8.1 为什么要证明 培优作业 2025--2026学年鲁教版七年级数学下册

第八章证明 1 为什么要证明 夯基础 1.下列推理正确的是 ( ) A.若a·b>0,则a+b>0 B.若a+b>0,则a·b≥0 C.若a·b=0,则a-b=0 D.若a·b=0,则a=0或b=0 2.琪琪同学花整数元购买了一个圆规，让同学们猜价格.嘉嘉说：“至多 20元.”亮亮说“至少17元.”琪琪说：“你们都猜对了.”这个圆规的价格可能为 ( ) A.14元 B.16 元 C.19元 D.23元 3.在可以不同年的条件下，下列结论叙述正确的是 ( ) A.400个人中至少有两人生日相同 B.300 个人至少有两人生日相同 C.300个人一定没有两人生日相同 D.300个人一定有两人生日相同 4.下列结论推理合理的是 ( ) A.王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等 B.因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题 C.因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好 D.因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多 5.甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五名，发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次. 甲猜：乙第三名、丙第五名； 乙猜：戊第四名、丁第五名； 丙猜：甲第一名、戊第四名； 丁猜：丙第一名、乙第二名； 戊猜：甲第三名、丁第四名. 老师说：每个名次都有人猜对了，那么，获得第一名的是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6.先观察猜想结论，再动手验证. (1)如图 1,圆 M 和圆 N 哪个大? (2)如图2，l，m两条线是否为直线? 练能力 7. 如图是某剧场第一排座位分布图.甲、乙、丙、丁四人购票，所购票的数量分别为5张，4张，3张，2张，每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小. (1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么他们4人是否都能购买到满足条件的票?如果能，请写出每人购买的座位号；如果不能，请说明理由； (2)若乙第一个购票，要使其他3人也能购买到满足条件的票，甲、丙、丁应该按怎样的顺序购票?写出所有符合要求的购票顺序. 2 认识证明 第 1课时 定义与命题 夯基础 1. 下列命题中，是真命题的是 ( ) A.同位角相等 B.同旁内角互补 C.内错角相等 D.对顶角相等 2. 下列语句中，不是命题的是 ( ) A.延长线段AD B.两点之间，线段最短 C.同位角相等 D.如果 那么x=1 3. 下列语句中是命题的有( ) ①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ②你喜欢数学吗? ③取线段AB 的中点 ④角平分线上的点到角两边的距离相等 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.定义：平面直角坐标系中不重合两点 A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),把 y₂|称为 A,B 的“垂直距”,记为 yAB,把 称为A，B的“水平距”，记为xAB，例如, A (1,2), B (-2,6),此时 |1-(-2)|=3,yAB =|2-6|=4.现有两个命题： ②对于△ABC,若 yAB，则∠ACB 不可能是锐角.以上命题中( ) A.①②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题 C.①是假命题，②是真命题 D.①②都是假命题 5.“规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴”这个句子是 ( ) A.定义 B.命题 C.基本事实 D.定理 6.用一组a,b 的值说明命题“若|a|>|b|,则a>b”是假命题.若a取值为-2，则b可以取值为 . 7.把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果……，那么……”的形式： . 8.能够说明命题“如果a>b+1,那么 是假命题的一组反例是:a= ,b= . 练能力 9.如图,在△AFD 和△CEB 中,点 A,E,F,C 在同一条直线上，有下面四个选项：①AD=CB ②AE=CF ③DF=BE④AD∥BC. 请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题.并写出证明过程. 条件为： (填序号)； 结论为： (填序号). 第2课时 基本事实与定理 夯基础 1.下列命题是定理的是 ( ) A.内错角相等 B.同旁内角互补，两直线平行 C.一个角的余角不等于它本身 D.在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 2.下列生活现象，可以用基本事实“两点之间线段最短”解释的是( ) A.用两个钉子就可以把木条固定在墙上 B.开山挖隧道，把上坡下坡的盘山公路改为平直的隧道 C.植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 D.建筑工人通过在两个柱子之间拉一条绳子砌墙 3.下列语句中是基本事实的是 ( ) A.连接两点之间的线段叫作两点间的距离 B.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C.若A,B,C 三点在同一直线上,且AB=2CB,则点 C 是线段AB 的中点 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4.给出下列命题： ①能被3整除的数也能被6 整除 ②等式两边除以同一个数，结果仍是等式 ③x=5是一元一次方程 的根 ④对顶角相等. 其中可以作为定理的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5. 工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行.其依据是 6.如图,若 AB∥EF,AB∥CD.求证:∠2+∠3-∠1=180°(关键步骤要写理由). 练能力 7. 如图,CD 是五边形ABCDE 的一边,若AM 垂直平分CD,垂足为M,且 , ,则 . 给出下列信息:① AM 平分 ∠BAE;②AB=AE;③BC=DE.请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明. 1 为什么要证明 1. D 2. C 3. A 4. D 5. C 6.解：(1)观察猜想得出的结论：圆M 比圆N 大, 验证：用重叠法比较，圆M 和圆N一样大； (2)观察猜想得出的结论：l，m不是两条直线， 验证：用直尺比较，l，m是两条直线. 7.解:(1)能, 甲购买的座位号为5,3,1,2,4; 乙购买的座位号为6,8,10,12; 丙购买的座位号为7，9，11； 丁购买的座位号为13，15； (2)根据题意可确定乙选的座位号为3，1，2,4. ①若甲在乙选完之后选，则甲选的座位号为13,11,9,7,5. 若丙在甲选完之后选，则丙选的座位号为6，8,10. 此时丁可选的座位号为12，14. 即在乙选完之后的顺序为甲、丙、丁； 若丁在甲选完之后选，则丁选的座位号为6,8. 此时丙可选的座位号为10，12，14. 即在乙选完之后的顺序为甲、丁、丙； ②若丙在乙选完之后选，则丙选的座位号为9,7,5. 若甲在丙选完之后选，则甲可选的座位号为6,8,10,12,14. 此时丁可选的座位号为 13，11. 即在乙选完之后的顺序为丙、甲、丁； 若丁在丙选完之后选，则丁选的座位号为6,8. 此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立； ③若丁在乙选完之后选，则丁选的座位号为7,5. 若甲在丁选完之后选，则甲可选的座位号为6,8,10,12,14. 此时丙可选的座位号为13，11，9. 即在乙选完之后的顺序为丁、甲、丙； 若丙在丁选完之后选，则丙选的座位号为6，8,10. 此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立. 综上可知，甲、丙、丁的购票顺序可以为甲、丙、丁或甲、丁、丙或丙、甲、丁或丁、甲、丙. 2认识证明 第1 课时定义与命题 1. D 2. A 3. B 4. A 5. A 6.-1(答案不唯一) 7.如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 8.0 - 2(答案不唯一) 9.解:(示例)①②③ ④ 证明:因为AE=CF, 所以AF=CE, 又因为AD=CB,DF=BE, 所以△ADF≌△CBE(SSS), 所以∠A=∠C, 所以AD∥BC. 第2 课时基本事实与定理 1. B 2. B 3. D 4. A 5.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 6.证明:∵AB∥EF,AB∥CD(已知), ∴EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)， ∴∠3=∠CGE(两直线平行,内错角相等), ∴∠3-∠1=∠CGE-∠1=∠BGE(等式的性质)， ∵AB∥EG(已知), ∴∠2+∠BGE=180°(两直线平行,同旁内角互补)， 即∠2+∠3-∠1=180°. 7.证明：根据题意补全图形并连接AC，AD，如图所示： (1)且②,③,则①: ∵AM 垂直平分CD, ∴CM=DM,AC=AD(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)， 在△ACM 与△ADM 中, ∴△ACM≌△ADM(SSS), ∴∠CAM=∠DAM, 在△ABC与△AED中, ∴△ABC≌△AED(SSS), ∴∠BAC=∠EAD. 又∵∠CAM=∠DAM, ∴∠BAC+∠CAM=∠EAD+∠DAM,即 ∴AM平分∠BAE; (2)且①,②,则③: ∵AM 垂直平分CD, ∴CM=DM,AC=AD(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)， 在△ACM与△ADM中, ∴△ACM≌△ADM(SSS), ∴∠CAM=∠DAM. ∵AM 平分∠BAE, ∴∠BAM=∠EAM. 又∵∠CAM=∠DAM, ∴∠BAM-∠CAM=∠EAM-∠DAM, 即∠BAC=∠EAD, 在△ABC 与△AED中, ∴△ABC≌△AED(SAS), ∴BC=DE. 学科网（北京）股份有限公司 $