9.1 正弦定理与余弦定理（讲义）高一数学人教B版必修第四册

第九章 解三角形 9.1 正弦定理与余弦定理 知识点一 余弦定理 对三角形，角A对应的边为，角B对应的边为，角C对应的边为 余弦定理公式：；；． 推论： 即学即练 1．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，已知是边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 知识点二 正弦定理 1、正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==. 若△ABC外接圆半径为，则有===2R 2、正弦定理常见变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； 3、三角形的边角关系： 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 即学即练 1．（25-26高一下·海南海口·月考）在中，其内角的对边分别为，已知，则边长（    ） A． B． C． D． 知识点三 解三角形 1、解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）利用余弦定理求边跟角： 已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； 已知三边，求三角形的三个角. （2）判断三角形形状 将已知的边角关系全部化为纯边的关系式（利用余弦定理将角换成边），然后进行代数恒等变形。 若 ，则 （勾股定理逆定理）。 若 ，则 （锐角）。 若 ，则 （钝角）。 (3) 求三角形边长或角的范围 结合余弦定理与基本不等式（如 ）或二次函数性质，确定边或角的取值范围。 3、 正弦定理在解三角形中的应用 3. 已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 3. 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑用正弦定理。 3. 三角形中的射影定理：在△ABC中，；； 4、三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 即学即练 1．（25-26高一下·江苏苏州·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为1，则下列命题正确的是（   ） A．的外接圆半径为1 B． C． D．可能为钝角三角形 知识点四 三角形的面积公式 1、 2、 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） 即学即练 1．（25-26高一下·广东深圳·月考）在中角所对的边分别是，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 题型01 正弦定理解三角形 1、已知两角一边：先求第三角，再直接用正弦定理求未知边（唯一解）。 2、已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求另一边的对角，再求第三角，最后求第三边。 3、边角互化：遇到边与角的正弦混合的等式，可用正弦定理将边换成对角的正弦，或将正弦换成对边。 1、漏解或多解：已知两边及一边的对角时，求出的正弦值可能对应两个补角，需检验是否都符合“大边对大角”及内角和为 。 2、忽略三角形存在条件：求出的角可能使内角和超过 ，或边长、角度出现负数。 3、混淆边与对角的正弦：正弦定理中，边与对角的正弦严格对应，不可错位。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别为，若，，，则角（   ） A． B． C． D．或 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，已知，点在边上，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·重庆·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则边a的长为（   ） A． B． C． D．1 3．（25-26高一下·重庆·月考）在中，内角所对的边分别为，且，则（   ） A． B．或 C．60° D．或 题型02 余弦定理解三角形 1、已知三边：用余弦定理求任一内角（通常先求最大角，判断三角形形状）。 2、已知两边及其夹角：直接用余弦定理求第三边，此为唯一解情况。 3、已知两边及其中一边的对角：可用余弦定理建立关于第三边的二次方程，求解后需检验是否满足三边关系及内角和。 4、边角互化：遇到边的平方或边的乘积与角的余弦同时出现，优先考虑余弦定理将边转化为角，或将角转化为边。 1、符号判断：当求出的余弦值为负时，对应角为钝角，不可舍去（三角形可为钝角三角形）。 2、二次方程取舍：已知两边及一边对角用余弦定理时，解出的第三边可能有两解，需结合“两边之和大于第三边”及已知角为锐角/钝角来取舍。 3、边长与角的对应错误：公式中边的平方与夹角余弦严格对应。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·河北石家庄·月考）在中，内角的对边分别为，若，则B的取值范围是______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________. 2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）记的内角的对边分别为，已知，，当的面积的最大值时，则的值为（   ） A． B． C． D．1 3．（25-26高一下·河北石家庄·月考）在中，角所对的边分别为，且点满足，，则______． 题型03 正弦定理求外接圆半径 1、已知一边及其对角：直接用该边除以该角的正弦，得到直径（即两倍半径）。 2、已知两角一边：先利用内角和求出第三角，再任选一边与其对角配对，按上述方法求半径。 3、已知三边：先用余弦定理求出任一角，再取该角的正弦与对边配对求半径。 4、已知面积与三边：利用面积公式将已知量结合，间接求出所需的对边与对角。 1、边角严格对应：必须使用同一条边与其所对角的正弦，不可错用其他边角组合。 2、公式理解偏差：正弦定理的比例值等于直径，计算半径时容易忘记除以 2。 3、角的正弦可能重复：已知两边及一边对角时，该角可能有两解，导致外接圆半径不唯一。 4、钝角情况：钝角的正弦等于其补角的正弦，但外接圆半径只取决于该钝角及其对边，结果唯一且正确。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·江苏·月考）已知的面积为1，，则外接圆的半径为__________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·吉林长春·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（   ） A．2π B．4π C．2 D．1 2．（25-26高一下·重庆·月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为_____ 3．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（ ） A．4 B．2 C．8 D．16 题型04 正弦定理求三角形解的个数 判断已知 两边及其中一边的对角 时三角形解的个数，核心是 比较已知角为锐角或钝角，并对比对边与邻边、高的关系。 1、钝角情况下不存在两解，直接判断对边是否大于邻边即可。 2、高等于邻边乘以已知角的正弦，不要误用对边计算。 3、此时为直角三角形，只有一解，不要当作两解。 4、当对边等于邻边时，三角形为等腰且唯一，不要误判为两解。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·河北石家庄·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的三角形有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·广西贵港·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，若满足条件的有且只有一个，则a的值可能是（   ） A．5 B．6 C． D．7 2．（25-26高一下·内蒙古赤峰·月考）在中，角对应的边分别为，，则此三角形有（    ） A．无解 B．1个解 C．2个解 D．1或2个解 3．（25-26高一下·河北唐山·月考）在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（ ） A．7 B．8 C．6 D．10 题型05 三角形面积公式及应用 1、已知两边及其夹角：直接使用两边与夹角正弦乘积的一半。夹角必须是已知两边所夹的角，不可错用。 2、已知两角及其夹边：先用内角和求第三角，再用正弦定理转化为两边及其夹角的情形。 3、已知三边：优先用海伦公式；若已知外接圆半径，也可用三边乘积除以四倍半径。 4、已知内切圆半径：面积等于半周长乘以内切圆半径，常用于与内心、内切圆有关的几何问题。 5、分割求面积：将不规则图形分割为若干三角形，分别求面积后求和或作差。 6、面积比例：等高三角形面积比等于底边比；等角或补角时面积比等于邻边乘积比。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·河北石家庄·月考）海伦公式是利用三角形的三条边的边长，，直接求三角形面积的公式，表达式为：，；它的特点是形式漂亮，便于记忆．现在有周长为的满足，则的面积为（    ） A． B． C． D．12 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________． 2．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为_______. 3．（25-26高一下·陕西延安·月考）锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，，则面积的取值范围为________. 题型06 正弦定理边角互化 1、边化角：遇到等式或不等式中的边长，可替换为对应角的正弦（需注意齐次性）。常用于消去边长，转化为三角方程或恒等式。 2、角化边：遇到正弦值，可替换为对边。常用于消去角度，转化为边长关系，再用余弦定理或代数方法求解。 3、齐次判断：只有当式子中每项边的次数相同时，才能直接用边替换正弦，或反之。若次数不同，需先构造齐次式。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则的值为（    ） A． B． C．5 D．4 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·北京朝阳·月考）记内角的对边分别为，若，则（　　） A． B． C． D．或 2．（25-26高一下·江苏南京·月考）在中，，则正数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·重庆九龙坡·月考）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，则______；若点为边上的动点，则的最小值为______. 题型07 余弦定理边角互化 1、角化边（求角或边的范围）：当已知条件中出现角的余弦值时，通常将其替换为用三边表示的代数式。这能将三角函数问题转化为代数不等式或方程问题（如利用基本不等式求最值）。 2、边化角（判断形状或化简）：当已知条件中出现边的平方项（特别是涉及加减和乘积的形式）时，可将其替换为对应角的余弦与两边乘积的组合。通常用于判断三角形形状或利用三角恒等式化简。 3、整体代入：不一定要完全解出单个边或角，可将视为一个整体进行代换，常用于解决已知两边及夹角或求第三边范围的问题。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ）． A．1 B． C． D．5 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·上海·月考）已知的内角的对边分别为，且，则的最小值是______． 2．（25-26高一下·河北石家庄·月考）在中，内角的对边分别为，若，则B的取值范围是______． 3．（25-26高一下·江苏·月考）在非直角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 题型08 正余弦定理综合应用 1、优先判断已知条件类型：两角一边用正弦定理，两边及其夹角用余弦定理，三边用余弦定理，两边及一边对角需讨论解的情况。 2、边角互化灵活切换：齐次式优先用正弦定理化角，出现平方项或余弦时优先用余弦定理化边。 3、联立方程消元：当条件同时涉及边和角的多个关系时，常将正弦定理与余弦定理联立，消去多余变量求解。 4、利用面积作为桥梁：面积公式可连接边、角、外接圆半径、内切圆半径，常用于补充方程或求最值。 5、统一变量求最值：将目标表达式通过正余弦定理转化为单变量（如某角或某边），再利用函数性质或基本不等式求解。 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，角的对边分别为，，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．若，则的面积最大值为6 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高一下·河北石家庄·月考）在中，内角所对的边分别为，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的有（    ） A．若，的面积是 B． C．的最小值是4 D．的最小值是2 2．（多选）（25-26高一下·广东揭阳·月考）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，，则面积的最大值为 D．若为钝角三角形，则 3．（多选）（25-26高一下·江苏淮安·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，下列与有关的结论，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，且时，满足条件的三角形有两解，则 C．若为锐角三角形，且，则的取值范围是 D．若，，则该三角形内切圆面积的最大值是 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 解三角形 9.1 正弦定理与余弦定理 知识点一 余弦定理 对三角形，角A对应的边为，角B对应的边为，角C对应的边为 余弦定理公式：；；． 推论： 即学即练 1．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，已知是边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，， 因为，所以， 在中，. 知识点二 正弦定理 1、正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==. 若△ABC外接圆半径为，则有===2R 2、正弦定理常见变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； 3、三角形的边角关系： 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 即学即练 1．（25-26高一下·海南海口·月考）在中，其内角的对边分别为，已知，则边长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由，得，而， 由正弦定理得. 知识点三 解三角形 1、解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）利用余弦定理求边跟角： 已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； 已知三边，求三角形的三个角. （2）判断三角形形状 将已知的边角关系全部化为纯边的关系式（利用余弦定理将角换成边），然后进行代数恒等变形。 若 ，则 （勾股定理逆定理）。 若 ，则 （锐角）。 若 ，则 （钝角）。 (3) 求三角形边长或角的范围 结合余弦定理与基本不等式（如 ）或二次函数性质，确定边或角的取值范围。 3、 正弦定理在解三角形中的应用 3. 已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 3. 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑用正弦定理。 3. 三角形中的射影定理：在△ABC中，；； 4、三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 即学即练 1．（25-26高一下·江苏苏州·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为1，则下列命题正确的是（   ） A．的外接圆半径为1 B． C． D．可能为钝角三角形 【答案】ABC 【分析】由正弦定理有结合面积公式计算判断A；由正弦定理结合判断B；由面积公式及基本不等式判断C；利用余弦定理及正弦定理判断D. 【详解】A：设的外接圆半径为， 因为的面积为， 所以，故A正确； B：由，即，B选项正确； C：由，则，当时取， 所以，当且仅当且时取等号，C选项正确； D：若为钝角三角形，设为钝角，，即得， 由C选项知，所以，即， 又因为，所以，所以与矛盾，假设不成立， 同理B，C也不可能为钝角，D选项错误. 知识点四 三角形的面积公式 1、 2、 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） 即学即练 1．（25-26高一下·广东深圳·月考）在中角所对的边分别是，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式求得正确答案. 【详解】依题意，. 题型01 正弦定理解三角形 1、已知两角一边：先求第三角，再直接用正弦定理求未知边（唯一解）。 2、已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求另一边的对角，再求第三角，最后求第三边。 3、边角互化：遇到边与角的正弦混合的等式，可用正弦定理将边换成对角的正弦，或将正弦换成对边。 1、漏解或多解：已知两边及一边的对角时，求出的正弦值可能对应两个补角，需检验是否都符合“大边对大角”及内角和为 。 2、忽略三角形存在条件：求出的角可能使内角和超过 ，或边长、角度出现负数。 3、混淆边与对角的正弦：正弦定理中，边与对角的正弦严格对应，不可错位。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别为，若，，，则角（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】直接由正弦定理并结合大边对大角定理可得. 【详解】由正弦定理得：， 又因为 且，所以. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，已知，点在边上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用表示与，借助于，应用正弦定理、和角公式与二倍角公式、同角三角函数关系计算即得. 【详解】因，则， 在中，因，则. 由正弦定理得，即，整理得， 两边取平方得， 由，可得，代入得，即. 2．（25-26高一下·重庆·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则边a的长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解. 【详解】， 根据正弦定理，即. 3．（25-26高一下·重庆·月考）在中，内角所对的边分别为，且，则（   ） A． B．或 C．60° D．或 【答案】A 【详解】，，， ，，， ，或， ，不符合题意，，故选项为A. 题型02 余弦定理解三角形 1、已知三边：用余弦定理求任一内角（通常先求最大角，判断三角形形状）。 2、已知两边及其夹角：直接用余弦定理求第三边，此为唯一解情况。 3、已知两边及其中一边的对角：可用余弦定理建立关于第三边的二次方程，求解后需检验是否满足三边关系及内角和。 4、边角互化：遇到边的平方或边的乘积与角的余弦同时出现，优先考虑余弦定理将边转化为角，或将角转化为边。 1、符号判断：当求出的余弦值为负时，对应角为钝角，不可舍去（三角形可为钝角三角形）。 2、二次方程取舍：已知两边及一边对角用余弦定理时，解出的第三边可能有两解，需结合“两边之和大于第三边”及已知角为锐角/钝角来取舍。 3、边长与角的对应错误：公式中边的平方与夹角余弦严格对应。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·河北石家庄·月考）在中，内角的对边分别为，若，则B的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据余弦定理可得的范围，进而求解. 【详解】因为， 所以，且不是的最大边(等边三角形时三边相等). 由余弦定理得， 当且仅当时等号成立， 又为的内角，所以为锐角， 所以. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________. 【答案】6 【详解】由三角形内角和得，故. 由正切和角公式， 代入得：，整理得. 结合题设，联立得. 因，故. 已知，由余弦定理， 代入得：. 由基本不等式，得， 即，当且仅当时取等号. 因为，所以. 故，当且仅当时取等号. 因此周长，即周长最大值为. 2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）记的内角的对边分别为，已知，，当的面积的最大值时，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由题可得当的值最大等价于的面积最大，由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值. 【详解】由于，， 所以的面积， 则当的值最大时，的面积最大， 由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又，故为锐角， 所以， 则面积最大时，的值为 3．（25-26高一下·河北石家庄·月考）在中，角所对的边分别为，且点满足，，则______． 【答案】 【分析】本题要运用三角形的正弦定理与余弦定理，结合辅助角公式和向量的乘积运算来解答. 【详解】， 根据正弦定理可得， 代入可得， 因为，所以， 代入可得， 化简可得， 因为，所以， 化简可得，即， 因为，即， 所以解得，即， 因为，点在上，所以是的三等分点， ， 两边同时平方可得， 因为，，，， 所以， 代入可得，化简可得， 即，因为，解得， 根据余弦定理可得，解得. 题型03 正弦定理求外接圆半径 1、已知一边及其对角：直接用该边除以该角的正弦，得到直径（即两倍半径）。 2、已知两角一边：先利用内角和求出第三角，再任选一边与其对角配对，按上述方法求半径。 3、已知三边：先用余弦定理求出任一角，再取该角的正弦与对边配对求半径。 4、已知面积与三边：利用面积公式将已知量结合，间接求出所需的对边与对角。 1、边角严格对应：必须使用同一条边与其所对角的正弦，不可错用其他边角组合。 2、公式理解偏差：正弦定理的比例值等于直径，计算半径时容易忘记除以 2。 3、角的正弦可能重复：已知两边及一边对角时，该角可能有两解，导致外接圆半径不唯一。 4、钝角情况：钝角的正弦等于其补角的正弦，但外接圆半径只取决于该钝角及其对边，结果唯一且正确。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·江苏·月考）已知的面积为1，，则外接圆的半径为__________． 【答案】/ 【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式求出的正弦和余弦值，再利用诱导公式求出，最后利用正弦定理及三角形的面积公式求出三角形的外接圆半径即可. 【详解】在中，，则， ， ，同理求得， ， 设外接圆的半径为R，则， 故由的面积为1，得， 即，解得. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·吉林长春·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（   ） A．2π B．4π C．2 D．1 【答案】A 【详解】设外接圆的半径为， 因为，，由正弦定理，， 解得，故外接圆的周长为. 2．（25-26高一下·重庆·月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为_____ 【答案】5 【分析】利用同角关系式可得，再利用正弦定理即求. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 故外接圆的半径为5. 3．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（ ） A．4 B．2 C．8 D．16 【答案】C 【详解】设外接圆的半径为R，由正弦定理可得==， 所以，解得， 所以外接圆的半径为8. 题型04 正弦定理求三角形解的个数 判断已知 两边及其中一边的对角 时三角形解的个数，核心是 比较已知角为锐角或钝角，并对比对边与邻边、高的关系。 1、钝角情况下不存在两解，直接判断对边是否大于邻边即可。 2、高等于邻边乘以已知角的正弦，不要误用对边计算。 3、此时为直角三角形，只有一解，不要当作两解。 4、当对边等于邻边时，三角形为等腰且唯一，不要误判为两解。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·河北石家庄·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的三角形有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【详解】在中，，由正弦定理得， 由，得，则，有两解， 所以满足条件的三角形有2个. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·广西贵港·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，若满足条件的有且只有一个，则a的值可能是（   ） A．5 B．6 C． D．7 【答案】BD 【详解】由题意可知，以为圆心，为半径的圆与边所在直线只有一个交点，如下图所示： 所以或，即图中处对应的两种情况； 因此选项中符合的取值为6和7. 2．（25-26高一下·内蒙古赤峰·月考）在中，角对应的边分别为，，则此三角形有（    ） A．无解 B．1个解 C．2个解 D．1或2个解 【答案】C 【分析】根据正弦定理即可判定三角形解的个数． 【详解】由正弦定理得，，即， 因为，所以， 所以，即， 所以角有2解（锐角或钝角）， 又，所以钝角解也符合构成三角形的条件， 所以此三角形有2解． 3．（25-26高一下·河北唐山·月考）在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（ ） A．7 B．8 C．6 D．10 【答案】B 【分析】利用正弦定理求得，再根据三角形有两解的条件可得，且，由此求出的范围即可得解. 【详解】在中，由正弦定理得， ， 因满足条件的三角形有两个，则必有，且， 即， 于是得，解得， 因为，所以的取值可能为8，9. 题型05 三角形面积公式及应用 1、已知两边及其夹角：直接使用两边与夹角正弦乘积的一半。夹角必须是已知两边所夹的角，不可错用。 2、已知两角及其夹边：先用内角和求第三角，再用正弦定理转化为两边及其夹角的情形。 3、已知三边：优先用海伦公式；若已知外接圆半径，也可用三边乘积除以四倍半径。 4、已知内切圆半径：面积等于半周长乘以内切圆半径，常用于与内心、内切圆有关的几何问题。 5、分割求面积：将不规则图形分割为若干三角形，分别求面积后求和或作差。 6、面积比例：等高三角形面积比等于底边比；等角或补角时面积比等于邻边乘积比。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·河北石家庄·月考）海伦公式是利用三角形的三条边的边长，，直接求三角形面积的公式，表达式为：，；它的特点是形式漂亮，便于记忆．现在有周长为的满足，则的面积为（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】利用正弦定理将角化为边，得到三角形三条边的比的关系，结合周长，分别求出三条边长，代入海伦公式求出三角形面积. 【详解】中，，由正弦定理可得， 又周长为，即， ，，，，的面积. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________． 【答案】8 【分析】利用两角和的正弦展开式得，由正弦定理得，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】在中，， 由正弦定理得，所以 ， ， 所以， 则的面积为. 故答案为：8. 2．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为_______. 【答案】2 【详解】（舍去），所以或， ， 因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 所以， 所以由面积公式：. 3．（25-26高一下·陕西延安·月考）锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，，则面积的取值范围为________. 【答案】 【详解】，由正弦定理得， 锐角三角形中，，所以，，， 故锐角三角形的面积， 由正弦定理得， 因为为锐角三角形，所以，，解得， 则，，所以，即面积的取值范围是. 题型06 正弦定理边角互化 1、边化角：遇到等式或不等式中的边长，可替换为对应角的正弦（需注意齐次性）。常用于消去边长，转化为三角方程或恒等式。 2、角化边：遇到正弦值，可替换为对边。常用于消去角度，转化为边长关系，再用余弦定理或代数方法求解。 3、齐次判断：只有当式子中每项边的次数相同时，才能直接用边替换正弦，或反之。若次数不同，需先构造齐次式。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则的值为（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【详解】由正弦定理可得， 又， 所以， 移项整理得， 若为直角，不满足原式，则， 所以可得，即． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·北京朝阳·月考）记内角的对边分别为，若，则（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用正弦定理结合三角形的面积公式求解,再结合余弦定理进行取舍即可. 【详解】由题意知： 所以 又因为所以或 又由余弦定理可知： 所以 所以 所以 所以. 2．（25-26高一下·江苏南京·月考）在中，，则正数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，令角所对边分别为， 由及正弦定理，得， 由三角形任意两边的和大于第三边，得，解得． 3．（25-26高一下·重庆九龙坡·月考）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，则______；若点为边上的动点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】（1）用正弦定理边化角化简求解； （2）建立平面直角坐标系，使用数量积的坐标运算将的最小值转化为一元二次函数的最小值求解. 【详解】在中由正弦定理，， ，，代入上式得： 整理得：， ，两边同除以得， 所以，，， 因为，所以是等边三角形，， 所以， 以所在直线为轴，中垂线为轴建立平面直角坐标系如图： 则，，，设， ，，， ， 当时，取最小值， 所以的最小值为 题型07 余弦定理边角互化 1、角化边（求角或边的范围）：当已知条件中出现角的余弦值时，通常将其替换为用三边表示的代数式。这能将三角函数问题转化为代数不等式或方程问题（如利用基本不等式求最值）。 2、边化角（判断形状或化简）：当已知条件中出现边的平方项（特别是涉及加减和乘积的形式）时，可将其替换为对应角的余弦与两边乘积的组合。通常用于判断三角形形状或利用三角恒等式化简。 3、整体代入：不一定要完全解出单个边或角，可将视为一个整体进行代换，常用于解决已知两边及夹角或求第三边范围的问题。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ）． A．1 B． C． D．5 【答案】D 【分析】先根据 与三角形内角和，利用正弦定理将 、 转化为关于 的表达式，再令 把原式化为对勾函数，最后用基本不等式求出最小值并验证等号成立条件. 【详解】在中，，由得，所以. 由正弦定理，，则，即. 由，，则， . 故. 原式， 代入得：. 令，由得，故. 原式化为，. 由均值不等式得，当且仅当即时取等号 符合条件，故，即原式最小值为. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·上海·月考）已知的内角的对边分别为，且，则的最小值是______． 【答案】 【详解】由，得， 所以， 所以，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 2．（25-26高一下·河北石家庄·月考）在中，内角的对边分别为，若，则B的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据余弦定理可得的范围，进而求解. 【详解】因为， 所以，且不是的最大边(等边三角形时三边相等). 由余弦定理得， 当且仅当时等号成立， 又为的内角，所以为锐角， 所以. 3．（25-26高一下·江苏·月考）在非直角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理结合三角变换公式可求三角函数式的值. 【详解】由正弦定理可得，由余弦定理可得， 故 . 题型08 正余弦定理综合应用 1、优先判断已知条件类型：两角一边用正弦定理，两边及其夹角用余弦定理，三边用余弦定理，两边及一边对角需讨论解的情况。 2、边角互化灵活切换：齐次式优先用正弦定理化角，出现平方项或余弦时优先用余弦定理化边。 3、联立方程消元：当条件同时涉及边和角的多个关系时，常将正弦定理与余弦定理联立，消去多余变量求解。 4、利用面积作为桥梁：面积公式可连接边、角、外接圆半径、内切圆半径，常用于补充方程或求最值。 5、统一变量求最值：将目标表达式通过正余弦定理转化为单变量（如某角或某边），再利用函数性质或基本不等式求解。 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，角的对边分别为，，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．若，则的面积最大值为6 【答案】BC 【分析】A选项，利用展开，再借助两角和的正弦公式化简，即可求得；B选项，由，结合正余弦定理化简，可得结果；C选项，将用表示，用均值不等式可得最小值；D选项，代入，结合与面积公式，可求得面积的最大值. 【详解】对于A：因为，又，所以， 所以，即， 所以，即， 所以，故A错误； 对于B：因为，由正余弦定理得：，整理得：，故B正确； 对于C：因为，所以， 所以， 所以，当且仅当即时等号成立， 此时取到最小值，故C正确； 对于D：因为，，所以， 又因为， 又因为， 所以 ， 所以当时，面积达到最大值为，故D错误. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高一下·河北石家庄·月考）在中，内角所对的边分别为，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的有（    ） A．若，的面积是 B． C．的最小值是4 D．的最小值是2 【答案】BCD 【分析】对于A，根据角分线的定义得到，结合已知条件求出，然后求面积；对于B、C、D利用三角形面积公式和角平分线性质得到的关系，然后运用均值不等式和余弦定理分析选项. 【详解】对于A，因为，，， 角的平分线，， 因为，则， 由，得 ，故A错误； 对于B，由题意得， 由角平分线以及面积公式得， 化简得，所以，故B正确； 对于C，因为，当且仅当时取等号， 所以，所以，故C正确； 对于D ，由余弦定理 ， 所以，即的最小值是2， 当且仅当时取等号，故D正确． 2．（多选）（25-26高一下·广东揭阳·月考）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，，则面积的最大值为 D．若为钝角三角形，则 【答案】ABC 【详解】对于A，若，则， 根据正弦定理（是外接圆半径）， 可得， 所以，即，A正确； 对于B，由正弦定理， 代入得， 因为，且，（即）， 所以可以是锐角或钝角，两种情况均符合三角形内角和为， 所以有两解，B正确； 对于C，由余弦定理得，， 所以， 由基本不等式得，， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积，C正确； 对于D，若为钝角，则由余弦定理得，， 所以，即，D错误. 3．（多选）（25-26高一下·江苏淮安·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，下列与有关的结论，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，且时，满足条件的三角形有两解，则 C．若为锐角三角形，且，则的取值范围是 D．若，，则该三角形内切圆面积的最大值是 【答案】BCD 【分析】由正弦定理及比例的性质判断A；由正弦定理及大边对大角，判断B；由三角形的内角和及两角和差的余弦、正弦公式化简，并利用正弦函数的单调性求得其取值范围，判断C；根据直角三角形内切圆半径的特征及辅助角公式求得内切圆半径的最大值，即可求得内切圆面积的最大值，判断D. 【详解】对于A，若，，则由正弦定理知，， 所以，所以A不正确； 对于B，若，且，且满足条件的三角形有两解，则，为锐角或钝角. 由正弦定理，得. 因为，所以，所以B正确； 对于C，若为锐角三角形，且，则， 所以 . 因为，所以，所以. 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以，即的取值范围是，所以C正确； 对于D，若， 则由正弦定理得. 因为， ， 所以，即. 因为，所以，所以， 所以. 因为，所以. 的内切圆半径为， 当时，取得最大值，此时的内切圆半径取得最大值， 所以该三角形内切圆面积的最大值是，所以D正确 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $