专题(3) 第4课时 有关立体图形的证明与计算-2026年中考数学重点题型速练（人教版）

专题3几何证明与计算 第4课时有关立体图形的证明与计算 1.图2是图1中长方体的三视图（含部分数据），用S表示面积，主视图的面积S主=2n3+ 2m(n>1)。 (1)求S左和S俯 (2)推断以该长方体的长、宽、高为边能否围成直角三角形。 主视图 左视图 才正面 俯视图 图1 图2 左=(n2-1)·2n=2m3-2m, 答案：(1 S俯=(m2+1)(n2-1)=n4-1. (2)能围成直角三角形。 解析： (1)由主视图面积S主=2n3+2n=2n(n2+1),结合三视图对应边长关系，左视图两边为2n、 n2-1,俯视图两边为n2+1、n2-1,代入面积公式计算即可。 (2)长方体的长、宽、高分别为n2+1、n2-1、2n, (n2+1)2=n4+2m2+1, (m2-1)2=n4-2m2+1, 验证勾股定理： (2n)2=4n2, (n2-1)2+(2m)2=n4+2n2+1=(n2+1)2, 满足勾股定理，故能围成直角三角形。 2.如图，四边形ABCD是矩形，BC=6cm,AB=10cm,AC和BD是对角线，若图中的阴影部 分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14) 37/58 专题3几何证明与计算 1 1 答案： V=3×π×63×10-2×3×m×32x5=90m, 2V=180m=565.2立方厘米. 答：阴影部分扫过的立体图形的体积是565.2立方厘米。 解析：阴影部分以CD为轴旋转一周，体积为大圆锥体积减去两个小圆锥体积，再乘以2得到 1 整体阴影旋转体积，代入圆锥体积公式V一3h计算。 3如图1是一个新款水杯，水杯不盛水时按如图2所示的方式放置，这样可以快速晾干杯底， 干净透气。将图2的主体部分抽象成图3，此时杯口与水平直线的夹角为35°，四边形ABCD 可以看作矩形，测得AB=10cm,BC=8cm,过点A作AF1CE,交CE于点F,求点A到水平 直线CE的距离AF的长。（结果精确到1cm,参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192) B Q35 35o CF 图1 图2 图3 答案：AF≈13cm。 D ME-->B C35h. 解析： E 由矩形性质与角度关系得∠BAF=35°，作BM L AF于M,BN L EF于N,四边形BMFN为矩形， 38/58 专题3几何证明与计算 则： MF=BN=BC·sin35°≈8×0.5736≈4.59cm, AM=AB.cos35°≈10×0.8192≈8.20cm,AF=AM+MF≈8.20+4.59≈13cm 4.综合与实践 主题：制作圆雏形生日帽 素材：一张圆形纸板、装饰彩带等。 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为、圆心角为°的扇 形。因此制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量和裁剪材料； 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽。 (1)现在需要制作一个r=10cm,l=30cm的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角 度数； (2)为了使(1)中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，如图2，其中需要粘贴一 条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值。 图1 图2 备用图 答案： (1)圆心角度数为120°； (2)彩带长度的最小值为30V3cm。 解析： ()圆锥侧面展开图扇形弧长等于底面圆周长： 39/58 专题3几何证明与计算 nπl 360r360×10 =2mr→n= =120. 180 30 (2) 展开扇形圆心角120°，母线PA=PA=30cm,作PH1AA,∠APH=60°： =AP:sin60°=30×2 AH =153cm, AA'=2AH=30v3 cm 5.综合与实践 主题：制作长方体包装盒 素材：一张边长为30cm的正方形纸板ABCD 步骤1：如图1，在正方形纸板的边AB上取点E,F,使AE=BF,以EF为斜边向下作等腰直 角三角形GEF;在正方形纸板的边BC上取点P,Q,使BP=CQ=AE,以PQ为斜边向左作等 腰直角三角形NPQ;分别在边CD,AD上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形 (阴影部分)，剪去阴影部分； 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A,B,C,D恰好重合于点O处，如图2，得到一个底面 为正方形GHMN的长方体包装盒。 猜想与计算： (1)四边形GFPN的形状为 (2)若该长方体包装盒的底面积为288c，求该长方体包装盒的体积。 F(E) 图1 图2 40/58 专题3几何证明与计算 答案： (1)矩形； (2)体积为864V2cm3。 解析： (1)由折叠与等腰直角三角形性质，四边形GFPN为矩形。 (2)底面正方形GHMN面积288cm2,则边长GN=12√2cm; △BPF为等腰直角三角形，2BF2=(12V22,得BF=12cm; 等腰Rt△GEF中，GF=3V2cm(长方体的高)； 体积V=底面积×高=288×3V2=864V2cm3。 41/58专题3几何证明与计算 第4课时有关立体图形的证明与计算 1.图2是图1中长方体的三视图（含部分数据)，用S表示面积，主视图的面积S主=2n3+ 2m(n>1)。 (1)求S左和S俯； (2)推断以该长方体的长、宽、高为边能否围成直角三角形。 主视图 左视图 2n到 入正面 俯视图 图1 图2 2.如图，四边形ABCD是矩形，BC=6cm,AB=10cm,AC和BD是对角线，若图中的阴影部 分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 26/38 专题3几何证明与计算 3如图1是一个新款水杯，水杯不盛水时按如图2所示的方式放置，这样可以快速晾干杯底， 干净透气。将图2的主体部分抽象成图3，此时杯口与水平直线的夹角为35°，四边形ABCD 可以看作矩形，测得AB=10cm,BC=8cm,过点A作AF1CE,交CE于点F,求点A到水平 直线CE的距离AF的长。（结果精确到1cm,参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192) 635 35o CF 图1 图2 图3 4综合与实践，主题：制作圆锥形生日帽 素材：一张圆形纸板、装饰彩带等。 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇 形。因此制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量和裁剪材料； 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽。 (1)现在需要制作一个r=10cm,l=30cm的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角 度数； (2)为了使(1)中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，如图2，其中需要粘贴一 条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值。 4 BE--7 图1 图2 备用图 27/38 专题3几何证明与计算 5.综合与实践，主题：制作长方体包装盒 素材：一张边长为30cm的正方形纸板ABCD 步骤1：如图1，在正方形纸板的边AB上取点E,F,使AE=BF,以EF为斜边向下作等腰直 角三角形GEF;在正方形纸板的边BC上取点P,Q,使BP=CQ=AE,以PQ为斜边向左作等 腰直角三角形NPQ;分别在边CD,AD上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形 (阴影部分)，剪去阴影部分； 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A,B,C,D恰好重合于点O处，如图2，得到一个底面 为正方形GHMN的长方体包装盒。 猜想与计算： (1)四边形GFPN的形状为 (2)若该长方体包装盒的底面积为288cm,求该长方体包装盒的体积。 F(E 图1 图2 28/38