专题02 统计图中必考六类问题（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题02 统计图中必考六类问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 绘制、补全频率分布直方图】 2 【类型2 频率分布直方图中的相关计算】 5 【类型3 根据其他统计图解决实际问题】 7 【类型4 频率分布直方图中百分位数与统计参数的估计】 11 【类型5 频率分布直方图中总体离散程度的估计】 14 【类型6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】 17 知识点1 统计图 1．频率分布直方图 (1)频率分布表与频率分布直方图的意义 为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数. 有时，我们更关心各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据. (2)频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图. 第一步，求极差 极差为一组数据中最大值与最小值的差. 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间. 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，作出频率分布表. 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示. 2．频率分布直方图中的统计参数 (1)频率分布直方图中的“众数” 根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用中点近似代替. (2)频率分布直方图中的“中位数” 根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. (3)频率分布直方图中的“平均数” 平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 【方法技巧与总结】 1．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆. 【类型1 绘制、补全频率分布直方图】 1．（24-25高一下·广西河池·期末）某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校名学生中抽取了一个容量为的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南昆明·月考）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，，的值为（   ） A．0.017，0.048 B．0.017，0.48 C．0.17，0.048 D．0.17，0.48 3．（24-25高一上·北京怀柔·期末）某直播间从参与购物的人群中随机选出 200 人,并将这200人按年龄分组,得到的频率分布直方图如图所示,则在这200人中年龄在的人数及直方图中值是（    ） A．, B．, C．, D．, 4．（24-25高一下·云南昭通·期末）某品牌电动汽车公司为了解车主使用电动车辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行抽样分析，得出这100位车主每人在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的频率分布直方图如图，则__________． 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）某学校为了了解和掌握学生的期末数学成绩的情况，随机地取出了100名考生的数学成绩（单位：分），数据如下： 135    98    102    110    99    121    110    96 100    103   125    97     117   113    110    92 102    109   104    112    105   124    87     131 97     102   123    104    104   128    109    123 111    103   105    92     114   108    104    102 129    126   97     100    115   111    106    117 104    109   111    89     110   121    80     120 121    104   108    118    129   99     90     99 121    123   107    111    91    100    99     101 116    97    102    108    101   95     107    101 102    108   117    99     118   106    119    97 126    108   123    119    98    121    101    113 102    103   104   108 (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图． 6．（24-25高二上·江苏淮安·月考）有900名学生参加“环保知识竞赛”，为考察竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩（得分均整数，满分为100分）进行统计，请你根据尚未完成并有局部污损的频率分面表和频率分布直方图（如图）解释下列问题. 分组 频数 频率 4 0.08 0.16 10 16 0.32 合计 50 (1)填满频率分布表； (2)补全频率分布直方图； (3)若成绩在的学生可以获得二等奖，求获得二等奖的学生人数. 【类型2 频率分布直方图中的相关计算】 7．（24-25高一下·河南新乡·期末）某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高（单位：cm），将得到的数据按 分为4组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生中身高低于170cm的人数为（    ） A．56 B．52 C．48 D．44 8．（24-25高一下·江苏连云港·月考）某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，这批用户问卷的得分不低于80分的份数为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 9．（25-26高二上·上海·单元测试）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为：、、、、，由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是（    ） A．5 B．8 C．13 D．17 10．（2026·山西·模拟预测）某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100辆该商场到访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：        则样本中停车时长在区间上的车辆数为_________辆. 11．（24-25高一下·吉林长春·月考）某城市户居民的月平均用电量单位：度，以，，，分组的频率分布直方图如图． (1)求直方图中的值； (2)在这户居民中，月平均用电量不低于度的有多少户？ (3)在月平均用电量为，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？ 12．（24-25高一下·江苏无锡·期末）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过的部分按3元收费，第二阶梯为超过但不超过的部分按5元收费，第三阶梯为超过的部分按8元收费． (1)求直方图中的值； (2)已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数； (3)该市政府希望使至少有的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少？ 【类型3 根据其他统计图解决实际问题】 13．（25-26高一上·河南南阳·期末）下图是国家统计局发布的2024年10月份至2025年10月份商品零售额与餐饮收入的同比增长速度折线图，下列说法错误的是（   ）    A．2025年10月份商品零售额同比增长速度为 B．2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为 C．2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同 D．2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为 14．（25-26高二上·四川成都·期末）为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是（    ）    A．选择足球的女生比选择篮球的女生多 B．选择篮球的女生比选择足球的男生多 C．选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多 D．选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多 15．（2026·全国·模拟预测）某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加了一倍，已知改革前后当地村民经济收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．改革后，其他收入减少 B．改革后，外出打工收入是改革前的 C．改革后，养殖收入增加了一倍 D．改革后，种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大 16．（25-26高一上·全国·课后作业）神舟十三号载人飞行任务的圆满成功，标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成，中国空间站即将进入建造阶段．某机构研究室通过随机抽样的方式，对18岁及以上人群进行了“你是否曾有过航天梦想”的调查研究，得到如下的统计结果．    根据调查结果，以下说法正确的是_________（填序号）． ①在“曾有过航天梦想”的人群中，54岁及以上的人数最少； ②在“曾有过航天梦想”的人群中，年龄越大，在航天相关方面的人均消费越少； ③在“曾有过航天梦想”的人群中，18—29岁在航天相关方面的总消费最多． 17．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）某手机店根据手机销售的相关数据绘制了两幅统计图．来自该店财务部的数据报告表明，该手机店 月的手机销售总额一共是万元.请根据图①、图②解答下列问题： （1）该手机店三月份的销售额为多少万元？ （2）该店一月份音乐手机的销售额为多少万元? （3）小刚观察图②后，认为四月份音乐手机的销售额比三月份减少了，你同意他的看法吗?请说明理由． 18．（24-25高一上·陕西西安·开学考试）“千年古都，大美西安”.某校数学兴趣小组就最想去的西安旅游景点随机调查了本校部分学生，要求每位学生选择且只能选择一个最想去的景点（景点对应的名称分别是A：大雁塔；B：兵马俑；C：陕西历史博物馆；D：秦岭野生动物园；E：曲江海洋馆）.下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图： 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求被调查的学生总人数； (2)补全条形统计图，并求扇形统计图中表示最想去景点“D”的扇形圆心角的度数； (3)若该校共有800名学生，请估计该校学生中最想去兵马俑的人数. 【类型4 频率分布直方图中百分位数与统计参数的估计】 19．（2026·天津·二模）某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（    ） A．的值为0.015 B．估计这组数据的众数为80 C．估计这组数据的第60百分位数为87 D．估计成绩低于80分的有350人 20．（2025·天津·二模）某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B．直方图中的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数为87 D．估计全校学生成绩的分位数约为90 21．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．在杂交水稻试验田中随机抽取了100株水稻，统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（   ） A． B．这100株水稻的稻穗数的众数约为250 C．这100株水稻的稻穗数的平均数约为256 D．这100株水稻的稻穗数的中位数约为252 22．（24-25高一下·四川巴中·期末）某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计销售员工销售额的平均值为__________（百万元），（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 23．（24-25高一下·四川凉山·期末）某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出4000米的山峰就有58座迂回缭绕于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚属罕见，是得天独厚的自然风景区．现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数和平均数（每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，得数保留两位小数）． 24．（24-25高一下·广东惠州·期末）为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间 （单位: 时） 按照、、、、分成组， 制成如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)根据频率分布直方图估计样本数据的第百分位数； (3)根据频率分布直方图，用每组数据区间中点值作代表，估计这名住户上周体育锻炼时间的平均值. 【类型5 频率分布直方图中总体离散程度的估计】 25．（24-25高一下·全国·单元测试）某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲，乙两个班的学生，收集并整理他们一周阅读时间（单位：h），绘制了下面频率分布直方图．根据直方图，得到甲，乙两校学生一周阅读时间的平均数分别为，，标准差分别为，，则（   ）      A．， B．， C．， D．， 26．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知甲，乙两名运动员进行射击比赛，每名运动员射击10次，得分情况如下图所示．则根据本次比赛结果，以下说法正确的是（    ） 乙射击环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 2 2 3 A．甲比乙的射击水平更高 B．甲的射击水平更稳定 C．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数 D．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数 27．（24-25高三上·北京海淀·期末）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲､乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图. 若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为方差分别为，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·吉林松原·期末）某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；求样本平均数； (2)已知落在区间的样本平均成绩是57，标准差是7，落在区间的样本平均成绩为66，标准差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 29．（24-25高一下·河南郑州·期末）某市组织了一场面向全市大学生、中学生、小学生的科技节活动，为了解对活动的满意度，特随机向参与活动的同学做问卷调查，共收集了1000份问卷，并统计每个问卷的满意度得分（满分100分），绘制了如下频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计该满意度得分的第80百分位数（精确到）和总体平均数； (3)已知填写问卷的同学中，大学生、中学生、小学生的人数比例为，其中大学生满意度得分的平均数为86，方差为；小学生满意度得分的平均数为96，方差为．请结合频率分布直方图，估计中学生对该活动满意度得分的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记总体样本平均数为，样本方差为，则． 30．（24-25高一下·山东枣庄·期末）某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： (1)求频率分布直方图中a的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分（每个区间内的值以该组区间的中点值为代表）； (2)求参加挑战赛的学生成绩的分位数； (3)已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差． 【类型6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】 31．（25-26高二上·广西来宾·期中）2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度如图所示，则下列结论错误的是（    ）    备注：同比增长速度 A．2025年3月至9月我国社会消费品零售总额逐月增大 B．2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的极差为 C．2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的平均数小于 D．2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的60%分位数为 32．（24-25高三上·四川成都·期中）下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（    ） A．超过的大学生更爱使用购物类APP B．超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要 C．使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是 D．APP使用目的中6个占比数字的分位数是 33．（25-26高三上·安徽蚌埠·月考）为了解某企业喜爱打羽毛球、打篮球和游泳的职工年龄情况，统计了该企业第一车间的所有职工喜爱打羽毛球、打篮球和游泳构成比例（每位职工必选一项体育活动且只选一项）．得到如下饼图：    若喜爱打羽毛球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱打篮球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱游泳的职工年龄（岁）的均值与方差分别为.则下面结论中不正确的是（    ） A．该企业喜欢打篮球的职工人数可能多于喜欢游泳的职工人数 B．第一车间喜欢打羽毛球的职工有一些年龄比较大 C．第一车间所有职工平均年龄为岁 D．第一车间所有职工年龄方差不超过喜爱打羽毛球、打篮球及游泳的职工的年龄方差之和 34．（24-25高一下·河南信阳·期中）树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时）），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查.记男生样本为，样本平均数、方差分别为；女生样本为，样本平均数、方差分别为；总样本平均数、方差分别为. (1)该兴趣社团通过分析给出以上两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数； (2)已知男生样本方差，女生样本方差，请结合（2）问的结果计算总样本方差的估计值. 35．（24-25高三·广西·月考）为响应“绿色出行”号召，某市先后推出了“共享单车”和“新能源分时租赁汽车”，并计划在甲､乙两个工厂选择一个工厂生产汽车轮胎，现分别从甲､乙两厂各随机选取10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图： (1)分别计算甲､乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数； (2)轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲､乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个工厂会被选择. 36．（25-26高一下·浙江·月考）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. (1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 统计图中必考六类问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 绘制、补全频率分布直方图】 2 【类型2 频率分布直方图中的相关计算】 8 【类型3 根据其他统计图解决实际问题】 12 【类型4 频率分布直方图中百分位数与统计参数的估计】 19 【类型5 频率分布直方图中总体离散程度的估计】 24 【类型6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】 30 知识点1 统计图 1．频率分布直方图 (1)频率分布表与频率分布直方图的意义 为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数. 有时，我们更关心各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据. (2)频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图. 第一步，求极差 极差为一组数据中最大值与最小值的差. 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间. 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，作出频率分布表. 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示. 2．频率分布直方图中的统计参数 (1)频率分布直方图中的“众数” 根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用中点近似代替. (2)频率分布直方图中的“中位数” 根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. (3)频率分布直方图中的“平均数” 平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 【方法技巧与总结】 1．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆. 【类型1 绘制、补全频率分布直方图】 1．（24-25高一下·广西河池·期末）某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校名学生中抽取了一个容量为的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据所有直方图面积之和为可求得实数的值. 【解答过程】在频率分布直方图可知，所有直方图面积之和为， 所以，解得. 故选：B. 2．（24-25高二下·云南昆明·月考）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，，的值为（   ） A．0.017，0.048 B．0.017，0.48 C．0.17，0.048 D．0.17，0.48 【答案】A 【解题思路】根据已知条件，由频率分布直方图中矩形高度的概念可求出，由频率分布直方图中各组矩形面积之和为1，即可求出. 【解答过程】由频率分布直方图可知组距为10，则， 又因为，解得. 故选：A. 3．（24-25高一上·北京怀柔·期末）某直播间从参与购物的人群中随机选出 200 人,并将这200人按年龄分组,得到的频率分布直方图如图所示,则在这200人中年龄在的人数及直方图中值是（    ） A．, B．, C．, D．, 【答案】C 【解题思路】求出频率直方图中年龄在的频率,根据频率即可求出人数,根据频率分布直方图中,小矩形面积和为1,列出等式解出即可. 【解答过程】解:由图知,年龄在的小矩形的面积为： ， 即年龄在的频率为， 所以年龄在的人数， 由频率分布直方图的小矩形面积和为1可得： ， 解得：. 故选：C. 4．（24-25高一下·云南昭通·期末）某品牌电动汽车公司为了解车主使用电动车辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行抽样分析，得出这100位车主每人在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的频率分布直方图如图，则__________． 【答案】0.010 【解题思路】应用频率和为1计算求解参数. 【解答过程】由，得． 故选：. 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）某学校为了了解和掌握学生的期末数学成绩的情况，随机地取出了100名考生的数学成绩（单位：分），数据如下： 135    98    102    110    99    121    110    96 100    103   125    97     117   113    110    92 102    109   104    112    105   124    87     131 97     102   123    104    104   128    109    123 111    103   105    92     114   108    104    102 129    126   97     100    115   111    106    117 104    109   111    89     110   121    80     120 121    104   108    118    129   99     90     99 121    123   107    111    91    100    99     101 116    97    102    108    101   95     107    101 102    108   117    99     118   106    119    97 126    108   123    119    98    121    101    113 102    103   104   108 (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据题目所给数据列出频率分布表. （2）根据频率分布表画出频率分布直方图. 【解答过程】（1）在这100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为． 取组距为5，则组数为． 频率分布表如下： 分组 频数 频率 [80，85） 1 0.01 [85，90） 2 0.02 [90，95） 4 0.04 [95，100） 14 0.14 [100，105） 24 0.24 [105，110） 15 0.15 [110，115） 12 0.12 [115，120） 9 0.09 [120，125） 11 0.11 [125，130） 6 0.06 [130，135] 2 0.02 合计 100 1.00 （2）根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图，如图所示． 6．（24-25高二上·江苏淮安·月考）有900名学生参加“环保知识竞赛”，为考察竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩（得分均整数，满分为100分）进行统计，请你根据尚未完成并有局部污损的频率分面表和频率分布直方图（如图）解释下列问题. 分组 频数 频率 4 0.08 0.16 10 16 0.32 合计 50 (1)填满频率分布表； (2)补全频率分布直方图； (3)若成绩在的学生可以获得二等奖，求获得二等奖的学生人数. 【答案】(1)分布表见解析 (2)直方图见解析 (3)234 【解题思路】（1）根据题中数据，结合频率、频数关系分析运算即可； （2）根据（1）中数据可得频率分布直方图； （3）先求成绩在的频率，进而估计人数. 【解答过程】（1）因为，，，，且所有频率和为1， 据此填满频率分布表，如下表所示： 分组 频数 频率 4 0.08 8 0.16 10 0.2 16 0.32 12 0.24 合计 50 1 （2）根据（1）中数据可得频率分布直方图，如图所示： （3）由题意可知：成绩在频率为， 估计获得二等奖的学生人数为. 【类型2 频率分布直方图中的相关计算】 7．（24-25高一下·河南新乡·期末）某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高（单位：cm），将得到的数据按 分为4组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生中身高低于170cm的人数为（    ） A．56 B．52 C．48 D．44 【答案】A 【解题思路】利用频率和为1求参数，再估计身高低于170cm的人数. 【解答过程】由图可得，得， 所以估计这100名学生中身高低于170cm的人数为． 故选：A. 8．（24-25高一下·江苏连云港·月考）某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，这批用户问卷的得分不低于80分的份数为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【解题思路】由图计算出这批用户问卷的得分不低于80分的频率即可求相应的人数. 【解答过程】由图可得这批用户问卷的得分不低于80分的频率为， 故这批用户问卷的得分不低于80分的份数为：， 故选：B. 9．（25-26高二上·上海·单元测试）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为：、、、、，由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是（    ） A．5 B．8 C．13 D．17 【答案】C 【解题思路】计算出产品数量在的频率，进而得到产品数量在的人数. 【解答过程】产品数量在的频率为， 故这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是. 故选：C. 10．（2026·山西·模拟预测）某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100辆该商场到访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：        则样本中停车时长在区间上的车辆数为_________辆. 【答案】 【解题思路】利用频率直方图中频率之和为1求得的频率，进而求得的频数，从而得解. 【解答过程】依题意，设的频率为， 则，解得， 所以样本中停车时长在区间上的车辆数为. 故答案为：. 11．（24-25高一下·吉林长春·月考）某城市户居民的月平均用电量单位：度，以，，，分组的频率分布直方图如图． (1)求直方图中的值； (2)在这户居民中，月平均用电量不低于度的有多少户？ (3)在月平均用电量为，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？ 【答案】(1)； (2)55； (3). 【解题思路】（1）利用频率分布表各小矩形面积和为1，列式计算即得. （2）根据频率分布直方图求出内的频率，再利用频率乘以样本容量即得. （3）利用（2）的信息，求出分层抽样的抽样比即可计算得解. 【解答过程】（1）由频率分布直方图，得，解得， 所以直方图中x的值是. （2）月平均用电量为的用户有户， 月平均用电量为的用户有户， 月平均用电量为的用户有户， 月平均用电量为的用户有户， 所以月平均用电量不低于度的有户. （3）由（2）可知，抽取比例为， 所以月平均用电量在的用户中应抽取户． 12．（24-25高一下·江苏无锡·期末）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过的部分按3元收费，第二阶梯为超过但不超过的部分按5元收费，第三阶梯为超过的部分按8元收费． (1)求直方图中的值； (2)已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数； (3)该市政府希望使至少有的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少？ 【答案】(1) (2)万户居民 (3)不符合要求，上调到 【解题思路】（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为1，即可列式求解； （2）由题意可知用户月均用水费用不超过60元，即用户月均用水不超过，算出频率，得出全市不超过60元的用户数； （3）首先计算抽取的100户居民月均用水量不超过的频率和不超过的频率，从而判断是否符合要求，以及根据比例确定上调到的数量. 【解答过程】（1）由直方图可知， , 解得：； （2）居民用水量为时，收费为元， 所以用水费用不超过60元，则用水量小于等于， 由频率分布直方图可知，用水量小于等于的频率为； 万户， 所以全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数为万户. （3）抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为： ， ，所以现行收费标准不符合要求， 抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为： ， ， 现行收费标准不符合要求，需将第二阶段用水量的上限至少上调到. 【类型3 根据其他统计图解决实际问题】 13．（25-26高一上·河南南阳·期末）下图是国家统计局发布的2024年10月份至2025年10月份商品零售额与餐饮收入的同比增长速度折线图，下列说法错误的是（   ）    A．2025年10月份商品零售额同比增长速度为 B．2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为 C．2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同 D．2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为 【答案】D 【解题思路】根据折线图逐一计算判断即可 【解答过程】对于A，2025年10月份商品零售额同比增长速度为，故A正确； 对于B，2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为，故B正确； 对于C，2025年前四个月商品零售额同比增速平均值为， 2025年前四个月商品餐饮收入同比增速平均值为， 故2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同，故C正确； 对于D，因为， 所以2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为，故D错误. 故选：D. 14．（25-26高二上·四川成都·期末）为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是（    ）    A．选择足球的女生比选择篮球的女生多 B．选择篮球的女生比选择足球的男生多 C．选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多 D．选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多 【答案】C 【解题思路】从饼图中算出各项目的总人数，再结合条形图中的男女比例，分别计算每个选项中的具体人数，从而判断对错. 【解答过程】全年级有1000人参与该活动，由饼状图可知： 选择篮球的学生有： 人， 选择乒乓球的学生有： 人， 选择足球的学生有： 人， 由条形图可知： 选择篮球的学生中，女生 人，男生 人， 选择乒乓球的学生中，女生 人，男生 人， 选择足球的学生中，女生 人，男生 人. 故选：C． 15．（2026·全国·模拟预测）某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加了一倍，已知改革前后当地村民经济收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．改革后，其他收入减少 B．改革后，外出打工收入是改革前的 C．改革后，养殖收入增加了一倍 D．改革后，种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大 【答案】D 【解题思路】假设改革前当地村民经济收入为，则改革后当地村民经济收入为，作出表格，结合表格依次判断选项即可. 【解答过程】假设改革前当地村民经济收入为，则改革后当地村民经济收入为，且 其他收入 养殖收入 外出打工收入 种植有机蔬菜收入 改革前 改革后 选项A：根据表格可知改革后其他收入增加，故A错误． 选项B：，故B错误． 选项C：，故C错误． 选项D：由题图可知，改革后种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大，故D正确． 故选：D. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）神舟十三号载人飞行任务的圆满成功，标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成，中国空间站即将进入建造阶段．某机构研究室通过随机抽样的方式，对18岁及以上人群进行了“你是否曾有过航天梦想”的调查研究，得到如下的统计结果．    根据调查结果，以下说法正确的是_________（填序号）． ①在“曾有过航天梦想”的人群中，54岁及以上的人数最少； ②在“曾有过航天梦想”的人群中，年龄越大，在航天相关方面的人均消费越少； ③在“曾有过航天梦想”的人群中，18—29岁在航天相关方面的总消费最多． 【答案】①③ 【解题思路】根据扇形图及折线图得出数据判断各个选项即可. 【解答过程】对于①，从“曾有过航天梦想”的人年龄分布图可知，在“曾有过航天梦想”的人群中， 54岁及以上的人数最少，所以①正确； 对于②，在“曾有过航天梦想”的人群中，随着年龄增大，在航天相关方面的人均消费先变大后再变小，所以②错误； 对于③，设总人数为岁在航天相关方面的总消费约为， 30-40岁在航天相关方面的总消费约为， 41-53岁在航天相关方面的总消费约为， 54岁及以上在航天相关方面的总消费约为． 所以在“曾有过航天梦想”的人群中，18-29岁在航天相关方面的总消费最多，所以③正确． 故答案为：①③． 17．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）某手机店根据手机销售的相关数据绘制了两幅统计图．来自该店财务部的数据报告表明，该手机店 月的手机销售总额一共是万元.请根据图①、图②解答下列问题： （1）该手机店三月份的销售额为多少万元？ （2）该店一月份音乐手机的销售额为多少万元? （3）小刚观察图②后，认为四月份音乐手机的销售额比三月份减少了，你同意他的看法吗?请说明理由． 【答案】（1）60万元；（2）19.55万元；（3）不同意，理由见解析. 【解题思路】（1）三月份的销售额为销售总额减去1月、2月和4月的销售额之和； （2）一月份音乐手机的销售额为1月份的销售额乘以23%即可； （3）通过两图求出3、4月份的音乐手机销售额，然后比较 【解答过程】（1）由已知及图1知，3月份手机销售额为万元   （2）由图1及图2知，1月份音乐手机销售额为万元 （3）由图1及图2知，3月份音乐手机销售额为：万元 4月份音乐手机销售额为：万元 ，4月份音乐手机销售额比3月份音乐手机销售额增加了， 所以不同意小刚的看法. 18．（24-25高一上·陕西西安·开学考试）“千年古都，大美西安”.某校数学兴趣小组就最想去的西安旅游景点随机调查了本校部分学生，要求每位学生选择且只能选择一个最想去的景点（景点对应的名称分别是A：大雁塔；B：兵马俑；C：陕西历史博物馆；D：秦岭野生动物园；E：曲江海洋馆）.下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图： 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求被调查的学生总人数； (2)补全条形统计图，并求扇形统计图中表示最想去景点“D”的扇形圆心角的度数； (3)若该校共有800名学生，请估计该校学生中最想去兵马俑的人数. 【答案】(1)人 (2)作图见解析， (3)人 【解题思路】（1）对于求被调查学生总人数，我们可以根据已知部分人数及其所占比例来计算总人数，这里用到比例关系的概念； （2）补全条形统计图需要先求出各部分的人数，再根据人数画出图形。求扇形圆心角的度数，根据圆心角的度数等于该部分占总体的比例乘以； （3）估计全校想去兵马俑旅游的人数，是利用样本中想去兵马俑的比例来估计总体的情况. 【解答过程】（1）被调查的学生总人数为（人）； （2）最想去D景点的人数为：(人)， 补全条形统计图为： 扇形统计图中表示“最想去景点“D”的扇形圆心角的度数为. （3），所以估计“最想去景点兵马俑”的学生人数为280人. 【类型4 频率分布直方图中百分位数与统计参数的估计】 19．（2026·天津·二模）某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（    ） A．的值为0.015 B．估计这组数据的众数为80 C．估计这组数据的第60百分位数为87 D．估计成绩低于80分的有350人 【答案】C 【解题思路】利用频率分布直方图的性质可判定A，利用众数、百分位数的求法可判定B、C，根据频率分布直方图计算可估计总体判定D. 【解答过程】易知，解得，所以A错误； 由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误； 由频率分布直方图可知前两组频率之和为， 前三组频率之和为， 故第60百分位数落在区间，设第60百分位数为， 则，解得，所以C正确； 成绩低于80分的频率为，所以估计总体有，故D错误. 故选：C. 20．（2025·天津·二模）某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人 B．直方图中的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数为87 D．估计全校学生成绩的分位数约为90 【答案】C 【解题思路】根据频率分布直方图计算区间的频率，即可判断A，根据频率和为1，计算的值，判断B，根据中位数和百分位数公式，判断CD. 【解答过程】A.由图可知，成绩在区间内的频率为，人，故A错误； B.由图可知，，得，故B错误； C.前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在第4组， 所以，得，故C正确； D. 样本数据的分位数在第5组，，得，故D错误. 故选：C. 21．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．在杂交水稻试验田中随机抽取了100株水稻，统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（   ） A． B．这100株水稻的稻穗数的众数约为250 C．这100株水稻的稻穗数的平均数约为256 D．这100株水稻的稻穗数的中位数约为252 【答案】D 【解题思路】利用频率分布直方图的性质频率直方图面积之和是1，求解选项A，利用频率分布面积最大的是出现次数最多的求解出众数可判断B，利用频率分布直方图每组的组中值代表这一组的值，进而用利用平均数的公式求解选项C，利用频率分布直方图的性质结合中位数是数据按照从小到大的顺序排列位于中间的那一个求解选项D. 【解答过程】对于选项A: 由频率直方图可知组距为则 化简得 因此选项A是正确的. 对于选项B：从图中可以看出,频率最高的矩形对应的区间是[240, 260], 其中点为，即选项B是正确的. 对于选项C：易知 ，可得C是正确的. 对于选项D：从图中可以看出, 前两个区间的累计频率为， 前三个区间的累计频率为 因此中位数位于第三个区间，设中位数为 , 则可得 解得，即选项D是错误的. 故选：D. 22．（24-25高一下·四川巴中·期末）某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计销售员工销售额的平均值为__________（百万元），（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 【答案】14.52 【解题思路】根据频率和为1求得，再由频率直方图求平均值即可. 【解答过程】由题设，可得， 所以平均值为. 故答案为：. 23．（24-25高一下·四川凉山·期末）某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出4000米的山峰就有58座迂回缭绕于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚属罕见，是得天独厚的自然风景区．现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数和平均数（每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，得数保留两位小数）． 【答案】(1) (2)中位数约为86.67．平均数为84. 【解题思路】（1）根据直方图中频率和为求参数即可； （2）由中位数的定义，结合直方图求中位数；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出平均数. 【解答过程】（1）由图知：， 可得 （2）因为 所以中位数在区间内，令其为m， 则，解得． 所以满意度评分的中位数约为86.67． 由频率分布直方图可知，平均数为 ． 24．（24-25高一下·广东惠州·期末）为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间 （单位: 时） 按照、、、、分成组， 制成如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)根据频率分布直方图估计样本数据的第百分位数； (3)根据频率分布直方图，用每组数据区间中点值作代表，估计这名住户上周体育锻炼时间的平均值. 【答案】(1) (2) (3)小时 【解题思路】（1）在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为，列式可求得实数的值； （2）设样本数据的第百分位数为，则，利用百分位数的定义可得出关于的等式，解之即可； （3）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加，即可得出样本的平均数. 【解答过程】（1）在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为， 可得，解得. （2）前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为， 设样本数据的第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得. （3）由频率分布直方图可知，样本的平均数为. 估计这名住户上周体育锻炼时间的平均值为小时. 【类型5 频率分布直方图中总体离散程度的估计】 25．（24-25高一下·全国·单元测试）某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲，乙两个班的学生，收集并整理他们一周阅读时间（单位：h），绘制了下面频率分布直方图．根据直方图，得到甲，乙两校学生一周阅读时间的平均数分别为，，标准差分别为，，则（   ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据平均数和方差的计算公式求解后比较大小即可. 【解答过程】根据频率分布直方图可知， ， ， ． 所以，． 故选：D. 26．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知甲，乙两名运动员进行射击比赛，每名运动员射击10次，得分情况如下图所示．则根据本次比赛结果，以下说法正确的是（    ） 乙射击环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 2 2 3 A．甲比乙的射击水平更高 B．甲的射击水平更稳定 C．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数 D．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数 【答案】B 【解题思路】计算甲，乙的平均数并比较即可判断A；计算甲，乙的方差并比较即可判断B；求出甲，乙的中位数即可判断C；求出甲，乙的众数即可判断D． 【解答过程】甲的平均数 乙的平均数 ∵，∴乙的射击水平更高，故A错误； 甲的方差 乙的方差 ∵，∴甲的射击水平更稳定，故B正确； 甲的射击成绩由小到大排列为：，位于第5、第6位的数分别是，所以甲的中位数是； 乙的射击成绩由小到大排列为：，位于第5、第6位的数分别是，所以乙的中位数是， 故甲射击成绩的中位数与乙射击成绩的中位数相等，故C错误； 甲的众数为9，乙的众数为10，故D错误. 故选：B. 27．（24-25高三上·北京海淀·期末）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲､乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图. 若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为方差分别为，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据直方图求出甲、乙地区用户满意度评分的中位数，并通过两地区用户满意度评分的集中程度即可得到哪个方差小. 【解答过程】解：由题意, 由频率分布直方图得： 甲地区： 的频率为， 的频率为， ∴甲地区用户满意度评分的中位数， 乙地区： 的频率为， 的频率为， ∴甲地区用户满意度评分的中位数， ∴， 由直方图可以看出，乙地区用户满意度评分的集中程度比甲地区的高， ∴， 故选：D. 28．（24-25高一下·吉林松原·期末）某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；求样本平均数； (2)已知落在区间的样本平均成绩是57，标准差是7，落在区间的样本平均成绩为66，标准差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 【答案】(1)，第80百分位数为，样本平均数为74； (2)，. 【解题思路】（1）由频率之和为1即可求a，先依次求出前4组和前5组频率之和得到样本成绩的第80百分位数所在区间即可计算求解，由频率分布直方图的平均数计算公式直接计算即可求平均数； （2）先依次求出两区间的样本个数、样本平均成绩、方差，再由总体平均数公式和总体方差公式即可计算两组样本成绩合并后的平均数和方差. 【解答过程】（1）由题意， 所以前4组频率之和， 前5组频率之和， 所以样本成绩的第80百分位数在区间内，且为， 样本平均数为； （2）由题可得落在区间的样本个数为，样本平均成绩是，方差是， 落在区间的样本个数为，样本平均成绩是，方差是， 所以两组样本成绩合并后的平均数为， 两组样本成绩合并后的方差为. 29．（24-25高一下·河南郑州·期末）某市组织了一场面向全市大学生、中学生、小学生的科技节活动，为了解对活动的满意度，特随机向参与活动的同学做问卷调查，共收集了1000份问卷，并统计每个问卷的满意度得分（满分100分），绘制了如下频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计该满意度得分的第80百分位数（精确到）和总体平均数； (3)已知填写问卷的同学中，大学生、中学生、小学生的人数比例为，其中大学生满意度得分的平均数为86，方差为；小学生满意度得分的平均数为96，方差为．请结合频率分布直方图，估计中学生对该活动满意度得分的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记总体样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】(1) (2)第80百分位数为，总体平均数为 (3)平均数为91，方差为 【解题思路】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，可得结果； （2）根据百分位数定义和平均数公式求解即可； （3）由频率分布直方图，先求出1000份问卷的方差，用样本估计总体可得所有学生满意度得分的平均数为，方差为，进而结合题设公式求解即可. 【解答过程】（1）由频率分布直方图得： ，解得． （2）由， ∴第80百分位数在区间内， 设第80百分位数为，由，得， 可以估计该满意度得分的第80百分位数为． 1000份问卷的平均分可估计为： ， 用样本估计总体，可以估计学生对该活动满意度的总体平均数为． （3）由频率分布直方图，1000份问卷的方差可估计为： ， 用样本估计总体，则所有学生满意度得分的平均数为，方差为． 记大学生满意度得分的平均数为，方差为，小学生满意度得分的平均数为，方差为， 估计中学生满意度得分的平均分为，方差为， 则，所以， ， 解得． 所以估计中学生对该活动满意度得分的平均数为91，方差为． 30．（24-25高一下·山东枣庄·期末）某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： (1)求频率分布直方图中a的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分（每个区间内的值以该组区间的中点值为代表）； (2)求参加挑战赛的学生成绩的分位数； (3)已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差． 【答案】(1)，71.5 (2)88． (3)72；58.4 【解题思路】（1）利用面积和为1计算可得；由频率分布直方图中平均数的计算可得； （2）由频率分布直方图中百分位数的计算可得； （3）先计算成绩在，内的人数，求出平均值，再由方差的计算可得. 【解答过程】（1）由，解得． 平均分的估计值为 ． （2）成绩小于90分的占比为，成绩小于80分的占比为， 所以分位数一定位于区间，而，所以分位数为88． （3）成绩在，内的人数分别为，． ． 设学生成绩在区间内的数据记为，，…，，学生成绩在内的数据记为，，…，，所以 . 【类型6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】 31．（25-26高二上·广西来宾·期中）2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度如图所示，则下列结论错误的是（    ）    备注：同比增长速度 A．2025年3月至9月我国社会消费品零售总额逐月增大 B．2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的极差为 C．2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的平均数小于 D．2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的60%分位数为 【答案】D 【解题思路】由同比增长速度均为正数即可判断A；由极差定义计算即可判断B；由平均数定义计算即可判断C；根据百分位数定义计算求解即可判断D. 【解答过程】由图可知，2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度均为正数， 所以2025年3月至9月我国社会消费品零售总额逐月增大，A正确； 2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的极差为，B正确； 因为， 所以2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的平均数小于，C正确； 因为， 所以2025年3月至9月我国社会消费品零售总额同比增长速度的分位数为，D错误. 故选：D. 32．（24-25高三上·四川成都·期中）下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（    ） A．超过的大学生更爱使用购物类APP B．超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要 C．使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是 D．APP使用目的中6个占比数字的分位数是 【答案】C 【解题思路】A选项，，A错误；B选项，，B错误；C选项，利用极差定义得到C正确；D选项，由百分位数的定义进行判断. 【解答过程】A选项，更爱使用购物类APP的大学生比例为，A错误； B选项，为了学习与生活需要使用APP的大学生比例为，B错误； C选项，使用APP偏好情况中7个占比中，数字极差为，C正确； D选项，，故从小到大，选取第3个作为分位数，即，D错误. 故选：C. 33．（25-26高三上·安徽蚌埠·月考）为了解某企业喜爱打羽毛球、打篮球和游泳的职工年龄情况，统计了该企业第一车间的所有职工喜爱打羽毛球、打篮球和游泳构成比例（每位职工必选一项体育活动且只选一项）．得到如下饼图：    若喜爱打羽毛球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱打篮球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱游泳的职工年龄（岁）的均值与方差分别为.则下面结论中不正确的是（    ） A．该企业喜欢打篮球的职工人数可能多于喜欢游泳的职工人数 B．第一车间喜欢打羽毛球的职工有一些年龄比较大 C．第一车间所有职工平均年龄为岁 D．第一车间所有职工年龄方差不超过喜爱打羽毛球、打篮球及游泳的职工的年龄方差之和 【答案】D 【解题思路】逐项分析各选项对应的数据即可得到正确答案. 【解答过程】选项A：第一车间职工喜爱的体育活动情况不等同于该企业情况，所以选项A说法正确； 选项B：喜爱打羽毛球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，说明有些职工年龄比50大，所以选项B说法正确； 选项C：样本均值：，所以选项C说法正确； 选项D：样本方差： ，所以选项D说法错误. 故选：D. 34．（24-25高一下·河南信阳·期中）树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时）），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查.记男生样本为，样本平均数、方差分别为；女生样本为，样本平均数、方差分别为；总样本平均数、方差分别为. (1)该兴趣社团通过分析给出以上两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数； (2)已知男生样本方差，女生样本方差，请结合（2）问的结果计算总样本方差的估计值. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）利用各组区间中点值代表该组的各个值，由频率分布直方图、扇形统计图估计平均数的方法可求得结果； （2）根据分层抽样计算平均数和方差的方法直接求解即可. 【解答过程】（1）每个组内的数据均匀分布，以各组的区间中点值代表该组的各个值； 由频率分布直方图估计男生样本课外体育锻炼时间的平均数 ； 由扇形图估计女生样本课外体育锻炼时间的平均数 . （2）采用按比例分配的分层随机抽样，； 估计树人中学学生课外运动时间的平均数， . 35．（24-25高三·广西·月考）为响应“绿色出行”号召，某市先后推出了“共享单车”和“新能源分时租赁汽车”，并计划在甲､乙两个工厂选择一个工厂生产汽车轮胎，现分别从甲､乙两厂各随机选取10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图： (1)分别计算甲､乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数； (2)轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲､乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个工厂会被选择. 【答案】(1)甲厂平均数195，乙厂平均数194 (2)乙厂的轮胎会被选择 【解题思路】(1)根据提供的数据甲､乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数即可； (2)先找出是甲､乙两厂标准轮胎的数据，分别计算出他们的平均数和方差，选择方差较小的厂即可. 【解答过程】（1）甲厂提供的10个轮胎宽度的平均数. 乙厂提供的10个轮胎宽度的平均数. （2）甲厂提供的10个轮胎的宽度在[194,196]内的数据为195，194，196，194，196，195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为， 方差为， 乙厂提供的10个轮胎的宽度在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为. 方差为， 由于甲､乙两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎会被选择. 36．（25-26高一下·浙江·月考）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. (1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 【答案】(1)小吃类28家，生鲜类12家 (2)（i）75百分位数为487.5元，平均数为440元，（ii）个数为280 【解题思路】（1）由题意求出小吃类所占的百分比，进而求出应抽取小吃类、生鲜类商家的数目； （2）（i）由频率分布直方图中各个小矩形的面积之和，求出，再由百分位数和平均数的计算公式求解即可；（ii）先求出平均日利润超过480元的商家所占的比列，即可得出答案. 【解答过程】（1）根据分层抽样知： 应抽取小吃类家，生鲜类家， 所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家. （2）（i）根据题意可得，解得， 设75百分位数为x，因为，第四组频率为0.2， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元. 平均数为， 所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元. （ii）， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $