专题6 第4讲 圆锥曲线中的定值、定点与定直线问题（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

第4讲　圆锥曲线中的定值、定点与定直线问题 圆锥曲线中的定值、定点、定直线问题都是研究某些几何元素与几何量动中有静,变化中蕴含不变等规律的问题,是高考对直线与圆锥曲线综合考查的热点之一,题目具有一定的综合性,难度中等或偏上. 定值、定点、定直线问题虽考查角度各不相同,但解决问题的思路基本是一致的,首先是解决好参数问题,通过引进参数、运用参数、消去参数解决相关问题;其次是要善于运用特殊化方法,即先从问题的特殊情况入手,发现和推导问题结论,然后再证明一般情形成立,从而解决定值、定点、定直线问题. 考点一　定值问题 例1　(2025山东济宁高考模拟考试(二模))已知双曲线C:=1 (a>0,b>0)的离心率为,且点A(4,3)在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)若直线l交双曲线C于P,Q两点,∠PAQ的平分线与x轴垂直,求证:l的倾斜角为定值. (1)解 由题意有得b2=a2. 又点A(4,3)在双曲线C上,所以=1. 联立解得所以双曲线C的方程为=1. (2)证明 由已知得直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+b,设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得(3-4k2)x2-8kbx-4b2-12=0, 所以3-4k2≠0, Δ=(-8kb)2-4(3-4k2)(-4b2-12)=48(b2-4k2+3)>0, 则x1+x2=,x1x2=- 又因为∠PAQ的平分线与x轴垂直, 所以kAP+kAQ=0,即=0, 所以(y1-3)(x2-4)+(y2-3)(x1-4)=0,即2kx1x2+(b-3-4k)(x1+x2)-8(b-3)=0, 所以-2k+(b-3-4k)-8(b-3)=0, 即-24(k+1)(b+4k-3)=0,所以k=-1或b=3-4k. 当b=3-4k时,直线l的方程为y=kx+3-4k=k(x-4)+3, 即直线l过点A(4,3),不符合题意, 所以k=-1.设l的倾斜角为α(0≤α<π),即k=tan α=-1,α=, 即直线l的倾斜角为定值 知识提炼 求解定值问题的基本方法 先猜后证法 从特殊化入手,求出定值,再证明这个定值与变量无关 消参数法 直接推理、计算,并在计算推理过程中消去参数,从而得到定值.解题步骤:(1)设参.选择适当的参数当变量,一般情况先设出直线方程y=kx+b或x=my+n、点的坐标等.(2)用参.要把证明为定值的量表示成上述参数的函数.(3)消参.将中间结果代入目标量,通过计算化简得出目标量与引入的参数无关,是一个常数 考点二　定点问题 例2　(2025海南高三下学期学业水平诊断)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(,y0)在抛物线E上,且|MF|=. (1)求抛物线E的方程; (2)过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线E交于A,B两点,直线l2与抛物线E交于C,D两点,设线段AB,CD的中点分别为P,Q,证明:直线PQ过定点. (1)解 抛物线E的准线方程为x=-, 因为点M(,y0)在抛物线E上,且|MF|=,即,得p=2, 所以抛物线E的方程为y2=4x. (2)证明 由(1)知F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2). 设l1的方程为x=my+1(m≠0),代入y2=4x,得y2-4my-4=0.所以y1+y2=4m, 则yP==2m,代入x=my+1,得xP=2m2+1,所以P(2m2+1,2m). 因为l1⊥l2,所以l2的方程为x=-y+1,同理可得Q(+1,-). 当m=±1时,2m2+1=+1=3,直线PQ:x=3. 当m≠±1时,kPQ=, 直线PQ的方程为y-2m=[x-(2m2+1)], 即y=x-+2m=x-, 整理得y=(x-3).所以直线PQ过定点(3,0). 知识提炼 圆锥曲线的定点问题的求解策略 参数无 关法 把直线或者曲线方程中的变量x,y当作常数,将方程一端化为零,既然过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,所以参数的系数须全部为零,由此得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点 特殊到 一般法 先根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关 关系法 对于满足一定条件的两点连接所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题,可设直线(或曲线)上两点的坐标,利用坐标在直线(或曲线)上,建立点的坐标所满足的方程(组),求出相应的直线(或曲线),然后再利用直线(或曲线)过定点的知识求解 考点三　定直线问题 例3　(2025湖南长沙湖南师范大学附属中学高三下学期模拟)已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,A,B分别为椭圆C的上、下顶点,O为坐标原点,直线y=kx+2与椭圆C交于不同的两点P,Q. (1)设M为线段PQ的中点,证明:直线OM与直线PQ的斜率之积为定值; (2)若|AB|=2,证明:直线BP与直线AQ的交点D在定直线上. 证明 (1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则M(), 则=1,=1,两式相减可得=0,即=-, 所以kOM·kPQ==-=e2-1=-1=-,为定值. (2)由题意可得,解得 所以椭圆的方程为+y2=1.则A(0,1),B(0,-1). 联立可得(2k2+1)x2+8kx+6=0, 则Δ=(8k)2-4×6(2k2+1)>0,得k2>, 故x1+x2=,x1x2= 直线BP的方程为y+1=,① 直线AQ的方程为y-1=,② 设直线BP与直线AQ的交点D(x0,y0), 则由①②两式相减可得x0=,代入①可得, y0+1=,即y0= 所以点D在定直线y=上. 知识提炼 解决圆锥曲线中定直线问题的求解方法 引进参数法 实质是求动点的轨迹方程,首先根据题意引入参数,用参数表示经过定直线的动点,将其代入已知条件中,并根据问题所给的条件建立关系式,然后消去参数,即可得到定直线的方程 相关点法 用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来,再代入已知的曲线方程和直线方程中,便可求出定直线的方程 $