圆锥曲线中定值问题 课件-2026届高三数学二轮复习

圆锥曲线中定值问题 1.在解析几何题目中，有些几何量与参数无关，这类问题被称为定值问题.定值问题是高考的热点问题、难度较大，一般作为压轴题出现. 2.常见的定值问题有:(1)斜率为定值;(2)斜率和(积、比)为定值;(3)角度为定值;(4)长度、距离、面积为定值;(5)数量积为定值;(6)系数和为定值等. 题型分析 例1 (2026·山东三市诊断改编)已知椭圆Γ:＝1，设O为坐标原点，P，Q为Γ上的两个动点，且OP⊥OQ，作OM⊥PQ，垂足为M.线段OM的长度是不是定值?若是，求出该定值;若不是，请说明理由. 题型一　长度或距离为定值 线段OM的长度是定值. 法一　当直线PQ的斜率不存在时，设其方程为x＝n，将x＝n代入＝1， 得y＝±.不妨令P，Q. 因为OP⊥OQ，OM⊥PQ， 所以|OM|＝|n|＝， 所以|n|＝，即此时OM的长度为定值. 当直线PQ的斜率存在时， 设其方程为y＝kx＋m， 由消去y， 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2. 当直线OP，OQ的斜率均存在时， 易得kOP＝，kOQ＝， 又OP⊥OQ，所以kOPkOQ＝＝－1， 即y1y2＋x1x2＝0， 所以(1＋k2)(2m2－6)－4k2m2＋m2(1＋2k2)＝0， 所以m2＝2＋2k2， 所以|OM|＝. 当直线OP，OQ的斜率有一个为0，有一个不存在时， |OP||OQ|＝ab，|PQ|＝， 即|OM|＝. 综上，|OM|＝. 法二　若直线OP与OQ中有一条直线的斜率不存在， 不妨设直线OP的斜率不存在，则|OP|＝b＝，|OQ|＝a＝， 所以|PQ|＝＝3， 又S△OPQ＝|OP||OQ|＝|PQ||OM|， 所以|OM|＝. 若直线OP与OQ的斜率均存在且不为0， 设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)， 则直线OQ的方程为y＝－x. 由得(1＋2k2)x2＝6， 所以， 所以|OP|2＝. 同理，得|OQ|2＝. 因为S△OPQ＝|OP||OQ|＝|PQ||OM|， 所以|OM|＝＝. 综上，|OM|＝. 感悟提升 探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接法求解，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值. 训练1 已知M，N分别为椭圆E:＝1(a>b>0)的左、右顶点，F为其右焦点，|FM|＝3|FN|，且点P在椭圆E上. (1)求椭圆E的标准方程; 由|FM|＝3|FN|，可得a＋c＝3(a－c)，解得a＝2c， 又因为a2＝b2＋c2，所以b＝c. 因为点P在椭圆E上，所以＝1， 解得a＝2，b＝，c＝1，所以椭圆E的标准方程为＝1. (2)若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，且l与以MN为直径的圆交于C，D两点，证明:为定值. ①当l与x轴重合时，|AB|＝|CD|＝4， 所以＝7. ②当l不与x轴重合时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线l的方程为x＝my＋1， 则y1＋y2＝，y1y2＝， 故|AB|＝ ＝＝12×， 圆心O到直线l的距离为，则|CD|2＝4， 则＝4－，所以＋4－＝7， 即为定值. 例2 (2026·广州调研改编)已知椭圆C:＋y2＝1，且M(－1，0)，N(1，0)，P为椭圆C上一点，设直线PM与椭圆C的另一个交点为B，直线PN与椭圆C的另一个交点为D.设＝λ1＝λ2.求证:当点P在椭圆C上运动时，λ1＋λ2为定值. 题型二　斜率或代数式为定值 设P(x0，y0)，B(x1，y1)，D(x2，y2)， 当P在椭圆长轴的端点处时，由对称性不防设P(2，0)， 易知＝3， 所以λ1＋λ2＝. 当直线PM，PN的斜率不为0时，y0≠0，y1≠0，y2≠0， 设直线PM的方程为x＝ty－1， 其中t＝， 由Δ>0可得t∈R， 所以y1y0＝－，得y1＝－， 因为＝λ1， 所以(－1－x0，－y0)＝λ1(x1＋1，y1)， 所以－y0＝λ1y1，则λ1＝－＝－y0·. 设直线PN的方程为x＝my＋1， 其中m＝， 同理可得λ2＝－， 又点P在椭圆C上，所以＋4＝4， 所以λ1＋λ2＝ ＝ ＝ ＝·. 综上所述，λ1＋λ2＝，为定值. 感悟提升 1.求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值. 2.在证明一条直线斜率或两条直线斜率和，差或者积与商为定值的问题中，我们需要先将斜率表示出来，然后利用相关量之间的关系式化简即可. 训练2 (2026·贵阳摸底)已知点A(0，)，B(0，－)，点P在以AB为直径的圆上运动，PD⊥y轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为C. (1)求C的方程; 由题意可知，点P在圆x2＋y2＝3上运动，且不与A，B点重合. 设M(x，y)，P(x0，y0)，则D(0，y0)， 由，得(x0，0)＝(x，y－y0)， 即 又＝3， 所以＋y2＝3， 所以C的方程为＝1(x≠0). (2)过点N(0，1)的直线l交C于点E，F，设直线AE，BF的斜率分别为k1，k2，证明为定值，并求出该定值. 由题意可知，直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx＋1，E(x1，y1)，F(x2，y2)， 联立消去y并整理得 (3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，Δ>0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 得x1＋x2＝kx1x2， 又k1＝，k2＝， 所以＝2＋， 即为定值，该定值为2＋. 例3 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上的两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0. (1)求证:k1·k2＝－; 题型三　几何图形的面积为定值 ∵k1，k2存在，∴x1x2≠0， ∵m·n＝0，∴＋y1y2＝0， ∴k1·k2＝＝－. (2)试探求△OPQ的面积S是不是定值，并说明理由. 是.理由如下:当直线PQ的斜率不存在， 即x1＝x2，y1＝－y2时， 由＝－，得＝0， 由P(x1，y1)在椭圆C上，得＝1， ∴|x1|＝，|y1|＝，∴S△OPQ＝|x1|·|y1－y2|＝1. 当直线PQ的斜率存在时，易知直线PQ的斜率不为0， 设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0). 由 得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0， x1＋x2＝，x1x2＝. ∵＋y1y2＝0， ∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0， 得2b2－4k2＝1， 满足Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4) ＝16(4k2＋1－b2)>0， ∴S△OPQ＝·|PQ| ＝|b| ＝2|b|·＝1. ∴△OPQ的面积S为定值. 感悟提升 探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可. 训练3 (2026·成都诊断)已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－，0)，(，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝2－，动点C的轨迹为曲线G. (1)求曲线G的方程; ∵圆E为△ABC的内切圆， ∴|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|PA|＋|QB|＝2|CP|＋|AR|＋|BR|＝2|CP|＋|AB| ＝4>|AB|， ∴点C的轨迹为以A和B为焦点的椭圆，∴c＝，a＝2，b＝1， ∴曲线G的方程为＋y2＝1(y≠0). (2)设直线l与曲线G交于M，N两点，点D在曲线G上，O是坐标原点，，判断四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值，求出该定值;如果不是，请说明理由. 由y≠0可知，直线l的斜率存在， 设直线l方程是y＝kx＋m， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由平面图形OMDN是四边形， 可知m≠0，代入到＋y2＝1， 得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， ∴Δ＝16(4k2＋1－m2)>0， x1＋x2＝，x1x2＝， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝， |MN|＝·， 点O到直线MN的距离d＝. 由得xD＝，yD＝. ∵点D在曲线G上，∴将D点坐标代入椭圆方程得 4m2(4k2＋1)＝(4k2＋1)2，即1＋4k2＝4m2， 由题意得，四边形OMDN为平行四边形， ∴四边形OMDN的面积 S＝··＝， 由1＋4k2＝4m2得S＝， 故平行四边形OMDN的面积是定值，其定值为. 1.(2026·南昌模拟改编)已知椭圆C:＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点P(4，0)作直线l与椭圆C交于A，B两点(A在B的上方)，当l的斜率为－时，点A恰与椭圆的上顶点重合. (1)求椭圆C的标准方程; 当l的斜率为－时，直线l:y＝－x＋1，令x＝0，得y＝1，∴b＝1. ∵e＝，∴a＝2， ∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)已知M(1，0)，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，试探求k1＋k2是否为定值?并说明理由. 由题意得，直线l的斜率存在且不为0， 设直线l:x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2，x1≠1，x2≠1)， 联立消去x并整理， 得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0， Δ＝(8m)2－4×12(m2＋4)＝16m2－192>0， 即m2>12， 则y1＋y2＝，y1y2＝， ∴k1＋k2＝ ＝， 易知x1y2＋x2y1－(y1＋y2)＝2my1y2＋3(y1＋y2)＝2m×＋3×＝0， ∴k1＋k2＝0. 2.(2026·合肥调研)已知抛物线Γ:y2＝2px(p>0)的准线过点(－2，3). (1)求Γ的标准方程; 由题意得－＝－2，∴p＝4， ∴Γ的标准方程为y2＝8x. (2)若角α为锐角，以角α为倾斜角的直线l经过Γ的焦点F，且与Γ交于A，B两点，作线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明:|FP|－|FP|cos 2α为定值，并求此定值. 由(1)可得F(2，0)， 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由已知得直线AB的斜率k＝tan α， 因为角α为锐角，所以k>0，则直线AB的方程为y＝k(x－2)， 联立 得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0， 故xA＋xB＝， 设线段AB的垂直平分线为直线m，直线m与AB的交点为E(xE，yE)，点P的坐标为(xP，yP)， 则xE＝，yE＝k(xE－2)＝， 故直线m的方程为y－＝－， 令y＝0，得点P的横坐标为xP＝＋4， 故|FP|＝xP－2＝， ∴|FP|－|FP|cos 2α＝(1－cos 2α) ＝＝8， ∴|FP|－|FP|cos 2α为定值8. 3.(2026·郑州模拟改编)已知椭圆E:＋y2＝1，A是椭圆E的右顶点.若过点P(3，1)的直线m与椭圆E交于B，C两点，直线n的方程为x＝3，设直线AB和直线AC分别与直线n交于点M，N，求|PM|·|PN|的值. 由题意得直线m的斜率存在且不为0，设直线m的方程为y－1＝k(x－3)(k≠0)， B(x1，y1)，C(x2，y2)，由题知x1≠x2≠2. 联立消去y， 得(4k2＋1)x2－(24k2－8k)x＋36k2－24k＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝. ∵A(2，0)，B(x1，y1)，∴kAB＝， 故直线AB的方程为y＝(x－2)， 令x＝3，得y＝，即M， 故|PM|＝＝＝， 同理可得，|PN|＝， ∴|PM|·|PN|＝， ∵(x1－2)(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4 ＝＋4＝， (x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝＋9＝， ∴|PM|·|PN|＝. 4.已知双曲线C:＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线C右支上一动点P(x0，y0)到两条渐近线l1，l2的距离之积为. (1)求双曲线C的方程; 双曲线C:＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx＋ay＝0和bx－ay＝0， 则动点P(x0，y0)到两条渐近线l1，l2的距离之积为·， 则， 又2c＝2，即c2＝a2＋b2＝5， 解得a＝2，b＝1，则双曲线的方程为－y2＝1. (2)设直线l是曲线C在点P(x0，y0)处的切线，且l分别交两条渐近线l1，l2于M，N两点，O为坐标原点，证明:△MON面积为定值，并求出该定值. 当直线l的斜率不存在时，可得直线方程为x＝2，易知△OMN的面积为2; 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m， 与双曲线的方程x2－4y2＝4联立，可得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0， 直线与双曲线的右支相切，可得Δ＝(8km)2－4(4k2－1)·(4m2＋4)＝0， 可得4k2＝m2＋1， 设直线l与x轴交于D，则D， S△MON＝S△MOD＋S△NOD＝|OD||yM－yN|＝·|k|·|xM－xN|， 又双曲线的渐近线方程为y＝±x， 联立可得M， 同理可得N， 则S△MON＝·|k|··|k|·＝2. 即△MON面积为定值2. 由消去x并整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 由得(t2＋4)y2－2ty－3＝0， $