6.5.2平面与平面垂直（第1课时）（教学课件）数学北师大版必修第二册

§5 垂 直 关 系 5.2 平面与平面垂直（第一课时） 第六章 立体几何初步 1 2 3 理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的平面角。（重点） 理解两平面垂直的定义，掌握面面垂直的性质定理，并能解决有关垂直问题。（重难点） 掌握空间中线、面垂直关系的相互转化关系。（重点） 观察下列各组图片，这些图片都给我们什么样的印象呢？ 平面与平面相交 情景导入 读教材 阅读课本P243-P245，5分钟后完成下列问题： 1.什么是二面角？二面角的平面角需满足什么条件？ 2.平面与平面垂直的定义是什么？有什么判断方法？ 3.平面与平面垂直有何性质？用数学符号怎么表示？ 我们一起来探究“平面与平面垂直”吧！ 1.二面角相关概念： 半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角。 这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面. 记作：二面角或. 新知探索 一、二面角及其平面角 二面角的面 二面角的棱 二面角 二面角是空间图形 2.二面角的平面角： 如图中的∠AOB就是二面角的平面角. 思考：∠AOB 的大小与点 O 在棱 l 上的位置有关吗？为什么？ 根据空间等角定理，∠AOB 的大小与点 O 在棱 l 上的位置无关． 新知探索 一、二面角及其平面角 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角. （2）直二面角：平面角是直角的二面角称为直二面角. 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作：α⊥β. 作图注意：画两个互相垂直的平面时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 新知探索 一、二面角及其平面角 （1）二面角的平面角 θ 的取值范围为0°≤θ≤180°． 2.二面角的平面角的取值范围及直二面角： 注意 典例讲解 例1 如图，已知三棱锥的各棱长均为2，求二面角 的 余弦值. 解： 如图，取的中点为，连接，， 则， . 由二面角的定义可知为二面角 的平面角. 在中，，， 则 , 即二面角的余弦值为 . M 一作（找） 二证 三求 典例讲解 方法总结 求二面角的大小关键是作出平面角，求二面角大小的步骤： （1）找出这个平面角； （2）证明这个角是二面角的平面角； （3）作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小. 一作（找） 二证 三求 典例讲解 如图， 平面，，，求二面角 的大小. 解： 因为 平面， 平面 ， 所以 . 又因为， ， 所以 平面 . 因为 平面，所以 ， 所以为二面角 的平面角. 在中，因为，所以 . 例2 ：如图，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100 m后升高多少米？（精确到0.1 m） 解：如图，设 DH 垂直于过 BC 的水平面，点 H 为垂足，线段 DH 的长度就是所求的高度. 在平面 DBC 内，过点 D 作 BC 的垂线，垂足为点 G，连接 GH. 因为 DH⊥平面 BCH，BC⊂平面 BCH， 所以DH⊥BC. H G 又DG∩DH＝D，DG，DH⊂平面DGH， 所以BC⊥平面DGH. 典例讲解 H G 又因为，所以. 因此，∠DGH就是坡面 DGC 与水平平面 BCH 所成的二面角的平面角， ∠DGH60°. 由此得 即沿直道前进100 m，升高约43.3 m. 例2 ：如图，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100 m后升高多少米？（精确到0.1 m） 典例讲解 典例讲解 方法总结 与面面垂直有关的计算问题解决方法 （1）所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线 垂直，往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题. （2）求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点 到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点（等体积）法. 典例讲解 如图所示，平面 平面 ，在 与 的交线上取线段， , 分别在平面 ,平面 内，，，，， 求线段 的长. 要求的长，由， 易知为直角三角形， 已知 的长，只要知道的长即可.由知 为直角三角形， 从而可解. 解： ，， , . ，， ， , . 又 ， . 在中， . 分析 探索1：在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？怎么画怎么画才能保证这条直线与地面垂直？ l 不妨设黑板所在平面为 ，地面所在平面为 ，它们的交线为l. 显然，. m 在平面 内作直线m⊥l，则m⊥. 新知探索 二、平面与平面垂直的性质 探索2：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD，那么直线A1A与平面ABCD垂直吗？ 平面A1ADD1内还有哪些直线与平面ABCD垂直？ 垂直 D1D及平面A1ADD1内其它与AD垂直的直线 已知： 求证：. C M N A B 证明：在平面内作直线BC⊥MN， 则∠ABC是二面角的平面角. 因为， 所以∠ABC=90°，即AB⊥BC. 又， 从而. 新知探索 二、平面与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. M N A B (线是指一个平面内垂直于两平面交线的一条直线) 新知探索 二、平面与平面垂直的性质 则. 三个条件缺一不可 图形语言 符号语言 简记：面面垂直，则线线垂直 例3 证明：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 证明：假设，如图，设，过点在平面内作直线. 根据面面垂直的性质定理，. 已知，这与“过一点只有一条直线与平面垂直”矛盾，所以不成立. 即. n c 典例讲解 已知：如图， 求证： 反证法 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，MN在平面B1BCC1内，MN⊥BC于点M，判断MN与AB的位置关系，并说明理由. 解：由题意可知，，交线为BC. 因为，且， 所以. 又， 从而. 典例讲解 典例讲解 例4：如图所示，是四边形所在平面外的一点，四边形 是 的菱形.侧面 为正三角形，其所在平面垂直于底面 . （1）若为的中点，求证： 平面 . （2）求证： . 证明： （1）如图，连接， ， 四边形是菱形且 ， 是正三角形. 为的中点， . 又 平面 平面，且平面 平面，平面 ， 平面 . （2）由（1）可知，为正三角形，为的中点， . 又， 平面， . 典例讲解 方法总结 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理， 另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面 垂直的性质定理. 在利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点： （1）两个平面垂直； （2）直线必须在其中一个平面内； （3）直线必须垂直于两平面的交线. 典例讲解 如图，在三棱柱中，平面 平面 ，, 是的中点，且 , . 证明: 平面 . 证明： 如图，连接，由题意可知， 为等边三角形，且是 的中点， ∴ . ∵平面 平面，平面 平面， ， 平面，∴ 平面. ∵ 平面，∴ . 又，, 平面，∴ 平面 . 课堂小结 线面垂直 线线垂直 面面垂直 线面垂直的判定 线面垂直的性质 面面垂直的性质 面面垂直的性质 本节课我们学习了空间内的垂直问题： 二面角 直二面角 $