专题01 统计图的相关运算大题（35题）（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题01 统计图的相关运算大题（35题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 绘制、补全频率分布直方图 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料（单位：cm）： 区间界限 人数 5 8 10 22 33 区间界限 人数 20 11 6 5 (1)列出样本的频率分布表（频率保留两位小数）； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高低于134cm的人数占总人数的百分比． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）根据样本频率分布表的概念列表求解； （2）根据频率分布直方图的定义作图即可； （3）求出对应频率后即可求解. 【解答过程】（1）列出样本频率分布表： 分组 频数 频率 5 0.04 8 0.07 10 0.08 22 0.18 33 0.28 20 0.17 11 0.09 6 0.05 5 0.04 合计 120 1.00 （2）画出频率分布直方图，如图所示， （3）因为样本中身高低于134cm的人数的频率为 所以估计身高低于134cm的人数约占总人数的． 2．（24-25高一下·江苏·单元复习）某校高二年级期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩，分组统计如下表. 分组 频数 频率 3 0.03 3 0.03 37 0.37 m n 15 0.15 合计 M N (1)求出表中的值，并根据表中所给数据在给出的坐标系中画出频率直方图； (2)若全校参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中全校成绩在90分以上的人数. 【答案】(1)，作图见解析 (2)342 【解题思路】（1）利用频率分布表的性质依次求得，再利用频率分布直方图的作法即可得解； （2）利用频率分布表，结合比例列式即可得解. 【解答过程】（1）由频率分布表得， 所以，， 频率直方图如图所示， （2）由题意，知全校成绩在90分以上的学生的人数约为. 3．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）某高校举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加，为了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题： 分组 频数 频率 [50，60) 4 0.08 [60，70) 0.16 [70，80) 10 [80，90) 16 0.32 [90，100] 合计 50 (1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内); (2)补全频率分布直方图; (3)若成绩在[80，100]内的学生获得环保纪念勋章，请估计该校获得环保纪念勋章的学生有多少人. 【答案】(1)表格见解析 (2)作图见解析 (3)504 【解题思路】（1）利用频率、频数和样本容量的关系即可完成此表格； （2）利用表中数据计算出这个分数段对应的矩形高度即可完成频率分布直方图. （3）先找出成绩分及以上对应的分数段的频率，再用该频率乘以总人数即可得到. 【解答过程】（1）由频率分布表，可知样本容量为50， 故成绩在[60,70)的频数为， 成绩在[70,80)的频率为， 成绩在[90,100]的频数为， 频率为， 故频率分布表为： 分组 频数 频率 [50，60) 4 0.08 [60，70) 8 0.16 [70，80) 10 0.20 [80，90) 16 0.32 [90，100] 12 0.24 合计 50 1 （2）频率分布直方图如图所示：    （3）样本中成绩在[80,100]的频率为0.32 + 0.24 = 0.56， 所以估计该校获得环保纪念勋章的学生人数为900×0.56 = 504. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）为了解一片经济林的生长情况，随机测量100株树木的底部周长，得到如下数据：（单位：cm） 135  98  102  110  99  121  110  96  100  103  125  97  117  113  110  92  102  109 104  112  109  124  87  131  97  102  123  104  104  128  105  123  111  103  105  92 114  108  104  102  129  126  97  100  115  111  106  117  104  109  111  89  110  121   80  120  121  104  108  118  129  99  90  99  121  123  107  111  91  100  99  101  116 97  102  108  111  95  107  101  102  108  117  99  118  106  119  97  126  108  123   119  98  121  101  113  102  103  104  108 (1)编制频率分布表； (2)绘制频率分布直方图、折线图； (3)估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少，周长不小于120cm的树木约占多少？ 【答案】(1)分布表见解析 (2)答案见解析 (3)，19% 【解题思路】（1）根据数据计算极差，再分为11组，列表（包含：分组、频数、频率、频率／组距）即可； （2）依据频率分布表画出频率分布直方图，并取矩形中点依次连线即可； （3）分别计算周长小于100cm、周长不小于120cm的频率即可. 【解答过程】（1）从数据中可以看出，这组数据的最大值为135cm，最小值为80cm，故极差为55cm，可将其分为11组，组距为5． 从第一组开始，将各组的频数和频率／组距填入表中： 分组 频数 频率 频率／组距 1 0.01 0.002 2 0.02 0.004 4 0.04 0.008 14 0.14 0.028 24 0.24 0.048 15 0.15 0.030 12 0.12 0.024 9 0.09 0.018 11 0.11 0.022 6 0.06 0.012 2 0.02 0.004 合计 100 1 0.2 （2）这组数据的频率分布直方图、折线图如下图所示． （3）从频率分布表可以看出，该样本中小于100cm的频率为，不小于120cm的频率为， 故可估计该片经济林中底部周长小于100cm的树林约占21%，周长不小于120cm的约占19%． 5．（24-25高一下·全国·单元测试）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举办了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题： 分组 频数 频率 50.5~60.5 4 0.08 60.5~70.5 0.16 70.5~80.5 10 80.5~90.5 16 0.32 90.5~100.5 合计 50 (1)填充频数分布表的空格（将答案直接填在表格内）； (2)补全频数分布直方图； (3)若成绩在75.5～85.5的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？ 【答案】(1)表格见解析 (2)直方图见解析 (3)人 【解题思路】（1）根据频数和频率的关系计算完善表格即可. （2）求出第二组的频数后补全频数分布直方图即可. （3）求出成绩在75.5～85.5的学生频率即可求解. 【解答过程】（1）易知样本容量为50， 故第二组的频数为，第三组的频率为， 第四组的频数为，频率为， 故频数分布表为 分组 频数 频率 50.5~60.5 4 0.08 60.5~70.5 8 0.16 70.5~80.5 10 0.20 80.5~90.5 16 0.32 90.5~100.5 12 0.24 合计 50 1.00 （2）由（1）知，60.5~70.5这一组的频数为8，补全频数分布直方图，如图： （3）成绩在75.5～80.5的学生占70.5～80.5的学生的， 因为成绩在70.5～80.5的学生频率为0.20，所以成绩在75.5～80.5的学生频率为0.10． 成绩在80.5～85.5的学生占80.5～90.5的学生的， 因为成绩在80.5～90.5的学生频率为0.32，所以成绩在80.5～85.5的学生频率为0.16， 所以成绩在75.5～85.5的学生频率为． 由于有900名学生参加了这次竞赛， 所以该校获得二等奖的学生约为（人）． 题型二 频率分布直方图的相关计算问题 6．（24-25高二下·湖南长沙·期中）某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求从该校高一、高二学生中各抽取的人数； (2)根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数. 【答案】(1)从该校高一、高二学生中各抽取的人数为120人和80人. (2) 【解题思路】（1）根据分层抽样的原理，按各层人数占总人数的比例来确定抽取人数； （2）可通过频率分布直方图求出成绩在60分（含60分）以上的频率，再利用频率与总人数的关系求出相应人数，也可先求出成绩在60分以下的频率，进而得到60分（含60分）以上的频率，再计算人数. 【解答过程】（1）已知高一学生有1200人，高二学生有800人，那么高一、高二学生总人数为人. 现在要抽取200名学生，根据分层抽样的方法，从高一学生中抽取的人数占总抽取人数的比例，应等于高一学生人数占总学生人数的比例. 高一学生人数占总学生人数的比例为，所以从高一学生中抽取的人数为人. 同理，高二学生人数占总学生人数的比例为，则从高二学生中抽取的人数为人. （2）由频率分布直方图可知，成绩在分的频率为, 分的频率为；成绩在分的频率为；成绩在分的频率为. 那么成绩在60分（含60分）以上的频率为这四组频率之和，即. 已知总人数为2000人，根据频率与频数的关系（频数 = 频率×总数），可得成绩在60分（含60分）以上的人数为. 7．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）某校高一年级有学生2000名，为了了解高一学生的体能情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，按，分为5组，画出频率分布直方图，如图所示． (1)求的值； (2)若规定：高一学生1分钟跳绳125次以上（含125次）成绩为良好．试估计该校高一学生1分钟跳绳成绩良好的人数． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为，列式可求得实数的值； （2）根据频率分布直方图求出跳绳良好的频率，即可得解. 【解答过程】（1）在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为， 可得，解得. （2）可知高一学生1分钟跳绳成绩良好包括两组， 故高一学生1分钟跳绳成绩良好的频率为， 因此该校高一学生1分钟跳绳成绩良好的人数约为（人）. 8．（24-25高一下·甘肃·月考）“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为时对颗粒物的累积净化量，以克表示.根据GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量（CCM）有如下等级划分： 累积净化量（克） 以上 等级 为了了解一批空气净化器（共台）的质量，随机抽取台机器作为样本进行估计，已知这台机器的累积净化量都分布在区间中.按照，，，，均匀分组，其中累积净化量在的所有数据有：，，，，和，并绘制了如图所示频率分布直方图： (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共台）中等级为的空气净化器有多少台？ 【答案】(1)， (2)台 【解题思路】（1）根据频率分布直方图中频率与频数的关系可得，再结合频率和为，即可得； （2）根据频率分布直方图计算频数，即可得解. 【解答过程】（1）因为之间的数据一共有个， 再由频率分布直方图可知：落在之间的频率为， 因此，， 又， ； （2）由频率分布直方图可知：落在之间共：（台） 又因为在之间共台， 落在之间共台， 所以（台）. 故这批空气净化器等级为的空气净化器共有台. 9．（24-25高一下·广西贵港·月考）为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为100的样本，测量它们的尺寸（单位：），并将数据分为 ，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的x值； (2)根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出7个产品，则每个区间分别应抽取多少个产品； (3)记产品尺寸在内为A等品，每件可获利6元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损2元；其余为合格品，每件可获利3元．若该工厂一个月共生产2000件产品，以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到10000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造． 【答案】(1) (2)在内抽取2个产品，在内抽取5个产品 (3)需要对该工厂设备实施升级改造 【解题思路】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为进行求解即可； （2）根据频率分布直方图中的求出两个区间的频数，然后结合分层抽样定义即可得解； （3）根据题意，结合频率分布直方图中的数据求出月利润，最后比较大小即可. 【解答过程】（1）由，解得 （2）100件样本中，尺寸在内的样本数为；尺寸在内的样本数为． 由分层随机抽样可知，在内抽取产品数为：个产品，在内抽取产品数为：个产品. 即在内抽取2个产品，在内抽取5个产品. （3）由题意可得，这批产品中A等品有(件)， 这批产品中不合格品有(件)， 这批产品中合格品有(件)， (元)． 所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为元， 因为，所以需要对该工厂设备实施升级改造． 10．（24-25高一上·北京·月考）为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)求样本中在内的频数； (3)若全校共名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数. 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）根据频率分布直方图及直方图的性质得到方程组，解得即可； （2）首先求出，即可求出频数； （3）求出，从而估计人数. 【解答过程】（1）依题意，， 又，且，， 解得，，； （2）因为， 所以样本中在内的频数为； （3）因为， 所以根据样本数据估计全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数约为（人）. 题型三 统计图的综合应用问题 11．（24-25高一上·陕西西安·开学考试）为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）： 根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)求本次被调查的学生人数． (2)将条形统计图补充完整． (3)若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数． 【答案】(1)200 (2)答案见解析 (3)560 【解题思路】（1）结合题中给出的条形图和扇形图，选择劳技的人数和百分率都知道，即可求出被调查的学生人数； （2）有了总体，由扇形图可知选择文学的百分率是，即可求出选择文学的人数，再用学生总人数减去艺术、劳技、文学、其他的人数，得到选择体育的人数，并据此画完该条形图； （3）根据用样本估计总体的方法，先计算选择体育类的百分率，再乘以全校总人数即可. 【解答过程】（1）由条形图和扇形图，选择劳技的人数为60人，百分率是， 则被调查学生的总人数为：（人）； （2）选择文学的百分率是，由（1）知被调查学生的总人数为人； 则选择文学的学生人数为：（人）， 选择体育的学生人数：（人）， 完成的条形图如下： （3）选择体育类的百分比为， 所以估计全校选择体育类的学生有（人） . 12．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）某手机店根据手机销售的相关数据绘制了两幅统计图．来自该店财务部的数据报告表明，该手机店 月的手机销售总额一共是万元.请根据图①、图②解答下列问题： （1）该手机店三月份的销售额为多少万元？ （2）该店一月份音乐手机的销售额为多少万元? （3）小刚观察图②后，认为四月份音乐手机的销售额比三月份减少了，你同意他的看法吗?请说明理由． 【答案】（1）60万元；（2）19.55万元；（3）不同意，理由见解析. 【解题思路】（1）三月份的销售额为销售总额减去1月、2月和4月的销售额之和； （2）一月份音乐手机的销售额为1月份的销售额乘以23%即可； （3）通过两图求出3、4月份的音乐手机销售额，然后比较 【解答过程】（1）由已知及图1知，3月份手机销售额为万元   （2）由图1及图2知，1月份音乐手机销售额为万元 （3）由图1及图2知，3月份音乐手机销售额为：万元 4月份音乐手机销售额为：万元 ，4月份音乐手机销售额比3月份音乐手机销售额增加了， 所以不同意小刚的看法. 13．（24-25高一上·湖北咸宁·自主招生）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成 A，，，，五个等级，并绘制了如图不完整的统计图． 请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩        (1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ； (2)补全学生成绩频数分布直方图； (3)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？ 【答案】(1)200； (2)答案见解析； (3) 【解题思路】（1）根据扇形图与频率分布直方图数据计算即可； （2）根据表格补全频率分布直方图即可； （3）由等级D、E占比估计整体即可. 【解答过程】（1）根据扇形图及频率分布直方图可知B等级有40人，占总人数的20%， 则有； （2）由（1）知等级人，补图如下： （3）由扇形图可知成绩在80分及以上的D、E等级占比为， 所以优秀的总人数估计有人. 14．（24-25高一·全国·课后作业）下面是从某镇抽取的50户家庭一年中12个月的用电量的统计图表，试根据图表说明： (1)一年中这50户家庭月用电高峰是哪几个月？用电低谷是哪几个月？并解释可能的原因. (2)有几个月用电总量为7000度？ 【答案】(1)答案见解析； (2)4 【解题思路】（1）根据图1，得到7月和8月份的用电量高峰，1月、3月和12月份的用电低谷； （2）根据图表中的数据，即可得到有4个月的用电量为7000度. 【解答过程】（1）解：根据图1，可得7月和8月份的用电量高峰，由于天气气温高，大多用户使用空调降温，所以用电出现高峰； 其中1月、3月和12月份的用电低谷，由于冬季进行供暖，大多数用户的用电量下降，造成用电低谷. （2）解：根据图2可知，有4个月的用电量为7000度，分别为5月、6月、9月和11月. 15．（24-25高一上·陕西西安·开学考试）“千年古都，大美西安”.某校数学兴趣小组就最想去的西安旅游景点随机调查了本校部分学生，要求每位学生选择且只能选择一个最想去的景点（景点对应的名称分别是A：大雁塔；B：兵马俑；C：陕西历史博物馆；D：秦岭野生动物园；E：曲江海洋馆）.下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图： 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求被调查的学生总人数； (2)补全条形统计图，并求扇形统计图中表示最想去景点“D”的扇形圆心角的度数； (3)若该校共有800名学生，请估计该校学生中最想去兵马俑的人数. 【答案】(1)人 (2)作图见解析， (3)人 【解题思路】（1）对于求被调查学生总人数，我们可以根据已知部分人数及其所占比例来计算总人数，这里用到比例关系的概念； （2）补全条形统计图需要先求出各部分的人数，再根据人数画出图形。求扇形圆心角的度数，根据圆心角的度数等于该部分占总体的比例乘以； （3）估计全校想去兵马俑旅游的人数，是利用样本中想去兵马俑的比例来估计总体的情况. 【解答过程】（1）被调查的学生总人数为（人）； （2）最想去D景点的人数为：(人)， 补全条形统计图为： 扇形统计图中表示“最想去景点“D”的扇形圆心角的度数为. （3），所以估计“最想去景点兵马俑”的学生人数为280人. 题型四 频率分布直方图中总体百分位数的估计 16．（24-25高一下·河南平顶山·期末）某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了200名学生的测试成绩（单位：分），这200名学生的成绩分布在区间内，并分成6组：第1组为，频数10；第2组为，频数20；第3组为，频数30；第4组为，频数50；第6组为，频数30，绘制成如图所示的部分频率分布直方图. (1)请将频率分布直方图补充完整； (2)估计这200名学生成绩的70%分位数. 【答案】(1)频率分布直方图见解析； (2)85 【解题思路】（1）求出第五组的频率和即可作图得解； （2）先求出这200名学生成绩的70%分位数所在区间范围，再列出方程即可求解. 【解答过程】（1）由题可得第五组为，频数为， 所以第五组的频率为，， 所以频率分布直方图如图所示： （2）设这200名学生成绩的70%分位数为， 因为前4组频率之和为， 前5组频率之和为， 所以这200名学生成绩的70%分位数落在第5组内， 所以，所以这200名学生成绩的70%分位数为85. 17．（24-25高一下·吉林长春·期末）某所学校为了解高三年级学生数学第二次模拟考试情况，随机抽取了50名学生的成绩，（满分150分），将所有数据整理后绘制成如下频率分布直方图： (1)求的值； (2)求这50名学生的数学成绩的第80百分位数； (3)根据频率分布直方图，估计这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）算出每一组的频率，根据频率之和为1求解的值； （2）确定第80百分位数所在区间，列方程求解即可； （3）根据求频率分布直方图平均数的公式求解平均分即可. 【解答过程】（1）分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 频率之和为1，故，即，解得， 故. （2）因为，， 所以这50名学生的数学成绩的第80百分位数在内，设为， 则，，， 解得， 故这50名学生的数学成绩的第80百分位数为. （3）这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分为： . 18．（24-25高一下·安徽宿州·期末）某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并且计算样本的平均数； (2)若该市有900万居民，估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数； (3)若该地区市政府希望使的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值．（结果保留整数） 【答案】(1)， 395（千瓦） (2)495万人 (3)（千瓦）． 【解题思路】（1）根据频率分布直方图的频率之和为1求出的值，进而可求得样本的平均值. （2）由频率分布直方图求出用电量不低于400千瓦的频率，进而求得用电量不低于400千瓦的人数. （3）根据百分位数的公式求出85%百分位数，进而可求得的值. 【解答过程】（1）由频率之和为1，可得， 解得， 样本的平均数为： （千瓦）. （2）由图可得，用电量不低于400千瓦的频率为， 故全市居民中月均用电量不低于400千瓦的人数为万人. （3）由图可得，前5组的频率之知为， 前6组的频率之和为， 设第85百分位数为，则， 故， 解得（千瓦）． 19．（24-25高一下·广东惠州·期末）为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间 （单位: 时） 按照、、、、分成组， 制成如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)根据频率分布直方图估计样本数据的第百分位数； (3)根据频率分布直方图，用每组数据区间中点值作代表，估计这名住户上周体育锻炼时间的平均值. 【答案】(1) (2) (3)小时 【解题思路】（1）在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为，列式可求得实数的值； （2）设样本数据的第百分位数为，则，利用百分位数的定义可得出关于的等式，解之即可； （3）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加，即可得出样本的平均数. 【解答过程】（1）在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为， 可得，解得. （2）前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为， 设样本数据的第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得. （3）由频率分布直方图可知，样本的平均数为. 估计这名住户上周体育锻炼时间的平均值为小时. 20．（24-25高一下·北京大兴·期末）小明利用地图软件统计出他近期100次早上从家到公司的导航过程中的红灯等待时间，他将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示. (1)求图中的值； (2)估计小明红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）； (3)根据以上数据，估计小明在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数. 【答案】(1) (2) (3)7 【解题思路】（1）根据频率分布直方图小矩形面积为1计算可得； （2）利用百分位数定义计算可得结果； （3）求出红灯等待时间低于85秒的频率即可估计出所求次数. 【解答过程】（1）易知组距为10，依题意可得， 解得； （2）易知和两区间的频率之和为； 前三组，，的频率之和为； 因此第60百分位数位于区间内， 设第60百分位数为，所以， 解得 （3）由频率分布直方图可知红灯等待时间低于85秒的频率为， 所以估计10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数为次. 题型五 频率分布直方图中集中趋势参数的计算 21．（24-25高一下·甘肃嘉峪关·期中）某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，…，，． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数．（保留小数点后1位） 【答案】(1) (2)中位数为：；平均数为： 【解题思路】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出值. （2）利用频率分布直方图估计中位数和平均数. 【解答过程】（1）由频率分布直方图，得， 所以． （2）由频率分布直方图，样本数据在的频率为，在的频率为， 因此语文成绩的中位数，则，则， 这100名学生语文成绩的平均数为： . 22．（24-25高一下·贵州黔东南·期末）中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求的值； (2)求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； (3)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 【答案】(1) (2)300人 (3) 【解题思路】（1）由所有频率之和为1求解； （2）由年龄在内的频率计算求解； （3）由频率分布直方图的平均数计算公式计算求解. 【解答过程】（1）由题可知组距为， 则： 解得：. （2）这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为： 所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人. （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为： . 23．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. (1)估计此批棉花纤维长度的众数； (2)估计此批棉花纤维长度的下四分位数和中位数；（保留整数） (3)估计此批棉花纤维长度的平均数.（保留整数） 【答案】(1) (2)下四分位数约为，中位数约为 (3) 【解题思路】（1）由众数的定义即可求解； （2）由百分位数、中位数的定义即可求解； （3）由平均数的定义即可求解. 【解答过程】（1）由图可知，区间对应的矩形最高，所以估计此批棉花纤维长度的众数为； （2）因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和， 所以估计此批棉花纤维长度的下四分位数在区间，且为， 因为前三组的频率之和，前四组的频率之和， 所以估计此批棉花纤维长度的中位数在区间，且为； （3）估计此批棉花纤维长度的平均数为 . 24．（24-25高一下·山西大同·期末）统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点不包括右端点，如第一组表示月收入在内． (1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在内的应抽取多少人？ (2)估计该地居民的月收入的中位数； (3)假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数． 【答案】(1)25 (2)3900 (3)3900 【解题思路】（1）根据频率之和为1求解，即可根据抽样比求解， （2）根据中位数的计算公式即可求解. （3）根据平均数的计算公式即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以， 月收入在的频率为0.25， 所以分层抽样抽出100人中月收入在的人数为； （2）收入在的频率是， 收入在的频率是， 所以样本数据的中位数在， 且为（元）. （3）（元）， 所以平均数为3900元. 25．（24-25高一下·四川乐山·期末）《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房一路高歌猛进，截至2025年5月，票房已突破158亿．根据灯塔数据库的数据，某团队随机抽取1000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如下的频数分布表和频率分布直方图： 组数 分组 频数 第一组 100 第二组 第三组 250 第四组 300 第五组 第六组 50 (1)请求出各年龄段频数分布表中的值，并补全各年龄段人数频率分布直方图； (2)试估计观众年龄的众数、中位数和平均数（每组年龄用中间值代替）． 【答案】(1)，，直方图见解析 (2)众数为，中位数为，平均数为 【解题思路】（1）根据频率分布直方图计算频率，进而可得到频数. （2）根据众数、中位数和平均数的知识进行求解即可. 【解答过程】（1）第二组的频率为， ， ， 补全频率分布直方图如下： （2）观众年龄的众数为， 设年龄的中位数为，， 中位数位于. 则，解得， 年龄的平均数. 题型六 频率分布直方图中总体离散程度的估计 26．（24-25高一下·山东济宁·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的上四分位数； (3)已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)； (2)84； (3)总平均数为65；总方差为37. 【解题思路】（1）由频率直方图小矩形的面积和为1列方程求参数； （2）由百分位数的定义及直方图求上四分位数； （3）应用分层抽样的均值和方差公式求总平均数和总方差. 【解答过程】（1）因为每组小矩形的面积之和为1， 所以，则； （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设上四分位数为m，由，得， 故上四分位数为84； （3）成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为 . 27．（24-25高一下·安徽合肥·期末）新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． (3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）根据频率分布直方图各小矩形面积和为1及频率、频数的关系求解. （2）根据频率分布直方图求第70百分位数可得； （3）根据方差的求法，方差转化为，进而可得. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可得物理测试成绩在的频率为 ， 频数为， 所以1800名学生中物理测试成绩在内的频数为270，补全频率分布直方图如图所示． （2）易得前两段频率之和为，前三段频率之和， 则有 满足，所以（分） （3）成绩在的频数为270人，， 成绩在的频数为540人，， 所以的学生成绩的平均值为， 由方差公式知，， 所以该班成绩的方差为： 所以的最大值为． 28．（24-25高一下·湖北武汉·期末）某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165]，[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． (1)求和频率分布直方图中身高在175cm及以下的学生人数； (2)估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留到个位数）． (3)已知落在区间[170，175）的样本平均数是173，方差是8，落在区间[175，180）的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总的样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】(1)；人 (2) (3)； 【解题思路】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在175cm及以下的学生人数； （2）根据下四分位数概念结合频率分布直方图计算即可； （3）根据平均数公式计算可得，根据题中给的参考公式代入数据计算可得. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，解得， 身高在175cm及以下的学生人数（人）. （2）的人数占比为，的人数占比为， 所以该校100名学生身高的下四分位数即分位数落在， 设该校100名学生身高的分位数为， 则，解得， 故该校100名生学身高的下四分位数约为168. （3）由频率分布直方图知， 这100名学生的身高在的有， 身高在的有人， 所以， ， 所以两组样本成绩合并后的平均数为，方差为． 29．（24-25高一下·山东聊城·期末）某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数（四舍五入取整数）； (2)从所抽取的数学成绩在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在内的学生数学成绩的平均数与方差. 【答案】(1)，中位数为99分， (2)平均数为124分，方差为36 【解题思路】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再确定中位数所在区间，列式求解. （2）求出，利用分层抽样平均数、方差公式列式求解. 【解答过程】（1）由频率分布直方图知，，解得； 由，， 得这400名学生数学成绩的中位数，由，得， 所以估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数为99分. （2）依题意，，解得， 设这6名学生的数学成绩分别为，，，，，136， 由这6名学生的数学成绩的平均数为126分，得， 解得，因此； 设，，，，的方差为，由这6名学生的数学成绩的方差为50， 得，解得， 所以所求学生数学成绩的平均数为124分，方差为36. 30．（24-25高一下·宁夏银川·期末）随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图： (1)求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数； (2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②. 【答案】(1)，众数是； (2)，； (3)①证明见解析 ；②证明见解析. 【解题思路】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，根据频率分布直方图可计算得出甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数. （2）将图2中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，可求得，再利用方差公式可求得. （3）①利用平均数公式可证得结论成立；②推导出，再利用方差公式可证得结论成立. 【解答过程】（1）由频率分布直方图，得，解得， 甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是. （2）， . （3）①依题意，，所以原等式成立. ② ， 又，则， 同理， ， 所以. 题型七 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度 31．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）.数据整理如图表：    学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 7.55 7.55 中位数 8 c 众数 7 合格率 85% 根据以上信息，解答下列问题： (1)写出统计表中，，的值； (2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数； (3)从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义. 【答案】(1)，， (2)人 (3)答案见解析 【解题思路】(1)利用图表中的数据来求中位数，众数，频率即可； (2)利用频率来估计总体即可求解； (3)说明中位数和众数的意义即可. 【解答过程】（1）    由七年级学生成绩统计图可得，众数是，所以， 合格率为，所以， 由八年级学生成绩统计图可得，成绩为5分的有3人，成绩为6分的有2人，成绩为7分的有5人，此时总共为10人，总共为20人，所以中位数为，即; （2）由八年级学生成绩统计图可得，成绩为5分的有3人，则成绩合格的人数有17人， 即样本合格率为，利用样本合格率估计总体该校八年级有600名学生的合格人数约为：（人）； （3）中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的那个数.如果数据的数量是奇数，中位数就是正中间的那个数；如果是偶数，则通常取中间两个数的平均值. 由此可见中位数不受极端值的影响，这使得它在描述数据的集中趋势时更加稳定， 因为中位数接近于平均数，所以我们可以用中位数可以更好更快的估计出平均数. 众数是一组数据中出现次数最多的数值，由于该数据集中出现频率最高的值，它能代表“最普遍的情况”，它同样不受极端值的影响. 32．（2026高一·全国·专题练习）甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示. (1)填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 1 乙 5.4 3 (2)请从三个不同的角度对这次测试进行分析； ①由平均数和方差结合分析谁的成绩更稳定； ②由平均数和中位数结合分析谁的成绩好些； ③由折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力. 【答案】(1) 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 (2)①甲的成绩更稳定；②乙射靶成绩比甲好；③乙更有潜力 【解题思路】（1）根据图中数据，分别求出乙的平均数、中位数和甲的中位数，即可完成表格. （2）根据方差、中位数的意义及折线图的走势，分析即可得答案. 【解答过程】（1）由题图可知，乙的射靶环数依次为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10， 所以. 乙的射靶环数从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，所以中位数是. 甲的射靶环数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位数为7. 于是填充后的表格如下表所示： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 （2）①甲、乙的平均数相同，均为7，但， 说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大，故甲的成绩更稳定. ②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大， 故从平均数和中位数的角度分析乙射靶成绩比甲好. ③从折线图可以看出乙的成绩有明显进步，甲的较为稳定，所以乙更有潜力. 33．（24-25高一上·浙江台州·开学考试）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示． 大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表 一周诗词诵背数量 3首 4首 5首 6首 7首 8首 人数 10 10 15 40 25 20 请根据调查的信息分析： (1)活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为______． (2)估计大赛结束后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数； (3)选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据统计图表中的数据可以求得这组数据的中位数，得到答案； （2）根据表格中的数据，结合样本估计总体的知识分析，即可求解； （3）根据统计图表和表格中的数据，可以分别计算得出比赛前后的中位数和平均数，进而得到结论. 【解答过程】（1）解：本次调查的学生有：（名）， 背诵4首的有：（人）， 把这些数据从小到大排列，中位数第60和61个数的平均数， 所以这组数据的中位数为（首）. （2）解：根据题意，可得（人）， 即估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人. （3）解：活动启动之初一周诗词诵背数量的中位数为， 平均数为（首） 大赛比赛后一个月时一周诗词诵背数量的中位数为6首， 平均数为（首）， 由此，比赛前后的中位数和平均数看，学生在大赛之后“一周诗词诵背数量”都好于活动之初，根据样本估计总体，说明这次活动效果明显. 34．（24-25高二上·四川成都·期末）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了 10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm） 记录下来并绘制出折线图： (1)分别计算甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值； (2)轮胎的宽度在[193，195]内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、 乙两厂分别提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好. 【答案】(1)甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值分别为195，194. (2)从平均数上来看：乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度高于甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度，但乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度方差较大，不够稳定. 【解题思路】（1）由折线图提供的数据，利用平均数公式代入计算即可； （2）分别找出甲乙两厂的所有标准轮胎宽度的数据，再分别求出平均值与方差，即可判断. 【解答过程】（1）由题：甲厂轮胎宽度的平均值为： ； 乙厂轮胎宽度的平均值为： ； 所以甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值分别为195，194. （2）由题，甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为： ，其平均数为：， 其方差为：； 乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为： ，其平均数为：， 其方差为：； 从平均数上来看：乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度高于甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度，但乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度方差较大，不够稳定. 35．（24-25高一上·全国·周测）某校对七年级 400名同学最喜欢喝的饮料种类情况、八年级300名同学零花钱的最主要用途情况、九年级300名同学完成家庭作业时间情况进行了全面调查，并分别用扇形统计图、条形统计图、表格来描述整理得到的数据. 九年级同学完成家庭作业时间情况统计表： 时间 1小时左右 1.5小时左右 2小时左右 2.5小时左右 人数50 80 120 50 根据以上信息，请回答下列问题： (1)七年级400名同学中最喜欢喝“冰红茶”的人数是多少？ (2)补全八年级300名同学中零花钱的最主要用途情况的条形统计图； (3)九年级300名同学中完成家庭作业的平均时间大约是多少小时？（结果保留两位小数） 【答案】(1)160（人）. (2)答案见解析 (3)1.78（小时）. 【解题思路】（1）根据频率结合人数计算求解； （2）根据已知补全条形统计图； （3）应用已知数据计算平均数. 【解答过程】（1）（人）. （2）补全条形统计图如图所示. （3）（小时）. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 统计图的相关运算大题（35题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 绘制、补全频率分布直方图 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料（单位：cm）： 区间界限 人数 5 8 10 22 33 区间界限 人数 20 11 6 5 (1)列出样本的频率分布表（频率保留两位小数）； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高低于134cm的人数占总人数的百分比． 2．（24-25高一下·江苏·单元复习）某校高二年级期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩，分组统计如下表. 分组 频数 频率 3 0.03 3 0.03 37 0.37 m n 15 0.15 合计 M N (1)求出表中的值，并根据表中所给数据在给出的坐标系中画出频率直方图； (2)若全校参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中全校成绩在90分以上的人数. 3．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）某高校举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加，为了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题： 分组 频数 频率 [50，60) 4 0.08 [60，70) 0.16 [70，80) 10 [80，90) 16 0.32 [90，100] 合计 50 (1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内); (2)补全频率分布直方图; (3)若成绩在[80，100]内的学生获得环保纪念勋章，请估计该校获得环保纪念勋章的学生有多少人. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）为了解一片经济林的生长情况，随机测量100株树木的底部周长，得到如下数据：（单位：cm） 135  98  102  110  99  121  110  96  100  103  125  97  117  113  110  92  102  109 104  112  109  124  87  131  97  102  123  104  104  128  105  123  111  103  105  92 114  108  104  102  129  126  97  100  115  111  106  117  104  109  111  89  110  121   80  120  121  104  108  118  129  99  90  99  121  123  107  111  91  100  99  101  116 97  102  108  111  95  107  101  102  108  117  99  118  106  119  97  126  108  123   119  98  121  101  113  102  103  104  108 (1)编制频率分布表； (2)绘制频率分布直方图、折线图； (3)估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少，周长不小于120cm的树木约占多少？ 5．（24-25高一下·全国·单元测试）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举办了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题： 分组 频数 频率 50.5~60.5 4 0.08 60.5~70.5 0.16 70.5~80.5 10 80.5~90.5 16 0.32 90.5~100.5 合计 50 (1)填充频数分布表的空格（将答案直接填在表格内）； (2)补全频数分布直方图； (3)若成绩在75.5～85.5的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？ 题型二 频率分布直方图的相关计算问题 6．（24-25高二下·湖南长沙·期中）某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求从该校高一、高二学生中各抽取的人数； (2)根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数. 7．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）某校高一年级有学生2000名，为了了解高一学生的体能情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，按，分为5组，画出频率分布直方图，如图所示． (1)求的值； (2)若规定：高一学生1分钟跳绳125次以上（含125次）成绩为良好．试估计该校高一学生1分钟跳绳成绩良好的人数． 8．（24-25高一下·甘肃·月考）“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为时对颗粒物的累积净化量，以克表示.根据GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量（CCM）有如下等级划分： 累积净化量（克） 以上 等级 为了了解一批空气净化器（共台）的质量，随机抽取台机器作为样本进行估计，已知这台机器的累积净化量都分布在区间中.按照，，，，均匀分组，其中累积净化量在的所有数据有：，，，，和，并绘制了如图所示频率分布直方图： (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共台）中等级为的空气净化器有多少台？ 9．（24-25高一下·广西贵港·月考）为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为100的样本，测量它们的尺寸（单位：），并将数据分为 ，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的x值； (2)根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出7个产品，则每个区间分别应抽取多少个产品； (3)记产品尺寸在内为A等品，每件可获利6元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损2元；其余为合格品，每件可获利3元．若该工厂一个月共生产2000件产品，以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到10000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造． 10．（24-25高一上·北京·月考）为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)求样本中在内的频数； (3)若全校共名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数. 题型三 统计图的综合应用问题 11．（24-25高一上·陕西西安·开学考试）为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）： 根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)求本次被调查的学生人数． (2)将条形统计图补充完整． (3)若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数． 12．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）某手机店根据手机销售的相关数据绘制了两幅统计图．来自该店财务部的数据报告表明，该手机店 月的手机销售总额一共是万元.请根据图①、图②解答下列问题： （1）该手机店三月份的销售额为多少万元？ （2）该店一月份音乐手机的销售额为多少万元? （3）小刚观察图②后，认为四月份音乐手机的销售额比三月份减少了，你同意他的看法吗?请说明理由． 13．（24-25高一上·湖北咸宁·自主招生）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成 A，，，，五个等级，并绘制了如图不完整的统计图． 请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩        (1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ； (2)补全学生成绩频数分布直方图； (3)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？ 14．（24-25高一·全国·课后作业）下面是从某镇抽取的50户家庭一年中12个月的用电量的统计图表，试根据图表说明： (1)一年中这50户家庭月用电高峰是哪几个月？用电低谷是哪几个月？并解释可能的原因. (2)有几个月用电总量为7000度？ 15．（24-25高一上·陕西西安·开学考试）“千年古都，大美西安”.某校数学兴趣小组就最想去的西安旅游景点随机调查了本校部分学生，要求每位学生选择且只能选择一个最想去的景点（景点对应的名称分别是A：大雁塔；B：兵马俑；C：陕西历史博物馆；D：秦岭野生动物园；E：曲江海洋馆）.下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图： 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求被调查的学生总人数； (2)补全条形统计图，并求扇形统计图中表示最想去景点“D”的扇形圆心角的度数； (3)若该校共有800名学生，请估计该校学生中最想去兵马俑的人数. 题型四 频率分布直方图中总体百分位数的估计 16．（24-25高一下·河南平顶山·期末）某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了200名学生的测试成绩（单位：分），这200名学生的成绩分布在区间内，并分成6组：第1组为，频数10；第2组为，频数20；第3组为，频数30；第4组为，频数50；第6组为，频数30，绘制成如图所示的部分频率分布直方图. (1)请将频率分布直方图补充完整； (2)估计这200名学生成绩的70%分位数. 17．（24-25高一下·吉林长春·期末）某所学校为了解高三年级学生数学第二次模拟考试情况，随机抽取了50名学生的成绩，（满分150分），将所有数据整理后绘制成如下频率分布直方图： (1)求的值； (2)求这50名学生的数学成绩的第80百分位数； (3)根据频率分布直方图，估计这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分. 18．（24-25高一下·安徽宿州·期末）某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并且计算样本的平均数； (2)若该市有900万居民，估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数； (3)若该地区市政府希望使的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值．（结果保留整数） 19．（24-25高一下·广东惠州·期末）为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间 （单位: 时） 按照、、、、分成组， 制成如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)根据频率分布直方图估计样本数据的第百分位数； (3)根据频率分布直方图，用每组数据区间中点值作代表，估计这名住户上周体育锻炼时间的平均值. 20．（24-25高一下·北京大兴·期末）小明利用地图软件统计出他近期100次早上从家到公司的导航过程中的红灯等待时间，他将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示. (1)求图中的值； (2)估计小明红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）； (3)根据以上数据，估计小明在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数. 题型五 频率分布直方图中集中趋势参数的计算 21．（24-25高一下·甘肃嘉峪关·期中）某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，…，，． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数．（保留小数点后1位） 22．（24-25高一下·贵州黔东南·期末）中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求的值； (2)求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； (3)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 23．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. (1)估计此批棉花纤维长度的众数； (2)估计此批棉花纤维长度的下四分位数和中位数；（保留整数） (3)估计此批棉花纤维长度的平均数.（保留整数） 24．（24-25高一下·山西大同·期末）统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点不包括右端点，如第一组表示月收入在内． (1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在内的应抽取多少人？ (2)估计该地居民的月收入的中位数； (3)假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数． 25．（24-25高一下·四川乐山·期末）《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房一路高歌猛进，截至2025年5月，票房已突破158亿．根据灯塔数据库的数据，某团队随机抽取1000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如下的频数分布表和频率分布直方图： 组数 分组 频数 第一组 100 第二组 第三组 250 第四组 300 第五组 第六组 50 (1)请求出各年龄段频数分布表中的值，并补全各年龄段人数频率分布直方图； (2)试估计观众年龄的众数、中位数和平均数（每组年龄用中间值代替）． 题型六 频率分布直方图中总体离散程度的估计 26．（24-25高一下·山东济宁·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的上四分位数； (3)已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 27．（24-25高一下·安徽合肥·期末）新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． (3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 28．（24-25高一下·湖北武汉·期末）某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165]，[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． (1)求和频率分布直方图中身高在175cm及以下的学生人数； (2)估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留到个位数）． (3)已知落在区间[170，175）的样本平均数是173，方差是8，落在区间[175，180）的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总的样本平均数为，样本方差为，则． 29．（24-25高一下·山东聊城·期末）某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数（四舍五入取整数）； (2)从所抽取的数学成绩在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在内的学生数学成绩的平均数与方差. 30．（24-25高一下·宁夏银川·期末）随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图： (1)求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数； (2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②. 题型七 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度 31．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）.数据整理如图表：    学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 7.55 7.55 中位数 8 c 众数 7 合格率 85% 根据以上信息，解答下列问题： (1)写出统计表中，，的值； (2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数； (3)从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义. 32．（2026高一·全国·专题练习）甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示. (1)填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 1 乙 5.4 3 (2)请从三个不同的角度对这次测试进行分析； ①由平均数和方差结合分析谁的成绩更稳定； ②由平均数和中位数结合分析谁的成绩好些； ③由折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力. 33．（24-25高一上·浙江台州·开学考试）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示． 大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表 一周诗词诵背数量 3首 4首 5首 6首 7首 8首 人数 10 10 15 40 25 20 请根据调查的信息分析： (1)活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为______． (2)估计大赛结束后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数； (3)选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果． 34．（24-25高二上·四川成都·期末）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了 10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm） 记录下来并绘制出折线图： (1)分别计算甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值； (2)轮胎的宽度在[193，195]内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、 乙两厂分别提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好. 35．（24-25高一上·全国·周测）某校对七年级 400名同学最喜欢喝的饮料种类情况、八年级300名同学零花钱的最主要用途情况、九年级300名同学完成家庭作业时间情况进行了全面调查，并分别用扇形统计图、条形统计图、表格来描述整理得到的数据. 九年级同学完成家庭作业时间情况统计表： 时间 1小时左右 1.5小时左右 2小时左右 2.5小时左右 人数50 80 120 50 根据以上信息，请回答下列问题： (1)七年级400名同学中最喜欢喝“冰红茶”的人数是多少？ (2)补全八年级300名同学中零花钱的最主要用途情况的条形统计图； (3)九年级300名同学中完成家庭作业的平均时间大约是多少小时？（结果保留两位小数） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $