第10章 二元一次方程组 单元测试-2025-2026学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第10章 二元一次方程组 单元测试 总分：100分（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1 2 3 4 5 6 7 8 D B B B A D B A 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 10. 11.2 12. 10 13. 14. 15. 4 , 16./0.5 17. 18. 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为；（3分） （2）解：， 由②得：， 将③代入①得：， 解得：， 将代入③得：， 方程组的解为．（6分） 20．（6分） 【答案】(1)×，√ (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握常见的几种解二元一次方程组的方法． （1）先分别按照小明和小军的方法解方程组，然后根据他们的解答过程进行判断即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 解法一：得： 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：； 解法二：由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：； ∴小明的过程不正确，小军的过程正确， 故答案为：×，√；（3分） （2）解：， ②-①得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：．（6分） 21．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把x与y的值代入中，求出的值； （2）将x的值代入（1）所求的关系式计算即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：；（3分） （2）解：由（1）知， 当时，．（6分） 22．（6分） 【答案】1架型无人机一次可配送货物100千克，1架型无人机一次可配送货物60千克 【分析】设1架型无人机一次可配送货物千克，1架型无人机一次可配送货物千克，根据题意，得，解方程组即可； 【详解】解：设1架型无人机一次可配送货物千克，1架型无人机一次可配送货物千克，根据题意，得 解得 答：1架型无人机一次可配送货物100千克，1架型无人机一次可配送货物60千克． （6分） 23．（6分） 【答案】(1)篮球的单价是80元，足球的单价是60元 (2)3300元 【分析】（1）设出未知数，根据购买2个篮球和3个足球共需340元，购买1个篮球和2个足球共需200元，列出方程组，解方程组； （2）根据篮球和足球的单价，列出算式计算． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价是80元，足球的单价是60元；（3分） （2）解：根据题意得： （元）． 答：购买篮球和足球的总费用是3300元．（6分） 24．（6分） 【答案】(1)的值为； (2)的值为或． 【分析】（）先解方程与方程，然后根据“和方程”可得，进而问题可求解； （）设另一个方程的解为，由题意得，则或，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：， ， ； ， ， ， ， ∵关于的方程与方程是“和方程”， ∴， ， ， ， ∴的值为；（3分） （2）解：设另一个方程的解为， ∵“和方程”的两个方程解的差为， ∴， ∴或， 解得：或， ∴的值为或．（6分） 25．（9分） 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用整体求值法进行求解即可； （2）利用整体求值法求出的值，结合，列出关于的方程进行求解即可； （3）利用整体求值法化简方程组，再进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得；（3分） （2）解：， ，得， 化简，得， ∵， ∴， 解得；（6分） （3）解：， ，得，即， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得； ∴．（9分） 26．（9分） 【答案】(1)甲型挖掘机需租用6台，乙型挖掘机需租用3台. (2)共有3种租用方案：方案1：租用甲型挖掘机10台，乙型挖掘机0台；方案2：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台；方案3：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台. 租金最少的方案为租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，最省租金为1140元； (3) 【分析】（1）设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据租用的两种挖掘机恰好完成每小时的挖掘量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租用方案； （3）求出各租用方案所需租金，比较后可得出租金最少的租用方案，设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，根据题意列出关于，的二元一次方程组与w的关系，解之可得出，将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台， 根据题意得：， 解得：． 答：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台；（3分） （2）解：设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台， 根据题意得：， 又，均非负整数， 或或， ∴共有3种租用方案： 方案1：租用甲型挖掘机10台，乙型挖掘机0台，所需租金为（元）； 方案2：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台，所需租金为（元）； 方案3：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，所需租金为（元）． ， ∴租金最少的方案为租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，最省租金为1140元；（6分） （3）解：由（2）得，所需弹簧数量为根， 所需钢球数量为颗． 设弹簧的单价为元，钢球的单价为元， 根据题意得：， ， ， （元）． 故实际保养费用为元．（9分） 27．（10分） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设的“系数补角”是，由“系数补角”定义列方程即可得出； （2）过作，利用平行线的内错角相等得出，设，，则①，由“系数补角”定义得②，联立方程求解即可； （3）设，，则，，根据、的位置（异侧 / 同侧），结合平行线性质，用、表示和，代入“系数补角”的关系，求解，即可得的度数． 【详解】（1）解：设的“系数补角”是， ∵， ∴，即， 解得， ∴的“系数补角”是；（3分） （2）解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，， ∴①， 由条件可知，即②， 联立①②得，， 解得， ∴；（6分） （3）解：由“系数补角”定义可知， 设，，则，， 当点、在直线异侧时， 此时，， 同（2）中方法可得，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点、在线段同侧时， 同理可知∠，， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上，的度数为或．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第10章 二元一次方程组 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列各方程中是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是关于，的方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．若是关于x，y的方程组的解，则的值为（　 　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（   ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中有一个“牛羊各值多少‘金’”的问题，题目大意：5头牛，2只羊共值10两“金”；2头牛，5只羊共值8两“金”．设每头牛值x两“金”，每只羊值y两“金”，根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 6．关于x，y的方程组的解中，x减去y的差等于5，则k的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图是用4个相同的长方形与1个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1，设长方形的两邻边长分别为x，y，且x与y的比是，下列关系式错误的是（   ） A． B． C． D．， 8．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．已知方程，若用含的代数式表示，则__________． 10．写一个解是的二元一次方程组_______． 11．已知方程组，则的值是_____． 12．在等式中，当时，，当时，，则当时，______． 13．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为______． 14．已知方程组和有相同的解，则______． 15．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，请你帮他找回这两个数，________，________． 16．若方程组无解（其中），则的值为___________． 17．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_________． 18．已知二元一次方程组的解是，则方程组的解是____． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）解下列方程组： (1) (2) 20．（6分）在期末回顾与复习时，老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解该方程组．小明和小军解方程组的部分过程如下： 小明： ①-②，得． …… …… 小军： 由②，得，③ 把①代入③，得． …… (1)小明和小军解方程组的过程是否正确（在括号里画“√”或“×”）； 小明（    ）小军（    ） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组． 21．（6分）已知，当时，的值为7；当时，的值为，求： (1)的值； (2)当时，的值． 22．（6分）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克．求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克． 23．（6分）某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球（每个篮球的价格相同，每个足球的价格相同）；若购买2个篮球和3个足球共需340元，购买1个篮球和2个足球共需200元． (1)求篮球、足球的单价各是多少元； (2)根据学校的实际需要，需一次性购买篮球30个和足球15个．问购买篮球和足球的总费用是多少？ 24．（6分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”． (1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值； (2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值． 25．（9分）阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 26．（9分）解决问题：解决挖掘机的租用和保养问题 素材1：我校现准备对学校南门的主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 素材2：制定租用计划：为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换．现预估保养费用为w元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用w还差25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用w还剩15元． 型号 挖掘土石方量（单位： /台·时） 租金（单位：元/台·时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)任务1：制定租用计划，若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)任务2：探究租用方案，若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案，哪种方案租金最省，最省租金为多少？ (3)任务3：确定保养费用，基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为________元（用含w代数式表示）． 27．（10分）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 (1)若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 (2)在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 (3)连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，此时的度数？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 二元一次方程组 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列各方程中是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是关于，的方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．若是关于x，y的方程组的解，则的值为（　 　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（   ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中有一个“牛羊各值多少‘金’”的问题，题目大意：5头牛，2只羊共值10两“金”；2头牛，5只羊共值8两“金”．设每头牛值x两“金”，每只羊值y两“金”，根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 6．关于x，y的方程组的解中，x减去y的差等于5，则k的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图是用4个相同的长方形与1个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1，设长方形的两邻边长分别为x，y，且x与y的比是，下列关系式错误的是（   ） A． B． C． D．， 8．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．已知方程，若用含的代数式表示，则__________． 10．写一个解是的二元一次方程组_______． 11．已知方程组，则的值是_____． 12．在等式中，当时，，当时，，则当时，______． 13．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为______． 14．已知方程组和有相同的解，则______． 15．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，请你帮他找回这两个数，________，________． 16．若方程组无解（其中），则的值为___________． 17．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_________． 18．已知二元一次方程组的解是，则方程组的解是____． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）解下列方程组： (1) (2) 20．（6分）在期末回顾与复习时，老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解该方程组．小明和小军解方程组的部分过程如下： 小明： ①-②，得． …… …… 小军： 由②，得，③ 把①代入③，得． …… (1)小明和小军解方程组的过程是否正确（在括号里画“√”或“×”）； 小明（    ）小军（    ） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组． 21．（6分）已知，当时，的值为7；当时，的值为，求： (1)的值； (2)当时，的值． 22．（6分）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克．求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克． 23．（6分）某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球（每个篮球的价格相同，每个足球的价格相同）；若购买2个篮球和3个足球共需340元，购买1个篮球和2个足球共需200元． (1)求篮球、足球的单价各是多少元； (2)根据学校的实际需要，需一次性购买篮球30个和足球15个．问购买篮球和足球的总费用是多少？ 24．（6分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”． (1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值； (2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值． 25．（9分）阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 26．（9分）解决问题：解决挖掘机的租用和保养问题 素材1：我校现准备对学校南门的主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 素材2：制定租用计划：为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换．现预估保养费用为w元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用w还差25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用w还剩15元． 型号 挖掘土石方量（单位： /台·时） 租金（单位：元/台·时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)任务1：制定租用计划，若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)任务2：探究租用方案，若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案，哪种方案租金最省，最省租金为多少？ (3)任务3：确定保养费用，基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为________元（用含w代数式表示）． 27．（10分）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 (1)若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 (2)在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 (3)连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，此时的度数？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 二元一次方程组 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列各方程中是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程需满足三个条件：是整式方程；含有两个未知数；所有含未知数的项的次数都是1，据此逐一验证选项即可． 【详解】A、中是分式，方程不是整式方程，不符合要求，故A错误； B、中项的次数为2，不符合次数都是1的要求，故B错误； C、中项的次数为2，不符合要求，故C错误； D、，含有，两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义，故D正确． 2．已知是关于，的方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入得出，再把变形，整体代入求解即可． 【详解】解：∵是关于，的方程的解， ∴， ∴． 3．若是关于x，y的方程组的解，则的值为（　 　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 4．对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将①中的表达式代入②式，去括号整理即可得到结果． 【详解】解：，将其代入②式， 得， 去括号得． 5．《九章算术》中有一个“牛羊各值多少‘金’”的问题，题目大意：5头牛，2只羊共值10两“金”；2头牛，5只羊共值8两“金”．设每头牛值x两“金”，每只羊值y两“金”，根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据题意，5头牛，2只羊共值10两“金”；2头牛，5只羊共值8两“金”，直接列出方程组即可． 【详解】解：∵5头牛值两“金”，2只羊值两“金”，共值10两“金”， ∴； ∵2头牛值两“金”，5只羊值两“金”，共值8两“金”， ∴． ∴方程组为， 故选：A． 6．关于x，y的方程组的解中，x减去y的差等于5，则k的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】两方程相减得出，进而求出k的值． 【详解】解：， 得：， ∵x减去y的差等于5， ， 解得：． 7．如图是用4个相同的长方形与1个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1，设长方形的两邻边长分别为x，y，且x与y的比是，下列关系式错误的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】B 【分析】结合“x与y的比是”，可得，整理可得，即可判断选项A；由图形可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，结合“大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1”可得，即可判断选项C；将进行整理，可得，即可判断选项B；将与联立并求解，进而可知，，可判断选项D． 【详解】解：根据题意，x与y的比是，即， 整理可得，故选项A正确，不符合题意； 由图形可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为 ∵大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1， ∴，故选项C正确，不符合题意； 对于，等号右侧去括号，得， 移项，合并同类项，可得，故选项B错误，符合题意； 将与联立， 可得，解得， ∴，，故选项D正确，不符合题意． 8．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先解方程组，得到，然后将代入，即可判断①；若，即可得到，然后解方程即可判断②；根据题意，可知，然后代入求值即可判断③；将代入解方程即可判断④． 【详解】 解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：． ①当时，，， ∴， ， ∴，故①错误； ②若，则， 解得：， ∴，， ∴x，y互为相反数，故②错误； ③，为自然数， ∴， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴x，y为自然数的解有3对，故③正确； ④∵， ∴， 解得：，故④错误， ∴其中正确的有③，共1个． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．已知方程，若用含的代数式表示，则__________． 【答案】 【分析】将含的项移到方程的右边，再两边除以即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 10．写一个解是的二元一次方程组_______． 【答案】 【分析】方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 根据，列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：． 11．已知方程组，则的值是_____． 【答案】2 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组得出，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：， 得：， 则 ． 12．在等式中，当时，，当时，，则当时，______． 【答案】10 【分析】本题考查了解二元一次方程组．根据已知的两组的值代入，列出关于的二元一次方程组，解方程组得到的值，确定y关于x的表达式，再代入计算得到的值． 【详解】解：把和分别代入得， 用第二个方程减去第一个方程，得，解得， 把代入，得，解得， ∴， ∴， 依题意，把代入，得． 13．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】 【分析】运用整体思想，把两方程相加即可得解． 【详解】解：， 由得， ， ， ， 解得． 14．已知方程组和有相同的解，则______． 【答案】 【分析】根据方程组和有相同的解，所以把和组成方程组求出x、y的值，再把x、y的值代入其他两个方程和即可求出a、b的值，即可得答案． 【详解】解：方程组和有相同的解， 方程组的解也是它们的解， ①②，得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， 把，代入得： 解得：， 把，代入得：， 解得：， ． 15．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，请你帮他找回这两个数，________，________． 【答案】 4 【分析】根据的解为得到，解关于和的二元一次方程组即可． 【详解】解：∵的解为， ∴， 解得：． 16．若方程组无解（其中），则的值为___________． 【答案】/0.5 【分析】先将二元一次方程组化为关于x的一元一次方程，由二元一次方程组无解，得到，求出k的值即可． 【详解】解：由方程组，得 ， ， ∵原方程组无解，且， ∴， 解得． 17．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_________． 【答案】 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，根据图形列出方程组，求出a，b,再用面积公式计算即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知， 解得， ∴阴影部分面积为． 18．已知二元一次方程组的解是，则方程组的解是____． 【答案】 【分析】根据已知方程组的解得到，解方程组即可得到答案． 【详解】解：由已知方程组的解得到， 解得：． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为；（3分） （2）解：， 由②得：， 将③代入①得：， 解得：， 将代入③得：， 方程组的解为．（6分） 20．（6分）在期末回顾与复习时，老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解该方程组．小明和小军解方程组的部分过程如下： 小明： ①-②，得． …… …… 小军： 由②，得，③ 把①代入③，得． …… (1)小明和小军解方程组的过程是否正确（在括号里画“√”或“×”）； 小明（    ）小军（    ） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组． 【答案】(1)×，√ (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握常见的几种解二元一次方程组的方法． （1）先分别按照小明和小军的方法解方程组，然后根据他们的解答过程进行判断即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 解法一：得： 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：； 解法二：由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：； ∴小明的过程不正确，小军的过程正确， 故答案为：×，√；（3分） （2）解：， ②-①得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：．（6分） 21．（6分）已知，当时，的值为7；当时，的值为，求： (1)的值； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把x与y的值代入中，求出的值； （2）将x的值代入（1）所求的关系式计算即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：；（3分） （2）解：由（1）知， 当时，．（6分） 22．（6分）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克．求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克． 【答案】1架型无人机一次可配送货物100千克，1架型无人机一次可配送货物60千克 【分析】设1架型无人机一次可配送货物千克，1架型无人机一次可配送货物千克，根据题意，得，解方程组即可； 【详解】解：设1架型无人机一次可配送货物千克，1架型无人机一次可配送货物千克，根据题意，得 解得 答：1架型无人机一次可配送货物100千克，1架型无人机一次可配送货物60千克． （6分） 23．（6分）某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球（每个篮球的价格相同，每个足球的价格相同）；若购买2个篮球和3个足球共需340元，购买1个篮球和2个足球共需200元． (1)求篮球、足球的单价各是多少元； (2)根据学校的实际需要，需一次性购买篮球30个和足球15个．问购买篮球和足球的总费用是多少？ 【答案】(1)篮球的单价是80元，足球的单价是60元 (2)3300元 【分析】（1）设出未知数，根据购买2个篮球和3个足球共需340元，购买1个篮球和2个足球共需200元，列出方程组，解方程组； （2）根据篮球和足球的单价，列出算式计算． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价是80元，足球的单价是60元；（3分） （2）解：根据题意得： （元）． 答：购买篮球和足球的总费用是3300元．（6分） 24．（6分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”． (1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值； (2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1)的值为； (2)的值为或． 【分析】（）先解方程与方程，然后根据“和方程”可得，进而问题可求解； （）设另一个方程的解为，由题意得，则或，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：， ， ； ， ， ， ， ∵关于的方程与方程是“和方程”， ∴， ， ， ， ∴的值为；（3分） （2）解：设另一个方程的解为， ∵“和方程”的两个方程解的差为， ∴， ∴或， 解得：或， ∴的值为或．（6分） 25．（9分）阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用整体求值法进行求解即可； （2）利用整体求值法求出的值，结合，列出关于的方程进行求解即可； （3）利用整体求值法化简方程组，再进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得；（3分） （2）解：， ，得， 化简，得， ∵， ∴， 解得；（6分） （3）解：， ，得，即， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得； ∴．（9分） 26．（9分）解决问题：解决挖掘机的租用和保养问题 素材1：我校现准备对学校南门的主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 素材2：制定租用计划：为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换．现预估保养费用为w元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用w还差25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用w还剩15元． 型号 挖掘土石方量（单位： /台·时） 租金（单位：元/台·时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)任务1：制定租用计划，若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)任务2：探究租用方案，若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案，哪种方案租金最省，最省租金为多少？ (3)任务3：确定保养费用，基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为________元（用含w代数式表示）． 【答案】(1)甲型挖掘机需租用6台，乙型挖掘机需租用3台. (2)共有3种租用方案：方案1：租用甲型挖掘机10台，乙型挖掘机0台；方案2：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台；方案3：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台. 租金最少的方案为租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，最省租金为1140元； (3) 【分析】（1）设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据租用的两种挖掘机恰好完成每小时的挖掘量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租用方案； （3）求出各租用方案所需租金，比较后可得出租金最少的租用方案，设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，根据题意列出关于，的二元一次方程组与w的关系，解之可得出，将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台， 根据题意得：， 解得：． 答：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台；（3分） （2）解：设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台， 根据题意得：， 又，均非负整数， 或或， ∴共有3种租用方案： 方案1：租用甲型挖掘机10台，乙型挖掘机0台，所需租金为（元）； 方案2：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台，所需租金为（元）； 方案3：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，所需租金为（元）． ， ∴租金最少的方案为租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，最省租金为1140元；（6分） （3）解：由（2）得，所需弹簧数量为根， 所需钢球数量为颗． 设弹簧的单价为元，钢球的单价为元， 根据题意得：， ， ， （元）． 故实际保养费用为元．（9分） 27．（10分）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 (1)若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 (2)在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 (3)连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，此时的度数？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设的“系数补角”是，由“系数补角”定义列方程即可得出； （2）过作，利用平行线的内错角相等得出，设，，则①，由“系数补角”定义得②，联立方程求解即可； （3）设，，则，，根据、的位置（异侧 / 同侧），结合平行线性质，用、表示和，代入“系数补角”的关系，求解，即可得的度数． 【详解】（1）解：设的“系数补角”是， ∵， ∴，即， 解得， ∴的“系数补角”是；（3分） （2）解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，， ∴①， 由条件可知，即②， 联立①②得，， 解得， ∴；（6分） （3）解：由“系数补角”定义可知， 设，，则，， 当点、在直线异侧时， 此时，， 同（2）中方法可得，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点、在线段同侧时， 同理可知∠，， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上，的度数为或．（10分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $