大小，正确的理解题意是解题的关键．由不可能事件与必然事件的定义即可判断①和②，由事件发生的可能性大小即可判断③． 【详解】解：①箱子中不含黑球，只含红球和白球，故从箱子里摸出一个球是黑球是不可能事件，故①正确； ②从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，则从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，故②正确； ③在一个箱子里放有1个白球和2个红球，红球的个数多于白球的个数，则从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．故③正确； 综上可知，正确的是①②③， 故选：A 【变式训练】（2023七年级下·全国·专题练习）用一副扑克牌中的张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以下三个条件； （1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同； （2）翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小； （3）翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小； 解：我设计的方案如下： “红桃”__张，“黑桃”__张，“方块”__张，“梅花”__张 【答案】 【分析】根据各种花色的扑克牌被翻到的可能性的大小，推断出各种花色的扑克牌的张数，再根据总张数为张，每一种都是整数，进而得出答案． 【详解】解：一共有张扑克牌， 满足（1），说明“黑桃”和“梅花”的张数相同， 满足（2）说明“方块”的张数比“梅花”的少， 满足（3）说明黑颜色的牌（黑桃、梅花）的张数比红颜色牌（红桃、方块）的张数要少， 因此黑色的牌要少于张，黑色的两种牌张数相同， 于是：①黑色的为张，可以得到“黑桃”和“梅花”各张，“方块”张，剩下的为“红桃”张． ∴“红桃”张，“黑桃”张，“方块”张，“梅花”张， ②黑色的为张，可以得到“黑桃”和“梅花”各张，“方块”张，剩下的为“红桃”张． ∴“红桃”张，“黑桃”张，“方块”张，“梅花”张， ③黑色的为张，可以得到“黑桃”和“梅花”各张，“方块”张，剩下的为“红桃”张． ∴“红桃”张，“黑桃”张，“方块”张，“梅花”张， 因此可能为：，，，或，，，或8，，，（不唯一）， 故答案为：；；；． 题型三 求某事件的频率 【典例分析】（24-25七年级下·全国·单元测试）有甲、乙两只不透明的布袋，甲袋中有个红球、个白球和个黑球，乙袋中有个红球，个白球和个黑球，这些球除颜色外全相同． (1)如果你想取出个红球，选哪个袋子成功的机会大？请说明理由； (2)“从乙袋中取出个红球后，乙袋中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时若想取出个红球，选乙袋成功的机会大”，你认为此说法正确吗？为什么？ 【答案】(1)选乙袋成功的机会大，理由见解析 (2)选甲袋成功的机会大，理由见解析 【分析】本题考查了频率计算公式，熟练掌握频率计算公式，并准确进行实数的大小比较是解答本题的关键． （1）分别计算甲、乙两袋中摸出红球的频率，比较大小后判断即可； （2）分别计算甲、乙两袋中摸出红球的频率，比较大小后判断即可． 【详解】（1）解：选乙袋成功的机会大，理由如下： 在甲袋中取出个红球的频率是， 在乙袋中取出个红球的频率是， 因为， 所以选乙袋成功的机会大； （2）解：此说法不正确，理由如下： 因为从乙袋中取出个红球后，从乙袋中取出个红球的频率是， 因为， 所以此时若想取出个红球，选甲袋成功的机会大． 【变式训练】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932 合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983 (1)求出表中a=_______，b=_______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是_____（精确到0.01）； (3)如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 【答案】(1)，； (2)； (3)该厂估计要生产50000顶头盔 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； （3）解：（顶）． 答：该厂估计要生产顶头盔． 题型四 概率的意义理解 【典例分析】（25-26七年级下·云南昭通·期末）下列说法正确的是（   ） A．买中奖率为的奖券100张，一定会中奖 B．“同旁内角互补”是必然事件 C．连续抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次正面向上，则抛掷一枚硬币正面向上的概率为 D．某校有3000名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有80名学生表示喜欢的项目是打羽毛球，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为羽毛球的学生约有1200人 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义、必然事件的定义及用样本估计总体的方法，需逐个分析选项判断正误． 【详解】解：选项A：中奖率为1%是指每张奖券中奖的可能性为1%，买100张奖券也有可能不中奖，A选项错误，不符合题意； 选项B：只有两直线平行时同旁内角才互补，否则同旁内角不互补，所以“同旁内角互补”是随机事件，B选项错误，不符合题意； 选项C：抛掷质地均匀的硬币，正面向上的概率是固定的，是此次试验的频率，不是概率，C选项错误，不符合题意； 选项D：用样本估计总体，该校喜欢羽毛球的学生约有人，D选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·期中）某文体店购进了筒羽毛球，但在销售过程中，发现其中混有若干个次品羽毛球，店员进行统计后，发现每筒羽毛球最多混入了个次品羽毛球，具体情况如下： 混入次品羽毛球个数 筒数 (1)用等式写出，所满足的数量关系应为__________； (2)从筒羽毛球中任意选取筒，若“筒中混入个次品羽毛球”的概率为，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据表格确定，满足的数量关系即可； （2）利用概率公式列式计算即可． 【详解】（1）解：观察表格发现：， ∴用等式写出，所满足的数量关系为， 故答案为：； （2）解：∵从筒羽毛球中任意选取筒，若“筒中混入个次品羽毛球”的概率为， ∴， 解得， 所以， 即，． 题型五 关于频率与概率关系说法的正误 【典例分析】（24-25七年级下·河南三门峡·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率与抛硬币的次数无关 B．随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为 C．任意画一个三角形内角和为360°是随机事件 D．连续投两次骰子，前后点数之和为偶数的概率是 【答案】C 【分析】根据抛硬币简单概率求法判断选项A，利用求概率的方法判断选项B，根据三角形的内角和是180°判断选项C，求出两次抛骰子的所有可能结果和点数和为偶数的结果数即可判断选项D，即可做出选择． 【详解】A、抛一枚质地均匀的硬币，出现的情况有两种一正一反，正面朝上的概率是，与抛硬币的次数无关，故原选项正确； B、随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎的共有4种等可能的结果，其中，都是男孩的有1种，所以随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为，此原选项正确， C、任意一个三角形的内角和为180°，所以任意画一个三角形内角和为360°是不可能事件，为确定性事件，不是随机事件，故原选项不正确，； D、连续投两次骰子，前后点数之和共有36种等可能的结果，其中点数之和是偶数的有18种结果，所以前后点数之和为偶数的概率是，故原选项正确， 故选择：C． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列说法正确的是______（填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 【答案】③ 【分析】根据随机事件以及频率和概率的意义分别分析即可； 【详解】①买彩票中奖是个随机事件，但是中奖的可能性很小，此选项错误． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%，此说法错误，只有当实验次数较多时，才能用实验结果推算概率，是一个估计值，不是准确值； ③在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是0.48和0.51，此说法正确； ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是必然事件，此说法错误； 故答案为：③． 题型六 由频率估计概率 【典例分析】（25-26七年级下·山西晋城·期末）将一枚图钉向上抛起，下列说法错误的是（    ） A．钉尖触地属于随机事件 B．P（钉尖触地）（钉尖朝上） C．因只有“钉尖触地”和“钉尖朝上”两种结果，则P（钉尖触地） D．通过大量重复试验，钉尖触地的频率会越来越接近其概率 【答案】C 【分析】本题考查随机事件、概率的意义及等可能事件的判断，需依据相关概念逐一分析选项. 【详解】解：∵随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. ∴钉尖触地的结果不确定，属于随机事件，A选项说法正确; ∵抛起图钉后，所有可能结果为钉尖触地和钉尖朝上，二者是对立事件; ∴P（钉尖触地）（钉尖朝上），B选项说法正确; ∵“钉尖触地”和“钉尖朝上”这两种结果发生的可能性不相等，不属于等可能事件, ∴不能得出P（钉尖触地），C选项说法错误; ∵根据频率估计概率的知识，大量重复试验后，频率会逐渐接近概率. ∴D选项说法正确. 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级下·甘肃天水·期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 优秀数量 优秀频率 (1)填空：_______，_______ (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到） 【答案】(1)， (2)估计该市学生作业优秀的概率为 【分析】本题考查频数与频率的关系，用频率估计概率，理解“大量重复试验中，频率会稳定在概率附近”是解题关键． （1）根据“优秀频率优秀数量抽取作业数量”的关系式，代入已知的抽取数量、优秀频率计算；代入已知的优秀数量、抽取数量计算； （2）观察表格，可知当抽取作业数量增大时，优秀频率逐渐稳定在附近，利用“大量重复试验中，频率稳定在概率附近”的规律，可得出该市学生作业优秀的概率． 【详解】（1）解：优秀的频率公式为，当，频率为， ， ； 当时，， ． 答：，． （2）解：观察图表可知，当抽取作业的数量逐渐增大时，优秀频率稳定在附近，则可估计该市学生作业优秀的概率为． 答：估计该市学生作业优秀的概率为． 题型七 用频率估计概率的综合应用 【典例分析】（24-25七年级下·广东深圳·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：________，________； (2)这种树苗成活的概率估计值为________（精确到） (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)117 (2) (3)棵 【分析】本题考查占比的计算和用频率估计概率，注意数据的精确度，正确的计算是解题的关键． （1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为实验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：117；； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而实验数据量最大为1000粒，对应频率为， 所以这种油菜籽发芽的概率估计值是， （精确到）； 故答案为：； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表， 试验种子数（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽个数（粒） 1 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 1 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 (1)表中________，________，________（精确到0.01）； (2)估计该小麦种子的发芽概率为________（精确到0.01）； (3)如果该小麦种子发芽后只有的麦芽可以成活，现有这种小麦种子，估计有________千克的麦种可以成活为秧苗， 【答案】(1)4，0.95，0.95 (2)0.95 (3)82.65 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是能够了解大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计概率． （1）根据发芽频率计算即可； （2）观察大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计发芽概率； （3）用小麦种子总重量乘以发芽率即可求得结果． 【详解】（1）解：，，， 故答案为：4，，； （2）解：观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数附近， 所以该麦种的发芽概率约为， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：． 题型八 列举随机实验的所有可能结果 【典例分析】（25-26七年级下·四川绵阳·期末）同时抛掷两枚质地均匀，大小、颜色完全相同的骰子，每个骰子的六个面依次标记着数字1，2，3，4，5，6，记下向上的点数． (1)列举出所有可能出现的结果，并计数一共有多少种？ (2)求两枚骰子向上的点数均为奇数的概率． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查古典概型概率计算相关知识，熟练掌握古典概型概率的计算是解题的关键． （1）通过列表法列举出所有情况； （2）结合古典概型的概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共有种情况 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）解：满足两枚骰子向上的点数均为奇数的结果有9个， 故两枚骰子向上的点数均为奇数的概率． 【变式训练】（25-26七年级下·河南周口·期末）在一个不透明的盒子里装有分别标有数字，，0，1的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，先从盒子里随机摸出一个小球，记录数字后放回，再随机摸出一个小球，记录数字． (1)列出两次摸球的所有可能结果； (2)求两次摸出的小球上的数字之和为正数的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了列举随机实验的所有可能结果，根据概率公式计算概率等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据题意，列出两次摸球的所有可能结果； （2）得出两次摸出的小球上的数字之和为正数的可能结果数，再利用概率公式求解． 【详解】（1）解：两次摸球的所有可能结果有： ，，，，，，，，，，，，，，，， 共16种； （2）解：数字之和为正数的结果有： ，，， 共3种， ∴P(数字之和为正数) ． 题型九 判断实验所得结果是否是等可能的 【典例分析】（2024·福建福州·一模）一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． (1)会出现哪些可能的结果？ (2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 【答案】(1)摸到号球或号球或号球或号球或号球 (2)可能性相同，它们的概率分别是 【分析】本题主要考查了列举随机实验的所有可能结果，判断实验所得结果是否是等可能的，判断事件的概率等知识点，深刻理解随机事件的概念是解题的关键． （1）列举出所有可能的结果即可； （2）判断每个结果出现的可能性是否相同，并估计它们的概率分别是多少． 【详解】（1）解：搅匀后任意摸出一个球，可能的结果有种：摸到号球或号球或号球或号球或号球； 答：会出现的可能结果有：摸到号球或号球或号球或号球或号球； （2）解：∵这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球， ∴每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是， 答：每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是． 【变式训练】（24-25七年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 题型十 列举法求概率 【典例分析】（25-26七年级下·山东烟台·期末）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查列举法求概率，熟练掌握利用列举法求概率是解题的关键． 掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9，共有4种情况，其中当数字之和为8时，棋子跳动到点处，利用概率公式计算即可． 【详解】解：由于、、、， 则掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9， 共有4种情况， 当数字之和为6时，棋子跳动到点处， 当数字之和为7时，棋子跳动到点处， 当数字之和为8时，棋子跳动到点处， 当数字之和为9时，棋子跳动到点处， 因此，棋子跳动到点处的概率是， 故选：B． 【变式训练】（25-26七年级下·福建漳州·月考）从写有数字2、3、5的三张卡片中随机抽取一张，不放回后再抽取一张，两次抽取的数字之和为奇数的概率是___． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，掌握知识点是解题的关键． 通过列举所有不放回抽取的等可能结果，计算两次数字之和为奇数的概率 【详解】解：从数字2、3、5的三张卡片中不放回地抽取两次，所有可能的结果为：，共6种等可能性结果．其中两次数字之和为奇数的结果有：，共4种． 因此概率为． 故答案为 题型十一 根据概率公式计算概率 【典例分析】（25-26七年级下·河南许昌·期末）某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 【答案】A 【分析】先计算题目中事件的频率，根据用频率估计概率得到该事件概率约为，再计算各选项事件的概率，选出概率最接近的选项即可. 【详解】解：∵试验总次数为次，该结果出现次， ∴频率为， 可得该事件的概率约为； 对各选项逐一计算概率： A选项： ∵张不含大小王的扑克牌中，红桃有张， ∴抽到红桃的概率为，符合要求； B选项：掷一枚硬币正面朝上的概率为，不符合要求； C选项： ∵共张纸片，其中奇数纸片有张， ∴抽到奇数的概率为，不符合要求； D选项： ∵质地均匀的骰子共个点数，点数为的情况只有种， ∴点数为的概率为，不符合要求. 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·周测）有四张正面分别标有数字，，0，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，从剩下的卡片中再任取一张，将该卡片上的数字记为b，则为非负数的概率为____． 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，准确掌握相关计算方法是解题关键．先计算所有等可能的抽取结果总数，再得到为非负数的结果个数，根据概率公式计算所求概率即可． 【详解】解：由题意可知，抽取为不放回抽取，所有等可能的结果为：，，，，，，，，，，，，一共12种，其中为非负数的结果有，，，，，，，共8种， 根据概率公式可得，为非负数的概率为 ． 故答案为：． 题型十二 根据概率作判断 【典例分析】（2025七年级下·全国·专题练习）已知以下四个事件：事件A：抛掷一枚硬币时，正面朝上；事件B：在1小时内步行80千米；事件C：一个袋子中装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出1个黄球；事件D：两数之和是负数，则其中必有一个是负数． (1)随机事件有______，必然事件有______； (2)请你把相应事件发生的概率用对应的字母A，B，C，D表示在数轴的对应点上． 【答案】(1)A、C；D (2)见解析 【分析】本题考查事件的分类及可能性，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念判断即可；必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．它发生的可能性是1；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．它发生的可能性是0；不确定事件，即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．它发生的可能性是大于0，而小于1． （2）根据事件的类型确定可能性的大小即可． 【详解】（1）解：事件A：抛掷一枚硬币时，正面朝上，属于随机事件； 事件B：在1小时内步行80千米，属于不可能事件； 事件C：一个袋子中装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出1个黄球，属于随机事件； 事件D：两数之和是负数，则其中必有一个是负数，属于必然事件， ∴随机事件有A、C，必然事件有D． 故答案为：A、C （2）解：A发生的可能性为，B发生的可能性为0，C发生的可能性为0.3，D发生的可能性为1． 在数轴的对应点位置如下： 【变式训练】（23-24七年级下·江西鹰潭·期末）现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个，乙盒装有红球20个，白球20个和黑球10个． (1)如果随机取出1个黑球，从 盒中抽取成功的机会大； (2)小明同学说：“从乙盒中取出10个红球后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 【答案】(1)甲 (2)小明的说法不正确，理由见解析 【分析】本题考查概率公式，解题关键在于掌握概率公式． （1）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲、乙两盒中随机取出1个黑球的概率，再对概率进比较即可解题； （2）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲盒、以及数量变化后的乙盒中随机取出1个红球的概率，再对概率进比较即可解题； 【详解】（1）解：从甲盒中随机取出1个黑球的概率为：， 从乙盒中随机取出1个黑球的概率为：， ， 从甲盒中抽取成功的机会大； 故答案为：甲． （2）解：从甲盒中随机取出1个红球的概率为：， 从乙盒中随机取出1个红球的概率为：， ， 此时想取出1个红球，选甲盒中抽取成功的机会大， 小明的说法不正确． 题型十三 已知概率求数量 【典例分析】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)填空 ， ； (2)请估计当很大时，摸到白球的频率将会接近 (精确到； (3)假如摸一次，摸到白球的概率 ； (4)试估算盒子里黑颜色的球有多少只？ 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)只 【分析】（1）根据“频率”的公式，已知其中两个量即可计算第三个量，从而求出和； （2）观察表格中随着摸球次数增加，摸到白球的频率的变化趋势，找出其稳定接近的数值； （3）依据频率估计概率的原理，试验次数很大时，频率的稳定值即为摸到白球的概率； （4）先根据概率求出白球数量，再用总球数减去白球数量得到黑球数量，或直接计算黑球的概率乘以总球数． 【详解】（1）解：∵频率，， ∴； 又∵，， ∴． （2）解：观察表格中的频率数据：，，，，，，，当很大时，频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的频率将会接近． （3）解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，摸到白球的频率稳定值即为摸到白球的概率， ∴(白球)． （4）解：∵总球数为，摸到白球的概率为， ∴白球的数量为(只)， ∴黑球的数量为(只)． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·周测）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外其余都相同． (1)任意摸出1个球，摸到红球是____________事件，摸到黄球是____________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） (2)从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是多少？ (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出1个球为黑球的概率是．求后来放入袋中的黑球的个数． 【答案】(1)随机  不可能 (2) (3)18 【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的定义即可求解； （2）求出白球占总数的几分之几即可； （3）根据概率公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据概念可得：任意摸出1个球，摸到红球是随机事件，摸到黄球是不可能事件； 故答案为：随机，不可能. （2）解：． 故摸到白球的概率是． （3）解：设后来放入袋中的黑球的个数是． 依题意得: ， 解得． 故后来放入袋中的黑球的个数是18． 题型十四 游戏的公平性 【典例分析】（25-26七年级下·全国·月考）如图，一个均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这几个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字（指向分界线重转）． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向的汉字的笔画数是偶数的概率是____________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画数不小于8时，小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1)； (2)游戏公平．理由见解析． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是 ， 故答案为：； （2）解：游戏公平．理由如下： 因为笔画数不小于8的汉字有“骄”“傲”“是”“国”，笔画数小于8的汉字有“我”“中”“人”， 所以小明获胜的概率为，小华获胜的概率为． 因为，所以游戏公平． 【变式训练】（25-26七年级下·浙江台州·期末）在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 【答案】D 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键． 计算四人依次不放回摸球时每人摸到红球的概率，据此解答即可． 【详解】解：总球数4个，红球1个， 则小丁摸到红球的概率为， 小王摸到红球的概率为， 小林摸到红球的概率为 小陈摸到红球的概率为 因此，每人摸到红球概率均为，小王与小丁的说法正确， 故选：D． 题型十五 几何概率 【典例分析】（25-26七年级下·全国·单元测试）按要求完成题目： (1)如图①．在正方形内，有一个内切圆．利用电脑设计程序：在正方形内随机产生一些点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为，圆内的点数为（在正方形边上和圆上的点不统计）．根据用频率估计概率的思想，推得的大小（用含，的式子表示）； (2)如图②所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； (3)有一个小球在如图③所示的地板上自由滚动，地板上的每个小格子都是边长为1的正方形．求小球最终停留在阴影区域的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据圆的面积与正方形的面积的比等于落在相应位置的点数的比列式求解即可； （2）用蓝色区域的圆心角度数除以度即可； （3）分别求出地板面积和阴影区域的面积，然后用阴影区域的面积除以地板面积即可求出小球最终停留在阴影区域的概率． 【详解】（1）解：设圆的半径为，则正方形的边长为． 根据题意，得， 所以． （2）解：如题图②，指针落在蓝色区域的概率为． 答：指针落在蓝色区域的概率为． （3）解：如题图③，地板面积为， 阴影区域的面积为， 则小球最终停留在阴影区域的概率为． 答：小球最终停留在阴影区域的概率为． 【变式训练】（25-26七年级下·北京顺义·期末）设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） (1)如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； (2)请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 【答案】(1) (2)图见解析 【分析】本题考查了几何概率，以及概率公式，理解题意是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）结合几何概率定义，以及指针指向阴影区域的可能性大小是，将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意，共有6块全等的扇形区域，其中3块是灰色，则指针指向灰色区域的可能性大小是； （2）解：如图，所画转盘即为所求： 将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，此时指针指向阴影区域的可能性大小是． 题型十六 概率在转盘抽奖中的应用 【典例分析】（24-25七年级下·四川达州·月考）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元． (1)他获得购物券的概率是多少？ (2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？ (3)若要让获得20元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成黄色． 【答案】(1) (2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是 (3)还需要将个无色扇形涂成黄色 【分析】本题主要考查了概率公式，一元一次方程的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可； （3）设还需要将个无色扇形涂成黄色，列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 答：他获得购物券的概率是； （2）解：他得到100元购物券的概率是， 他得到50元购物券的概率是， 他得到20元购物券的概率是， 答：他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是； （3）解：设还需要将个无色扇形涂成黄色， 根据题意得：， 解得：， 答：还需要将个无色扇形涂成黄色． 【变式训练】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字6的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是6的结果有1种， ∴P（转出数字6）； 故答案为：； （2）小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 题型十七 概率在比赛中的应用 【典例分析】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2)正确，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式，熟练地利用概率公式进行计算是解本题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）先求出A盘转出的数字大于4的概率和B盘转出数字“4”的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域， 所以（A盘转出数字“2”）， 因为B盘被分成3个面积相等的扇形区域， 所以（盘转出数字“2”）， （2）解：正确，理由如下： 因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域，其中数字大于4的区域有2个， 所以（A盘转出的数字大于4）． 因为盘被分成3个面积相等的扇形区域，其中数字为4的区域有1个， 所以（盘转出数字“4”）， 所以小华的看法正确， 【变式训练】（23-24七年级下·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 题型十八 概率的其他应用 【典例分析】（2025·河南濮阳·一模）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵． 【答案】1600 【分析】本题考查折线统计图，频率估计概率，利用样本的概率估计总体数量，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据图形可以发现，频率在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∴这种树苗移植2000棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：1600． 【变式训练】（23-24七年级下·浙江嘉兴·开学考试）某寝室有四个同学，每个同学写一张贺卡放在一起，每人抽取一张，要求不能抽取自己写的贺卡，则不同的抽取方案共有______种（用数字作答）． 【答案】9 【分析】本题要根据计数原理求出所抽取的都不是自己所写的贺卡的结果数，第一个人有3种结果，被拿走贺卡的人是第二个人有3种结果，则剩下的两个人只有一种结果，即可求解． 【详解】解：因为甲先去拿一张贺卡，有3种方法， 假设甲拿的是乙写的贺卡， 接下来让乙去拿，乙此时也有3种方法， 则剩下的两个人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去， 这样两人只有一种拿法， 所以总的拿法为种； 故答案为：9． 1．（24-25七年级下·山东烟台·期中）下列说法正确的是（   ） A．“买中奖率为的奖券6张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 C．烟台气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着烟台明天一定下雨 D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【答案】D 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和概率的意义，逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：∵ 选项A中，买中奖率为的奖券6张，中奖是随机事件，不是必然事件，∴ A错误； ∵ 选项B中，汽车累计行驶，从未出现故障是随机事件，不是不可能事件，∴ B错误； ∵ 选项C中，明天降水概率为，只说明明天降水的可能性较大，不是一定下雨，∴ C错误； ∵ 选项D中，均匀硬币每次抛掷，正面朝上的概率都为，与之前的实验结果无关，∴ D正确． 2．（25-26七年级下·河北沧州·期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的个红球和个黄球，从中随机摸出一个，要使摸到红球的概率是，需要向袋子中加入除颜色外其余均相同的小球，则下列方案不正确的是（    ） A．添加黄球个 B．添加红球个 C．添加红球个，黄球4个 D．添加红球个，黄球个 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，熟知摸到红球的概率等于红球的个数除以球的总数是解题的关键．要使摸到红球的概率为，需添加后袋子中红球总数等于黄球总数，据此验证各选项即可． 【详解】要使摸到红球的概率为，需满足添加后红球总数等于黄球总数 ∵原袋中有个红球，个黄球 ∴逐一验证选项： A、添加个黄球后，黄球数为，与红球数相等，符合要求，故不符合题意； B、添加个红球后，红球数为，黄球数为，，不符合要求，故符合题意； C、添加个红球、个黄球后，红球数为，黄球数为，两者相等，符合要求，故不符合题意； D、添加个红球、个黄球后，红球数为，黄球数为，两者相等，符合要求，故不符合题意． 故选：B． 3．（25-26七年级下·河北保定·期末）不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估算概率，概率的计算公式，熟练掌握频率与概率的关系是关键． 当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，由此判断选项． 【详解】解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动， ∴抽取一个球是灰球的概率为， ∴袋中白球与灰球的数量相等，只有选项C不符合． 故选：C． 4．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）规定：对于一个三位数，当时，则称这样的三位数为“上升数”．现有这样一个三位数，若从1，2，3，4，5，6这六个数中任意抽取一个数作为百位上的数，则所组成的三位数为“上升数”的概率为_____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查概率公式求概率；由题意知，共有6种等可能的结果，其中所组成的三位数为“上升数”的结果有3种，利用概率公式可得答案． 【详解】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中所组成的三位数为“上升数”的结果有：1，2，3，共3种， ∴所组成的三位数为“上升数”的概率为 故答案为：． 5．（25-26七年级下·广东·月考）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8．每人每次随机出一张自己的卡片，并比较卡片上数字的大小，当所有卡片出完后，甲至少有2次卡片上的数字大于乙的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查了求概率. 根据题意列出甲至少有2次卡片上的数字大于乙的情况，再由概率公式计算即可． 【详解】解：甲出1一定输，所以甲最多有3次卡片上的数字大于乙， 若有3次卡片上的数字大于乙，就只有一种组合； 若有2次卡片上的数字大于乙有三类，分别列举如下： ①出3和出5的赢，其余输：； ②出3和出7的赢，其余输：；；； ③出5和出7的赢，其余输：；；；；；；； 综上，甲有3次卡片上的数字大于乙有1种情况，有2次卡片上的数字大于乙有11种情况，故甲至少有2次卡片上的数字大于乙的情况共有种， 而所有情况为种， 甲至少有2次卡片上的数字大于乙的概率为． 故答案为：． 6．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在边长为的正方形内部画了一个圆，圆心为点，为估算的面积，在正方形区域内任意取100个点，若有60个点在内部，则的面积约为______． 【答案】5.4 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 用正方形的面积乘以点落在内部的频率即可得出答案． 【详解】解：的面积约为， 故答案为：． 7．（2025·湖北·模拟预测）如图是某市月日至日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择月日至月日中的某一天到达该市，并连续停留天．则此人在该市停留期间有且至少有天空气质量优良的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 先求出天中空气质量指数的所有情况，再求出有一天空气质量优良的情况，根据概率公式求解即可． 【详解】解：由图可知，当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量均为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 此人在该市停留期间有且至少有天空气质量优良的概率为． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·四川成都·月考）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小颗做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 71 129 207 334 537 2010 摸到白球的频率 (1)填空：______，______；若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为______（精确到） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是______． A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”． B．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5． C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有100个球，要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1)，摸到白球的概率估计值为 (2)B (3)需要往盒子里再放入65个白球 【分析】（1）先根据频数和频率的关系求出a、b的值，再通过大量重复实验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此即可求解； （2）先求出每种情况下的概率即可比较可能性大小； （3）先求出原来盒子中的白球有个，设需要往盒子里再放入x个白球后摸到白球的概率为，根据题意列方程求出即可． 【详解】（1）解：， 若从盒子里随机摸出一只球，摸到白球的概率估计值为； （2）解：A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5的概率是． C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是； 故最有可能的是B； （3）解：若盒子中一共有100个球，摸到白球的概率的估计值， 则盒子中的白球有个， 设需要往盒子里再放入x个白球后摸到白球的概率为， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：需要往盒子里再放入65个白球． 9．（24-25七年级下·山东烟台·期末）小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小明说：“根据试验，一次试验中出现了3点朝上的频率最大”，小亮说：“若投掷次，则出现4点朝上的次数正好是次”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率． 【答案】(1)； (2)两位同学的说法均错误，理由见解析 (3) 【分析】（1）结合表格中数据，根据“频率频数总数”即可求得； （2）根据频率估计概率的条件和事件发生的随机性判断正误； （3）运用概率的计算公式计算即可 【详解】（1）解： “1点朝上”的频率为； “6点朝上”的频率为； （2）两位同学的说法均错误； 小明的说法错误，因为实验次的次数较少，只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近； 小亮的判断是错误，因为事件发生具有随机性，若投掷次，则出现4点朝上的次数不一定正好是次； （3）点数不小于4的可能性有3种，所有可能性有6种， ． 10．（25-26七年级下·福建泉州·期末）某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案： ①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中1个黄球，8个白球； ②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则： ①若取出的是黄球，则获得奖品． ②若取出的是白球，则获得奖品． (1)该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是_________ ． (2)若从原方案的盒子中取走6个白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案及获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案及获奖规则下的概率分别相等． 【答案】(1) (2)新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球和2个白球中随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再从中随机摸取一个小球；获奖规则：若两次取出的都是黄球，则获得奖品，否则获得奖品 【分析】本题考查概率公式： （1）共有9种等可能的结果，取出的是黄球的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）原方案“获得奖品”的概率为，“获得奖品”的概率为，结合题意设计新的摸球方案及获奖规则即可． 【详解】（1）袋中1个黄球，8个白球，从袋中随机摸取一个小球，每次摸球是等可能的， 共有9种等可能的结果，其中该班某位同学取出的是黄球的结果有1种， 即参加该游戏“获得奖品”的结果有1种， ∴该班某位同学参加该游戏概率为 故答案为：． （2）解：由（1）可知原方案“获得奖品”的概率是， “获得奖品”的概率为， 取走6个白球后，剩余3个球：1个黄球，2个白球， 新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球和2个白球中随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再从中随机摸取一个小球． 黄球1个，共3球， 第一次摸到黄球的概率：，第二次摸到黄球的概率也是， 两次都摸到黄球的概率：， 两次不全为黄球的概率：， 获奖规则：若两次取出的都是黄球，则获得奖品，否则获得奖品． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $