新疆喀什地区巴楚县第一中学2025-2026学年第二学期高三4月练习数学试题

2025-2026学年第二学期高三4月练习数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合M＝{x||x﹣1|≥2}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁RM）∩N＝（　　） A．{0，1，2} B．{1，2} C．{﹣1，0，1，2} D．{2，3} 2．在复平面内，复数对应的点坐标为（1，﹣2），则实数a＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 3．双曲线4y2﹣3x2＝12上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于（　　） A． B． C．3 D．5 4．“唯有牡丹真国色，花开时节动京城”，牡丹花自古以来就具有很高的观赏价值．现有3盆红牡丹，2盆白牡丹，4盆黄牡丹，一名园艺师计划把他们排成一列，但是需要红牡丹彼此相邻且在正中间，白牡丹不在两端，那么不同的摆放方式的种数为（　　） A．720 B．1440 C．1728 D．5040 5．在△ABC中，若c＝4，b﹣a＝1，cosC，则△ABC的面积是（　　） A．1 B． C． D． 6．已知数列{an}满足，则a2023＝（　　） A．2023 B．2024 C．4045 D．4047 7．已知，，，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a 8．对于函数，有下列四个命题 ①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4； ②f（x）＝2kf（x+2k）（k为正整数），对一切x∈[0，+∞）恒成立； ③若关于x的方程f（x）＝m（m＜0）有且只有2个不同的实根x1，x2，则x1+x2＝3； ④函数y＝f（x）﹣ln（x﹣1）有5个零点， 上述四个命题中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，a4＝24，则下列结论正确的是（　　） A．a3＝12 B．数列{Sn+2}为等比数列 C．Sn＝2an﹣3 D． 10．下列选项正确的是（　　） A．对A，B，C三类个体按3：1：2的比例进行分层抽样，已知从A类个体中抽取了9个，则样本容量为30 B．若随机变量X～N（1，4），则P（X≥﹣1）＝P（X≤3） C．恒成立 D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.5 11．定义，函数M（x）＝max{|x2﹣4x+3|，x﹣2}，下列选项中正确的有（　　） A．函数M（x）的单调递增区间为（1，2） B．若方程M（x）＝m有3个不相等的实数根，则m＝1 C．若M（x）在区间[a，b]内的最大值为1，则b﹣a的最大值为 D．存在不唯一的非负实数对（p，q），使得M（x）在[p，q]上的值域也为[p，q] 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量，满足，，则　 　 ． 13．已知（1+x）n的展开式中第5项和第9项的二项式系数相等，则n的值为　 　 ． 14．在三棱锥P﹣ABC中，AB，∠ABC＝∠BCP＝∠PAB＝90°，cos∠CPA，则PA的长度 　 　 ，三棱锥P﹣ABC外接球的体积为 　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知． （1）将f（x）化成f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）的形式； （2）求f（x）在区间上的值域． 16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF． （Ⅰ）求证：平面OEF∥平面PCD； （Ⅱ）求二面角A﹣EF﹣O的余弦值． 17．（15分）已知椭圆的左右顶点分别为A，B，椭圆E与抛物线y2＝﹣8x的准线相切，椭圆的左焦点F到A，B两点的距离之积为3． （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q，直线BP，BQ分别与y轴交于点M，N，则，求直线PQ的方程． 18．（17分）已知函数f（x）＝xlnx． （1）求函数g（x）＝﹣f（x）+2x的极值． （2）设0＜m＜1，曲线y＝f（x）在x＝m处的切线为l． （i）证明：除切点外，曲线y＝f（x）恒在l的上方． （ii）若，且xi＞0，证明：． 19．（17分）甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为．甲如果第k（k∈N*）轮猜对，则他第k+1轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他的k+1轮也猜错的概率为；乙如果第k轮猜对，则他第k+1轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他的k+1轮也猜错的概率为．在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响． （1）若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率； （2）若一条信息有n（n＞1，n∈N*）种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为P1，P2，…，Pn，则称为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度．试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H． （3）如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止．设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏，求证：E（Y）＜4． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A C D C D B 二．多选题 题号 9 10 11 答案 ACD BD ACD 三．填空题 12．12． 13．12． 14．，． 四．解答题 15．解：（1） ； （2）当0时，， 则， 所以f（x）在区间上的值域为[1，2]． 16．（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是矩形，AC与BD交于点O，所以O为AC中点， 因为点E是棱PA的中点，F是棱PB的中点， 所以OE∥PC，OF∥PD， 又OE∩OF＝O，OE，OF⊂平面OEF，PC∩PD＝P，PC，PD⊂平面PCD， 所以平面OEF∥平面PCD． （Ⅱ）解：分别取AB，BC的中点G、H， 因为四边形ABCD为矩形，OP⊥平面ABCD，所以OG，OH，OP两两互相垂直， 故以O为坐标原点，OG，OH，OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则O（0，0，0），，A（，﹣1，0），P（0，0，2），E（，，），F（，，）， 所以，，，， 设平面OEF的法向量为，则， 取z1＝﹣1，则x1＝2，y1＝0，所以（2，0，﹣1）， 设平面PAB的法向量为，则， 取z2＝1，则x2＝2，y2＝0，所以（2，0，1）， 所以， 由图可知，二面角A﹣EF﹣O为锐角， 所以二面角A﹣EF﹣O的余弦值为． 17．解：（1）抛物线y2＝﹣8x的准线为：x＝2， ∵椭圆E与抛物线y2＝﹣8x的准线相切， ∴a＝2，又椭圆的左焦点F到A，B两点的距离之积为3． ∴（a+c）（a﹣c）＝3＝b2， ∴椭圆E的方程为：； （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为y＝kx+m，B（2，0）， 由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0， Δ＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0， x1+x2，x1x2， 直线BP的方程为：y（x﹣2），令x＝0，得y， ∴点M（0，），同理点N（0，）， ∵，即|（）|＝|| ＝||， 而2y2（x1﹣2）﹣2y1（x2﹣2）＝2（kx2+m）（x1﹣2）﹣2（kx1+m）（x2﹣2）＝2m（x1﹣x2）+4k（x1﹣x2）＝2（m+2k）（x1﹣x2）， ∵点在直线PQ上， ∴2k+m，∴|2（m+2k）（x1﹣x2）|＝2|x1﹣x2|， |x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2， ∴|x1﹣x2|， （x1﹣2）（x1﹣2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+424 ， ∴||， ∴12k2﹣3m2+9＝4①，2k+m②，联立①②解得： 解得：k，m， ∴直线PQ的方程为：x+9y+70． 18．解：（1）f（x）＝xlnx，则g（x）＝﹣f（x）+2x＝﹣xlnx+2x， ∴g′（x）＝﹣lnx+1，令g'（x）＝0，可得x＝e， 当0＜x＜e时，g′（x）＞0，当x＞e时，g′（x）＜0， ∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减， ∴g（x）在x＝e处取得极大值，极大值为g（e）＝e，无极小值． （2）证明：（i）∵函数f（x）＝xlnx，∴f′（x）＝lnx+1， 设曲线f（x）在x＝m（0＜m＜1）处的切线的斜率为k，则k＝f′（m）＝lnm+1， 又f（m）＝mlnm，则曲线y＝f（x）在x＝m（0＜m＜1）处的切线方程为y﹣mlnm＝（lnm+1）（x﹣m），即y＝（lnm+1）x﹣m． 设函数H（x）＝xlnx﹣（lnm+1）x+m，则H′（x）＝lnx﹣lnm． 当0＜x＜m时，H′（x）＜0，H（x）单调递减；当m＜x＜1时，H′（x）＞0，H（x）单调递增， 则H（x）≥H（m）＝mlnm﹣（lnm+1）m+m＝0， ∴xlnx≥（lnm+1）x﹣m． 故除切点外，曲线y＝f（x）恒在l的上方； （ii）分别令x＝x1，x2，⋯，xn，且满足， 由（i）知lnm+1﹣mn， 令， 当时，G′（x）＞0，G（x）单调递增， 当时，G′（x）＜0，G（x）单调递减，∴， 令，可得， 即，得证． 19．解：（1）设Ai＝“甲在第i轮活动中猜对成语”，Bi＝“乙在第i轮活动中猜对成语”， ∁i＝“甲乙在第i轮活动中都猜对成语”（i＝1，2）， 则 ， 故； （2）由题意知X＝0，1，2， 由（1）知， ， 故X的信息熵； 证明：（3）第二轮甲猜对的概率为， 第二轮乙猜对的概率为， 所以， 每一轮甲乙都猜错的概率为， 因此， 则①， 所以②， ①﹣②得， 所以E（Y）＜4． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/21 22:10:03；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $