黑龙江大庆实验中学2025-2026学年高一实验二部下学期期中考试数学试题

大庆实验中学2025级高一下学期期中考试 数学学科试题 说明：1.请将答案填涂在答题卡的指定区域内。 2.满分150分，考试时间120分钟。 一、单项选择题（本题型共8小题，每小题5分，共40分） 1.复数z满足(：+1)i=1-2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是() A.-3 B.-3i C.1 D.i 2.若e,e2是不共线的向量，且AB=e,+e2,BC=-3e,+2e,,CD=4e,-6e2,则() A.B,C,D三点共线 B.A,C,D三点共线 C.A,B,D三点共线 D.A,B,C三点共线 3.如图所示，△OAB是水平放置的△OAB的直观图，且OB'=4,OA=3, 则△OAB的面积是() A.6 B.3√2 C.6W2 D.12 45· B 4.设P为△MBC内一点，且AP= 4B+1 AC,则△ABP与△4BC的面积之比为() 3 A.月 B C. 1 D. 5.已知正四棱台的上、下底面的面积分别为1和4，侧面积为6，则该棱台的体积为() A.75 B.8w5 c.14W5 D.4V5 6 3 6.已知复数z满足|z-2-2=2,则z最大值为() A.25 B.2 C.2w2+1 D.2√2+2 第 7.正方体ABCD-ABCD的棱长为2，M是线段B,C上的一个动点（含端点）， 则MA+MC,的最小值为() A.2√2 B.√10 C.6+√2 D.2W2+√2 8.如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A,B,C所对的边分别为a,b,c 若CosB 4B+cosC AC=mAO,则m=() sin C Sin B A. B.2 C.5 D.2 B 二、多项选择题（本题型共3小题，每小题6分，共18分） 9.设复数z在复平面内对应的点为Z,O为坐标原点，i为虚数单位， 则下列说法正确的是() A.若=3-2i,则z=13 B.若点Z的坐标为(-1，)，则对应的点在第三象限 C.若z=1,则z=+1或=i D.若1≤≤√2，则点Z的集合所构成的图形的面积为π 10.已知扇形AOB的半径为1，∠AOB=120°，点C在弧AB上运动（包含边界）， OC=xOA+vOB,下列说法正确的有() A.CA.CB的取值范围是[-。，O] B.x+y的最大值是2 2 337 C.OC.BA的取值范围 22 D.x+2y的最大值是 3 1页共2页 11.如图，在棱长为6的正方体ABCD-ABC,D中，已知M,N,P分别是棱C,D,AA,BC的 中点，点Q满足Cg=C℃，∈[0,1]，下列说法正确的是() A.PQW平面ADDA D M B.若O,M,N,P四点共面，则2= B 4 C.若2-片点P在侧面BBCC内，且AP/平面APQ, 则点F的轨迹长度为√3 D.若1=3，过A,P,Q三点作该正方体的截面将该正方体分成两部分，较小体积与较大体积的 4 181 比值为25 三、填空题（本题型共3小题，每小题5分，共15分） 12.己知△4BC的角A,B,C对应的边为a,b,c,且sin2B+sin2C-sin2A=√2 sin BsinC, 则A= 13.一个圆锥的轴截面的顶角是120°，过顶点的截面面积的最大值是2，该圆锥的侧面积是 14.已知非零向量a,b,c满足<a,b>-60°，a2,对于任意实数2满足a-5≥a-b, (c+2b)(c-a)=0,则u·c的最大值是 四、解答题（本题型共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)(1)已知向量a,b满足a+2b=4,a.b=-1,求a-2b （2)已知向量ā-(1,0)，6=(c),若a在6方向上的投影向量为6， 且a+乃与a+2b的夹角是锐角，求实数2的取值范围， 16.(15分)(1)如图所示，以线段AB为直径的半圆上有一点C,满足： BC=L,AC=√5，若将图中阴影部分绕直线AB旋转180°得到一个几何 体.求阴影部分形成的几何体的表面积和体积： 第2页 (2)如图所示该几何体为上下底面皆为长方形的草垛，并且上下底面平行，上底中心投影恰 为下底中心，且AB‖EF,BC‖FG,DC‖HG,DA‖EH,AB=3,BC=2,EF=4,FG=3, 高为3，求该几何体的体积. 17.(15分)在△ABC中，角4，B,C所对的边分别为ab,c,已知b= -csin A+acos C. 3 (1)求角A的大小： (2)若D为边BC上一点，满足BD=2CD,且AD=2,求△ABC的面积最大值. (3)若D为边BC上一点，AD为角A的平分线，且AD=1,求b+2C的最小值. 18.(17分)如图1，设半圆的半径为2，点B,C三等分半圆，P,M,N分别是OA,OB,OC的 中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）在图2中完成下列各题， (1)求证：平面PN∥平面ABC. (2)求四面体ACMN的体积. (3)若D是AN的中点，在线段OB上是否存在 OE 一点E,使得DE∥平面ABC?若存在，求 的 EB 值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 图1 图2 19(17分)在△4BC中，角AB,C所对的边分别为abc,且，o -sinC- 2cos 6 点P为三角形内部一点，且满足∠BPA=∠APC=∠CPB=120°. (1)求角B: (2)若b2-(a-c)=6,求PA.PB+PB.PC+PC.PA的值： (3)若b=√5，求PA-PB+PC的最小值. 共2页实验二部数学期中考试参考答案 一.单选题 1 2 3 4 6 7 8 c B D B A D D C 二 多选题 9 10 11 ABD ABC ACD 三.填空题 n音 13.25元 14.1+25 四.解答题 15.(1)2√6 (2)(a元>-2且≠2y. 16mr吾s5,66 (2) 1xx3x2x4+2x2x3x×2+x3xx3x2+3x2×3=265 1 1 1 1 22 3 2 2 17.(1)解：因为b= -csinA+acosC, 3 由正弦定理得2 RsinB=5 -2RsinC sin A+2Rsin AcosC, 3 所以sinB= -sin Csin 4+sin Acos C, 3 又因为8-4+0，可得+C9=5nCsn4+nAoC, 所以sinosC+eosAsinC= -sin CsinA+sin AcosC, 3 所以cos4sinC= -sin CsinA, 3 因为0<C<m,所以smC≠0，可得cosA=5 imA,所以tanA=√5， 又因为0<A<元，故A= 解：因为D为边BC上，满足BD=2CD, 所以BD=2DC,所以AD-AB=2AC-AD),所以AD=AB+2AC, 3 3 所以AD=AB+4AC2+4ABAC, 24 9 9 9 即有A0r-号lA+号4c+A4Cca胥 即2-c++co Γ999 所以4=ge+g ：2号学+号：，所以4如，甲cs6 +b+c 9 当且仅当-2时，即c=2b=2V5时，取等号， 33 1 3 2 34 ⊙*635 4 2 即△ABC的面积最大值为3V5. 2 SMABC SMABD+SMCD 1 5bcin60=号c4D:8m30+号b:AD.sim30 (3) √3bc=b+c 上=5 b'c 3 3 当且仅当6=56，即c=6+256-5+6时取等号 6 3 18.(1)证明：因为M,N分别是OB,OC的中点，所以MN/BC, 又MN文平面ABC,BCC平面ABC, 所以NI∥平面ABC,同理得PN∥平面ABC, 又MNc平面PMN,PNc平面PMN,MNOPN=N, 所以平面PN∥平面ABC. (2)如图所示： 设圆锥的底面圆半径为，则2加=)×2m×2,解得r=1. 2 所以在图中，B,C为圆锥的底面圆周的三等分点， 所义△1BC为等边三角形，所以602r=2,所以BC=B 感安555，圆推的商h=-5 133 所以V。-ABc=34 -X- x63 4 所以M-ACN= 4 O-ABc 16 即四面体ACMN的体积为 3 (3)如图所示： 0 在线段OB上存在点E,且B-3,使得DB∥平面ABC, EB 理由如下： 取AC的中点F,且D是AN的中点，连接DF, 所以DF/CN,2DF=CN. 取CB的四等分点G,使CG=3BG,连接GE,FG. 因为OE=3EB,所以EG1/OC,4EG=OC, 所以2EG=CN=2DF,EG/DF,所以四边形DFGE是平行四边形， 所以DE∥FG,又DE丈平面ABC,FGC平面ABC,所以DE∥平面ABC 19.(1)cosA=2cosBsinC-=sin CcosB-cosC cosB, 6 因为cosA=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin B sin C, 所以-cos B cosC+sin B sinC=√3 sin C cos B-cosC cos B,即sin BsinC=√3 sin Ccos B, 又sinC≠0，所以tanB=√5， 因为B∈(0，)， 所以B=骨 (2)由b2-(a-c)=6得，b2-d-c2+2ac=6,即2ac-6=ad2+c2-b2, 由余弦定理得，cosB=+c2-_2ac-6_1, 2=二，解得ac=6, 2ac 2ac 2 所以So-acsinB=x6x5_35. 1 1 2 2 22 又SAARC=S△ABP+S△ACP+SA△BCP -hssm120r+ACr4sm12+Bc4sm120 5ueAhrKHek0-45 2 所以APBP+APCP+BPCP=6, 所以PA·PB+PB.PC+PC.PA=AP.BP cos120°+BP.CP .cos120°+AP.CP cos120° -+lar-CP+Pl-CP)=-3. (3)如图所示，根据题意，设PA=n,PB=m,PC=t,∠PAB=a(0°<<60)， 则∠PBC=,∠PBA=∠PCB=60°-， 在△PAC中，由余弦定理得cos120°=心+-3-1， 所以n+t=Vt+3, 2nt 在△PBC中，由正弦定理得 t sina sin(60°-) 在△PAB中，由正弦定理得 sina&sin(60°-a) nsin a i= sin(60°-a) 联立方程组，可得 所以t=2, msin(60°-a) n= sin a 代入上式，可得n+t=√m2+3且 msin a msin(60°-_√m+3, in(60°-a) sin a 3 所以 sina sin(60°-) in(60°-a) sin a Vm+1, 设x=sin(60°-a) 3 5 =sin(60-a)2 cosc- sina sina =21, sin a sin a tan a 2 由0°<a<60,可得1 ( tang 3,+∞)，所以x∈(0，+∞)， 3 又由1=士，由对勾函数的性质，可得+1户x+尘2+ 1 所以∈(0，]， 3 由n+t=√t+3,可得PA+PC-PB=√2+3-m=- m2+3+m 又由函数y= √2+3+ 一在∈(0,1]上为单调递减函数， 所以PA+PC-PB∈[L,5), 故PA+PC-PB最小值为1