精品解析：新疆生产建设兵团第三中学等学校2026届高三下学期3月百万大联考月考数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 3 2. 已知集合，，则集合子集的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的五倍，则其离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 某地面站通过天线接收一颗低轨道卫星发送的数据.卫星每次过顶时，会发送10个独立的数据包.由于大气干扰，每个数据包在传输过程中有20%的概率丢失（收不到），有80%的概率被成功接收，且每个数据包在传输过程中被接收成功与否相互独立.随机变量表示卫星一次过顶中成功接收的数据包个数，则（ ） A. 26 B. 24 C. 22 D. 20 6. 已知点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，当且时，不等式恒成立，设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，数表中的每一行从左至右均是等差数列，每一列从上至下也均是等差数列，则（ ） 0 80 20 160 m A. 176 B. 208 C. 272 D. 304 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，已知正方体的棱长为2，则（ ） A. 直线与所成夹角的余弦值为0 B. 直线与所成夹角的余弦值为 C. 三棱锥的表面积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 10. 已知函数，若直线是曲线的切线，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 直线不可能是曲线的切线 D. 恒成立 11. 已知动点到点的距离与点到直线的距离相等，记动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，若，则（ ） A. 曲线为抛物线 B. 的最大值为1 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等比数列的前项和，且，，则__________. 13. 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 14. 随机抛一枚质地均匀的硬币8次，定义数列满足：，记事件：对于任意，均有，且.__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （2）已知落在内的平均成绩是80分，方差是4分，落在内的平均成绩是88分，方差是6分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 16. 如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，、分别是、的中点. （1）证明：平面. （2）若，，求平面与平面所成二面角的正弦值. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）证明：. （2）若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若关于的方程在上只有一个解，求的取值范围； （3）若和是的两个零点，证明：. 19. 已知椭圆，过椭圆上一点作曲线的切线，交轴于点Q，，分别是椭圆的左、右焦点，，分别为其左、右顶点. （1）证明：切线的方程为. （2）证明：为的外角平分线. （3）过点，分别作，，垂足分别为.证明：，，，四点共圆. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，所以的虚部是，B正确. 2. 已知集合，，则集合子集的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【详解】由可得，， 所以， 因此集合有个元素， 所以集合子集的个数为. 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示可得，代入求，即可得模长. 【详解】因为平面向量，， 若，则，解得， 即，，则， 所以. 4. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的五倍，则其离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线关于轴对称的性质，结合“一条渐近线的倾斜角是另一条五倍”的条件求出渐近线的斜率，再通过斜率与和的关系计算出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 直线的倾斜角为锐角，的倾斜角为钝角，且两直线的倾斜角互补， 由已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的五倍， 设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 且，因此，； 由得：，离心率为，且， 代入，，即离心率为. 5. 某地面站通过天线接收一颗低轨道卫星发送的数据.卫星每次过顶时，会发送10个独立的数据包.由于大气干扰，每个数据包在传输过程中有20%的概率丢失（收不到），有80%的概率被成功接收，且每个数据包在传输过程中被接收成功与否相互独立.随机变量表示卫星一次过顶中成功接收的数据包个数，则（ ） A. 26 B. 24 C. 22 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知属于二项分布，利用二项分布期望公式及期望性质求解. 【详解】设每个数据包成功接收的概率为， 由题意可知成功接收的数据包个数服从二项分布，即， 所以，. 6. 已知点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正切函数对称中心公式和已知条件求出的表达式，再通过讨论不同的值确定的最小值. 【详解】根据正切函数的对称中心公式可得： ， 又因为是对称中心， 所以，化简得：， 当时，，即，​ 当时，​，即， 当时，，即，​ 当时，，即，​ ​所以时，，​ 因此的最小值为. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，当且时，不等式恒成立，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意判断函数在上的单调性，根据偶函数的性质及指数、对数的运算性质，结合单调性判断即可. 【详解】因为当且时，不等式恒成立， 所以函数在上单调递增. 因为函数是定义在上的偶函数， 所以. 因为， 所以，即. 8. 如图，数表中的每一行从左至右均是等差数列，每一列从上至下也均是等差数列，则（ ） 0 80 20 160 m A. 176 B. 208 C. 272 D. 304 【答案】D 【解析】 【分析】设出公差利用等差中项可求答案. 【详解】设第2，3，4行的公差分别为； 0 80 20 160 m 由等差中项可得且， 由可得. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，已知正方体的棱长为2，则（ ） A. 直线与所成夹角的余弦值为0 B. 直线与所成夹角的余弦值为 C. 三棱锥的表面积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立坐标系，利用向量坐标运算可判断A,B，求出三棱锥的表面积可判断C，结合补形法可求外接球的面积，进而判断D. 【详解】以为原点，为 轴，为 轴，为 轴，正方体棱长为 2， 则； ，， ，A错误，B正确. 直角中，，其面积为2，直角中，，其面积为2， 直角中，，其面积为2，中，，其面积为， 所以三棱锥的表面积为，C正确. 三棱锥 可补形为正方体，其外接球与正方体外接球相同： 正方体棱长为 2，体对角线为​，即外接球直径​，，​ 表面积为，D正确. 10. 已知函数，若直线是曲线的切线，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 直线不可能是曲线的切线 D. 恒成立 【答案】AC 【解析】 【详解】A：由，显然该切线的斜率为， 设切点为， 由， 所以有，即切点为， 代入函数解析式中，得，所以本选项说法正确； B：由上可知， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以是的极大值点，因此本选项说法不正确； C：由， 函数的定义域为全体正实数集， 设切点为，由， 所以该方程无正实数解，即直线不可能是曲线的切线，所以本选项说法正确； D：由上可知：是的极大值点， 且， 所以恒成立不成立，因此本选项说法不正确. 11. 已知动点到点的距离与点到直线的距离相等，记动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，若，则（ ） A. 曲线为抛物线 B. 的最大值为1 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据抛物线的定义即可判断；对于B，根据题干分析的取值范围即可判断；对于C，根据中位线可得，再根据余弦定理，在中，用的表达式表示，最后结合基本不等式放缩求得和的不等关系即可求出的最大值；对于D，根据C选项的分析，可知能将转化为的关系式，再令，进一步将转化为t的关系式，最后结合对勾函数的性质求解该表达式的范围即可判断的最小值． 【详解】对于A，由已知条件知点P到点F的距离与到直线的距离相等， 由抛物线的定义可知点P的轨迹为以F为焦点，直线为准线的抛物线， 设抛物线的方程为，则，得， 所以点P的轨迹方程为，即曲线C为抛物线，故A正确； 对于B选项，当直线l不断变化时，均可分别至无穷大， 则易知可取任意正实数，故B错误； 对于C选项，过分别作直线的垂线，垂足为，如图所示， 则， 所以， 在中，由余弦定理得， 当时，等号成立，所以，即的最大值为，故C正确； 对于D选项，由C选项可知 ，令， 则， 根据对勾函数的性质，， 所以，则无最小值，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等比数列的前项和，且，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】设数列的公比为， 因为，所以，又， 所以，， 所以， 所以. 13. 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】解分式不等式，再结合充分不必要条件建立关于的不等式求解即可. 【详解】由，可得且. 因为，所以，故不等式的解集为. 由是不等式成立的充分不必要条件，可得是的真子集， 故，解得， 所以的取值范围是. 14. 随机抛一枚质地均匀的硬币8次，定义数列满足：，记事件：对于任意，均有，且.__________. 【答案】##0.0546875 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两个计数原理求出试验及事件所含不同结果数，进而求出古典概率. 【详解】随机抛一枚质地均匀的硬币8次的不同结果有个， 由，得在中恰有4个取1，4个取， 由任意，均有，得， ①当时，之一取1，有4个结果； ②当时，若，则之一取1，有3个结果， 若，则，之一取1，有2个结果； ③当时，必为1，若，则之一取1，有3个结果； 若，则，之一取1，有2个结果， 因此事件发生的不同结果有（个）， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （2）已知落在内的平均成绩是80分，方差是4分，落在内的平均成绩是88分，方差是6分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【答案】（1）平均数100，方差104 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数与方差的求法，代入数据，即可得答案. （2）根据条件，分别求出两组数据的样本容量，平均数和方差，代入公式，整理计算，即可得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图得， 平均数， 方差 . 【小问2详解】 第一组的样本容量，， 第二组的样本容量，， 所以合并后的平均数， 则. 16. 如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，、分别是、的中点. （1）证明：平面. （2）若，，求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：连接，如图所示， 因为四边形为正方形，所以， 因为底面，底面，所以， 因为、分别为、的中点，所以，则，， 因为，、平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 因为，所以， 故平面与平面所成二面角的正弦值为. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）证明：. （2）若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值. 【答案】（1）因为， 所以，即， 由正弦定理可得， 因为 ，即，所以， 所以，化简可得， 则，即， 所以或（舍去） 故 成立； （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦二倍角公式可得，根据正弦定理及两角和差正弦公式化简即可得证； （2）设，由正弦定理可得，，由三角形面积公式可得，令，化简可得最大值为，进而可计算面积最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，则，， 因为，所以，， 设，则， 在中，，由正弦定理可得： ，即， 在中，，由正弦定理可得： ，即， 所以的面积为， 令， 则 因为，所以， 由余弦函数性质可知， 当，即时，有最大值为， 此时的面积有最小值为. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若关于的方程在上只有一个解，求的取值范围； （3）若和是的两个零点，证明：. 【答案】（1）当时，函数在R上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 （2） （3） 方程在上有两个不等实根和，不妨设， 则，即，于是， 令，则，，即，因此， ，要证，即证，需证， 即证，令函数，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， ，即，函数在上单调递增，， 因此恒成立，所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类求解的单调区间. （2）构造函数，由在上恒成立求出的范围即可. （3）根据给定条件可得，令，结合分析法将问题转化为证明，再构造函数，利用导数探讨函数单调性即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在R上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 方程，令， 依题意，函数在上只有一个零点，而，则函数在上无零点， 又当趋近于正无穷大时，，于是当时，恒成立， 当时，，令， 求导得，，， 函数在上单调递增，，因此； 当时，，求导得， 当时，，函数在上单调递增，，因此； 当时，，而函数的图象在上连续不断， 则存在，使得当时，，函数在上单调递减， 于是当时，与在时，恒成立矛盾， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆，过椭圆上一点作曲线的切线，交轴于点Q，，分别是椭圆的左、右焦点，，分别为其左、右顶点. （1）证明：切线的方程为. （2）证明：为的外角平分线. （3）过点，分别作，，垂足分别为.证明：，，，四点共圆. 【答案】（1）因为，则切线PQ的斜率存在，且设为k， 则切线方程为， 联立，则， 因为PQ为切线，所以判别式， 整理得， 则切线方程为，又， 整理得切线的方程为. （2）由题意得， 当轴时，即 时，不妨设点在第一象限，则， 所以直线的斜率，直线的斜率， 则直线与直线的夹角的正切值为， 又直线的斜率为， 所以直线与直线的夹角的正切值为， 所以为的外角平分线； 同理当轴时，即 时，也为的外角平分线； 当时，直线的斜率，直线的斜率， 设的外角平分线的斜率为，则， 所以，整理得， 又，所以，解得或， 因为为的外角平分线的斜率，所以， 即的外角平分线的斜率与切线斜率相等，所以为的外角平分线， 综上，为的外角平分线. （3）由（1）得直线的斜率，又，， 所以，又， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，即， 同理，联立，得， 则， 又，所以， 同理可得， 又，所以， 所以，，，四点共圆. 【解析】 【分析】（1）设出直线PQ的方程，与椭圆联立，由题意得判别式，可得k的表达式，代入切线方程，整理即可得证. （2）分析得 或 符合题意，当，分别求出直线和的斜率，设的外角平分线的斜率为，根据夹角公式，化简计算，即可得证. （3）由（1）得切线方程，进而可得直线和的方程，与切线联立，可得点和的坐标，即可求出和的值，根据椭圆方程，可得点和坐标，分析即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $