专题06 圆的性质与计算6大题型（题型专练）（四川成都专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06 圆的性质与计算 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01   圆的基本性质：垂径定理、圆心角、圆周角 题型02 点、直线与圆的位置关系 题型03 切线判定与性质 题型04 三角形内切圆、外接圆 题型05 弧长、扇形面积计算 题型06 圆锥侧面积、全面积 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01  圆的基本性质：垂径定理、圆心角、圆周角 典例引领 【典例01】（2025·四川·中考真题）如图，点A，B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 四川中考圆模块的基础必考点，是后续所有圆类题目的解题基础，多以选择、填空或解答题小问形式出现： 1.垂径定理应用：利用 “垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧”，求弦长、半径、圆心到弦的距离，常结合勾股定理考查。 2.圆心角与圆周角：利用 “同弧所对的圆周角是圆心角的一半”“同弧或等弧所对的圆周角相等” 进行角度计算，尤其是直径所对的圆周角是直角这一性质，是高频考点。 3.综合计算：结合圆内接四边形的对角互补性质，进行角度转化或计算。 方法技能 1.垂径定理解题技巧： · 核心辅助线：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形（半径、弦的一半、圆心到弦的距离构成直角三角形），再用勾股定理计算。 · 关键结论：已知其中两个量，即可求出第三个量。 2.圆周角解题技巧： · 看到直径，优先想到构造直径所对的圆周角（90°）； · 同弧/等弧优先转化圆周角，或转化为圆心角，方便计算。 3.圆内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角，常用于角度转化。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·一模）如图，是的直径，点C，D在上，，已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2026·四川成都·二模）如图，是的直径，为上一点，过点作，交于，两点，连接并延长交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)过点作的切线交的延长线于点，若，求和的长． 题型02 点、直线与圆的位置关系 典例引领 【典例01】（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为的正方形的对角线上取一点，使，连结并延长至点，连结，使，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，连结交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有______．（填序号） 【典例02】（2026·四川绵阳·一模）如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 方法透视 考向解读 四川中考圆模块的基础判断类考点，多为选择、填空题，也常作为切线问题的铺垫： 1.点与圆的位置关系：根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在圆内、圆上还是圆外。 2.直线与圆的位置关系：根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断直线与圆相离、相切还是相交。 3.动态位置关系：结合动点问题，判断点/直线在运动过程中与圆的位置关系变化。 方法技能 1.点与圆的位置关系判断：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d： · d<r：点在圆内； · d=r：点在圆上； · d>r：点在圆外。 2.直线与圆的位置关系判断：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d： · d<r：直线与圆相交； · d=r：直线与圆相切； · d>r：直线与圆相离。 3.解题关键：找到 “圆心到点/直线的距离”，再与半径比较大小即可。 变式演练 【变式01】（2025·四川广安·一模）若的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的交点个数是(        ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式02】（2026·四川泸州·模拟预测）如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，点M为的中点，连接．若的半径为3，则长的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2026·四川绵阳·二模）如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型03 切线判定与性质 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求半圆O的半径及的长． 【典例02】（2025·四川雅安·中考真题）如图，△ABC中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 方法透视 考向解读 四川中考圆模块的核心必考考点，解答题压轴前的必考题，是区分度题型： 1.切线的判定：证明一条直线是圆的切线，常作为解答题第一问。 2.切线的性质应用：利用 “切线垂直于过切点的半径”，结合勾股定理、相似三角形求线段长度。 3.切线长定理：利用 “从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角” 进行计算或证明。 4.综合应用：结合垂径定理、圆周角定理、相似三角形，解决圆的证明与计算问题。 方法技能 1.切线判定的两种方法： · 已知直线与圆有公共点：连接圆心和公共点，证明这条半径与直线垂直（“连半径，证垂直”）。 · 未知直线与圆是否有公共点：过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于半径（“作垂直，证半径”）。 2.切线性质的应用技巧： · 看到切线，优先连接圆心和切点，得到垂直关系，构造直角三角形。 · 结合勾股定理、三角函数或相似三角形，求线段长度。 3.切线长定理解题技巧： · 切线长相等，可用于证明线段相等； · 圆心与圆外一点的连线平分两条切线的夹角，可用于证明角相等或计算角度。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·模拟预测）如图，是△ABC的外接圆，是的直径，是上一点，连接，，平分，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在△ABC中，以为直径作，交边于点D，E为上一点，使得，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)当，时，求的半径． 【变式03】（2025·四川广元·中考真题）如图，是的直径，点D是线段延长线上一点，过点D的直线与相切于点C，过线段上一点E作的垂线交的延长线于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型04 三角形内切圆、外接圆 典例引领 【典例01】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点，． (1)求△ABC的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 【典例02】（2025·四川资阳·中考真题）如图，是△ABC的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 方法透视 考向解读 四川中考圆模块的特色考点，多为选择、填空题，或作为解答题的拓展问题： 1.外接圆相关：求三角形外接圆的圆心（外心）、半径，尤其是直角三角形的外接圆半径。 2.内切圆相关：求三角形内切圆的圆心（内心）、半径，尤其是直角三角形的内切圆半径。 3.性质应用：利用外心、内心的性质，求角度或线段长度。 方法技能 1.三角形外接圆（外心）： · 定义：三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等（等于外接圆半径）。 · 特殊结论：直角三角形的外心在斜边的中点上，外接圆半径等于斜边的一半。 2.三角形内切圆（内心）： · 定义：三角形三个内角平分线的交点，到三边的距离相等（等于内切圆半径）。 · 特殊结论：直角三角形的内切圆半径公式：r=（a,b为直角边，c为斜边）。 3.解题技巧： · 求外心：找三角形两条边的垂直平分线的交点； · 求内心：找三角形两个内角平分线的交点。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·一模）在△ABC中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，是△ABC的外接圆，点在的延长线上，连接，作于点，交于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)，，求线段的长． 【变式03】（2025·四川广安·中考真题）如图，是△ABC的外接圆，是的直径，点E在的延长线上，连接，． (1)求证：是的切线． (2)过点C作，垂足为D，若△ABC的面积是的面积的3倍，，求的长． 题型05 弧长、扇形面积计算 典例引领 【典例01】（2025·四川凉山·中考真题）如图，△ABC内接于，若，则的长为_______． 【典例02】（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 方法透视 考向解读 四川中考圆模块的基础计算考点，多为选择、填空题，偶尔作为解答题的最后一问： 1.弧长计算：已知半径和圆心角，求弧长。 2.扇形面积计算：已知半径和圆心角，或已知半径和弧长，求扇形面积。 3.阴影部分面积计算：通过割补法、和差法，计算不规则图形（阴影部分）的面积，常结合圆、扇形、三角形考查。 方法技能 1.核心公式： · 弧长公式：l=（n为圆心角度数，r为半径）； · 扇形面积公式：S==（l为弧长，r为半径）。 2.阴影面积计算技巧： · 和差法：阴影面积=规则图形面积的和或差； · 割补法：将不规则阴影部分转化为规则图形（如扇形、三角形）； · 等积转化：利用图形的对称性或全等，将阴影部分转化为易求的图形面积。 变式演练 【变式01】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：） (1)求圆心角的度数； (2)求的弧长（结果精确到米）． 【变式02】（2026·四川成都·二模）如图，线段是的直径，点是上一点，连接，，以点为圆心，线段长为半径所作的弧恰好经过点．若的半径为2，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是___________． 【变式03】（2026·四川成都·一模）如图，筝形内接于，已知直径，，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为_____________． 题型06 圆锥侧面积、全面积 典例引领 【典例01】（2025·四川达州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是_______． 【典例02】（2025·四川凉山·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，由图中数据可知，该几何体的侧面积为______． 方法透视 考向解读 四川中考圆模块的高频计算考点，多为选择、填空题，是弧长与扇形面积的应用： 1.圆锥侧面积计算：利用扇形弧长与圆锥底面周长的关系，求圆锥侧面积。 2.圆锥全面积计算：侧面积加上底面积，求圆锥的全面积。 3.相关量转化：已知圆锥的底面半径、母线长、高，进行三者之间的计算或转化。 方法技能 1.核心关系： · 圆锥的侧面展开图是一个扇形； · 扇形的弧长=圆锥底面的周长； · 扇形的半径=圆锥的母线长。 2.核心公式： · 圆锥侧面积：侧（r为底面半径，l为母线长）； · 圆锥全面积：全； · 圆锥的高、底面半径、母线长满足勾股定理：h2+r2=l2。 3.解题关键：抓住 “弧长=底面周长” 这一核心关系，建立方程求解未知量。 变式演练 【变式01】（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 【变式02】（2026·四川绵阳·二模）如图，在圆柱中以圆柱的上下两个底面为底的两个圆锥顶点在O处相接，分别为上下两个圆锥的母线，，若圆柱的高，，上下两个底面的直径与顶点都在同一个平面之中，则上下两个圆锥的侧面积之比是（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·四川绵阳·三模）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（   ） A．10 B． C． D． 题●型●训●练 1．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是的直径是弧的三等分点，D是弧的中点，且位于直径的两侧，连接，则的度数为______． 3．（2026·四川广安·二模）如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为___． 4．（2025·四川成都·二模）如图，是的切线，A，B为切点，若，，则图中阴影部分的面积为______． 5．（2025·四川广安·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 6．（2026·四川内江·一模）设方程的两根为的两条直角边的长，则内切圆的半径是______． 7．（2025·四川成都·二模）如图，是正六边形的外接圆，半径为，过点作于点，给出下列结论：①圆心角；②弦长；③；④图中阴影部分的面积为；⑤的长为．其中正确的结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④ 8．（2025·四川泸州·中考真题）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为____________． 9．（2025·四川成都·三模）如图，△ABC内接于，AB是的直径，点E在圆上，且，过点C作，垂足为点D，与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若BF=2，，求的半径和线段的长． 10．（2025·四川成都·模拟预测）如图，△ABC内接于，，过点A作交的平分线于点D，交于点E，交于点F，射线交的延长线于点 (1)求证：是的切线； (2)若，，求和的长． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆的性质与计算 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01   圆的基本性质：垂径定理、圆心角、圆周角 题型02 点、直线与圆的位置关系 题型03 切线判定与性质 题型04 三角形内切圆、外接圆 题型05 弧长、扇形面积计算 题型06 圆锥侧面积、全面积 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01  圆的基本性质：垂径定理、圆心角、圆周角 典例引领 【典例01】（2025·四川·中考真题）如图，点A，B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键． 直接运用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【典例02】（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答． 只要证明，求出即可． 【详解】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 方法透视 考向解读 四川中考圆模块的基础必考点，是后续所有圆类题目的解题基础，多以选择、填空或解答题小问形式出现： 1.垂径定理应用：利用 “垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧”，求弦长、半径、圆心到弦的距离，常结合勾股定理考查。 2.圆心角与圆周角：利用 “同弧所对的圆周角是圆心角的一半”“同弧或等弧所对的圆周角相等” 进行角度计算，尤其是直径所对的圆周角是直角这一性质，是高频考点。 3.综合计算：结合圆内接四边形的对角互补性质，进行角度转化或计算。 方法技能 1.垂径定理解题技巧： · 核心辅助线：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形（半径、弦的一半、圆心到弦的距离构成直角三角形），再用勾股定理计算。 · 关键结论：已知其中两个量，即可求出第三个量。 2.圆周角解题技巧： · 看到直径，优先想到构造直径所对的圆周角（90°）； · 同弧/等弧优先转化圆周角，或转化为圆心角，方便计算。 3.圆内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角，常用于角度转化。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·一模）如图，是的直径，点C，D在上，，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由弧弦关系得,由等腰三角形性质得，由直径性质得，由直角三角形性质得，即得答案． 【详解】解：∵点C，D在上，， ∴， ∵， ∴, ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式02】（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得，再利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：是圆的直径， ， ， ， ， 故选：C． 【变式03】（2026·四川成都·二模）如图，是的直径，为上一点，过点作，交于，两点，连接并延长交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)过点作的切线交的延长线于点，若，求和的长． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】（1）连接， 由垂径定理得， 即可得，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得， 即可证明． （2）根据题意设，则，连接，由（1）知，得出，证明，结合得出，根据是的切线，得出，从而证明，得出，结合，即可求出，根据，得出，证明，得出，令，在中和中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 是直径，， 由垂径定理得， ， 又， ． （2）解：， 设， ， 连接， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ∵是的切线， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， 令， 在中，，即， 解得：， ∴， 在中，，即， ∴， 故． 题型02 点、直线与圆的位置关系 典例引领 【典例01】（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为的正方形的对角线上取一点，使，连结并延长至点，连结，使，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，连结交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】证明即可判断①，在上取一点，使得，证明，进而判断②；过点分别作的垂线，垂足分别为，则，根据相似三角形的性质即可判断③，取的中点，连接，根据题意得出在以为直径的圆上运动，进而得出当在上时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，点是正方形的对角线上的点， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，在上取一点，使得， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故②正确； 如图，连接交于点，则，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ ∴，故③错误 如图 ∵ ∴ 即 ∵点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处， ∴ ∴ ∴在以为直径的圆上运动 取的中点，连接， ∴当在上时，取得最小值，最小值为的长， ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【典例02】（2026·四川绵阳·一模）如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【答案】C 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长度，从而确定点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，最后根据点与圆的位置关系求出的最小值． 【详解】解：取的中点，连接，， 为的中点，为的中点 ， 为的中位线 ， ， 的半径为，即 ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上 ， ，为的中点， ， 当点在线段上时，取得最小值， 的最小值为． 方法透视 考向解读 四川中考圆模块的基础判断类考点，多为选择、填空题，也常作为切线问题的铺垫： 1.点与圆的位置关系：根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在圆内、圆上还是圆外。 2.直线与圆的位置关系：根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断直线与圆相离、相切还是相交。 3.动态位置关系：结合动点问题，判断点/直线在运动过程中与圆的位置关系变化。 方法技能 1.点与圆的位置关系判断：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d： · d<r：点在圆内； · d=r：点在圆上； · d>r：点在圆外。 2.直线与圆的位置关系判断：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d： · d<r：直线与圆相交； · d=r：直线与圆相切； · d>r：直线与圆相离。 3.解题关键：找到 “圆心到点/直线的距离”，再与半径比较大小即可。 变式演练 【变式01】（2025·四川广安·一模）若的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的交点个数是(        ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系．根据圆与直线的位置关系，比较圆心到直线的距离与半径的大小，判断交点个数． 【详解】解：∵的半径，圆心到直线的距离， ， 直线与相离，没有交点． 故选：A． 【变式02】（2026·四川泸州·模拟预测）如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，点M为的中点，连接．若的半径为3，则长的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定出点M的运动轨迹为以为直径的，当C，，M三点共线时，此时的值最大，结合已知条件求得相关线段的长度，再利用勾股定理求得的长度，最后即可求得的最大值． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、， ∵M为的中点，O为圆心， ∴， ∴， 当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的， ∴交于点M，当C，，M三点共线时，且C与M在点的异侧时，的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴． 【变式03】（2026·四川绵阳·二模）如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心坐标及圆与坐标轴相切得出圆的半径，设圆上任意一点坐标为，由半径得，，那么圆上任意一点的横纵坐标满足方程 ，再联立与得到一元二次方程，根据直线与圆有公共点，利用一元二次方程根的判别式 建立关于 b 的不等式，最后利用二次函数的图象与性质解不等式即可． 【详解】解：圆心 ， ∴圆心到轴，轴的距离为 ∵与轴，轴均相切， 的半径， 设圆上任意一点坐标为， 由半径得， ∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程， 当图象与有公共点时， 联立与， 得： ， 整理得：， 关于 的一元二次方程有实数根， ， 整理得，. 令， 解得， 令， ∴不等式的解集，即为抛物线在轴下方时，对应于轴交点横坐标的取值范围， ∵，抛物线开口方向向上， 不等式的解集为． 题型03 切线判定与性质 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求半圆O的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)半圆O的半径为2， 【分析】（1）连接，切线得到，等边对等角得到，圆周角定理得到，同角的余角得到，等量代换得到，即可得证； （2）连接，设半圆O的半径为，解直角三角形，求出半径的长，进行求出的长，平行得到，解直角三角形，求出，的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面积比等于底边比，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，则：， ∴， ∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设半圆O的半径为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：半圆O的半径为2； ∴， 连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴到的距离相等，都等于的长， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【典例02】（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)相切，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得，再由即可得，从而得与的位置关系是相切； （2）连接，证明即可； （3）连接，在中，由，设，则，从而，求得a的值，则可得，再由正弦函数关系即可求得的值． 【详解】（1）解：与的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵为圆的半径， ∴与的位置关系是相切． （2）证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，连接， 由（1）知， 在中，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 方法透视 考向解读 四川中考圆模块的核心必考考点，解答题压轴前的必考题，是区分度题型： 1.切线的判定：证明一条直线是圆的切线，常作为解答题第一问。 2.切线的性质应用：利用 “切线垂直于过切点的半径”，结合勾股定理、相似三角形求线段长度。 3.切线长定理：利用 “从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角” 进行计算或证明。 4.综合应用：结合垂径定理、圆周角定理、相似三角形，解决圆的证明与计算问题。 方法技能 1.切线判定的两种方法： · 已知直线与圆有公共点：连接圆心和公共点，证明这条半径与直线垂直（“连半径，证垂直”）。 · 未知直线与圆是否有公共点：过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于半径（“作垂直，证半径”）。 2.切线性质的应用技巧： · 看到切线，优先连接圆心和切点，得到垂直关系，构造直角三角形。 · 结合勾股定理、三角函数或相似三角形，求线段长度。 3.切线长定理解题技巧： · 切线长相等，可用于证明线段相等； · 圆心与圆外一点的连线平分两条切线的夹角，可用于证明角相等或计算角度。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，是上一点，连接，，平分，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质定理． （1）根据等边对等角可得，根据圆周角定理结合角平分线的性质可得，从而得到，根据，可得，即可得证； （2）过点作于点，于点，于点，过点作于点，根据直径所对的圆周角等于可得是直角三角形，在中，由勾股定理可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长，由三角形的面积公式得：，可求得的长，证明四边形是矩形，得到，在中，由勾股定理可求得的长，根据角平分线的性质可得，在中，由勾股定理可求得的长，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：是的外接圆，是的直径，是上一点， ， ， 根据圆周角定理得：， ， 平分， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：如图所示，过点作于点，于点，于点，过点作于点， 是的外接圆，是的直径， ， 是直角三角形， 的半径为，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ， ，，， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：， 平分，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，以为直径作，交边于点D，E为上一点，使得，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)当，时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理可得，即，再根据等腰三角形的性质以及等量代换可得，进而得到即可证明结论； （2）由直径和勾股定理，得出，证明，得到，求出，即可得到的半径． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵为直径作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴直线是的切线． （2）解：∵为直径作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵直线是的切线 ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即的半径为． 【变式03】（2025·四川广元·中考真题）如图，是的直径，点D是线段延长线上一点，过点D的直线与相切于点C，过线段上一点E作的垂线交的延长线于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，而，则，再根据等边对等角以及三角形的外角性质即可证明； （2）先证明，求出，再证明，最后由线段和差即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵过点D的直线与相切于点C， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 即； （2）解：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 题型04 三角形内切圆、外接圆 典例引领 【典例01】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 【答案】(1)的度数分别为． (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得，，所以 ．即可求出． （2）由切线长定理得，则，由，得，由，得到四边形是矩形，则，结合的直径为d，为的半径，得到，即可求出． 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、矩形的判定等知识． 【详解】（1）解：∵ 是的内切圆，与分别相切于点 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数分别为． （2）证明：由切线长定理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的直径为d，为的半径， ∴， ∴． 【典例02】（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形： （1）连接，圆周角定理，得到，平行得到，证明，求出，即可得证； （2）设交于点，易得四边形为矩形，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的外接圆，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设的半径为，则：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 方法透视 考向解读 四川中考圆模块的特色考点，多为选择、填空题，或作为解答题的拓展问题： 1.外接圆相关：求三角形外接圆的圆心（外心）、半径，尤其是直角三角形的外接圆半径。 2.内切圆相关：求三角形内切圆的圆心（内心）、半径，尤其是直角三角形的内切圆半径。 3.性质应用：利用外心、内心的性质，求角度或线段长度。 方法技能 1.三角形外接圆（外心）： · 定义：三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等（等于外接圆半径）。 · 特殊结论：直角三角形的外心在斜边的中点上，外接圆半径等于斜边的一半。 2.三角形内切圆（内心）： · 定义：三角形三个内角平分线的交点，到三边的距离相等（等于内切圆半径）。 · 特殊结论：直角三角形的内切圆半径公式：r=（a,b为直角边，c为斜边）。 3.解题技巧： · 求外心：找三角形两条边的垂直平分线的交点； · 求内心：找三角形两个内角平分线的交点。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·一模）在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，外心，内心及垂心的性质，要理解这“四心”的定义，因为三角形的性质不确定，所以根据题意举反例是解题的关键． 根据三角形重心，外心，内心及垂心的定义及性质逐个选项进行判断． 【详解】解：若是的重心，即是三条中线的交点． 当是等边三角形时，如图，，则； 当是非等边三角形时，；故选项A正确； 若是的外心，即是外接圆的圆心， ，故选项B正确； 若是的内心，即是内切圆的圆心， 如图， ∵， ， ∵是的内心， ， ， ，故选项C正确； 若是的垂心，即是三条高的交点． 当是直角三角形时，如图，与直角顶点重合， ，故选项D错误． 故选：D． 【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，是的外接圆，点在的延长线上，连接，作于点，交于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，利用垂径定理，圆周角定理和切线的判定定理解答即可； （2）利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得，，利用相似三角形的判定与性质求得线段，利用勾股定理即可求得结论． 【详解】（1）证明：连接，，如图， ，， ， ， ． ， ． ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：由（1）知：， ， ， ． ． ． ． ，， ， ． ． ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 【变式03】（2025·四川广安·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点E在的延长线上，连接，． (1)求证：是的切线． (2)过点C作，垂足为D，若的面积是的面积的3倍，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，熟知切线的判定定理，相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，则，由直径所对的圆周角是直角得到，则可导角证明，据此可证明结论； （2）证明，得到，则，设，则，，证明，得到，则，据此可求出，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， 又， ， ， 的面积是的面积的3倍， ， ， 设， ，， ， ，， ， ， ， ∴， 在中，． 题型05 弧长、扇形面积计算 典例引领 【典例01】（2025·四川凉山·中考真题）如图，内接于，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，求弧长，连接，根据三角形的内角和定理，求出的度数，圆周角定理求出的度数，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接，则：， 在中，， ∴， ∵内接于， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的长为； 故答案为：． 【典例02】（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接，证明四边形为菱形，易得为等边三角形，，得到，根据阴影部分的面积等于弓形的面积加上的面积，即为扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 方法透视 考向解读 四川中考圆模块的基础计算考点，多为选择、填空题，偶尔作为解答题的最后一问： 1.弧长计算：已知半径和圆心角，求弧长。 2.扇形面积计算：已知半径和圆心角，或已知半径和弧长，求扇形面积。 3.阴影部分面积计算：通过割补法、和差法，计算不规则图形（阴影部分）的面积，常结合圆、扇形、三角形考查。 方法技能 1.核心公式： · 弧长公式：l=（n为圆心角度数，r为半径）； · 扇形面积公式：S==（l为弧长，r为半径）。 2.阴影面积计算技巧： · 和差法：阴影面积=规则图形面积的和或差； · 割补法：将不规则阴影部分转化为规则图形（如扇形、三角形）； · 等积转化：利用图形的对称性或全等，将阴影部分转化为易求的图形面积。 变式演练 【变式01】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：） (1)求圆心角的度数； (2)求的弧长（结果精确到米）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长公式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由圆的切线的性质得到，再由直角三角形锐角互余即可求解； （2）先解，设，，再解得到，求出，求出半径，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与所在相切于点， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵直线与所在相切于点， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的弧长为：， 答：的弧长为． 【变式02】（2026·四川成都·二模）如图，线段是的直径，点是上一点，连接，，以点为圆心，线段长为半径所作的弧恰好经过点．若的半径为2，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是___________． 【答案】 【分析】分别求出的面积和阴影的面积，然后利用概率公式求解． 【详解】解：∵的半径为2， ∴， ∵线段是的直径，点C是上一点， ∴，， ∵， ∴，即 ∴ ∴，， ∴ ∴这个点取在阴影部分的概率是． 【变式03】（2026·四川成都·一模）如图，筝形内接于，已知直径，，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为_____________． 【答案】/ 【分析】设与相交于点E，设的半径为r，先求出圆的面积，再运用等边三角形的判定和性质与勾股定理求出筝形的面积，进而求解即可． 【详解】解：设与相交于点E，如图， 设的半径为r， ∴， ∴圆的面积为： ∵筝形内接于，且， ∴，，对角线平分， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴点取在阴影部分的概率为． 题型06 圆锥侧面积、全面积 典例引领 【典例01】（2025·四川达州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，明确扇形的弧长=圆锥底面圆的周长是解题的关键； 根据扇形的弧长=圆锥底面圆的周长计算求解即可． 【详解】解：扇形的弧长=圆锥底面圆的周长； 故答案为：． 【典例02】（2025·四川凉山·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，由图中数据可知，该几何体的侧面积为______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是几何体的三视图、圆锥的侧表面积公式等知识点，熟记圆锥的侧面积公式是解本题的关键．根据三视图可得出该几何体为圆锥，再运用勾股定理求得母线l的长度，然后根据根据扇形面（其中是母线，是圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离）计算即可． 【详解】解：由题意可知，该几何体是圆锥，其中底面半径为， 母线长为：， ∴． 故答案为：． 方法透视 考向解读 四川中考圆模块的高频计算考点，多为选择、填空题，是弧长与扇形面积的应用： 1.圆锥侧面积计算：利用扇形弧长与圆锥底面周长的关系，求圆锥侧面积。 2.圆锥全面积计算：侧面积加上底面积，求圆锥的全面积。 3.相关量转化：已知圆锥的底面半径、母线长、高，进行三者之间的计算或转化。 方法技能 1.核心关系： · 圆锥的侧面展开图是一个扇形； · 扇形的弧长=圆锥底面的周长； · 扇形的半径=圆锥的母线长。 2.核心公式： · 圆锥侧面积：侧（r为底面半径，l为母线长）； · 圆锥全面积：全； · 圆锥的高、底面半径、母线长满足勾股定理：h2+r2=l2。 3.解题关键：抓住 “弧长=底面周长” 这一核心关系，建立方程求解未知量。 变式演练 【变式01】（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键； 先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长， ∴该圆锥的底面圆的半径为； 故选：A 【变式02】（2026·四川绵阳·二模）如图，在圆柱中以圆柱的上下两个底面为底的两个圆锥顶点在O处相接，分别为上下两个圆锥的母线，，若圆柱的高，，上下两个底面的直径与顶点都在同一个平面之中，则上下两个圆锥的侧面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥侧面积公式可知，底面半径相等时，侧面积之比等于母线长之比.，由题意可知为直角三角形，利用勾股定理求出的长，进而求出比值． 【详解】解：设圆柱的底面半径为，则上下两个圆锥的底面半径均为， 圆锥的侧面积公式为（为母线长）， ∴上下两个圆锥的侧面积之比为， ， ∴，即为直角三角形， 在中，，， ∴由勾股定理得：， 上下两个圆锥的侧面积之比为． 【变式03】（2025·四川绵阳·三模）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质． 先证明为等边三角形得到，再证明为等腰直角三角形得到，再利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于，从而得到下面圆锥的侧面积． 【详解】， 而， ∴为等边三角形， ，， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同， ∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于， ∴下面圆锥的侧面积． 故选：D． 题●型●训●练 1．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是的直径是弧的三等分点，D是弧的中点，且位于直径的两侧，连接，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】由圆周角定理得到，，即可求出的度数． 本题考查圆周角定理，关键是掌握一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧度数的一半． 【详解】解：是弧的三等分点， ∴的度数， ， ， ， 是弧AB的中点， 的度数， ， 故答案为： 3．（2026·四川广安·二模）如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为___． 【答案】5 【分析】根据圆锥的底面直径求出底面半径，进而得到底面周长，利用圆锥的侧面积公式列出方程求解母线长即可． 【详解】解：为底面直径， 圆锥的底面半径为 圆锥的底面周长 圆锥的侧面展开图扇形的弧长为 设母线的长为 解得 ． 4．（2025·四川成都·二模）如图，是的切线，A，B为切点，若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，以及多边形的内角和． 先根据切线的性质得到，再利用四边形的内角和求出，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 5．（2025·四川广安·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理得到，根据圆内角四边形的内对角互补，求出的度数，再解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长，交于点，连接，则：为的直径，， ∴， ∵的半径为6， ∴， 在中，； 故答案为：． 6．（2026·四川内江·一模）设方程的两根为的两条直角边的长，则内切圆的半径是______． 【答案】2 【分析】先解一元二次方程得到直角三角形两条直角边的长，再由勾股定理求出斜边长，最后根据直角三角形内切圆半径公式计算结果． 【详解】解：解方程． 因式分解得． 解得，． 即的两条直角边的长分别为和． 由勾股定理得，的斜边长为． 设内切圆的半径为，直角三角形内切圆半径公式为，其中a，b为直角边长，为斜边长． 代入得． 7．（2025·四川成都·二模）如图，是正六边形的外接圆，半径为，过点作于点，给出下列结论：①圆心角；②弦长；③；④图中阴影部分的面积为；⑤的长为．其中正确的结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，扇形是面积，弧长公式等，由正六边形的性质可得，即可判断①；由等边三角形的性质和勾股定理可判断②③；利用求出阴影部分的面积可判断④；利用弧长公式求出的长可判断⑤，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵是正六边形的外接圆， ∴，故①正确； ②∵，， ∴是等边三角形， ∴，故②正确； ③∵于点， ∴， ∴，故③错误； ④，故④正确； ⑤的长，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②④， 故选：． 8．（2025·四川泸州·中考真题）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由圆的切线的性质证明四边形为矩形，则，可求圆的半径为，设，在中有勾股定理建立方程，解得：或（舍），同理可得：，，最后由即可求解． 【详解】解：设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∵梯形，， ∴点共线， ∴四边形为矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ∵在中，， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：． 9．（2025·四川成都·三模）如图，内接于，AB是的直径，点E在圆上，且，过点C作，垂足为点D，与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若BF=2，，求的半径和线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3， 【分析】该题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，切线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质，得出，证出，根据平行线的性质得出，即可证明； （2）先证明，得出，求出圆的半径，证明， ，根据对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ，，，， ， ， ， 10．（2025·四川成都·模拟预测）如图，内接于，，过点A作交的平分线于点D，交于点E，交于点F，射线交的延长线于点 (1)求证：是的切线； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）过点A作于点H，根据垂径定理可得经过的圆心O，再由，可得，即可求证； （2）过点E作于点M，连接，并延长交于点K，连接，如图所示，则为的直径，结合切线的性质以及圆周角定理可得，从而得到，进而得到，在中，结合锐角三角函数可得，然后证明，可得，进而得到，再由，可得，从而得到，再结合圆周角定理可得，，然后根据，可得 【详解】（1）证明：过点A作于点H，如图1所示： ， ， 是线段的垂直平分线， 根据垂径定理得：经过的圆心O， 是的半径， ， ， 是的切线； （2）解：过点E作于点M，连接，并延长交于点K，连接，如图所示，则为的直径， ， ， 平分， ， ， 是的切线，为的直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 在中，， ， ，， ， ， 在和中， ，， ， ， ； ， ， ， ， ， ， 根据圆周角定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得： 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点的应用，正确添加的辅助线是解题的关键． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $